O ensino do Sistema de Numeração Decimal nas séries ... dos Santo… · O ensino do Sistema de...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC-SP

Ivonildes dos Santos Milan

O ensino do Sistema de Numeração Decimal nas séries iniciais do Ensino Fundamental: as relações com a

aprendizagem do sistema posicional

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo

2017

IVONILDES DOS SANTOS MILAN

O ensino do Sistema de Numeração Decimal nas séries iniciais do Ensino Fundamental: as relações com a

aprendizagem do sistema posicional

Dissertação apresentada à Banca

Examinadora da Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, como exigência

parcial para a obtenção do título de Mestre

em Educação Matemática, sob a

orientação do Prof. Dr. Saddo Ag

Almouloud.

São Paulo

2017

Banca Examinadora

_________________________________

_________________________________

_________________________________

Autorizo a reprodução e divulgação total ou parcial desta dissertação por qualquer

meio de fotocopiadoras ou eletrônicos, para fins de estudo e pesquisa, desde que

citada a fonte.

À Maria Aparecida A. Morais, Maria

Perpeto Socorro L. Bernardo, professoras

e queridos alunos do 2º ano do Ensino

Fundamental da E. E. Padre Francisco

João de Azevedo, por sua generosidade,

envolvimento e, principalmente, pelas

reflexões e pelas aprendizagens que

possibilitaram acontecer.

À Coordenação de Aperfeiçoamento Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio

recebido para o desenvolvimento desse trabalho.

AGRADECIMENTOS

Algumas pessoas tornaram possível e acompanharam de perto a realização dessa

pesquisa e a elas agradeço sinceramente.

Ao meu orientador, Professor Doutor Saddo Ag Almouloud, meu carinho e

reconhecimento por sua parceria, incentivo, orientação e partilha de tantos saberes

matemáticos.

Aos professores da pós-graduação do Mestrado em Educação Matemática da

PUC/SP, por seu acolhimento e atenção às alunas “pedagogas” e por dividirem seus

valiosos conhecimentos sobre a educação matemática.

Ao professor Lino de Macedo e à professora Maria José F. da Silva que abrilhantaram

minha Banca de defesa e “entraram”, intensamente, nessa pesquisa por meio das

orientações, sugestões e críticas. Meu agradecimento sempre!

Minha parceira de pesquisa e amiga querida Priscila Monteiro, estudiosa da Didática

da Matemática que, despretensiosamente, dividiu seus saberes e sua intenção em

trabalhar com a pesquisa argentina e por partilharmos tantos projetos juntas.

Aos colegas de curso que tão gentilmente ouviram e contribuíram com os estudos

parciais dessa pesquisa.

À Priscila Monteiro, Ana Flávia Alonso e Camilla Schiavo, parceiras e estudiosas da

Didática da Matemática que dividem o fascínio pelo ensino e pela aprendizagem

dessa área.

À minha batalhadora mãe Zilda Reis, pelo incentivo na escolha da educação como

área profissional e pelo trabalho incansável a que se propôs para que todos os filhos

frequentassem a escola.

Ao meu amado marido, companheiro e amigo Manoel Milan, minha enorme gratidão,

por seu carinho e apoio constante e por compreender a minha ausência em momentos

tão delicados que vivemos nesse período.

À minha primogênita Caroline Milan, que, além de se orgulhar da “Mamys” pelas

conquistas na educação, traduziu o resumo com tanta eficiência e primor; e pelos

queridos Raphael Brasílio e a pequena Olivia, presentes impagáveis.

Ao meu caçula Victor Milan, meu carinho e gratidão por suas “assessorias

tecnológicas e online” tão presentes e necessárias em todo o tempo e pelos ajustes e

pelas acomodações constantes que minha ausência lhe impôs.

À querida “mestra” Telma Weisz e colegas do Programa Ler e Escrever, meu respeito

e admiração, por acreditarem no potencial de aprendizagem de nossas crianças e

“mergulharem”, intensamente, na busca por um ensino que qualifique, cada vez mais,

nossas escolas públicas.

À Cybele A. Oliveira e Elisabete Monteiro, do Instituto Chapada de Educação e

Pesquisa (ICEP) pelo sério e reconhecido trabalho que realizam com a educação

pública de qualidade e pela parceria num dos projetos mais encantadores e

recompensadores que partilhamos juntas.

Às queridas colegas e parceiras Débora Rana e Renata Frauendorf, meu

reconhecimento pela serenidade e seriedade com que discutem a aprendizagem de

professores e alunos.

À Délia Lerner, que dirigiu o projeto de investigação da Universidad de Buenos Aires,

Secretaria de Ciencia y Técnica (UBACyT) o qual tomamos como referência para

nossa pesquisa: gratidão pela clareza e pela partilha dos resultados obtidos.

A todos os pesquisadores e autores tomados como referência bibliográfica nessa

pesquisa meu mais profundo agradecimento!

RESUMO

Nessa pesquisa, objetivamos refletir sobre o ensino e a aprendizagem do Sistema de Numeração Decimal no segundo ano do Ensino Fundamental, mais especificamente analisar as condições didáticas que possibilitam a compreensão daquilo que está oculto – o sistema posicional. Utilizamos algumas contribuições da Didática da Matemática, que defende a utilização de situações didáticas que suscitem, nos alunos, ações que mobilizem conhecimentos já adquiridos, para que selecionem, organizem, interpretem informações e tomem decisões que os permitam encontrar diferentes formas de construir conhecimentos matemáticos. Nossa metodologia se inspira na Engenharia Didática, que compreende a utilização/elaboração de situações didáticas que configurem um quadro de aprendizagem significativa em sala de aula. A sequência didática, elaborada por pesquisadoras argentinas a partir da Teoria das Situações Didáticas, integra um projeto de investigação – desenvolvido na Província de Buenos Aires com alunos do segundo ano –, cujo ponto de partida é a interação com a numeração escrita. Aplicamos a sequência didática duas vezes a alunos do segundo ano do Ensino Fundamental, numa mesma escola, localizada em São Paulo. Nossa pesquisa trouxe contribuições relevantes, tais como: o modo como os alunos se relacionam, pensam e entendem o valor posicional; promover aproximações sucessivas sobre o valor dos algarismos que representam o primeiro agrupamento da base dez; justificar a eficácia das sequências didáticas na aprendizagem matemática; identificar variáveis, no ensino e aprendizagem, que asseguram o processo tanto de conceitualizações sucessivas a novos conhecimentos quanto de variáveis presentes no ensino usual, as quais inviabilizam o processo de construção dos conhecimentos pelos alunos; e, ainda, confirmar o potencial das discussões coletivas para a aprendizagem matemática. Palavras-chave: Didática da Matemática. Sistema de Numeração Decimal. Teoria das Situações Didática. Contrato Didático.

ABSTRACT

On this research, we aim to reflect upon the teaching and learning of the Decimal Number System on the second grade of elementary School, more specifically to analyze the didactical conditions that allow the comprehension of what is hidden - the positional system. We used some of the contributions of Mathematics’ Didactics that defends the usage of didactical situations that raise, in students, the use of previous knowledge to select, organize, interpret information, and make decisions, in order to allow them to find different ways to build mathematical knowledge. Our methodology is inspired by Didactical Engineering, which comprehends the usage/elaboration of didactical situations that ensemble a meaningful learning board in the classroom. The didactical sequence, elaborated by Argentinian researchers from the Didactical Situations Theory, integrates an investigation project - developed in the city of Buenos Aires with second grade students – and has, as a starting point, the interaction with written numbers. We applied the didactical sequence twice to second grade students from the same elementary school, located in São Paulo. Our research has brought relevant contributions, such as: the way students relate, think and comprehend the positional value; promote successive approximations on the value of algorithms that represent the first grouping of ten basis; justify the efficiency of didactical sequences in mathematical learning; identify variables, in teaching and learning, that secure the process of both successive conceptualization to new knowledge and also variables present in the usual teaching which unfeasible the construction process of knowledge by students, and yet, confirms the potential of the group discussions to Mathematical learning. Keywords: Mathematical didactics. Decimal Number System. Didactical situations Theory. Didactical contract.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Presença dos alunos da professora Rosa na aplicação da sequência.................................... 44

Figura 2: Aila - Atividade diagnóstica ................................................................................................. 46

Figura 3: (da esq. para a dir.) Leandro – Uso do “vai 1”- cálculo errado; Ariane – Uso do “vai 1” cálculo

correto ............................................................................................................................................. 46

Figura 4: (da esq. para a dir.) procedimento de Gil – Sem “vai 1” cálculo errado;

procedimento de Hélio – Sem “vai 1” cálculo correto ................................................................. 47

Figura 5: : À esquerda: Rani – Técnica operatória – À direita: Neemias – Decomposição ... 84

Figura 6: Decomposição e técnica operatória e Léia- Decomposição/técnica ......................... 85

Figura 7: Thais – técnica na horizontal e Meire- Decomposição ............................................... 85

Figura 8: Soma só os algarismos das dezenas .......................................................................... 85

Figura 9: Técnica operatória “pessoal” ........................................................................................ 86

Figura 10: Nilson –Mesma estimativa / resultados corretos ...................................................... 88

LISTA DOS QUADROS

Quadro 1: Atividade diagnóstica – estratégias utilizadas ......................................................45

Quadro 2: Conclusões das duas pesquisas (2º dia – 1ª situação) ........................................50

Quadro 3: Modelo da folha de atividade ...............................................................................51

Quadro 4: Tabulação da 2ª situação ....................................................................................52

Quadro 5: Conclusões das duas pesquisas (2º dia – 2ª situação) ........................................54

Quadro 6: Modelo da Folha de Atividade..............................................................................55

Quadro 7: Modelo da Folha de Atividade..............................................................................55

Quadro 8: Tabulação dos resultados da 3ª situação .............................................................58

Quadro 9: Conclusões das duas pesquisas (3º dia) .............................................................60

Quadro 10: Modelo da Folha de Atividade ............................................................................61

Quadro 11: Tabulação dos resultados da 4ª situação (obtidos pelos 9 alunos que realizaram

todas as atividades ...............................................................................................................62

Quadro 12: Conclusões das duas pesquisas (4º dia) ...........................................................64

Quadro 13: Discutindo as somas ..........................................................................................66

Quadro 14: Tabulação dos resultados da 5ª situação (institucionalização) obtidos pelos 9

alunos que realizaram todas as atividades ...........................................................................67

Quadro 15: Conclusões das duas pesquisas (5º dia) ...........................................................68

Quadro 16: Variáveis presentes na 1ª sequência didática aplicada ......................................71

Quadro 17: Comparativo das 3 sequências didáticas ...........................................................76


Quadro 19: Tabulação/Acertos – 2ª situação........................................................................87

Quadro 20: Modelos das Folhas de Atividades.....................................................................90

Quadro 21: Tabulação da atividade individual – 2º dia .........................................................91


Quadro 23: Modelo da Folha de Atividade .......................................................................... 100

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

D Dezena

EF Ensino Fundamental

EMAI Educação Matemática nos Anos Iniciais

LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

QVL Quadro de Valor de Lugar

SND Sistema de Numeração Decimal

TSD Teoria das Situações Didáticas

U Unidade

UBACyT Universidad de Buenos Aires, Secretaria de Ciencia y Técnica

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 17

CAPÍTULO 1 – O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL ..................................... 21

1.1 O SND E SUA COMPLEXIDADE ....................................................................... 21

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS E METODOLOGIA DE PESQUISA 26

2.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................................................................ 26

2.1.1 A Teoria da Situações Didáticas ...................................................................... 26

2.1.2 Contrato didático.............................................................................................. 29

2.2 METODOLOGIA DE PESQUISA ........................................................................ 32

2.2.1 Engenharia Didática ........................................................................................ 32

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE E CONCLUSÕES DA “PRIMEIRA” SEQUÊNCIA

DIDÁTICA APLICADA (2015) .................................................................................. 43

3.1 A “NOSSA” SITUAÇÃO DIDÁTICA .................................................................... 43

3.2 A PRIMEIRA ATIVIDADE: DIAGNÓSTICA ....................................................... 44

3.2.1 Conclusões da atividade diagnóstica............................................................... 47

3.3 SEGUNDO DIA: 1ª SITUAÇÃO/TRABALHO COLETIVO ................................... 48

3.3.1 Conclusões – 1ª situação/trabalho coletivo ..................................................... 49

3.3.2 Segundo dia – 2ª situação: trabalho INDIVIDUAL/DUPLAS ............................ 51

3.3.3 Conclusões ...................................................................................................... 53

3.3.4 Resultado comparativo: pesquisa argentina – nossa pesquisa ....................... 54

3.3.5 Terceiro dia – 3ª situação – Trabalho individual/dupla .................................... 55

3.3.6 Conclusões ...................................................................................................... 59

3.4 COMPARATIVO: PESQUISA ARGENTINA – NOSSA PESQUISA ................... 60

3.5 QUARTO DIA – 4ª SITUAÇÃO – TRABALHO INDIVIDUAL / COLETIVO ......... 60

3.5.1 Conclusões ...................................................................................................... 63


3.6 QUINTO DIA – 5ª SITUAÇÃO – ATIVIDADE COLETIVA/DUPLA ...................... 64

3.6.1 Atividade final: discussão em dupla e institucionalização ................................ 65

3.6.2 Conclusões ...................................................................................................... 67


CAPÍTULO 4 – A NOVA SITUAÇÃO DIDÁTICA ..................................................... 70

CAPÍTULO 5: ANÁLISE E CONCLUSÕES DA 2ª SEQUÊNCIA DIDÁTICA .......... 83

5.1 PRIMEIRO DIA: 1ª SITUAÇÃO (INICIAL) – INDIVIDUAL/COLETIVA ................ 83

5.1.1 Conclusões ...................................................................................................... 86

5.1.2 Primeiro dia: 2ª Situação – Individual/coletiva ................................................. 86

5.1.3 Conclusões ...................................................................................................... 89

5.2 SEGUNDO DIA: 3ª SITUAÇÃO – INDIVIDUAL/GRUPO/COLETIVA ................. 90

5.2.1 Primeira Atividade – Individual ........................................................................ 90

5.2.2 Segundo dia: 2ª atividade – Grupo .................................................................. 94

5.2.3 Segundo dia: 3ª Atividade – Coletiva ............................................................... 95

5.2.4 Conclusões ...................................................................................................... 96

5.3 TERCEIRO DIA: 4ª SITUAÇÃO – GRUPO/COLETIVA ...................................... 98

5.3.1 Primeira Atividade – Grupo .............................................................................. 98

5.3.2 Terceiro dia: 2ª Atividade – Grupo ..................................................................100

5.3.3 Terceiro dia: 3ª Atividade – GRUPO/COLETIVA ............................................101

5.3.4 Conclusões .....................................................................................................102

CAPÍTULO 6 – CONSIDERAÇÕES, CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS .............103

6.1 IMPORTÂNCIA DA METODOLOGIA E DOS PROCEDIMENTOS

METODOLÓGICOS ADOTADOS ...........................................................................103

6.2 IMPORTÂNCIA DO REFERENCIAL ADOTADO ...............................................105

6.3 O PAPEL DA REVISÃO DA LITERATURA .......................................................106

6.4 RESULTADOS DA PESQUISA ........................................................................107

6.4.1 QUANTO AOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................107

6.4.2 QUANTO AO(S) OBJETIVO(S) GERAL(IS) ...................................................108

6.4.3 HIPÓTESES TECIDAS ...................................................................................109

6.4.4 AS QUESTÕES DA PESQUISA ..................................................................109

6.4.5 O que sabem os alunos do segundo ano do ef sobre o valor posicional? ......110

6.4.6 Como os alunos interagem com uma situação didática construída a partir da

didática da matemática? ..........................................................................................110

6.5 ASPECTOS METODOLÓGICOS (CONSTRUÍDOS E/OU REVELADOS PELA

PESQUISA): QUAL FOI O DIFERENCIAL DA FASE EXPERIMENTAL E/OU

FORMAÇÃO? .........................................................................................................112

6.6 PRINCIPAIS RESULTADOS DA PESQUISA: QUAL O DIFERENCIAL EM

RELAÇÃO A OUTRAS PESQUISAS CORRELATAS REVISITADAS? ...................114

6.7 CONTRIBUIÇÃO PARA A ÁREA DO PONTO DE VISTA METODOLÓGICO E

CONSTRUTOS TEÓRICOS E/OU RESULTADOS INÉDITOS ...............................115

6.8 ALGUMAS VARIÁVEIS IMPORTANTES, PORÉM DE DIFÍCIL CONTROLE ...117

6.9 VALIDAÇÃO DO PONTO DE VISTA CIENTÍFICO DA PESQUISA ..................118

6.10 IMPORTÂNCIA DA MEDIAÇÃO DO PROFESSOR NOS PROCESSOS DE

ENSINO E APRENDIZAGEM DOS ALUNOS .........................................................119

6.11 IMPLICAÇÕES E LIMITAÇÕES ......................................................................123

6.12 PERSPECTIVAS FUTURAS ...........................................................................125

REFERÊNCIAS .......................................................................................................128

APÊNDICES ............................................................................................................134

APÊNDICE 1 – SEQUÊNCIA DIDÁTICA ARGENTINA..........................................135

APÊNDICE 2 – 1ª SEQUÊNCIA DIDÁTICA UTILIZADA EM NOSSA PESQUISA

(2015) ......................................................................................................................139


(2016) ......................................................................................................................145

17

INTRODUÇÃO

Aprender é uma relação entre duas atividades: a

atividade humana que produziu aquilo que se deve

aprender e a atividade na qual o sujeito que

aprende se engaja – sendo a mediação entre

ambas assegurada pela atividade daquele que

ensina ou forma. Em termos simples: para

apropriar-se de um saber, é preciso introduzir-se

nas relações que permitiram produzi-lo. O

essencial não é repetir a própria atividade

humana, tal como ela ocorre ou ocorreu, mas

adotar, durante a atividade de aprendizagem, a

postura (relação com o mundo, com o outro e

consigo mesmo) que corresponde a essa atividade

humana. Esta é uma condição necessária, mas

não suficiente: é preciso, a partir dessa postura,

dominar as operações específicas de tal atividade

– aquelas que constituem sua normatividade. Por

outro lado, o processo pode ser invertido: o

domínio progressivo das operações permite,

pouco a pouco, assumir a postura (CHARLOT,

2001, p. 23).

Estudar mais detalhadamente os processos que envolvem o ensino e a

aprendizagem de matemática em sala de aula, foco desse nosso trabalho, tem sido

um grande desafio. Anteriormente, nossa concepção de ensino e de aprendizagem

estava vinculada à nossa própria experiência, baseada numa aprendizagem

mecânica: decorar técnicas, exercitá-las até a memorização e reaplicá-las em novos

exercícios.

Considerado pioneiro da Didática da Matemática, Brousseau desenvolveu a

teoria que estuda as relações que envolvem o aluno, o professor e o saber,

considerando a forma de apresentação do conhecimento ao aluno como primordial

para promover verdadeiro sentido. O autor adverte sobre a necessidade de se olhar

para a forma pela qual se concebe e apresenta o conteúdo matemático ao aluno,

completamente diferente do que havíamos experimentado durante décadas.

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Resultados de avaliações externas, nacionais, estaduais e locais (SAEB, INEB,

SARESP e outros), trazem dados relevantes sobre a aprendizagem de matemática

em alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental (o qual indicaremos por EF).

Dados que revelam dificuldades acentuadas, principalmente no que diz respeito aos

descritores que apontam para o conhecimento do Sistema de Numeração Decimal (o

qual indicaremos por SND).

Diante desse quadro e da constatação de que os alunos têm, muitas vezes,

dificuldades em compreender as regularidades do sistema de numeração e

principalmente “a posição” dos algarismos nos números, optamos por aplicar a mesma

sequência didática criada por um grupo de pesquisadores argentinos, o qual tomava

como ponto de partida a interação com a numeração escrita.

Como nós, esses pesquisadores consideravam a Teoria das Situações Didática

de Guy Brousseau, fundamental para pensarmos em situações didáticas que

proporcionem aos alunos condições de interagir com o objeto de conhecimento, os

colegas e professor. Desse modo, a figura do professor é essencial para que os alunos

tenham acesso a situações didáticas que os ajudem a avançar em seus saberes.

Como professoras das séries inicias do EF, reconhecemos as dificuldades que

os professores desses anos escolares apresentam tanto com a compreensão das

regularidades que regem o Sistema de Numeração Decimal quanto com o ensino

desse conteúdo tão importante e necessário para a compreensão e a aprendizagem

de outros conteúdos matemáticos.

A experiência vivida com a formação de professores, permitiu-nos identificar

uma significativa resistência a outras concepções de ensino e aprendizagem e o uso

de propostas que nem sempre garantem a formação dos alunos. Há pesquisas, no

campo da formação de professores, que investigam a licenciatura e apontam a falta

de uma articulação adequada entre a formação específica e a formação pedagógica

como uma questão que merece atenção.

Moreira e David (2005), por exemplo, falam sobre a dicotomia existente entre a

formação inicial e a prática docente:

Acreditamos que uma compreensão profunda dessas particulares formas com que a formação matemática do licenciando se desconecta da prática docente na escola, por um lado, ainda está por se desenvolver e, por outro, é condição necessária para que se possa avançar no sentido de elaboração de propostas alternativas mais eficazes. Em outras palavras, nossa expectativa é a de que o

19

desencadeamento de um processo de identificação e análise das formas concretas com que se manifesta a dicotomia entre formação e prática pode conduzir, eventualmente, a uma percepção ampla e fundamentada das razões pelas quais esse problema – tão consensualmente indesejado – persiste, incomodamente, nos cursos de formação de professores (MOREIRA; DAVID, 2005, s/p.).

Analisaremos o desafio que o professor enfrentará ao propor uma situação de

aprendizagem (nova para ele) para os alunos elaborarem seus conhecimentos como

resposta pessoal a um problema. A metodologia escolhida para o desenvolvimento do

trabalho foi inspirada na Engenharia Didática de Artigue (1996), que compreendeu a

utilização de situações didáticas que configurassem um quadro de aprendizagem

significativa em sala de aula.

Para Brousseau (1996a), o modelo de pesquisa da Engenharia Didática requer

do pesquisador/professor a participação e análise das situações didáticas. Um

elemento essencial da situação didática é sua intencionalidade de ser construída para

a aprendizagem do aluno. Destacamos, no ambiente escolar, a presença de um

conjunto de normas (explícitas e implícitas) que regulam as relações entre professor-

aluno, quando se trata de ensino e de aprendizagem. Contudo, nem sempre

conhecidas, essas normas parecem direcionar as práticas e as ações dos professores

e alunos: o contrato didático presente em toda situação de ensino e de aprendizagem.

Segundo Brousseau (1990), o contrato é composto por cláusulas, em parte

explicitadas, mas em sua maioria implícitas, que regulam a divisão de

responsabilidades e estabelecem a relação entre professor e aluno na gestão de um

saber. A noção de contrato didático trata especificamente da tríplice relação professor-

aluno-saber – relação que retomaremos no capítulo sobre os fundamentos teóricos.

A sequência didática que utilizamos foi aplicada a três turmas de 2º ano do

Ensino Fundamental, de uma escola pública da cidade de São Paulo, em períodos

diferentes: junho de 2015, em parceria com Priscila Monteiro1; e no final de 2016,

aplicada a uma única turma do 2º ano da mesma escola.

Nossa pesquisa baseia-se numa perspectiva teórica que toma a didática da

matemática como uma área do conhecimento autônoma, cujo objetivo fundamental

consiste em averiguar quais características de cada situação didática são

1 Priscila Monteiro, colega do mesmo curso, compartilhava o desejo de estudar mais profundamente o SND, e integrava o grupo do mesmo orientador. Em 2016, defendeu seu trabalho: Conhecimentos de crianças sobre o sistema de numeração: o desafio de usar eficazmente a numeração escrita, no qual considerou a análise e os resultados das três turmas do 2º ano.

20

determinantes para a evolução do comportamento dos alunos e de seus

conhecimentos. Pretendemos responder algumas questões, como: o que sabem os

alunos do segundo ano do ensino fundamental sobre o valor posicional? Como

interagem com uma situação didática, construída a partir da Didática da Matemática,

que propõe a análise e a reflexão do valor posicional dos algarismos no número? Qual

a relevância das discussões coletivas nesse processo?

Organizamos o trabalho em 7 capítulos (incluindo a introdução), nos quais

apresentamos a pesquisa e a complexidade presente no Sistema de Numeração

Decimal; a relação com o ensino e a compreensão do sistema posicional; os

fundamentos teóricos que sustentam nosso trabalho; a metodologia utilizada; as

implicações com o ensino usual da matemática; as fases do desenvolvimento da

primeira pesquisa aplicada em 2015; identificamos convergências e divergências com

a pesquisa argentina que implicaram na identificação de variáveis didáticas que

impulsionaram a reorganização das situações didáticas e a reaplicação, em 2016, a

novo grupo de alunos; posteriormente, trazemos a análise da segunda sequência

aplicada e as conclusões parciais de cada etapa; nos últimos capítulos, algumas

considerações e conclusões.

21

CAPÍTULO 1 – O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O Sistema de Numeração Decimal tem suas origens no sistema hindu-arábico,

trazido pelo povo árabe para a Europa, por volta do século VII, e difundido entre os

povos do Ocidente. Constitui-se como um conteúdo fundamental no avanço e

compreensão de outros conteúdos presentes na área de matemática e é regido por

algumas regularidades, cujo funcionamento é considerado complexo, principalmente

no que se refere à posicionalidade dos algarismos no número, ocasionando

obstáculos didáticos em seu ensino e aprendizagem.

1.1 O SND e sua complexidade

Em 1995, Kamii e Declark apontavam a dificuldade na aprendizagem do valor

posicional. Para as autoras, a criança de 6 e 7 anos vive um processo de construir o

sistema numérico (através da abstração reflexiva)2, com operações de + 1. As autoras

advertem o fato de que o valor posicional não é uma técnica e, portanto, não envolve

desempenho motor e não é aperfeiçoado com a prática, afirmando, que, quanto mais

prematura a instrução sobre o valor posicional ou sobre qualquer ponto do currículo,

mais demanda danos valiosos para a aprendizagem do SND pela criança.

Outros estudos (TEIXEIRA, 2006; KAMII; DECLARK, 1986; NUNES; BRYANT,

1997) revelam que as dificuldades em matemática, desde as primeiras até as últimas

séries do ensino fundamental, são produtos da falta de alguns conceitos importantes,

como o sistema de numeração, por parte de quem aprende. Alguns autores

(AGRANIONIH, 2003; BRIZUELA, 2006; NUNES; BRYANT, 1997; LERNER;

SADOVSKY, 1996; ZUNINO, 1995) relacionam as dificuldades de compreensão do

sistema de numeração decimal com a apropriação da notação numérica.

Para Dickson et al. (1993), são inúmeras as facetas envolvidas no processo de

compreensão do sistema posicional, mostrando que há muitas evidências indicando

que algumas das ideias envolvidas não são de fácil domínio:

2 Para Macedo (2014, s/p), “Trata-se de um processo reflexionante, que reflete, que toma consciência das ações realizadas, que reconhece características ou propriedades dos objetos, que faz recortes, cálculos, que cria modelos ou fórmulas, que demonstra”.

22

Há indicações de que erros e ideias incorretas se desenvolvem tanto nas séries iniciais como nas seguintes e, de fato, o domínio desse assunto é incompleto até o final do ensino fundamental. O ensino do sistema posicional parece ser um processo de longo prazo, não limitado a algumas aulas, mas demandando uma progressão cuidadosamente planejada por um longo período de tempo.

As escolas públicas brasileiras, de forma abrangente, trabalham com o ensino

do sistema posicional desde o início das séries iniciais do ensino fundamental. A

dificuldade de compreensão do valor posicional, pelas crianças, pode estar

diretamente relacionada à complexidade que envolve seu funcionamento. É um

sistema de numeração que, se comparado a outros, apresenta diferenças bastante

pontuais que não são estudadas com a profundidade necessária.

Itzcovich (2008, p. 31) considera

O fato de que o sistema de numeração seja um conhecimento que utilizamos permanentemente, às vezes, nos faz perder de vista a complexidade que envolve seu funcionamento e as dificuldades que, consequentemente, possam encontrar aqueles que estão tentando aprender esse objeto matemático. [...] o sistema numeração é uma criação cultural com características próprias que difere de outros sistemas pertencentes a outras culturas. Como qualquer objeto de construção cultural, é uma convenção e, como tal arbitrária, no entanto, a possibilidade de que esse sistema seja aprendido pelas novas gerações depende do seu ensino.

Segundo Lerner e Sadovsky (1996), o SND representa um sistema mais

econômico do que outros sistemas de numeração antigos em consequência do valor

posicional, pois uma quantidade “finita” de símbolos (no nosso sistema de 0 a 9, ou

seja, dez símbolos) é suficiente para registrar um número de qualquer ordem de

grandeza. No entanto, as autoras afirmam que quanto mais econômico o sistema de

numeração, menos transparente ele é, pois oculta ações por trás da posicionalidade

para a formação do número e isso não é tão simples de compreender.

Os dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) mostram-se contraditórios, pois

quando usados na formação de números não se relacionam com as quantidades que

representam. Por isso é preciso a memorização de uma ordem fixa associada às

quantidades. Esta memorização, porém, mostra-se insuficiente para ler, interpretar e

produzir números, tornando-se necessário compreender as regras de funcionamento

do sistema.

23

Além das regras básicas mencionadas (base dez; posicional; aditivo;

multiplicativo) há uma que diz respeito ao uso do símbolo 0 (zero): guardar posição

vazia3 no número. O reconhecimento do zero (0) permitiu um avanço considerável nas

possibilidades notacionais do sistema, já que reduziu as ambiguidades na

interpretação dos números escritos, por exemplo, para diferenciar a escrita do número

25 (vinte e cinco) do número 205 (duzentos e cinco).

Dessa forma, para usar adequadamente o SND, são necessárias a

compreensão e a articulação de todos os seus princípios, e exigirá “que a criança

realize operações mentais para descobrir o significado de um número” (CARRAHER,

2008, p. 61).

Todavia, nem todos os sistemas de numeração da antiguidade eram

econômicos. O sistema de numeração egípcio, por exemplo, consiste num

agrupamento simples, de base dez, com símbolos que representam apenas as

potências de dez. É um princípio aditivo e não posicional e o número é representado

pela soma dos valores de cada símbolo, baseados em sete números: 1, 10, 100,

1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000 (um traço vertical representava 1 unidade; um

osso de calcanhar invertido representava o número 10; um laço valia 100 unidades;

uma flor de lótus valia 1.000; um dedo dobrado valia 10.000; um girino representava

100.000 unidades; uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia

1.000.000).

Há também o sistema de numeração romano, aditivo e não posicional é mais

fácil de interpretar por sua transparência, mas menos práticos para operar ou escrever

um número novo. Se observarmos o número 7, por exemplo, é escrito com três

símbolos: VII e tem como resultado 5 + 1 + 1. Já números maiores (como o 1.000 que

é escrito com apenas um símbolo: M), demonstram que nesses sistemas aditivos a

maior quantidade de símbolos não corresponde a um número maior.

Formado por tantos princípios, o SND tem sido alvo de pesquisas e estudos

relacionados ao seu ensino. Rosineide Jucá, Leonardo Farias Jr e Pedro Sá (2011)

tomam como base alguns estudos (DAMBROS, 2006; SANTOS; GAZZONI; CASSAL,

2008) que resultam em informações de como se desenvolve o ensino do SND ao

3 No século VI ou VII já existia, entre os hindus, o conceito de zero, mas não a notação para esse conceito.

24

propor algumas atividades, utilizando a história da matemática, com o objetivo de levar

o aluno a compreender a construção do nosso sistema.

DAMBROS (2006) investigou como as professoras apresentavam o SND em

suas aulas e concluiu que usavam o conhecimento como algo pronto, considerando o

seu desenvolvimento histórico.

O estudo de Santos, Gazzoni e Cassal (2008)

[...] apresenta um embasamento teórico sobre a contribuição da informática para o ensino da matemática e visando uma aprendizagem significativa foi criado um objeto de aprendizagem e apresentadas atividades com o uso de material concreto para o desenvolvimento do raciocínio lógico matemático e a compreensão do valor posicional no sistema de numeração decimal. Esperava-se com isso, auxiliar na compreensão do valor posicional do sistema de numeração e em atividades nas quais se necessita dessa compreensão, que é básica para o ensino das operações aritméticas. Entretanto, os mesmos não fazem referência a história do sistema de numeração, desenvolvendo suas atividades, a partir do uso do material dourado para que os alunos compreendam o sistema posicional decimal. Assim, também concebem o sistema de numeração decimal como algo pronto que o aluno deve saber para realizar as operações básicas (JUCÁ, FARIAS JR; SÁ, 2011).

Para Jucá, Farias Jr e Sá (2011) os dois estudos citados revelam um ensino do

sistema de numeração decimal concebido como algo “acabado”, não considera a

história da matemática e resulta em aprendizagens ineficientes para os alunos da 6ª

série do ensino fundamental. Ou seja, a alunos que já deixaram as séries inicias do

EF (ciclo I e II) e que, no entanto, continuam apresentando dificuldades na

compreensão do SND.

Ao longo de anos, para garantir a compreensão do SND, entendia-se o ensino

como reprodução exaustiva de sequências numéricas. Alunos e professores se

relacionavam com o sistema de maneira superficial sem conhecer as regras e as

regularidades que o regiam. Saber contar oralmente, grafar os algarismos e realizar

cálculos utilizando os algoritmos das operações (inclusive o QVL – Quadro de valor

de lugar, como facilitador para saber o valor do algarismo através do lugar que ele

ocupa), tomou conta das aulas de matemática no Ensino Fundamental, principalmente

nas séries iniciais.

Essas estratégias de ensino mostram-se insuficiente para a compreensão das

regularidades do SND. Entretanto, alguns pesquisadores se dedicaram a estudar

como crianças compreendem a lógica do sistema numérico, contribuindo com

25

informações valiosas sobre o processo de ensino e aprendizagem do sistema de

numeração.

Segundo Parra e Saiz (1996), as regularidades podem ser observadas em

atividades com situações de comparação e nos argumentos construídos pelas

crianças para fundamentar ou rejeitar uma escrita numérica. Os autores salientam

que, estabelecendo regularidades, as crianças podem explicitar a organização do

SND e avançar no uso da numeração escrita.

A posicionalidade dos algarismos no número (o valor do algarismo no sistema

decimal depende do lugar que ele ocupa no número) é um dos aspectos importantes

do sistema de numeração decimal. Outro aspecto é que esse sistema se baseia em

agrupamentos de dez. Entretanto, pesquisas como a de Lerner e Sadovsky (1996),

veem o sistema de numeração decimal como um problema didático.

Inspiradas nas teorias psicogenéticas, ao investigar o processo de construção

da notação numérica por crianças que ingressam no ensino fundamental, as autoras

afirmam que, “como a numeração escrita existe não só dentro da escola, mas também

fora dela, as crianças têm oportunidade de elaborar conhecimentos acerca deste

sistema de representação muito antes de ingressar na primeira série” (LERNER;

SADOVSKY, 1996, p. 74). As autoras também destacam a questão da

posicionalidade: se for colocado um algarismo à direita de um número, este ficará dez

vezes maior e, necessariamente, potências de 10 de “maior grau” que as envolvidas

irão intervir em sua decomposição.

Para Zunino (1995), as crianças acabam não se envolvendo e nem se

interessando pelo ensino do sistema de numeração, porque a forma como este é

ensinado, “não valoriza nem explora as estratégias de compreensão criadas pelas

crianças como ponto de partida para a apropriação do sistema”.

Brizuela (2006, p. 56), se refere a essas estratégias como “invenções”, uma vez

que “as convenções são reconstruídas por meio da interação e da coordenação entre

o que elas inventam e o que a sociedade lhes oferece. Inventar e criar são de suprema

importância para a construção de conhecimento.”.

26

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTOS TEÓRICOS E METODOLOGIA DE PESQUISA

Neste capítulo, tecemos algumas reflexões sobre os fundamentos teóricos que

embasarão a investigação almejada e sobre a metodologia de pesquisa utilizada.

2.1 Fundamentos teóricos

2.1.1 A Teoria da Situações Didáticas

Nessa pesquisa, utilizaremos uma sequência didática que pretende uma

aproximação dos alunos na compreensão sobre o valor posicional (precisamente o

valor dos algarismos que representam o primeiro agrupamento na base dez). A

situação didática foi pensada, organizada e utilizada por pesquisadores argentinos e

caracterizada pela forma didática como o conteúdo escolhido é apresentado. Os

alunos realizam, de forma mais independente, uma parte significativa das atividades

envolvidas e devem ser capazes de registrar e comunicar suas resoluções, discutir e

ouvir seus colegas valorizando suas hipóteses e saberes. Quando falamos de

situação didática e sequência didática, nos reportarmos à Teoria das Situações

Didáticas (TSD).

Brousseau (1978 apud ALMOULOUD, 2010, p. 33), define situação didática

como:

[...] o conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, num certo milieu (conteúdo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição.

De acordo com Almouloud (2010, p. 33), uma situação didática se caracteriza

pelo jogo das interações do aluno com os problemas colocados pelo professor e pode

ser considerada situação adidática (parte essencial da situação didática), quando a

intenção de ensinar “não é revelada ao aprendiz, mas foi imaginada, planejada e

construída pelo professor” no intuito de promover condições favoráveis para o que

quer ensinar.

A TSD propõe a compreensão das relações existentes entre alunos,

professores e o meio, considerando que todo conhecimento está relacionado a um

tipo de situação. Nessa teoria, o aluno é tratado como um mini pesquisador, pois

27

formula hipóteses, constrói modelos, conceitos, estabelece teorias, faz comparações

e, o principal, participa ativamente no processo de aprendizagem.

A TSD “valoriza os conhecimentos mobilizados pelo aluno e seu envolvimento

na construção do saber matemático” (FREITAS, 2008, p. 78). O professor exerce um

papel importante e bem diferente daquele que até então se conhecia: propõe

situações-problema de modo que o aluno, ao buscar uma solução, adquira a

responsabilidade por sua aprendizagem.

Brousseau (1986, p. 49 in: FREITAS, 2008, p. 84) afirma que:

A concepção moderna de ensino vai, portanto, requerer que o professor provoque no aluno as adaptações desejadas, por meio de uma escolha cuidadosa dos problemas, de modo que o aluno possa

aceita-los, agir, falar, refletir, evoluir por si próprio. Entre o momento

que o aluno aceita o problema como seu e aquele em que produz sua resposta, o professor se recusa a intervir, como alguém que propõe os conhecimentos que deseja ver surgir.

Brousseau (1986) distingue quatro situações que organizam as sequências

didáticas: situações de ação, formulação, validação e as situações de

institucionalização. Nas situações de ação, está o momento de tomada de decisões

onde os saberes são colocados em prática, por exemplo, ao resolver os problemas

propostos; nas situações de formulação, as estratégias utilizadas são explicadas (o

conhecimento implícito é explicitado); nas situações de validação, a estratégia

socializada precisa ser provada dentro de um contexto (devem elaborar provas que

comprovem sua estratégia); nas situações de institucionalização, o professor (no final

e não no começo do trabalho) organiza a síntese do conhecimento.

Consoante Lerner (1996, s/p.), na institucionalização:

[...] o professor expõe o que é novo e que deve ser retido com as convenções em uso. Apresenta de maneira organizada as definições, teoremas, demonstrações, fazendo notar o que é essencial e o que é secundário. O professor tem a responsabilidade de dar um status de objeto aos conceitos que originalmente eram utilizados somente como instrumento, tem a responsabilidade de convalidar aqueles conhecimentos que coincidem com o saber social.

Gálvez (1996, p. 33) indica as principais características dessas situações:

Os alunos responsabilizam-se pela organização de sua atividade para tentar resolver o problema proposto, isto é, formulam projetos pessoais. A atividade dos alunos está orientada para obtenção de um resultado preciso, previamente explicitado e que pode ser identificado facilmente pelos próprios alunos. Os alunos devem antecipar e a

28

seguir verificar os resultados de suas atividades. A resolução do problema formulado envolve a tomada de decisões por parte dos alunos e a possibilidade de conhecer diretamente as consequências de suas decisões com a finalidade de modificá-las, para adequá-las ao objetivo perseguido. Quer dizer, se permite que os alunos tentem resolver os problemas várias vezes. Os alunos podem recorrer a diferentes estratégias para resolver o problema formulado, estratégias que correspondem a diversos pontos de vista a respeito do problema. É indispensável que, no momento de formular o problema, os alunos disponham ao menos de uma estratégia (estratégia de base) para que possam compreender o enunciado e dar início a sua atividade de busca da solução. A manipulação das variáveis de comando permite modificar as situações didáticas bloqueando o uso de algumas estratégias e gerando condições para o surgimento e estabelecimento de outras (subjacentes ao conhecimento que se quer ensinar). Os alunos estabelecem relações sociais diversas: comunicações, debates, ou negociações com outros alunos e com o professor etc.

A TSD propõe a construção do conhecimento a partir da atuação direta do

aluno com o objeto de conhecimento. Segundo Freitas (2008, p. 78), a TSD “se

apresenta como uma contraposição à forma didática clássica, centrada no ensino com

ênfase na divulgação de conteúdos sistematizados, incluindo a forma axiomática” e

também promove um novo olhar sobre o erro, que passa a ser considerado parte

importante e necessária na busca pela apreensão do saber.

Perrenoud (2000) vê o erro como um aspecto importante no processo de

aprendizagem em que “todos tenham direito de errar para evoluir. Ninguém aprende

sem errar. Errando, reflete-se mais sobre o problema e sobre as ações usadas para

resolvê-lo. ”

Almouloud (2010, p.130) compara algumas concepções do erro:

Na concepção de ‘cabeça vazia’, considera-se que o erro revela uma insuficiência de conhecimentos do aluno. Neste caso, o saber não está suficientemente estável ou não está completamente construído e, portanto, não evita o erro por uma ação adequada de validação. Na concepção de ‘massa mole’, o erro deve ser evitado para que não seja gravado no espírito do aluno, tornando-se persistente. Trata-se aqui de um processo de ‘evitação’ desencadeado pelo professor, que não busca corrigir a raiz do erro, mas sim mostrar ao aluno a ‘maneira certa’. Já na concepção dos ‘pequenos passos’ o erro também deve ser evitado, mas, quando produzido, a causa não é a insuficiência de conhecimentos do aluno (‘cabeça vazia’ ou “massa mole’), mas a ‘progressão’ proposta, que não previu que um dos passos necessários

para a concretização da tarefa não era ainda acessível ao aluno.

Para Macedo (1989) o erro e o acerto não são privilégios de quem sabe, mas

caminhos necessários ao conhecimento. Não se pode mais encarar o erro como

29

fracasso, colocando o aluno que erra, muitas vezes, numa situação de

constrangimento frente a seus colegas. Portanto, o erro deve ser encarado como um

instrumento potente na compreensão do processo de estruturação do pensamento do

aluno.

2.1.2 Contrato didático

Diferentemente de contratos diversos que se caracterizam por grande

quantidade de folhas, todas escritas, com letras (na maioria dos casos) bem pequenas

e que exigem uma leitura intensa antes de serem assinados, o contrato didático diz

respeito a comportamentos do professor e do aluno, dentro de uma relação didática.

Guy Brousseau define contrato didático como:

[...] o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor [...]. Esse contrato é o conjunto de regras que determinam uma pequena parte explicitamente, mas sobretudo implicitamente, do que cada parceiro da relação didática deverá gerir e daquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro (apud SILVA in: MACHADO, 2008, p. 50).

É o contrato didático que define as regras de funcionamento de uma situação

didática. Esses comportamentos regulam o funcionamento da aula e as relações

professor-aluno-saber, definindo os papéis de cada um. Assim, é possível observar

uma situação de ensino por meio de relações que se movimentam entre os três polos

descritos por Brousseau.

Silva (in: MACHADO, 2008, p. 49) afirma que:

[...] a prática pedagógica mais comum utilizada em Matemática parece ser aquela em que o professor cumpre seu contrato dando aulas expositivas e passando exercícios aos alunos [...]. O aluno por sua vez, cumpre seu contrato se ele bem ou mal compreendeu a aula dada e consegue resolver corretamente ou não os exercícios.

Charnay (1986) identifica essa prática pedagógica como “modelo normativo”,

no qual a função do professor é mostrar as noções, introduzi-las e fornece exemplos

do que se está ensinando. Já a função do aluno é escutar com atenção as explicações

do professor e, depois, aplicar o que foi ensinado. O saber, nessa prática, é entendido

como acabado e o professor representa um intermediário que transmite aos alunos

esse saber elaborado e terminado (por outros).

30

Esse modelo, centrado no conteúdo, pode ser caracterizado como uma

sequência “exposição/exercícios”. Os problemas, que em geral são problemas com

enunciado, servem basicamente para aplicar o que o aluno aprendeu, porque o

professor ensinou, entendendo “ensino” como transmissão do conhecimento

acabado. De acordo com Silva (in: MACHADO, 2008, p. 70), os efeitos desse contrato

didático são:

Resolver a questão no lugar do aluno, quando esse encontra alguma dificuldade; Acreditar que os alunos darão, naturalmente, a resposta esperada; Substituir o estudo de uma noção complexa por uma analogia; Interpretar um comportamento banal do aluno como uma manifestação de um saber culto; Tomar como objeto de estudo uma técnica que se presume seja útil para a resolução de um problema, perdendo de vista o verdadeiro saber matemático a ser desenvolvido.

Essa prática pedagógica, muito utilizada na tradição escolar, não dialoga com

a TSD de Brousseau, para o qual o aluno é o responsável pela construção do saber,

enquanto cabe ao professor propor e organizar situações didáticas que apresentem

obstáculos, mas que, no entanto, favoreçam novas aprendizagens a seus alunos.

O modelo aproximativo/apropriativo de Charnay (1986) é o que mais se

aproxima das situações propostas pela TSD, pois nela o professor apresenta

situações-problema que provoquem nos alunos uma ação pela busca da solução; o

professor se responsabiliza em organizar a comunicação da aula e em administrá-la

propondo, no momento adequado, os elementos convencionais do saber

(institucionalização). Ao aluno cabe ensaiar, buscar, propor soluções; interagir com o

conteúdo de diferentes maneiras, o que permite construir esquemas de conhecimento

cada vez mais ajustados à natureza do conteúdo.

Nesse modelo, a natureza e a organização do saber têm importância

fundamental. O ponto de partida são os conhecimentos de que os alunos dispõem,

mas não se trata apenas dos seus interesses ou necessidades (como no modelo

incitativo)4, mas de saber e de poder fazer intervenções na situação didática. Para o

autor, o problema é o que torna possível a construção de um conhecimento pelos

4 O modelo chamado incitativo (CHARNAY, 1986) é centrado no aluno. O professor escuta o aluno, detecta seus interesses e o ajuda a utilizar fontes de informação, respondendo as suas demandas. O aluno procura, organiza a informação, estuda, aprende. O saber se relaciona com as necessidades do aluno, a vida cotidiana, a responder seus interesses. A estrutura própria do saber passa para segundo plano.

31

alunos. Não é o lugar da aplicação de algo previamente ensinado, mas da explanação

de uma questão que requer a elaboração de um conhecimento que não se tinha.

Nessa situação, instaura-se um conflito, como consequência das mudanças

nas normas e regras que permeiam a relação o professor, o aluno e o saber. A quebra

de normas e regras, utilizadas até então, indica uma ruptura do contrato. O professor,

segundo o contrato didático vigente na maioria das instituições escolares, teria o papel

de transmitir diretamente o conhecimento; todavia, pode fazer um ato de devolução e

autorizar as crianças a tomar esse direito e construir o conhecimento (TSD).

Muitos alunos terão dificuldades em se ajustar e aceitar essa quebra (ruptura)

de contrato. Silva (in: MACHADO, 2008) destaca que são necessárias a ruptura e a

renegociação para que haja avanço na aprendizagem.

Almouloud (2010, p. 90) destaca, nas afirmações de Brousseau, informações

importantes sobre o contrato didático:

As relações entre o professor e o aluno dependem de um projeto social que se impõe a todos e são regidas por várias regras e convenções que, em sua maioria, não colocam em jogo, de forma sistemática, o saber, que é o terceiro parceiro da relação didática. Este aspecto é o que distingue contrato didático de contrato pedagógico, já que este último privilegia relações sociais, atitudes, regras e convenções, mas não coloca em jogo o saber. Além disso, como o contrato didático é específico dos conhecimentos em jogo, ele pode ser mudado, tendo em vista que os conhecimentos e os saberes evoluem e se transformam, enquanto o contrato pedagógico permanece estável; O funcionamento do contrato didático depende de diferentes contextos de ensino e de aprendizagem. As escolhas pedagógicas, o tipo de trabalho proposto para os alunos, os objetivos de formação, a epistemologia do professor, as condições de avaliação etc., fazem parte dos determinantes essenciais do contrato didático; O contrato didático tem por objetivo, fundamentalmente, a aquisição de saberes pelos alunos; Um contrato didático mal administrado, por parte do professor ou do aluno, pode ser a fonte de dificuldades para a aprendizagem de novos conhecimentos matemáticos. Geralmente, o contrato didático vem à tona e é motivo de renegociação quando não é respeitado por qualquer um dos parceiros da relação didática: professor ou aluno.

Dessa forma, serão necessárias revisões no contrato didático usual, para que

sejam atendidas as novas necessidades que o ensino da matemática vem colocando,

principalmente aquelas relacionadas à Didática da Matemática. Para Soligo (2001),5

5 Texto publicado na Coletânea de Textos do Programa de Formação de Professores Alfabetizadores (PROFA; SEF; MEC, 2001) e organizado por Rosaura Soligo.

32

“a transformação das práticas de ensino e aprendizagem depende, em grande

medida, da modificação do contrato que rege as relações envolvidas nessas práticas”.

Desvendar o contrato que normatiza as relações que têm lugar na escola e

localizar as modificações desejáveis e factíveis, analisando suas prováveis

consequências, é inevitável nesse momento. Soligo (2001) evidencia que é

necessário “compartilhar, com todos, as novas bases nas quais se assentam os

direitos e deveres dos atores do processo educativo”, se quisermos que o contrato

didático privilegie o processo de aprendizagem dos alunos.

2.2 Metodologia de pesquisa

Pensar numa investigação científica sem pensar na forma como a pesquisa se

realizará não é nada razoável. Tomada a decisão do tema central dessa pesquisa

(Sistema de Numeração Decimal) e, a partir das disciplinas estudadas no curso de

pós-graduação (Mestrado em Educação Matemática), revimos profundamente a

metodologia empregada na validação das hipóteses levantadas: a Engenharia

Didática. Por isso nossa pesquisa será inspirada nessa metodologia.

2.2.1 Engenharia Didática

Em 1980, a noção de Engenharia Didática aparece na Didática da Matemática

e passa a ser considerada um avanço metodológico. Inicialmente associada como

metodologia para a análise de situações didáticas, a Engenharia Didática foi

concebida como um trabalho didático de modo análogo ao:

[...] ofício do engenheiro que, para realizar um projeto preciso, se apoia sobre conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controle de tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais complexos que os objetos depurados na ciência e, portanto, a enfrentar [...] problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta (ARTIGUE, 1996, p. 193).

Artigue (1996) considera que essa metodologia permite observar problemas

práticos da sala de aula e, ao mesmo tempo, valorizar o trabalho do professor.

Segundo Almouloud (2010, p. 38),

A engenharia didática (ARTIGUE, 1990) envolve, além de estudos preliminares, a construção, exploração e análise de situações de aprendizagem que têm por objetivo relacionar o professor, os alunos e um elemento do saber matemático, objeto da aprendizagem.

33

Diferentes fases compõem a metodologia da engenharia didática (ARTIGUE,

1988).

A primeira fase é a das análises preliminares. Ela se dá apoiada em um

referencial teórico já adquirido e analisa como se encaminha aquele conhecimento no

aprendiz, como se dá o ensino atual em relação àquele domínio, as concepções dos

alunos, as dificuldades e os obstáculos que marcam a evolução.

No Brasil, a matemática ainda é caracterizada por um ensino usual que não

potencializa a resolução de situações-problema nem as discussões coletivas, como

parte indispensável para se aprender matemática. Ao contrário, utiliza-se de

demonstrações de como fazer e exercícios de fixação, os que hipoteticamente

garantem a aprendizagem.

O ensino do Sistema de Numeração Decimal, relevante para a aprendizagem

de vários conteúdos da matemática, mostra-se insuficiente, considerando a “distância”

que os nossos alunos permanecem da compreensão e uso de suas regularidades. A

prática da utilização de materiais “concretos” (estruturados) permanece como

estratégia “principal” para o ensino do SND, afastando o educando de uma relação

direta com o objeto de conhecimento e, como consequência, afastando-o das

regularidades do sistema de numeração, imprescindíveis para entender o sistema

posicional.

Apoiados em livros didáticos baseados numa concepção de ensino usual há

um percentual significativo de professores que permanece irredutível às mudanças. A

situação didática que utilizaremos nessa pesquisa pretende pôr “à prova” uma

concepção didática completamente diferente da concepção utilizada social e

usualmente em nossas salas de aula, com a pretensão de aproximar os alunos

envolvidos na pesquisa da compreensão de uma das regras básicas de

funcionamento do SND: o valor posicional que o algarismo ocupa no número.

A sequência didática (descrita logo mais) que será utilizada faz parte de uma

pesquisa realizada na Argentina que toma a Didática da Matemática e a TSD de

Brousseau como princípios teóricos para o ensino e a aprendizagem da matemática.

Há algum tempo, a Didática da Matemática e a TSD de Brousseau (1994) vem

defendendo o uso de situações didáticas capazes de envolver e provocar, nos alunos,

o desejo de buscar e encontrar respostas. São propostas situações-problema que

implicam uma mudança “radical” no ensino: retira a responsabilidade do professor que

34

ensina e a coloca no aluno, que, mesmo não sendo capaz de resolver de imediato,

pode chegar a resultados razoáveis, fazendo uso de conhecimentos já formalizados.

Dessa forma, se busca desenvolver nas aulas atividades de produção

matemática que permitam aos alunos reconstruir e avançar em seus conhecimentos.

Ainda que não tenha sido pensada e construída considerando as questões que

envolvem o ensino do SND aqui no Brasil, as situações didáticas envolvidas

consideram o mesmo referencial teórico, a mesma concepção de ensino e o mesmo

objeto matemático definidos, inicialmente, em nosso projeto.

A segunda fase é a da concepção e análise a priori das situações didáticas,

nas quais o pesquisador definirá as variáveis que estarão sob controle e “comporta

uma parte descritiva e outra preditiva” (ARTIGUE, 1988, p. 8), na qual o

comportamento esperado do aluno é o foco principal da análise.

A sequência argentina prevê quatro situações didáticas sendo que as duas

primeiras, inicialmente, propõem uma fase de ação em que os alunos devem antecipar

como começam os resultados de adições com números de dois algarismos e, em

seguida, verificar as antecipações através do uso de uma calculadora.

Na primeira situação, há quatro etapas: trabalho coletivo; trabalho individual;

trabalho em duplas e “puesta em común” (devolutiva do professor sobre as primeiras

atividades). Na primeira etapa, o professor escreve na lousa alguns cálculos de adição

(32+23; 30+24; 38+24; 36+24; 33+26; 38+28; 35+21) e os alunos resolvem com a

calculadora e vão ditando os resultados. Em seguida, o professor pede para

observarem os resultados e pergunta como começam; concluindo que há duas

possibilidades: começam com cinquenta ou com sessenta.

Na segunda etapa, são propostos cinco cálculos (sendo o algarismo que

representa a dezena no primeiro número sempre o 3, e o algarismo que representa a

dezena do segundo número, sempre 2, assim temos: 32+26; 38+21; 37+27; 36+27;

35+25) organizados num quadro que é distribuído aos alunos. Propõe-se aos alunos

que, sem fazer a conta,6 antecipem como começará o resultado de cada um (com

cinquenta ou com sessenta); anotem com palavras (não com números) na coluna

reservada para as antecipações; e que depois de cada antecipação resolvam com a

calculadora e anotem o resultado, com números, na coluna correspondente.

6 A expressão “conta” (cálculos, operações) é usada na sequência original Argentina e decidimos mantê-la.

35

Na terceira etapa, se propõe um trabalho em duplas: discutir como fazemos

para saber, com segurança sempre, sem fazer a conta, se o resultado vai começar

com cinquenta ou com sessenta? Se sempre somamos trinta mais vinte, porque o

resultado as vezes é cinquenta e algo e outras vezes é sessenta e algo? Devem anotar

as respostas que concordam e aquelas com as quais não concordam. Já na quarta

etapa, o professor, que já analisou as produções realizadas pelos alunos, faz uma

devolutiva, na aula seguinte, baseada nas respostas elaboradas por todas as duplas

para a pergunta feita.

A partir dessas situações da TSD de Brousseau, vejamos o que pretendemos

com nossa pesquisa:

• Na primeira situação, nossos alunos buscarão respostas para alguns cálculos

de adição, usando a calculadora. Perceberão que os resultados podem

começar de duas formas diferentes e isso poderá levá-los a um conflito: por

que isso acontece, se em todas as adições os dois números começam com

os mesmos algarismos na dezena?

• Essa dúvida gera um conflito interno, já que a calculadora é socialmente

conhecida como um instrumento do qual se obtêm cálculos exatos e a

professora aceitará os resultados como corretos. O uso da calculadora ainda

não é uma prática usual das escolas públicas, mas de qualquer forma consiste

num instrumento socialmente aprovado e potente para respostas corretas.

Conversaremos com as professoras sobre o uso ou não de calculadoras pelos

alunos, logo no nosso primeiro encontro.

• Também nessa segunda etapa estarão diante de mais uma variável

importante para a matemática: a antecipação dos resultados de cálculos.

Nesse caso, a antecipação de resultados de cálculos de adição. Esta é outra

prática que não estão habituados a utilizar (pelo menos não com a frequência

e com a utilização que se fará na situação planejada), ao contrário, os cálculos

são sempre resolvidos através dos algoritmos convencionais das operações.

• Considerando que o algoritmo da adição é ensinado logo que entram no EF,

é possível que os alunos recorram a ele para justificar suas antecipações:

farão os cálculos algoritmos (registrando ou não) e, a partir do resultado

obtido, farão as antecipações. Se aparecerem alunos que consigam antecipar

36

usando a soma das unidades, por exemplo, e justificando porque os

resultados podem ser de duas formas (se considerarem a soma de unidades

que ultrapasse uma dezena), esse procedimento de antecipar resultados

antes de confirmá-los com a calculadora pode favorecer a aprendizagem

através da socialização das estratégias usadas, ao justificarem a questão:

como fizeram para encontrar a antecipação correta?

• A discussão em duplas também se mostrará um desafio já que a prática usual

dos agrupamentos nas escolas públicas é a individual. Viemos de um ensino

em que o aluno precisa fazer tudo sozinho para aprender. Além disso,

trabalhos em dupla ou pequenos grupos favorecem a conversa e a

desconcentração, prejudicando o rendimento dos alunos. Essa atividade trará

desafios à professora da classe.

Na segunda situação, há duas etapas previstas: trabalho individual e trabalho

em duplas, buscando-se alcançar um maior grau de generalização: propõe-se a

elaboração de uma regra – uma razão – a partir de duas novas listas de cálculos cujas

somas correspondem a dezenas diferentes. A regra deve contemplar também os

cálculos trabalhados na situação anterior.

Na primeira etapa de trabalho individual, os alunos realizam, sucessivamente,

as listas de cálculos organizadas em dois quadros: no primeiro quadro são propostas

somas, cujos resultados devem, também, ser antecipados para só depois serem

verificados com a calculadora (são de quarenta e algo mais vinte e algo): 43+25;

44+26; 44+25; 45+29; no segundo quadro, as somas são de cinquenta e algo mais

trinta e algo: 55+33; 52+39; 53+37; 51+36.

Na segunda etapa, a classe é organizada por duplas e se propõe uma

discussão que deve resultar na elaboração de uma resposta para a pergunta: Como

fazemos para saber sempre e com segurança, sem fazer a conta, como vão começar

os resultados: com sessenta ou com setenta; com oitenta ou com noventa?

• Em nosso caso, o trabalho em duplas estará presente também, nessa

segunda situação. Os alunos vão discutir como fazer antecipações corretas

para somas de números de dois algarismos, sejam quais forem as dezenas

envolvidas. Para terem êxito, precisam refletir sobre as razões que

sustentam os acertos e os erros. Se de fato essa discussão acontecer,

37

ambos poderão expor como pensaram, perceber o que sustenta os acertos

e também os erros, além de se organizar na produção do registro escrito.

• Desafios importantes no processo de aprendizagem: tornar público seu jeito

de pensar; ouvir o que o colega pensa e como fez e tomar decisões sobre

os erros e os acertos. Um período de confrontos e análises, pouco conhecido

pelos alunos da maioria das escolas púbicas e, que se bem organizadas as

duplas pelo professor, considerando as proximidades de saberes, podem

aparecer algumas explicações que indiquem alguma pista ou regra sobre o

valor posicional.

Antes de iniciar a terceira situação, o professor retoma outra série de cálculos

– somas com dezenas diferentes das da lista anterior – permitindo que deem um novo

passo para a generalização. Espera-se que as justificativas se baseiem no

agrupamento decimal, que aconteçam mais rapidamente e de forma unânime.

A terceira situação é marcada pela reflexão coletiva (fase de validação). O

professor pergunta aos alunos: as somas de trinta e algo, mais vinte e algo (3_ + 2_)

poderiam dar um resultado que comece com quarenta? E com setenta?

• A reflexão coletiva marca a terceira situação. Momento ímpar em que os

alunos colocam suas descobertas e certezas; ouvem outros colegas que

podem confirmar ou recusar o que descobriram; podem se indispor uns com

os outros, o que necessitará da mediação do professor que terá de administrar

os diferentes saberes, os possíveis conflitos, mas também organizar e ajudar

os alunos para que, juntos, validem ou não todas as informações e

descobertas que surgirem. Sem dúvida, um momento muito significativo e

necessário, segundo a TSD, para o processo de aprendizagem da

matemática, já que é nesse momento que se pode garantir a validade de

algumas pistas ou regras sobre o sistema posicional, levantadas ao longo da

realização das atividades.

A quarta situação (composta por três etapas) propõe a elaboração de uma

conclusão compartilhada por todo o grupo e sua institucionalização. Na primeira etapa

(trabalho coletivo), o professor propõe o seguinte problema: “Decidam qual das

seguintes afirmações explica melhor o que acontece quando se soma quarenta ou

quarenta e algo, mais trinta ou trinta e algo. O professor escreve na lousa 4_ + 3 _ e

38

questiona os alunos sobre quando essa soma poderá resultar em 7_ (setenta ou

setenta e algo) e quando poderá resultar em 8_ (oitenta ou oitenta e algo).

Na segunda etapa (trabalho em dupla), distribuem-se cópias do quadro e os

alunos trabalham em duplas: leem o conjunto de afirmações7 e escolhem aquela que

melhor explica o que acontece quando se soma quarenta ou quarenta e alguma coisa,

mais trinta ou trinta e alguma coisa, para se obter 7_ e 8_ (setenta e alguma coisa e

oitenta e alguma coisa). Finalmente, faz-se uma discussão entre todos (puesta em

común) para discutir as conclusões elaboradas.

• Para que essa atividade aconteça, é necessário que as anteriores já tenham

acontecido e alcançado seus objetivos. Ao longo da sequência didática

devem ser recolhidas afirmações dos alunos que justifiquem encontrar

antecipações corretas sempre, caso contrário, não poderão realizar essa

última etapa. Parece-nos uma etapa difícil se analisarmos a experiência de

nossos professores: sempre sistematizam primeiro os conceitos para, só

depois, entrarem com exercício de aplicação para os alunos realizarem.

Essa proposta, completamente ao contrário, pode confundi-los e acabar

“falando” pelos alunos (muitas vezes dão pistas para facilitar as descobertas)

e não considerando as generalizações que possam ter feito. É um grande

desafio essa situação e pode desestabilizar o professor não experiente

nesse tipo de ação.

A sequência didática acima apresenta uma situação adidática quando propõe

que os alunos assumam ações que, até então, eram consideradas próprias do

professor: diante de uma situação-problema o aluno fará escolhas e tomará decisões

que encaminhem a possíveis estratégias de solução, além de justificar suas escolhas

e compartilhá-las com os colegas.

Segundo Almouloud (2010), “as ações do aluno são vistas no funcionamento,

quase isolado pelo professor” e caracterizam-se de forma bem diferente da

usualmente utilizada em nossas escolas públicas. No lugar de ensinar logo de início

o agrupamento de base dez, o professor proporá problemas (nesse caso, alguns

cálculos para antecipação de resultados) desafiadores e dará ao aluno autonomia

7 As afirmações incluídas no quadro foram selecionadas entre as realizadas pelos alunos argentinos, nas situações anteriores.

39

para fazer suas escolhas e tomar as decisões necessárias para encontrar as

respostas; é o aluno responsabilizando-se pela própria aprendizagem.

Como mediador do processo, o professor organizará as situações de

aprendizagem e acompanhará (de longe) as ações dos alunos, garantindo o

desenvolvimento da aula.

Os algoritmos convencionais da adição e subtração, habitualmente ensinados

no início do ensino fundamental, caracterizavam a resolução de problemas como um

meio de verificar a aprendizagem dessas técnicas que, institucionalizada previamente,

impediam o uso de outras estratégias de resolução e se constituiriam como uma

“barreira” para o desenvolvimento da proposta.

Além disso, seriam desafiados a antecipar como começavam os resultados de

algumas adições e essa prática também não fazia parte das estratégias usuais de

ensino. O momento de justificar e de confrontar suas respostas com as dos colegas,

não utilizado comumente em classe, poderia provocar momentos de “silêncio” por boa

parte dos alunos e momentos de “desconforto” por parte do professor que se veria

numa situação de não saber o que fazer.

A “nova proposta”, dá ao mesmo tempo autonomia ao aluno na busca por uma

solução (situação completamente nova) e retira do professor a naturalidade na

condução da aula, já que não poderá “ensinar” como faz costumeiramente. No

entanto, considerando que a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo

disponibilizava uma formação (EMAI)8 de Matemática para professores e

coordenadores dos primeiros anos do EF, poderíamos ser surpreendidos com

resultados diferentes dos citados, com professores mais seguros e familiarizados com

a Didática da Matemática.

Retomando as variáveis que podem intervir no andamento natural do trabalho:

aluno e professor frente a um contrato didático não usual; o uso do algoritmo da adição

como estratégia básica e “única” para a resolução de cálculos de adição; e os

momentos de discussão coletiva com justificativas, comparações e confrontos entre

os alunos (e administrada pelo professor).

Encontros antecipados com os professores para conhecer e se familiarizar com

a proposta pareceu-nos uma estratégia eficaz que amenizaria as dificuldades

8 Implantada desde 2008, a Educação Matemática nos Anos Iniciais (EMAI), compreende um conjunto de ações que têm como objetivo articular o processo de desenvolvimento curricular em Matemática, a formação de professores e a avaliação de desempenho dos estudantes.

40

previstas. Porém, uma nova variável poderá ser acrescentada: não teria tempo (dias)

suficiente para a formação desses professores. Encerrava-se o final do primeiro

semestre (final de junho) e a escola que aceitou a realização da pesquisa

disponibilizou (apenas) 4 a 5 dias. Ainda assim, decidimos planejar encontros diários

(de 1h) com as professoras, antes da aplicação de cada etapa da atividade, com a

intenção de garantir minimamente uma aproximação com a proposta.

A terceira fase é a da experimentação: ir a campo para a aplicação da

sequência didática com uma certa população de alunos e os registros de observações

realizadas durante a mesma (ARTIGUE, 1988).

A sequência didática aplicada nessa pesquisa foi organizada/elaborada por

pesquisadoras argentinas e faz parte de uma pesquisa9 desenvolvida na Província de

Buenos Aires, Argentina. Foram propostas situações didáticas que desafiavam os

alunos, do segundo ano do ensino fundamental, a criar regras e explicitá-las,

confrontá-las com o que pensavam os colegas, validá-las e utilizá-las em outras

situações que buscavam uma aproximação da compreensão do sistema posicional.

Enquanto participavam dessas situações, os alunos colocavam em ação as

estratégias já elaboradas, comparavam-nas com as de seus colegas e com a

numeração escrita tal como é e ainda elaboravam procedimentos de resolução e

utilizavam argumentos para justificá-los. Enfrentaram vários desafios que os levaram

a questionar suas próprias ideias sobre a formação do número e a utilizar

conhecimentos conquistados anteriormente.

Vale destacar que essa sequência foi pensada e elaborada para um grupo de

alunos argentinos, mais experientes no ensino e aprendizagem que toma a Didática

da Matemática como área do conhecimento e, portanto, bem diferente do ensino usual

(tradicional) com o qual os alunos brasileiros que farão parte dessa pesquisa estão

acostumados.

No entanto, a eficácia nos resultados, as reflexões e aproximações alcançadas,

pelos alunos, sobre a posicionalidade do algarismo no número e a criação de regras

(aproximativas) que sustentavam suas descobertas foram determinantes para a

9 Hacia la comprensión del valor posicional: Avances y vicisitudes en el trayecto de uma investigación didáctica” co-dirigida por Lerner e Terigi (2013, p. 173)

41

decisão de utilizar a mesma sequência didática10 e aplicá-la a um grupo de alunos do

2º ano da rede pública.

Com o apoio de meu orientador, objetivos definidos e a parceria de uma escola

pública localizada na regional Sul 3, na periferia da capital de São Paulo, iniciamos

nossa pesquisa. A direção da escola disponibilizou as 3 salas do 2º ano do EF, e

mesmo que inicialmente nossa intenção fosse investigar alunos de uma única sala de

aula, o trabalho com as três salas foi confirmado. No primeiro encontro com a direção,

após informes sobre a pesquisa, agendamento de datas para formação das

professoras e aplicação da sequência, combinados sobre a estrutura e a organização,

foram firmados: as duas orientandas se responsabilizariam pela formação dos

professores, pela filmagem das aulas, devolutivas (sempre antes de cada encontro)

e, ambas, acompanhariam a aplicação na mesma sala já que consideravam potentes,

para a pesquisa, observações e análises provenientes de olhares e experiências

diferentes.

A coordenadora da escola gentilmente se dispôs a acompanhar e filmar uma

das salas e, assim, uma única sala ficaria sem registro de vídeo e sem

acompanhamento. A sequência seria conduzida pela professora da classe, enquanto

as orientandas filmariam a aula e observariam, mais detalhadamente, a atuação de

alguns alunos especiais,11 registrando suas contribuições e questões.

Durante a aplicação ou posteriormente a ela, convocando os alunos para

entrevistas individuais ou em pequenos grupos, para esclarecer posições ou

justificativas utilizadas nas discussões coletivas ou mesmo para informações e/ou

dúvidas sobre os registros e as estratégias utilizados nas atividades. As análises,

reflexões e conclusões de cada etapa e de cada sequência aplicada, assim como

quadros comparativos dos resultados obtidos na pesquisa argentina e na primeira

sequência aplicada, estão documentados nos capítulos seguintes.

A quarta e última fase é a análise a posteriori e validação que

[...] se apoia no conjunto de dados recolhidos quando da experimentação, [...] mas também nas produções dos alunos em sala de aula ou fora dela. Esses dados são geralmente completados por

10 Cf.: Apêndice 1 – Sequência Didática Argentina, p. 132.

11 Chamamos de alunos especiais aqueles que, em suas participações, trouxessem dados relevantes, sobre o SND e o sistema posicional, que contribuíssem para a análise e validação ou não da pesquisa.

42

dados obtidos pela utilização de metodologias externas: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos grupos, realizados em diversos momentos do ensino ou a partir dele (ARTIGUE, 1988, p. 10).

Nessa fase, optamos por analisar, simultaneamente, os registros realizados por

meio de vídeos (de cada uma das aulas) e das atividades realizadas pelos alunos.

Incorporamos as tabulações (quadros) de cada uma das atividades da sequência

realizada pelos alunos, pois pareceu-nos importante e facilitador para visualizar,

comparar e analisar os resultados.

Analisados também os encontros formativos com as professoras, previstos

para aproximá-las da compreensão da proposta de trabalho, possibilitando-lhes maior

tranquilidade e segurança durante a aplicação. As conversas com as professoras

possibilitaram informações sobre as experiências vividas, cursos frequentados; quem

eram as titulares e em que categoria se encontravam as não titulares; tempo de

profissão e quanto restava para a aposentadoria entre outros.

Assim, construímos o perfil das profissionais que participaram da pesquisa:

duas delas, próximas da aposentadoria (uma já havia encaminhado a documentação

e aguardava a publicação no Diário Oficial; outra, há alguns meses para fechar seu

tempo de serviço) e uma iniciando seu primeiro ano de docência. As duas mais

experientes, enraizadas no ensino tradicional com foco no professor como expositor

de técnicas; já a menos experiente, mostrava-se mais receptiva à proposta e às

orientações didáticas (menos influenciada pelo ensino tradicional). As três mostravam-

se dispostas e receptivas.

As análises e as conclusões de cada uma das etapas da sequência didática

compõem o próximo capítulo.

43

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE E CONCLUSÕES DA “PRIMEIRA” SEQUÊNCIA

DIDÁTICA APLICADA (2015)

3.1 A “nossa” situação didática

Inicialmente, a sequência didática seria exatamente a mesma organizada pelas

pesquisadoras argentinas. No entanto, ao ler e analisar detalhadamente a pesquisa,

observamos que antes de iniciar a sequência didática, elas conheciam as estratégias

que os alunos utilizavam nos cálculos de adição, os quais foram úteis para as análises

e reflexões no percurso da pesquisa.

Decidimos elaborar uma situação-problema que utilizaríamos como “atividade

diagnóstica”, com a finalidade de conhecer o repertório de estratégias dos “nossos”

alunos para cálculos de adição. O problema envolvia uma das ideias presentes no

campo aditivo.

Segundo Vergnaud (2009, p. 197), por

[...] problemas do campo aditivo, estamos entendendo todos aqueles cuja solução exige tão somente adições e subtrações, do mesmo modo pelo qual entendemos por ‘estruturas aditivas’ as estruturas em que as relações em jogo são formadas exclusivamente por adições ou

subtrações.

Além da atividade diagnóstica inicial, introduzimos, na sequência didática,12

uma atividade a mais, ainda na fase inicial, que consistia numa nova lista de adições

para antecipação e uso da calculadora, pois consideramos necessário dar-lhes mais

uma oportunidade de refletir sobre como encontrar, sempre, uma antecipação correta.

Até então, as atividades realizadas e analisadas mostravam-se suficientes, pois os

alunos não apresentaram avanços em suas justificativas que se aproximassem

minimamente de pistas (regras) coerentes sobre o sistema posicional.

Nossa pesquisa tomará como análise uma das três turmas do segundo ano: a

sala da professora Rosa (nome ilustrativo), considerando o acompanhamento

realizado pela orientanda em todos os dias da aplicação. A frequência dos alunos

nessa turma oscilou significativamente no período da aplicação da sequência (veja

quadro abaixo), a tal ponto que, dos 30 matriculados, apenas 30% realizou todas as

atividades propostas.

12 Cf.: Apêndice 2: Sequência Didática utilizada em nossa 1ª pesquisa (2015) – p.

44

Figura 1: Presença dos alunos da professora Rosa na aplicação da sequência

Fonte: A autora.

O gráfico acima evidencia a presença oscilante dos alunos, mais observável a

partir do segundo dia de aplicação da sequência. No primeiro dia, a presença foi de

quase 100% – apenas uma ausência; no entanto, no último dia apenas 14 alunos

estiveram presentes. As ausências não foram sempre dos mesmos alunos. Houve

uma rotatividade que impediu que mais alunos concluíssem a pesquisa.

Próximo ao encerramento das aulas (início das férias), a ausência apontava

para uma possível antecipação das férias de julho. Por isso, tomamos para análise

somente os alunos que realizaram toda a sequência didática, já que pretendíamos

observar a evolução sucessiva dos alunos na compreensão do sistema posicional. A

sequência foi aplicada pelas professoras e gravada em vídeo pela orientanda.

3.2 A primeira atividade: diagnóstica

1ª atividade- diagnóstica Paulo tinha 38 figurinhas e ganhou 25 de seu amigo. Com quantas figurinhas Paulo ficou?

O professor distribui uma folha com a atividade impressa e lê a consigna13,

juntamente com os alunos. Ouve os alunos sobre o que entenderam da situação

apresentada e propõe que a resolvam individualmente. Após concluírem, as

atividades foram recolhidas e sua análise compartilhada com as professoras no dia

seguinte.

13 A leitura da consigna, pela professora, garantiu a compreensão dos alunos que ainda não apresentavam fluência leitora.

Presença

Qtd alunos

0

10

20

30

1o dia 2o dia 3o dia 4o dia 5o dia

2º ano - Alunos presentes na aplicação da Sequência Didática

45

Os alunos não apresentaram dificuldade para resolver a atividade proposta, ao

contrário, perguntaram se podiam usar a “continha” e a maioria (com exceção de 2

alunos) fez uso dessa estratégia. O quadro 1 traz informações sobre algumas

“peculiaridades” na utilização do algoritmo convencional da adição, estratégia utilizada

por aproximadamente 95% dos alunos.

Quadro 1: Atividade diagnóstica – estratégias utilizadas

Alunos Usou o algoritmo da adição

Algoritmo sem “vai

1”

Algoritmo com “vai 1”

Algoritmo/ Resultado

correto

Algoritmo/ Resultado

errado

Só coloca o

resultado

Usaram QVL

29 27 (1 aluno faz

uma simulação de conta armada)

9 18 18 9 1

28 (7 – usaram o quadro, mas não colocaram

DU)

Fonte: A autora.

Mesmo utilizando o algoritmo (técnica operatória) convencional da adição e o

“quadro de valor de lugar (QVL)”, 10 alunos erraram o cálculo. Esse número de alunos

pode indicar uma ineficiência no ensino prematuro do algoritmo. Indicando também

que a apresentação do quadro de valor de lugar é simultânea ao ensino do algoritmo

e, ainda, que parece não cumprir o propósito que se pretende no ensino tradicional:

ensinar o SND.

Não apareceu (em toda a classe) nenhum aluno que tenha utilizado estratégias

como cálculo mental, decomposição, contagem um a um (pauzinhos ou bolinhas) ou

outro. Um dos alunos colocou o resultado “58”, mas quando questionado sobre como

chegou àquele número, descreveu a estratégia do algorítmica; enquanto outro parece

usar a estrutura do QVL (quadro de valor de lugar) com números diferentes dos

apresentados na situação-problema: pode ser uma tentativa de decompor algumas

quantidades, até próximas, das indicadas na atividade, como mostra a figura 2:

46

Figura 2: Aila - Atividade diagnóstica

Fonte: A autora.

As figuras 3 e 4 trazem algoritmos em que o QVL (quadro de valor de lugar) foi

utilizado (com e sem as marcas de D (dezena) e U (unidade) e com (ou sem) o “vai 1”

com resultados corretos e incorretos e possíveis análises sobre os mesmos.

Figura 3: (da esq. para a dir.) Leandro – Uso do “vai 1”- cálculo errado; Ariane – Uso do “vai 1” cálculo correto

Fonte: A autora.

Os dois procedimentos apresentados nas figuras 3 e 4, trazem um dado

observado com frequência nos alunos que iniciam o uso da estratégia algorítmica da

adição sem entenderem as regras do sistema de numeração: Leandro, figura 3, soma

47

as unidades e leva, corretamente, o 1 (resultado da soma de 8 e 5) para cima dos

algarismos que representam as dezenas, no entanto, não o considera ao somar as

dezenas. Pode ser um esquecimento, fruto do não entendimento da técnica, mas que

traz indícios da falta de compreensão das regras do sistema de numeração.

Já Ariane, figura 4, usa o “vai 1” e também D (para dezena) e U (para unidade)

em sua estratégia e considera a soma das dezenas corretamente. Também aqui não

podemos dizer que o fato de ela usar corretamente e técnica operatória indique

maiores conhecimentos sobre o sistema de numeração.

Já na figura 5, encontramos dois alunos que não incluíram o “vai 1”, no entanto,

Hélio, chega ao resultado correto. Podemos deduzir que ele não viu necessidade de

colocar o 1 (que representa a dezena da soma de 8 e 5), mas o considerou no

momento de somar as dezenas. No entanto, também pode ter chegado ao resultado

utilizando o cálculo mental: somando as dezenas (30 e 20) e acrescentado a soma

das unidades (8 e 5).

Gil, por sua vez, não consegue obter o resultado correto, mesmo utilizando os

termos D (dezena) e U (unidade) nos locais reservados para esse fim. Somou

corretamente 8 + 5, colocou o 3 (de 13) na coluna das unidades, porém, não aparece

o 1 (que indica a dezena do número 13). Pode ter sido um esquecimento e/ou a não

compreensão do que fazer com o 1 do 13.

Figura 4: (da esq. para a dir.) procedimento de Gil – Sem “vai 1” cálculo errado; procedimento de Hélio – Sem “vai 1” cálculo correto

Fonte: A autora.

3.2.1 Conclusões da atividade diagnóstica

Essa dificuldade em compreender as características do SND pode ser

justificativa pelo ensino mecânico, por exemplo, “separando os números em casinhas”

48

para efetuar as operações fundamentais. Na atividade diagnóstica, dos 29 alunos que

a realizaram, 27 utilizaram o algoritmo e o QVL, o que pode indicar que essas crianças

“desenham” as casas relativas às ordens do SND (dividem o número em quadrinhos

D (dezena) e U (unidade) usando o lugar do algarismo no número.

A atividade diagnóstica confirma o que tínhamos como expectativa sobre as

estratégias que seriam utilizadas pelos alunos: o algoritmo da adição estaria presente

na maioria das soluções, possivelmente como consequência do ensino antecipado.

Os alunos não tiveram a oportunidade de desenvolver as competências numéricas

necessárias.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 70), consideram essencial a necessidade

de que os alunos compreendam essas competências numéricas, pois os alunos

[...] precisam saber identificar, compreender e saber usar os números, as operações com os números e as relações numéricas. Os alunos precisam saber identificar criticamente o modo como os números são usados na vida de todos os dias e a escola deve procurar desenvolver esse tipo de competência.

3.3 Segundo dia: 1ª situação/trabalho coletivo

A professora anota no quadro uma lista de cálculos (32+23; 36+24; 38+28; 30+24;

33+26; 35+21; 38+24; 31+26 e 34 + 27) em que conserva o algarismo da dezena nas

duas parcelas, de tal modo que um deles corresponde sempre a “trinta e algo” e o

outro a “vinte e algo”.

Assim que os alunos encontram todos os resultados com a calculadora e os

ditam à professora, ela solicita que leiam os resultados de cada um deles.

Professora: Esse primeiro grupo aqui, essas continhas começaram com quanto? (Mostrando o primeiro grupo de cálculos que tinha 3 cálculos – os dois primeiros começavam com 50 e o terceiro com 60).

Crianças: cinquenta e um pouco.

Professora: Cinquenta e?

Crianças: e um pouco.

Professora: Cinquenta e alguma coisa. E esse grupo aqui (mostrando o segundo grupo com 3 cálculos – os dois primeiros começavam com 60 e o terceiro com 50).

Crianças: Sessenta e alguma coisa.

49

Professora: E na terceira (se referindo a terceira coluna que tinha 3 cálculos – o primeiro e o último começavam com 60 e o segundo com 50)?

Crianças: sessenta e alguma coisa (consideravam o resultado do primeiro cálculo).

A professora não havia percebido que os resultados se misturavam nas

colunas. O que os alunos precisavam observar, com relação aos cálculos trabalhados,

era que os resultados de cálculos com 30 e alguma coisa, mais 20 e alguma coisa,

poderiam ser 50 e alguma coisa ou 60 e alguma coisa. Podemos observar, pelo trecho

protocolado a seguir, que os alunos respondem de forma confusa (alguns dizem, sim,

e outros, não) aos questionamentos, porém, logo são respondidos por ela.

Vejamos:

Professora: Temos aqui OITENTA E ALGUMA COISA, SETENTA E ALGUMA COISA? Crianças: Sim!! Não!! Não!!! (Várias crianças respondem juntas, mas a maioria deles diz não.) Professora: Não! Aqui nós só temos... Crianças (algumas): Cinquenta e sessenta. Professora: Isso. Cinquenta e sessenta. Muito bem! Então, olha lá... Eu vou escrever isso para vocês...

A professora vai até a lousa e escreve: 50 CINQUENTA - 60 SESSENTA.

Professora – Bom, agora nós vamos para outra atividade... vocês vão deixar a calculadora de lado. Desliga. Agora não quero ver ninguém mexendo.

As crianças acompanham a escrita na lousa e seguem lendo: Cinquenta...

Sessenta...

3.3.1 Conclusões – 1ª situação/trabalho coletivo

A atividade coletiva deveria levar os alunos a observar que os resultados

daqueles cálculos poderiam começar de duas formas diferentes (CINQUENTA ou

SESSENTA), mesmo mantendo-se o algarismo das dezenas nos dois números. As

intervenções da professora não foram suficientes para que os alunos observassem e

concluíssem que os cálculos permitiam dois resultados diferentes, e isso era

significativamente importante, pois poderia constituir uma dúvida necessária às

próximas situações da sequência: por que cálculos que comecem com números iguais

(na casa da dezena) permitem resultados diferentes?

50

Os questionamentos anteriormente evidenciados nos encontros de formação,

capazes de chamar a atenção dos alunos para o resultado dos cálculos, não

apareceram. Notamos uma dificuldade, própria da não compreensão da atividade,

quando os cálculos escritos na lousa, apesar de estarem misturados, foram tomados

como se estivessem separados por resultados (ora CINQUENTA, ora SESSENTA).

Os alunos respondiam às questões completando as frases já iniciadas, como

num coro, sem saber por que o faziam. Apenas o faziam como se fosse uma situação

habitual. Dessa forma, o encaminhamento da atividade evidencia uma questão

considerada anteriormente: a presença do ensino tradicional contrapondo-se ao

ensino que propõe a construção dos conhecimentos pelos próprios alunos.

Quadro 2: Conclusões das duas pesquisas (2º dia – 1ª situação)

PESQUISA ARGENTINA NOSSA PESQUISA (2015)

O trabalho coletivo inicial apontou para a elaboração rápida de uma regra: é suficiente observar como começam os resultados dos cálculos realizados, nos quais se pode confiar, já que foram verificados com a calculadora por todos os alunos e validados pela professora. No entanto, a regra é problemática ao estabelecer duas possibilidades e não só uma, apresenta, implicitamente uma dúvida.

O trabalho coletivo não garantiu que os alunos concluíssem, inicialmente, que poderiam confiar nos resultados dos cálculos realizados e, dois motivos podem ter impedido essa conclusão esperada: os alunos não tinham experiências suficientes com a calculadora que pudessem concluir que os resultados obtidos através dela seriam confiáveis; a professora não tinha clareza dos objetivos que essa atividade deveria atingir.

Fonte: A autora.

Duas divergências são observadas nas conclusões da primeira situação das

duas pesquisas: na pesquisa argentina, os alunos tinham experiência com a

calculadora, a usavam com frequência e podiam ter certeza de que os resultados

obtidos através de seu uso eram confiáveis. Nossos alunos não tinham nenhuma

experiência com a calculadora, segundo a professora. Foi necessário o planejamento

de uma aula para que tivessem contato com a calculadora e a experimentassem,

realizando alguns cálculos, antes das atividades que previam seu uso na sequência

didática.

A segunda divergência não está explicita, todavia precisa ser evidenciada: as

professoras argentinas tinham experiências com a Didática da Matemática, enquanto

nossas professoras, ao contrário, utilizavam comportamentos e atitudes próprios de

um ensino sustentado pela tradição escolar. Além disso, as argentinas tiveram mais

tempo destinados aos encontros formativos, já as nossas professoras tiveram um

tempo bem pequeno (apenas 1h antes de cada etapa). Essas questões são

suficientes para justificar as dificuldades observadas nessa primeira atividade.

51

3.3.2 Segundo dia – 2ª situação: trabalho INDIVIDUAL/DUPLAS

Uma folha é entregue aos alunos e contém um quadro com novos cálculos, do

mesmo tipo dos apresentados na situação anterior. A professora propõe que os

alunos, sem fazer as contas, antecipem como começará o resultado de cada um (com

cinquenta ou com sessenta), anotem com palavras (não com números) na coluna

reservada para as antecipações e, depois de cada antecipação, resolvam com a

calculadora e anotem o resultado com números na coluna correspondente.

Quadro 3: Modelo da folha de atividade

Cálculos Antecipação Calculadora

32 + 26 =

38 + 21 =

37 + 27 =

36 + 27 =

35 + 25 =

Fonte: A autora.

Organizados em duplas os alunos discutem como fizeram para saber com

segurança, sem fazer a conta, se o resultado ia começar com cinquenta ou com

sessenta. A professora pergunta: “Se sempre somamos trinta mais vinte, porque o

resultado às vezes é ‘cinquenta e alguma coisa’ e outras vezes é ‘sessenta e alguma

coisa’?” Orienta os alunos a anotarem as conclusões: os acordos e os desacordos

que aparecerem. Ao final, a professora recolhe as produções individuais e das duplas

de toda a turma.

Nessa atividade, a discussão em duplas teve grande relevância, pois

esperávamos que os alunos trocassem informações sobre as estratégias usadas para

chegar às antecipações, dessa forma ampliando os procedimentos de como encontrá-

las.

Professora: Essa atividade aqui, não é para colocar resultado. O resultado óh, o resultado ... nessa primeira parte aqui óh (mostrando a tabela da atividade) tá escrito...O que tá escrito aqui? Crianças: Começam a falar e um deles grita: Antecipação! Professora: Antecipação. Essa antecipação vocês vão escrever... (vai até o quadro e mostra o que havia escrito antes) não é para colocar o número, é para escrever se é cinquenta ou sessenta que começa essa conta. Criança: sessenta. Professora: É para escrever não é para falar. É para escrever. Não é para colocar número não! É para escrever se cinquenta ou sessenta [A professora para de falar e fica observando]. Uma criança grita: 52!

52

Professora: Eu não perguntei o resultado Murilo. Eu só falei que é para escrever como você acha que começa. Se é com cinquenta ou com sessenta. Se for com cinquenta, vocês vão escrever óh, cinquenta (apontando para a escrita CINQUENTA da lousa).

A professora repete várias vezes o que é para ser feito e, enquanto caminha

entre os alunos, explica individualmente para os que não entenderam. Gastou-se

muito tempo com explicações e retomadas individuais da consigna, o que sugere que

eles não sabiam o que fazer. Não fica claro se os alunos sabiam o que era

antecipação, e pode ser que por causa dessa dúvida muitos tenham usado primeiro a

calculadora, faziam o cálculo e só depois preenchiam a atividade com a antecipação.

Quadro 4: Tabulação da 2ª situação

ALUNOS 1. Antecipação 1.Calculadora 2.Conclusões/dupla Observações 1. Tudo SESSENTA OK Usei a imaginação e contei no

dedo

2. CORRETO OK Eu contei 3 + 2

3. CORRETO Errou 32+26 (68) Eu não sei explicar Apagou e escreveu por cima

4. CORRETO OK Somamos unidade com unidade e dezena com dezena

5. Tudo CINQUENTA OK Eu contei 3 + 2

6. Errou 36 + 27 (cinquenta)

OK Eu fiz de dezena e unidade Fez a antecipação com conta

armada e deixou registrado na

folha

7. Errou 36 + 27 (cinquenta)

OK Eu contei três ... Apagou e escreveu por cima

8. CORRETO OK Eu fiz a conta de 3 + 2 e de 6 + 2 e deu 58

Apagou e escreveu por cima

9. CORRETO OK Calculadora 3 + 2 Apagou algumas antecipações e

resultados TOTAL Corretas: 5 Corretos: 8 A maior parte dos alunos

utiliza 3 + 2. Soma dos algarismos que representam as dezenas.

O fato de terem apagado sugere que tenham corrigido após o uso da calculadora.

Fonte: A autora.

O quadro acima traz os resultados da segunda situação da sequência, na qual

mais da metade dos alunos (5 dos 9 alunos) preencheu corretamente as

antecipações. Isso não quer dizer que os alunos as tenham realizado de forma correta,

pois em três atividades há sinais de que apagaram e escreveram novamente. Podem

ter feito essa correção após o uso da calculadora, no entanto também pode indicar

que perceberam os erros na antecipação e a corrigiram.

53

Dois alunos erraram apenas 1 antecipação e para o mesmo cálculo: 36+27.

Dois alunos colocaram as mesmas antecipações para todos os cálculos: SESSENTA

e CINQUENTA. No caso do aluno que colocou tudo CINQUENTA, provavelmente

tenha considerado apenas as somas das dezenas ou não tenha entendido o que era

para fazer e copiou a primeira antecipação para todos os cálculos.

3.3.3 Conclusões

A professora não lê a consigna com os alunos como havíamos combinado e

isso pode justificar a dificuldade acentuada na compreensão do que deveriam fazer.

Nas discussões e conclusões das duplas, a maior parte justifica a soma dos

números das dezenas primeiro “3+2”. Uma dupla diz que fez unidade com unidade e

dezena com dezena e outra dupla que fez “dezena e unidade”, no entanto, consideram

só a soma das dezenas.

A preocupação que tínhamos sobre uma possível dificuldade dos alunos para

usar a calculadora (não tinham experiências anteriores com a máquina) não foi

justificada nessa atividade, já que a maioria demonstrou familiaridade e facilidade ao

usá-la. Já a dificuldade apresentada no trabalho em duplas indica a falta de

experiências que têm com outra organização metodológica que difere das atividades

individuais.

Não conseguiram concluir nada que indicasse uma aproximação da

necessidade de se considerar as unidades ao encontrar as antecipações de somas

com números de dois dígitos.

54

3.3.4 Resultado comparativo: pesquisa argentina – nossa pesquisa

Quadro 5: Conclusões das duas pesquisas (2º dia – 2ª situação)


Alguns alunos dos grupos, colocaram o resultado correto no lugar da antecipação; outros acertaram a antecipação, no entanto, o que escrevem debaixo do quadro (da atividade) mostram que também usaram a soma exata em lugar de antecipar e a maioria dos alunos, confundem-se sistematicamente quando a soma das unidades dá lugar a uma nova dezena. No início da sequência, muitos alunos utilizam a soma das dezenas e desconsideram as unidades. Isso é compreensível, pois os alunos utilizam uma estratégia muito econômica: utilizam “os dez” como se fossem unidades. Concepção forte e difícil de se renunciar. Outros alunos que antecipam corretamente a soma das dezenas, ao observarem que a soma das dezenas não corresponde aos resultados corretos, começam a perceber e considerar as unidades. Nos grupos, os alunos dão pistas ao explicarem como chegaram às antecipações que dão indícios de que estão considerando as unidades, mas não suas somas: “Tem que olhar se os últimos são altos ou não.”

A maioria dos alunos acertaram as antecipações, porém, não há como considerar que tenham realizado com segurança, pois há indícios de alunos que apagaram e escreveram novamente as antecipações e isso pode ter ocorrido tão logo tenham usado a calculadora e observado o resultado correto. A discussão em dupla não traz elementos que nos autorizem a dizer que alguns consideraram a soma das dezenas, mas que outros também consideraram a soma das unidades. As duplas citam os algarismos das dezenas (3 + 2) ou dizem que fizeram dezena + dezena. Não apareceram alunos que explicitaram na discussão em grupo terem considerado as unidades ao realizarem as antecipações: vários usam a técnica operatória da adição para explicar como chegaram às antecipações. Não aparece nenhuma “pista” sobre o que se tem que olhar para encontrar as antecipações.

Fonte: A autora.

Como convergência, nas duas pesquisas aparece o fato de que há alunos que

utilizam a soma das dezenas e desconsideram as unidades. Porém, encontramos

divergências, pois no caso dos alunos argentinos isso é compreensível, uma vez que

o trabalho que realizam com o sistema de numeração os leva a utilizar uma estratégia

muito econômica: utilizam “os dez” como se fossem unidades. Concepção forte e difícil

de se renunciar, segundo as autoras da pesquisa.

No nosso caso, os alunos não tiveram experiências de análise e reflexão sobre

o sistema de numeração e parece-nos mais compreensível que estejam utilizando o

formato da técnica operatória, no qual a soma das dezenas é realizada da mesma

forma que a soma das unidades (não é considerado o valor posicional dos algarismos

que representam as dezenas).

Outra convergência: há alunos que acertam a antecipação, porém, dão indícios

de que apagaram e escreveram por cima, o que pode indicar que o fizeram após

observarem o resultado correto na calculadora. Alguns alunos argentinos

conseguiram produzir pistas que dão indícios de que estão considerando as unidades,

55

mas não suas somas: “Tem que olhar se os últimos (se referindo às unidades) são

altos ou não”. De forma divergente, nossos alunos não conseguiram concluir nada

parecido. A dificuldade apresentada na organização metodológica proposta, ou seja,

em duplas, não favoreceu a socialização das estratégias.

3.3.5 Terceiro dia – 3ª situação – Trabalho individual/dupla

A atividade, dividida em dois quadros, apresenta novos cálculos com a mesma

proposta anterior: devem antecipar como começará o resultado de cada cálculo e

anotá-los com palavras. Segue-se o uso da calculadora para buscar o resultado

correto e escrevê-los com algarismos. Assim que concluírem, devem conversar com

um colega sobre como fizeram para encontrar as antecipações e registrar as

conclusões.

Quadro 6: Modelo da Folha de Atividade

Antecipação Calculadora

43 + 25 =

44 + 26 =

44 + 25 =

45 + 29 =

Fonte: A autora



55 + 33 =

52 + 39 =

53 + 37 =

51 + 36 =

Fonte: A autora.

De modo geral, os alunos apresentaram as mesmas conclusões: somando os

algarismos das dezenas; contando nos dedos; somando primeiro os algarismos das

dezenas e depois os algarismos das unidades; dessa vez quando a calculadora não

foi entregue às crianças no início da atividade, mas só depois de terem completado

todas as antecipações. Com isso esperávamos que os alunos não a usassem

antecipadamente como fizeram na atividade anterior.

56

A professora não lê a consigna novamente. Parece não ver importância nesse

procedimento, no entanto, tenta explicar “do seu jeito”. Ela também não esquece de

dizer aos alunos que não é para escreverem as antecipações com números.

Professora: Então, vocês vão escrever como acham que vai começar essa primeira continha. Vai começar com sessenta ou com setenta? Não é para colocar número. Criança: Pro já pode começar? Professora: Pode...

Pela resposta dos alunos, há evidências de que entenderam a atividade (se

trata da mesma proposta das atividades anteriores com outros cálculos). A atividade

segue com a professora aguardando que todos terminem a antecipação de um cálculo

para indicar o cálculo seguinte. Chama-nos a atenção um dos alunos: fez todas as

antecipações e completou a coluna com o resultado final. Ao ser questionado sobre

como havia pensado para fazer 44+26, ele começa a contar nos dedos e diz: “10. Aí

subimos 1 para dezena. Aí soma tudo...”. Ele usa a contagem como estratégia para

calcular, apesar de registrar a estrutura da técnica operatória em sua folha.

Outro aluno chama a atenção: começa rapidamente a fazer as antecipações da

2ª parte; e vai colocando o resultado logo após a antecipação. Primeiro coloca todos

os resultados e depois escreve as antecipações. Interessante é que apesar dos

resultados corretos ele não se dá conta de que os resultados não começam mais com

60 ou 70 e vai colocando freneticamente: SETENTA, SETENTA, SETENTA E

SETENTA.

A professora segue perguntando cálculo por cálculo e os alunos seguem

respondendo em coro. Lembramos que a proposta era que os alunos resolvessem

individualmente as antecipações. Mais uma vez, podemos observar que a professora

segue tomando decisões que indicam a não clareza da proposta.

Professora: Então vamos ver: 55 + 33 começa com oitenta ou com noventa? Crianças: 80! Professora: Todo mundo acha que vai começar com 80? Crianças: sim!!

Nas duplas, a professora inicia uma série de perguntas envolvendo o valor

posicional dos algarismos no número. Parece entender que isso ajuda os alunos a

compreender a atividade e a chegar a conclusões que parecem difíceis de serem

atingidas por eles. Aproxima-se de um aluno, mostra o primeiro cálculo e pergunta:

57

Professora: 4 + 2 é quanto? Criança: 6 Professora: É 6, óh (mostra o resultado da calculadora e continua). Está no lugar de quanto? Criança: 60

A professora faz um gesto (virando para cima a palma da mão), como que

dizendo “então”. Pode ser que ela esteja induzindo o aluno a pensar que se a soma

dos algarismos que indicam a dezena (4+2) dá 6 e se o algarismo 6 no número

representa 60, ele poderá concluir que a antecipação só pode ser SESSENTA. Sendo

essa a tentativa dela, indica que acredita que para saber como começa o resultado de

um cálculo é só somar as dezenas e localizar o valor absoluto do algarismo que resulta

dessa soma. A professora se aproxima de outro aluno:

Professora: Aqui, como foi que você pensou que dá 60? Como? Como foi? Se eu olhar essa continha aqui posso dizer, vai dar 80. Criança: 4 + 2 não é 7 é 6 Professora: 6... aí vai dar... porque? O 4 aqui (mostrando na folha da aluna) está no lugar de quanto? Criança: 40 Professora: E esse 2? Criança: 20 Professora: Então, se eu pegar 40 + 20 dá quanto? Criança: 60 Professora: Aí eu vou somar as unidades. Tudo bem, então o que você vai escrever aqui? Criança: 4 + 2 não é 7 Professora: Não... tá então vai. Criança: Registra em sua folha: quatro mais dois não é sete é seis

A professora mostra as unidades para cada aluno e chega a dizer o que é para

fazer com elas (somar as unidades), mas a aluna não faz nada com aquela

informação, apenas registra o que estava sendo falando desde o início: “quatro mais

dois não é sete é seis”. A professora ainda questiona outros alunos sobre o valor

absoluto de alguns algarismos que indicam as dezenas, mas não obtém êxito:

Professora: Esse 4 aqui está no lugar de quanto? (Como o aluno não responde, a professora pergunta se ele sabe que número é aquele – se referindo ao número 44. Ele continua calado.) Professsora: é 30, é 20, é 50, é 70, é 60... Que número é esse? É 80? Criança sussurra: 40 Professora: Ah, 40 e quanto? Criança: 44. Professoa: Ah, 44. Se eu tirar o 4 (tampa o 4 da unidade com o dedo, deixando só o 4 da dezena) daqui vai ficar quanto? Criança: 4

58

Professora: 4, mas esse quatro o valor dele? Você falou para mim que esse número é quarenta (apontando para o 4 da dezena) e 4 (apontando para unidade). Se eu tirar o 4 vai ficar? Criança: 4

A professora se cala, levanta (estava abaixada junto à mesa do aluno) e sai.

Quadro 8: Tabulação dos resultados da 3ª situação

ALUNOS

Quadro 1 Antecipação/Calc

uladora

Quadro 2 Antecipação/ Calculadora

Ativ. 3 (DUPLA)

1. Tudo SETENTA / OK

Tudo NOVENTA / OK Eu fiz com dificuldade e fiz com noventa

2. Tudo SESSENTA / OK

Errou o último (colocou NOVENTA) /

OK

Eu fiz assim contando

3. CORRETO/ Errou 43+25 e 44+25

CORRETO/ OK Eu pensei

4. Errou o 3º e o 4º / OK

CORRETO/ OK Eu contei na calculadora

5. Tudo SETENTA / OK

Tudo OITENTA / OK “Apagou muito”

6. CORRETO/ OK CORRETO/ OK (apagou alguns)

Eu fiz na cabecinha

7. CORRETO/ OK CORRETO/ OK Eu contei 4 + ...

8. Errou o 2º e o 3º / OK

CORRETO/ OK Eu fiz a conta de 4 + 3

9. CORRETO/ OK CORRETO/ OK

TOTAL CORRETA: 4

TUDO IGUAL: 3 ERRADAS: 2

1 aluno errou com a calculadora

CORRETAS: 6 TUDO IGUAL: 2

ERRADAS: 1(só 1 cálculo)

Calculadora: todos OK

2 duplas mantém a soma dos algarismos das dezenas; 2 parecem ter usado o CM (pensei, usei a cabecinha)

mas ao explicarem usam a técnica operatória da adição.

Fonte: A autora.

No quadro 1, dos 9 alunos, 4 alunos acertaram todas as antecipações; 3

colocaram a mesma antecipação para todos os cálculos; e 2 erraram duas das

antecipações; 8 deles acertaram os resultados realizados com a calculadora.

Lembramos que nessa atividade os alunos não tinham a calculadora e nas

antecipações vários deles fizeram uso da conta armada (aparecem registradas nas

folhas de atividade).

No quadro 2, dos 9 alunos, 6 acertam as antecipações, 2 colocaram a mesma

antecipação para todos os cálculos e 1 errou apenas um dos cálculos. Todos

acertaram os resultados obtidos com a calculadora. O número de alunos que acertou

todas as antecipações é bem significativo. Alguns podem ter usado a calculadora

antes das antecipações.

Com relação às conclusões sobre como sabiam se começavam com 60 ou 70

ou com 80 ou 90, ninguém parece ter concluído que é necessário somar também as

59

unidades, e não apenas as dezenas. Aqui há uma dificuldade instalada sobre explicar

como se fez, como se pensou. Os alunos parecem sem experiências com essa

possibilidade de se colocar diante dos outros colegas expondo suas estratégias,

justificando suas escolhas, contrapondo com os colegas etc.

3.3.6 Conclusões

A professora mostra-se ansiosa com os questionamentos que faz aos alunos

sobre o valor dos algarismos (da dezena, principalmente). Parece imaginar que todos

os seus alunos já sabiam o valor posicional dos algarismos no número e relembrando-

os os ajudaria a chegar às conclusões esperadas. Não faz intervenções que ajudam

os alunos a pensar sobre as unidades e a explicar sua importância, ao contrário,

parece convicta de que se os alunos souberem quanto valem os algarismos que

representam as dezenas nos números, serão capazes de perceber a importância da

soma das unidades.

Na verdade, suas intervenções podem indicar dúvidas sobre aonde os alunos

deveriam chegar com as discussões e as explicações sobre o que fazer para antecipar

corretamente os cálculos. Nessa aula, evidencia-se a postura inadequada dos alunos

quando estão nos grupos: não sabem o que fazer; ficam quietos; respondem ao que

o professor pergunta; parecem não ouvir uns aos outros; já que não fazem nenhum

comentário ou objeções sobre o que ouvem. Continuam agindo individualmente,

mesmo estando agrupados.

Os alunos não conseguem produzir nenhuma pista que indique avanços sobre

a importância de se considerar a soma das unidades ao indicar as antecipações dos

cálculos propostos.

60

3.4 Comparativo: pesquisa argentina – nossa pesquisa

Quadro 9: : Conclusões das duas pesquisas (3º dia)

PESQUISA ARGENTINA NOSSA PESQUISA (2015) Os alunos avançam em suas conclusões: “Tem que olhar para os soltos. Se em um há um 50 e em outro 30, dá 80, mas se os soltos formam um número que passa de dez ou chega a dez, não dá o número que dava primeiro, por exemplo cinquenta e cinco mais cinquenta e cinco. ” Passam a considerar a soma das unidades para ambos os casos: quando a soma das unidades dá um número menor, igual ou maior que dez. Conclusões: 1ª e 2ª situação As crianças que inicialmente se concentravam nos dezes, passam a levar em conta as unidades e fazem antecipações corretas. Em suas explicações classificam os algarismos das unidades em “altos” e “baixos”. As crianças que já consideravam as unidades na primeira situação e faziam antecipações sempre corretas, na segunda aperfeiçoam suas explicações: levam em conta a soma das unidades e elaboram uma regra geral, cuja formulação envolve, com maior ou menor clareza, o agrupamento decimal.

Não há avanços observados nas conclusões dos alunos sobre o que fazer para antecipar corretamente como começam os resultados dos cálculos. Muitos acertaram as antecipações, no entanto, suas explicações continuam pautadas na técnica operatória da adição. As crianças, nas duas situações, continuam sem considerar a soma das unidades. A atividade em grupo, acontece apenas na situação de agrupamento, porém os alunos continuam realizando as atividades individualmente. Isso mostra uma completa falta de experiência com esse tipo de organização metodológica.

Fonte: A autora.

A pesquisa argentina continua mostrando os avanços dos alunos ao concluírem

que precisam considerar a soma das unidades na antecipação. Passam a dizer que

precisam olhar “para os soltos” referindo-se às unidades e concluem que se os soltos

formam um número que passa de dez ou chega a dez, muda-se o total inicial

considerado a partir da soma das dezenas.

Nossos alunos, por sua vez, não demonstram nenhum avanço “declarado” da

importância de se olhar para a soma das unidades. Apesar de muitos acertarem as

antecipações, ainda utilizam a técnica operatória e a soma das dezenas para explicar

como chegaram a elas. As crianças argentinas que já consideravam a soma das

unidades passam a formular pistas considerando o agrupamento decimal. Nossos

alunos não conseguem chegar a nenhuma conclusão próxima a essa.

3.5 Quarto dia – 4ª situação – trabalho individual / coletivo

As atividades do dia anterior mostraram-se insuficientes considerando que os

alunos não estavam demonstrando aproximações à aprendizagem esperada. Não

conseguiram concluir nada que se aproximasse de uma regra e, diante desse fato,

decidimos incluir mais uma atividade (agora com resultados que começariam com

61

SETENTA ou com OITENTA) com a estrutura das anteriores, cálculos que resultariam

em novos resultados e uma proposta de discussão coletiva para finalizar a atividade.

Esperávamos que pudessem justificar as antecipações, não apenas

considerando a soma das dezenas dos números, mas principalmente as somas das

unidades e que justificassem com pistas que pudessem ser usadas na atividade final

de institucionalização.

As pesquisadoras argentinas retomam, também, uma outra série de cálculos

com dezenas diferentes, apenas escrevendo-as na lousa. Foram surpreendidas (bem

diferente do que aconteceu com nossos alunos), pois, assim que registram os cálculos

na lousa, muitos alunos diziam: “Ah, é a mesma coisa! A mesma coisa que antes, mas

diferentes!”. As justificativas apresentadas são imediatas e unânimes, baseadas no

agrupamento decimal, confirmando o que os alunos já haviam concluído e iniciando

as últimas atividades.

A proposta é explicada pela professora e iniciada pelos alunos.


ANTECIPAÇÃO CALCULADORA

42 + 36 =

48 + 31 =

47 + 37 =

46 + 37 =

45 + 35 =

Fonte: A autora.

Nenhuma novidade nessa aula. No momento da discussão coletiva, em que os

alunos explicitariam como chegaram à antecipação de cada cálculo, nenhum avanço

(pelo menos nenhum avanço observado). As conclusões que chegaram pareciam não

acrescentar nenhuma descoberta sobre o sistema posicional. Os registros feitos pela

professora, sobre a conversa coletiva que tiveram, foram, no mínimo, desanimadores

para quem esperava conclusões mais avançadas. Os alunos disseram:

“Acreditei na sorte. ” “Fiz a conta na cabeça. ” “Somei 2 + 6 = 8 e 4 + 3 = 7. ” “Armou a conta na cabeça. ” D U

+ 4 2

62

3 6 7 8

Na conversa que tivemos com as professoras não discutimos a linguagem

presente nas consignas das atividades: será que estava adequada? Poderiam sugerir

trocas de algumas expressões por outras? Um exemplo: por que o questionamento

que se faz aos alunos sobre como fizeram a antecipação é sempre o mesmo? Por que

não usar uma consigna como: “Como vocês explicariam a um colega o que ele precisa

fazer para saber se o resultado de 42 + 37 vai começar com SETENTA ou OITENTA?”

Ao contrário, a proposta foi sempre: “Como fizeram para saber com segurança,

sem fazer a conta, se o resultado ia começar com SETENTA ou com OITENTA? ”.

Será que os alunos entendem a expressão “... para saber com segurança...”? Como

saber o que eles pensam sobre essa expressão? No dia a dia a professora não faz

uso dessa expressão e, provavelmente, essa é a primeira vez que esses alunos a

ouvem. Pode essa expressão ter “atrapalhado” os alunos?

Além da consigna proposta inicialmente (para que explicassem a um colega),

a professora poderia conversar com os alunos sobre o que entenderam, a partir da

consigna que deveriam fazer.

Quadro 11: Tabulação dos resultados da 4ª situação (obtidos pelos 9 alunos que realizaram todas as atividades

ALUNOS Antecipação Calculadora Discussão coletiva

1. Tudo SETENTA OK Fiz a conta de cabeça; Acertei na sorte;

Somei 2 + 6 e 4 + 3 Armou a conta na...

2. Acertou os 4 primeiros OK

3. Acertou o 1º e o 4º OK

4. Acertou 1º 4º e 5º (escreveu por cima)

OK

5. Tudo OITENTA OK

6. Errou o 4º Errou o 4º (46+37)

7. Acertou o 1º e o 4º OK

8. Tudo OITENTA No 1º - 88/79; no 2º - 89/79; acertou os demais

9. CORRETO OK

Total ACERTOS: 1 / ERROS: 8 ACERTOU TUDO:7 ERROS ALGUNS: 2

Conclusões individuais e não coletiva como se

esperava

Fonte: A Autora.

Dos 9 alunos que realizaram essa atividade, apenas “1” aluno acertou todas as

antecipações; 3 alunos colocaram a mesma antecipação para todos os cálculos (1

deles considerara a soma das dezenas – SETENTA e os outros dois colocaram

OITENTA).

Os alunos 1 e 5 continuam colocando uma mesma antecipação para todos os

cálculos (aluno 1, tudo SETENTA e o aluno 5, tudo OITENTA). Nessa atividade, o

63

aluno 1 considera a soma das dezenas (ou 4 + 3) e o aluno 5 a soma máxima possível:

OITENTA. O aluno 8, que até então não tinha errado nenhum cálculo com a

calculadora, erra os dois primeiros cálculos (na verdade ele coloca dois resultados em

cada um deles: para 42+ 36 coloca 88 78 e para 48 + 31 coloca 89 79. O aluno 3, que

vinha acertando todas as antecipações, erra essa atividade.

3.5.1 Conclusões

A atividade parece, novamente, não contribuir para o avanço na aprendizagem

dos alunos. Alunos que vinham acertando as antecipações erram nessa atividade.

Podemos concluir que o cansaço ou que as parcelas com números mais altos tenham

influenciado, já que a exigência foi a mesma nas atividades anteriores. A discussão

coletiva não contribuiu para que encontrassem possíveis explicações de como

conseguir antecipações mais acertadas e nenhuma aproximação da importância de

se considerar as unidades e não só as dezenas.

A inclusão dessa atividade não proporcionou avanços dos alunos sobre o

sistema posicional. Concluímos como desnecessária a sua inclusão na sequência

didática.


Os alunos argentinos, quando viram o novo conjunto de cálculos,

imediatamente concluíram que eram iguais aos demais, ou seja, que para acertarem

as antecipações precisavam consideram a soma das unidades e, se o resultado fosse

igual ou maior que uma dezena, deveriam juntá-las às dezenas. Nossos alunos, ao

contrário, demonstraram cansaço e dificuldades com a soma de números que

apresentavam dezenas maiores do que as já apresentadas nas atividades anteriores

64

Quadro 12: Conclusões das duas pesquisas (4º dia)


Na sequência didática da Argentina, essa atividade foi colocada na lousa e, a partir do comentário dos alunos, de que era igual as anteriores e de que dava no mesmo, fez-se desnecessária a sua aplicação em folha. Os alunos argentinos que participaram da pesquisa já haviam concluído que levam em conta a soma das unidades e elaboraram uma regra geral, cuja formulação envolve, com maior ou menor clareza, o agrupamento decimal.

Essa nova série de cálculos para antecipar como começam os resultados, usar a calculadora para encontrar os resultados corretos e discutir coletivamente para se chegar a uma regra comum sobre o que fazer para encontrar as antecipações, foi acrescentada à nossa sequência didática, no entanto, os alunos não conseguiram se aproximar de nada parecido com as regras que os alunos argentinos já haviam concluído nas atividades anteriores. Ao contrário das atividades anteriores, erraram mais as antecipações. A discussão coletiva não foi capaz de ajudá-los a avançar nas regularidades do sistema de numeração, pois a professora não tinha experiências com esse tipo de organização metodológica – atividade coletiva – (também não estava claro para ela aonde os alunos deveriam chegar) e ela induziu (de forma intuitiva) os alunos a olharem para os valores dos algarismos dos números que representavam as dezenas.

Fonte: A autora.

Os resultados foram piores do que o da atividade anterior e não chegaram a

nenhuma pista que pudesse se aproximar da importância de se considerar a soma

das unidades para se encontrar a antecipação dos cálculos indicados.

3.6 Quinto dia – 5ª situação – atividade coletiva/dupla

As pesquisadoras argentinas realizaram a primeira parte da atividade

“Discussão coletiva” separadamente da segunda parte, “Atividade em duplas”. No

nosso caso, não tínhamos tempo (mais dias do que os disponibilizados pela escola) e

aglutinamos as duas atividades num único dia. Essa decisão parece ter resolvido

apenas o problema do tempo.

A professora da classe não se sentiu à vontade para conduzir sozinha a

discussão coletiva (não houve tempo suficiente para discutirmos a atividade com ela)

e teve a ajuda da orientanda. Apareceram algumas participações: um dos alunos deu

a seguinte explicação ao negar que o resultado de 30 ou 30 e alguma coisa mais 20

ou 20 e alguma coisa poderia dar 40: “Não, porque 20 + 20 dá 40 e porque 3 + 2 é 5

se referindo as dezenas dos números 33 e 22.” Ele parece convicto de que 40 não é

um resultado possível já que 40 é 20 + 20 e os números são 30 e 20.

65

É possível que a forma de registrar os números envolvidos no cálculo em

discussão, na lousa, possa ter confundido os alunos, já que não foi o padrão dos

registros das atividades anteriores. Vejamos:

30 ou 3_

+

20 ou 2_

A consigna oral da atividade foi: “As somas de ‘trinta e alguma coisa’+ ‘vinte e

alguma coisa’ (3_+2_), poderiam dar um resultado que comece com quarenta? E com

setenta?” - (3_ + 2 _ era a forma padrão utilizada nas atividades realizadas

anteriormente). A dificuldade dos alunos diante do registro é claramente observada

quando o mesmo aluno do exemplo anterior faz uma tentativa de explicar porque o

resultado não poderia ser 70.

Ao explicar, ele soma dois 30 e dois 20 e acaba se confundindo, não chegando

a uma explicação razoável. Primeiro diz 55 e depois, que vai dar 80. Provavelmente,

soma duas vezes o 30 e duas vezes o vinte 20, porque eles aparecem duplicados no

registro da lousa. Quando questionado se 30 ou 30 e alguma coisa, mais 20 ou 20 e

alguma coisa poderia dar 50, ele parece confortável ao justificar, positivamente: “Dá

pra dar 50 e alguma coisa”.

Podemos concluir que pelo menos um aluno chegou a uma conclusão coerente,

pois 3_ +2_ pode sim dar 50 e alguma coisa, no entanto era esperado que concluísse

também que a soma das unidades não poderia chegar ou ultrapassar 10, pois se isso

acontecesse teria de somar uma dezena a mais no total das dezenas. Assim como

esperávamos que outros alunos concluíssem que a soma de 3_ + 2_ poderia dar 60

se a soma das unidades somasse ou ultrapassasse 10.

3.6.1 Atividade final: discussão em dupla e institucionalização

Qual das seguintes afirmações explica melhor o que acontece quando se soma

Cinquenta ou Cinquenta e alguma coisa, mais trinta ou trinta e alguma coisa?

5_ + 3_

66

Quadro 13: Discutindo as somas

Para que dê 8_ Para que dê 9_

• Quando os números são menores dá

oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8_).

• Para que dê oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8_), a soma das unidades tem de dar 9.

• Para que dê oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8_), a soma das unidades não pode passar de 9.

• Quando os números são maiores dá

noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_).

• Se 50+30=80, então, 31+59=90 ou noventa e alguma coisa, porque aqui o resultado dá 10.

• Para que dê noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_), a soma das unidades tem de dar 10.

• Para que dê noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_), a soma das unidades tem de passar de 10.

Fonte: A autora.

A atividade em dupla foi marcada inicialmente pela falta de clareza das

afirmações e, principalmente, por se tratar de afirmações que não surgiram das

conclusões dos alunos. Essas afirmações foram utilizadas na pesquisa argentina a

partir das regras criadas nas discussões coletivas. Vejamos um exemplo: quando os

números são menores dá oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8)” e quando os números

são maiores, dá noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_).

Não é nada óbvio, para nossos alunos, que esses números menores e maiores

se referem aos “números” das unidades. Esse vocabulário não apareceu em nenhuma

das falas dos alunos nas discussões coletivas. Os alunos também não fizeram

nenhuma descoberta sobre a relevância que a soma das unidades poderia trazer ao

resultado da soma das dezenas.

Novamente, aparece em destaque nessa atividade a fragilidade dos alunos

para com o trabalho em grupo e seu funcionamento. Não encontramos nenhuma

atitude que configurasse ações dum trabalho desse tipo, ao contrário, os alunos

resolviam as atividades individualmente e o colega mais “atirado” tomava as decisões

enquanto o outro apenas copiava.

Considerando que os alunos sem fluência leitora não entenderiam o que estava

escrito, professora e orientanda passavam pelas duplas e liam as afirmações. Nessa

situação, mesmo que as afirmações tenham sido lidas por leitores experientes

(professora e orientanda), isso não garantiu que a atividade fosse concluída com o

êxito que esperávamos, pois elas estavam confusas e distante dos alunos que

acabaram por tomar decisões aleatórias e sem sentido, optando por concordar ou não

com qualquer uma delas.

67

Quadro 14: Tabulação dos resultados da 5ª situação (institucionalização) obtidos pelos 9 alunos que realizaram todas as atividades

ALUNOS PARA QUE DÊ 8_ PARA QUE DÊ 9_ OBSERVAÇÕES

1. 2ª 3ª e 4ª

2. 1ª e 3ª 1ª, 2ª e 3ª

3. 1ª e 3ª 4ª

4. 1ª, 2ª e 3ª 1ª, 3ª e 4ª

5. 1ª e 2ª 1ª e 2ª

6. 1ª e 3ª 1ª, 2ª, 3ª

7. 1ª e 2ª 1ª, 2ª

8. 1ª e 3ª 1ª, 2ª, 3ª

9. 2ª 2ª, 4ª

TOTAL 7 – 1ª; 4- 2ª; 5- 3ª 6- 1ª; 6- 2ª; 5- 3ª; 3- 4ª

Fonte: A autora.

A atividade foi inicialmente organizada para que apenas uma das afirmações

estivesse correta, ou seja, os alunos deveriam marcar apenas uma delas. No entanto,

visualizamos na tabulação que apenas duas crianças marcaram uma única opção na

primeira coluna e apenas uma marcou uma única opção na segunda coluna. As

afirmações propostas na atividade, estão confusas, distante dos saberes

apresentados durante a sequência didática e, certamente, confundiram os alunos.

Há na consigna da atividade 2 o termo “explica melhor”: “Qual das seguintes

afirmações explica melhor o que acontece quando se soma cinquenta ou

CINQUENTA e alguma coisa mais TRINTA ou TRINTA e alguma coisa?”; e isso

também pode ter confundido os alunos, pois esse termo não faz parte do vocabulário

usado no dia a dia pela professora.

É possível que o uso dessa expressão tenha dificultado a compreensão do que

deveriam fazer. Se bem que se considerarmos que as afirmações não foram criadas

a partir do que eles haviam concluído ao longo da sequência, mas sim pelos alunos

argentinos, parece-nos que o termo “explica melhor” não foi o único responsável pelo

insucesso da atividade.

3.6.2 Conclusões

A discussão coletiva, na atividade 1, não potencializou a aprendizagem dos

alunos, pois a forma utilizada para grafar na lousa um cálculo que dispararia a

discussão foi diferente da utilizada até então nas demais atividades.

A atividade que deveria ser realizada em dupla, ampliando a possibilidade de

os alunos ouvirem as explicações e justificativas uns dos outros, antes de tomarem a

decisão sobre qual afirmação escolher, não aconteceu, pois, as atividades

anteriormente realizadas com agrupamentos identificaram a ausência de experiências

68

com esse tipo de organização metodológica. No entanto, poderíamos ter pensado em

discutir coletivamente as afirmações apresentadas.


No quadro a seguir, apresentamos algumas reflexões sobre a pesquisa argentina e a

nossa, procurando elementos de convergências e/ou divergências tendo em conta os

contextos nos quais elas foram desenvolvidas.

Quadro 15: Conclusões das duas pesquisas (5º dia)


• Para fazer a devolução do problema, a fim de que os alunos atribuam sentido a uma elaboração de razões e se envolvam com ela, é produtivo propor situações que: apontem explicitamente a ter êxito na ação – no nosso caso, a antecipação de como começa o resultado de algumas somas necessita, para serem resolvidas, da elaboração de uma regra de ação; como esta primeira regra nem sempre conduz ao êxito, formular questões vinculadas com as condições de sua aplicação.

• Para produzir avanços na conceptualização e também para sustentar a devolução, parece imprescindível que a busca das condições nas quais a regra formulada conduza ao êxito (ou não) exija a reconstrução das razões que a sustentam. São estas razões que permitirão reformar a regra de tal modo que seja generalizada a todos os casos.

• Para elaborar o conhecimento matemático que se pretende e assegurar que todos os alunos progridam em suas reconstruções, é necessário que a intervenção docente enfatize o caráter geral das razões que sustentam as regras elaboradas, que ponham em ação na aula os critérios segundos os quais uma explicação pode ser considerada como matematicamente pertinente (LERNER, 2010, p. 199; tradução nossa).

• Nossos alunos não formularam pistas –

razões – no decorrer da sequência didática que permitissem a obtenção de êxito: antecipar como começa o resultado de algumas somas. Em consequência disso, não puderam construir hipóteses sobre o valor posicional nem concluir com êxito a institucionalização de saberes pensada para essa última atividade.

• Nossos alunos parecem não ter elaborado nenhum conhecimento que assegurasse progressos sobre o sistema posicional.

• A intervenção do professor, ação que necessitava ser assegurada para que os alunos pudessem analisar e refletir sobre o sistema de numeração, não foi garantida, pois ele não apresentou nenhuma segurança sobre como ajudar os alunos a produzir uma explicitação (a partir das diversas regras preliminares que aconteceriam durante a sequência) que pudesse ser considerada matematicamente correta.

• A última atividade, cuja função seria a de encaminhar os alunos para a construção de uma regra que pudesse ser utilizada para antecipar o resultado das diversas somas com números de dois dígitos e, consequentemente, seguir com a institucionalização, não garantiu esse objetivo, pois não reproduzia as conclusões dos nossos alunos.

Fonte: A autora.

A pesquisa argentina foi realizada com dois grupos de alunos em períodos

alternados, e dessa forma as pesquisadoras puderam, a partir da análise dos

resultados de um dos grupos, modificar algumas questões e consequentemente obter

69

êxito nos grupos que se seguiram com a pesquisa. No nosso caso, a pesquisa foi

aplicada em três turmas do 2º ano, porém simultaneamente.

No caso desta atividade, a consigna foi alterada pelas pesquisadoras

argentinas, após a análise de um dos grupos. Na consigna anterior, havia uma

indicação a mais “Qual ou quais as afirmações...” que levou alunos argentinos a

marcarem mais de uma afirmação. A alteração realizada indicava que apenas uma

afirmação, deveria ser escolhida e marcada: “Qual das afirmações...”. Essa mudança

não teve significado para nossos alunos, considerando que várias afirmações foram

escolhidas e que elas não foram produzidas ao longo das discussões sugeridas na

sequência didática, como aconteceu com os alunos argentinos.

A não produção de regras (por parte dos nossos alunos) que justificassem as

antecipações para os cálculos dados, nos levou a utilizar exatamente as conclusões

que os alunos argentinos produziram. Todavia, elas só fizeram sentido para os alunos

que a haviam construído ao longo da sequência, e não para os nossos alunos.

70

CAPÍTULO 4 – A NOVA SITUAÇÃO DIDÁTICA

Após a análise das atividades realizadas pelos alunos, dos registros das aulas

em vídeos e a constatação de que os alunos não haviam avançado em seus saberes

sobre o sistema de numeração, sentimos um grande desejo de aplicar novamente a

sequência a um novo grupo de alunos do segundo ano do Ensino Fundamental da

mesma escola. Porém, precisamos promover algumas mudanças na sequência

didática que seria desenvolvida nessa nova etapa, considerando alguns fatores que

dificultaram sua aplicação e desenvolvimento.

A análise realizada pós-aplicação da sequência evidenciou o quanto os

encontros com as professoras foram ínfimos. A sequência didática desenvolvida não

atingiu o objetivo esperado: promover aproximações sobre a compreensão do sistema

posicional; e entre os aspectos suscitados pela análise das atividades e dos vídeos

de aula o trabalho com as professoras é evidenciado.

No entanto, concordamos com GALVEZ (1996, 26) quando afirma “se uma

situação didática fracassa em seu propósito de ensinar alguma coisa, sua análise

pode constituir um aporte à didática, se permitir identificar os aspectos da situação

que se tornaram determinantes de seu fracasso”.

Por razões diversas, alheias à nossa própria vontade, nossa pesquisa foi

interrompida, sendo retomada um ano após. No entanto, aplicar novamente a

sequência didática, considerando os aspectos que, de alguma forma, inviabilizaram

avanços no conhecimento dos alunos que participaram da primeira experiência,

pareceu-nos razoável.

No quadro 16, encontram-se variáveis didáticas,14 e outras levantadas após

análise da sequência didática aplicada e as mudanças que impulsionaram sua

reestruturação (nova versão).

14 Segundo Gálvez (1996), variáveis didáticas são aquelas para as quais as escolhas de valores provocam modificações nas estratégias de resolução de problemas. A autora ressalta a importância da determinação dessas variáveis e de seus intervalos para fundamentar a construção das situações didáticas que permitirão o surgimento do conhecimento almejado.

71

Quadro 16: Variáveis presentes na 1ª sequência didática aplicada

Variáveis consideradas 1ª sequência didática aplicada (2015)

2ª sequência didática aplicada (2016)

1. Aplicador da sequência

Professora da classe Pesquisadora

2. Atividade diagnóstica Resolução de um problema do campo aditivo

Nenhuma atividade diagnóstica

3. Quantidade de cálculos para “aquecer”

5 cálculos Apenas 1 cálculo

4. Estratégia para encontrar o resultado correto das antecipações/estimativas

Uso da calculadora Uso de qualquer estratégia, inclusive o uso da calculadora

5. Alteração no vocabulário

Antecipação

Estimativa

6. Forma de grafar as estimativas/antecipações

Por extenso Utilizar o que quiserem (algarismos ou por extenso)

7. Variação nos valores das somas

Valores não ultrapassam 99

Valores ultrapassam 100

8. Discussões coletivas Só uma atividade coletiva – a última

Mais atividades coletivas – a começar pela 1ª atividade

9. A atividade de institucionalização (última atividade)

Uso de afirmações que apareceram na situação didática argentina

Completar cálculos considerando algumas estimativas. Ex. 5 _ + 3 _ para dar 8 _ ou para dar 9_

Fonte: A autora.

A primeira variável estava relacionada à diferentes concepções de ensino e

aprendizagem: a concepção da professora e a concepção que sustentava o trabalho

que estávamos propondo. Em consequência dessa divergência, observamos alguns

conflitos nos encaminhamentos das atividades, nas organizações metodológicas

propostas (atividades coletivas, atividades em grupos e duplas). E a decisão que

tomamos foi que a própria pesquisadora aplicaria a sequência didática e não a

professora.

A segunda variável: “a atividade diagnóstica”, foi reconsiderada após

observarmos que sua aplicação e resultados não resultaram em mudanças ou em

alterações nas atividades da sequência e que poderíamos priorizar o pouco tempo de

que dispúnhamos, assim decidimos excluí-la. A quantidade de cálculos utilizados na

atividade de “familiarização” ou “aquecimento”, a terceira variável, se diminuída, o

tempo poderia ser otimizado e direcionado, por exemplo, para as discussões coletivas.

Incluímos apenas um cálculo, para que os alunos pudessem se aproximar

daquilo que fariam nas demais atividades e acrescentamos uma discussão coletiva

pós-realização. O uso da calculadora pelos alunos tornou-se a quarta variável. Se os

alunos não tivessem familiaridade com seu uso a professora teria de utilizar um tempo

adicional para introduzi-la e não dispúnhamos desse tempo, além disso, porque os

alunos não poderiam utilizar outras estratégias para confirmar suas estimativas?

72

Optamos por dar maior autonomia aos alunos para que utilizassem qualquer

estratégia de cálculo, inclusive a própria calculadora, se assim o desejassem.

O vocabulário utilizado nas consignas constituiu a quinta variável. Observamos

que a palavra “antecipação” não é empregada nas aulas de matemática (pelo menos

nas séries iniciais do EF) e poderia trazer dúvidas sobre seu significado, o que

implicaria na não compreensão da proposta. A palavra “estimativa”, mais usualmente

utilizada (ainda que não seja um sinônimo de antecipação), poderia favorecer a

compreensão da atividade.

Outro aspecto observado foi a forma utilizada no registro numérico das

antecipações: a escrita por extenso (a sexta variável). Por que os alunos não poderiam

utilizar os algarismos no registro? Não localizamos nenhuma justificativa que

impedisse aos alunos o uso dos algarismos e, portanto, decidimos alterar essa

orientação.

Outra variável, a sétima, surgiu assim que concluímos que os resultados dos

cálculos propostos não ultrapassavam dois dígitos (iam até o 99). Porque os alunos

não poderiam ser desafiados a realizar cálculos que ultrapassassem a dezena?

Queríamos saber como reagiriam diante desses cálculos e optamos por incluir

cálculos cujos resultados chegassem até a centena (três dígitos), já que a reflexão

sobre a posicionalidade do algarismo no número também ocorreria.

As discussões coletivas, a oitava variável, poderiam ser mais utilizadas, já que

os outros movimentos metodológicos (dupla e grupo) não propiciaram as discussões

e socializações de saberes, consequência da ausência de experiências com essas

organizações.

Notamos uma participação, um pouco mais ativa, na atividade coletiva prevista

para a última situação e, se tivessem outras oportunidades de participar de discussões

coletivas, gradativamente, poderiam começar a emitir suas opiniões e ouvir a opinião

dos colegas; justificar suas escolhas e aceitar ou não as justificativas dos colegas,

assim como trabalhar em grupo. Esse momento (presente na situação de validação e

formulação, segundo a TSD de Brousseau), é indispensável para que a aprendizagem

aconteça.

Para Davis, Nunes e Nunes, (2005, p. 5):

Existe a necessidade de se construir, nas salas de aula, uma cultura do pensar, que propicie aos alunos: a) uma forma de explicitar, desde

73

cedo, modalidades de pensamento, tornando-as, assim, passíveis de ser compartilhadas; b) um estímulo ou motivação para pensar, de forma a alcançar decisões acertadas; c) a coragem para enfrentar situações novas; d) a transferência de estratégias e conhecimentos gerados em um dado contexto para outros. Um aspecto central na implementação de uma cultura do pensamento é desenvolver habilidades metacognitivas, pois é por meio delas que se torna possível a elaboração de conhecimentos e formas de pensar que assegurem maior possibilidade de sucesso e generalização, bem como a aquisição da autonomia na gestão da aprendizagem e na construção de uma auto-imagem de aprendiz competente.

Acreditamos que o professor precisa implementar a cultura do pensamento com

seus alunos, desenvolvendo habilidades metacognitivas, pois “é no exercício da

tomada de consciência do que sabemos, pensamos e sentimos que nos tornamos

virtualmente aptos a exercer controle sobre nossa experiência (PORTILHO;

TESCAROLO, 2006).

Escolher ser o mediador de uma aprendizagem através da metacognição

representa apostar que é sempre possível ajudar os alunos a progredirem nos

saberes, particularmente aqueles que estão em situação de insucesso, de modo a que

tenham simultaneamente maiores oportunidades de êxito, de autonomia e desejo de

aprender (GRANGEAT, 1999, p. 56).

A última variável, a nona, observada e considerada, diz respeito à proposta de

institucionalização pensada para a última atividade: não ajudou os alunos (e nem a

professora) a concluir as descobertas realizadas, ao contrário, confundiu mais os

alunos, pois as afirmações propostas na última atividade, que deveriam ser colhidas

durante a aplicação da sequência didática, não eram dos nossos alunos, mas sim do

grupo de alunos que participou da pesquisa argentina.

Não nos foi possível observar a aplicação da aprendizagem, pelo aluno, na

atividade de institucionalização que tinha, exatamente, esse fim. Optamos por propor

uma atividade que validasse os saberes construídos pelos alunos e favorecesse a

institucionalização deles pelo professor.

Para Brousseau (1996, p. 49), o aluno “só terá verdadeiramente adquirido [um]

conhecimento quando for capaz de aplicá-lo por si próprio às situações com que

depara fora do contexto do ensino, e na ausência de qualquer indicação intencional.

Tal situação é chamada situação adidática”.

74

Diante das variáveis acima citadas, propusemos adaptações, ajustes e

alterações com as quais desenhamos uma nova sequência didática15. O trabalho

seguirá registrando os dados e as análises da segunda fase dessa pesquisa, com a

sequência didática reformulada e aplicada também a um grupo de alunos do 2º ano

da mesma escola pública. Só que, dessa vez, aplicada pela orientanda.

Brousseau sublinha que a Didática da Matemática considera três elementos

que intervêm nas situações de ensino: o papel do professor, a natureza e a

especificidade do conhecimento e a forma como os alunos se aproximam de cada

conteúdo. Entendemos como indispensável que o professor conheça essa tríade e

assuma o papel de pesquisador, aplicando o mais sensatamente possível as

atividades que compõem as diferentes fases.

Para isso, seria indispensável sua formação contínua e a sua formação em

ação, o que não seria possível nesse momento da pesquisa considerando-se o tempo

que tínhamos para a aplicação da nova sequência. Num dos vídeos produzidos pela

Atta Mídia e Educação, Brousseau analisa a sequência de um jogo, considerando as

fases da TSD, e a aplicadora não era a professora da classe e isso em nada interferiu.

Ele sabia que a aplicadora era uma das responsáveis pela produção do

conteúdo do vídeo, incluindo as entrevistas realizadas com ele, no entanto, também

professora. Não víamos nenhuma incoerência no fato de assumirmos o lugar da

professora na aplicação da sequência. E assim o fizemos.

Gostaríamos de ressaltar que a orientanda também é professora, com boa

experiência em alunos das séries iniciais do EF, e havia presença da professora da

classe, assistindo e registrando a aula e discutindo-a com a orientanda que estaria em

formação.

Estávamos em dezembro e as atividades escolares quase concluídas. Ainda

assim, em contato com a mesma escola estadual, solicitamos à equipe gestora uma

nova oportunidade com alunos do segundo ano para aplicarmos a nova sequência (já

ajustada a partir de alguns aspectos considerados na análise da primeira sequência

didática aplicada no ano anterior).

Veio uma resposta afirmativa com a disponibilidade de poucos dias para essa

nova aplicação. O desejo de confirmar os aspectos que levantamos como

15 Apêndice 3 – 2ª Sequência Didática utilizada em nossa pesquisa, 2016, p. 142.

75

“indicadores” da não aprendizagem dos alunos na sequência didática anteriormente

aplicada nos impulsionou a realizar nova pesquisa.

A seguir, um quadro apresentando as três sequências didáticas (a SD utilizada

pelas pesquisadoras argentinas; a SD utilizada em nossa pesquisa na primeira

aplicação; e a SD reformulada após a análise das variáveis que interferiram no ensino

e na aprendizagem do conteúdo proposto na primeira sequência), que permitirá a

observação das alterações nas duas versões utilizadas nessa pesquisa.

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sessenta

?

Se s

em

pre

som

am

os t

rinta

mais

vin

te,

por

que

o re

sultado às vezes é “c

inquenta

e alg

o”

e

outr

as v

ezes é

“sessenta

e a

lgo”?

• A

nota

r as re

spo

sta

s que e

stã

o de acord

o e

ta

mbém

os d

esacord

os.

O pro

fessor,

que já

analisou as pro

duções das

cri

anças,

faz u

ma d

evolu

ção –

na a

ula

seguin

te –

base

ada n

as r

espo

sta

s e

labora

da

s p

ela

s d

upla

s

para

a p

erg

unta

pro

posta

.

A pro

fessora

dis

trib

ui

um

quadro

im

pre

sso em

um

a folh

a c

om

novos c

álc

ulo

s d

o m

esm

o ti

po d

os

apre

se

nta

dos n

a s

ituação a

nte

rior.

Pede q

ue o

s

alu

nos,

sem

fa

zer

as conta

s,

ante

cip

em

com

o

com

eçará

o

resultado

de

cada

um

(c

om

cin

quenta

ou

com

sessenta

?),

anote

m

com

pala

vra

s

(não

com

núm

ero

s)

na

colu

na

reserv

ada para

as ante

cip

ações e,

depois

de

cada a

nte

cip

ação, re

solv

am

com

a c

alc

ula

dora

e

anote

m

o

resultado

com

núm

ero

s

na

colu

na

corr

espond

ente

.

A

nte

cip

ação

Calc

ula

dora

32

+

26

=

38

+

21

=

37

+

27

=

36

+

27

=

35

+

25

=

TR

AB

ALH

O E

M D

UP

LA

S (

2ª

aula

) A

s cri

anças,

org

aniz

adas em

dupla

s,

dis

cute

m

com

o f

izera

m p

ara

saber

com

segura

nça,

sem

fa

zer

a conta

, se o re

sultado ia

com

eçar

com

cin

quenta

ou

com

sessenta

. A

pro

fessora

perg

unta

: se s

em

pre

som

am

os t

rinta

mais

vin

te,

por

que o re

sultado às ve

zes é “c

inquenta

e

alg

um

a

cois

a”

e

outr

as

veze

s

é

“sessenta

e

alg

um

a c

ois

a”?

A pesquis

adora

e

ntr

ega ao

s alu

nos um

a

folh

a com

quatr

o cálc

ulo

s:

som

as de dois

núm

ero

s

(sendo

que

no

prim

eir

o

term

o,

todas

as

dezena

s

seja

m

inic

iadas,

igualm

ente

, por

um

mesm

o a

lgarism

o e

a

dezena

do

segundo

term

o

seja

m

todas

inic

iadas,

igualm

ente

, por

um

outr

o

alg

ari

smo):

32 +

26 =

; 25 +

35 =

; 27 +

37 =

; 38 +

21 =

. A

ssim

que o

s a

lunos t

erm

inare

m

de

identificar

suas

ativid

ades,

a

pesq

uis

adora

lê, ju

nto

com

ele

s, a c

onsig

na,

mostr

a e

explic

a a

s d

ua

s c

olu

nas d

o q

uadro

(c

om

o d

everã

o s

er com

ple

tadas) e tir

a to

das

as d

úvid

as a

nte

s d

e i

nic

iare

m a

ativid

ade.

Os a

lunos p

recis

am

ente

nder

que d

essa v

ez

são v

ários c

álc

ulo

s e

que d

evem

estim

ar

se

o r

esultado c

om

eçará

com

CIN

QU

EN

TA

ou

com

SE

SS

EN

TA

: “S

em

faze

r conta

, estim

e

com

o c

om

eçará

o resultado d

e c

ada c

álc

ulo

: se c

om

cin

quenta

ou s

essenta

. E

scre

va n

a

colu

na r

eserv

ada p

ara

as e

stim

ativas.

” O

alu

no d

eve f

icar

à v

onta

de p

ara

decid

ir s

e

quer

regis

trar

a e

stim

ativa c

om

alg

ari

smos

ou p

or

exte

nso.

CÁ

LC

ULO

S

ES

TIM

AT

IVA

(o

re

sultado

com

eçara

com

50 o

u 6

0?)

DIS

CU

SS

ÃO

C

OL

ET

IVA

: questionar

os

alu

nos s

obre

com

o fiz

era

m p

ara

saber,

sem

fa

zer a c

onta

, se o

resultado ia c

om

eçar com

cin

quenta

ou

com

sesse

nta

. O

uvi-

los

e,

send

o

po

ssív

el,

anota

r as

estr

até

gia

s

usad

as p

ela

s c

rianças. A

pós o

uvir

os a

lunos

sobre

com

o

fizera

m

para

encontr

ar

as

estim

ativas,

desafiá

-los

a

encontr

ar

o

78

A p

rofe

ssora

ori

enta

os a

luno

s p

ara

que a

note

m

as c

onclu

sõe

s,

os a

cord

os e

os d

esacord

os q

ue

apare

cere

m n

a d

upla

. A

pro

fessora

recolh

e a

s p

roduçõe

s i

ndiv

iduais

e

das d

upla

s d

e t

oda a

turm

a.

A p

rofe

ssora

an

alisa a

s p

roduçõe

s d

as c

rianças

e,

na aula

seguin

te,

faz a devolu

ção cole

tiva,

base

ada n

as r

espo

sta

s e

labora

da

s p

ela

s d

upla

s

para

a p

erg

unta

pro

posta

.

resultado c

orr

eto

de c

ada c

álc

ulo

. Levanta

r com

os a

lunos a

s p

ossív

eis

estr

até

gia

s p

ara

se c

hegar

ao r

esultado c

orr

eto

. R

ecolh

er

as

ativid

ades,

analisá-l

as

(consid

era

ndo

a

dis

cussão cole

tiva ta

mbém

) e pensar

em

possív

eis

agru

pam

ento

s

para

sere

m

utiliz

ados n

as p

róxim

as a

tivid

ades.

2ª

ET

AP

A

TR

AB

ALH

O I

ND

IVID

UA

L

Na p

rim

eir

a f

ase d

o t

rabalh

o i

ndiv

idual, o

s a

lunos

enfr

enta

m sucessiv

am

ente

as lis

tas de cálc

ulo

s

pro

posto

s

no

s

dois

quadro

s

sim

ilare

s

ao

da

situação

1:

no

prim

eir

o,

as

som

as

–

cujo

s

resultados

tam

bém

te

rão

de

ante

cip

ar

e

logo

verificar

com

a c

alc

ula

dora

– s

ão d

e q

uare

nta

e

alg

o m

ais

vin

te e

alg

o (

43 +

25 =

; 44 +

26 =

; 44 +

25 =

; 45 +

29 =

); n

o s

egundo q

uadro

, as s

om

as

são d

e c

inquenta

e a

lgo m

ais

trinta

e a

lgo (

55 +

33

=; 52 +

39 =

; 53 +

37 =

; 51 +

36 =

).

Pre

vê-s

e

um

a

consig

na

com

ple

menta

r para

as

cri

anças q

ue t

erm

inare

m,

ante

s d

e s

eus c

ole

gas,

de

pre

encher

esse

quadro

: quem

pre

encher

rapid

am

ente

o p

rim

eir

o q

uadro

deve p

ropor

três

conta

s e

m q

ue o

resultado c

om

ece c

om

sessenta

e o

utr

as t

rês c

ujo

resultado c

om

ece c

om

sete

nta

. A

mesm

a p

roposta

serv

e p

ara

o s

egundo q

uadro

, pedin

do-l

hes,

neste

caso,

que o

resultado c

om

ece

com

oitenta

e c

om

noventa

.

TR

AB

ALH

O E

M D

UP

LA

S

Na s

eg

unda f

ase, se o

rganiz

a a

cla

sse e

m d

upla

s,

pedin

do à

s c

rianças q

ue d

iscuta

m e

ela

bore

m u

ma

respo

sta

para

a s

eguin

te p

erg

unta

: C

om

o fazem

os

para

saber

sem

pre

, com

segura

nça,

sem

faze

r a

conta

, com

o

com

eçará

o

resultado?

(Com

sessenta

ou c

om

sete

nta

, com

oitenta

ou n

oventa

,

TR

AB

ALH

O I

ND

IVID

UA

L (

3ª

aula

) A

pro

fessora

e

ntr

ega para

cada cri

ança outr

o

quadro

conte

ndo cálc

ulo

s do tipo “q

uare

nta

e

alg

um

a

cois

a”

mais

“v

inte

e

alg

um

a

cois

a”.

S

olic

ita q

ue,

assim

com

o f

izera

m n

a 3

ª situação,

ante

cip

em

, sem

fazer

as c

onta

s, com

o c

om

eçará

o r

esultado d

e c

ada u

m e

ano

tem

com

pala

vra

s

na

colu

na

reserv

ada

para

as

ante

cip

ações.

Depois

, que

resolv

am

com

a

calc

ula

dora

e

anote

m

o

resultado

com

núm

ero

s

na

colu

na

corr

espond

ente

.

A

nte

cip

açã

o

Calc

ula

dor

a

43 +

25 =

44 +

26 =

44 +

25 =

45 +

29 =

Para

as c

rianças q

ue term

inare

m d

e p

reencher

o

quadro

ante

s d

os c

ole

gas a

pro

fessora

pro

põe

um

a tare

fa c

om

ple

menta

r:

Tare

fa:

escre

va

três

cálc

ulo

s

cujo

re

sultado

com

ece

com

sessenta

e

outr

os

três

cujo

re

sultado c

om

ece c

om

sete

nta

.

TR

AB

ALH

O G

RU

PO

- 2ª

aula

A

pesquis

adora

, assim

que e

ntr

egar

a f

olh

a

da

ativid

ade

e

os

alu

nos

a

tivere

m

com

ple

tado, lê

a c

onsig

na c

om

todos:

“Sem

fa

zer

a

conta

, estim

e

com

o

com

eçará

o

resultado

de

cada

cálc

ulo

: se

com

S

ES

SE

NT

A o

u c

om

SE

TE

NT

A.

Escre

va n

a

colu

na

reserv

ada

para

as

estim

ativas.

Quando

term

inar,

encontr

e

o

resultado

corr

eto

de c

ada c

álc

ulo

.” M

ostr

a o

prim

eir

o

quadro

com

os t

rês c

álc

ulo

s (

43 +

23=

; 26 +

44 =

; 29 +

45=

) e,

se a

char

inte

ressante

, dese

nha o

quadro

na lousa e

vai dis

cutindo-

o

com

os

alu

nos

ante

s

de

inic

iare

m

a

ativid

ade.

Dessa

vez,

há

um

a

colu

na

reserv

ada

para

o

regis

tro

dos

resultados

corr

eto

s e

há e

sp

aço n

a folh

a p

ara

os a

lunos

regis

trare

m a

s e

str

até

gia

s. A

pro

posta

é q

ue

os a

lunos r

ealizem

um

cálc

ulo

de c

ada v

ez:

prim

eir

o a

estim

ativa e

depois

o r

esultado

corr

eto

.

E

ST

IMA

TIV

A

(C

OM

EÇ

A

CO

M 6

0

OU

70?

)

RE

SU

LT

AD

O

CO

RR

ET

O

79

com

cin

quenta

ou s

essenta

...)

? A

s c

rianças têm

de

dis

cutir

com

o

fazer

ante

cip

ações

corr

eta

s

para

som

as d

e d

ois

alg

ari

sm

os,

seja

m q

uais

fore

m a

s

dezena

s

envolv

idas.

Para

is

so,

devem

re

fletir

sobre

as r

azões q

ue s

uste

nta

m o

s a

cert

os e

os

err

os.

A

nte

s

de

passar

para

a

situação

seguin

te,

os

resultados obtidos na

s dua

s prim

eir

as situações

devem

ser

analis

ados.

Em

seguid

a,

a

pro

fessora

dis

trib

ui

um

novo

quadro

para

as cri

anças,

dessa vez conte

ndo

cálc

ulo

s d

o tip

o “

cin

quenta

e a

lgum

a c

ois

a”

mais

“t

rinta

e a

lgum

a c

ois

a”.

A

nte

cip

açã

o

Calc

ula

dor

a

55 +

33 =

52 +

39 =

53 +

37 =

51 +

36 =

Da m

esm

a f

orm

a q

ue c

om

o q

uadro

ante

rior,

a

pro

fessora

pro

põe

um

a

tare

fa

com

ple

menta

r para

as c

rianças q

ue t

erm

inare

m d

e p

reencher

o

quadro

ante

s d

os c

ole

gas:

escre

va t

rês c

álc

ulo

s

cujo

resultado c

om

ece c

om

oitenta

e o

utr

os t

rês

cujo

resultado c

om

ece c

om

noventa

. T

RA

BA

LH

O E

M D

UP

LA

S (

3ª

aula

) A

pro

fessora

pro

põe

que

as

cri

anças,

org

aniz

adas e

m d

upla

s, dis

cuta

m e

respondam

a

seguin

te p

erg

unta

: com

o f

aze

r para

saber

com

segura

nça,

sem

faze

r a c

onta

, com

o c

om

eçará

o

resultado (c

om

sessenta

ou com

sete

nta

, com

oitenta

ou

noventa

, com

cin

quenta

ou

sessenta

...)

?

A p

rofe

ssora

entr

ega u

ma f

olh

a p

ara

cada d

upla

para

que re

gis

trem

as re

spo

sta

s ela

bora

da

s e

in

form

a q

ue,

se f

or

necessári

o,

podem

consultar

os q

uadro

s d

as s

ituações a

nte

riore

s.

As

cri

anças

pre

cis

am

dis

cutir

com

o

fazer

ante

cip

ações c

orr

eta

s p

ara

adiç

ões d

e n

úm

ero

s

de

dois

alg

ari

sm

os,

seja

m

quais

fo

rem

as

A

ssim

que

conclu

írem

o

prim

eir

o

quadro

podem

inic

iar,

da m

esm

a f

orm

a,

o s

egundo

que s

e e

ncontr

a n

o v

ers

o d

a f

olh

a:

são t

rês

cálc

ulo

s (

33 +

55=

; 52 +

39 =

; 53 +

37 =

).

Devem

estim

ar

se o

s r

esultados c

om

eçarã

o

com

O

ITE

NT

A

ou

com

N

OV

EN

TA

e,

quando

term

inare

m,

devem

encontr

ar

o

resultado c

orr

eto

de c

ada u

m d

os c

álc

ulo

s e

pre

encher

os e

spaço

s c

orr

esp

ondente

s.

E

ST

IMA

TIV

A

(C

OM

EÇ

A

CO

M 8

0 O

U

90)

RE

SU

LT

AD

O

CO

RR

ET

O

A

inda no gru

po,

assim

que te

rmin

are

m a

ativid

ade,

desafiá-los

a

convers

ar

sobre

com

o

fizera

m

para

descobri

r com

o

com

eçava

o

resultado

de

cada

um

dos

cálc

ulo

s.

Cole

tivam

ente

, pro

por

um

a

socia

lização d

e m

odo q

ue c

ada g

rupo p

ossa

colo

car

as

div

ers

as

conclu

sõ

es

encontr

adas.

A

pesquis

adora

poderá

escre

ver

as c

onclu

sões n

o q

uadro

ou n

um

a

folh

a a

part

e.

80

dezena

s

envolv

idas.

Para

ta

nto

, pre

cis

arã

o

refletir

sobre

as r

azões q

ue s

uste

nta

m o

s a

cert

os

e o

s e

rros.

3ª

ET

AP

A

TR

AB

ALH

O C

OLE

TIV

O

Pro

por

o s

eguin

te p

roble

ma:

“As s

om

as d

e “

trin

ta

e a

lgo”

+ “

vin

te e

alg

o”

(3_+

2_)

poderi

am

dar

um

re

sultado

que

com

ece

com

quare

nta

?

E

com

sete

nta

?

TR

AB

ALH

O I

ND

IVID

UA

L (

4º

aula

)

Nesse

ponto

, re

solv

em

os

pro

por

mais

um

a

ativid

ade a

nte

s d

e f

inaliz

arm

os.

Isso p

or

causa

das

conclu

sõe

s

evasiv

as

que

os

alu

nos

apre

se

nta

ram

na d

iscussão e

m d

upla

s e

depois

no c

ole

tivo.

Veja

:

Sem

fazer

as c

onta

s, ante

cip

e c

om

o c

om

eçará

o

resultado d

e c

ada c

álc

ulo

: com

sete

nta

ou c

om

oitenta

. A

note

com

pala

vra

s, na c

olu

na reserv

ada

para

as

ante

cip

ações

e,

depois

de

cada

ante

cip

ação,

resolv

a c

om

a c

alc

ula

dora

e a

note

o

resultado

com

núm

ero

s

na

colu

na

corr

espondente

.

A

nte

cip

ação

Calc

ula

dora

42 +

36 =

48 +

31 =

47 +

37 =

46 +

37 =

Dis

cussão c

ole

tiva:

com

o fiz

era

m p

ara

saber

com

segura

nça,

sem

faze

r a c

onta

, se o

re

sultado ia c

om

eçar

com

sete

nta

ou c

om

oitenta

?

TR

AB

ALH

O E

M G

RU

PO

– 3

ª aula

O

gru

po pode ser

o m

esm

o ou pode ser

altera

do a

part

ir d

a e

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Fonte

: A

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83

CAPÍTULO 5: ANÁLISE E CONCLUSÕES DA 2ª SEQUÊNCIA DIDÁTICA

A sequência didática que analisaremos a seguir foi reorganizada a partir dos

resultados analisados na aplicação da primeira sequência didática. Algumas variáveis

foram consideradas e novas propostas integradas. A questão de pesquisa mantém-

se a mesma: conhecer o que sabem os alunos sobre o valor posicional do sistema de

numeração e o quanto uma situação didática, concebida a partir da TSD de

Brousseau, pode auxiliá-los na compreensão do sistema posicional e a alcançar novos

conhecimentos. A intervenção do professor (nesse caso, a orientanda – que passará

a ser nomeada como “pesquisadora”) também será foco de observação e análise já

que essa ação fez parte das variáveis analisadas e consideradas anteriormente.

A formação da professora dessa turma, prevista para acontecer

simultaneamente à aplicação da sequência pela orientanda, não aconteceu, pois ela

estava afastada e em seu lugar havia uma professora “substituta” que apenas

observou.

5.1 Primeiro dia: 1ª situação (inicial) – individual/coletiva

Os alunos receberam da pesquisadora uma folha com o seguinte cálculo: 18 +

15 =. Completaram o cabeçalho e ouviram a explicação sobre o que deveriam fazer:

“Vocês acham que o resultado desse cálculo vai começar com 20 ou com 30? O que

farão é encontrar uma estimativa para o resultado desse cálculo, só que nesse caso

eu quero que me digam se acham que o resultado começa com 20 ou 30. Depois, vão

explicar as suas escolhas”. As crianças estavam bem alegres, atentas a tudo o que a

pesquisadora dizia e imediatamente iniciaram a atividade.

Assim que concluíram, a pesquisadora convidou alguns alunos para explicar

suas escolhas. Um dos alunos decide por 30 e explica (Aluno 1): “Eu usei o 1 + 1, aí

eu peguei 8 + 5 e o 1 do 13 eu coloquei e ficou 30”. É interessante observar que esse

garoto não diz que 1 + 1 + 1 deu 3. Ele diz que ficou 30. Outro aluno havia escrito 33

e apagou, colocando 30. A pesquisadora solicita que ele explique porque tinha dado

33: “Porque eu coloquei 18 + 15, aí eu coloquei três 1 aí deu 3 e aí eu coloquei 3 aqui

e deu 33.”

Esse aluno está explicando o algoritmo da adição, a estratégia que ele utilizou.

Intencionalmente, a pesquisadora questiona os alunos sobre a formação dos números

84

para conhecer o que sabiam sobre o sistema posicional e, se possível, ajudá-los a

pensar numa outra estratégia para encontrar a estimativa dos cálculos.

Pesquisadora: “Quem pode dizer como o número 18 é formado? ”. Vivi: “Tem 1 dezena e 8 unidades”. Pesquisadora: “Dá para dizer de outro jeito? ” Vivi: “Tem um 10 e um 8. ” Pesquisadora: “E o 15? ”. Vivi: “Tem uma dezena e cinco unidades. ” Pesquisadora: “Bem, se eu sei que aqui no 15 tem um 10 e um 5 e aqui no 18 tem um 10 e um 8 (a pesquisadora escreve na lousa essa formação dos dois números), o que posso fazer para estimar como começará o resultado da soma desses dois números? ” Vivi (não perde a chance e diz): “10 + 10 e 8 + 5” Pesquisadora: “Mas se eu somar 10 + 10 o resultado vai começar com 20 ” Vivi: Não! Você tem que olhar as unidades também. Eu fiz a conta de 10 + 10. Só que antes eu não tinha prestado atenção, então eu fiz pela unidade: 5 + 8 que deu 13, e eu coloquei 10 + 10 + 10 = 30.

A aluna Vivi parece muito segura ao responder sobre a formação dos números

18 e 15, assim como para explicar aos colegas que, além de considerar as dezenas,

também considerou as unidades. Nessa primeira discussão já temos a formação

parcial de uma regra: “Tem que prestar atenção e olhar as unidades também, não só

as dezenas”. Uma informação muito importante que foi divulgada por Vivi com

detalhes explícitos.

O resultado foi bastante significativo para um primeiro dia. Em seguida, a

pesquisadora desafiou os alunos questionando-os sobre como poderiam encontrar o

resultado correto desse cálculo. A conta armada apareceu de forma mais acentuada,

mas também a decomposição esteve presente. Vejamos:

Figura 5: : À esquerda: Rani – Técnica operatória – À direita: Neemias – Decomposição

Fonte: A autora.

85

Figura 6: Decomposição e técnica operatória e Léia- Decomposição/técnica

Fonte: A autora.

Figura 7: Thais – técnica na horizontal e Meire- Decomposição

Fonte: A autora.

Um aluno registra uma soma com três números 1 e explica que pegou o 1 do

18, o 1 do 15 e o 1 do 13 e depois somou o 3.

Figura 8: Soma só os algarismos das dezenas

Fonte: A autora.

Gilson (figura 9) monta a conta armada, no entanto, faz os cálculos de forma diferente,

obtendo resultado 24. Ele explica que fez 18 + 1 (do 15) e deu 19. Depois somou 19 + 5 (do

15) e deu 24. Se conhecesse o valor posicional que os algarismos ocupam no número, teria

86

decomposto o 15 em 10 e 5 e realizado o cálculo da forma como pensou (18 + 10 e 28 + 5) e

alcançado o cálculo correto.

Figura 9: Técnica operatória “pessoal”

Fonte: A autora.

5.1.1 Conclusões

Além do algoritmo da adição como estratégia de cálculo, aparece, também, a

decomposição. Diferentemente do trabalho realizado em 2015, foi possível iniciarmos

a construção (parcial) de uma primeira regra sobre como realizar, acertadamente, a

estimativa ao somar dois números de dois algarismos.

5.1.2 Primeiro dia: 2ª Situação – Individual/coletiva

Duas alterações:


Estimativa (o resultado começará com 50 ou 60?)

32 + 26 =

25 + 35 =

27 + 37 =

38 + 21 =

Fonte: A autora.

Na segunda atividade, ainda no primeiro dia, a pesquisadora inicia solicitando

aos alunos que leiam a consigna e, em seguida, convida-os a lerem junto com ela.

Chama a atenção dos alunos de que não se trata de encontrar o resultado correto,

mas de estimarem se os resultados começarão com CINQUENTA ou SESSENTA.

No quadro 19, o resultado alcançado pelos alunos na 2ª situação.

87

Quadro 19: Tabulação/Acertos – 2ª situação

Alunos presentes 25 (3 faltas)

Todas as estimativas corretas

6 – apenas 2 acertaram todos os resultados

Acertaram a 1ª estimativa 15




A mesma estimativa para todos os cálculos

2 – (usaram a soma dos algarismos que representam as dezenas. Em ambos, só aparecem os resultados corretos e não a estratégia utilizada.)

Acertaram todos os resultados

9

Acertaram o 1º resultado 17




Usaram o algoritmo da adição

9

Só colocaram o resultado 8

Mesclou algoritmo e só o resultado

1

Outras estratégias 8 (pauzinhos, decomposição)

Fonte: A autora.

Dos 24 alunos que realizaram a atividade, somente 6 acertaram todas as

estimativas (e destes, só 2 conseguiram acertar todos os resultados); aparecem

outras estratégias, além da conta armada, utilizadas para encontrar o resultado

correto dos cálculos: o uso de pauzinhos (contagem), a decomposição e só o

resultado.

O interessante nesses 8 alunos que colocaram apenas o resultado (não

aparece nenhuma indicação da estratégia utilizada) é que, ao serem solicitados a

explicar como conseguiram chegar a eles, utilizam a técnica operatória e não o cálculo

mental. Um exemplo é a explicação de aluno sobre como conseguiu o resultado 64

para o cálculo 37 + 27: “Eu peguei o 1 de 7 + 7 e somei com 3 +2 e deu 64”.

Desses 8 alunos, um deles não conseguiu explicar como chegou ao resultado;

apenas 9 alunos, dos 24, usaram a conta armada para descobrir o resultado final; os

dois alunos que usaram a mesma estimativa para todos os cálculos consideraram

apenas a soma das dezenas. Um deles colocou todos os resultados corretos, porém

sem a presença da estratégia utilizada. Podemos inferir (já que não temos a

explicação dele) que tenha usado o cálculo mental.16 A figura abaixo, mostra a

atividade desse aluno.

16 Entendemos por cálculo mental um conjunto de procedimentos nos quais uma vez analisados os dados a serem tratados estes são articulados para permitir a escolha da melhor estratégia, obtendo

88

Figura 10: Nilson –Mesma estimativa / resultados corretos

Fonte: A autora.

Assim que concluem a atividade, inicia-se, coletivamente, a socialização de

como fizeram para estimar como começava o resultado dos cálculos:

Pesquisadora: (Dirige-se a C.I. que sinaliza que quer falar.) Explica para a gente como você fez para descobrir se começava com CINQUENTA ou SESSENTA? Qual foi o cálculo que você escolheu? C.I.: 25 + 35 Eu peguei o 20 mais 30 Pesquisadora: Quanto deu? C.L.: 50 Pesquisadora: Aí você colocou 50. C.I.: Não! Não! Eu peguei a dezena (referindo-se às unidades) que deu 5 mais 5... Peguei as unidades e deu 60. Pesquisadora: Qual foi sua estimativa? C.I.: 60 (Essa aluna acertou todas as estimativas.) Outro aluno explica: Eu peguei 32 e 26. Aí eu coloquei 5 que é 3 + 2, aí eu peguei o 6 e coloquei o 2 que deu 50! (Não consegue explicar como chegou ao 50). Pesquisadora se dirige ao aluno Nuno (nome fictício) que explica como estimou 38+21: Nuno: Eu fiz 3 + 2, aí o resultado deu 50.

É interessante observarmos, na figura a seguir, que Nuno colocou todas as

estimativas usando sempre a soma das dezenas como referência. Para esse cálculo,

ele explica que fez a estimativa considerando só a soma das dezenas. O que é

razoável já que a soma das unidades não ultrapassa 9. No entanto, quando explica

como fez para encontrar o resultado correto de 35 + 25, ele diz: “Se 20 + 30 dá 50 e

5 + 5 dá 10 então dá 60”. Nesse momento ele não diz 2 + 3 (referindo-se à soma das

dezenas), e sim 20 + 30, considerando o valor posicional dos algarismos 2 e 3 nos

números 25 e 35.

resultados exatos ou aproximados, dependendo dos objetivos e da situação apresentada. Esses procedimentos se apoiam nas propriedades do SND e das operações,

89

Mais para frente, observaremos que ele faz outras colocações pertinentes

sobre a posição dos algarismos no número, mas continua considerando, para as

estimativas, apenas a soma das dezenas. Ele acerta todos os resultados corretos em

todas as atividades. Ficamos com uma questão: Por que ao explicar como chegou ao

resultado correto ele utiliza corretamente o valor dos algarismos nos diferentes

números (unidades e dezenas) e nas estimativas considera apenas a soma das

dezenas e não observa as unidades?

Outra aluna recita os algarismos que compõem cada número ao explicar como

fez para encontrar o resultado correto de 37 + 27: “Fiz 7 + 7 e depois o 2 + 3. Ela

acerta a estimativa e o cálculo correto e usa a conta armada como estratégia.

5.1.3 Conclusões

Na atividade inicial, em que os alunos deveriam estimar como começaria o

resultado de 18 + 15, se com vinte ou com trinta, surpreendeu-nos o número de alunos

que participou, explicando como encontraram as estimativas e os resultados corretos.

Além disso, apareceram explicações na socialização coletiva de como chegaram às

estimativas, que podem influenciar alguns dos alunos que não descobriram, ainda,

que o valor dos algarismos muda a depender de onde eles se encontram no número,

a iniciarem essa observação.

Nessa turma, aparecem outras estratégias além da conta armada ao somarem

dois números de dois algarismos: decomposição, contagem. Os alunos pareciam

estar à vontade na presença da pesquisadora.

Já no primeiro dia encontramos alunos que utilizam a adição das unidades

como estratégia para encontrar a estimativa do resultado dos cálculos: vários

explicitam utilizando a estratégia da conta armada e alguns explicam utilizando a

decomposição e o valor posicional das dezenas e das unidades representados nos

números. Bem diferente do resultado da primeira turma em 2015, que só usou a conta

armada como estratégia para encontrar a estimativa e a soma dos algarismos que

representam as dezenas.

Não aparece a calculadora como estratégia para encontrar o resultado correto

e, em nenhum momento da sequência didática, ninguém sugeriu utilizá-la. Podemos

concluir que a calculadora não faz parte da vida escolar dessas crianças (deixamos

expostas algumas calculadoras para atender quem quisesse utilizá-las);

90

Foi possível iniciarmos a construção parcial de uma regra nesse primeiro dia

de discussão coletiva: “Tem que prestar atenção e olhar as unidades também, não só

as dezenas”. Variáveis consideradas nessas duas atividades da SD: 1, 6 e 8.

5.2 Segundo dia: 3ª situação – individual/grupo/coletiva

A atividade a seguir foi reorganizada considerando-se as variáveis 1, 4, 5 e 6

do quadro 17.

5.2.1 Primeira Atividade – Individual

Sem fazer conta, estime como começará o resultado de cada cálculo: se com

sessenta ou setenta. Escreva na coluna reservada para as estimativas. Quando

terminar, encontre o resultado correto de cada cálculo.

Quadro 20: Modelos das Folhas de Atividades

ESTIMATIVA (COMEÇA COM 60 OU 70?)

RESULTADO CORRETO

43 + 25 =

26 + 44 =

29 + 45 =

ESTIMATIVA (COMEÇA COM 80 OU 90)

RESULTADO CORRETO

33 + 55 =

52 + 39 =

53 + 37 =

Fonte: A autora.

A pesquisadora inicia retomando a segunda atividade que fizeram no dia

anterior com números que começavam com 20 e alguma coisa, mais 30 e alguma

coisa. Ela escreve na lousa 2 _ + 3 _ e desafia os alunos a completarem com números

que faltam de tal forma que o resultado dê 50 e alguma coisa. Apareceram várias

situações como: 20 + 30; 23 + 32; 20 + 31.

Em seguida, propõe que o resultado das somas de 20_ + 30_ dê 60_. Diante

do cálculo 21 + 39 sugerido por um aluno a pesquisadora pergunta: “Qual será o

resultado desse cálculo?”. Alguns alunos dizem 60 e outros 61. Um dos alunos explica:

“Peguei 20 + 39 que deu 59 + 1 deu 60”. Usou a estratégia do arredondamento (para

o número redondo mais próximo): deixou o 1 (de 21) fora do cálculo, mas o retomou

no final.

Outro aluno sugere o cálculo 23 + 36, mas, imediatamente, alguém observa

que o resultado dará 50 e alguma coisa. Outro aluno sugere: 25 + 35, mas a proposta

91

era que o resultado desse 60 e alguma coisa e, nesse caso, daria 60. Alguém sugere

25 + 37 e juntos chegam a seguinte estratégia: 25 + 30 = 55 + 7 = 62.

Nessa discussão, aparece uma mesma estratégia duas vezes: a decomposição

de apenas um dos números do cálculo. Vejamos:

21 + 39 - 20 + 39 = 59 59 + 1 = 60 (decomposição do primeiro número)

25 + 37 - 25 + 30 = 55 55 + 7 = 62 (decomposição do segundo número)

Em seguida, a pesquisadora distribui a folha de atividade e chama a atenção

para uma nova coluna: “Ontem eram duas colunas e hoje são 3 colunas”. Ela desenha

o quadro na lousa e o completa exatamente como está na folha de atividade. São três

cálculos para estimarem se começarão com SESSENTA ou SETENTA.

Os alunos realizam cálculo por cálculo: primeiro a estimativa e depois o

resultado correto de cada um deles. A pesquisadora vai passando entre os alunos e

tirando dúvidas e, de vez em quando, vai até a lousa e retoma o quadro e como

deveriam preenchê-lo. Retoma, também, como poderiam conseguir o resultado

correto de cada cálculo lembrando-os de como fizeram no dia anterior.

Assim que terminam a primeira atividade, são orientados a realizar a segunda

atividade que está no verso da página: os cálculos são diferentes e os resultados

começarão com OITENTA ou NOVENTA. A pesquisadora vai até o quadro e

preenche-o com os novos cálculos que estão no verso da página.

Quadro 21: Tabulação da atividade individual – 2º dia

ALUNOS

1- Estimativa/resultado correto

2- Estimativa/resultado correto

Estratégias utilizadas – resultado correto

1. 60- 70- 70 / 68- 72- 74 80- 90- 90 / 88- 91- 90 Usou algoritmo

2. 60- 70- 70 / 68- 70- 74 80- 90- 90 / 88- 91- 90 Só o resultado

3. 43+25- 26+44- 92+54 / 29+45- 9+45- 495+4

94- 84- 92 / 46- 45- 98 Copiou os cálculos no primeiro e no segundo só resultado

4. 60- 70- 70 / 68- 70 -74 80- 90- 90 / 88- 91- 90 Usou o algoritmo

5. 60- 20- 60 / 68- 61-64 80- 90- 80 / Não fez Usou sentença matemática nos dois primeiros cálculos da atividade

1 e o algoritmo no último cálculo (29+ 45)

6.

7. 70- 60- 70 / 18- 60- 76 90-80-90 / 88-81-90 Usou pauzinhos na ativ. 1

8. 60-70-70 /70-60-60 90-80-80 / 80-90-90 Só resultados

9. 60-61-70 / 77- 88- 98 80-90-99 / 70-79-90 Só resultados

10. 70-69-60 / 68-44- 13 80-90-80 / 88-91-80 Usou pauzinhos

11. 70-70-60 / 68-70-74 80-90-80 / 88-91-90 Algoritmo (só na ativ 1)

92

12. 60-70-69 / 70-60-61 Não fez Usou o algoritmo para 2 cálculos: 43+25= 67 e 29 +45 = 14

4 29 +45

14

13. 60-60-70 / 68-61-74 80-90-80 /88-92-81 Usou algoritmo: no 26+44 fez 6 + 4 = 10 deixou o 1 e subiu o 0 e no 53+37 somou 3+7=10 deixou o 1 na coluna da unidade e subiu o 0 – Isso só acontece quando a soma das unidades dá 10.

14. 60-60-70 / 68-69-79 80-80-90 / 88-80-91 Usou bolinhas para o cálculo

15. 60-70-70 / 70- 60 -60 90-80-90 / 80-90-80 Usou o algoritmo da adição, porém só acertou os cálculos que

resultavam em números redondos: 53+37 e 26+44???

16. 70-60-70 / 78-69-75 80-80- 90 / 88-87-90 Usou o algoritmo apenas para o cálculo 53 +37 e não sabe onde

colocar o 0 da soma 7+3 (Cf. protocolo)

17. 60-70-70 / 68-70-74 80-91-90 / 88-91-90 Usou o algoritmo da adição

18.

19. 70-60-70 / 75-67-72 80-80-90 / 88-87-90 Usou o algoritmo na atividade 2. Na atividade 1 – só os resultados

20. 70-70-60 / 86-61-64 80-90-90 / 88-87-85 Na ativ. 1 aparece um algoritmo: 26+44=70, provavelmente fez para

a estimativa e na ativ. 2 usa sentenças mat. Mas só acerta 33

+55=88

21. 60-70-70 / 70-87-69 Acerta as estimativas

erra resultados corretos

80-90-90 / 88-28-81 – Acerta as estimativas - Usou pauzinhos para

os cálculos

Na ativ. 1 usa o algoritmo para os dois primeiros cálculos e acerta o

segundo – apesar de aparecer errado no quadro como resultado

correto.

22. 60-60-60 / 68-70-74 80-80-80 / 88-91-90 Aparecem só os resultados

23. 68-60-70 / 68-70-74 88-81-80 / 88-91-90 Usou o algoritmo da adição- aparecem pauzinhos tb.

24. 60-60-60 / 68-80-34 80-80-80 / 88-89-80 Usou a conta armada em pé e deitada.

33+55 I= 88 53+37 I= 80

Sá acertou os cálculos em que a soma das unidades não chegou a

10.

25.

26.

27. 60-70-70 / 68-70-74 80-80-80 / 88- ? -81

Usou sentença matemática para achar o resultado correto no

primeiro

28. 60-70-70 / 68-70-74 80-90-90 / 88-91-90 Usou a conta armada na ativ. 1 e 2 (apagou as contas da ativ. 1)

29.

30. 60-70-60 / 85-59-62 80-90-80 / 77-15-17 Aparece apenas um algoritmo 43 +25 =85

31. 70- 60- 64 / 78- 60- 64 80- 81- 90 / 88- 81- 88 Usou algoritmo, porém com muitos erros na técnica

Fonte: A autora.

93

Na primeira atividade, 9 alunos acertam todas as estimativas, e 5 deles

acertaram também todos os resultados corretos. Já na segunda atividade, 5 alunos

acertaram todas as estimativas e 3 deles acertaram também os resultados corretos.

Cai o número dos que acertaram todas as estimativas da 1ª para a 2ª atividade. Uma

hipótese é que a pesquisadora não tenha explicado, tão detalhadamente, a segunda

atividade como fez com a primeira. Outra hipótese pode estar associada aos valores

dos números da segunda atividade: são mais altos (as estimativas dos resultados são

OITENTA ou NOVENTA);

A aluna K. usa a conta armada para encontrar os resultados corretos e em

todos os cálculos em que a soma das unidades dá 10, ela deixa o 1 embaixo das

unidades e sobe o 0 para as dezenas (26 + 44; 53 + 37). A aluna L. só usa o algoritmo

para o cálculo 53+37 e também deixa o 1 embaixo das unidades e sobe o 0 para as

dezenas. Ela usou a decomposição para encontrar 3 dos resultados corretos na

primeira atividade (do 1º dia) e acertou todos.

Porque essa dificuldade em não saber o que fazer quando a soma das

unidades dá 10? Essa seria uma ótima situação para discutir coletivamente com todos

os alunos, porém, essa análise não pode ser realizada no mesmo dia e o tempo

destinado à SD era de apenas três dias.

A aluna R. S., usa a soma dos algarismos das dezenas para a estimativa (dessa

forma, todas as estimativas são iguais na 1ª atividade 60, e na segunda 80). Usou o

algoritmo e a operação deitada, mas só acertou os cálculos em que a soma das

unidades não ultrapassava 9. Ela não sabe o que fazer quando a soma das unidades

é igual ou ultrapassa 10.

Para 29+45 faz:

1

29 + 45 = 34 (ela soma as unidades 9 e 5, encontra o resultado 14, coloca o 1

em cima do algarismo 2 (que representa a dezena do número 29) e, em seguida, soma

2 + 1, esquecendo de somar a dezena do número 45. Para 26 + 44 ela usa a conta

armada em pé:

1

26

+44

80 (colocou 8 para a soma das dezenas 1 + 2 + 4 que dá 7).

94

Para 53 + 37 ela usa a operação deitada: 53 + 37 I = 80 (desconsidera a dezena

da soma 7 + 3).

Várias crianças usam o algoritmo da adição, mas com muitos erros na técnica

operatória. É o caso da aluna Ana Gabriela também. Para 26 + 44 ela faz:

1

2 6

+ 4 4

6 0 (Coloca a dezena da soma das unidades 6 e 4, em cima do algarismo 6

e não faz nada com ele.)

Para 29 + 45:

1

2 9

+ 45

54 (soma corretamente as unidades, mas no momento de somar as dezenas,

soma as dezenas do 45 com a dezena da soma das unidades e esquece a dezena do

29). Os números aparecem desordenados como no cálculo anterior.

5.2.2 Segundo dia: 2ª atividade – Grupo

Após concluírem as estimativas e os resultados corretos das duas atividades,

os alunos foram organizados em grupos. A pesquisadora, antecipadamente, separou

6 alunos que haviam acertado as estimativas da segunda atividade realizada no dia

anterior e solicitou à professora que colocasse junto, a cada um deles, outros três

colegas. Enquanto os grupos conversavam, a pesquisadora fazia intervenções de

acordo com o que observava nos registros já realizados. Os alunos, em grupo,

discutiram o que fizeram para encontrar as estimativas dos cálculos trabalhados.

Pesquisadora: Como vocês fizeram para saber se a estimativa de 26 + 44 daria sessenta ou setenta? Grupo 1: Peguei 20 + 44 + 6 e deu 70. Grupo 2: Eu peguei 2 + 4 que deu 6, depois peguei 6 + 4 que deu 10 e coloquei 70. Grupo 3: Eu peguei 20 + 40 que deu 60, depois peguei 6 + 4 que deu 10 e aí deu 70. Grupo 4: Eu não consigo explicar. Pesquisadora: E vocês, como chegaram a estimativa do cálculo 33 + 55? Grupo 5: Eu peguei 3 + 5 que deu 8 e depois esse 3 + 5 e também deu 8 (enquanto explica, a aluna mostra os dois 8 apontando para o número 88).

95

À medida que os grupos socializavam as estratégias utilizadas, a pesquisadora

toma o cálculo 26 + 44 e o fato de terem usado 2 + 4 e 20 + 40 ao se referirem aos

algarismos que representavam as dezenas dos números, nas explicações que deram,

para encaminhar uma nova discussão:

Pesquisadora: Ao calcular 26 + 44 um grupo disse que fez 2 + 4 e deu 6 e outro grupo disse que fez 20 + 40 e deu 60. Os dois grupos somaram 6 + 4 e chegaram a estimativa “SETENTA”. É isso mesmo? Dá para fazer 2 + 6 e 20 + 60 e ter o mesmo resultado? Vivi: Tanto faz. Pesquisadora: Porque “tanto faz”? Vivi: o 2 é 20 e o 6 é 60. Pesquisadora: O que vocês acham disso? Quem quer tentar explicar o que a Vivi falou? Aluno1: É que o 2 é 20 só que a gente fala 2 na conta. Vivi: O 2 é duas dezenas 20.

Os dois alunos estão falando sobre o valor posicional dos algarismos 2 e 4

presentes nos números 26 e 44. Não de forma explícita, mas conseguem socializar

para os colegas que “que o 2 é 20 e o 4 é 40”; “que o 2 é 20 só que na conta a gente

fala 20”; e que “o 2 é 20 porque são duas dezenas”. São conclusões

interessantíssimas de serem socializadas. São explicações “preliminares” dadas para

o valor posicional que os aproximam da compreensão do sistema posicional.

5.2.3 Segundo dia: 3ª Atividade – Coletiva

A pesquisadora propõe que os grupos escolham um dos cálculos e expliquem

o que concluíram. Observa-se que várias das explicações encaminham para os

resultados corretos e não para as estimativas.

Para 33 + 55: Grupo 1: Eu coloquei 3 + 5 dá 8 e 3 + 5 dá 8 e deu 88 Para 52+ 39: Grupo 1: Eu peguei o 5 + 3 e subi 1 que 2 + 9 era 14 – (a pesquisadora discute a soma de 2 + 9 e a aluna chega a 11. Em seguida, pergunta a aluna como foi que ela chegou à estimativa 80). Aluna/Grupo 1: Eu fiz desse jeito (mostrando a conta armada). (Essa aluna fez primeiro a conta armada de todos os cálculos para, só depois, completar com as estimativas). Grupo 2: (para 33 +55) Eu peguei o 3 e juntei com o 5 e deu 8 (mostrando o primeiro algarismo de cada número). Eu peguei esse 3 com esse 8 e deu 88. Grupo 2: (para outro cálculo 52 + 39) Eu peguei o 5 e juntei com o 3 e deu 8. Aí eu peguei o 2 com 9 e deu... (alguém diz 11 e ela continua) 90. Eu pego o 8 e coloco mais 1 (a aluna mostra a estratégia algorítmica que fez).

96

Um terceiro grupo também explica da mesma forma que os anteriores. Após

ouvi-los a pesquisadora segue propondo questões para que se aproximem, um pouco

mais, da formulação de uma regra que os ajude a perceber a importância de se

considerar as unidades dos números no momento de encontrar a estimativa.

Pesquisadora: Alguém falou que para somar 18 + 23... faz 10 + 20 e dá 30.. Mas é só isso? (Os alunos respondem negativamente.) Pesquisadora: Por que eu não posso parar? Aluno: Faltaram as unidades, porque não somou as unidades. Pesquisadora: Se eu somar as unidades o que pode acontecer? Aluno: Pode dar um número maior que 10. Outros alunos: Pode! Pesquisadora: Alguém disse que no 11 eu tenho mais 1 dezena. Alunos: Junta com o 30. Julia encerra a discussão explicando como fez para encontrar a estimativa de 36 + 38 ela diz: Se 30 + 30 é 60, aí eu já coloco as unidades... dá 70 (refere-se a dezena da soma das unidades 6 e 8).

5.2.4 Conclusões

Analisando a tabulação dos resultados dessas atividades (2º dia), podemos

concluir que os alunos avançaram muito pouco, se nos atentarmos apenas aos

acertos e erros. No entanto, quando analisamos a participação e a contribuição dos

alunos durante a intervenção da pesquisadora nos grupos e nas discussões coletivas,

a conclusão muda sensivelmente.

Foram, sem dúvida, as discussões nos grupos e coletivas que suscitaram

análises, reflexões, confrontos, revisões, entre outros, possibilitando que os alunos

avançassem em seus saberes, especificamente em relação à “pista” do que precisam

fazer para encontrar a estimativa do resultado das somas realizadas.

Na primeira discussão coletiva, a partir da explicitação de alguns alunos sobre

o que fizeram para encontrar a estimativa (de como começavam os resultados das

somas de dois números com dois algarismos), foi possível destacar uma primeira

regra (parcial): “Tem que prestar atenção e olhar as unidades também, não só as

dezenas”.

No segundo dia, uma nova descoberta contribuiu para ampliar a regra inicial,

quando um dos alunos disse que a soma das unidades pode dar um número maior

que 10. De forma organizada, a regra passaria a ser: “Tem que prestar atenção e olhar

as unidades porque a soma delas pode dar um número maior que 10.” Seria

importante que os alunos concluíssem também que a soma das unidades precisaria

dar 10 ou mais.

97

As intervenções nos grupos propiciaram reflexões sobre diversas questões:

retomaram somas com cálculos errados; ouviram explicações de colegas sobre

estratégias diferentes; participaram de discussões sobre o valor posicional de

algarismos que representavam as dezenas, entre outras. O trabalho em pequenos

grupos, por exemplo, favoreceu alunos com dificuldades em se expor no coletivo; já a

atividade coletiva favorece a divulgação de muitas informações, contribui para que se

compare o que se fez com outros colegas, promove oportunidades de se colocarem

em grupos maiores entre outros.

As mediações nos grupos permitiram a divulgação de estratégias, como a

decomposição de um termo (para 26 + 44 20 + 44 + 6; a decomposição dos dois

termos (20 + 40 e 6 + 4); o algoritmo da conta armada (grafado e não grafado- para

33 + 55: 3 + 5 e 3 + 5); os alunos observaram explicações que se completavam e que

traziam informações sobre o sistema posicional. Para 26 + 44, por exemplo:

Grupo 1: Eu peguei 2 + 4 que deu 6, depois peguei 6 + 4 que deu 10 e coloquei 70.

Grupo 3: Eu peguei 20 + 40 que deu 60, depois peguei 6 + 4 que deu 10 e aí

deu 70.

Os alunos pareciam à vontade, já que vários deles compartilhavam as

diferentes estratégias, mesmo que não tivessem encontrado as estimativas e os

resultados corretos. Começaram a participar de algumas experiências positivas com

o trabalho em grupo, porém, havia muito que se investir nesses momentos, quando

observávamos que os alunos responsáveis pelos registros nos grupos justificavam a

partir do que haviam feito, sem considerar a opinião dos colegas.

Vários alunos demostravam dificuldades com a estrutura do algoritmo da

adição, principalmente quando a soma das unidades envolvidas resultava 10 ou mais.

Não sabiam onde colocar o 1 ou o 0. Outros não consideram o número que representa

a dezena da soma das unidades colocado sobre as dezenas: esqueciam de somá-los

ou o somavam com apenas um dos números que representam as dezenas. Essas

dificuldades indicam a não compreensão do nosso sistema de numeração e seriam

indispensáveis investimentos em situações didáticas que provocassem a análise das

regularidades do sistema.

98

5.3 Terceiro dia: 4ª situação – grupo/coletiva

5.3.1 Primeira Atividade – Grupo

Novos cálculos são propostos para que encontrem as estimativas de como

começariam seus resultados. Dessa vez, propusemos cálculos cujos resultados

poderiam começar de formas diversas: 70, 90, 50 e 100.


ESTIMATIVA RESULTADO CORRETO COMO ENCONTROU O RESULTADO CORRETO?

EXPLIQUE.

42 + 36 =

58 + 55 =

46 + 47 =

25 + 32=

Fonte: A autora.

A atividade trouxe quatro adições que resultaram em números começados por

SETENTA, CEM, NOVENTA E CINQUENTA, portanto 4 cálculos que têm diferentes

resultados. Essa atividade se diferencia das demais, pois as outras tinham sempre

resultados iniciados por uma mesma dezena. A variável considerada (fora as já

consideradas nas atividades anteriores dessa SD) é a 7 (ver quadro 16).

Os alunos, organizados em grupos “produtivos” (em cada grupo há alunos que

utilizam a soma das unidades para encontrar a estimativa; outros que usam a conta

armada para encontrar a estimativa e outros com estratégias diferentes), recebem a

folha de atividades e um aluno de cada grupo ficará responsável pelo registro da

atividade.

Enquanto caminha entre os grupos, a pesquisadora vai questionando-os sobre

como encontraram a estimativa ou o valor correto para os cálculos já realizados,

orientando-os sobre o funcionamento do grupo. Num dos grupos ela pergunta quem

foi que colocou a estimativa 70 para 42 + 36 e os alunos indicam um colega. A

pesquisadora diz: “Ela colocou que o resultado vai começar com 70, vocês

concordam? Depois, precisam encontrar o resultado”. Aproxima-se de outro grupo,

observa que eles haviam escrito “Fazendo contas” no espaço destinado a explicar

como encontraram o resultado correto do cálculo 42+36 e pergunta: ”Onde vocês

fizeram as contas?”

Grupo 1: Nos dedos! Pesquisadora: Então, escrevam “Fazendo com os dedos.” (Essa é uma informação importante, pois os alunos usam a conta armada, porém, a estratégia é a contagem). A pesquisadora observa que no mesmo grupo há um dos cálculos errado e questiona:

99

Pesquisadora: Como foi que vocês fizeram para encontrar esse resultado aqui (apontando para o número 114 – resultado do cálculo 58+55). Após o grupo indicar quem havia feito aquele cálculo a aluna explica: Grupo 1: Fiz na cabeça! Pesquisadora: Conta como você fez. Aluna: 5 + 5 é 100 e 8 + 5 é 14 e no total dá 114. A aluna diz 5 + 5 referindo-se aos algarismos que representam as dezenas. Não diz 10, mas 100 e em seguida soma os algarismos das unidades e chega a um resultado incorreto, pois erra a soma de 8 + 5

Alguns dos alunos começam a contar nos dedos. Aqui, observamos que o aluno

utiliza um cálculo que já sabe de memória - 5+5 – mas, ao explicar 8 + 5, utiliza a

contagem nos dedos. Fez de “cabeça” utilizando cálculos que sabia de memória e a

contagem.). Na folha do grupo, esse cálculo aparece corrigido e certo e registram

“CONTA MENTAL”. O G1 conclui o trabalho acertando todas as estimativas, mas

errando um dos resultados corretos: 46 + 47= 94.

Pesquisadora para o G2: Como foi que vocês descobriram que dá 78? Nicolas: Eu contei primeiro as unidades e depois as dezenas. Pesquisadora para o G3: 58+55 vocês acham que o resultado vai começar como? – A aluna que é responsável pelo registro do grupo, fica pensando (como se estivesse fazendo os cálculos). A pesquisadora volta-se para outra aluna do grupo e ela diz que vai começar com 100. Pesquisadora: Quem mais acha que vai começar com 100? Então escreva 100, já que duas pessoas do grupo concordam. (Enquanto a aluna escreve 110 no espaço para a estimativa...) E o resultado correto, como vocês fazem para saber? (Nesse momento a aluna responsável pelo registro começa a escrever o que ela pensa, a pesquisadora percebe e orienta: “Você deve esperar os colegas falarem. Você só vai anotar o que os colegas falarem, decidirem. ” (A aluna concorda e interrompe o registro.) G3: Nos dedos, continhas...

O G3 decide registrar “fazendo conta” e realmente utiliza o algoritmo dos 3

cálculos na folha. Acertam todas as estimativas e todos os resultados. Além de

“fazendo conta”, eles também registram: “contando nos dedos, de memória e de

cabeça”.

Passa pelo G4 e observa que a aluna responsável pelo registro do grupo está

fazendo os cálculos usando o algoritmo numa folha a parte e só depois coloca a

estimativa, por isso ela a orienta a pensar em como os resultados vão começar

primeiro.

A pesquisadora aproxima-se do grupo 5 e ouve:

100

Então é 12. É 12! (Um dos colegas referindo-se a soma das unidades 6 + 7 do cálculo 47 + 46). Outra colega: A gente tem 47 + 47. Não 46 + 47... é 13! 7 + 6 dá 13! Dá 13, eu acho aqui (se referindo ao resultado correto de 47 + 46). A menina coloca 6 nos dedos e inicia a sobrecontagem a partir do 7 e indicando nos dedos: “ 8, 9, 10, 11, 12, 13”.

O grupo todo está voltado para esse cálculo, não permitindo que a registradora

anote outro resultado. Ela fala algo como: “9 e 1 no 4, no 4 (se referindo a soma das

dezenas 4 + 4 + 1 que dá 9 e “1 no 4” ela estaria utilizando a estratégia da conta

armada e a dezena, 1, que é resultado da soma das unidades 6 e 7, vai para cima do

4 (o algarismo que representa a dezena do número 46) .”

Em seguida outro colega diz: “Ela falou 6+7” e a outra: “Quanto é 7 + 6? ” “ A

mesma coisa”, diz a colega que registra. E a colega que fez a sobrecontagem diz:

“Coloca o 3. E 4 + 4? ” É 9! ” (Provavelmente já considerando a dezena que veio da

soma das unidades 6 + 7). O grupo 5 discutiu intensamente os cálculos e acertou

todas as estimativas e também todos os resultados.

Ao se aproximar do grupo 6, a pesquisadora pergunta sobre a estimativa do

cálculo 46+ 47: Aluna: Vai começar com 80, porque 4 + 4 ...

A pesquisadora volta-se para o grupo e diz: “Pensem juntos sobre isso, vamos

lá.” A partir dessa intervenção, os alunos do G6 começaram a discutir a estimativa 80.

Na folha deles registram que encontraram o resultado correto de 58 + 55 “fazendo

bolinhas” e o interessante é que esse é o único cálculo que eles erram o resultado

correto. Acertaram todas as estimativas.

5.3.2 Terceiro dia: 2ª Atividade – Grupo

Essa situação foi pensada para as fases de validação e institucionalização. A

pesquisadora diz: “Faltam alguns números nesse cálculo: 5_ + 3_. Como vocês

completariam os números que faltam para que o resultado...


Dê oitenta e alguma coisa? (8_)

Dê noventa e alguma coisa? (9_)

Dê exatamente noventa? (90)

Fonte: A autora.

101

Converse com o seu grupo: “o que vocês descobriram com as atividades que

fizemos até agora? Escreva abaixo”.

Socialização coletiva: “Vamos todos ouvir as descobertas que apareceram

em cada um dos grupos”.

Após explicar a atividade, os grupos a concluem e a pesquisadora propõe a

socialização de como completaram o cálculo 5_ + 3_ para que o resultado desse

OITENTA E ALGUMA COISA; NOVENTA E ALGUMA COISA E EXATAMENTE

NOVENTA. Os alunos não tiveram dificuldades em encontrar os cálculos que

chegassem aos resultados solicitados.

5.3.3 Terceiro dia: 3ª Atividade – GRUPO/COLETIVA

Ainda em grupo, discutiram as descobertas que fizeram até aquele momento e

coletivamente socializaram-nas. Um dos alunos, em sua fala, indica claramente a

função do trabalho em grupo:

Quando a gente fica em grupo, quanto a gente fica conversando sobre a atividade, sempre a gente chega a um ponto certo. Primeiro a gente observa, aí sim a gente faz a continha para chegar ao resultado certo (Karina).

Outras falas indicam as possíveis aproximações à compreensão do sistema

posicional. Vejamos como alguns alunos se colocam sobre o que considerar quando

se quer estimar ou calcular a soma de dois números com dois algarismos cada:

Primeiro a gente tem que contar as unidades, porque as unidades dependem ... porque pode fazer uma dezena e pode ficar maior que as dezenas que já tinha contado.

Eu começava pela dezena, agora ... as unidades, porque se tiver mais que uma dezena pode mudar o primeiro número da esquerda (se referindo aos algarismos das dezenas dos números).

Começo primeiro pela unidade e depois vou para a dezena. Porque se tem mais que 10 já passa do número.

102

5.3.4 Conclusões

As atividades em grupo proporcionaram algumas discussões, porém ainda

necessitam de investimento para que essa organização metodológica se institua como

necessária e eficaz à aprendizagem. Componentes de diversos grupos se

envolveram, questionaram e observamos uma preocupação de alguns alunos que não

aceitavam qualquer produção e/ou justificativa.

O G1, por exemplo, se fosse questionado sobre o resultado errado de um dos

cálculos, iria rever e chegar ao resultado correto. Também o G6, se tivesse a

oportunidade de usar uma outra estratégia (no lugar de desenhar bolinhas) poderia

chegar ao resultado correto, além de descobri que utilizar bolinhas ou risquinhos para

somas com números grandes não seria uma estratégia razoável.

Depoimentos como: “Quando a gente fica em grupo, quando a gente fica

conversando sobre a atividade, sempre a gente chega a um ponto certo. Primeiro a

gente observa, aí sim a gente faz a continha para chegar ao resultado certo”,

exemplificam avanços sobre a importância dessa organização metodológica.

A rapidez com que os alunos realizaram as últimas atividades pode ser um

indicativo de que vários alunos avançaram em suas aprendizagens.

103

CAPÍTULO 6 – CONSIDERAÇÕES, CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Neste capítulo, tecemos algumas reflexões focando os seguintes aspectos:

• Importância da metodologia e dos procedimentos metodológicos adotados

• Importância do referencial adotado

• O papel da revisão da literatura

• Resultados da Pesquisa, neste item destacaremos os principais

resultados:

a. quanto aos objetivos específicos;

b. quanto ao(s) objetivo(s) geral(is);

c. hipóteses tecidas;

d. as questões de pesquisa;

e. aspectos metodológicos (construídos e/ou revelados pela pesquisa) –

Qual foi o diferencial da fase experimental e/ou formação?

f. principais resultados de pesquisa. Qual diferencial em relação a

outras pesquisas correlatas revisitadas?

g. contribuição para a área do ponto de vista metodológico e construtos

teóricos e/ou resultados inéditos;

h. algumas variáveis importantes, porém, de difícil controle;

i. validação do ponto de vista científico da pesquisa;

• Implicações e limitações

• Perspectivas futuras

6.1 Importância da metodologia e dos procedimentos metodológicos adotados

A opção por uma pesquisa que pudesse discutir a matemática sob o ponto de

vista da didática (ensino de saberes matemáticos), foi propulsora para chegarmos à

Engenharia Didática. Nela, vislumbramos a aplicabilidade de uma sequência didática

com alunos do segundo ano do Ensino Fundamental, de uma escola estadual da

cidade de São Paulo, com o objetivo geral de que avançassem na compreensão do

valor do algarismo no sistema posicional.

Por meio da situação didática pretendíamos promover: a elaboração de regras

válidas para o sistema de numeração; a antecipação de resultados de operações em

104

função das regras elaboradas (tentativas de generalização); e a construção de

explicações que fundamentassem as regras estabelecidas. Nosso projeto de pesquisa

precisava de uma metodologia que nos permitisse “caminhar” atrás de respostas de

nossas questões sobre a aprendizagem complexa do SND.

As fases da Engenharia Didática permitiram a organização e definição de

nossas intenções de pesquisa (uso da pesquisa argentina; fundamentos teóricos que

respondessem nossas questões; público alvo, entre outros), além de justificá-las;

antecipar (análise a priori) o que cada uma das situações didáticas poderia provocar

nos envolvidos (alunos e professores); aplicar a pesquisa e analisar cada uma das

etapas, observando e comparando os resultados com as hipóteses levantadas

anteriormente, assim como compará-los (no caso da primeira sequência aplicada)

com os resultados obtidos na pesquisa argentina; localizar variáveis didáticas que

orientassem a evolução das estratégias passíveis de serem desenvolvidas pelos

alunos do segundo ano do EF e assegurassem a aprendizagem do sistema posicional.

A sequência didática utilizada apresentava orientações didáticas para o

professor determinantes para que a aprendizagem dos alunos fosse assegurada. No

entanto, ao finalizar e analisar os resultados, tornou-se evidente que esse aspecto foi,

aos poucos, colocado em segundo plano.

O período destinado aos encontros de formação com os professores (1h)

mostrou-se insignificante, já que precisávamos garantir que ele conhecesse

minimamente a situação de cada dia. Não discutimos a relevância das discussões

coletivas nem como seria a ação dele nesses momentos e, muito menos, como

poderia garantir a evolução do comportamento dos alunos voltada à aprendizagem,

no nosso caso, do sistema posicional.

Ainda que o tenhamos feito, o foi de forma declarativa e muito rápida, pois o

tempo não permitia. Essa variável deveria ser mais bem tratada. O professor que tem

sua formação estruturada na concepção de ensino e aprendizagem tradicional,

precisaria passar por um período de formação (mesmo que pequeno) para se

aproximar da didática presente nas situações propostas. Podemos concluir que as

variáveis de comando17 não foram consideradas, já que sequer foram relatadas às

professoras.

17 Segundo Artigue (1996) variáveis de comando são aquelas que o professor pode manipular para atingir suas metas de evolução no comportamento dos alunos.

105

6.2 Importância do referencial adotado

A partir da TSD de Brousseau, os alunos, diante de uma situação didática

adequada (capaz de levá-los em busca de uma resposta a partir de conhecimentos já

consolidados, mas não o suficiente), utilizam uma postura ativa, diferentemente da

passividade com que estavam habituados a aprender.

Na primeira sequência aplicada, o grupo de alunos via, no algoritmo da adição,

a única estratégia possível para resolver cálculos que envolvessem a adição. A ação

que a situação-problema poderia provocar não foi atingida. Uma “barreira” foi

provocada pelo ensino prematuro do algoritmo da adição, indicando a falta que

situações voltadas ao uso dos números, tal qual aparecem socialmente, e de análises

e reflexões que esses usos poderiam provocar sobre as regularidades do nosso

sistema.

Essa ação pode ser timidamente observada na segunda aplicação da

sequência, consequência talvez assegurada pelas (mesmo que poucas)

oportunidades de discussões e reflexões asseguradas pela pesquisadora. A

sequência didática proposta foi aceita pelos alunos e “ativou” um desejo pela busca

da resposta.

Brousseau (2007, p. 37) enfatiza a importância de uma “seleção sensata” de

problemas “para que o estudante os possa aceitar, possam fazer, pela própria

dinâmica, com que atue, fale, reflita e evolua”.

Davis, Nunes e Nunes (2005, p. 5) ressaltam que uma sequência de

aprendizagem “possibilita uma evolução de estratégias, potencializando a cognição

dos alunos”. Diante de uma situação na qual deveriam buscar uma estimativa para o

resultado de uma soma de dois números (de dois algarismos), que os obrigava a

pensar em “números redondos” como resposta, os alunos foram capazes, em curto

prazo, de concluir que obter o resultado correto não era o suficiente: precisavam se

apoiar nas regularidades do SND, principalmente no sistema posicional.

A atuação do professor/aplicador é fundamental para que o aluno se sinta

responsável pela sua aprendizagem. Consoante Brousseau (1996, p. 55) o professor

deve fazer “desaparecer a sua vontade, suas intervenções, enquanto informações

determinantes do que o aluno fará”.

As experiências que transcorreram nas duas sequências didáticas aplicadas

(uma com a atuação direta do professor e outra com atuação da pesquisadora)

106

indicam a relevância de se dedicar tempo para a formação do professor e garantir que

ele conheça a teoria de aprendizagem que organiza a sequência didática, antes de

aplicá-la.

A formação do professor nas últimas décadas sustentou-se por um ensino que

os autoriza (diante de um conteúdo a ser ensinado) a mostrar como fazer, seguido de

atividades de exercitação que se concluem com uma avaliação em que o aluno

reaplica o que aprende a partir de atividades similares às já realizadas.

Segundo Brousseau (1996, p. 48), esse professor sente-se autorizado a

“ensinar diretamente o saber como objeto cultural [...] e o aluno se apropria dele como

puder”. O autor ainda destaca que, agindo assim, o professor pula duas fases: a ação

e a formulação.

Em nossa pesquisa, em especial na primeira aplicação da sequência didática,

o professor, habituado a um ensino voltado às características acima citadas, precisava

de maior atenção e tempo para se inteirar da proposta e aplicá-la com maior

segurança. Precisava discutir, minimamente, as diferenças promovidas por situações

baseadas na Didática da Matemática, considerando sua concepção de aprendizagem.

Nesse sentido, a TSD de Brousseau é completamente arbitrária se observada

sob o olhar de quem vê o ensino obtido através de um professor informante e de um

aluno cumpridor de tarefas e memorizador de técnicas.

6.3 O papel da revisão da literatura

São vários os estudos e pesquisas que evidenciam a complexidade na

compreensão do SND por professores e, consequentemente, pelos alunos; e também

a superficialidade que há no ensino da matemática nos cursos de graduação de

professores do EF (Pedagogia); e o desconhecimento das regularidades presentes no

sistema de numeração (tanto no professor quanto nos alunos) que prejudicam a

compreensão do sistema posicional entre outros. Fiorentini e Lorenzato (2012), por

exemplo, sublinham que o processo de ensino e aprendizagem da matemática

constitui uma das grandes tendências mundiais da investigação.

Moreira e David (2005), em sua pesquisa sobre a formação e a prática do

professor da escola básica, abordam a dicotomia presente nos cursos de formação

de professores: a formação inicial e a prática docente. A necessidade de se tomar

essa dicotomia como tema de estudo é prioritária e requer a estruturação dos cursos

107

que formam os professores de séries iniciais, assim como os professores licenciados

de Matemática.

Pesquisadores como: Itzcovich (2008), Parra e Saiz (1996), Lerner e Sadovsky

(1996) apontam em suas pesquisas (entre outros) que o SND é um sistema complexo,

apesar de econômico se comparado aos demais sistemas de numeração. Brandt

(2005), por sua vez, demonstra a arbitrariedade presente na estrutura do sistema de

numeração decimal: sua aprendizagem exige tanto a transmissão social de aspectos

convencionais quanto a construção, pelo próprio sujeito, das operações inerentes a

esta estrutura.

Conforme Dickson et al. (1993), o trabalho com o sistema posicional deve ser

a longo prazo e requer um planejamento cuidadoso. Kamii e Declark (1986) destacam

o valor posicional como uma das regularidades mais importantes do SND, e não se

trata de ensiná-lo como uma técnica. Já segundo Zunino (1995), o desinteresse das

crianças pelo ensino do sistema de numeração está vinculado à forma como ele é

ensinado.

As pesquisas acima fortaleceram nosso desejo de estudar o SND e

possibilitaram a construção de uma proposta de trabalho que pudesse responder a

questões sobre a natureza e a compreensão do SND, mais diretamente sobre o

sistema posicional. A TSD de Brousseau (1996) tornou-se o referencial teórico

escolhido, já que se trata de uma referência para o processo de aprendizagem de

matemática em sala de aula que envolve professor, aluno e conhecimento matemático

e se contrapõe à forma didática usual, cujo ensino se estrutura na divulgação de

conteúdos sistematizados, incluindo a forma axiomática.

6.4 Resultados da pesquisa

6.4.1 Quanto aos objetivos específicos

Identificar o que sabem os alunos sobre o valor posicional; conhecer como se

dá a interação dos alunos com uma situação didática construída a partir da Didática

da Matemática e confirmar a relevância das discussões coletivas para a aprendizagem

matemática foram os objetivos específicos que buscamos nessa pesquisa. E, ao longo

da pesquisa, e a partir das análises a priori e posteriori, esses três objetivos foram

alcançados.

108

As situações de ação previstas na sequência (encontrar a estimativa de como

começariam os resultados de algumas somas de dois números com dois algarismos)

permitiram que os alunos (dos dois grupos) demonstrassem seus saberes a respeito

do sistema posicional: no primeiro grupo, esses saberes eram diretamente vinculados

ao algoritmo da adição (técnica operatória), ao uso do nome das classes numéricas

(unidade e dezena) e à estrutura do QVL (quadro de valor de lugar). Esses saberes

funcionaram como uma “porta” bem fechada que não permitia que análises e reflexões

sobre o sistema penetrassem.

No segundo grupo, uma das alunas, durante a socialização da primeira ação,

inicia a formulação de uma regra: “eu achava que devia começar a somar pelas

dezenas, aí que vi que a soma das unidades podia mudar a soma das dezenas...”.

Nas situações de ação que se seguiram outros alunos também formularam regras que

foram revisitadas nas situações de formulação e posteriormente validadas.

Lembramos que também nesse grupo o algoritmo era a estratégia mais utilizada,

porém não a única.

Arriscamos dizer, ao concluir, que o fato de logo na primeira ação certa aluna

socializar uma primeira formulação (uma primeira aproximação para a compreensão

do sistema posicional) de como estimar de que forma começariam os resultados de

algumas somas, que ela possa ter impulsionado os demais colegas na busca de

outras formulações ou até mesmo a uma busca (inconsciente) de confirmação. O fato

é que outras formulações apareceram e foram férteis para a generalização de um

conhecimento.

6.4.2 Quanto ao(s) objetivo(s) geral(is)

Encontrar as relações envolvidas no ensino do SND e na compreensão do

sistema posicional consistiu no objetivo que impulsionou nossa pesquisa e que foi se

definindo à medida que cada situação era analisada e as conclusões parciais

comparadas com a análise a priori. Quanto aos resultados das sequências em sua

totalidade, podemos concluir (por motivos já identificados) que, sem dúvida, no

segundo grupo foi produtiva para alcançar o objetivo geral, já que um grupo de alunos

participou da formulação de regras parciais que foram retomadas, validadas e

reelaboradas, de tal forma que se mostraram potentes para encontrar as

antecipações/estimativas.

109

A sequência favoreceu o avanço nas conceitualizações e a busca de

generalizações em que queríamos identificar como começavam os resultados de

somas de dois números. Nossos alunos puderam experimentar essa generalização

ao serem desafiados a somar dois números que resultariam num número de 3

algarismos, quando, até então, só haviam experimentado somas que resultavam em

números de 2 algarismos e, ao explicitaram como o fizeram, demonstraram

aproximações com a compreensão do sistema posicional.

6.4.3 Hipóteses tecidas

As perspectivas, já presentes em vários lugares do mundo, de opções

curriculares que se opõem à memorização e a aplicação de técnicas de cálculos,

puderam ser confirmadas e dão ênfase a propostas que permitam aos alunos se

relacionarem com o número tal qual é apresentado socialmente. A investigação

numérica que realizamos nessa pesquisa confirma, de modo decisivo, e enseja que

essas orientações curriculares sejam aperfeiçoadas e tomem o lugar do ensino

tradicional, o qual desconsidera a interação aluno x professor x objeto de

conhecimento.

Colocar as crianças diante da numeração escrita e desafiá-las a situações-

problemas para que, ao buscar soluções, reflitam sobre a organização do SND, é uma

situação didática efetiva para o avanço de suas aprendizagens.

A SD utilizada, inicialmente com números de dois dígitos (unidades e dezenas)

e com respostas asseguradas até 99, pode ser utilizada também para números de

dois algarismos com respostas que ultrapassam a casa das dezenas (números de três

dígitos), chegando às centenas.

6.4.4 As questões da pesquisa

Nossas questões: o que sabem os alunos do segundo ano do ensino

fundamental sobre o valor posicional? Como interagem com uma situação didática,

construída a partir da Didática da Matemática, que propõe a análise e a reflexão do

valor posicional dos algarismos no número? Qual a relevância das discussões

coletivas nesse processo? Essas questões foram respondidas ao longo das análises

de cada etapa das sequências didáticas aplicadas e nas conclusões parciais, no

entanto, serão retomadas abaixo.

110

6.4.5 O que sabem os alunos do segundo ano do ef sobre o valor posicional?

Nossa pesquisa (envolve aqui as duas sequências aplicadas) aponta para um

saber, fruto da tradição escolar, que propõe a apresentação da decomposição dos

números em termos de unidade, dezenas e centenas. Essa decomposição está

diretamente associada ao funcionamento dos algoritmos. Assim, para que um cálculo

algorítmico dê um resultado correto é necessário colocar os algarismos nesses

termos, caso contrário o resultado não seria válido. Seu ensino está, portanto,

associado à utilização de algoritmos.

O ensino precoce das unidades, dezenas e centenas e do algoritmo da adição,

mostrou-se insuficiente para a compreensão do sistema posicional. Nossas crianças

foram submetidas a esse ensino e mostraram-se incapazes de identificar o valor dos

algarismos que representavam as dezenas em números com dois dígitos (resultado

mais presente na primeira turma). O ensino antecipado dos algoritmos (no nosso caso,

técnica operatória da adição), assim como o da nomenclatura presente nas classes

numéricas, não se mostraram eficazes e inviabilizaram as possibilidades da busca por

caminhos diversos de resolução e, consequentemente, agiram como uma “barreira”

intransponível para uma possível compreensão do sistema posicional.

Isso não quer dizer que os algoritmos não sejam objetos de ensino. São

técnicas operatórias usadas socialmente que devem ser conhecidas pelos alunos,

mas que poderiam ser utilizadas, após um trabalho, com várias atividades que

envolvem a análise e a reflexão do sistema de numeração e que permitam a

construção ou as descobertas das regularidades para, em seguida, fazer uso delas,

sem o prejuízo que vem causando, considerando que os alunos já teriam se

apropriado das regularidades do SND e poderiam reconhecê-las e utilizá-las quando

na utilização do algoritmo.

6.4.6 Como os alunos interagem com uma situação didática construída a partir

da didática da matemática?

A sequência planejada, inicialmente por pesquisadoras argentinas, e aplicada

por professores que utilizavam uma didática baseada num ensino tradicional, não

atingiu os objetivos esperados. Podemos considerar as justificativas apresentadas

anteriormente para a primeira questão, como parte da resposta. Os alunos

111

(implicitamente ou não) sabiam, exatamente, o que a professora esperava deles: que

respondessem ao que ela havia ensinado.

Por isso diante de uma situação nova (encontrar antecipações que permitissem

saber como começariam os resultados de adições) não hesitaram em utilizar o que

sabiam: o algoritmo. Essa era a única possibilidade e se apegaram a ela do começo

ao fim da sequência. No entanto, era necessário que uma quebra de contrato

acontecesse, e, como protagonistas de suas próprias aprendizagens, os alunos

permaneceram firmes e não se desviaram do único caminho conhecido.

A falta de experiência com situações adidáticas talvez tenha suscitado

assimilações deformantes (que poderiam ser eliminadas com as formações das

professoras) que potencializaram adaptações justificadas pela experiência com a

tradição escolar. Quando líamos com elas as consignas e as orientações, as dúvidas

não apareciam de imediato. Dessa forma, os professores precisariam de um certo

distanciamento e de acomodações que retornariam em questões que, se discutidas,

poderiam promover melhores esclarecimentos.

O confronto entre a concepção clássica (um contrato didático centrado no

professor que ensina e no aluno que aprende e responde segundo o que se espera

dele) e uma proposta em que o aluno é o responsável pela sua aprendizagem, quando

busca uma solução para uma situação-problema independentemente de técnicas

algorítmicas (mudança radical do contrato didático habitual), foi bastante observado

nas análises e conclusões de cada uma das etapas da pesquisa.

Na aplicação da segunda sequência didática, notamos melhor atuação dos

alunos, que foram, progressivamente, se inteirando da importância dada a sua

participação e socialização de estratégias; recebendo reconhecimento pelo que

conseguiam fazer (independentemente de resultados corretos ou não); por discutir e

entender o que os colegas propunham como caminhos para encontrar as estimativas

e os resultados corretos dos cálculos entre outros.

Os alunos foram se desprendendo do cálculo algoritmo e atentando para as

análises, prematuras, que eram construídas e, de forma sucessiva, fizeram algumas

aproximações da compreensão do sistema posicional, observado nas últimas etapas

(institucionalização) do trabalho.

112

6.4.7 Qual a relevância das discussões coletivas nesse processo?

A resposta para essa terceira questão foi sendo evidenciada nas respostas às

questões anteriores e mais bem observadas nas conclusões, já descritas após as

análises de cada uma das etapas da sequência didática. O fato de os alunos

conseguirem produzir algumas regras coerentes sobre o sistema posicional,

especificamente o valor do algarismo na dezena, responde, objetivamente, essa

terceira questão:

Primeiro a gente tem que contar as unidades, porque as unidades dependem... porque pode fazer uma dezena e pode ficar maior que as dezenas que já tinha contado.

Eu começava pela dezena, agora ... as unidades, porque se tiver mais que uma dezena pode mudar o primeiro número da esquerda (se referindo aos algarismos das dezenas dos números.

Começo primeiro pela unidade e depois vou para a dezena. Porque se tem mais que 10 já passa do número.

6.5 Aspectos metodológicos (construídos e/ou revelados pela pesquisa): qual

foi o diferencial da fase experimental e/ou formação?

As observações realizadas a partir da análise dos protocolos (vídeos) do

primeiro grupo, remeteu-nos a uma análise sobre a atuação do professor e os conflitos

vividos, durante a realização das diversas situações propostas pela SD, que

evidenciaram uma ruptura no contrato didático vigente. Ruptura essa que trouxe

insegurança durante a aplicação da sequência.

Já falamos anteriormente que a concepção de ensino da SD exigiria do

professor atitudes completamente novas e diferentes das que usualmente praticava e

diferentes daquelas com as quais seus alunos estavam acostumados. A partir do

momento em que precisavam justificar suas estratégias, suas escolhas, os alunos, de

forma insegura, faziam poucas colocações, aguardando do professor uma pista que

indicasse o que deveriam falar; ouviam um ou outro colega que se arriscava a falar,

mas não se opunham nem emitiam nenhuma manifestação de concordância, entre

outras.

Acostumados a aguardar o professor indicar como fazer, demonstrando uma

passividade diante de uma situação nova, poucos avanços puderam ser garantidos.

113

Assim como a dificuldade de explicitar o que fez (provavelmente com medo de estar

errado) coletivamente, estava a dificuldade da professora de conduzir esse momento,

muitas vezes evidenciado por desconhecer o que fazer com algumas explicitações

dos alunos e outras quando, involuntariamente, indicava a estratégia que deviam

utilizar.

Uma mudança radical no contrato didático sem o conhecimento necessário da

SD e de seus objetivos. Essa foi uma das variáveis que proporcionou uma mudança

sensível na segunda SD: o professor da classe acompanharia o trabalho que seria

aplicado pela pesquisadora, que possuía maior clareza sobre a SD e seus objetivos e

principalmente da didática que seria utilizada. Os resultados obtidos a partir dessa

variável foram relevantes para que o segundo grupo de alunos participasse mais

efetivamente das discussões coletivas e de sua responsabilidade em encontrar

respostas para os desafios propostos.

Essa mudança, mostrou-se fundamental para que os alunos pudessem, a partir

dos questionamentos indicados, construir uma regra que pudesse ajudá-los a realizar

estimativas dos resultados de somas de dois algarismos. Vale destacar que levantar

regras parciais, produzidas pelos alunos, muitas vezes de forma implícita e seguir

reformulá-las a partir de novas constatações até que pudessem ser finalizadas e

comprovadas, não se mostra tarefa simples nem mesmo para os mais experientes na

Didática da Matemática.

Os alunos revelavam uma dificuldade nos trabalhos que envolviam

organizações metodológicas diferentes da usual. Acostumados a trabalhar

individualmente, foram expostos a situações nas quais deveriam interagir com

colegas, ora em dupla, ora em grupo, discutir e chegar a uma única conclusão. Fez-

se necessário uma atuação direta e constante da aplicadora, sugerindo que ouvissem

uns aos outros e pudessem chegar a acordos. Nesse aspecto, observamos avanços

significativos. Entretanto, é preciso que se invista muito para que essa se torne uma

prática presente nos planos de aula.

O resultado final, apresentado pelo segundo grupo, indica uma mudança de

comportamento significativa de boa parte dos alunos sobre o valor posicional dos

algarismos no número. A compreensão do sistema posicional pode ser observada a

partir dos resultados dos alunos nas estimativas de como começa o resultado de

números de dois algarismos, e é confirmada com a correlação apontada na última

atividade, quando precisavam completar com unidades somas de dois números em

114

que só os algarismos das dezenas eram dados: numa as unidades não poderiam ser

igual ou ultrapassar 10; noutra, as somas das unidades não poderiam ultrapassar 9.

Além disso, os alunos foram construindo ao longo das atividades algumas

pistas (nem sempre explícitas) que, organizadas, indicaram uma regra que pode ser

aplicada a todas as somas de dois algarismos.

6.6 Principais resultados da pesquisa: qual o diferencial em relação a outras

pesquisas correlatas revisitadas?

Consideramos que os principais resultados da pesquisa já foram evidenciados.

Todavia, com relação ao diferencial de nossa pesquisa se comparada a outras que

tomam o SND como objeto de ensino, destacamos um diferencial relevante.

Além da pesquisa de Monteiro18 (2016) e dessa nossa (consideramos as

pesquisas correlatas revisadas com o mesmo objeto matemático) não localizamos

nenhuma outra que utilize uma situação didática que não foi planejada e construída

considerando o público alvo.

A sequência foi organizada por pesquisadoras que integraram um projeto de

investigação, na Argentina, dirigido por Lerner e codirigido por Terigi. Essa é uma

questão relevante, pois, segundo Artigue (1988), a Engenharia Didática é uma

metodologia de pesquisa baseada na construção, realização, observação e análise

de sessões de ensino.

Assim, consideramos que não construímos as situações didáticas, mas as

tomamos, por constituir-se de situações que partem de uma real situação-problema,

que propiciam a tomada de decisão por parte do aluno; a auto regulação do saber;

promove a interação com os colegas da classe e com o professor por meio das

situações de discussões em grupo e coletivas; e, a partir de regras parciais

construídas ao longo do trabalho, levam a institucionalizações do saber científico,

afirmamos que nossa metodologia de pesquisa é “inspirada” na Engenharia Didática.

18 Monteiro P. foi co-responsável na seleção e reaplicação da sequência argentina nos alunos do 2º ano do EF da escola (da regional Sul 3) em 2015. Analisou as sequências didáticas das três turmas em sua pesquisa.

115

6.7 Contribuição para a área do ponto de vista metodológico e construtos

teóricos e/ou resultados inéditos

A construção de regras (ainda que parciais) ao longo do desenvolvimento da

sequência didática, caracterizou-se como imprescindível, considerando que os alunos

as retomavam e modificavam até que fosse possível validá-las e utilizá-la em outras

somas diferentes daquelas até então utilizadas. É o caso da soma 58 + 55, incluída

após o levantamento e a análise das variáveis didáticas observadas na reorganização

da segunda sequência, após os primeiros resultados, com a intenção de validar ou

não as construções já firmadas.

As pesquisadoras argentinas utilizaram apenas somas de números com dois

algarismos cujos resultados não ultrapassassem dois dígitos, ou seja, somas que

resultassem em números até a casa da dezena (99). Essa nova soma que culminaria

num resultado que ultrapassaria a casa das dezenas: um desafio que nos indicaria se

a descoberta (regra) produzida pela turma poderia ser aplicada também a resultados

maiores.

Retomemos um momento coletivo em que a aluna Catarina explica como seu

grupo pensou para estimar como começava o resultado de 58 + 55: “5 + 5 é 100 e 8

+ 5 é 14 e no total dá 114.” (A aluna diz 5 + 5 sabendo que se trata dos algarismos

que representam as dezenas, pois não diz 10, mas 100, em seguida soma os

algarismos das unidades e chega a 114. Apesar do cálculo incorreto (foi revisto, mais

adiante, quando outros colegas comprovam o resultado113) ela considerou primeiro

a soma das dezenas, mas não ignorou a soma das unidades. Chegou, desse modo,

ao resultado correto, utilizando o cálculo mental com apoio dos cálculos que já tinha

de memória.

Logo, podemos afirmar que os alunos foram capazes de utilizar uma regra

produzida num contexto de pesquisa, utilizando-a numa outra situação, confirmando

a aquisição de saberes avançados sobre o sistema posicional (quando realizam

cálculos com somas de dois algarismos cujos resultados ultrapassam números de dois

algarismos - 100 ou mais que 100).

A pesquisa argentina, por se tratar de um grupo de alunos (e professor também)

com maior experiência em momentos com discussões coletivas em que se socializam

e discutem as diversas estratégias utilizadas pelos alunos, dedicou-se mais

116

intensamente a outro aspecto desse momento: a institucionalização de um saber.

Momento observado na conclusão da pesquisa:

Para elaborar o conhecimento matemático que se pretende e assegurar que todos os alunos progridam em suas reconstruções, é necessário que a intervenção docente enfatize o caráter geral das razões que sustentam as regras elaboradas, que ponham em ação na aula os critérios segundos os quais uma explicação pude ser considerada como matematicamente pertinente (LERNER, 2010, p. 199; tradução nossa).

Essa possibilidade de, coletivamente, assegurarem regras ou pistas que

conduzam a institucionalização de um saber específico, pode ser observada pelos

alunos do segundo grupo quando, nos momentos coletivos de discussão, foram

produzindo (de forma mais implícita) regras parciais que encaminharam aos saberes

e puderam ser institucionalizados a partir da última atividade realizada e da

intervenção pontual do docente.

Ao comparar o resultado das duas sequências aplicadas, podemos afirmar que

a discussão coletiva, orientada pelo pesquisador (que precisa assegurar os objetivos

que se pretende atingir), favoreceu a construção coletiva de uma “regra” que os

aproximassem da compreensão do sistema posicional.

Nossos alunos (2º grupo) concluíram que ao somar dois números de dois

dígitos precisam considerar a soma das unidades, pois, se for igual ou ultrapassar 10,

o valor da soma das dezenas será diferente, e será incluída uma dezena a mais que

veio da soma das unidades.

Ainda sobre o uso da explicação nas aulas de matemática, Sadovsky (2010, p.

233) destaca:

Como toda a disciplina, o trabalho com a matemática oferece um modo específico de construir uma relação com a verdade. Estabelece-se, assim, um aspecto central de seu valor formativo. E nessa construção a produção de explicações por parte dos alunos se torna um aspecto obrigatório. Longe de ser uma aquisição espontânea, e longe também de ser um assunto que os docentes podem ensinar de forma declara, conseguir fazer com que as crianças expliquem – relacionar, deduzindo as sentenças para validar o trabalho que vão realizando – será o resultado de convidá-las a participar de maneira contínua de um cenário no qual explicar seja uma prática cotidiana. Um cenário no qual a atividade matemática seja o objeto de ensino.

117

6.8 Algumas variáveis importantes, porém de difícil controle

Os alunos, desde as séries iniciais do EF, precisam participar de situações que

os permitam utilizar a numeração escrita, tal como é encontrada socialmente.

Participar de análises e reflexões sobre sua formação, comparando e ordenando

diferentes números; lendo e escrevendo números de diferentes intervalos;

participando de jogos que possibilitem contagem, cálculos entre outros, para que

“desvendem” as regularidades presentes no sistema numérico (principalmente o

sistema posicional), que não são visíveis.

Como não é habitual que nossos alunos participem de situações como as

listadas acima, continuaremos com um ensino superficial da matemática. Enquanto

não instituirmos uma política pública que torne a educação como essencial para a vida

do cidadão, que entenda a necessidade de formação contínua do professor, que

avalie a aplicabilidade de seus livros didáticos, entre outras questões, o perfil das

escolas, alunos e professores dificilmente será alterado. Como acompanhar o

desenvolvimento dos professores depois que saem das universidades? Como saber

o acontece dentro de suas salas de aula? Como garantir a aprendizagem do aluno?

Essa tarefa ainda se mostra muito difícil!

Há também algumas variáveis de difícil controle: a utilização de materiais

“concretos” no ensino do SND, considerando o “alto valor” que lhes são concedidos

no trabalho com as operações; o ensino dos algoritmos antes de promover situações-

problema com as quatro operações para que usem estratégias pessoais; o

desinteresse de professores que não aceitam investir em sua formação após a

conclusão do curso superior; os livros didáticos que afunilam e restringem a

aprendizagem a uma prática tradicional (lembramos que os livros didáticos estão nas

salas de aula e nem sempre são os escolhidos pelos professores), dentre outras

questões.

A numeração escrita é mais econômica, contudo mostra-se mais obscura e de

difícil compreensão do que a numeração oral. Na numeração escrita com algarismos

não aparecem as potências de dez e não há pistas das operações aritméticas

envolvidas. Considerar o ensino do SND, propondo problemas cujas soluções não

foram ensinadas, força o estudante a uma busca de procedimentos diferentes e

também de argumentos para justificar suas escolhas. Assim, caminham para a

divulgação de conhecimentos e a sistematização de saberes que vão aproximando-

118

os, sucessiva e parcialmente, dos saberes científicos da Matemática, constituindo

uma variável muito importante para a aprendizagem da matemática, no entanto, de

difícil controle, se considerarmos os mitos presentes no ensino vigente.

Promover espaços destinados a discussões nas aulas de matemática é muito

importante para a aprendizagem, mas constitui-se como uma variável difícil se

consideramos a gestão do tempo e “todo o conteúdo” que precisa ser dado.

Entretanto, há ainda uma outra variável (não a última) de difícil controle: o que

importa não é considerar apenas o acerto, mas também o erro deve ser entendido e

analisado a fim de localizar o que o aluno já sabe e prosseguir a partir desses saberes.

6.9 Validação do ponto de vista científico da pesquisa

Aos processos e conhecimentos matemáticos que podem ser desenvolvidos a

partir de atividades que explorem as regularidades do SND (nesse caso, o sistema

posicional) vinculam-se aspectos da história da matemática importantes na formação

matemática dos alunos. A partir da SD utilizada, podemos comprovar o real valor das

investigações numéricas, pois contribuem, eficazmente, para desenvolver conceitos

importantes.

Realizando investigações os alunos podem desenvolver competências

numéricas indispensáveis no mundo de hoje. Eles precisam saber identificar,

compreender e usar os números, as operações com os números e as relações

numéricas. Os alunos precisam saber interpretar criticamente o modo como os

números são usados na vida diária e a escola e o professor devem procurar

desenvolver esse tipo de competência. Precisam ser capazes de conhecer, perceber

e saber usar relações entre os números e desenvolver uma compreensão dos

diferentes conjuntos numéricos, se pretendemos que se aproximem da instituição de

um saber científico.

O conhecimento matemático formalizado (científico) não pode ser utilizado

diretamente com os alunos. É necessário que seja transformado e passível de ser

ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o pensamento do matemático teórico não são

passíveis de comunicação direta aos alunos. Segundo os Parâmetros Curriculares de

Matemática PCN), “essa consideração implica rever a ideia, que persiste na escola,

de ver nos objetos de ensino cópias fiéis dos objetos da ciência”.

119

O processo de transformação do saber científico em saber escolar passa por

mudanças de natureza epistemológica, mas é influenciado por fatores sociais e

culturais que incidem na elaboração de saberes intermediários, também chamados de

contextualização do saber, isso implica que o conhecimento só será pleno se utilizado

em situações diferentes das que lhe deram origem.

A institucionalização de regras ou de uma regra descoberta pelos alunos que

os ajudassem a avançar, de maneira gradativa, no conhecimento e regularidades do

sistema de numeração (especificamente sobre o posicionamento dos algarismos nos

números), foi atingida, considerando que vários alunos chegaram ao final da

sequência sabendo a importância da soma das unidades e sua influência para estimar

o valor que representa a soma das dezenas em adições com números de dois

algarismos.

Numa das etapas da sequência os alunos discutiram como encontrar a

estimativa da soma de dois números, e alguns diziam que teriam de somar só “as

dezenas” (os algarismos que representavam as dezenas). Contudo, nenhum deles fez

essa afirmação no final da sequência (ainda que nem todos tenham falado). Há

registro de uma garota que nos primeiros cálculos realizados somava as dezenas

primeiro e depois mudou sua postura justificando que a soma das unidades seria

essencial, pois poderia mudar o total das dezenas.

6.10 Importância da mediação do professor nos processos de ensino e

aprendizagem dos alunos

Em nossa pesquisa confirmamos a importância da mediação do professor nas

situações didáticas para a promoção de aprendizagem; a necessidade de conhecer e

compreender as regularidades do SND e experimentar situações que suscitem

questionamentos sobre o sistema posicional e, ainda, conhecer a TSD de Brousseau

e as fases que permitem aprendizagens sucessivas.

Por isso identificamos a formação do professor como imprescindível. A tríade

presente na teoria das situações didáticas envolve a relação entre professor-aluno-

objeto de conhecimento. O professor é um “elemento” que atua diretamente na ação,

formulação, validação e institucionalização do saber. Então, por que não investir em

sua formação?

120

A formação dos professores das séries iniciais do Ensino Fundamental mostra-

se insuficiente para as inúmeras situações que ele viverá em sala de aula. Além de

questões relacionadas à gestão da sala de aula, também está inclusa a deficiência

com relação aos conteúdos (nesse caso de matemática) que serão ministrados.

Discorrendo sobre a formação dos professores Maria José Silva (2005, p. 26)

aponta que “a formação de professores, tanto inicial como continuada, tem como

finalidade prepara-lo para buscar a aprendizagem efetiva de seus alunos, pois sem

isso não se justificariam as preocupações ou as pesquisas na área de ensino e

aprendizagem”.

Apesar de a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) n. 9.394,

de 20 de dezembro de 1996, assegurar que os sistemas de ensino promoverão a

valorização dos profissionais da educação, dando-lhes “aperfeiçoamento profissional

continuado, inclusive com licenciamento periódico remunerado para esse fim” e

“período reservado a estudos, planejamento e avaliações, incluído na carga de

trabalho”, a experiência e a prática confirmam que esses direitos, que seriam tão bem-

vindos aos nossos professores, estão longe de ser cumpridos.

Em alguns Estados brasileiros os professores lutam por esse direito, e até

conseguem diminuir a carga horária na escola, no entanto, seus horários livres são

úteis para muitas realizações particulares e nem sempre utilizados para estudos de

aprimoramento, formações direcionadas à sua atuação profissional, entre outros.

Essa é a realidade dos professores brasileiros da educação pública. De

maneira geral, os professores iniciantes sofrem uma influência muito forte dos seus

professores anteriores e, intuitivamente, chegam à sala de aula com um “desenho”

pré-formado do que e de como será sua atuação com os alunos e com o conteúdo a

ser desenvolvido.

Segundo Flores (2010, p. 182):

Os futuros professores possuem um conjunto de crenças e de ideias sobre o ensino e sobre o que significa ser professor que interiorizaram ao longo da sua trajetória escolar. Contrariamente a outros futuros profissionais, quando entram num curso de formação inicial, os alunos futuros professores já conhecem o contexto no qual vão exercer a sua atividade: as escolas e as salas de aula. O contato prolongado com a futura profissão, através da observação dos seus professores, afetará, em maior ou menor grau, o seu entendimento e a sua prática de ensino, quer como alunos candidatos a professor, quer como professores principiantes.

121

As experiências de sucesso consideradas pelo professor enquanto aluno são

traduzidas como modelos para a sua prática ao assumir uma sala de aula, muitas

vezes, levando-o a desconsiderar estudos realizados na universidade. É como se

entendessem que as teorias estudadas sejam úteis apenas para ajudá-lo a ampliar

seus conhecimentos “teóricos” sem nenhuma relação com o que e como ensinar seus

alunos.

Nos referimos aqui a universidades e cursos que incluem em seus currículos

disciplinas fundamentais e diretamente ligadas ao ensino e a aprendizagem (a

Didática da Matemática, por exemplo). Há pesquisas que mostram o quanto o

currículo desenvolvido na maioria significativa dos órgãos de ensino superior que

oferecem cursos para professores são inadequados e não preparam o profissional

para o que enfrentarão no dia a dia em sala de aula.

Várias pesquisas sobre a atuação de professores nas séries iniciais do EF

trazem dados significativos sobre a deficiência desses profissionais não só na

“condução” da turma, mas também sobre o desconhecimento matemático dos

conteúdos desenvolvidos com os alunos.

Moreira e David (2005, s/d) consideram que “A prática profissional do professor

de matemática da escola básica é uma atividade complexa, cercada de contingências,

e que não se reduz a uma transmissão técnica e linear de um “conteúdo” previamente

definido”.

Há algumas décadas, encontramos pesquisadores que afirmam a necessidade

de se repensar o processo de formação inicial do professor da escola básica,

considerando a articulação entre conteúdo, pedagogia e prática docente. Lüdke (1994,

p. 9), por exemplo, diz:

[...] já é tempo de se alterar a direção do eixo que vem norteando a licenciatura, fazendo-o centrar-se claramente no lado das áreas específicas. [...] Isso não implica, entretanto, que não haja uma importante contribuição da área pedagógica, cuja continuidade deve ser assegurada, mas numa articulação epistemológica diferente com as outras áreas, não numa simples relação temporal de sucessão. Deve-se partir do conteúdo específico, para trabalhar-se a dimensão pedagógica em íntima relação com ele.

Essa questão acentua a necessidade de que o professor licenciado tenha

conhecimentos também de como a matemática é trabalhada nas séries iniciais. Mas,

voltando à dificuldade que os professores das séries iniciais sentem ao trabalhar com

a matemática, podemos indicar a deficiência do ensino que tiveram enquanto alunos.

122

O processo de aprendizagem do sistema numérico não tem conseguido aliviar

as falhas e dúvidas conceituais observadas frequentemente nos alunos e isso pode

indicar, como mostram alguns estudos, que a aritmética dos números naturais é um

tema complexo. E para sua apreensão é necessário um tempo maior que o dedicado

às séries iniciais. Isso quer dizer que essas dificuldades acompanharão os alunos

também nas séries finais do EF.

O conhecimento matemático insuficiente do professor provindo tanto do ensino

obtido no período escolar quanto no período dedicado ao ensino superior não é

suficiente para, minimamente, conseguir discutir o sistema de numeração em toda a

sua complexidade com os alunos.

Esse círculo vicioso continuará até que seja observada atentamente e cumprido

o que a LDB determina sobre a formação do professor, como vimos anteriormente:

“aperfeiçoamento profissional continuado, inclusive com licenciamento periódico

remunerado para esse fim” e “período reservado a estudos, planejamento e

avaliações, incluído na carga de trabalho”.

Há uma necessidade declarada de se olhar para o nosso professor como um

indivíduo que necessita de uma contínua formação e isto está assegurado em lei:19 “A

formação continuada e a capacitação dos profissionais de magistério poderão utilizar

recursos e tecnologias de educação a distância (Incluído pela Lei nº 12.056, de 2009).)

Professores e alunos precisam compreender o nosso sistema de numeração.

Por isso mudanças na política educacional são necessárias, além de uma emergente

necessidade de se ter um currículo que inclua disciplinas, como a Didática da

Matemática, para que o ensino e a aprendizagem sejam articulados de maneira que

se produza conhecimentos.

Como poderiam os professores, por exemplo, assegurar e sustentar uma

discussão sobre o que fazer ou como fazer para saber se o resultado de 3_ + 5_

poderia começar com oitenta ou com noventa, sem uma formação sobre a importância

da explicitação na aprendizagem matemática?

As aulas de Matemática precisam garantir um espaço para discussões, se

quisermos alunos “que se apoiam no conhecimento para analisar o seu próprio

trabalho, para convencer outros, para compreender mais profundamente as ideias em

jogo” (Sadovsky, 2010, p. 231).

19 Art. 62 da Lei de Diretrizes e Bases – Lei 9394/96.

123

Brousseau (in: SADOVSKY, 2010, p. 241) considera que a aula de matemática

deve ser concebida como um espaço para o desdobramento da prática democrática:

Não se trata só de ensinar os rudimentos de uma técnica, nem os fundamentos de uma cultura científica: a matemática neste nível (escolaridade obrigatória) é o primeiro domínio- e o mais importante- no qual os alunos podem aprender os rudimentos da gestão individual e social da verdade. Aprendem nele ou deveriam aprender, não só os fundamentos de sua atividade cognitiva, mais também as regras sociais do debate e da tomada de decisões pertinentes: como convencer respeitando o interlocutor; como deixar-se convencer contra seu desejo ou interesse; como renunciar à autoridade, à sedução, à retórica, à forma para compartilhar o que será uma verdade comum... Sou dos que pensam que a educação, e em particular da educação matemática que acabo de falar, é necessária para a cultura de uma sociedade que quer ser uma democracia. O ensino da matemática não tem o monopólio nem do pensamento racional, nem da lógica nem de nenhuma verdade intelectual, mas é um lugar privilegiado para seu desenvolvimento precoce.

Reiteramos o que tantos pesquisadores e teóricos já apresentaram em suas

pesquisas e teorias: que os professores das séries iniciais do EF necessitam da

prática de estudo, que poderá ser incentivada através das formações na própria

escola (formação na prática) e fora dela, para que tenham condições de encaminhar

debates, discussões, entre outros; que assegurem a aprendizagem dos conteúdos da

Matemática e, em especial a compreensão das regularidades do SND, possível de ser

conquistada através de situações-problemas que permitam ao aluno se

responsabilizar pela própria aprendizagem; e que viabilizem os espaços de

discussões coletivas que conduzam os alunos a descobrir regras que justifiquem suas

ações.

6.11 Implicações e limitações

A pesquisa argentina, ao contrário da pesquisa que realizamos em 2015, foi

aplicada em dois grupos de diferentes escolas simultaneamente, e isso permitiu que

as variáveis didáticas observadas fossem discutidas pelo grupo de educadores

envolvidos e modificadas no andamento do trabalho. Desse modo, ao final do trabalho

todas as mudanças haviam sido feitas e obtiveram resultados satisfatórios.

Quanto ao resultado da pesquisa argentina, Broitman e outros pesquisadores

(2013, p. 198) concluem que

124

[...] é inquestionável que os dois grupos obtiveram resultados férteis

para alcançar o objetivo central que se apontava: a compreensão do agrupamento decimal. Todos os alunos progrediram na ação e na conceptualização, todos chegaram a formular a razão que sustenta as regras elaboradas para acertar a antecipação (tradução nossa).

Nossa pesquisa foi realizada no meio do ano de 2015 e, por questões diversas,

só a retomamos no segundo semestre de 2016. Portanto, a análise dos dados obtidos

e o levantamento de possíveis variáveis didáticas que tenham interferido no resultado

da sequência aplicada inicialmente, só aconteceu um ano depois.

Após o levantamento e discussão das variáveis, elas foram incorporadas e

reorganizaram a nova sequência aplicada no final do ano em 2016.20 As variáveis

consideradas foram: mudanças no vocabulário presente nas consignas; a exclusão

do uso da calculadora considerando que os alunos não tinham experiências com ela;

a intensificação de discussões coletivas considerando o uso intenso de atividades

individuais e a dificuldade com atividades em dupla e grupo (entra aqui a dificuldade

encontrada pela professora em administrar as discussões coletivas que

encaminhassem a possíveis reflexões e a aprendizagem); a produção de uma

atividade de institucionalização que tomasse o processo vivido como fator

imprescindível em sua formulação; a diminuição de cálculos por atividade e a inclusão

de cálculos cujos resultados fossem três dígitos (centena) entre outras.

Uma implicação pontual e importante foi a não realização da formação que

aplicaria a pesquisa. Os encontros realizados não foram suficientes o que influenciou

sensivelmente no resultado da primeira sequência aplicada. A formação do professor

em exercício é indispensável para a reflexão de sua prática e de seus estudos sobre

outras concepções de ensino que lhe permitam analisar e tomar decisões na escolha

ou elaboração de situações didáticas que levem os alunos a discutir, refletir e tomar

decisões que possibilitem a compreensão (de toda a complexidade presente) do

sistema de numeração decimal.

Consideramos fundamental a intervenção do professor no sentido de enfatizar

o caráter geral das razões que sustentam as regras elaboradas e que ponham em

ação na aula os critérios segundos os quais uma explicação pode ser considerada

como matematicamente pertinente. O que não é uma tarefa nada fácil se

20 Ver Apêndice 3 – 2ª Sequência Didática utilizada em 2016

125

considerarmos a formação que esses professores tiveram e a concepção com que

sustentam o ensino e a aprendizagem.

Portanto, não realizarmos a formação do professor constitui um desafio o qual

não atingimos e que se tornou relevante em nossa decisão de aplicar a segunda

sequência no lugar da professora, considerando que novamente não teríamos tempo

hábil para a formação. Talvez consideremos essa questão como uma limitação, já que

o professor é quem deveria aplicar a sequência (justificado anteriormente), no entanto,

os resultados obtidos não confirmaram essa limitação.

Do ponto de vista do que Shulman (1986) denomina de conhecimento

pedagógico geral, acreditamos que essa questão do saber docente pode ser alvo de

atenção tanto da formação inicial como da continuada se o professor, além de dominar

melhor o conteúdo conhecer a concepção de ensino e aprendizagem advinda da

Didática da Matemática para desenvolver e propiciar situações didáticas aos seus

alunos, para que esses tenham numa melhor compreensão do sistema posicional.

Nossa defesa é para um currículo de formação de professores que não

somente esteja voltado para “o quê” trabalhar, mas e essencialmente para o “como

trabalhar”.

6.12 Perspectivas futuras

Nossa pesquisa apresenta limitações, principalmente por abordar apenas um

pequeno grupo de alunos das séries iniciais do EF, o que dificulta uma completa

generalização dos resultados. Acreditamos que nossas decisões ao escolher reaplicar

a sequência argentina, comparar seus resultados com os nossos (na primeira

aplicação), considerar as variáveis que interferiram na aprendizagem dos alunos, na

aplicação inicial, na reorganização da nova situação didática (inclusive a decisão de

aplicar a sequência) foram fundamentais para responder à questão inicial sobre as

relações presentes no ensino e na aprendizagem do sistema posicional.

Enfim, visualizamos, a partir deste estudo, que outras pesquisas possam seguir

aprofundando e reafirmando as questões que envolvem o complexo ensino e

aprendizagem do SND nas séries iniciais do EF e suas regularidades.

A seguir, algumas sugestões que podem elucidar novas propostas de pesquisa

ou dar continuidade a essa pesquisa que realizamos:

126

• Acompanhar alunos do segundo ano do EF, após a aplicação da

sequência, analisando as aprendizagens observadas em novas situações-

problemas (metacognição)

• Planejar e aplicar, ao mesmo grupo, outra situação didática que valide as

descobertas realizadas anteriormente (soma de dois números de dois

algarismos) e continuar verificando a correlação com a soma de números

que ultrapasse 100 ou outros valores da centena

• Trabalhar a formação de um grupo de professores a partir da Didática da

Matemática, planejando situações didáticas e discutindo os resultados

obtidos, observando avanços ou dificuldades e discutindo as variáveis

didáticas que interferem/ ou podem interferir na aprendizagem dos alunos

• Aplicar a SD simultaneamente a dois grupos de alunos do segundo ano de

escola pública, de modo que um dos grupos não tenha aprendido o

algoritmo convencional da soma antecipadamente, ou seja, no início dos

anos iniciais do EF, mas tenha trabalhado com atividades de análise e

reflexão do SND e produções numéricas

• Trabalhar a formação em matemática com um grupo de professores,

utilizando a “tematização da prática” como estratégia formativa: tematizar

situações de ensino e aprendizagem que evidenciem práticas de ação,

formulação, validação e institucionalização do saber matemático.

Concordamos integralmente com Weisz (2009, p. 65) quando diz que,

[...] o professor precisa compreender o caminho da aprendizagem que o aluno está percorrendo. Só assim será capaz de identificar as informações e as atividades que permitam a ele avançar no patamar de conhecimento que já conquistou para outro mais evoluído.

Como podem perceber, não conseguimos pensar em estudos futuros

relacionados ao ensino e aprendizagem da matemática, sem vincular o professor e a

sua formação continuada. Ser professor é estar em grupo, é partilhar sua prática, é

refletir, é analisar outras práticas, é estudar, é pensar nos alunos e seus saberes, é...

não parar. Como conseguirá o professor produzir situações adidáticas, de modo a

inibir sua vontade e suas intervenções diretas sobre o que e como o aluno deve agir?

Ser um profissional da educação vai muito além de uma preparação específica que

lhe permite atuar como professor: é um processo de desenvolvimento permanente e

127

necessário que possibilite enfrentar os avanços e as modificações produzidos no

campo da educação.

128

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SOLIGO, R. (Org). Dez importantes questões a considerar: variáveis que interferem

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VÁRIOS. 30 olhares para o futuro. Escola da Vila, São Paulo, 2010.

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133

ZUNINO, D. L. A matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas.

1995.

134

APÊNDICES

135

APÊNDICE 1 – SEQUÊNCIA DIDÁTICA ARGENTINA

METODOLOGIA – SEQUÊNCIA DIDÁTICA PRODUZIDA E UTILIZADA PELAS

PESQUISADORAS ARGENTINAS

A sequência didática é composta por quatro situações. Nas duas primeiras se

propõe, inicialmente, uma fase de ação durante a qual as crianças têm de antecipar

como começam os resultados de adições de números de dois algarismos e logo

verificar a antecipação com calculadora; posteriormente, se propõe uma fase centrada

na reflexão, durante a qual se pede às crianças que formulem uma regra que lhes

permita, fazer sempre, uma antecipação correta. Vejamos a primeira situação:

1a SITUAÇÃO

TRABALHO COLETIVO

• O professor apresenta a atividade anotando no quadro uma lista de cálculos

em que conserva o algarismo da dezena nas duas parcelas, de tal modo que

um deles corresponde sempre a “trinta e algo” e o outro a “vinte e algo”. Por

exemplo:

32 + 23 = 36 + 24 = 38 + 28 =

30 + 24 = 33 + 26 = 35 + 21 =

38 + 24 =

• As crianças resolvem o cálculo com a calculadora e vão ditando os resultados

• O professor solicita que observem os resultados e pergunta como começam.

Conclui-se que há duas possibilidades: começar com cinquenta ou com

sessenta.

TRABALHO INDIVIDUAL

Distribui-se um quadro no qual são propostos nove cálculos do mesmo tipo que

os apresentados antes. Pede-se aos alunos que, sem fazer a conta, antecipem como

136

começará o resultado de cada um (com cinquenta ou com sessenta?) e anotem com

palavras (não com números) na coluna reservada para as antecipações; depois de

cada antecipação, resolvam com a calculadora e anotem o resultado com números na

coluna correspondente. Transcrevemos a continuação da primeira parte do quadro

(há mais quatro cálculos).


32 + 26 =

38 + 21 =

37 + 27 =

36 + 27 =

35 + 25 =

TRABALHO EM DUPLAS

• Discutir como fazemos para saber, com segurança, sem fazer a conta, se o

resultado vai começar com cinquenta ou com sessenta. Se sempre somamos trinta

mais vinte, por que o resultado às vezes é “cinquenta e algo” e outras vezes é

“sessenta e algo”?

• Anotar as respostas que estão de acordo e, também, os desacordos.

O professor, que já analisou as produções das crianças, faz uma devolução –

na aula seguinte – baseada nas respostas elaboradas pelas duplas para a pergunta

proposta.

2ª SITUAÇÃO

Na segunda situação, se tenta alcançar um maior grau de generalização: se

propõe a elaborar uma regra – e uma razão – a partir de duas novas séries de cálculos

em que as parcelas correspondam a dezenas diferentes. A regra deve contemplar

também a lista proposta na etapa anterior.

TRABALHO INDIVIDUAL

137

Na primeira fase do trabalho individual, os alunos enfrentam sucessivamente

as listas de cálculos propostos nos dois quadros similares ao da situação 1: no

primeiro, as somas – cujos resultados também terão de antecipar e logo verificar com

a calculadora – são de quarenta e algo mais vinte e algo (43 + 25 =; 44 + 26 =; 44 +

25 =; 45 + 29 =); no segundo quadro, as somas são de cinquenta e algo mais trinta e

algo (55 + 33 =; 52 + 39 =; 53 + 37 =; 51 + 36 =).

Prevê-se uma consigna complementar para as crianças que terminarem, antes

de seus colegas, de preencher esse quadro: quem preencher rapidamente o primeiro

quadro deve propor três contas em que o resultado comece com sessenta e outras

três cujo resultado comece com setenta. A mesma proposta serve para o segundo

quadro, pedindo-lhes, neste caso, que o resultado comece com oitenta e com noventa.

Na segunda fase, se organiza a classe em duplas, pedindo-se às crianças que

discutam e elaborem uma resposta para a seguinte pergunta: como fazemos para

saber sempre, com segurança, sem fazer a conta, como começará o resultado (com

sessenta ou com setenta, com oitenta ou noventa, com cinquenta ou sessenta...)? As

crianças têm de discutir como fazer antecipações corretas para a soma de dois

algarismos, sejam quais forem as dezenas envolvidas. Para isso, devem refletir sobre

as razões que sustentam os acertos e os erros.

Antes de passar para a situação seguinte, os resultados obtidos nas duas

primeiras situações devem ser analisados.

3ª SITUAÇÃO

TRABALHO COLETIVO

Propor o seguinte problema: “As somas de “trinta e algo” + “vinte e algo”

(3_+2_) poderiam dar um resultado que comece com quarenta? E com setenta?

4ª SITUAÇÃO

Elaborar uma conclusão compartilhada por todo o grupo e institucionalizá-la,

começando por uma fase de trabalho coletivo na qual o docente coloca o seguinte

problema:

138

CONSIGNA: Decidir qual das afirmações seguintes explica melhor o que

acontece quando se soma quarenta ou quarenta e algo, mais trinta ou trinta e algo.

Numa segunda fase, distribuem-se cópias do quadro abaixo e os alunos

trabalham em pares. Finalmente discutem, coletivamente, as conclusões elaboradas.

4_ + 3_


• Para que dê setenta ou “setenta

e algo” (7_), os últimos números

têm de ser baixos.


e algo” (7_), a soma dos últimos

números tem de dar 9.


e algo” (7_), a soma dos últimos

números não pode passar de 9.

• Para que oitenta ou “oitenta e

algo” (8_), os números têm de

ser altos.


algo” (8_), a soma dos últimos

números tem de dar 10.



números tem de passar de 9.



números tem de passar de 10.

139


(2015)

METODOLOGIA

A sequência didática será desenvolvida em junho/2015 com uma turma de

crianças de sete/oito anos do 2o ano do Ensino Fundamental da E. E. Padre

Francisco/DE Sul3, uma escola estadual da cidade de São Paulo.

Esperamos que com essa sequência as crianças avancem na compreensão do

valor do algarismo no sistema posicional.

A situação desenhada pretende promover:

• A elaboração de regras válidas para o sistema de numeração

• A antecipação de resultados de operações em função das regras elaboradas

(tentativas de generalização)

• A construção de explicações que fundamentem as regras estabelecidas

A sequência prevê nove situações didáticas organizadas em três etapas.

PRIMEIRA ETAPA: DIAGNÓSTICO

1ª aula

1ª situação: problema com enunciado (1ª aula)

Com o objetivo de conhecer os procedimentos de resolução disponíveis para

as crianças, a professora solicita que resolvam um problema com enunciado, que

envolve uma adição de 38+25:

Paulo tinha 38 figurinhas e ganhou 25 de seu amigo. Com quantas figurinhas Paulo

ficou?

SEGUNDA ETAPA

2ª situação: trabalho coletivo (2a aula)

140

A professora anota na lousa uma lista de adições, cujas primeiras parcelas são

números compreendidos entre 30 e 39, e as segundas parcelas, números

compreendidos entre 20 e 29.

32 + 23 = 36 + 24 = 38 + 28 =

30 + 24 = 33 + 26 = 35 + 21 =

38 + 24 = 31 + 26 = 34 + 27 =

As crianças resolvem os cálculos com a calculadora e vão ditando os resultados

para a professora que os anota na lousa. A professora solicita que observem os

resultados e pergunta como eles começam. Conclui-se que há duas possibilidades:

começar com cinquenta ou com sessenta.

3ª situação: trabalho individual (2a aula)

A professora distribui um quadro impresso em uma folha com novos cálculos

do mesmo tipo dos apresentados na situação anterior. Pede que os alunos, sem fazer

as contas, antecipem como começará o resultado de cada um (com cinquenta ou com

sessenta?), anotem com palavras (não com números) na coluna reservada para as

antecipações, e depois de cada antecipação resolvam com a calculadora e anotem o

resultado com números na coluna correspondente.


32 + 26 =

38 + 21 =

37 + 27 =

36 + 27 =

35 + 25 =

141

4ª situação: trabalho em duplas (2a aula – até aqui)

As crianças, organizadas em duplas, discutem como fizeram para saber com

segurança, sem fazer a conta, se o resultado ia começar com cinquenta ou com

sessenta. A professora pergunta: se sempre somamos trinta mais vinte, por que o

resultado às vezes é “cinquenta e alguma coisa” e outras vezes é “sessenta e alguma

coisa”?

A professora orienta os alunos para que anotem as conclusões, os que estão

de acordo e os desacordos que aparecerem na dupla.

A professora recolhe as produções individuais e das duplas de toda a turma.

5a situação: discussão coletiva (3a aula)

A professora analisa as produções das crianças e, na aula seguinte, faz a

devolução coletiva, baseada nas respostas elaboradas pelas duplas para a pergunta

proposta.

TERCEIRA ETAPA

Essa etapa visa a elaboração de uma regra – e uma razão – a partir de duas

novas séries de cálculos em que as parcelas correspondam a dezenas diferentes. A

regra deve contemplar também a lista proposta na etapa anterior.

6a situação: trabalho individual - 3ª aula

A professora entrega para cada criança outro quadro contendo cálculos do tipo

“quarenta e alguma coisa” mais “vinte e alguma coisa”. Solicita que, assim como

fizeram na 3ª situação, antecipem, sem fazer as contas, como começará o resultado

de cada um e anotem com palavras na coluna reservada para as antecipações.

Depois, que resolvam com a calculadora e anotem o resultado com números na coluna

correspondente.

142


43 + 25 =

44 + 26 =

44 + 25 =

45 + 29 =

Para as crianças que terminarem de preencher o quadro antes dos colegas, a

professora propõe uma tarefa complementar:

Tarefa: escreva três cálculos cujo resultado comece com sessenta e outros três

cujo resultado comece com setenta.

Em seguida, a professora distribui um novo quadro para as crianças, dessa vez,

contendo cálculos do tipo “cinquenta e alguma coisa” mais “trinta e alguma coisa”.


55 + 33 =

52 + 39 =

53 + 37 =

51 + 36 =

Da mesma forma que com o quadro anterior, a professora propõe uma tarefa

complementar para as crianças que terminarem de preencher o quadro antes dos

colegas: escreva três cálculos cujo resultado comece com oitenta e outras três cujo

resultado comece com noventa.

7a situação – trabalho em duplas (3ª aula – até aqui)

A professora propõe que as crianças, organizadas em duplas, discutam e

respondam a seguinte pergunta: como fazer para saber com segurança, sem fazer a

143

conta, como começará o resultado (com sessenta ou com setenta, com oitenta ou

noventa, com cinquenta ou sessenta...)?

A professora entrega uma folha para cada dupla para que registrem as

respostas elaboradas e informa que, se necessário, consultem os quadros das

situações anteriores.

As crianças precisam discutir como fazer antecipações corretas para adições

de números de dois algarismos, sejam quais forem as dezenas envolvidas. Para tanto

precisarão refletir sobre as razões que sustentam os acertos e os erros.

8ª situação – trabalho INDIVIDUAL/ COLETIVO (4º aula)

Nesse ponto, resolvemos propor mais uma atividade antes de finalizarmos, por

causa das conclusões evasivas que os alunos apresentaram na discussão em duplas

e depois no coletivo.

Vejamos:

Sem fazer as contas, antecipe como começará o resultado de cada cálculo:

com setenta ou com oitenta. Anote com palavras, na coluna reservada para as

antecipações e, depois de cada antecipação, resolva com a calculadora e anote o

resultado com números na coluna correspondente.


42 + 36 =

48 + 31 =

47 + 37 =

46 + 37 =

45 + 35 =

Discussão coletiva: como fizeram para saber com segurança, sem fazer a conta,

se o resultado ia começar com setenta ou com oitenta?

9a situação – Discussão coletiva (5ª aula)

144

Discutir o problema: as somas de “trinta e alguma coisa” + “vinte e alguma

coisa” (3_+2_), poderiam dar um resultado que comece com quarenta? E com

setenta?

10a situação – institucionalização – (5ª aula – final)

Essa situação tem como objetivo elaborar uma conclusão compartilhada por

todo o grupo e institucionalizá-la. Inicialmente, a professora apresenta um quadro para

o grupo e propõe o seguinte problema para que discutam em dupla (Modificamos os

valores dos números do cálculo que inicialmente estava proposto – somas com 4_ +

3_ = - para somas com 5_ + 3_ - porque no dia anterior havíamos proposto uma

atividade extra com cálculos onde as dezenas eram respectivamente 4 e 3):

Qual das seguintes afirmações explica melhor o que acontece quando se soma

cinquenta ou cinquenta e alguma coisa com trinta ou trinta e alguma coisa? 5_ + 3_


Quando os números são menores dá oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8_). Para que dê oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8_), a soma das unidades tem de dar 9. Para que dê oitenta ou “oitenta e alguma coisa” (8_), a soma das unidades não pode passar de 9.

Quando os números são maiores, dá noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_). Se 50+30=80, então, 31+59=90 ou noventa e alguma coisa, porque aqui o resultado dá 10. Para que dê noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_), a soma das unidades tem de dar 10. Para que dê noventa ou “noventa e alguma coisa” (9_), a soma das unidades tem de passar de 10.

145


(2016)

METODOLOGIA

Realizamos essa sequência didática a partir da análise das atividades e do

resultado obtido na aplicação realizada no ano anterior (2015) a uma turma de alunos

do 2º ano do EF. Levantamos variáveis que justificam as mudanças propostas na

organização de uma nova sequência didática que também foi aplicada a uma turma

do 2º ano do EF da mesma escola estadual no final do ano letivo (2016). A primeira

SD foi aplicada em meados do ano letivo (junho/2015).

1ª DIA

1ª ATIVIDADE (INICIAL) – COLETIVA

A professora entrega uma folha com um único cálculo: 18 + 15 = e diz aos

alunos: “Sem fazer a conta, como vocês acham que vai começar o resultado desse

cálculo? Com VINTE ou com TRINTA? Anotem.” Aguarda os alunos escreverem o

resultado e abre uma discussão coletiva, propondo: “O que vocês fizeram para saber

se o resultado desse cálculo começaria com VINTE ou com TRINTA? ”. A professora

ouve os alunos e organiza a discussão de tal modo que todos possam falar e ouvir as

explicações uns dos outros. Será apenas um momento de socialização. Pode-se

registrar, num canto da lousa ou numa folha a parte, as diferentes formas encontradas

pelos alunos. Essas anotações poderão ser úteis na última atividade.

Assim que a socialização for concluída, a professora propõe um desafio: “O que

podemos fazer para saber o resultado correto desse cálculo? ”. Ouve as sugestões

dos alunos e propõe que cada um encontro o resultado correto e o escreva ao lado

do cálculo na folha. Os alunos podem usar a calculadora, caso algum deles sugira

utilizá-la como estratégia para encontrar o resultado correto, porém, se isso não

acontecer, não deve sugerir o seu uso.

2ª ATIVIDADE - INDIVIDUAL / COLETIVA

A pesquisadora entrega aos alunos uma folha com quatro cálculos: somas de

dois números (sendo que no primeiro termo todas as dezenas sejam iniciadas,

igualmente, por um mesmo algarismo e a dezena do segundo termo sejam todas

146

iniciadas, igualmente, por um outro algarismo): 32 + 26 =; 25 + 35 =; 27 + 37 =; 38 +

21 =.

Assim que os alunos terminarem de identificar suas atividades, a pesquisadora

lê, junto com eles, a consigna, mostra e explica as duas colunas do quadro (como

deverão ser completadas) e esclarece todas as dúvidas antes de iniciarem a atividade.

Os alunos precisam entender que dessa vez são vários cálculos e que devem

estimar se o resultado começará com CINQUENTA ou com SESSENTA: “Sem fazer

conta, estime como começará o resultado de cada cálculo: se com cinquenta ou

sessenta. Escreva na coluna reservada para as estimativas.” O aluno deve ficar à

vontade para decidir se quer registrar a estimativa com algarismos ou por extenso.

CÁLCULOS ESTIMATIVA

(O RESULTADO COMEÇARÁ COM 50 OU 60?)

DISCUSSÃO COLETIVA: questionar os alunos sobre como fizeram para

saber, sem fazer a conta, se o resultado ia começar com cinquenta ou com sessenta.

Ouvi-los e, sendo possível, anotar as estratégias usadas pelas crianças. Após ouvir

os alunos sobre como fizeram para encontrar as estimativas, desafiá-los a encontrar

o resultado correto de cada cálculo. Levantar com os alunos as possíveis estratégias

para se chegar ao resultado correto. Recolher as atividades, analisá-las (considerando

a discussão coletiva também) e pensar em possíveis agrupamentos para serem

utilizados nas próximas atividades.

2º DIA

1ª ATIVIDADE– GRUPO

A pesquisadora deve levar para a classe uma possível organização de grupos

(importante que em cada grupo haja, pelo menos, um aluno que tenha acertado todas

as estimativas da atividade anterior, ou boa parte delas) e iniciar o dia propondo a

organização deles. A professora da classe poderá ajudar a completar os grupos com

os demais alunos.

147

Assim que os grupos estiverem organizados e, antes de entregar a folha de

atividade, retoma com os alunos alguns dos cálculos que fizeram na atividade anterior.

Pode colocar um dos cálculos no quadro e solicitar que algum deles diga como fez

para encontrar a estimativa e um outro aluno poderá lembrar quais as estratégias

utilizadas, por eles, no momento de encontrarem o resultado correto.

A pesquisadora, assim que entregar a folha da atividade e os alunos a tiverem

completado, lê a consigna com todos: “Sem fazer a conta, estime como começará o

resultado de cada cálculo: se com SESSENTA ou com SETENTA. Escreva na coluna

reservada para as estimativas. Quando terminar, encontre o resultado correto de cada

cálculo.”

Mostra o primeiro quadro com os três cálculos (43 + 23=; 26 + 44 =; 29 + 45=)

e, se achar interessante, desenha o quadro na lousa e vai discutindo-o com os alunos

antes de iniciarem a atividade. Dessa vez, há uma coluna reservada para o registro

dos resultados corretos e há espaço na folha para os alunos registrarem as

estratégias. A proposta é que os alunos realizem um cálculo de cada vez: primeiro a

estimativa e depois o resultado correto.

ESTIMATIVA

(COMEÇA COM 60 OU70?)

RESULTADO

CORRETO

Assim que concluírem o primeiro quadro podem iniciar, da mesma forma, o

segundo que se encontra no verso da folha: são três cálculos (33 + 55=; 52 + 39 =; 53

+ 37 =). Devem estimar se os resultados começarão com OITENTA ou com NOVENTA

e, quando terminarem, devem encontrar o resultado correto de cada um dos cálculos

e preencher os espaços correspondentes.

ESTIMATIVA

(COMEÇA COM 80 OU 90)

RESULTADO

CORRETO

Ainda no grupo, assim que terminarem a atividade, desafiá-los a conversar

sobre como fizeram para descobrir como começava o resultado de cada um dos

148

cálculos. Coletivamente, propor uma socialização de modo que cada grupo possa

colocar as diversas conclusões encontradas. A pesquisadora poderá escrever as

conclusões no quadro ou numa folha a parte.

3º DIA

1ª ATIVIDADE – GRUPO

O grupo pode ser o mesmo ou podem ser alterados a partir da experiência que

tiveram no dia anterior. Seguir as orientações das atividades anteriores. Conversar

com os alunos sobre a atividade: “A proposta de hoje, não é nada diferente das outras

já realizadas. Na primeira atividade, há quatro cálculos diferentes e também quatro

colunas. Vocês devem estimar como começam os resultados de cada um deles,

encontrar o resultado correto e, na última coluna, vão discutir e escrever como

encontraram os resultados corretos.”

A pesquisadora pode, como no dia anterior, desenhar o quadro na lousa,

completá-lo com os quatro cálculos (42 + 36=; 58 + 55=; 46 + 47=; 25 + 32=) e discutir

com os alunos sua organização e como preenchê-lo.

ESTIMATIVA RESULTADO CORRETO

COMO ENCONTROU O RESULTADO CORRETO?

EXPLIQUE.

Assim que os alunos concluírem a atividade, a pesquisadora, coletivamente,

propõe que os grupos socializem a quarta coluna do quadro: como fizeram para

descobrir como começava o resultado de cada cálculo. A pesquisadora deverá

registrar as conclusões dos grupos em folha a parte ou na lousa para otimizar o tempo.

A pesquisadora deve ficar atenta para discutir com os alunos a soma que resulta num

número maior que 100 (58 + 55), pois é a primeira vez que aparece na SD.

2ª ATIVIDADE – GRUPO

Essa atividade tem o objetivo de avaliar se os alunos conseguiram entender o

que é necessário para antecipar resultados de somas de números de dois dígitos

sejam eles quais forem. É o momento imprescindível de buscarem condições para

149

que as “regras feitas” sejam ou não generalizadas para todos os casos. A organização

da atividade é diferente das já realizadas e será necessário explicá-la detalhadamente

aos alunos, se bem que se espera que a maioria seja capaz de entender rapidamente

a proposta.

As orientações anteriores para apresentar e discutir as atividades devem ser

seguidas: “Como vocês completariam os números do cálculo 5_ + 3_ para que o

resultado... começasse com OITENTA? Começasse com NOVENTA? Desse

exatamente NOVENTA? ”. Explicar e aguardar que os alunos terminem uma das

propostas, para, então, iniciar a seguinte.

...COMEÇASSE COM OITENTA?

...COMEÇASSE COM NOVENTA?

... DESSE EXATAMENTE NOVENTA?

Assim que terminarem a atividade acima, os alunos, em grupo, devem discutir:

“O que vocês descobriram com as atividades que fizemos? Escrevam abaixo. ”

COLETIVAMENTE, os grupos devem socializar as descobertas encontradas.

Esse é o momento da institucionalização que será feita pelo aplicador (pesquisadora).

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