Ondas e Linhas de Comunicações...Conforme será visto no curso, assim como existe uma tecnologia...
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Universidade Estadual Paulista – UNESP Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - FEIS Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Ondas e Linhas de Comunicações Capítulo 5 – Linhas de Transmissão TEM Ilha Solteira 2018 1 - SISTEMAS DE RF × MICROONDAS
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Universidade Estadual Paulista – UNESPFaculdade de Engenharia de Ilha Solteira - FEISDepartamento de Engenharia Elétrica - DEE
Ondas e Linhas de Comunicações
Capítulo 5 – Linhas de Transmissão TEM
Ilha Solteira 2018
1 - SISTEMAS DE RF × MICROONDAS
Na tabela abaixo, encontram-se exemplos de faixas de frequências de alguns sistemas clássicos de comunicação.
Faixa de frequência ocupadas por alguns sistemas de comunicação.
O aumento da demanda dos serviços de radiodifusão e de telecomunicações trouxe, como consequência, o congestionamento e saturação da capacidade de transmissão nas frequências mais baixas do espectro eletromagnético.
Isto gerou tendências para a utilização de frequências cada vez mais elevadas.
Na figura a seguir ilustra-se o espectro eletromagnético geral, juntamente com algumas aplicações típicas em cada faixa de frequências.
A transmissão econômica de um grande número de canais de TV, por exemplo, depende da capacidade de modular todos esses canais sobre uma portadora e transmiti-los ao longo de um enlace de comunicação.
Como cada canal de TV ocupa uma largura de faixa de aproximadamente 6 MHz, uma largura de faixa total de 600 MHz é necessária para transmitir uma centena desses canais.
Para o processamento e manipulação adequados de uma portadora modulada, as faixas laterais de modulação devem ocupar apenas uns poucos porcentos da frequência portadora.
Portanto, observa-se que a frequência portadora deve estar na faixa de microondas para haver transmissão eficiente de muitos canais de TV ao longo do enlace.
Sem o desenvolvimento dos sistemas de microondas, as comunicações visando entretenimento(por exemplo) estariam seriamente sobrecarregadas e totalmente inadequadas para as operações presentes.
Tipicamente, costuma-se considerar como faixa de radiofrequências (RF) o intervalo entre 300 kHz e 300 MHz.
Alguns autores definem as microondas como a radiação cuja faixa do espectro eletromagnético vai do limite convencional de RF até o infravermelho.
Outros, consideram que as microondas são radiações que se estendem entre 1 GHz (comprimento de onda de 30 cm) e 300 GHz (comprimento de onda de 1 mm).
No entanto, existe uma tendência moderna de se definir microondas como a radiação eletromagnética cujos comprimentos de onda são da mesma ordem de grandeza das dimensões físicas de um dado circuito.
Desta forma, de acordo com esta convenção, a técnica de microondas pode se tornar necessária até mesmo para frequências relativamente baixas, como 60 Hz (longas LTs), dependendo das dimensões do circuito estudado.
Esta questão será melhor detalhada na próxima seção.
2 - Circuitos Concentrados × Distribuídos
Em frequências onde o comprimento de onda é diversas ordens de grandeza superior a maior dimensão do circuito ou sistema a ser examinado, elementos convencionais como capacitores, indutores, resistores, diodos e transistores constituem os blocos básicos para os circuitos de transmissão, recepção e processamento de informações.
A descrição ou análise de tais circuitos pode ser executada adequadamente em termos de correntes de malha, i(t), e tensões de nós, v(t), sem considerar os efeitos da propagação da onda no espaço.
O tempo de atraso entre a causa e o efeito, entre diferentes pontos nestes circuitos, é tão pequeno quando comparada com o período do sinal aplicado, que pode ser desconsiderado.
Nesta situação, os circuitos são chamados de circuitos concentrados, e, todas as grandezas elétricas podem ser escritas apenas em função do tempo.
As funções (ou sinais) associados a v(t) ou i(t) são então chamadas de formas de onda.
Porém, quando a frequência é aumentada para um valor onde o comprimento de onda não é mais tão grande quando comparado com as dimensões do circuito, os efeitos de propagação não podem mais ser ignorados.
Neste caso, as grandezas elétricas devem levar em conta não apenas a variação temporal, mas também, a dependência espacial, ou seja, devem ser do tipo v(x,t), por exemplo.
As funções (ou sinais) associados a v(x,t) correspondem as ondas propriamente ditas.
Portanto, comprimentos de onda reduzidos implicam que o tempo de propagação dos estímulos elétricos, de um ponto a outro de um circuito, é comparável com o período de oscilação das cargas e correntes no sistema.
Como resultado, as análises convencionais de circuitos elétricos de baixa frequência (em banda básica), baseados nas leis de Kirchhoff, e, os conceitos de tensão v(t) e correntei(t), não são mais suficientes para uma descrição adequada dos fenômenos elétricos.
),( tre
Torna-se necessário, desta forma, recorrer a uma análise em termos de ondas de tensão, v(x,t), e de corrente, i(x,t).
linha de transmissão TEMvg(t)
Ou então, no caso mais crítico, segundo uma descrição dos campos elétrico, , e magnético, , associados ao processo (sendo o vetor posição).),( trh
r
aberto
z, m0
Rg
v(x,t)
gerador
Guia de ondas metálico
Distribuição de campo eletromgnético
A diferença básica entre a teoria de circuitos concentrados e distribuídos pode ser compreendida através dos exemplos a seguir: correntes senoidais, i1 e i2, de mesmo valor, são injetadas em dois condutores ideais (sem perdas ôhmicas), sendo que um deles tem o dobro do comprimento do outro.
Segundo a teoria clássica de circuitos elétricos, cada fio condutor se comporta como um curto-circuito, e, ambas as correntes atingem o ponto de encontro desses condutores com o mesmo valor de entrada, independentemente dos comprimentos dos condutores.
Estas correntes são designadas por e .
Isto reflete a noção de circuito concentrado, no qual se aplica a lei de Kirchhoff das correntes, ou seja: , a corrente de saída é igual ao dobro das correntes na entrada.
1i′ 2i′
32121 iiiii =+=′+′
Por outro lado, na figura abaixo, leva-se em consideração que, ao percorrer um determinado trajeto d, existe um tempo de retardo devido ao tempo de propagação do sinal, o qual gera uma defasagem dada por:
Assim, por exemplo, se a corrente i1 sofrer uma defasagem Δφ1 =π rad, então, a correntei2 deve sofre uma defasagem Δφ2 =2π rad, uma vez que percorreu o dobro do percurso.
Por causa disto, as correntes e não mais se somam em fase, e, i3 resulta em: i3 = + = A.cos(ωt−π)+ A.cos(ωt−2π)= −A.cosωt+ A.cosωt=0.
Ou seja, como a corrente de saída não é igual à soma das correntes de entrada, a lei de Kirchhoff não mais se aplica a este caso.
2 zπφλ
Δ =
1i′ 2i′1i′ 2i′
Obviamente, a pergunta que surge é: quando se deve levar em consideração o retardo devido ao tempo de propagação?
Os circuitos nas figuras anteriores eram os mesmos, contudo, o primeiro foi tratado como concentrado e o segundo como distribuído.
Na próxima figura mostra-se um típico resistor de filme de carbono, cujo comprimento é da ordem de 1 cm, sendo atravessado por uma onda de corrente elétrica i(x), cuja frequência é igual a 3 GHz.
Entenda este desenho como uma fotografia que registra a onda e o resistor num único instante de tempo.
Aplicando-se λ = c/f, conclui-se que o comprimento de onda é igual a 10 cm.
Portanto, entre um terminal (1) e outro (2) do resistor os valores de corrente elétrica são diferentes; a corrente é maior na entrada que na saída.
Isto ocorre por causa da defasagem ao longo do eixo x, que pode ser calculada aplicando-se Δφ = 2πd/λ usando d=1 cm, e que resulta em 0,62 rad ou 360.
Por outro lado, considere-se o mesmo caso, porém, com uma frequência igual a 3 kHz.
Aplicando-se λ = c/f obtém-se λ=100 km, um comprimento de onda muito maior que as dimensões de um circuito elétrico prático, mesmo que ele ocupe toda uma sala.
No caso do resistor com d=1 cm, a expressão Δφ = 2πd/λ conduz a uma defasagem de apenas 360 milhonésimos de grau, ou seja, desprezível.
Neste caso, pode-se dizer que se trata de um circuito concentrado, e, as leis de Kirchhoffpodem ser aplicadas com segurança, mesmo para circuitos com dimensões de 100 m, por ex.
Por outro lado, considere-se o mesmo caso, porém, com uma frequência igual a 3 kHz.
Aplicando-se λ = c/f obtém-se λ=100 km, um comprimento de onda muito maior que as dimensões de um circuito elétrico prático, mesmo que ele ocupe toda uma sala.
No caso do resistor com d=1 cm, a expressão Δφ = 2πd/λ conduz a uma defasagem de apenas 360 milhonésimos de grau, ou seja, desprezível.
Neste caso, pode-se dizer que se trata de um circuito concentrado, e, as leis de Kirchhoffpodem ser aplicadas com segurança, mesmo para circuitos com dimensões de 100 m, por ex.
Entretanto, se for desejado, nada impede que o formalismo de circuito distribuído seja utilizado, porém, a diferença entre ambos os resultados seria tão pequena, e, as dificuldades matemáticas seriam tão grandes, que tal esforço não compensa.
Embora tenha sido empregada a corrente elétrica para ilustrar a diferença entre circuitos concentrados e distribuídos, as conclusões acima também se aplicam a casos envolvendo a tensão elétrica.
O formalismo de circuito distribuído é o mais geral, sendo a aproximação de circuitos concentrados um caso particular do primeiro.
Conforme será visto no curso, assim como existe uma tecnologia bem consolidada para se implementar circuitos elétricos em baixas frequências (tipicamente, abaixo de 1 MHz), o mesmo ocorre nas faixas de microondas e de óptica.
A diferença é que, enquanto em baixas frequências se trabalha com resistores, indutores, multímetros e osciloscópios, em microondas, se trabalha com guias de onda, acopladores direcionais, guias fendidos, analisadores de redes vetoriais, bolômetros, etc.
Por sua vez, em óptica se trabalha com lentes, espelhos, prismas, grades de difração, lâminas de ondas, polarizadores, fibras ópticas, laser, radiômetros, etc.
Ou seja, a natureza dos componentes, dispositivos e medidores nessas três bandas (baixa frequência, microondas e óptica) são bastante diferentes.
Além disso, em microondas e óptica torna-se necessário empregar o formalismo de circuito distribuído, ou seja, deve-se trabalhar com ondas eletromagnéticas.
Cita-se, contudo, que nessas três faixas de frequência, operando com suas respectivas modelagens matemáticas, a concordância entre os resultados previstos pelas teorias e pelos experimentos é excelente.
A forma como os dispositivos se apresentam fisicamente na prática (uma bobina de fio para um indutor, por exemplo) é meramente incidental à função que desempenham; a estrutura usada nos elementos práticos pode ser considerada apenas como um modo conveniente de se construir estes dispositivos, tal que exibam as propriedades elétricas desejadas (no caso do indutor, uma reatância indutiva que armazena energia magnética).
Na figura a seguir, percebem-se diferentes formas para sintetizar uma indutância:
Dispositivos usados em microondas:
Dispositivos usados em banda base:
Contudo, na faixa entre a baixa frequência e as microondas, a qual é denominada de faixa de rádio-frequências, RF, ocorre um grande problema.
Nesta faixa intermediária, existe a necessidade de se empregar o formalismo de circuito distribuído, porém, os componentes e dispositivos que seriam específicos a esta área (deslocadores de fase, acopladores, filtros, etc.), em geral, são impraticáveis.
A questão é que, nesta faixa de frequências, o comprimento de onda é da ordem de dezenas de metros, e assim também o seriam as dimensões dos dispositivos necessários a esta tecnologia, a menos que sejam miniaturizados a fim de operarem como circuito concentrado:
Mini bobina fabricada para trabalhar em altas frequências: se suadimensão for beminferior ao comprimentode onda, ela se comporta comoelemento concentrado.
Assim operam os circuitos integrados, CIs, os quais demandam sofisticados laboratórios de microeletrônica para produzi-los; sem outra opção (Qual ??), a implementação de circuitos de RF em laboratórios convencionais seria impraticável.
Exemplo de transformador de RF construído para trabalhar como circuito concentrado:
Resumindo, dentro da faixa de RF, seria necessário utilizar o formalismo de circuito distribuído, porém, empregando os dispositivos originalmente fabricados para operarem em baixas frequências (por exemplo, os resistores, bobinas e capacitores comerciais)
Uma consequência dessa incompatibilidade é o grande aumento relativo na impedância dos fios conectores, terminais, etc., e aparecimento dos efeitos de capacitância e indutância distribuídas, ou seja, dos elementos parasistas.
Além disso, as correntes circulantes em circuitos não blindados, são muito efetivas em irradiar ondas eletromagnéticas para o seu exterior, e, inversamente, os elementos desse circuito têm grande susceptibilidade para captar interferências de circuitos vizinhos.
Um problema semelhante acontece na faixa de frequências entre microondas e óptica, onde se encontram as ondas milimétricas, cujas frequências variam entre várias dezenas a centenas de GHz.
O estudo de ondas milimétricas está numa área ainda mais complicada que RF, e não será aqui discutida.
3 – EFEITOS PARASITAS EM RF
ADENDO: Efeito Pelicular (ou skin effect)The phenomenon whereby field intensity in a conductor rapidly decreases is known asskin effect. The fields and associated currents are confined to a very thin layer (the skin) of the conductor surface. For a wire of radius a, for example, it is a good approximation at high frequencies to assume that all of the current flows in the circular ring of thickness δ as shown in figure below:
As the effective cross sectional area is smaller for AC than DC current, the conductor resistance is bigger for AC than DC current.
a
DC current
AC current
ADENDO: Efeito Pelicular (ou skin effect)The phenomenon whereby field intensity in a conductor rapidly decreases is known asskin effect. The fields and associated currents are confined to a very thin layer (the skin) of the conductor surface. For a wire of radius a, for example, it is a good approximation at high frequencies to assume that all of the current flows in the circular ring of thickness δ as shown in figure below:
Skin depth is due to the circulating eddy currents (arising from a changing H field) cancelling the current flow in the center of a conductor and reinforcing it in the skin.
In general, the ratio of the AC to the DC resistance starts at 1.0 for DC and very low frequencies and increases as the frequency increases.
#fim do ADENDO
I(t)
H(t)Ie(t)
a
EFEITOS DOS ELEMENTOS PARASITAS:
Sensíveis diferenças ocorrem à medida em que se opera em frequências progressivamente maiores, sendo o caso, por exemplo, dos efeitos capacitivos, indutivos e resistivos distribuídos (ou parasitas), frequentemente desconsiderados em banda básica.
Tal como ocorre em banda básica, a fabricação de componentes é prevista para se operar numa faixa limitada de frequências; em geral, não é possível a construção de componentes confiáveis em uma banda muito ampla de frequências.
Assim, por exemplo, uma bobina de fio pode ser um excelente indutor em 1 MHz, mas, em 50 MHz pode ser igualmente um bom capacitor, devido ao efeito predominante da capacitância (parasita) entre espiras.
O comportamento dos elementos R, L e C de um circuito prático sofrem influências da frequência, e suas variações podem ser significativas na faixa de RF/microondas.
Assim, por exemplo, um indutor fabricado para operar em banda base não apresenta apenas o efeito puramente indutivo, como desejado.
Além da indutância da bobina, também deve ser considerada a sua resistência, devida à condutividade finita dos condutores, aumentada pelo efeito pelicular (skin effect).
Acrescente-se ainda, a capacitância distribuída entre as espiras, e, entre suas extremidades, como se observa na figura a seguir:
Em baixas frequências, a bobina é eminentemente um indutor L, com reatância XL=ωL.
A capacitância parasita C tem valor muito pequeno, e assim, sua reatância XC=1/ωC deve ser grande, aproximando-se de um ‘aberto’.
Além da indutância da bobina, também deve ser considerada a sua resistência, devida à condutividade finita dos condutores, aumentada pelo efeito pelicular (skin effect).
Acrescente-se ainda, a capacitância distribuída entre as espiras, e, entre suas extremidades, como se observa na figura a seguir:
Em baixas frequências, a bobina é eminentemente um indutor L, com reatância XL=ωL.
A capacitância parasita C tem valor muito pequeno, e assim, sua reatância XC=1/ωC deve ser grande, aproximando-se de um ‘aberto’.
Porém, em altas frequências, XC tende a um ‘curto-circuito’ e, portanto, altera significativamente a bobina, colocando suas espiras em curto.
A resistência série R(f) se deve ao efeito pelicular (R é tanto maior quanto maior for f).
Após a frequência de ressonância, o indutor passa a se comportar como capacitor!
Por sua vez, no caso de um capacitor C, o comportamento em altas frequências contéma resistência Rd , que representa as perdas no dielétrico e, Lf e Rf, que representam a indutância e a resistência parasita das terminações, respectivamente, conforme ilustrado na figura a seguir.
As perdas no dielétrico tendem a aumentar com a frequência, devido ao aumento da condutividade específica.
real
ideal
Um resistor real R se comporta conforme o modelo da figura abaixo, onde Lf é a indutância parasita dos terminais, e, C é a capacitância distribuída.
A resistência dos terminais, Rf , pode ser agrupada à do próprio elemento resistivo, e se deve ao efeito pelicular (skin effect).
(t)
(t)
Quanto aos elementos ativos, como os transistores, à medida em que a frequência se aproxima da faixa de microondas, outros fatores que são insignificantes, ou, de importância secundária em banda básica, assumem valores significativos.
Na figura a seguir, é representado um modelo CA de um transistor operando em RF.
Os elementos dentro da região tracejada são inerentes à pastilha na qual é implantado o transistor, e os elementos de fora resultam do encapsulamento e das conexões nos terminais externos.
Os valores de resistência estãoem ohms, as indutâncias estãoem nH e as capacitâncias em pF.
Isto não significa que elementos que dissipem energia, armazenem energia magnética ouarmazenem energia elétrica não possam ser construídos eficientemente em frequências de RF.
Pelo contrário, existem resistências, indutâncias e capacitâncias para uso em frequências de RF e, até mesmo, na de microondas, e que permitem a abordagem concentrada.
Contudo, suas dimensões devem ser bem menores que o comprimento de onda de operação, obrigando-os a serem miniaturizados (tecnologia SMD).
Resistor Capacitor Indutor
Quanto aos elementos ativos, como os transistores, para manter as características das suas regiões ativas, deve-se diminuir suas dimensões no cristal semicondutor até valores extremamente pequenos.
Isto exige a utilização de pastilhas de tamanhos reduzidíssimos, com as quais resultam reatâncias parasitas pequenas.
Nestes casos, sendo as dimensões dos circuitos muito menores que o comprimento de onda, os circuitos são considerados concentrados.
Contudo, torna-se necessário o uso de tecnologia cara que só é viável na escala industrial.
Além disso, não se deve esquecer que em microondas, por exemplo, o comprimento de onda é da ordem de centímetros, e as ligações têm comprimentos próximos do comprimento de onda, e assim, cada condutor pode atuar como uma LT, que deve ser corretamente casada para se obter um desempenho satisfatório no circuito.
Relativamente ao trabalho experimental dentro da faixa de frequências de RF, pode-se dizer que as estruturas físicas dos dispositivos não são muito diferentes dos convencionais (alguns dispositivos são até mesmos os convencionais – resistores, indutores e capacitores - usados em banda básica).
Portanto convive-se permanentemente com os problemas citados anteriormente (elementosparasitas), o que torna o trabalho com RF algo extremamente problemático.
Porém, em microondas, procura-se elaborar dispositivos com características específicas para operar nesta faixa de frequências, o que torna seus aspectos estruturais bastante diferentes dos convencionais de banda básica.
Ressalta-se contudo, que algumas funções que são realizadas por circuitos complexos em banda básica ou RF, são extremamente simplificadas em microondas.
4 - SISTEMAS DE RF × MICROONDASParte II
Uma variedade de estruturas de transmissão tem sido desenvolvida para transferir potênciade sinal, de um ponto a outro, sem perdas dissipativas.
A estrutura de guiamento mais simples, sob o ponto de vista de análise matemática, é a linha de transmissão (LT) TEM.
Diversas destas, como a linha de dois condutores paralelos e a linha coaxial, são de uso comum em frequências de microondas mais baixas, por exemplo, em RF.
Em frequências maiores, na faixa de dezenas de GHz, guias de ondas em tubos metálicos ocos, são preferidos às linhas TEM, devido as melhores propriedades elétricas e mecânicas.
Entre os tipos mais comuns, estão os guias de onda de secção transversal retangular, circular e elíptico.
••
A
B
Uma propriedade única da LT TEM é que uma análise satisfatória de suas propriedades pode ser realizada tratando-a como uma rede com parâmetros distribuídos, e resolvendo-a em termos de ondas de correntes e tensões que se propagam longitudinalmente, as quais são grandezas escalares.
Outros guias de ondas, embora tenham diversas propriedades similares às LT, devem ser tratadas como problemas eletromagnéticos com valores de fronteira, e uma solução para os campos eletromagnéticos (vetores) deve ser determinada.
Este é o caso dos guias de onda metálicos, onde não é possível associar escalares como ondas de corrente ou tensão, que tenham a mesma significância que na LT, em vista de que diferentes resultados são obtidos dependendo do caminho de integração escolhido para calculá-los.
Relativamente aos diversos tipos de propagação de ondas, não se pode afirmar qual delas é a mais adequada, em vista de que isto depende de vários fatores.
Considerando, por exemplo, que um dado receptor tenha condições de operar com sinais de informação recebidos em níveis de potência da ordem de 1nW, pergunta-se qual deve ser a potência emitida pelo transmissor, se forem utilizados LT, guia de onda (WG), antenas (A) ou fibra óptica, num trecho de 48,3Km, e numa frequência de 1GHz.
Dadas as características dos canais de comunicação, tem-se:
Canal de transmissão/perdas Potência transmitidaLT 328dB/Km 101.575 WWG 32,8dB/Km 10.150 WAntena área 2m2 50 mWFibra óptica 0,2 dB/Km 10 nW.
Isto indica, claramente, que deve-se utilizar fibras ópticas ou antenas para a transmissão dos sinais.
Por outro lado, se a distância for reduzida para 457m, os valores são alterados para:
Canal de transmissão/perdas Potência transmitidaLT 328dB/Km 1 mWWG 32,8dB/Km 30 nWAntena área 2m2 5 μWFibra óptica 0,2 dB/Km ≅ 1 nW.
Ou seja, o guia de ondas ou a fibra óptica tornam-se mais adequados.
Na figura abaixo, apresentam-se resultados para uma análise mais global (a fibra óptica não foi considerada), informando-se os níveis de potência de entrada (em dB) necessários para transmitir sinais de frequência iguais a 1GHz até uma certa distância, dada em milhas:
Dados: 1 milha = 1609,34 metros.
Fica claro que, embora a LT seja capaz de operar em frequências da ordem de GHz, o tamanho do enlace deve ser pequeno.
Por isso, a LT só é adequada para transmissão de longa distância em frequências abaixo de 300MHz, ou, para frequências de dezenas de GHz, mas por curtas distâncias, como ocorre em circuitos de microondas (p. ex., circuitos de satélites).
Deve-se ressaltar ainda, que os guias de ondas e as antenas, apresentam um limite prático de baixa frequência (frequência de corte), abaixo do qual o tamanho físico destes dispositivos torna-se exageradamente grandes, e portanto impraticáveis.
Este limite é de aproximadamente 100 KHz para antenas e de 300 MHz para guias de ondas.
Na faixa de 300 MHz a 3 GHz, costuma-se utilizar tanto guia de ondas como LT.
Para estimativas gerais dos tamanhos dos dispositivos envolvidos, pode-se notar que tanto para um guia de ondas como para antenas, a ordem de grandeza das dimensões físicas é da ordem de λ/2 (dependendo da referência bibliográfica).
Assim, para 3MHz, tem-se λ/2=0.5m, e uma antena prática poderia ser construída sem problemas; contudo, para 3KHz, λ/2=5000m, e tal antena não seria viável.
5 - PARÂMETROS DA LINHA DE TRANSMISSÃO TEM
Um guia de ondas é um dispositivo usado para transportar energia electro-magnética de um local a outro. Geralmente se usa o termo linha de transmissão (LT) aos guias usados no extremo inferior do espectro de rádio-frequências.
Nessas frequências é possível utilizar uma análise quase-estática, sendo que esse regime de operação se dá até uma certa freqüência, acima da qual modos de ordem superior podem ser excitados na LT. Nessas frequências mais altas, a aproximação quase-estática deixa de ser válida e se requer uma análise em termos de campos eletromagnéticos, o queé de maior complexidade.
As seguintes características são desejadas para as LTs:
a) Operação mono-modo dentro de determinada banda de frequência;b) Baixas atenuação e dispersão.
A type of transmission line called a cage line, used for high power, low frequency applications. It functions similarly to a large coaxial cable. This example is the antenna feed line for a longwave radio transmitter in Poland, which operates at a frequency of 225 kHz and a power of 1200 kW.
The cage line: antenna feeder
Considera-se que os sistemas de transmissão sejam caracterizados por uniformidade longitudinal (ou axial), isto é, possuam um eixo ao longo do qual suas propriedades elétricas, bem como, as geometrias das seções transversais, sejam invariantes.
Na figura a seguir apresenta-se o esquema geral do sistema, sendo ε e σd as permissividade e condutividade do dielétrico, respectivamente.
As equações de onda (na representação fasorial) do problemas são:
nas quais se admitiu uma dependência temporal harmônica.
022 =−∇ EE
γ022 =−∇ HH
γ
)(2 ωεσωμγ jj d +=
Por definição, uma onda TEM (Transverse Eletromagnetic Mode) não exibe componentes de campo na direção de propagação, ou seja: Ez=0 e Hz=0.
Nestas condições e usando as equações de onda, pode-se demonstrar* que no plano x-y, o campo elétrico transversal tem características de um campo estático.
________________________________ *Collin, R.E., Foundations for Microwave Engeneering, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press, 2000, 994p.
Assim, no caso de onda TEM, existe uma função escalar*, chamada de função potencial (medida em volts), a partir da qual é possível descrever completamente o vetor campo eletromagnético transversal associado à uma LT.
Esta é uma vantagem deste tipo de LT, uma vez que permite usar uma formulação escalar, mais simples, ao contrário das linhas que não são TEM e que demandam a utilização da formulação vetorial, em termos dos vetores de campo elétrico e campo magnético.________________________________ *Collin, R.E., Foundations for Microwave Engeneering, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press, 2000, 994p.
A partir dessa função potencial, fica estabelecida uma onda de tensão propagando-se na direção +z, identificada por V(z).
De forma similar, demonstra-se que existe uma outra função escalar, medida em ampéres, de forma a se constituir uma onda de corrente, I(z), que se propaga com a mesma velocidade de V(z).
Ressalta-se que o problema da propagação na LT poderia ser estudado sob o ponto de vista do campo eletromagnético ( ) (vetores), contudo, a utilização dos potenciaisV(z) e I(z) (escalares) certamente simplifica bastante as dificuldades matemáticas.
HE
,
+
( , , ) ( , , ) ( , , )t zE x y z E x y z E x y z= +
( , , ) ( , , ) ( , , )t zH x y z H x y z H x y z= +
Sejam e os campos elétrico e magnético na LT:
nas quais os sub-índices t e z referem-se às componentes transvesal e longitudinal.
Na figura ao lado, tem-se:
i) dielétrico: ε, μ, σdii) condutor: σciii) seções transversais: S1 e S2iv) caminho fechado: Cv) superfície limitada por C: Svi) caminho de integração: a-bvii) elemento diferencial:
E
H
d
+ +++++
_
S1
S2
t
t
EzMetal: σc
Dielétrico: ε, μ, σd
d
S C
•
•
b
a
_____
2
1
ˆ( ) dS
tS
tC
H zL
H d
μ •
•
×=
d
)(
2
1
•
•
×
=t
S
S
tC
E
dEzC
ε
d
)(
2
1
•
•
×
=t
S
S
tC
d
E
dEzG
σ
1
ˆ
b
za
c zS
E dR
E zdSσ
•
•
−=
A partir das equações de onda para modos TEM, mostra-se que a indutância (L), capacitância (C), resistência (R) e condutância (G) do par de fios condutores são dados por:
O leitor pode comprovar que estas expressões coincidem com as expressões para L, C, R e G obtidas no Eletromagnetismo, em casos de eletrostática e magnetostática.
+ +++++
_
S1
S2
t
t
EzMetal: σc
Dielétrico: ε, μ, σd
d
S C
•
•
b
a
_____
xz
y
Exemplo: linha coaxial sem perdas*
para a<<d.
Exemplo: linha bifilar sem perdas*
________________________________ *Collin, R.E., Foundations for Microwave Engeneering, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press, 2000, 994p.
)/ln(2
abC πε=
)/ln(21 abLπ
μ=
6 – SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ONDA DA LT
Linhas de transmissão (LTs) são utilizadas, em aplicações de baixa potência, para o transporte de informação em sistemas de telecomunicações, no transporte de dados entre diferentes porções de circuitos integrados e processadores, e, no caso de alta potência, para o transporte de energia em sistemas de alta tensão.
Uma questão importante ao se considerar o emprego de linhas de transmissão no transporte de informação ou energia é a atenuação introduzida pelas perdas dissipativas nos condutores, bem como, pelas perdas dielétricas ou magnéticas.
O cálculo desse parâmetro é importante, pois impõe limitações de distância na transmissão seja de energia ou de informação entre pontos remotos.
Linha bifilar
Linha coaxial
Pode-se modelar uma LT básica como um par de condutores que se estendem paralelamente por uma grande distância longitudinal (na direção de propagação), descrita em termos de seus parâmetros L, C, R e G. O par de condutores está carregado com distribuições de cargas (variáveis ao longo da LT) iguais e opostas, formando um capacitor distribuído.
Ao mesmo tempo, circulam correntes opostas (variáveis ao longo da LT) e de iguais magnitudes, criando um campo magnético que pode ser expresso através de uma indutância distribuída.
Em resumo, pode-se usar um modelo quase-estático para representar a LT como uma cascata de quadripolos.
Cada quadripolo representa um setor de linha com pequeno comprimento relativamente ao menor comprimento de onda do sinal; cada setor pode ser modelado como um circuito usando a aproximação quase-estática.
Nesta estrutura, definem-se:
a) Impedância intrínseca da LT: Z= R+jωL , medida em ohms/metro.
b) Admitância intrínseca da LT: Y= G+jωL , medida em siemens/metro.
Aplicando-se as leis de Kirchhoff, verifica-se que o elemento de circuito obedece às equações:
nas quais, desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se
dV= −I(R+jωL)dz
dI = −V(G+jωL)dz
dVVdzILjRV +=+− )( ω
dIIdVVGdzdVVCdzjI +=+−+− )()(ω
IZdzdV −=
VYdzdI −=
Z
Y
‘Equações de telegrafistas’
É importante lembrar ao leitor que a LT é constituída principalmente pelos elementosL e C, sendo que R e G apenas representam as perdas ôhmicas nos condutores e no dielétrico, respectivamente.
Ou seja, não existe uma LT apenas com R e G; estes parâmetros são secundários numa LT com baixas perdas (como o são as LTs comercializadas no mercado).
Inclusive, em pequenos trechos dessas linhas eles podem ser desprezados.
Por outro lado, quando longos trechos de linhas são usados, torna-se importante estimar o valor da constante de atenuação (como será visto nos próximos parágrafos).
dV Z Idz
= − dI Y Vdz
= −
ZYVdzdIZ
dzVd =−=2
2
ZYIdzdVY
dzId =−=2
2
Vdz
Vd 22
2γ=
Idz
Id 22
2γ=
))(( CjGLjRZY ωωγ ++== , constante de propagação complexa da LT.
É interessante uma comparação com a expressão da constante de propagação no caso da onda plana ilimitada propagando-se num meio com perdas dielétricas:
Percebe-se que ambas são idênticas, a menos do parâmetro R, bastando usar a correspondência entre (L, G, C) com (μ, σd, ε). Deve ser lembrado que a onda plana do Capítulo 2 se propagava num meio dielétrico homogêneo e, portanto, isento de porções metálicas que poderiam dar origem a algum parâmetro correspondente a R (que daria origem a perdas ôhmicas), qual seja, uma condutividade σc.
(0 ).( )dj jγ ωμ σ ωε= + +
Equações (diferenciais ordinárias) que governam a LT (equações de telegrafistas):
Derivando em relação a z:
Em geral, γ é um número complexo, que costuma ser representado por:
A solução de primeira equação diferencial de segunda ordem, em termos de onda de tensão V(z), leva em conta a reciprocidade do sentido de propagação, ou seja, a onda pode se propagar indistintamente tanto no sentido +z quanto −z.
onde V0 e V1 são constantes que devem ser determinadas a partir das condições de contorno nos acessos da LT.
Portanto, α é o fator de atenuação [Np/m] e β é o fator de fase [rad/m].
A exponencial com argumento corresponde à onda que se propaga no sentido +z, a qual também foi designada por V+(z); a exponencial com corresponde à onda no sentido –z, a qual foi designada por V-(z).
Ambas as parcelas poderão estar presentes na solução geral quando, por exemplo, uma onda incidente colidir com algum obstáculo, gerando-se uma onda refletida contra-propagante.
βαγ j+=
Vdz
Vd 22
2γ= I
dzId 22
2γ=
zz eVeVzV γγ +− += 01)( )()( zVzV −+ +=
)( zγ−)( zγ+
A onda de corrente também tem a forma anterior, contudo, a fim de se evitar criar mais duas constantes, é preferível deduzi-la conforme:
a qual também foi escrita em termos de uma parcela propagante, I+(z), e outra contra-propagante, I-(z).
A seguir, serão deduzidas as expressões para as velocidades de propagação e o comprimento de onda na linha TEM.
Estas grandezas são definidas considerando-se apenas a porção incidente da onda de Tensão de (onda progressiva), desconsiderando-se quaisquer efeitos de reflexão (e consequente formação de onda estacionária), qual seja:
Ondas como estas pertencem a classe de ondas estudas no Capítulo 1, e assim, a dedução dos parâmetros acima dependem apenas da fase instantânea .
Vdz
Vd 22
2γ= I
dzId 22
2γ=
+−=−= +− ][1101
zz eVeVdzd
ZdzdV
ZI γγ
zz eVeVzV γγ +− += 01)( )()( zVzV −+ +=
][)( 01zz eVeV
ZzI γγγ +− −= )()( zIzI −+ +=
zjzz eeVeVzV βαγ −−−+ == 11)(
zti βωφ −=
Usando de analogia com a onda unidimensional (ou com a onda plana), obtêm-se:
a) Velocidade de fase:
b) Velocidade de grupo:
a) comprimento de onda :
Exemplo: Uma linha bifilar tem R=6,4 Ω/km, L=2,3 mH/km, G=0,2 μS/km e C=5,1 nF/m. Desenhar os gráficos de velocidades de fase e de grupo em função da frequência.
Solução: Trata-se de uma linha com perdas razoavelmente elevadas. Neste caso, nenhuma das aproximações acima é recomendável. Assim:
βω=pv
)/(1
ωβ ∂∂=gv
βπλ 2=g
)()()(
22222222 LCRGCGLR
v pωωω
ωβω
−−++==
])()(2)2[(
)()(42222222222222
2222221
CGLRLCCLLGCRv
CGLRddv
pg
ωωω
ωωωβ
+++++
++=
=
−
(continua...)
vp
vg
Como se observa, a velocidade de fase pode exceder a velocidade da luz no vácuo. Entretanto, este fato não viola o postulado da relatividade pois nestas condições vg não mais representa a velocidade do fluxo de energia.
zoom
(continua...)
Como o sistema exibe severas perdas de potência, torna-se uma LT dispersiva, e assim, a velocidade de fase varia com a frequência, a não ser em baixas frequências, onde é quase-TEM e ambas as velocidades são aproximadamente iguais e constantes (círculo azul).
zoom
vp
vg
#
Ainda considerando-se apenas a parcela de onda de corrente incidente tem-se
e então, dividindo pela onda de tensão incidente resulta
cuja unidade dimensional é ohms.
Por causa disso, define-se a impedância característica da LT como:
É interessante comparar as expressões dessa impedância característica com a impedânciaintrínseca para onda plana, η, estudada no Capítulo 2:
Usando-se a correspondência entre (L, G, C) com (μ, σd , ε), percebe-se que são idênticas, a menos do parâmetro R.
zz eVeVzV γγ +− += 01)( )()( zVzV −+ += ][)( 01zz eVeV
ZzI γγγ +− −= )()( zIzI −+ +=
zeVZ
zI γγ −+ = 1)(
γZ
zIzV =+
+
)()(
===YZ
ZYZZZ
γ0 CjGLjRZ
ωω
++=0
0 jjωμη
σ ωε+=+
CjGLjRZ
ωω
++=0][)( 01
zz eVeVZ
zI γγγ +− −= 0Z Z ZZ
YZYγ= = =
Em geral Z0 é um número complexo, contudo, em princípio, é possível obter Z0 real se R=G=0, ou seja, no caso de uma LT ideal, sem perdas ôhmicas ou dielétricas.
Usando as relações obtidas, pode-se reescrever I(z) como:
][1)( 010
zz eVeVZ
zI γγ +− −=
LTs
7 – ESTUDO DA FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃO
ESTUDO DA FUNÇÃO DE PROPAGAÇÃONesta seção, investiga-se o comportamento da constante γ para LTs ideal ou com perdas, ou seja, compostas de condutores e meios dielétricos ideais ou práticos:
Manipulando-se algebricamente esta equação, é possível isolar α e β, obtendo-se:
a) LT ideal
Na LT ideal, sem perdas ôhmicas ou dielétricas, tem-se R=0 e G=0, consequentemente
α=0
Quando um guia de ondas possui β variando linearmente com ω, diz-se que tal LT é não dispersiva, e, neste caso particular, a velocidade de fase torna-se:
a qual, em princípio, não depende da frequência.
βαωωγ jCjGLjR +=++= ))((
2/1222222
2))((
21
2
+++−= CGLRLCRG ωωωα
2/1222222
2))((
21
2
+++−= CGLRRGLC ωωωβ
LCωβ =
LCv p
1==βω
É interessante comparar estes resultados com aqueles da onda plana uniforme:
e
Ou então, substituindo os valores de L e C do cabo coaxial em vp,
e :
O mesmo resultado é obtido para a linha bifilar (mostrar isto!).
Além disso, derivando-se em relação à β, conclui-se que a velocidade de grupo é igual a:
a qual informa que vp = vg na linha TEM.
Ou seja, a velocidade de fase da onda em qualquer frequência individual é igual à velocidade da informação em banda passante.
Esta é uma propriedade inerentes à todas as linhas de transmissão sem dispersão.
pg vLCd
dv ==
=
− 11
ωβ
LCωβ = LCv p
1==βω
β ω με=1
pv ωβ με
= =
)/ln(21 abLπ
μ=)/ln(
2ab
C πε=1 1
pvLC
ωβ με
= = =
b) LT com baixas perdas
Uma LT com baixas perdas é caracterizada por R<<ωL e G<<ωC:
Aplicando-se a série binomial , para conclui-se que:
e daí
= perdas nos condutores + perdas cielétricas
A expressão de β para a LT com pequenas perdas é aproximadamente igual à da LT ideal, e assim, as velocidades de fase e de grupo são aproximadamente iguais.
βαωωγ jCjGLjR +=++= ))((
βαω
ωω
ωγ jCj
GCjLj
RLj +=
+
+= 11
...2/11 ++≅+ xx 1<x
+
+≅
CjRCj
LjRLj
ωω
ωωγ
211
βαω
ωωω
ω jLC
RGLCjC
GL
RLC +=
−+
+≅ 24
122
CLG
LCR
22+=α
LCLC
RGLC ωω
ωβ ≅
−= 241
c) LT casada e não-distorcenteNeste item, é interessante escrever:
a partir da qual mostra-se que:
Da teoria de Princípios de Comunicações sabe-se que, para ocorrer transmissão sem distorção de uma onda com forma geral: , é necessário que a amplitude seja constante e a fase varie linearmente com (−ω), ou seja, que:
para cada valor de z, onde K1 e K2 são constantes.
Substituindo α e β na primeira equação do sistema, resulta:
Substituindo estas últimas na segunda equação do sistema:
βαωωγ jCjGLjR +=++= ))((
αββαβαγ 2)()( 2222 jj ++=+= ))(( CjGLjR ωω ++=
LCRG 222 )( ωβα −=+)(2 RCLG += ωαβ
zjzee βα −−
1K=αωβ 2K=
RG=αLCωβ =
+= )(2 RCLELCRG ωω ++= LGRCRCLGRGLC 2)()(4 22
+= )(2 RCLELCRG ωω ++= LGRCRCLGRGLC 2)()(4 22
=− 0)( 2RCLG RCLGGC
RL ==
LCωβ =
RG=α
a condição para se estabelecer uma linha de transmissão não distorcente.
Como se observa, se a LT é sem perdas, ocorre R=G=0, e então, a relação acima é automaticamente satisfeita, informando-se que a LT ideal é não distorcente.
No caso de LT não distorcente, porém, com perdas, ocorre , como no caso da LT ideal ou da LT com pequenas perdas; neste caso, a LT também é não dispersiva.
Contudo, a constante de atenuação não é nula, valendo , e assim, tem-se uma maneira de se fabricar uma LTs com pequenas perdas, mas não dispersivas e não distorcentes.
Esta regra é utilizada pelos fabricantes de cabos práticospara RF e microondas.
8 – ESTUDO DA IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA
No caso geral da LT com perdas, a impedância característica é um número complexo:
sendo R0 e X0 números reais, e a partir da qual se obtém
Resolvendo-se o sistema acima para R0 e X0, conclui-se que:
Por inspeção desta última, verifica-se que os fatores e são positivos, e, consequentemente, quem estabelece o sinal algébrico de X0 deve ser o fator (LG−RC).
Com isso, se LG>RC, então, X0 >0, correspondente a uma reatância indutiva; por outro lado, se LG<RC, então, X0 <0, uma reatância capacitiva.
000 jXRCjGLjRZ +=
++=
ωω
222
22
02
0 CGLCRGXR
ωω
++=−
22200)(2
CGRCLGXR
ωω
+−=
0)(2
))(()(2/1
222
2222222
0 ≥
+
++++=
CGCGLRLCRG
Rω
ωωω
2/1
222
2222222
0 )(2))(()(
+
++++−±=
CGCGLRLCRG
Xω
ωωω
02R 222 CG ω+
a) Linha sem perdas No caso da LT ideal, sem perdas, substitui-se R=G=0, obtendo-se
a qual é puramente real.
b) Linha com pequenas perdas Uma LT prática, com pequenas perdas, é caracterizada por R<<ωL e G<<ωC. Nesta situação, a partir da definição, pode-se mostrar que:
sendo que R0 se aproxima do ideal, e, X0 deve ter um valor muito pequeno.
000 jXRCjGLjRZ +=
++=
ωω
CLRZ == 00
CL
LCRG
CLR ≅+≅ 20 4ω
−≅
LR
CG
CLX
ω21
0
000 jXRCjGLjRZ +=
++=
ωω
c) Linha sem distorçãoConsidere-se uma LT com pequenas perdas, na qual a condição de transmissão sem distorção, é satisfeita.
Aplicando-se esta condição à relação conclui-se que X0=0.
Consequentemente, a LT sem distorção tem resistência dada por:
Z0=0+jX0 ≅
Este resultado é muito importante, pois informa que é possível se construir uma LT prática, com pequenas perdas, mas com Z0 real, desde que a condição de transmissão sem distorção seja satisfeita.
0// =− LRCG
−≅
LR
CG
CLX
ω21
0
CL
9 – COEFICIENTE DE REFLEXÃO NA LT
Considere-se o esquema de LT de comprimento mostrado na figura abaixo:
Fonte
A impedância característica da linha é Z0, a carga é ZL e o sistema opera em regime permanente.
Será mostrado a seguir que, se Z0 ≠ZL, parte da onda incidente sofre reflexão ao atingir a carga.
As tensões Vi e Vr correspondem às ondas incidente e refletida na posição da carga, z= , respectivamente.
A tensão sobre a carga é VL e a corrente que a atravessa é IL.
Na posição da carga, z= , a onda de tensão torna-se:
sendoe
1 0( ) ( ) ( )L i rV z V V e V e V z V z V Vγ γ− + + −= = = + = = + = = +
γ−+ === eVzVVi 1)( γeVzVVr 0)( === −
zz eVeVzV γγ +− += 01)( )()( zVzV −+ +=
Por sua vez, a onda de corrente em z= torna-se:
Define-se o coeficiente de reflexão na carga como
Considera-se que a carga em z= seja concentrada, isto é, seja pontual em z.
Nestas condições, vale a lei de Ohm: , e assim
][1)( 010
zz eVeVZ
zI γγ +− −= γ−+ === eVzVVi 1)( γeVzVVr 0)( === −
1 00 0 0
1( ) [ ] ( ) ( ) i rV VI z V e V e I z I zZ Z Z
γ γ− + + −= = − = = + = = −
γ
γ
−==ΓeVeV
VV
ri
rL
0
LLL IZV =
riLLL VVIZV +==
00 ZV
ZV
I riL −=
riLLL VVIZV +==
00 ZV
ZV
I riL −=
Resolvendo este sistema em termos de VL e IL , vêm
e portanto,
No caso geral, ΓL é um número complexo e, portanto, pode ser representado em termos de módulo e fase por:
+=
+=
2200 ZZ
IIZV
V LL
LLi
−=
−=
2200 ZZ
IIZV
V LL
LLr
=Γi
rL V
V
0
0
ZZZZ
L
LL −
−=Γ
LjLL e φΓ=Γ
10 – IMPEDÂNCIA DE ONDA DA LT
Define-se a impedância de onda a uma certa distância z do início da LT, como
Define-se ainda o coeficiente de reflexão de tensão na posição z, pela razão entre as respectivas ondas refletida e incidente:
o qual pode ser reescrito como
tal que como esperado.
−+
== −
−
zz
zz
eVeVeVeV
ZzIzVzZ γγ
γγ
01
010)(
)()(
Z(z), Γ(z)
zz eVeVzV γγ +− += 01)(
][1)( 010
zz eVeVZ
zI γγ +− −=
z
z
eVeV
zVzVz γ
γ
−+
−==Γ
1
0
)()()(
=Γ −−
−
)(1
)(0)(
z
z
eeVeeV
z γγ
γγ)(2)( −Γ=Γ z
Lez γ
Lz Γ==Γ )(
)()( zVzV −+ +=
−+
== −
−
zz
zz
eVeVeVeV
ZzIzVzZ γγ
γγ
01
010)(
)()(
)(2)( −Γ=Γ zLez γ
−
+
=
−−
−−
z
zz
z
zz
eVeV
eV
eVeV
eV
ZzZ
γ
γγ
γ
γγ
1
01
1
01
0
1
1)(
Γ−Γ+=
)(1)(1)( 0 z
zZzZ
Como se observa, se Vr =0, não há onda refletida e GL = Vr /Vi =0. Isto acontece, por exemplo, quando a LT hipotética é infinita em extensão. Neste caso, Γ(z)=0, enquanto que Z(z)=Z0. Assim, Z0 pode ser interpretada como o valor de impedância que seria medida em um dado ponto da LT se esta fosse infinita.
Outra possibilidade para ΓL =0, ocorre quando ZL = Z0 . Neste caso, diz-se que a cargaZL está casada com a LT.
Destaca-se que as informações deduzidas até aqui não dependem de como a LT é excitada, ou seja, do gerador.
Z(z), Γ(z)
11 – PARÂMETROS MEDIDOS EM RELAÇÃO À CARGA
zz eVeVzV γγ +− += 01)(
)(0
)(1)( dd eVeVdV −−− += γγ
dz −=
γ−+ === eVzVVi 1)( γeVzVVr 0)( === −
dr
di eVeVdV γγ −+=)(
)()( dL
di eeVdV γγ Γ+=
)()(0
dL
di eeZVdI γγ −Γ−=
Por conveniência (e por compatibilidade com a carta de Smith), é mais interessante medir V e I a partir da carga, uma vez que o comportamento em cada ponto da LT dependerá da impedância conectada como terminação.
Para isto, basta realizar uma mudança de variáveis, de z para d, a distância entre a carga e o ponto de observação, como esquematizado na figura abaixo:
Fonte Carga
Em relação à carga tem-se, :
→
Além disso, Vr =ΓLVi , e daí:
Analogamente, mostra-se que:
Com relação à impedância de onda, fazendo , obtém-se:
Dividindo por Vi:
Como deduz-se que
Finalmente:
−+
== −
−
zz
zz
eVeVeVeV
ZzIzVzZ γγ
γγ
01
010)(
)()(
dz −=
γ−+ === eVzVVi 1)( γeVzVVr 0)( === −
0( )d d
i r
d di r
V e V eZ d Z
V e V e
γ γ
γ γ−
+ = −
0( )d d
L
d dL
e eZ d Z
e e
γ γ
γ γ
−
−
+ Γ = − Γ
0
0
ZZZZ
L
LL −
−=Γ 0 0
00 0
( ) ( )( )( ) ( )
d dL L
d dL L
Z Z e Z Z eZ d ZZ Z e Z Z e
γ γ
γ γ
−
−
+ + −= + − −
00
0
( ) ( )( )( ) ( )
d d d dL
d d d dL
Z e e Z e eZ d ZZ e e Z e e
γ γ γ γ
γ γ γ γ
− −
− −
+ + −= − + + 0
00
cosh senhsenh cosh
L
L
Z d Z dZZ d Z d
γ γγ γ
+= +
00
0
tgh( )tgh
L
L
Z Z dZ d ZZ Z d
γγ
+= +
00
0
tgh( )tgh
L
L
Z Z dZ d ZZ Z d
γγ
+= +
No caso de LT sem perdas (α=0, γ=jβ), substituindo:
obtém-se que
Dividindo numerador e denominador por cos βd, vem
A expressão da impedância de onda para meios sem perdas e medida em relação à carga.
cosh cosh cossenh senh sen
d j d dd j d j d
γ β βγ β β
= = = =
00
0
cos sen( )cos sen
L
L
Z d jZ dZ d ZZ d jZ d
β ββ β
+= +
00
0
tg( )tg
L
L
Z jZ dZ d ZZ jZ d
ββ
+= +
00
0
tg( )tg
L
L
Z jZ dZ d ZZ jZ d
ββ
+= +
00 0
0
0 tg( ) tg0 tg
jZ dZ d Z jZ dZ j d
β ββ
+= = + 2g
d dπβλ
=
4gλ
2π
4gλ
2gλ
2π
4gλ 2
L C
L C
j X XZjX jX−= = ∞
−
Exemplo: LT sem perdas e com carga em curto-circuito, ZL=0
Fazendo ZL=0 na equação de Z(d), vem
sendo .
Se 0 < d < → 0 < βd < → tg βd é positivo → Z(d) é imaginário positivo → indutivo
Se < d < → < βd < π → tg βd é negativo → Z(d) é imaginário negativo → capacitivo
a) ressonâncias paralela
Se d = → Z(d) = ∞ → , quando XL=XC →
b) ressonâncias série
Se d = → Z(d) = 0 → , quando XL=XC →
jXL
jXC
2gλ jXLjXC
0L CZ jX jX= − =
00 0
0
0 tg( ) tg0 tg
jZ dZ d Z jZ dZ j d
β ββ
+= = +
2g
d dπβλ
=
Z0 tg βd
0π/2π3π/22πβd
d
indu
tivo
capa
citiv
o
ressonânciaparalela
ressonânciasérie
curto-circuito
indu
tivo
indu
tivo
capa
citiv
o
capa
citiv
o
Observa-se que a impedância de onda para uma carga em curto-circuito é imaginária pura.
Importante:um curto-circuito (ZL=0), auma distância de λ/4, évisto como um aberto (Z=∞).
0π/2π3π/22πβd
d
indu
tivo
capa
citiv
o
ressonânciaparalela
ressonânciasérie
V
V
V
V
V
V
V
V
Resultados obtidos para uma frequência fixa.
00
0
tg( )tg
L
L
Z jZ dZ d ZZ jZ d
ββ
+= +
0
0 00
1 tg( ) cotg
tgL
L
Zj dZZ d Z jZ dZ j d
Z
ββ
β
+ = = − + 2
g
d dπβλ
=
4gλ
2π
4gλ
2gλ
2π
Exemplo: LT sem perdas e com carga em aberto, ZL=∞
Fazendo ZL=∞ na equação de Z(d), vem
sendo .
Se 0 < d < → 0 < βd < → cotg βd > 0 → Z(d) é imaginário negativo → capacitivo
Se < d < → < βd < π → cotg βd < 0 → Z(d) é imaginário positivo → indutivo
Novamente, a impedância de onda para uma carga em aberto é imaginária pura.
0
0 00
1 tg( ) cotg
tgL
L
Zj dZZ d Z jZ dZ j d
Z
ββ
β
+ = = − +
2g
d dπβλ
=
π/2π3π/22πβd
d
indu
tivo
capa
citiv
o
ressonânciasérie
ressonânciaparalela
−jZ0 tg βd
circuitoaberto
capa
citiv
o
capa
citiv
o
indu
tivo
indu
tivo
Importante:um circuito aberto (ZL= ∞), auma distância de λ/4, évisto como um curto (Z=0).
π/2π3π/22πβd
d
indu
tivo
capa
citiv
o
ressonânciasérie
ressonânciaparalela
capa
citiv
o
capa
citiv
o
indu
tivo
indu
tivo
V
V
V
V
V
V
V
V
Resultados obtidos para uma frequência fixa.
d
12 – FORMAÇÃO DE ONDA ESTACIONÁRIA
Para LT com baixas perdas (α=0): γ=jβ
A tensão instantânea será:
a equação de uma onda estacionária.
( ) ( )j d j j di LV d V e e eβ φ β−= + Γ { }(2 )1 Lj dj d
i LV e e β φβ − −= + Γ
{ }tjedVtdv ω)(Re),( =
{ }(2 )( )( , ) Re [1 ]Ljj d ti Lv d t V e e β φβ ω − −+= + Γ
cos( ) cos[ ( )]i i L LV t d V t dω β ω β φ= + + Γ − −
{ }( 2 )( )Re Lj tj d ti i LV e V e ω β φβ ω − − ++= + Γ
cos cos sen sencos( )cos sen( )sen
i i
i L L i L L
V d t V d tV d t V d t
β ω β ωβ φ ω β φ ω
= −+ Γ − + Γ −
( , ) [cos cos( )]cos [sen sen( )]seni L L i L Lv d t V d d t V d d tβ β φ ω β β φ ω= + Γ − − − Γ −
)()( dL
di eeVdV γγ Γ+=
LjLL e φΓ=Γ
d
A onda global, resultado da superposição da onda incidente com a onda refletida, se propaga para a direita:
onda incidente: onda refletida:onda global:
v(d)
1 0,5 0
( , ) [cos cos( )]cos [sen sen( )]seni L L i L Lv d t V d d t V d d tβ β φ ω β β φ ω= + Γ − − − Γ −
( , ) [cos cos( )]cos [sen sen( )]seni L L i L Lv d t V d d t V d d tβ β φ ω β β φ ω= + Γ − − − Γ −
O gráfico de v(d,t) em função de λ, desenhado em diversos instantes de tempo, é mostrado na figura abaixo:
123
45 6
789
10
Percebe-se um movimento da onda resultante, da esquerda para a direita, porém, sua amplitude varia no tempo.
v(d)
d
t0=0t1>t0
t2>t1
t3>t2
t4 t5t6
t7
t8
t9
t10
2 1,5 1 0,5 0
Um fato importante é que a envoltória desses gráficos permanece estacionária no espaço, daí, o nome de ‘onda estacionária’.
v(d)
d
t0=0t1>t0
t2>t1
t3>t2
t4 t5t6
t7
t8
t9
t10
2 1,5 1 0,5 0
ADENDO: Cálculo da EnvoltóriaConsidere-se a seguinte forma de onda:
a qual deseja-se escrever como:
sendo C a ‘envoltória’ e D uma defasagem.
A partir daí, conclui-se que: e
e assim, obtém-se o sistema
Consequentemente,
e portanto, a envoltória é dada por:
Esta definição está em concordância com a envoltória de sinais passa-banda*, como os modulados em AM, por exemplo, como estudado no curso de Princípios de Comunicação.___________________________________________*Carlson, A.B. and Crilly, P. B., Communication Systems, McGraw-Hill, 5th. Ed., 2010. #
( , ) [cos cos( )]cos [sen sen( )]seni L L i L Lv d t V d d t V d d tβ β φ ω β β φ ω= + Γ − − − Γ −
tBtAtv ωω sencos)( +=( ) cos( )v t C t Dω= +
DCA cos= DDB sen=2 2 2 2 2A B C C A B
B BtgD D arctgA A
+ = → = +
= → =
2 2( ) cos( )Bv t A B t arctgA
ω= + +
2 2( )v t A B= +
( , ) [cos cos( )]cos [sen sen( )]seni L L i L Lv d t V d d t V d d tβ β φ ω β β φ ω= + Γ − − − Γ −
Portanto, a envoltória de onda estacionária na LT será:
ou então
22 2
1/222 2
( ) cos cos ( ) 2 cos cos( )
sen sen ( ) 2 sen sen( )
i L L L L
L L L L
V d V d d d d
d d d d
β β φ β β φ
β β φ β β φ
= + Γ − + Γ −
+ + Γ − − Γ − 1/22( ) 1 2 cos[ ( )]i L L LV d V d dβ β φ = + Γ + Γ + −
Different waves:
1/22( ) 1 2 cos(2 )i L L LV d V dβ φ = + Γ + Γ −
V
βd
⏐V(d) ⏐
⏐V ⏐max
⏐V ⏐min
0
Load
V
Different waves:
1/22( ) 1 2 cos(2 )i L L LV d V dβ φ = + Γ + Γ −
V
βd
⏐V(d) ⏐
⏐V ⏐max
⏐V ⏐min
0
Load
V
A envoltória de onda estacionária de tensão terá os seguintes máximos e mínimos:
a)
b)
para n=0, 1, 2, ...
max(2 ) 2 (1 )L i Ln V Vβ φ π− = → = + Γ
max(2 ) (2 1) (1 )L i Ln V Vβ φ π− = + → = − Γ
Mostra-se também, que a onda estacionária de corrente é dada por:
A envoltória de onda estacionária na LT terá os seguintes máximos e mínimos:
a) ;
b) para n=0, 1, 2, ...
1/22
0
( ) 1 2 cos(2 )iL L L
VI d dZ
β φ = + Γ − Γ −
max0
(2 ) 2 (1 )iL L
Vn IZ
β φ π− = → = − Γ
max0
(2 ) (2 1) (1 )iL L
Vn IZ
β φ π− = + → = + Γ
Generator LoadEnergy flux
Nos locais (d) onde tem-se máximo de tensão ocorre mínimo de corrente, e vice-versa.
max
min
11
1L
L
VSWR
V+ Γ
= = ≥− Γ
11
+−=Γ
SWRSWR
L
1/22( ) 1 2 cos(2 )i L L LV d V dβ φ = + Γ + Γ −
Definição: coeficiente de onda estacionária (SWR – Standing Wave Ratio)
→
A partir daí:
Slotted line:
1/22
0
( ) 1 2 cos(2 )iL L L
VI d dZ
β φ = + Γ − Γ −
Analogamente, para onda de corrente:
→
ou seja, o mesmo resultado obtido anteriormente.
Além disso,
e também
max
min
11
1L
L
ISWR
I+ Γ
= = ≥− Γ
1/22( ) 1 2 cos(2 )i L L LV d V dβ φ = + Γ + Γ −
max0
max
0
(1 )
(1 )
i L
iL
V VZ
I VZ
+ Γ= =
+ Γ
min0
min
0
(1 )
(1 )
i L
iL
V VZ
I VZ
− Γ= =
− Γ
MEDIÇÃO DE TAXA DE ONDA ESTACIONÁRIA
posição da carga
linha de transmissão
O guia fendido (slotted line): sondas de tensão (V) e de corrente (I)Medição de SWR (VSWR ou ISWR)
V I
V I
O guia fendido (slotted line): sondas de tensão (V) e de corrente (I)Medição de SWR (VSWR ou ISWR)
V
I
I
I
A fim de se realizar medições com acurácia, quando os valores de SWR são superiores a 15, torna-se conveniente empregar um medidor de SWR (em vez de um simples voltímetro) acoplado ao guia fendido.
Medição de VSWR
Medidor de ponteiros cruzados: são medidos a potência incidente, a potência refletida e o SRW.
Medição vetorial de VSWR
Medidor digital: são medidos a potência incidente e o SRW.Permite medir valores pequenos (menor que 1) e grandes (maiores que 15) de SWR.
Medição vetorial de VSWR
Medidor analógico (ponteiros cruzados) e digital (display): são medidos a potência incidente, a potência refletida e o SRW.Permite medir valores pequenos (menor que 1) e grandes (maiores que 15) de SWR com grande sensibilidade.
Exemplo : Linha em curto-circuito, ZL=0
ou seja
Para onda de tensão:
em 2βd-φL = 2βd-π = 2nπ →
em 2βd-φL = 2βd-π = (2n+1)π →
envoltória
Envoltória: para 0 < βd< λg/2.
0
0
1 1 jLL
L
Z Z eZ Z
π±−Γ = = − =+
1,L Lφ πΓ = = −
max (1 ) 2i L iV V V= + Γ = 2 1 3, ,...2 2 2
nd d π πβ π β+ = → =
min (1 ) 0i LV V= − Γ = (2 1) , 2 ,...d n dβ π β π π= + → =
( , ) [cos cos( )]cos [sen sen( )]sen[cos 2cos( )]cos [sen 1sen( )]sen2 sen sen
i L L i L L
i i
i
v d t V d d t V d d tV d d t V d d t
V d t
β β φ ω β β φ ωβ β π ω β β π ω
β ω
= + Γ − − − Γ −= + − − − −= −
( ) 2 seniV d V dβ=
βd 2π π 0
λg/2
⏐V(d)⏐
⏐V⏐max=2⏐Vi⏐
⏐V⏐min=0t=0
t>0 curtocircuito
(continua...)
λg/2
Para βd=π rad → → d=λg/2.2
g
π πλ
=
1LΓ = →1 1 11 1 1
L
L
SWR+ Γ += = = ∞− Γ −
Exemplo : Linha em curto-circuito, ZL=0
onda incidente:onda refletida:onda estacionária:
(continua...)
(continua...)
Z L
d
Z(d)
2 iV
02 /iV Z
d
indu
tivo
capa
citiv
o
ressonânciaparalela
ressonânciasérie
indu
tivo
indu
tivo
capa
citiv
o
capa
citiv
o
Uma carga em curto-circuito frequentemente é usada em medições acuradas de comprimentos de onda guiado.
λg/2 ####
0 0
0 0
1 / 11 /
L LL
L L
Z Z Z ZZ Z Z Z
− −Γ = = = ++ +
capa
citiv
o
indu
tivo
indu
tivo
capa
citiv
o
capa
citiv
o
indu
tivo
ressonânciaparalela
ressonânciasérie
2 iV
02 /iV Z
Z(d)
d
d
Z0 ZL
Exemplo : Linha em circuito aberto, ZL=∞
Neste caso, tem-se que: . De forma análoga ao
caso anterior, podem ser obtidos os seguintes gráficos:
#
Comparação (mantendo-se o comprimento da linha e variando a frequência)
Recorde-se que, um curto circuito visto a λ/4 em direção ao gerador, é visto como um circuito aberto, e vice-versa.
V VV
VV V
VV
V
V
V VV
VV
VV V
VV
VV
VV V
VV
V
13 – IMPEDÂNCIA DE ONDA:APLICAÇÕES PRÁTICAS
0( )d d
L
d dL
e eZ d Z
e e
γ γ
γ γ
−
−
+ Γ = − Γ
Para uma LT sem perdas (γ=jβ) e Z0 real, tem-se:
a) Em
e assim:, real
Ou seja, nos pontos de tensão máxima, Z(d) é puramente real e vale Zvmax=Z0.SWR.
b) Em
e assim:, real
Nos pontos de tensão mínima, Z(d) é puramente real e vale Zvmin=Z0/SWR.
( 2 )2
0 0 02 ( 2 )
11( )
1 1
L
L
j dj d j d j dLL L
j d j d j d j dL L L
ee e eZ d Z Z Z
e e e e
φ ββ β β
β β β φ β
−− −
− − −
+ Γ+ Γ + Γ = = = − Γ − Γ − Γ
( 2 ) 2max min(2 ) 2 , 1Lj d j n
L n V I e eφ β πβ φ π − −− = → → = =
max0 0
1( )
1L
VL
Z d Z Z SRW + Γ
= = − Γ
( 2 )min max(2 ) (2 1) , 1Lj d
L n V I e φ ββ φ π −− = + → → = −
min
00
1( )
1L
VL
ZZ d ZSRW
− Γ= = + Γ
Cargas reativas e transformadores de impedância
a) Toco ou stub
Um trecho de LT com ZL=0 ou ZL=∞ pode ser usado para introduzir um efeito reativo.
No caso de um curto-circuito:
Exemplo: Qual o comprimento de uma LT curto-circuitada e com Z0=100Ω para sintetizar uma carga reativa capacitiva igual a Z(d)=-j500 Ω?
-j520 = j100 tgβd → tgβd = -5,2 rad
tg θ = -5,2 rad → θ = -1,38 rad = -79,1º (ângulo negativo, comprimento negativo?)
#
0( ) tg ( )Z d jZ d jX dβ= = ±
Z L
d
2 1,38 0, 28 gg
d d dπβ π λλ
= = − → =
b) Transformador de λ/2
Dado um trecho de LT sem perdas, onde d=nλg/2 (múltiplo inteiro de λg/2), obtém-se:
Para ZL≠0, ocorre:
00
0
tg( )tg
L
L
Z jZ dZ d ZZ jZ d
ββ
+= +
2 2 tg 02
g
g g
d d n n dλπ πβ π β
λ λ= = = → =
00
0
0( ) ( )0 2
gLL
L
Z jZZ d Z Z n ZZ jZ
λ += → = +
λg/2λg/2λg/2λg/2
Z0Z0Z0Z0
2 LZ Zλ =
( ) LZ Zλ =LZLZ
LZ
(continua...)
( ) ( )2
gLZ d Z n Z
λ= =
#@%#!!!
antena
( ) ( )2
gLZ d Z n Z
λ= =
• Usado para reproduzir o valor da carga em pontos distantes da mesma, independen-temente de Z0 e ZL.
• Usado para medir impedâncias de antenas ou de cargas posicionadas em locais remotos ou de difícil acesso. #
Usar um cabo coaxial cujo comprimento é um múltiplo inteiro de λg/2, entre a antena e o Tx/Rx. #@%#!!!
antena
0
0
ZZZZ
L
LL −
−=Γ
50Ω
= 50Ω
50Ω
ADENDO: casamento de impedâncias (impedance matching)Conforme foi estudado, quando ZL ≠ Z0, resulta ΓL ≠ 0 e ocorre reflexão de onda na carga, que flui na LT de volta ao gerador. Isto forma onda estacionária, implica em desperdício de energia e, as vezes, pode provocar problemas ao gerador. Nesta situação, diz-se que existe descasamento de impedância entre carga e LT.
A fim de superar esse problema, a indústria de RF/microondas procura padronizar as impedâncias características das LTs, bem como as impedâncias de entrada ou de saída de instrumentos eletrônicos, objetivando o casamento entre os mesmos. Isto também representa uma grande simplificação no projeto dos sistemas.
Na figura ao lado, mostra-seum sistema padronizado naimpedância de 50 Ω.
Receptor super-heteródino
Obs: entre as antenas (300 Ω) e asLTs devem haver baluns (balancedunits) atuando como trasnformadoresde impedâncias, de 300 Ω para 50 Ω. #
00
0
tg( )tg
L
L
Z jZ dZ d ZZ jZ d
ββ
+= +
b) Transformador de λ/4
Dado um trecho de LT sem perdas, onde d=(2n+1)λg/4 (múltiplo ímpar de λg/4), obtém-se:
e assim
Exemplo: A fim de casar uma carga ZL=300 Ω, com uma LT, cuja impedância caracterís-tica é Z01=50 Ω (ou seja, Z01≠ZL), determinar a impedância característica de um trafode λ/4 (Z0) capaz de realizar este casamento.
Solução: Deve-se usar um trafo de λ/4 tal que, a impedância de entrada do conjunto carga+trafo, seja igual à impedância característica da LT, isto é:
2 2 (2 1) (2 1) tg4 2
g
g g
d d n n dλπ π πβ β
λ λ= = + = + → = ±∞
220 0 0
00
/ tg( ) ( ) ( )/ tg 4 4
g gLL
L L L
Z d jZ Z ZZ d Z Z Z ZZ d jZ Z Z
λ λββ
+= → = → = +
20
01 0 01( )4
gL
L
ZZ Z Z Z ZZ
λ= = → =
(continua...)
20
01 0 01( )4
gL
L
ZZ Z Z Z ZZ
λ= = → =
O trecho de cabo com comprimento λ/4 deve ter impedância característica Z0 igual à média geométrica entre ZL e Z01.
Assim a resposta é:
Problema: como 125,5 Ω não é um valor comercial, torna-se necessário sintetizar a LT com Z0 em tal valor; provavelmente, usando uma microstrip line. #
Z0=??1=50
ZL
0 300 50 125,5Z = × ≈ Ω
20( )
4g
L
ZZZ
λ=
Exemplo: Uma LT com comprimento igual a um quarto de comprimento de onda é terminada por um curto-circuito. Determinar a impedância de entrada desta LT.
Solução: para ZL=0, ocorre .
Portanto, um curto-circuito visto a λ/4 de distância se comporta como um aberto, independentemente de Z0. #
Exemplo: Uma LT com comprimento igual a um quarto de comprimento de onda é terminada por um aberto. Determinar a impedância de entrada desta LT.
Solução: para ZL=∞, ocorre , ou seja, um curto-circuito. #
Z L
d=λg/4
20( )
4g
L
ZZZ
λ=
20( )
4g
L
ZZZ
λ=
20( )
4 0g ZZ
λ= = ∞
20( ) 0
4g ZZ
λ= =
∞
Z L
d=λg/420( )
4g
L
ZZZ
λ=
ADENDO: Fator de redução de velocidade (velocity factor=VF)
Conforme deduzido em seções anteriores, a velocidade de fase da onda em uma LT TEM sem perdas e preenchida por vácuo (ou ar) é dada por:
sendo L0 e C0 as indutância e capacitância da LT preenchida por ar.
Contudo, se a LT for preenchida por algum dielétrico, tal velocidade diminui, em vista da variação da capacitância da estrutura:
sendo que VF é o fator de redução de velocidade da LT prática.
80 01/ 3 10 m/sc L C= = ×
C0 C
dielétricoεr, μr=1
C=εrC0
arεr=μr=1
C0
0 0
1, 1r rC LC L
ε μ= ≥ = =
0 0
1 1p
r r
cv cLC L C ε ε
= = = ≤ 1,pr r
cv c VF VFε ε
→ = = × =
(continua...)
Exemplo: Cabo coaxial
Sabe-se que as expressões de L e C do cabo coaxial são dadas, respectivamente, por*:
e , donde . Assim, pode-se
escrever que , onde VF está em torno de 0,66.
Também, que o comprimento de onda guiado é . #
Exemplo: Linha bifilar
Sabe-se que as expressões de L e C da linha bifilar são dadas, respectivamente, por*:
e , donde . Assim, pode-se
pode-se escrever que , onde VF está em torno de 0,80.
Também, que o comprimento de onda guiado é . #
_________________________________________________* Ver a seção 5.
00
2ln( / )
Cb aπε=0 0
1 ln( / )2
L b aμπ
=0 0 0 0
1 1 cL C μ ε
= =
pr
cv c VFε
= = ×
pg
v c FVf f
λ ×= =
00 ln( / )
Cd aπε=0
0 ln( / )L d aμπ
=0 0 0 0
1 1 cL C μ ε
= =
pr
cv c VFε
= = ×
pg
v c FVf f
λ ×= =
Exemplo: Supor um tele expectador de TV analógica que está com problemas devido a captação de sinal de interferência gerado por um operador de rádio-amador na bandaCB, na frequência de 27 MHz. A impedância de entrada da TV, bem como a do cabo bifilar (ribbon line), é igual a 300 Ω. O fator de velocidade no cabo é VF=0,8. Usando um transformador de quarto de onda, propor umasolução para o problema.
Solução: Sugere usar o transformador de quarto de onda como um filtro notch conectado a entrada de sinal na traseira da TV, que bloqueia a frequência de 27 MHz, porém, permite a passagem de todas as outras frequências, particularmente, as da banda de TV em VHF/UHF.
Conecta-se um cabo de comprimento d=λ/4, em aberto, à entrada da TV, e em paralelo com o alimentador que vem da antena. O cabo de l/4 capta o sinal em 27 MHz pelo terminal em aberto, porém, como ocorre conversão de aberto para curto-circuito no ponto de entrada da TV, tal sinal não entrará nos circuitos de recepção da TV. Por outro lado, como os sinais em VHF/UHF estão em diferentes frequências, o cabo não se comporta como transformador de l/4. Na prática, isto proporciona uma filtragem notchem torno de 20-25 dB na banda de 27 MHz.
A solução do problema consiste simplesmente em determinar o comprimento do cabo em 27,25 MHz, que é a frequência de HF no centro da banda CB:
#
8
61 3 10 0,8 2, 2 m
4 4 4 27, 25 10g pv VF
df
λ × × ×= = = =× ×
ribbon line
Exemplo: linha de λ/4 para polarizar transistores em amplificadores de microondas.
Conforme foi estudado em Eletrônica I, um amplificador pode ser estudado através da superposição de um circuito de polarização DC e um circuito AC. Em microondas, os modelos π e T híbridos para pequenos sinais não são mais válidos, mas sim, os modelos baseados em matrizes de espalhamento (S matrix).
Na figura abaixo ilustra-se o layout de um amplificador de microondas, que usa uma LT de λ/4 para polarizar a junção base-emissor diretamente.
Em AC, o capacitor CB curto circuita a linha de λ/4 para o terra; por outro lado, o choque de RF (RFC) torna-se um aberto. Assim, a linha de λ/4 converte o curto circuito na sua terminação em um aberto no terminal de base. Portanto, este trecho de linha não é percebido pelo transistor. Porém, em DC, os capacitores (CA e CB) estão em aberto e os choques de RF estão em curto circuito, permitindo que as fontes VBB e Vcc polarizem as junções base-emissordiretamente, e, base-coletor reversamente, respectivamente. #
Exemplo: supressão de segunda harmônica
Em uma LT casada, a frequência do sinal a ser transmitido é 150 MHz, e, é sabido que o transmissor está gerando um indesejável 2º. harmônico. Projetar uma estrutura para eliminar o efeito dessa componente indesejável. Considerar FV=1 por simplicidade.
Solução: em f=150 MHz, têm-se
1o. harmônico: λ1=c/f1=3×108/150×106 = 2 cm2o. harmônico: λ2=c/f2=3×108/300×106 = 1 cm
Portanto, λ1/4 = 50 cm e λ2/2 = 50 cm. Então, basta colocar na saída do gerador um stub de 50 cm em curto circuito:
Em λ1, o stub é um aberto, e a energia da 1ª. harmônica flui pela LT em direção à carga.
Porém, em λ2 o stub está em curto circuito, e assim, reflete o 2º. harmônico de volta ao gerador. Assim, esta componente não flui para a carga. #
ZL=Z0Z0
Z0Curtocircuito
λ1/4 = abertoλ2/2 = curto
Z0
Vg
Exemplo:
Nas figuras, mostra-se detalhesde um antigo sistema de radar, constituído por LTs, anteriorea era das microondas (guias de ondas).
(continua...)
(continua...)
(continua...)
#
•
•
ZL=0 50LZ ′ = Ω0 50Z = Ω
dZin
Exemplo: Uma LT casada tem Z0=50Ω, =400m, vp=200×106m/s e opera em f=100kHz. Medindo-se a impedância de entrada, obteve-se . Supondo-se que exista um curto circuito em algum ponto da linha, determinar sua localização. Considerar LT sem perdas.
Solução:
Na existência de um curto circuito na LT de comprimento , interpreta-se que existe uma nova LT, de comprimento d e carga . Neste caso,
com
Para
tem-se
Assim, a posição de um hipotético curto circuito seria: d=352,4m. #
100inZ = Ω
ZL=0
0( ) tgZ d jZ dβ= 36
2 2 100 3,14 10 rad/m100 10p p
f kv vω π πβ −= = = = ×
×
0( ) 100 tginZ d Z j jZ dβ= = =
1 13
0
1 1 100tg tg3,14 10 50
inZdZβ
− −−
= = ×
Zg
Vg
d
ZLZ0PL
Zin
0
Exemplo: Uma LT sem perdas tem Z0=250Ω, comprimento =2m, velocidade de fase vp=2,8×108m/s e opera em f=150MHz. Um gerador Vg=10V e impedância interna Zg=50Ω alimenta a LT, cuja carga é ZL=(120+j60)Ω. Calcular a potência útil entregue à carga.
Solução: ,
#
8
62,8 10 1,8667m150 10
pvf
λ ×= = =×
2 2 3,3659rad/m1,8667p p
fv vω π πβ = = = =
3,3659 2 6,7319radβ = × =0
00
tg( ) 176,89 157,7tg
Lin in in
L
Z jZZ Z d Z j R jXZ jZ
ββ
+= = = = + = + +
0 0,6087101 V, 36, 20 mA50 176,89 157,7
gj jg in
g in
VV e I e
Z Z j−= = = =
+ + +
2* * 21 1 1 1Re{ } Re{ } 176,89 (36, 20) 0,1159W2 2 2 2L in in in in in in inP V I Z I I R I= = = = × =
localização
•
•
•
•
•
•
(continua...)
Exemplo: Casamento de impedâncias com stub
Considere-se uma LT com Z0=50Ω, carga ZL=(150+j100)Ω e λg=80cm. Determinar a localização de um stub curto-circuitado que casa a carga à LT e que tenha o menor comprimento de cabo.Solução: Um stub em paralelo é capaz emular uma impedância de entrada reativa.
Estratégia: caminhar dT a partir da carga até se obter uma admitância Y(dT)=1/Z0+jB.
Usar um stub em curto, de comprimento T tal que, a susceptância de entrada seja
Ys( T)=-jB. Com isto, YT=Y(dT)+Ys( T)= 1/Z0+jB-jB=1/Z0, ou seja, ZT=1/YT=Z0.
A LT olha à frente de YTe verifica que está casada, não havendo onda refletida.
Como o stub não consome potência, toda a energia segue em frente, em direção à carga ZL.
O stub é uma carga reativa, e assim, não consomepotência.
•
•
(continua...)
(continua...)
(continua...)
(continua...)
####
14 – CIRCUITOS COM MICROSTRIP
Na figura abaixo são mostrados vários exemplos de LTs TEM (ou quase-TEM):
Dentre estes, será dado ênfase à microstrip line.
Estrutura e principais parâmetros de uma microstrip line:
Exemplo de um circuito típico em microstrip:
Transição entre o cabo coaxial e a microstrip line:
Ocorre alguma perda por inserção devido à assimetria das linhas de campo na microstrip.
Solda entre o cabo coaxial e a placa de microstrip:
Circuito prático:
Tipos de conectores utilizados com a microstrip line
Em geral, na faixa de microondas, são usados conectores do tipo SMA-Male-To-SMA-Female RF Coaxial Cable.
Tipos de conectores utilizados com a microstrip line
Estágio de entrada de um amplificador de microondas:
Topologia com circuito emmicrostrip:
Circuito amplificador prático semelhante (estágios de entrada e de saída):
Topologia de um amplificador de microondas em tecnologia microstrip – circuito AC:
Acoplamento multiestágiosde amplificadores em tecnologia microstrip –circuitos DC e AC:
Topologia de um amplificador de microondas em tecnologia microstrip – circuito completoDC + AC:
Layout da placa contendo o transistor e as linhas microstrip:
Fotografia do circuito prático:
Exemplo de circuito microstrip (switcher) usando diodos de microondas:
Circuito misturador (mixer) em tecnologia microstrip usando diodos de microondas:
Exemplos de filtros passa baixa em microlinha:
Exemplo de filtro passa banda em microlinha:
Exemplo de filtro rejeita faixa (2ª. harmônica) em microlinha:
Exemplo de acoplador bi-direcional em microlinha:
Exemplo de circuito dobrador de frequência em microlinha:
Exemplo de circuito multiplicador de frequência em microlinha:
15 – GERADOR E CARGA DESCASADOS COM A LT
~
Estas equações são usadas com grande frequência no projeto de moduladores em óptica integrada, por exemplo, chaveando luz em taxas tão elevadas quanto 40 Gbits/s.
No exemplo a seguir, ilustram-se exemplos desses moduladores:
Guia óptico Mach-Zehnder(difusão de Ti)
Eletrodos espessos de Au(electron plating)
Buffer-layerde SiO2
Fibra ópticamonomodo
Entrada de RF/microondas
Saída deRF/microondas
Suporte de Si(V-groovies)
Entrada ópticanão modulada
Saída ópticamodulada
Substratode LiNbO3
Na figura abaixo, ilustra-se um transmissor de sinais digitais em óptica integrada. Num chaveador óptico, a luz de um diodo laser é inserida numa fibra óptica, e daí, é acoplada a um guia óptico (cor vermelha) O feixe é dividida por uma junção Y, interage com o campo elétrico de microondas e sofre modulação de fase óptica entre os braços de um interferômetro de Mach-Zehnder. A recombinação dos feixes acontece na segunda junçãoY, onde a interferência entre os feixes produz modulação de intensidade óptica (ON/OFF). Esta luz está modulada pelo sinal de informação, e então, é acoplada à fibra óptica de saída para ser transmitida por centenas de km até o receptor. O campo de modulação de microondas se propaga pela LT em cor amarela, na qualas equações desenvolvidas nesta seção são aplicadas.As dimensões físicas transversais do canal óptico, bem como dos eletrodos de modulação são da ordem de alguns μm.
A modulação ocorre via efeito eletro-óptico em cristal de niobato de lítio, no qual a informação do campo de microondas é transferida para o domínio óptico.
Os quatro acessos são disponíveis para se acoplar os geradores e cargas.
Na figura a seguir ilustram-se as dimensões físicas de um desses moduladores ópticos, para operação em 10 Gbits/s e 20 Gbits/s. Em geral, são usados para enlaces inter-continentais, com capacidade para transmitir os dados de um país inteiro.
16 – RELAÇÕES DE POTÊNCIA NA LT
,
, :
É importante ressaltar que T relaciona a potência entregue à carga, P( ), com a potência disponível no gerador, P0 e não com a potência entregue na entrada da LT.
(continua...)
a equação para o fator de trasnferência T :
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THE END
