NÚMEROS NÚMEROS COMPLEXOSCOMPLEXOS

Quando estudamos um conjunto numérico, percebemos a necessidade de efetuarmos algumas operações.

No conjunto dos números reais (R), algumas operações não são permitidas.Exemplo: Radicais com índices pares de números negativos.

Para que esses resultados fossem possíveis, os matemáticos ampliaram , mais uma vez, o conceito numérico, criando um número, que indicaram por i e denominaram UNIDADE IMAGINÁRIA.

1iii1i 2

E aí surgiram os números complexos, que são do tipo:

.Rba, com ,bia

i214)1(44 :ter podemos Então

complexo. do IMAGINÁRIA PARTE a é b eREAL PARTEa é a que em complexo, número do

BRICA ALGÉFORMA de chamada éRb} {a, com bi, a expressão A

O conjunto dos números complexos é indicado por C, isto é:

reais b e a com ,biaC

Exemplos:

1. No número complexo 3 + 2i a parte real é 3 e a parte imaginária é 2.

3. No número complexo 7, que pode ser representado por 7 + 0i, a parte real é 7 e a parte imaginária é 0 (zero).

2. No número complexo 5i, que pode ser representado por 0 + 5i, a parte real é 0 (zero) e a parte imaginária é 5.

Observação:

1. Todo número complexo com parte real zero e parte imaginária diferente de zero é denominado NÚMERO IMAGINÁRIO PURO.

CR

2. Todo número complexo com parte imaginária diferente de zero é denominado NÚMERO IMAGINÁRIO.

3 . Todo número complexo com parte imaginária zero é denominado um NÚMERO REAL.

4 . Todo número real a é também número complexo, pois pode ser representado por a + 0i.

Assim temos que:

IGUALDADE ENTRE NÚMEROS IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS.COMPLEXOS.

d b e c a di c bi a:se-define R,d} c, b, {a, com

complexos números dois di c e bi a Sendo

POTÊNCIAS DE iPOTÊNCIAS DE i Existem quatro, e somente quatro, valores para potências de i com expoentes inteiros. São eles:

EXEMPLOS:

1. Identifique a parte real e a imaginária de z, em cada caso:a) Z = 9ib) Z = 4c) Z = 2 – 3id) Z = – 1 – ie) Z = – if) Z = 2i – 3g) Z = – 2i + 4

Respostas:a)P.R. = 0 e P.I. = 9b)P.R. = 4 e P.I. = 0c)P.R. = 2 e P.I. = – 3d)P.R. = – 1 e P.I. = – 1e)P.R. = 0 e P.I. = – 1f)P.R. = – 3 e P.I. = 2g)P.R. = 4 e P.I. = – 2

2. Determine os valores reais de x e y, para que os números complexos sejam imaginários puros.a) Z = 2x + 3yib) W = (1 – 2y) + 10i

3. Seja z = (3m + n + 1) + (2m – 3n – 2)i, calcule m e n, reais, para que z seja zero.

4. Resolva as equações, para x real.a) 2x + (x – 3)i = 12 + 3ib) (2x + 10) + (x2 - 25)i = 0c) (x3 + 8) + (x + 2)i = 0

5. Resolva, em C, as equações do 2º grau.a) x2 + 4 = 0b) x2 – 5x + 6 = 0c) x2 – 6x + 13 = 0

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOSOPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Soma-se ou subtrai-se, respectivamente,

as partes reais e imaginárias, separadamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2. MULTIPLICAÇÃO Multiplica-se de acordo com as regras da multiplicação de binômios, lembrando que

i2 = - 1. (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

CONJUGADO DE UM COMPLEXOCONJUGADO DE UM COMPLEXO

Sendo z = a + bi, define-se como complexo conjugado de z o complexo biaz

Então teremos: biazbiaz

Exemplos:

i7zi7zi21zi21z

i34zi34z

Podemos observar que dois números complexos conjugados têm, respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias simétricas ou opostas.

OPERAÇÃO DA DIVISÃO:

A divisão de dois complexos z1 = a + bi e z2= c + di pode ser obtida, escrevendo-se o quociente sob forma de fração pelo conjugado do denominador. Isto é:

22

21

2

1zzzz

zz

Exemplo:1. Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i, obter z1:z2.

2. Efetue:

522

1825

161035

2i1 )d i

ii )c

i)( )b i )a

3. Determine o inverso multiplicativo de z, sabendo que z = 1 – 3i.

ii1 b)

2i31 )a

4. Efetue as seguintes operações:

5. Escreva na forma z = a + bi o número complexo:4

i2i1z