OBJETO EDUCACIONAL DEFINITIVO 1 - UFRJ Macaé · 2019. 8. 19. · ,5$1 )(55(,5$ 2625,2 6(48Ç1&,$...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

IRAN FERREIRA OSORIO

SEQUÊNCIA DIDÁTICA PROPOSTA PARA ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA A PARTIR DE HQ

MACAÉ – 2019

i

IRAN FERREIRA OSORIO

SEQUÊNCIA DIDÁTICA PROPOSTA PARA ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA A PARTIR DE HQ

Produto Educacional associado à Dissertação de Mestrado de Iran Ferreira Osorio apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Campus Macaé-RJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ensino de Física. Orientador: Prof. Dr. Antonio Candido de Camargo Guimarães

MACAÉ – 2019

ii LISTA DE ABREVIATURAS

CAPAA – Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada. HQ – Histórias em Quadrinhos. OE – Objeto Educacional. TRR – Teoria da Relatividade Restrita.

LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Vagão movendo-se para a direita com velocidade V ................................ 10 Figura 2 - Referenciais inerciais S e S' ...................................................................... 13 Figura 3 - S e S' do ponto de vista de S' ................................................................... 14 Figura 4 - História em Quadrinhos base para as questões sobre Cinemática........... 21 Figura 5 - História em Quadrinhos base para as questões sobre Relatividade Galileana ................................................................................................................... 27 Figura 6 - Quarto quadrinho em destaque ................................................................ 29 Figura 7 - Sétimo quadrinho em destaque ................................................................ 30 Figura 8 - História em Quadrinhos base para as questões sobre Relatividade Restrita .................................................................................................................................. 34 Figura 9 - História em quadrinhos base para estudo da Dilatação do Tempo ........... 40 Figura 10 - História em quadrinhos base para estudo de Contração do Espaço ...... 45 Figura 11 - Nave Espacial da HQ .............................................................................. 46

iii SUMÁRIO

1 APRESENTAÇÃO .................................................................................................... 4 2 TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA E A PROPOSTA PARA O ENSINO MÉDIO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO .............................................................. 4 2.1 As habilidades e competências ............................................................................. 4 2.2 Contexto histórico e social: a nova visão de mundo .............................................. 5 2.3 Consequências da Teoria da Relatividade Restrita ............................................... 9 2.3.1 Relatividade da Simultaneidade ......................................................................... 9 2.3.2 Dilatação do tempo .......................................................................................... 10 2.3.3 Contração do espaço (ou contração de Lorentz) ............................................. 12 2.3.4 Velocidades relativas na TRR .......................................................................... 13 2.3.5 Equivalência massa-energia ............................................................................ 16 3 AULAS PROGRAMADAS ...................................................................................... 19 3.1 Aula 0 – Revisão de alguns conceitos de Cinemática ......................................... 19 3.2 Aula 1 – Física Clássica ...................................................................................... 26 3.3 Aula 2 – Teoria da Relatividade Restrita ............................................................. 33 3.4 Aula 3 (Primeira parte) – Dilatação do Tempo e Contração do Espaço .............. 39 3.5 Aula 3 (Segunda parte) – Dilatação do Tempo e Contração do Espaço ............. 44 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS .......................................................................... 49 APÊNDICE: HQ PARA ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA ........ 50

4 1 APRESENTAÇÃO

O seguinte material didático foi concebido com o objetivo de instrumentalizar o Ensino de Física de forma contextualizada, lúdica e atrativa para o aluno do Ensino Médio. O que vem a seguir é um possível roteiro de como utilizar as páginas de Histórias em Quadrinhos (HQ) no ensino da Teoria da Relatividade Restrita (TRR). Cada página aqui apresentada refere-se a um tema específico de aula. Elas foram idealizadas e desenhadas pelo professor para serem usadas como Organizador Prévio de uma aula Sob Medida, onde os alunos fazem uma leitura prévia de um texto e de uma página de HQ antes do momento da aula presencial. Entretanto, para este roteiro, sugere-se uma aplicação integralmente em sala de aula, devido a versatilidade do uso da HQ e maior facilidade de aplicação por depender de um número reduzido de recursos.

2 TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA E A PROPOSTA PARA O ENSINO MÉDIO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 2.1 As habilidades e competências

A Relatividade Restrita no Ensino Médio das Escolas Públicas do Estado do Rio de janeiro está prevista no Currículo Mínimo, um documento elaborado pela Secretaria de Estado de Educação com o objetivo de estabelecer uma harmonia em uma rede de ensino múltipla e diversa (Reis, 2012). Especificamente, propõe-se que a TRR seja abordada no 3º bimestre do 1º ano de ensino. Espera-se, neste programa, que ao final do bimestre os educandos possam desenvolver as seguintes habilidades e competências:

Compreender o conhecimento científico como resultado de uma construção humana, inserido em um processo histórico e social.

Compreender que a Teoria da Relatividade constitui um novo modelo explicativo para o Universo e uma nova visão de mundo.

Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos para fenômenos naturais ou sistemas tecnológicos.

Reconhecer os modelos atuais do Universo (evolução estelar, buracos negros, espaço curvo e Big Bang).

5 Compreender que o tempo e o espaço são relativos devido à

invariância da velocidade da luz. Reconhecer tecido espaço-tempo sendo o tempo a quarta dimensão. Construir o conceito de energia. Identificar a relação entre massa e energia na relação = . Partindo dos PCN (1997) e do próprio Currículo Mínimo (2012), o ensino de

Física, neste nível, deve formar cidadãos para o mundo contemporâneo. Neste sentido, devemos preparar os estudantes para compreender o seu cotidiano e a sociedade em que estão inseridos. Os tópicos abordados em TRR precisam ser orientados para o domínio de conceitos científicos e da lógica de construção de conhecimento. É importante ficar claro que a produção científica e o avanço tecnológico foram viabilizados através do diálogo entre cientistas, artistas, filósofos entre outros que permitiram a construção de uma nova realidade e um novo conhecimento sobre a natureza.

2.2 Contexto histórico e social: a nova visão de mundo

“Em 1900 Albert Einstein tinha 21 anos e era estudante na Escola Federal Politécnica de Zurich. Que esse jovem um dia se tornasse sinônimo de gênio era algo que não passava pela cabeça dos professores”. (VARGAS, 2008) Para redigir o texto e as equações matemáticas desta e das próximas seções

foi consultado o livro Eletrodinâmica, 3ª edição de David J. Griffiths, páginas 333 a 347 e o Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada, Física, 1ª Série, 3º Bimestre, Governo do Rio de Janeiro, Secretaria de Educação de Adriana Tavares Maurício Lessa e colaboradores, páginas 5 a 10; 12 a 17 e 25.

A teoria da relatividade proposta por Einstein mudou profundamente o nosso entendimento sobre o Universo. Suas conclusões sobre o tempo e o espaço contrariam totalmente o senso comum e o conhecimento acumulado por mais de vinte séculos pela humanidade. É preciso entender, portanto, como a física clássica os explicava anteriormente para então entender o impacto de suas mudanças.

A relação entre espaço e tempo é um dos primeiros assuntos apresentados para o aluno do ensino Fundamental que começa a estudar física, precisamente em Cinemática, com o conceito de velocidade. A física clássica, portanto, baseada no

6 senso comum, interpretava a composição de velocidades com a regra da adição de velocidades de Galileu. De modo que, se eu andar 1 m/s pelo corredor de um trem que está há 10 m/s, minha velocidade líquida em relação ao solo é, obviamente, 11 m/s se eu estiver no mesmo sentido do trem ou 9 m/s se estiver no sentido contrário. Vetorialmente podemos escrever

= + onde é a velocidade do trem, ′ é a minha velocidade com relação ao trem

e é minha velocidade com relação ao solo. Esta expressão permitiu relacionar o movimento entre dois referenciais

inerciais (em repouso ou em movimento retilíneo uniforme). Newton ampliou esta relação para as três leis que levariam seu nome, ou seja, elas são válidas para qualquer referencial inercial.

Dois dos princípios mais relevantes da mecânica é o princípio da conservação da quantidade de movimento – envolvendo o momento angular – e o princípio da conservação da energia mecânica, ambos desenvolvidos a partir das três leis de Newton. Dessa forma, se em um referencial inercial, a quantidade de movimento ou energia mecânica de um corpo se conserva, espera-se que em qualquer outro referencial inercial ocorra o mesmo. Assim se estabelece a validade das leis da mecânica para qualquer referencial inercial.

A partir de então, os físicos buscaram estabelecer a validade de todas as leis da física em qualquer referencial inercial. Entretanto, com o avanço do conhecimento sobre eletromagnetismo no final do século XIX, os cientistas se depararam com uma questão desconfortante: um mesmo fenômeno físico era explicado de diferentes formas dependendo do referencial inercial em questão.

Para exemplificar, imagine que você esteja participando de um jogo de sinuca, com as janelas fechadas, dentro de um vagão de trem. Seria impossível saber se o trem está parado ou se ele se move com velocidade constante1.

Entretanto, se o trem muda seu estado de movimento, seja ele de repouso ou de movimento retilíneo uniforme (MRU), sentiríamos a aceleração ou as bolas de

1Estamos considerando uma situação ideal, difícil de simular em nosso cotidiano, pois mesmo mantendo sua velocidade poderíamos sentir trepidações ou mesmo ouvir o barulho do deslocamento do trem e assim deduzir se ele está ou não em movimento.

7 sinuca desenhariam trajetórias estranhas e então teríamos evidências de que houve uma mudança no estado de movimento.

Nas duas situações, com movimento por inércia (repouso ou MRU) ou com movimento acelerado, as leis da mecânica são válidas, ou seja, podem ser explicadas pelo mesmo princípio: no primeiro caso não há força resultante atuando sobre o trem, já no segundo caso existe uma força resultante atuando sobre o trem, como trem sendo estudado sob o ponto de vista de qualquer referencial inercial.

Pois bem. Do eletromagnetismo, sabe-se que uma carga em movimento produz um campo magnético, enquanto que uma carga em repouso não. Mas então poderíamos ter uma carga produzindo campo magnético em um referencial inercial e em outro não. Dessa forma, não se estabeleceria a validade das leis do eletromagnetismo para qualquer referencial inercial.

Para os cientistas, a carga estaria em movimento em qualquer referencial inercial, até aquele em que ela estaria aparentemente em repouso, porque existiria um meio invisível chamado éter pelo o qual a carga se movia. Descobrindo a velocidade da luz para este referencial seria possível rever as leis do eletromagnetismo e concluir a validade das suas leis para qualquer referencial inercial.

O problema, então, seria determinar o movimento do trem através do éter. Para isso, nada melhor que usar a luz como objeto de estudo, pois já era conhecido que ela se propaga pelo vácuo à velocidade de 3,0 × 10 m/s relativa (presumidamente) ao éter.

Em princípio, portanto, deveria ser possível detectar o ‘vento do éter’ simplesmente medindo a velocidade da luz em várias direções. Como em um barco a motor em um rio, a velocidade líquida ‘a jusante’ deve ser máxima, já que aqui a luz é levada pelo éter; no sentido oposto, onde está enfrentando a corrente, a velocidade deve ser mínima.

Os físicos norte-americanos A. Michelson (1852 – 1931) e Edward W. Morley (1838 – 1923), usando um interferômetro óptico de imensa precisão, mediram a velocidade da luz em várias direções e constataram que ela é exatamente a mesma em todas elas2.

2 Mais detalhes em Cateli, F. Vicenzi, S. Interferômetro de Michelson, publicado no Caderno Catarinense de Ensino de Física, V 18, n1, abr. 2001.

8 Para explicar este resultado, o físico holandês H. A. Lorentz, em 1892, propôs

a hipótese da contração do comprimento dos objetos que se movem paralelamente ao “vento de éter”. Essa hipótese já havia ocorrido a Fitzgerald e ficou, portanto, conhecida como contração de Lorentz-Fitzgerald.

Entretanto, para Einstein, o resultado obtido por Michelson e Morley descartava a existência do éter. Para ele, a luz é uma constante universal, igual em todas as direções, independente do movimento do observador ou da fonte.

Baseado, então, no trabalho teórico de cientistas no estudo do eletromagnetismo, entre quais podemos destacar Christian Oersted (1771 – 1851), André – Marie Ampère (1775 – 1836), Michael Faraday (1791 – 1867), Joseph Henry (1797 – 1878), Maxwell (1831 – 1879), e das sugestões empíricas externas, como experimento de Michelson e Morlev, Albert Einstein, em 1905, formulou dois postulados:

1. O Princípio da Relatividade. As leis da física aplicam-se em todos os sistemas de referência inerciais.

2. A velocidade da luz. A velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os referenciais inerciais, independentemente do movimento da fonte.

Com o primeiro postulado, o problema original da assimetria aparente da carga em movimento, foi solucionado. Não importa se a carga gera um acampo magnético em um referencial inercial e em outro não, o que importa é o movimento relativo entre eles e, dessa forma, se estabelece a validade das leis da física para qualquer referencial inercial. Se para um observador a carga produz um campo magnético ao mesmo tempo em que para o outro não, que seja: o importante é que nos dois casos aparece uma força atuando sobre a carga de forma que os efeitos do fenômeno físico são equivalentes para os dois observadores em sistemas de referenciais inerciais distintos.

O segundo postulado estabelece que a velocidade da luz é constante para qualquer referencial inercial. Deste modo ela não segue a regra da adição de velocidades de Galileu. Este fato mudou completamente as noções sobre tempo e espaço, até então consagradas através de Newton. Para ele, tempo e espaço eram absolutos. Agora, com Einstein, a velocidade da luz que é absoluta, no vácuo ou em qualquer outro meio material – contanto que não mude esse meio – e o espaço e o tempo devem se adequar a ela.

9 2.3 Consequências da Teoria da Relatividade Restrita 2.3.1 Relatividade da Simultaneidade

Utilizaremos um experimento gedanken (imaginário) nesta seção, devido à impossibilidade de concebê-los de forma prática, mas que nos permitem entender melhor a consequência da TRR.

Imagine um vagão de trem com 600.000 de comprimento se movendo com uma velocidade de 150.000 / . Exatamente no centro deste vagão encontra-se pendurado uma lâmpada. Ao acendê-la, um observador dentro do vagão, dirá que a luz da lâmpada alcança a traseira e a dianteira do vagão simultaneamente, após 1 segundo da lâmpada ser acesa, pois a luz terá que percorrer 300.000 em ambas as direções. Já um observador no solo, dirá que a luz alcança a traseira primeiro, pois a luz para ele tem a mesma velocidade independente do referencial e,em 1 segundo, a traseira do trem já se deslocou 150.000 de encontro à luz. Caso queira saber o tempo necessário para a luz chegar até a traseira do trem, podemos escrever a função horária = (150.000 / ) para a posição da traseira do trem e a função horária = (300.000 ) − (300.000 / ) para a posição da luz emitida pela lâmpada que percorre em sentido oposto ao deslocamento da traseira do trem. Então

= (150.000 / ) = (300.000 ) − (300.000 / ) (150.000 / ) + (300.000 / ) = (300.000 )

(450.000 / ) = (300.000 ) = (300.000 )

(450.000 / )

= 23 .

Raciocinando de maneira análoga, a luz levaria mais tempo para chegar até a dianteira do vagão do trem, pois transcorrido 1 segundo após a emissão da luz, a dianteira estará mais distante 150.000 do ponto de partida da luz. Neste caso, a função horária para a posição da luz que percorre no mesmo sentido da dianteira do trem pode ser escrita como = (300.000 ) + (300.000 / ) enquanto que

= (600.000 ) + (150

trem. Novamente, fazemos

(300.000 ) + ((300.000 / )

Desta forma, podemos concluir que dois eventos que são simultâneos em um sistema inercial não são, em geral, simultâneos em outro. 2.3.2 Dilatação do tempo

Considerando agora que o nosso observador queira calcular o tempo que a luz emitida pela lâmpada leva para chegar até o chão do vagão, imediatamente abaixo dela. Então, basta fazer

onde ℎ é a altura da lâmpada em relação ao chão e Porém, se um observador no solo quiser fazer este cálculo, terá que ajustar a situação para sua perspectiva. Se o trem se move com uma velocidade v, para ele, a luz faz outra trajetória, como mostra a figura:

Figura 1 -

O tempo medido por ele deve ser

150.000 / ) é a função horária da posição da dianteira do trem. Novamente, fazemos

= (300.000 / ) = (600.000 ) + (150

− (150.000 / ) = (600.000 ) − ((150.000 / ) = (300.000 )

= (300.000 (150.000 / )

= 2 . Desta forma, podemos concluir que dois eventos que são simultâneos em um

sistema inercial não são, em geral, simultâneos em outro.

Dilatação do tempo

Considerando agora que o nosso observador queira calcular o tempo que a luz emitida pela lâmpada leva para chegar até o chão do vagão, imediatamente abaixo dela. Então, basta fazer

∆ = ℎ, ( ) é a altura da lâmpada em relação ao chão e é a velocidade da luz.

Porém, se um observador no solo quiser fazer este cálculo, terá que ajustar a situação para sua perspectiva. Se o trem se move com uma velocidade v, para ele, a

como mostra a figura:

- Vagão movendo-se para a direita com velocidade V

Fonte: O autor.

O tempo medido por ele deve ser ∆ = . ( )

10 é a função horária da posição da dianteira do

150.000 / ) (300.000 )

Desta forma, podemos concluir que dois eventos que são simultâneos em um

Considerando agora que o nosso observador queira calcular o tempo que a luz emitida pela lâmpada leva para chegar até o chão do vagão, imediatamente

é a velocidade da luz. Porém, se um observador no solo quiser fazer este cálculo, terá que ajustar a situação para sua perspectiva. Se o trem se move com uma velocidade v, para ele, a

se para a direita com velocidade V

11 Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos fazer o cálculo da distância

percorrida pela luz: = ℎ + ( ∆ ) . ( )

Substituindo ( ) em ( ), vem

∆ = ℎ + ( ∆ )

∆ = ℎ + ( ∆ ) ∆ = ℎ + ∆ ∆ − ∆ = ℎ ∆ ( − ) = ℎ

∆ = ℎ−

∆ =ℎ

1 −

∆ =ℎ

1 −

∆ = ℎ 11 −

∆ = ℎ 1

1 −. ( )

Finalmente, substituindo ( ) em ( ), temos:

∆ = 11 −

∆ . ( )

12 O fator = que aparece em ( )é conhecido como fator de Lorentz. Ele

relaciona o tempo ∆ de um evento medido pelo observador em movimento retilíneo uniforme com o tempo ∆ do mesmo evento medido por um observador que está em repouso. Importante destacar que > 1 o que implica dizer que ∆ > ∆ ′.

Apesar de fazer referência à velocidade da luz, a dilatação do tempo aplica-se a qualquer corpo em movimento em um referencial inercial analisado de outro referencial inercial. Observando o fator de Lorentz é fácil de ver que para ≪ ,

→ 0 e, desse modo, → 1. Devido às baixas velocidades dos corpos comparados com a velocidade da luz em nosso dia a dia, este efeito fica oculto para nós.

Deste modo podemos concluir que relógios em movimento andam mais devagar. 2.3.3 Contração do espaço (ou contração de Lorentz)

Suponha que alguém que está esperando o trem mede o comprimento da plataforma com uma trena e encontra a medida . Este é chamado comprimento próprio da plataforma, tendo sido medido no referencial em que está em repouso. Esta pessoa vê a frente do trem com velocidade constante atravessar a plataforma no intervalo de tempo ∆ concluindo então que

= . ∆ . (vi)

Este mesmo evento, para o observador que está no trem, dura ∆ ′, o que

significa dizer que, para ele, o comprimento da plataforma mede

= . ∆ . ( ) Dividindo (vi) por ( ), vem

= ∆∆ .

Sabendo que ∆

∆ =

O comprimento da plataforma

observador na plataforma, e quando é medido por um observador no trem. Dde vista de quem está no tremem movimento são encurtados. 2.3.4 Velocidades relativas na TRR

Dado dois referenciais inerciais S e S’, onde S’ moverelação a S, como mostra a figura, as coordenadas espaciais se relacionam a partir da expressão

Dividindo ( ) por

que é a regra de adições de velocidades de Galileu. Entretanto, admitindo que

L’ é a distância de X’ até a origem do referencial S’ temos que, neste ′ = ′. Porém, em S,

= da igualdade ( ), concluímos que

= . (

da plataforma não é o mesmo quando medido por um observador na plataforma, e quando é medido por um observador no trem. Dde vista de quem está no trem, ela é um pouco mais curta. Concluímos que objetos em movimento são encurtados.

Velocidades relativas na TRR

renciais inerciais S e S’, onde S’ move-se com velocidade relação a S, como mostra a figura, as coordenadas espaciais se relacionam a partir

= ∆ + . ( )

Figura 2 - Referenciais inerciais S e S'

Fonte: O autor.

por ∆ obtemos

= +

que é a regra de adições de velocidades de Galileu. Entretanto, admitindo que L’ é a distância de X’ até a origem do referencial S’ temos que, neste

′ sofreu contração e, consequentemente, a coordenada X’,

13

quando medido por um observador na plataforma, e quando é medido por um observador no trem. Do ponto

. Concluímos que objetos

se com velocidade V em relação a S, como mostra a figura, as coordenadas espaciais se relacionam a partir

que é a regra de adições de velocidades de Galileu. Entretanto, admitindo que L’ é a distância de X’ até a origem do referencial S’ temos que, neste referencial,

sofreu contração e, consequentemente, a coordenada X’,

de modo que, para S, deve ser escrita da seguinte forma:

e, portanto,

é a equação que fo

observador que está em S. Do ponto de vista de S’, é S que tem velocidade

contrário. Neste caso, raciocinando de maneira análoga, podemos escrever

Agora, é = que sofreu contração, então para S

A menos do sinal positivo de V, obtemos uma equação equivalente à

a coordenada X no referencial S para o observador em S’:

= . Podemos concluir que, relativisticamente falando, deve ser escrita da seguinte forma:

= ∆ + ′

= ( − ∆ ) ( )

é a equação que fornece o valor da coordenada X’ no referencial S’observador que está em S.

Do ponto de vista de S’, é S que tem velocidade V, porém com sentido contrário. Neste caso, raciocinando de maneira análoga, podemos escrever

= − ∆ + .

Figura 3 - S e S' do ponto de vista de S'

Fonte: O autor

que sofreu contração, então para S’, = . Logo

= − ∆ + .

menos do sinal positivo de V, obtemos uma equação equivalente à a coordenada X no referencial S para o observador em S’:

14 . Podemos concluir que, relativisticamente falando, ( )

rnece o valor da coordenada X’ no referencial S’ para o

, porém com sentido contrário. Neste caso, raciocinando de maneira análoga, podemos escrever

. Logo

menos do sinal positivo de V, obtemos uma equação equivalente à ( ) para

15 = ( + ∆ ′). ( )

Este resultado é útil, pois, substituindo ′ de ( ), vem

= ( − ∆ ) + ∆ ′ = ( − ∆ ) + ∆ ′ = − ∆ + ∆ ′

∆ = ∆ + (1 − ) . ( ) Observe que

1 − = 1 − 11 −

= 1 − − 11 −

= −− = − − = − −

= − 1− =

= − 11 −

= − .

Utilizando esta igualdade em ( ), podemos escrever

∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ = ∆ − .

Estamos agora em condições de escrever a regra de adição de velocidades

de Einstein. Se um corpo se move uma distância = ∆ em um tempo ∆ , ele tem, medido em S, velocidade

= ∆∆ .

Enquanto isso, em S’, ele se moveu uma distância ∆ = (∆ − ∆ ) em um

tempo

16 ∆ = ∆ − ∆ .

A velocidade em S’, portanto, é

= ∆ ′∆ ′ = (∆ − ∆ )

∆ − ∆ =∆∆ −

1 − ∆∆= −

1 − .

Usando um raciocínio análogo, porém do ponto de vista de S’, obtemos uma

fórmula equivalente, a menos do sinal positivo de , para a regra de velocidades de Einstein

= +1 + .

Perceba que para velocidades comuns, ≪ , resgatamos a regra de

adição de velocidades de Galileu: = + .

2.3.5 Equivalência massa-energia

A noção de “massa relativística” surgiu a partir da expressão matemática que define o momento linear relativístico de uma partícula material,

= . ( )

A equação ( ) foi obtida pela primeira vez por Max Plank (1906) no estudo

da ação de um campo eletromagnético sobre uma carga elétrica. Ela sugere uma interpretação para o fator que multiplica a velocidade V, como sendo o valor de uma espécie de “massa relativística”

= .

17 Esta noção difundiu-se dentro da comunidade científica, embora jamais

houvesse sido favorecida pelo próprio Einstein em seus artigos sobre a TRR. Apesar disso, a massa relativística acabou tornando-se tradicional no ensino de Física (OSTERMANN; RICCI, 2004).

Esta interpretação sugere que a massa não é mais uma propriedade exclusiva de uma partícula ou um corpo, mas um atributo físico que se modifica de acordo com o observador.

Entretanto, um problema com essa noção é que ele pode dar ao aluno a impressão de que os efeitos relativísticos são devido a algo que acontece com o corpo, assim como FitzGerald (1889) sugeriu em seu artigo “O éter e a atmosfera terrestre” em seu esforço para interpretar o resultado obtido por Michelson e Morley sem abandonar a hipótese da existência do éter.

Outra crítica que podemos fazer ao conceito de massa relativística é que ela induz a pensar que as expressões para outras grandezas mecânicas podem ser obtidas das correspondentes expressões newtonianas, pois se = é o momento linear clássico e = é o momento linear relativístico, então a partir da energia cinética clássica = poderíamos concluir que a energia cinética relativística é = , o que não é verdade, pois = − é a expressão correta para a energia cinética relativística, que aparece pela primeira vez no artigo de Einstein sobre a TRR (EINSTEIN, 1905a). A energia mecânica relativística, por sua vez, é dada por:

= . ( )

Esta expressão se reduz a

= . ( ) para um observador em repouso com relação à partícula, pois neste caso,

= 1. Para Ostermann & Ricci (2004) esta é a melhor notação para a “equivalência” massa – energia. Caso optemos por utilizar o conceito de massa relativística, simplificamos a expressão ( ) para = e temos que definir uma “massa de repouso” = para escrever a expressão ( ) como = .

18 A identificação não declarada de com a medida da inércia de um corpo,

segundo Ostermann & Ricci (2004), não é uma grandeza apropriada do ponto de vista formal, sendo portanto descartável em toda teoria da relatividade.

19 3 AULAS PROGRAMADAS

As habilidades e competências foram extraídas da literatura que vai servir de base para o estudo da TRR. Consiste em um material de apoio, em formato Portable Document Format (PDF) denominado de Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada (CAPAA) - 03, Governo do Rio de Janeiro - Secretaria de Educação, (LESSA A. T. M; et all. 2013). O referido material é composto por três aulas:

Aula 1 – Física Clássica. Aula 2 – Teoria da Relatividade Restrita Aula 3 – Dilatação do Tempo e Contração do Espaço Cada aula conta, ao final, com uma lista de exercícios. O caderno traz ainda

uma avaliação final e uma proposta de pesquisa. Para melhor compreensão das aulas foram elaboradas cinco páginas de HQ

com os seguintes temas: Cinemática – Relacionada com a Aula 0 (aula extra que serve de

revisão), presente neste OE. Relatividade Galileana – Relacionada com a Aula 1 do CAPAA. Relatividade Restrita – Relacionada com a Aula 2 do CAPAA. Dilatação do Tempo – Relacionada com a Aula 3 do CAPAA. Contração do Espaço – Relacionada com a Aula 3 do CAPAA. Espera-se, neste programa, que ao final do bimestre os educandos possam

desenvolver as seguintes habilidades e competências: Compreender que a Teoria da Relatividade constitui um novo modelo

explicativo para o universo e uma nova visão de mundo. Compreender que o espaço e o tempo são relativos devido à

invariância da velocidade da luz. 3.1 Aula 0 – Revisão de alguns conceitos de Cinemática

Objetivo: Rever alguns elementos do estudo do movimento sem se preocupar com as causas;

20 Conteúdo programático: Grandeza, unidade de medida, deslocamento,

espaço, variação de espaço, tempo, variação de tempo, velocidade média e aceleração.

Tempo: 2 aulas de 50 minutos. Introdução da aula (15 a 20 minutos) Sugere-se uma breve exposição dos seguintes exemplos. Eles podem ser

escritos na lousa ou impresso e entregue para os alunos acompanharem. Caso seja necessário utilize a lousa para desenvolver os cálculos.

Exemplo 1 Se a aula começou às 15 horas e terminou às 17 horas, a variação do tempo

foi de 2 horas. Este cálculo só foi possível porque utilizamos um relógio como instrumento de medida do tempo e o auxílio do cálculo matemático da diferença entre 17 e 15.

Exemplo 2 Para medirmos distâncias precisamos de réguas ou trenas. Se não pudermos

medi-la diretamente podemos utilizar marcadores numéricos grafados ao longo do caminho. Uma rodovia informa através de placas de sinalização a quantos quilômetros um automóvel se encontra do início dela. Caso precise medir a distância entre as placas de 23 e 50 (quilômetros) fazemos a diferença entre estes valores: 50 – 23 = 27 Km.

Exemplo 3 Caso eu saiba o valor d da distância entre 2 postes em uma rua e quiser

saber a distância D percorrida partindo de 1 poste e ultrapassando n postes basta fazer D = n.d.

21 Exemplo 4 O cálculo da velocidade média vem da razão entre duas medidas: d =

distância percorrida e t = tempo transcorrido (V= d/t). Leitura da HQ (5 a 10 minutos) Entregue a HQ Cinemática para os alunos. Caso haja dificuldade de

providenciar uma página para cada aluno disponha-os em duplas ou trios para a leitura. Pergunte a eles se estão familiarizados com esta literatura ou já tiveram contato com alguma HQ. Caso seja necessário, explique que tanto os balões quanto as caixas de diálogo estão sempre relacionadas com algum personagem da história e que a sequência de quadros tenta transmitir uma idéia de temporalidade.

Figura 4 - História em Quadrinhos base para as questões sobre Cinemática

Fonte: O autor

22 Contextualizando a HQ na aula (20 a 30 minutos) Após a leitura e as considerações iniciais, forme grupos com 4 a 6 alunos

para que discutam e respondam os seguintes questionamentos: 1) Quantos segundos se passaram entre o primeiro e o terceiro

quadrinho? (Observe o relógio do smartphone do personagem) Resposta: Esta questão é sobre o intervalo de tempo ∆ = − . Observando

a história, = 7 ℎ 48 min 1 pois são os números que aparecem no relógio desenhado no primeiro quadrinho e = 7ℎ 48 min 7 , pois são os números que aparecem no relógio desenhado no 3º quadrinho. Portanto, ∆ = 6 .

2) A calçada tem marcações em espaços iguais. Observando os três

primeiros quadrinhos é possível saber quanto tempo o personagem leva para andar entre duas marcas consecutivas da calçada?

Resposta: Esta questão tem por objetivo observar se o aluno consegue

relacionar o espaço percorrido com a variação do tempo. Uma vez que o tempo inicial da questão anterior fornece o instante em que o personagem está posicionado no marco inicial da calçada e o tempo final fornece o instante em que o personagem está posicionado no marco final da calçada podemos concluir que o espaço percorrido, que é a distância entre duas marcações, está relacionado com a variação do tempo da Questão 1. Portanto, o personagem leva 6 s para andar entre duas marcas da calçada.

3) Se o personagem percorrer um espaço igual a 6 distâncias entre as

marcas consecutivas da calçada para chegar até o portão da escola, quanto tempo deve levar para isso acontecer?

A) Seis vezes o tempo que levou para percorrer a distância entre duas

marcas consecutivas da calçada, caso ele mantenha seu ritmo de movimento B) Seis vezes o tempo que levou para percorrer a distância entre duas

marcas consecutivas da calçada, se aumentar seu ritmo de movimento

23 C) Seis vezes o tempo que levou para percorrer a distância entre duas

marcas consecutivas da calçada, independente do seu ritmo de movimento D) Não tem como saber Resposta: A intenção agora é ver se o aluno tem a capacidade de utilizar a

lógica sem precisar a recorrer à efetivação do cálculo para responder a uma pergunta, ou seja, instigar o pensamento investigativo quantitativo sem a necessidade do uso do algoritmo da multiplicação ou o uso de calculadora. Como as alternativas são, em geral, uma composição de duas afirmações com uma conjunção de condicional, a resposta só estará correta se a segunda afirmação estiver de acordo com a primeira (considerando que a primeira está correta). Portanto, só podemos avaliar o caso que foi observado, que é o tempo que ele leva quando percorre o espaço entre duas marcas da calçada. Podemos concluir que a única alternativa correta é a letra A, quando ele mantém seu ritmo de movimento.

4) De acordo com o que você respondeu anteriormente, ele conseguirá

chegar no portão da escola antes do fechamento do portão? (De acordo com a história, o portão fecha sete horas e cinquenta minutos e o personagem, no ultimo quadrinho, tem cinquenta segundos para chegar até o portão)

A) Não B) Sim, contanto que ele acelere no ultimo quadrinho C) Sim, mesmo mantendo sua velocidade média medida nos três

primeiros quadrinhos D) Não tem como saber Resposta: Aqui, o aluno deveria juntar todas as informações anteriores para

chegar a uma conclusão sobre o final da história. Caso ele tenha acertado todas as perguntas anteriores e apropriando-se da informação adicional que o personagem tem 50 segundos para chegar até o portão (esta informação também pode ser obtida observando com atenção o relógio do telefone em destaque no último quadrinho) então ele iria percorrer os 6 espaços até o portão gastando 6 segundos para cada espaço. O tempo total então é 6 × 6 = 36 < 50 , ou seja, dava tempo de chegar no portão mesmo mantendo sua velocidade média.

24 Correção das questões (15 a 20 minutos) Corrija as questões no quadro dando oportunidade para os grupos fazerem

suas considerações acerca da história e das estratégias utilizadas para responderem as questões. Deixem dialogar entre os grupos com o cuidado de priorizar a fala para os que fazem considerações pertinentes. Este momento da aula é muito importante para que o aluno identifique sua principal dificuldade e como que, através da fala, conseguem instrumentalizar uma resolução para o problema proposto.

Avaliação da Aula (30 a 35 minutos) Entregue uma avaliação com questões sobre o conteúdo abordado para

resolverem individualmente ou em duplas. Seguem algumas sugestões de perguntas que podem ser utilizadas:

1) A estrela Alpha Centauri, depois do Sol, é a estrela mais próxima da Terra.

Ela está a uma distância de aproximadamente 4 anos-luz da Terra. Quando olhamos para a estrela Alpha Centauri vemos a luz que foi emitida há:

a) 4 horas b) 4 dias c) 4 meses d) 4 anos e) 4 décadas Resposta: A luz emitida pela estrela Alpha Centauri demorou 4 anos para

chegar na Terra. Ao incidir sobre a superfície dos nossos olhos somos capazes de enxergar os objetos. Portanto, a resposta correta é a letra d.

2) Uma partícula se desloca 5 km a cada 10 segundos. Sua velocidade média

em m/s é: a) 50 b) 500

25 c) 5000 d) 50000 e) 500000 Resposta: Temos = 5 = 5000 e = 10 . Utilizando a relação = ⁄

vem = 5000 10 ⁄ = 500 / . A resposta correta é a letra b. 3) Um corpo com velocidade média de 10 m/s inicia uma aceleração com a

mesma direção e sentido de sua velocidade com o módulo de 2 m/s² e mantém esta aceleração a partir de então. 4 segundos depois a velocidade do corpo será de:

a) 12 m/s b) 14 m/s c) 16 m/s d) 18 m/s e) 20 m/s Resposta: Temos = 10 / , = / ² e = 4 . Utilizando a função

horária = + vem = 10 / + (2 / ²). (4 ) = 10 / + 8 / = 18 / . A resposta correta é a letra d.

5) Um carro faz um percurso com velocidade média de 20 m/s. Sabendo que este percurso tem 3 Km, quanto tempo durou esta viagem? a) 2 minutos b) 2 minutos e 30 segundos c) 3 minutos d) 3 minutos e 30 segundos e) 4 minutos Resposta: Temos = 20 / , = 3 = 3000 . Utilizando a relação

= ⁄ vem 20 / = => = / = 150 = 2 30 . A resposta correta

é a letra b.

26 3.2 Aula 1 – Física Clássica

Objetivo: Compreender o movimento relativo em dois referenciais inerciais à partir das Transformações de Galileu;

Conteúdo programático: Velocidade relativa em dois referenciais inerciais de

acordo com o senso comum. Tempo: 2 aulas de 50 minutos. Introdução da aula (15 a 20 minutos). Sugere-se uma breve exposição da Aula 1 do CAPAA utilizando a lousa caso

necessário. Leitura da HQ (5 a 10 minutos) Entregue a HQ Relatividade Galileana para os alunos. Caso haja dificuldade

de providenciar uma página para cada aluno disponha-os em duplas ou trios para a leitura. Pergunte a eles se estão familiarizados com esta literatura ou já tiveram contato com alguma HQ. Caso seja necessário, explique que tanto os balões quanto as caixas de diálogo estão sempre relacionadas com algum personagem da história e que a sequência de quadros tenta transmitir uma idéia de temporalidade.

27 Figura 5 - História em Quadrinhos base para as questões sobre Relatividade Galileana

Fonte: O autor

Contextualizando a HQ na aula (20 a 30 minutos) Após a leitura e as considerações iniciais, forme grupos com 4 a 6 alunos

para que discutam e relacionem, através de uma linha, os itens da coluna I com os itens da coluna II de acordo com a simbologia da HQ. IMPORTANTE: Um item da coluna I pode estar relacionado com mais de um item da coluna II.

28

Coluna I Velocidade da escada rolante em relação ao solo Velocidade do personagem na escada rolante em relação à escada rolante no quarto quadrinho Velocidade do personagem na escada rolante em relação ao solo no quarto quadrinho Velocidade do personagem na escada rolante em relação à escada rolante no sétimo quadrinho Velocidade do personagem na escada rolante em relação ao solo no sétimo quadrinho

Coluna II 0 V Vs’ V+Vs’

29

Respostas: A simbologia adotada na história em quadrinhos é

propositalmente a mesma utilizada no CAPAA para facilitar a memorização da fórmula que será utilizada nos exercícios. Dessa forma, a velocidade da escada rolante em relação ao solo (primeiro item da coluna I), que nesse caso é o referencial inercial que está em movimento, é (segundo item da coluna II).

A velocidade do personagem na escada rolante em relação à escada rolante no quarto quadrinho (segundo item da coluna I), uma vez que ele está em repouso em relação a este referencial, é 0 (primeiro item da coluna II). Admite-se também ′ (terceiro item da coluna II) como resposta correta, pois é a convenção adotada na história para a velocidade do corpo em relação ao referencial que está em movimento. Neste caso = 0.

Fonte: O autor

Ainda no quarto quadrinho, a velocidade do personagem na escada rolante em relação ao solo (terceiro item da coluna I) é a soma vetorial da velocidade V da escada (referencial em movimento) com a velocidade do personagem no referencial

Figura 6 - Quarto quadrinho em destaque

30

da escada. Portanto, a resposta correta é + = + 0 = . Admite-se, portanto, duas respostas corretas: + ′ (quarto item da coluna II) e (segundo item da coluna II).

A velocidade do personagem na escada rolante em relação à escada rolante no sétimo quadrinho (quarto item da coluna I), uma vez que está em movimento com relação a este referencial é ′ ≠ 0.

Fonte: O autor

Portanto, ′ (terceiro item da coluna II) é a única resposta correta para esta pergunta.

Ainda no sétimo quadrinho, a velocidade do personagem na escada rolante em relação ao solo (quinto item na coluna I) é + ′ (quarto item da coluna II). Uma vez que ′ ≠ 0, + ′ é a única resposta correta para esta pergunta.

Correção das questões (15 a 20 minutos) Corrija as questões no quadro dando oportunidade para os grupos fazerem

suas considerações acerca da história e das estratégias utilizadas para

Figura 7 - Sétimo quadrinho em destaque

31

responderem as questões. Deixem dialogar entre os grupos com o cuidado de priorizar a fala para os que fazem considerações pertinentes. Este momento da aula é muito importante para que o aluno identifique sua principal dificuldade e como que, através da fala, conseguem instrumentalizar uma resolução para o problema proposto.



1) Uma pessoa caminha por dentro de um vagão de trem com velocidade v’=

1 m/s no referencial do trem. Se o trem está em movimento com uma velocidade V = 10 m/s, determine a velocidade da pessoa em relação aos trilhos quando:

a) Caminha na mesma direção e sentido que o trem; Resposta: Temos = + = 10 / + 1 / = 11 / . b) Caminha na mesma direção, mas em sentido oposto ao do trem. Resposta: Agora, = − = 10 / − 1 / = 9 / . 2) Um barco, com motor a toda potência, sobe o rio a 16 km/h e desce a 30

km/h, velocidades essas, medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que tanto subindo como descendo, o barco tinha velocidade relativa de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade constante V. Nesse caso, V, em km/h é igual a:

32

a) 7,0 b) 10 c) 14 d) 20 e) 28 Resposta: Quando o barco está subindo o rio, temos = ′ − com

= 16 /ℎ, portanto, 16 /ℎ = − (1). Quando o barco está descendo o rio, temos = + com = 30 /ℎ, portanto, 30 /ℎ = + (2). Subtraindo (2) de (1), vem 2 = 14 /ℎ e portanto, = 7 /ℎ. A resposta correta é letra a.

3) Um homem rema um barco com velocidade de 5,00 km/h na ausência de

correnteza. Quanto tempo ele gasta para remar 3,00 km rio abaixo e voltar ao ponto de partida num dia em que a velocidade da correnteza é de 1,0 km/h?

a) 1,25 h b) 1,20 h c) 1,15 h d) 1,10 h e) 1,00 h Resposta: Descendo o rio, temos = + com = 5 /ℎ e =

1 /ℎ. Deste modo, = 5 /ℎ + 1 /ℎ = 6 /ℎ. O tempo procurado pode ser calculado usando a relação = = = 0,5 ℎ. Subindo o rio, temos = −

com = 5 /ℎ e = 1 /ℎ. Deste modo, = 5 /ℎ − 1 /ℎ = 4 /ℎ. O tempo fica = =

/ = 0,75 ℎ. Calculando o tempo de ida mais o tempo de volta + = 0,5 ℎ + 0,75 ℎ = 1,25 ℎ. A resposta correta é letra a.

33

3.3 Aula 2 – Teoria da Relatividade Restrita Objetivo: Apresentar os postulados da Teoria da Relatividade Restrita e

entender suas implicações na compreensão da Física. Conteúdo programático: Velocidade da luz e referenciais inerciais. Tempo: 2 aulas de 50 minutos. Introdução da aula (15 a 20 minutos) Sugere-se uma breve exposição da Aula 2 do CAPAA utilizando a lousa caso

necessário. Leitura da HQ (5 a 10 minutos) Entregue a HQ Relatividade Restrita para os alunos. Caso haja dificuldade de


34

Figura 8 - História em Quadrinhos base para as questões sobre Relatividade Restrita

Fonte: O autor


para que discutam e respondam os seguintes questionamentos: Questão 1 - O desenho feito pelo professor da história mostra um carro de

corrida com velocidade V projetando uma luz que se propaga com uma velocidade C. Enquanto isso Einstein, que está em outro referencial, enxerga a luz que sai do carro se propagando também com velocidade C, contrariando a Relatividade Galileana visto na aula passada. Qual seria a velocidade da luz do referencial de Einstein DE ACORDO COM A RELATIVIDADE GALILEANA?

A) 0 B) V C) c D) V + c E) V – c Resposta: Pede-se que o aluno considere a Relatividade Galileana para o

cálculo da velocidade da luz. Na aula passada, vimos que se é a velocidade do referencial em movimento e ′ é a velocidade do corpo no referencial em movimento, então = + ′. No desenho do professor, é a velocidade do carro

35

e = é a velocidade da luz medida no referencial do carro. Einstein, portanto, deveria ver = + = + . A resposta correta, portanto, é letra D.

Questão 2 - O desenho feito pelo professor da história mostra um carro de

corrida com velocidade V projetando uma luz que se propaga com uma velocidade C. Enquanto isso Einstein, que está em outro referencial, enxerga a luz que sai do carro se propagando também com velocidade C, contrariando a Relatividade Galileana visto na aula passada. Qual seria a velocidade da luz do referencial de Einstein DE ACORDO COM A RELATIVIDADE RESTRITA?

A) 0 B) V C) c D) V + c E) V – c Resposta: Pede-se que o aluno considere a Relatividade Restrita para o

cálculo da velocidade da luz. Assim como sugere a ilustração na lousa feita pelo professor da HQ, ela continua a mesma, ou seja, sua velocidade não muda quando mudamos o referencial inercial. Einstein, portanto, deveria ver a luz com velocidade c. A resposta correta, portanto, é letra C.

Questão 3 - Os estudantes ilustraram com uma história de super heróis como

que os postulados de Einstein foram difíceis de aceitar. Como seria a corrida imaginária do Flash com a luz DE ACORDO COM O SENSO COMUM?

A) Flash ganharia a corrida contra a luz B) Flash veria a luz se afastando dele a 50 000 Km/s C) Flash veria a luz se afastando dele a 250 000 Km/s D) Flash veria a luz se afastando dele a 300 000 Km/s E) Super Homem veria a luz se afastando do Flash a 50 000 Km/s Resposta: Abordar a questão de acordo com o senso comum significa utilizar

a relação = + ′. Queremos a velocidade da luz com relação ao Flash, portanto, Flash é o referencial em movimento ao qual queremos medir a velocidade da luz. Então = 250000 / é a velocidade do Flash, = 300000 / é a velocidade da luz no referencial em repouso e ′ é a velocidade procurada da luz

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em relação ao Flash. Temos = + ⟹ 300000 /ℎ = 250000 /ℎ +⟹ = 300000 /ℎ − 250000 /ℎ ⟹ = 50000 / . A resposta

correta, portanto, é a letra B. Questão 4 - Os estudantes ilustraram com uma história de super heróis como

que os postulados de Einstein foram difíceis de aceitar. Como seria a corrida imaginária do Flash com a luz DE ACORDO COM A RELATIVIDADE RESTRITA?

A) Flash ganharia a corrida contra a luz B) Flash veria a luz se afastando dele a 50 000 Km/s C) Flash veria a luz se afastando dele a 250 000 Km/s D) Flash veria a luz se afastando dele a 300 000 Km/s E) Super Homem veria a luz se afastando do Flash a 50 000 Km/s Resposta: Pede-se que o aluno considere a Relatividade Restrita na corrida

imaginária do Flash com a luz. Como na HQ, independentemente de sua velocidade, Flash veria a luz se afastando a 300 000 Km/s. A resposta correta, portanto, é letra D.



Avaliação da Aula (30 a 35 minutos)

37

Entregue uma avaliação com questões sobre o conteúdo abordado para resolverem individualmente ou em duplas. Seguem algumas sugestões de perguntas que podem ser utilizadas:

01-(UFCG-PB-010) Um carro viajando com velocidade constante comparável

à da luz possui uma fonte de luz no seu interior a igual distância dos detectores 1 e 2 localizados em suas extremidades como mostra a figura.

Num dado instante a fonte emite um pulso de luz. Os observadores inerciais A

e B, encontram-se no carro e na superfície da Terra, respectivamente. De acordo com a Teoria Especial da Relatividade, pode-se afirmar, EXCETO, que:

a) para o observador A, a luz chega simultaneamente aos detectores. b) para o observador B, a luz não chega simultaneamente aos detectores. c) para o observador B, a luz chega primeiro ao detector 1. d) a simultaneidade é um conceito relativo, depende do observador. e) tanto para o observador A quanto para o observador B, a luz sempre

chegará simultaneamente aos detectores. Resposta: De acordo com a TRR, a relatividade da simultaneidade prevê que

dois eventos podem ser simultâneos para um observador enquanto que podem não ser, necessariamente, simultâneos para outro observador, considerando observadores inerciais diferente. Portanto, a alternativa correta é letra e.

02 - (UFMG-MG) Observe esta figura:

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Paulo Sérgio, viajando em sua nave, aproxima-se de uma plataforma

espacial, com velocidade de 0,7 c, em que c é a velocidade da luz. Para se comunicar com Paulo Sérgio, Priscila, que está na plataforma, envia um pulso luminoso em direção à nave. Com base nessas informações, é correto afirmar que a velocidade do pulso medida por Paulo Sérgio é de:

a) 0,7 c. b) 1,0 c. c) 0,3 c. d) 1,7 c. e) 2,0 c. Resposta: De acordo com os postulados da TRR, a luz tem a mesma

velocidade para qualquer referencial inercial, independente da velocidade da fonte. Portanto, a resposta correta é letra b.

03-(CFT-CE) Em 2005, Ano Mundial da Física, comemora-se o centenário da

Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Entre outras consequências esta teoria poria fim à idéia do éter, meio material necessário, semelhantemente ao som, através do qual a luz se propagava. O jargão popular "tudo é relativo" certamente não se deve a ele, pois seus postulados estão fundamentados em algo absoluto: a velocidade da luz no vácuo – 300.000 km/s.

Hoje se sabe que: I. O som propaga-se no vácuo; II. A luz propaga-se no vácuo; III. A velocidade da luz no vácuo é a velocidade limite do universo. É (são) verdadeira(s):

39

a) todas b) nenhuma c) somente II d) II e III e) somente III Resposta: Letra d.

3.4 Aula 3 (Primeira parte) – Dilatação do Tempo e Contração do Espaço

Objetivo: Entender que a Dilatação do Tempo é uma consequência dos postulados da Teoria da Relatividade Restrita.

Conteúdo programático: Medida do tempo em referenciais inerciais. Tempo: 2 aulas de 50 minutos. Introdução da aula (15 a 20 minutos) Sugere-se uma breve exposição da Aula 3, páginas 21 à 25, do CAPAA

utilizando a lousa caso necessário. Leitura da HQ (5 a 10 minutos) Entregue a HQ Dilatação do Tempo para os alunos. Caso haja dificuldade de


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Figura 9 - História em quadrinhos base para estudo da Dilatação do Tempo

Fonte: O autor


para que discutam e respondam os seguintes questionamentos: Questão 1 – Apesar dos seus movimentos relativos em torno do Sol,

considere que Plutão e a Terra estão em repouso durante toda a viagem da nave E MC². De acordo com a HQ, que horas a nave E MC² chegou em Plutão para quem estava:

a) Na Terra? b) A bordo da nave E MC² c) Em plutão?

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Respostas: De acordo com a HQ, o anúncio feito na plataforma de embarque quando a nave E MC² estava ainda na Terra (terceiro quadrinho) foi 18 horas e 15 minutos. Considerando que o anúncio estava correto podemos afirmar que a resposta da letra a é 18 h e 15 min. Para os tripulantes da nave E MC² a viagem durou 3 horas e 45 minutos (sexto quadrinho). Como a saída da nave foi às 12 horas (terceiro quadrinho), então para os tripulantes, a nave E MC² chegou a Plutão às 15 horas e 45 minutos. Então, a resposta da letra b é 15 h e 45 min. Finalmente, devemos considerar que os relógios da Terra e de Plutão estavam sincronizados, uma vez que o enunciado pede para considerá-los em repouso. Portanto, a resposta da letra c é 18 h e 15 min.

Questão 2 - Se a viagem durou apenas 3 horas e 45 minutos para os

tripulantes da nave, porque quando eles estavam embarcando às 12 horas foi anunciado que eles chegariam somente às 18 horas e 15 minutos, ou seja, mais de 6 horas depois do início da viagem?

A) Houve um engano no anúncio de embarque B) O anúncio estava contando com o tempo de abastecimento da nave no

meio do caminho C) A viagem durou mais de 6 horas para quem estava na Terra, mas

durou menos que 4 horas para quem estava a bordo da nave D) A viagem durou menos que 4 horas para quem estava na Terra, mas

durou mais de 6 horas para quem estava a bordo da nave E) A altíssima velocidade da nave escangalhou o relógio dos tripulantes,

por isso eles marcaram o tempo de forma equivocada Resposta: Esta questão chama a atenção para a não sincronia entre o tempo

de viagem medido na Terra e o tempo de viagem medido na nave e pede uma justificativa para este fato. Os relógios não estavam sincronizados porque a viagem durou mais de 6 horas para quem estava na Terra, mas durou menos que 4 horas para quem estava a bordo da nave, ou seja, durou menos tempo para os tripulantes que viajavam à altíssima velocidade. Portanto, a alternativa correta é a letra C.

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01(UFRN-RN) A teoria da Relatividade Especial prediz que existem situações

nas quais dois eventos que acontecem em instantes diferentes, para um observador em um dado referencial inercial, podem acontecer no mesmo instante, para outro observador que está em outro referencial inercial. Ou seja, a noção de simultaneidade é relativa e não absoluta.

A relatividade da simultaneidade é consequência do fato de que: a) a teoria da Relatividade Especial só é válida para velocidades pequenas

em comparação com a velocidade da luz. b) a velocidade de propagação da luz no vácuo depende do sistema de

referência inercial em relação ao qual ela é medida. c) a teoria da Relatividade Especial não é válida para sistemas de referência

inerciais. d) a velocidade de propagação da luz no vácuo não depende do sistema de

referência inercial em relação ao qual ela é medida. Resposta: Letra d.

43

02-(UEPB-PB) A relatividade proposta por Galileu e Newton na Física

Clássica é reinterpretada pela Teoria da Relatividade Restrita, proposta por Albert Einstein (1879-1955) em 1905, que é revolucionária porque mudou as idéias sobre o espaço e o tempo, uma vez que a anterior era aplicada somente a referenciais inerciais. Em 1915, Einstein propôs a Teoria Geral da Relatividade válida para todos os referenciais (inerciais e não inerciais).

Ainda acerca do assunto tratado no texto, resolva a seguinte situação-problema: Considere uma situação “fictícia”, que se configura como uma exemplificação da relatividade do tempo.

Um grupo de astronautas decide viajar numa nave espacial, ficando em missão durante seis anos, medidos no relógio da nave.

Quando retornam à Terra, verifica-se que aqui se passaram alguns anos. Considerando que c é a velocidade da luz no vácuo e que a velocidade média

da nave é 0,8c, é correto afirmar que, ao retornarem a Terra, se passaram: a) 20 anos b) 10 anos c) 30 anos d) 12 anos e) 6 anos Resposta: Calculando o fator de Lorentz

= = ( , ) = , = √ , = √ , = , .

Usando a relação ∆ = ∆ , temos ∆ = , . 6 = 10 anos. A resposta correta é letra b.

44

3.5 Aula 3 (Segunda parte) – Dilatação do Tempo e Contração do Espaço

Objetivo: Entender que a Contração do Espaço é uma consequência dos postulados da Teoria da Relatividade Restrita.

Conteúdo programático: Medida do comprimento em referenciais inerciais. Tempo: 2 aulas de 50 minutos. Introdução da aula (15 a 20 minutos) Sugere-se uma breve exposição da Aula 3, página 25, do CAPAA utilizando a

lousa caso necessário. Leitura da HQ (5 a 10 minutos) Entregue a HQ Dilatação do Tempo para os alunos. Caso haja dificuldade de


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Figura 10 - História em quadrinhos base para estudo de Contração do Espaço

Fonte: O autor Contextualizando a HQ na aula (20 a 30 minutos) Após a leitura e as considerações iniciais, forme grupos com 4 a 6 alunos

para que discutam e respondam os seguintes questionamentos: Questão 1 - De acordo com a história, devido à grande velocidade da nave

espacial, ocorreu uma contração do espaço, ou seja, a distância entre Terra e Plutão ficou reduzida:

A) Três horas-luz B) Quatro horas-luz C) Cinco horas-luz D) Seis horas-luz

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Resposta: Essa questão avalia se o aluno consegue calcular a distância contraída ′ entre a Terra e Plutão utilizando os valores dado na HQ. Nos quadrinhos é informado o comprimento medido no referencial em repouso = 5 horas - luz e a velocidade da nave igual a 80 % da velocidade da luz. Portanto, pode-se escrever para a velocidade = 0,8 . Usando a relação ′ = com

= 11 −

Temos = 1 − ( , ) × 5 ℎ = 1 − , × 5 ℎ = √1 − 0,64 × 5 ℎ = √0,36 × 5 ℎ =

0,6 × 5 ℎ = 3 horas – luz. A resposta correta é, portanto, a letra A. Questão 2 - Nos primeiros quadrinhos da história vemos a nave espacial

viajando em altíssima velocidade como na Figura 1. Porém, de acordo com a Relatividade Restrita, a forma da nave para os terráqueos está melhor representada na opção:

Figura 11 - Nave Espacial da HQ

Fonte: O autor

Resposta: A contração do espaço só ocorre na dimensão com a mesma

direção da velocidade. Como nos quadrinhos a nave se desloca na direção da

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dimensão horizontal, temos que ter um valor de comprimento contraído < ′ e a dimensão da altura ℎ permanece inalterada. Portanto, a resposta correta é a letra C.





01-(UEG-GO) Antes mesmo de ter uma idéia mais correta do que é a luz, o

homem percebeu que ela era capaz de percorrer muito depressa enormes distâncias. Tão depressa que levou Aristóteles - famoso pensador grego que viveu no século IV a.C. e cujas obras influenciaram todo o mundo ocidental até a Renascença - a admitir que a velocidade da luz seria infinita.

GUIMARÃES, L. A.; BOA, M. F. "Termologia e óptica". São Paulo: Harbra, 1997. p. 177

Hoje se sabe que a luz tem velocidade de aproximadamente 300.000 km/s,

que é uma velocidade muito grande, porém finita. A teoria moderna que admite a velocidade da luz constante em qualquer referencial e, portanto, torna elásticas as dimensões do espaço e do tempo é:

a) a teoria da relatividade.

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b) a teoria da dualidade onda - partícula. c) a teoria atômica de Bohr. d) o princípio de Heisenberg. e) a lei da entropia. Resposta: Letra a. 02-(UFRN) Bastante envolvida com seus estudos para a prova do vestibular,

Silvia selecionou o seguinte texto sobre Teoria da Relatividade para mostrar a sua colega Tereza: A luz da Teoria da Relatividade Especial, as medidas de comprimento, massa e tempo não são absolutas quando realizadas por observadores em referenciais inerciais diferentes. Conceitos inovadores como massa relativística, contração de Lorentz e dilatação temporal desafiam o senso comum. Um resultado dessa teoria e que as dimensões de um objeto são máximas quando medidas em repouso em relação ao observador. Quando o objeto se move com velocidade V, em relação ao observador, o resultado da medida de sua dimensão paralela a direção do movimento e menor do que o valor obtido quando em repouso. As suas dimensões perpendiculares à direção do movimento, no entanto, não são afetadas. Depois de ler esse texto para Tereza, Silvia pegou um cubo de lado L0 que estava sobre a mesa e fez a seguinte questão para ela:

Como seria a forma desse cubo se ele estivesse se movendo, com velocidade relativística constante, conforme direção indicada na Figura 1?

A resposta correta de Tereza a essa pergunta foi:

Resposta: Sabendo que a contração só ocorre na direção do movimento, de

acordo com o esquema da figura, a opção correta é a letra a.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS CATELI, F. VICENZI, S. Interferômetro de Michelson, Caderno Brasileiro no Ensino de Física, V. 21, p. 350-358. 2004. EINSTEIN, A. Sobre a Eletrodinâmica dos corpos em movimento (1905a). O Princípio da Relatividade. Coleção Textos Fundamentais da Física Moderna, v. 1. Lisboa:Fundação CalousteGulbenkian, 1971. FITZGERALD, G. F. Science. Washington, v. 13, p. 390. 1889. GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica, Pearson, 3ª edição, 2011. LESSA A. T. M; LEDA B. N; NASCIMENTO R. C. S; SOUZA F. F; SILVA P. S; SILVA M; ARAUJO R. O. P; FREITAS R. O; CHAGAS S. M. A; Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada - 03, Governo do Rio de Janeiro - Secretaria de Educação, 2013. OSTEMANN, F.; RICCI, T. F. Relatividade Restrita no Ensino Médio: Os Conceitos de Massa Relativística e de Equivalência Massa – Energia em Livros Didáticos de Física. Caderno Brasileiro no Ensino de Física., v.21, n.1: p..83-102, 2004 REIS, J. C. de O. Currículo Mínimo. Governo do Estado do Rio de janeiro, 2012.

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APÊNDICE: HQ PARA ENSINO DA TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

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