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O CONCEITO DE MÉDIA:

PROBLEMAS DE CONSTRUÇÃO X PROBLEMAS TRADICIONAIS

Cristiane Aparecida Stella

PUC/SP

[email protected]

Introdução

O presente artigo relatará alguns resultados de uma pesquisa de mestrado que

teve como objetivo responder a seguinte questão de pesquisa:

P

permitir

P

percorre

ponto d

amplam

Observa

linguag

tendênc

complex

QUAIS SÃO AS INTERPRETAÇÕES DO CONCEITO DE MÉDIA, DE ALUNOS DO ENSINO

MÉDIO, QUE SEGUEM O CURRÍCULO BRASILEIRO?

ara a pesquisa havíamos formulado também duas questões mais específicas que

am responder esta questão principal:

QUAIS CARACTERÍSTICAS DO CONCEITO DE MÉDIA, EM

GERAL, SÃO ENFATIZADAS NO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA DO

ENSINO MÉDIO, EM DOCUMENTOS OFICIAIS E INSTRUMENTOS

DE AVALIAÇÃO?

QUAIS CARACTERÍSTICAS DESTE CONCEITO SÃO

ENFATIZADAS EM PESQUISAS QUE VISAM COMPREENDER A

APRENDIZAGEM DE TAL CONCEITO?

ara alcançar o objetivo proposto e responder estas questões, nosso estudo

u várias etapas. Iniciamos com algumas considerações do conceito de média do

e vista epistemológico e histórico. Vimos que a média aritmética só foi utilizada

ente depois do século XIX, embora o conceito seja bem mais antigo.

mos ainda que os significados associados à palavra “média”, em muitas

ens, na antigüidade, podem estar relacionados também com as medidas de

ia central: moda e mediana. Já temos então a primeira indicação da

idade envolvida na interpretação do conceito de média aritmética e a

mailto:[email protected]

Anais do VIII ENEM – Comunicação Científica GT 3 – Educação Matemática no Ensino Médio 2

possibilidade de associar o termo com várias maneiras de pensar sobre o “meio” de uma

coleção de dados.

Os demais itens de nosso estudo centram-se no ensino e aprendizagem desse

conceito. Iniciamos com uma análise dos instrumentos ligados ao ensino de Matemática

(os PCN’s, os livros didáticos e os sistemas de avaliação SAEB e ENEM) identificando

quais aspectos do conceito de média são enfatizados.

Na seqüência, buscamos apoio teórico no trabalho de Batanero (2000), que

discute a importância de considerar cinco elementos do conceito matemático:

Elementos extensivos: refere-se ao campo de problemas de onde surge o objeto;

Elementos actuativos: refere-se às práticas empregadas na solução de problemas;

Elementos intensivos: refere-se às definições e propriedades características e, suas

relações com outros conceitos;

Elementos ostensivos: refere-se às notações, gráficos, palavras e, em geral, todas as

representações do objeto abstrato que podemos usar para nos referirmos ao conceito;

Elementos validativos: refere-se às demonstrações que empregamos para provar as

propriedades do conceito e os argumentos que empregamos para mostrar a outras

pessoas a solução do problema.

Nosso estudo também foi apoiado no trabalho de Mokros e Russell (1995) e sua

classificação de cinco categorias capturando os significados atribuídos pelos estudantes

à palavra average:

Média como valor mais freqüente (ou moda);

Média como valor “razoável”;

Média como ponto médio (ou mediana);

Média como algoritmo;

Média como ponto matemático de balanço.

Com base nos elementos teóricos estudados analisamos questões de várias fontes

(ENEM, SAEB, de Mokros e Russell (1995)) que envolviam o conceito de média

aritmética. Nesta análise consideramos, quando possível, os índices de acerto de alunos

do Ensino Médio (referente aos resultados do ENEM e SAEB) e estudamos as possíveis

motivações para as respostas dos alunos às questões dos sistemas de avaliação e da

pesquisa de Mokros e Russell.

Como nosso objetivo era saber quais as concepções dos alunos do Ensino Médio

a respeito do conceito de média, nossa coleta de dados foi baseada em entrevistas

individuais, estruturadas com tarefas a serem resolvidas por sete alunas do Ensino


Médio de uma escola pública na cidade de São Paulo. As entrevistas foram compostas

de 8 tarefas, nas quais 1 questão do SAEB, 2 do ENEM e 5 da pesquisa de Mokros e

Russell. Constavam problemas em que era solicitado ao aluno que calculasse o valor da

média (simples e ponderada) com dados apresentados numericamente ou graficamente e

problemas de construção em que o aluno precisava construir um conjunto de dados a

partir de uma média já estabelecida. Tinha também um problema envolvendo a

interpretação de um gráfico onde constava a palavra média, mas neste problema não era

necessário o conceito de média para encontrar a solução. As entrevistas duravam, em

média, 90 minutos e foram áudio-gravadas. A análise destas entrevistas foi

fundamentada no modelo proposto por Batanero e nas classificações de Mokros e

Russell.

No decorrer deste artigo destacaremos, da pesquisa realizada, os resultados

referentes a problemas de construção (problemas em que é dada a média e o aluno

constrói a distribuição dos dados) e problemas tradicionais (problemas em que são

conhecidos todos os dados e pede-se a média aritmética destes dados).

As questões

Apresentaremos nesta seção quatro questões aplicadas em nossa pesquisa, nas

quais duas são problemas tradicionais e duas são problemas de construção. E, a seguir,

discutiremos os resultados da aplicação de tais questões.

A primeira questão é um problema tradicional do SAEB 2001, onde era dada

uma tabela de consumo mensal de água de uma família durante seis meses e era pedido

para determinar a média de consumo dessa família, conforme Fig. 1:


1) A tabela abaixo mostra o consumo mensal de água de uma família durante 6 meses.

Meses Consumo (m3)

Janeiro 12

Fevereiro 13,8

Marco 12,5

Abril 13

Maio 11,6

Junho 10,3

A média do consumo dessa família foi:

(A) 12,2 m3

(B) 73,2 m3

(C) 11,83 m3

(D) 12,05 m3

Fig.1, Questão SAEB 2001

Para resolver esta questão, seis das sete alunas entrevistadas somaram o

consumo mês a mês e dividiram pelo número de meses. O que nos chamou a atenção na

resolução desta questão foi o fato de que duas das sete alunas fizeram analogia à média

de notas. Segue, abaixo, a resolução de uma delas, que ilustra esta estratégia: Joana1: Para calcular a média das notas o professor soma e divide. Pesquisadora: Soma o que? Joana: As notas das alunas. Pesquisadora: E divide pelo que? Joana: Divide por três. Pesquisadora: E se forem quatro notas? Joana: Daí divide por quatro.

Notamos que o três para ela era muito forte, provavelmente porque o professor

da turma normalmente utiliza três atividades para compor a média. Esta fala nos indica

uma facilidade com o algoritmo para calcular a média e, isto fica muito claro na

resolução que a aluna dá à questão (Fig. 2):

1 Os nomes das alunas são fictícios, a fim de preservar a identidade das mesmas.


Fig. 2, Resposta de Joana à 1a Questão

Interessante é verificar que Joana utiliza a estratégia de comparar o raciocínio

que o professor usa para calcular a média de notas dos alunos com a média a ser

calculada neste problema. Entretanto em sua resolução, percebe que neste problema

trata-se de seis parcelas (e não três como costuma ser a média de notas) e então resolve

a questão corretamente utilizando os elementos actuativos de forma apropriada, como

pode ser verificado na Fig. 2, assinalando o item A.

Sugerimos que esta conexão feita pela aluna entre a tarefa dada e a comparação

com o cálculo da média das notas feito pelo professor evidencia o fato da média ser

vista como um valor representativo das notas tiradas.

Em relação a uma estudante ter resolvido de forma errônea a questão, isto se

deve ao fato de que a estudante considerou a média como sendo o valor da soma das

parcelas.

De modo geral, percebemos que este problema trata o conceito média de forma

algorítmica ou imediatista, pois bastava conhecer o algoritmo da média e aplicá-lo

corretamente que a questão estaria resolvida, ou seja, esta questão não requeria nenhum

raciocínio mais desenvolvido e apurado.

A segunda questão também é um problema tradicional, entretanto aborda média

aritmética ponderada e requer a interpretação de uma distribuição estatística de

velocidades fornecida sob a forma de histograma, conforme Fig. 3:


c

J

r

g

J

v

s

Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.

��

��

��

�� 1

40

30

15

5 3605

1015202530354045

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Velocidade (km/h)

Veíc

ulos

(%)

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de:
(A) 35 km/h (B) 44 km/h (C) 55 km/h (D) 76 km/h (E) 85 km/h
Fig. 3, Questão ENEM 1999

Nesta questão, quatro das sete alunas pesquisadas erraram.

Na resolução desta questão, as alunas encontraram uma certa dificuldade para

omeçar a resolver o problema, no que diz respeito à leitura e interpretação do gráfico.

oana, por exemplo, disse que não havia trabalhado com gráficos assim; só havia visto

apidamente em algum livro didático. Portanto, a pesquisadora auxiliou na leitura do

ráfico (lendo e interpretando com a aluna apenas uma coluna) e então ela disse: Joana: O raciocínio é o mesmo do exercício 3. (questão que também envolvia média ponderada) Pesquisadora: Por que? Joana: Porque vai ter que multiplicar, somar tudo e depois dividir. Pesquisadora: Então tente! Joana: Vamos lá.

Em termos de elementos actuativos, temos a seguinte resolução:

Fig. 4, Resposta de Joana à 2a Questão

Chamamos a atenção para a linearidade e a organização mental da resolução de

oana.

No final, Joana chega à resposta 440 (quociente da divisão 4400 por 10), porém

erifica que não existe nenhuma alternativa que continha esta resposta e então diz que é

ó cortar o zero por causa da porcentagem e, portanto assinala a alternativa B,


corretamente, apesar de não ter muita certeza. Karina utiliza o mesmo procedimento de

Joana e chega ao mesmo impasse dos 440, assinalando a alternativa B. O divisor 10

vem do fato delas contarem os intervalos do eixo x e também como artifício para

encontrar uma resposta que seja equivalente a um dos itens do teste.

Neste momento, pensamos que interessante seria um uma próxima ocasião não

colocar esta questão em forma de teste, assim poderíamos ter outras resoluções e

argumentações.

Concluímos que para estas alunas (Joana e Karina) não estava claro o tamanho

da amostra nesta questão e, elas acertaram a questão por causa da presença do número

44 como uma opção das possíveis respostas. A resposta de 440km/h não foi rejeitada

por ser uma resposta impossível (como um elemento validativo), mas sim porque não

fazia parte das alternativas da questão. Talvez o uso do algoritmo seja mais forte nas

estratégias destas alunas do que o fato de o 440 não servir como um valor razoável.

Enquanto estão calculando, elas não incluem as velocidades 90Km/h e tão pouco

100Km/h dizendo que dá zero, então não precisa incluir, porém na hora de dividir pelo

número de parcelas elas as consideram. Neste caso, para calcular a média, o zero teve

significado. Em relação aos elementos intensivos, notamos que as alunas utilizam, pelo

menos implicitamente, a propriedade f (O valor da média é representativo dos valores

que estão sendo mediados) de Strauss e Bichler (1988) já que foi considerada, em sua

pesquisa, muito abstrata. Assim, aplicando esta propriedade, as alunas usam elementos

intensivos em suas resoluções.

Em sua resolução, Karina fez menção à mudança de unidade: Karina: Tem que dividir por 3,6. Pesquisadora: Ah! Você está pensando em dividir por causa da unidade Km/h? Mas todos estão em Km/h, então com a unidade você não precisa se preocupar.

Uma das soluções que mais nos chamou a atenção, pela estratégia de resolução,

foi a de Glace que estava confundindo média com moda: Glace: A resposta é 50Km/h porque quase todos os carros passam com esta velocidade. Pesquisadora: Ah! Então a que tem mais é a média? Glace: Então a resposta é 55, pois está mais próxima do 50 e no teste não tem a resposta 50. É, mas agora eu tô em dúvida porque tem o 44 também, mas está mais longe do 50. É, mas a máxima permitida é de 55, então porque as pessoas passariam a 55 se é a máxima permitida? Além do que, pelo gráfico, as médias estão entre 40 e 50 Km/h. Pesquisadora: Então qual você acha que é? Glace: È a B, 44Km/h.


Embora, às vezes, esteja confundindo média com moda, a aluna desenvolve todo

um raciocínio lógico e chega à conclusão de que a resposta correta é 44Km/h.

Quanto aos erros, Simone assinalou a alternativa A (35Km/h), Amanda a

alternativa C (55Km/h) e, Juliana e Fernanda assinalaram a alternativa D (76Km/h).

A aluna que assinalou a alternativa A justifica sua escolha dizendo que entre o

30 e o 40 do eixo y, o meio é 35%. Parece que a aluna estava atenta ao número de

veículos das colunas mais altas do gráfico. Esta aluna, provavelmente interpreta a média

como o “meio” (uma das quatro categorias atribuídas por Mokros e Russell (1995) aos

significados atribuídos pelos estudantes à palavra “average”). Vale salientar que este

tipo de raciocínio só é válido para distribuições simétricas. Além disto, a aluna em sua

resolução também usa um valor associado, como o número de veículos, para representar

suas velocidades.

A aluna que escolheu a alternativa C, também parece usar média como meio. Ela

escolheu 50 porque é o meio do gráfico e como não tem a resposta 50, adapta sua

escolha ao valor que julga mais próximo de 50 que é 55Km/h. É possível também que a

aluna tenha sido influenciada em sua escolha pelo fato de pensar na média como o valor

mais freqüente, ou seja, confunde média com moda.

Quanto à escolha da alternativa D por duas alunas, deve-se ao fato de que elas

não tinham claro o conceito de média e talvez nem tenha entendido o que o problema

solicitava. Uma delas (Fernanda) justifica a resposta dizendo que um carro passa a

80Km/h e, Juliana que também achou esta resposta, utiliza o seguinte raciocínio:

74950

7801703606504030401530205

=×+×+×+×+×+×+×

Ao fim, Juliana diz que é 76Km/h, porém pela sua linha de raciocínio o

resultado final seria, aproximadamente 707. Como não há esta alternativa ela assinala o

item D. Além disso, a aluna não considera o zero em seus cálculos, utilizando como

divisor o número 7 (os que são diferentes de zero).

Neste caso, Juliana não estava preocupada em achar um valor razoável, nem se

preocupou com elementos validativos, mas sim com o algoritmo. Assim é o caso de

Joana e Karina que encontraram o valor 440 como resposta. Apenas queriam adequar a

resposta encontrada por elas às alternativas da questão.

Salientamos que o tamanho da amostra nesta questão não era dado

explicitamente. Neste caso, as alunas tentaram aplicar o algoritmo que lhes é familiar,


mas acabam manipulando o resultado do algoritmo de forma a obter umas das respostas

dadas. As alunas acharam esta questão muito difícil e trabalhosa.

Pudemos perceber que a interpretação deste tipo de gráfico era uma coisa muito

nova para estas alunas. Apesar de terem dito que trabalhavam com gráficos nas aulas de

Geografia, demonstraram dificuldades em trabalhar com os elementos ostensivos no

contexto do cálculo de uma média. E, a confusão maior era feita quando tentavam

identificar por qual número teriam que dividir, ou seja, qual era o tamanho da amostra.

Ressaltamos que nenhuma questão dos exames do ENEM e do SAEB

apresentam problemas nos quais é dado aos alunos o valor da média e é pedido para que

eles construam um conjunto de dados. Pesquisas indicaram que mesmo os alunos que

sabem como aplicar o algoritmo para calcular a média, têm dificuldades com este tipo

de problema. E, neste sentido, a terceira questão deste artigo é um problema de

construção, conforme Fig. 5:

c

q

r

c

c

o

b

O tamanho típico ou usual ou médio de 8 famílias é de 4 pessoas.

a) Quantas pessoas você acha que tem em cada família?

b) Imagine que uma dessas famílias possui 3 pessoas ao invés de 4. O que nós poderíamos fazer

para que a média em relação às 8 famílias seja de 4 pessoas?

c) E se uma família tivesse 8 pessoas, o que teria que acontecer com as outras famílias para que a

média fosse 4?

Fig. 5, Questão Mokros e Russell (1995)

Em nosso experimento, optamos por apresentar, ao aluno, uma cartolina

ontendo apenas os eixos de um gráfico que representaria a situação do problema, para

ue o aluno pudesse fazer a distribuição dos dados. Cada pessoa da família era

epresentada por um quadradinho de cartolina, o qual os alunos podiam manipular e

onstruir o gráfico, alinhando tais quadradinhos ao eixo das famílias, formando assim

olunas, como exemplifica o gráfico abaixo (Fig. 6). Desta forma, os elementos

stensivos poderiam induzir uma abordagem da média como ponto matemático de

alanço.


Núm

ero

de p

esso

as

FAM

ÍLIA

1

FAM

ÍLIA

2

FAM

ÍLIA

3

FAM

ÍLIA

4

FAM

ÍLIA

5

FAM

ÍLIA

6

FAM

ÍLIA

7

FAM

ÍLIA

8

Fig. 6 – gráfico auxiliar

A resposta ao item A foi unânime, respondido rapidamente e sem dúvida. Uma

das alunas, inclusive, disse que era fácil, pois se o número médio de pessoas por família

é de 4, então quer dizer que em cada uma delas tem 4 pessoas. Neste caso, pensamos

que estas alunas estavam usando a interpretação da média como moda ou valor mais

freqüente. Para responder os itens B e C, as alunas utilizavam o gráfico auxiliar.

Notamos uma diferença na interação dos elementos ostensivos do gráfico nesta

questão quando comparado a questão anterior já que não era apenas uma questão de

interpretação e foram as alunas que construíram o gráfico.

Núm

ero

de p

esso

as

FAM

ÍLIA

1

FAM

ÍLIA

2

FAM

ÍLIA

3

FAM

ÍLIA

4

FAM

ÍLIA

5

FAM

ÍLIA

6

FAM

ÍLIA

7

FAM

ÍLIA

8

Fig. 7 – resposta das alunas ao item a da 3a questão

Como este tipo de problema não é usual, algumas alunas encontraram uma certa

dificuldade para responder os itens B e C no que se refere ao que teria que acontecer

com as outras famílias para que a média fosse a mesma. No entanto, as alunas

perceberam que se aumentasse o número de pessoas nas famílias aumentaria a média e,

se diminuísse o número de pessoas diminuiria a média.


No item B uma das alunas (Joana) disse que se tirasse uma pessoa, a média

diminuiria, então para ficar a mesma média teria que aumentar uma pessoa (utiliza a

média como ponto matemático de balanço e em nenhum momento pensa no valor total

de pessoas para que a média desse 4). Assim, Joana tira uma pessoa da família 1 e

acrescenta uma na família 5, conforme gráfico abaixo:

Núm

ero

de p

esso

as

FAM

ÍLIA

1

FAM

ÍLIA

2

FAM

ÍLIA

3

FAM

ÍLIA

4

FAM

ÍLIA

5

FAM

ÍLIA

6

FAM

ÍLIA

7

FAM

ÍLIA

8

Fig. 8 – resposta de Joana ao item b da 3a questão

No caso do item B, é interessante notar que Karina quer apenas

redistribuir os quadradinhos que já fazem parte do gráfico e, por isso, em um

primeiro momento responde que tem que sair uma pessoa (ela, neste

momento, “tirou uma pessoa” de uma família e incluiu a mesma em outra)

percebendo que a média não dava a mesma (fez 31÷8 = 3,875 e não 32)

depois pensa melhor e diz que deve tirar uma pessoa de uma família e incluí-la

na outra.

O item C é resolvido de forma semelhante ao B, porém agora Joana deveria

acrescentar 4 pessoas em uma família. Então ao perguntar o que aconteceria com a

média neste caso, ela me disse que aumentaria e que para ficar a mesma média ela teria

que tirar quatro pessoas. Eu perguntei se podia ser de qualquer forma, então ela

respondeu que podia ser 3 pessoas de uma família e 1 da outra ou 2 pessoas de uma

família e duas da outra e, assim por diante. Por fim, Joana tirou 2 pessoas da família 2 e

duas da família 3, conforme gráfico abaixo:


Núm

ero

de p

esso

as

FA

MÍL

IA 1

FA

MÍL

IA 2

FA

MÍL

IA 3

FA

MÍL

IA 4

FA

MÍL

IA 5

FA

MÍL

IA 6

FA

MÍL

IA 7

FA

MÍL

IA 8

Fig. 9 – resposta de Joana ao item c da 3a questão

Uma outra resolução que nos chamou a atenção foi a de Karina que, no item C,

estudou todas as possibilidades:

Pesquisadora: Item b: Imagine que uma dessas famílias possui 3 pessoas ao invés de 4. O que nós poderíamos fazer para que a média em relação às 8 famílias seja de 4 pessoas? Então vamos tirar um cartãozinho de uma família. Karina: Não entendi. Karina: Ah!!! Agora tem 31, então tem que por 1 pessoa em 1 família. Sai uma pessoa de uma família e entra outra pessoa na outra família. Pesquisadora: Item c: E se uma família tivesse 8 pessoas, o que teria que acontecer com as outras famílias para que a média fosse 4? Então agora uma família tem que ter 8 pessoas. Karina: Então põe mais 4 pessoas em uma família? Pesquisadora: É. E agora o que faremos para a média dar 4. A aluna pensa e diz: Karina: Teria que tirar uma pessoa de 4 famílias, ou 2 pessoas de 2 famílias, ou 3 pessoas de uma família e uma de outra família, ou 4 pessoas de uma família só.

Esta questão teve um alto índice de acerto (todas as alunas acertaram) talvez

pelo fato de ter material manipulativo o que pode ter contribuído para a resolução das

questões. Desta forma, os elementos ostensivos podem ter induzido as alunas a

trabalharem com uma abordagem da média como ponto matemático de balanço.

A questão que trataremos, a seguir, também é um problema de construção onde

era pedido para que fossem encontrados os valores de uma distribuição conhecendo o

valor da média e o número de parcelas.


Fig. 10, Questão Mokros e Russell (1995)

Sabe-se que entre 15 alunos, a média de mesada semanal é de R$3,00 e que o valor

mínimo recebido é de R$0,50 e o valor máximo é de R$6,00. Com base nestes dados,

tente achar uma possível distribuição em termos de valores de mesada de cada aluno

para que a média seja de R$3,00.

Para responder este questão as alunas contavam com um gráfico

auxiliar semelhante ao gráfico utilizado na questão anterior onde fixamos dois

quadradinhos, um em R$0,50 e outro em R$1,50 de modo a incentivar o aluno

a não colocar todos os quadradinhos em R$3,00.

Núm

ero

de p

esso

as

0,50

1,

00

1,50

2,

00

2,50

3,

00

3,50

4,

00

4,50

5,

00

5,50

6,

00

Fig.11 – gráfico auxiliar

O procedimento utilizado pelas alunas para resolver a questão foi: começaram a

resolução por tentativa e erro, mas perceberam que ia ser muito trabalhoso e então

procuraram uma estratégia mais simples. Para tanto, utilizaram o seguinte raciocínio:

multiplicaram a média da mesada semanal dada pelo número de estudantes da amostra,

isto é, R$3,00 x 15 = R$45,00. A partir disso, distribuem os “quadradinhos” no gráfico

de tal modo que ao somarem os valores, o valor total seja de R$45,00.

A solução de Joana, por exemplo, segue esta linha de raciocínio. A aluna

começou a resolver a questão por tentativa e erro, colocando valores aleatoriamente, de

acordo com a escala determinada (início em R$ 0,50 e final em R$6,00) variando em

R$0,50, depois percebeu que era como o problema das batatas fritas e calculou qual

deveria ser o valor total, chegando a conclusão de que deveria ser de R$45,00 (15alunos

x R$3,00). A resposta dada pela aluna foi a seguinte:


Fig.12, Resposta de Joana à 4a Questão

Joana diz que também poderia por todo mundo ganhando R$3,00, o que

evidencia que a aluna vê a média como o valor mais freqüente. Neste problema, a aluna

não teve dificuldade.

Apesar de ter o material auxiliar disponível, esta aluna não o usa em nenhum

momento.

Glace, entretanto utiliza a média como ponto matemático de balanço: monta a

distribuição colocando três quadradinhos em cada valor a partir do R$0,50 até R$2,50,

chegando a seguinte representação de distribuição:

A aluna foi resolvendo a questão por tentativa e erro até chegar em R$45,00 no

total. Sua distribuição foi a seguinte:


Interessante é que esta aluna primeiro colocou os “quadradinhos” de R$0,50 até

R$2,50 e depois foi “trocando” um quadradinho do R$2,00 por um de R$2,50,

aumentando o total gradualmente. Desta forma, utiliza a média como ponto matemático

de balanço e também como algoritmo, pois no começo, cada vez que trocava um

quadradinho de lugar somava tudo pra ver se a média era R$3,00, entretanto diz que

tinha que ter um jeito mais fácil e, então descobre que o valor total da soma das parcelas

tem que ser R$45,00 para que dividido por 15 alunos dê uma média de R$3,00.

Esta questão teve um índice de acerto de 100%2. Todas as alunas acertaram,

entretanto com distribuições distintas. Duas das alunas, inclusive, em suas resoluções

escreveram a seguinte distribuição em seus protocolos de entrevista:

Fig.15 – Respostas de Simone e Amanda à 4a questão

R$

0,50

R

$ 1,

00

R$

1,50

R

$ 2,

00

R$

2,50

R

$3,0

0 R

$3,5

0 R

$4,0

0 R

$4,5

0 R

$5,0

0 R

$5,5

0 R

$6,0

0

Núm

ero

de a

luno

s

Fig.14 – resposta final de Glace à 4a questão

Nos chamaram a atenção estas representações por se assemelharem a uma tabela

que é uma representação de uma distribuição de freqüência.

2 Consideramos também certas as resoluções que não levaram em consideração o valor máximo ou mínimo apresentado no enunciado do problema.


De forma geral, as alunas resolvem a questão utilizando a média como

algoritmo. Tendo em vista os resultados analisados nestas questões que fizeram parte

das nossas entrevistas, faremos, a seguir, conclusão dos principais aspectos analisados.

Reflexões sobre os resultados das questões

Iniciamos nossas reflexões com uma observação importante: nós escolhemos

conduzir as entrevistas com tarefas relacionadas à média, durante as quais as alunas

tinham a oportunidade de discutir suas idéias com a pesquisadora. Então, as entrevistas

não eram apenas momentos de coleta de dados, mas também representaram

oportunidades de aprendizagem por parte dos aprendizes, uma vez que os mesmos

estavam refletindo sobre o conceito de média em resolução a diferentes situações-

problema.

Observamos, por exemplo, uma estudante que mostrou uma interpretação de

média como algoritmo no primeiro momento e empregou elementos actuativos

incompletos, chegando a constar o total como média, mas ao longo da entrevista

começou, espontaneamente, a usar processos actuativos mais apropriados. As questões

então parecem encorajar os aprendizes a desenvolver suas idéias durante as interações

com as tarefas e a pesquisadora. Isto foi especialmente o caso em relação aos problemas

de construção (identificando possíveis conjuntos de dados a partir de uma média

determinada), que embora inicialmente não familiares para os alunos, os estimularam a

pensar além da média como algoritmo.

Um resultado que chamou atenção foi a utilização correta dos elementos

actuativos do conceito de média aritmética ponderada, contrariando assim resultados de

pesquisas (por exemplo, Pollatsek e cols, 1981) que mostravam que nestes casos os

alunos tendem a empregar a fórmula da média aritmética simples. Acreditamos que este

resultado seja devido à idade de nossos sujeitos (mais velhos que a maioria dos sujeitos

de outros estudos). Entretanto, nossos sujeitos apresentaram dificuldades em ler e

interpretar gráficos, quando estes não eram relacionados a problemas de construção, e

também em calcular a média quando o número da amostra não era dado explicitamente.

Assim, os resultados das entrevistas do nosso estudo revelaram, que nem sempre

o conhecimento das regras de cálculo por parte dos estudantes implica necessariamente

uma compreensão real dos conhecimentos subjacentes. Se os alunos adquirem apenas o

conhecimento de tipo algorítmico é mais provável que cometam erros previsíveis (uma


das alunas, por exemplo, errou a questão do SAEB por não ter clareza sobre divisão

não-exata, ou seja, números decimais) salvo nos problemas mais simples onde basta

calcular a média simples.

Na prática, parece que os alunos não participam de atividades que os ajudem a

construir significados robustos para todos os elementos do conceito de média, mas

apenas “memorizam” o algoritmo. Nossos resultados também sugerem que dependendo

do tipo de questão, os estudantes interpretam média como moda e/ou mediana, e além

disto não estão acostumados a distinguir as diferentes medidas de tendência central ou

estabelecer qual a melhor medida a ser utilizada. Embora a distinção entre essas

medidas deveriam ter sido trabalhadas desde o Ensino Fundamental, como propõe os

PCN’s, em situações em que haja discrepâncias bastante acentuadas entre as medidas de

tendência central para que os alunos possam refletir sobre qual é a mais significativa.

Neste sentido, uma das implicações desta pesquisa para o ensino da média e das

medidas de tendência central é a sugestão de propor aos alunos não somente situações

em que ele aplique o algoritmo e já obtenha o resultado, mas sim situações de

problemas de construção em que, por exemplo, é dada a média e o aluno tenha que

construir a distribuição. Nossos resultados indicaram também que os gráficos tinham

um papel nestes problemas, ou seja, ajudam na compreensão dos aspectos da média

quando usados como ferramenta de construção e não apenas apresentados para leitura e

interpretação. Notamos que estes tipos de problemas motivam o aluno e produzem os

melhores resultados porque demandam um raciocínio mais aprofundado sobre a maneira

em que a média representa os dados, o que permite que as idéias e conceitos sejam

formados, mudados e revisados. Neste processo, aspectos do conceito ganham clareza e

precisão. Além disto, há a possibilidade de nestes problemas se trabalhar com três tipos

de raciocínios ligados a média: valor razoável, ponto médio e ponto matemático de

balanço. Assim, o trabalho com média deve ser complementado com situações que

motivem o interesse do aluno e que permitam explorar tanto os dados quanto os

conceitos envolvidos, as representações e a capacidade de argumentação, reforçando

desta forma os elementos intensivos e validativos.

Embora no cenário brasileiro, os documentos analisados nos levam a crer que há

uma grande valorização do algoritmo no estudo do conceito de média, procuramos em

nossas entrevistas explorar outros elementos desse conceito que tem sido estudado nas

pesquisas estrangeiras sobre o assunto. Salientamos que apesar das dificuldades, o

desempenho dos alunos durante as entrevistas também trouxeram resultados positivos, o


que nos leva a refletir sobre a importância de novas situações serem incluídas no ensino

do conceito de média, assim como o uso de diferentes contextos e representações no

ensino de um conceito matemático.

Conclusões

Embora a palavra média seja usual no senso comum, na matemática o conceito

de média tem um significado complexo e requer um acompanhamento progressivo dos

significados pessoais que os alunos constróem e os significados institucionais que

pretendemos que adquiram. Concluímos que o que se tem feito é dar uma grande

importância ao cálculo e aos aspectos actuativos, aspecto que vem perdendo

importância se pensarmos no uso de novas tecnologias, que é uma outra ênfase dos

PCN’s de E.M., por exemplo. Ao aluno do Ensino Médio não cabe apenas saber um

processo de cálculo e se prender ao resultado, mas é necessário também entender o

raciocínio, a função e as propriedades desta medida. O aluno precisa sim dar significado

ao conceito, ao resultado obtido e ao próprio algoritmo, já que a conta alguém que opere

uma calculadora pode fazer perfeitamente. É necessário incorporar, efetivamente, a

Estatística no ensino aprendizagem criando situações em que o aprendizado da média

seja significativo, incentivando assim o desenvolvimento de um raciocínio crítico. Desta

forma, acreditamos que a media aritmética é um objeto de apreciável complexidade e

não simplesmente um algoritmo e, por este motivo esta noção algorítmica só deveria ser

introduzida depois que os estudantes tivessem desenvolvido um raciocínio consistente

da representatividade deste conceito.

Por fim e como assinala Green (1992), os conceitos estatísticos proporcionam

uma área de exploração fascinante. O que parece tão óbvio e sensível aos estatísticos

(termos como média, distribuição,...) tem sido o produto da experiência de várias

gerações e, é demais esperar que esta herança nos possa ser transmitida sem esforço de

nossa parte. Esperamos ter dado o primeiro passo.

Palavras-chave: média, problemas, gráficos


Bibliografia

BATANERO, C. Significado y comprensión de las medidas de posicion central. UNO,

25, (p. 41-58), 2000. Também disponível em:

http://www.ugr.es/~batanero/ListadoEstadistica.htm. Acesso em: 09 jan. 2003.

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BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

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STELLA, C.A., “Um estudo sobre o conceito de média com alunos do Ensino

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http://www.ugr.es/~batanero/ListadoEstadistica.htm

O CONCEITO DE MÉDIA - sbem.com.br · Anais do VIII ENEM – Comunicação Científica GT 3 –...

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