O teste de McNemar -...

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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Engenharia de Produção

Prof. Lorí Viali, Dr.http://www.pucrs.br/famat/viali/

[email protected]. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística






O teste de McNemar O teste de McNemar para a

significância de mudanças éparticularmente aplicável aos experimentos do tipo "antes e depois" em que cada sujeito é utilizado como seu próprio controle e a medida é efetuada em escala nominal ou ordinal.



Para testar a significância de

qualquer mudança observável, através

deste método, é necessário construir uma

tabela de freqüências “2x2”. Veja exemplo

a seguir:



A tabela 2x2

DC-BA+Antes+-

Depois

22



Note-se que aqueles casos que

mostram mudanças entre a primeira e a

segunda resposta aparecem nas células A e

D. Um sujeito é contado na célula A se ele

muda de + para - e é contado na D se ele

muda de - para +. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística


Se nenhuma mudança é ocorre ele

é contado nas células B (resposta +

antes e depois) e C (resposta - antes e

depois).



Hipóteses

A Como A + D representa o número total de elementos que acusaram alguma modificação, a expectativa, sob a hipótese de nulidade, é de que 1/2 (A + D) acuse modificações em um sentido e 1/2 (A + D) no outro sentido.



Variável Teste

( )

2D+A

)2

D+AD(

=

2D+A

)2

D+AA(

=E

EO=χ

22

i

k

1=iii

2

21

--∑ -

Simplificando vem:

D+A)DA(

==χ2

21

-



A correção torna-se necessária porque uma distribuição contínua, no caso, o qui-quadrado está sendo usada para aproximar uma distribuição discreta. Quando todas as freqüências esperadas são pequenas, esta aproximação pode não ser boa.

Correção de Continuidade



A correção de continuidade (de Yates) é uma tentativa de remover esta fonte de erro. A expressão acima incluindo a correção de Yates fica:

Correção de Continuidade

D+A)1|DA(|

==χ2

21

--

33





Uma pesquisa realizada entre donos

de automóveis sobre a necessidade do uso

do cinto de segurança foi realizada antes e

depois de um filme sobre acidentes, onde

era enfocado os benefícios do uso do cinto.



Dos 80 motoristas entrevistados 20 eram a favor do uso do cinto antes e continuaram após, 30 eram contra antes e ficaram a favor após, 15 eram contra antes e continuaram contra após e 5 eram a favor e ficaram contra após. Teste, ao nível de 1%, a significância das mudanças.



H0: A proporção de mudanças de A

para B é igual a de B para A, isto é, PA = PB = 1/2

H1: PA > PB

Hipóteses



Os dados

3015-

205+Antes+-

Depois



A estatística teste

457,16=30+5

)1|5(|==χ

221

-30-

44



Significância do Resultado

Como pode ser visto o resultado

encontrado é significativo a 1% ou menos, portanto as mudanças são

significativas.





Objetivos

A prova de Wilcoxon de duas amostras emparelhadas é a equivalente não paramétrica ao teste t para duas amostras dependentes. As hipóteses são as mesmas, embora às vezes elas possam ser colocadas em termos da mediana e não da média.



Hipóteses

H0: A diferença entre as médias (ou

medianas) populacionais é zero.

H1: A diferença entre as médias (ou

mediadas) não é zero.



Objetivos

A suposição básica por trás deste teste

é que as distribuições populacionais são

simétricas (médias e medianas idênticas).



Inicialmente calcular di = diferença dentro do par “i”. A seguir atribuir postos a cada di, independentemente de sinal. Ao menor di, atribuir o posto 1; ao próximo 2, etc. A cada posto atribuir o sinal da diferença, isto é, identificar quais postos decorrem de diferenças negativas e quais de diferenças positivas.

Metodologia

55



Se as duas classificações são equivalentes, isto é se Ho é verdadeira, é de se esperar que algumas das maiores diferenças sejam positivas e outras negativas. Desta forma, se forem somados os postos com sinal mais e os postos com sinal menos, deve-se esperar somas aproximadamente iguais.

Metodologia



Se houver diferença entre estas duas

somas é sinal de que as duas classificações

(ou tratamentos) não se equivalem e deve-

se então rejeitar a hipótese nula.

Metodologia



Se as duas amostras foram extraídas da mesma população, então se espera que as distribuições acumuladas das amostras estejam próximas. Se as distribuições estão “distantes”isto sugere que as amostras provenham de populações distintas e um desvio grande pode levar a rejeição da hipótese de nulidade.



Eventualmente os escores de dois pares serão iguais. Neste caso eles devem ser excluídos da análise e o valor de n deve ser reduzido na mesma quantidade de valores em que a diferença for nula.

Empates



Pode ocorrer, ainda, um outro tipo de

empate. Duas ou mais diferenças podem ter o

mesmo valor absoluto. Neste caso, atribuí-se o

mesmo posto aos empates. Este posto é a

média dos postos que teriam sido atribuídos se

as diferenças fossem diferentes. Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística


Por exemplo, se três pares acusam as

diferenças: -1, -1 e +1, a cada par será

atribuído o posto 2, que é a média entre 1, 2 e

3. O próximo valor, pela ordem, receberia o

valor 4, porque já teriam sido utilizados os

postos 1, 2 e 3.

66



Se T = a menor soma dos postos de

mesmo sinal (negativos ou positivos)

então T será significativo se não superar

o valor dado na tabela, sob determinado

nível de significância.

Pequenas Amostras (n < 25)



Neste caso T (menor soma) éaproximadamente normal com os seguintes parâmetros:

Grandes Amostras (n ≥ 25)

24)1+n2)(1+n(n

=σ T

4)1+n(n

=µ T





Um grupo de 25 motoristas foi

submetido a um teste para verificar o

efeito do álcool na percepção de

obstáculos. O número de cones derrubados

antes e depois da ingestão de uma dose de

destilado foi anotado.

2425433212D

1434321210A

3131534210A

20191817161514131211M

4563423232D

98

67

10

54321

M



Teste a hipótese de que o álcool

não tem influência sobre a percepção dos motoristas.

77



Resultados - SPSS

116,00116,009,6712Positive Ranks

5,00

MeanRank

20204

4

N

TotalTies

NegativeRanks

20,0020,00Antes –Depois

Sum of Ranks



0,005Exact Sig. (1-tailed)

0,011Asymp. Sign (2 tailed)

0,002

0,010

-2,542 (a)Antes –Depois

Point Probability

Exact Sig. (2-tailed)

Z

a Based on negative ranks.b Wilcoxon Signed Ranks Test







O teste é uma extensão direta do qui-quadrado para duas amostras independentes. Em geral, o teste é o mesmo, tanto para duas, como para k amostras independentes.

O teste qui-quadradoO teste χ² de “k” amostras

independentes pode ser utilizado para verificar a dependência ou independência entre as variáveis sendo consideradas.



H0 : As variáveis são independentes

H1 : As variáveis são dependentes

Hipóteses e Cálculo

( )

E

EO

=χij

k

1=i

∑l

1=jijij

2

2υ

∑ -A variável teste é:

88



Expressão alternativa

( )

nE

O

=

=E

EO

=χ

ij

k

1=i

l

1=j

2ij

ij

k

1=i

l

1=jijij

2

2υ

-∑ ∑

∑ -∑A variável teste é:



r = número de linhas da tabela;

L = número de colunas da tabela;

Oij = freqüência observada na interseção da linha i com a coluna j.

Eij = número de casos esperados na interseção da linha i com a coluna j.

Onde:



Onde:

= tamanho da amostra;∑k

1=i

l

1=jij∑O=n

χ 2υ é a estatística teste;

pn=E ijij são as freqüências esperadas

de cada célula ij da tabela.Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística


pij é a probabilidade de ocorrer uma observação na célula ij. Se as variáveis são supostamente independentes (H0 éVerdadeira), então pij = pi.p.j, onde pi. é a probabilidade marginal correspondente àlinha “i” e p.j é a probabilidade marginal correspondente a coluna j.



Como não se conhecem as probabilidades marginais, elas devem ser estimadas através das correspondentes freqüências relativas. Então:

n

ff=

n

f.

n

f.n

=p.pn=pn=E

j..ij..i

j..iijij



∑k

1=iijj.

l

1=jij.i f=f e ∑ f=f

99





O teste de Kruskal-Wallis é utilizado

para decidir se k amostras independentes podem ter sido extraídas de populações

diferentes.

Objetivos



Os valores amostrais diferem entre si

e deve-se decidir se essas diferenças

amostrais significam diferenças efetivas

entre as populações, ou se representam apenas variações casuais.



O teste supõe que a variável em

estudo tenha distribuição contínua e exige

mensuração no mínimo ao nível ordinal.



Cada um dos nn valores é substituído por um posto. Isto é, os escores de todas as k amostras combinadas são dispostos em uma única série de postos. Ao menor escore éatribuído o posto 1, ao seguinte o posto 2 e assim por diante até o maior posto que é n = número total de observações.

Metodologia



Feito isso, determina-se a soma dos postos em cada amostra (coluna). A prova então testa se estas somas são tão diferentes entre si, de modo que não seja provável que tenham sido todas retiradas de uma mesma população.

1010



Se as k amostras forem de uma mesma população (H0 é V) então a estatística de Kruskal-Wallis tem distribuição conhecida (Tabela O) se as amostras forem pequenas (n < 5) ou Qui-Quadrado com glgl = k = k -- 11, desde que os tamanhos das k amostras não sejam muito pequenos (5 ou mais elementos).

A estatística teste



O grau de liberdade O grau de liberdade éé::

A estatA estatíística amostral stica amostral

amostras de número=k onde ,1k=ν -

nn

T- 1

)1+n(3n

R

)1+n(n12

=H

3

k

1=j j

2j

-∑

∑ -ee



Onde:Onde:

k = número de amostras;

nj = número de elementos na amostra “j”;

Rj = soma dos postos na amostra (coluna) “j”;

n = ∑nj = número total de elementos em todas as amostras combinadas;

T = t3 – t, onde t é o número de empates.





Verificar a influência do Fator “Idade” sobre a variável “tempo, em dias, para conseguir um emprego”, considerando as seguintes amostras:

124533647118146

3125

Abaixo de 25

30

5128274233

Entre 25 e 40

5758432063

Acima de 40 anos

1111



Tem-se n = 21 (total de informações). Então o maior posto será 21.

10215

32021

ΣΣRR33 = 31= 31

541117

Postos (3)Postos (3)

ΣΣRR22 = 90= 90

16981312

Postos (2) Postos (2)

ΣΣR R 11 = 110= 110

171814619

Postos (1) Postos (1)



A variA variáável teste servel teste seráá: :

04,21=6604,87=

=+)6

31+

890+

7110

()1+21(21

12=

=)1+n(3n

R

)1+n(n12

=H

222

k

1=j j

2j

-

1)3(21-

∑ -

O grau de liberdade é:2=1 - 3 = 1k=ν -



O χ22 tabelado é:



A 1% de significância é possível afirmar que o fator “idade” tem influência sobre o “tempo para encontrar trabalho”.

Conclusão



1212



Resultados SPSS

Kruskal-Wallis Test

5,9210,8115,57

Mean Rank

21687n

Total210

Controle

0,0202

7,839Tempo

Assyp. Sig.df

Chi-Square







Objetivos

Quando os dados de k amostras estão em correspondência, isto é, o número de casos é o mesmo para cada uma delas, pode-se utilizar a análise de variância por postos de Friedman



A dupla análise de variância ou χ2 de

Friedman é uma alternativa não paramétrica

para testar diferenças entre duas ou mais

amostras dependentes.



A estatística teste é dada por:

Cálculo

∑ -k

1=i

2i

2υ )1+k(n3R

)1+k(nk12

=χOnde:

k = número de tratamentos;n = tamanho da amostra;ΣRi = soma dos postos de cada tratamento;v = k –1 = grau de liberdade.

1313



Onde:

k = número de tratamentos;

n = tamanho da amostra;

ΣRi = soma dos postos de cada tratamento;

v = k –1 = grau de liberdade.





Oito gerentes foram convidados de uma empresa de Internet para avaliar o novo sítio da instituição onde trabalham. Eles foram convidados a dar uma nota de 0 a 5 para cada uma de quatro características de interesse do local. Teste se as características diferem significativamente a 5%.

34352242

C2

54120233

C1

537016

4

30251

C4

5

43542

C3

8

54321

Gerentes





Friedman Test

2,19

2,88

2,69

2,25

Mean Rank

C4

C3

C2

C1

0,606

3

1,846

8

Asymp. Sig.

df

Chi-Square

n

1414



Como a significância do resultado é

60,60%, acima da significância do teste,

não é possível rejeitar a hipótese de que

existe diferença entre as diversas

características.

Conclusão

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