historia de la matemática - conjunto de números

Facultad de Ciencias

e

Ingeniería

E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática

Electrónica y Telecomunicaciones

CEPRE UCH

CICLO PRE

MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - [email protected]

1 | P á g i n a

TEMA: Historia de la Matemática – Conjunto Numérico SEMANA: 01

TURNO: Noche AULA: FECHA:

MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LA HISTORIA

En esta oportunidad se hablará sobre las matemáticas a

través de la historia y los descubrimientos matemáticos

que se han dado a lo largo de ella, y de cuanta

importancia tienen las matemáticas en la vida de las

personas y acciones diarias.

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS? Las

matemáticas son una ciencia, estudian cantidades,

figuras y símbolos usando la lógica y el razonamiento

para llegar a resolver algún problema.

Las matemáticas surgieron de la necesidad del hombre

para realizar cálculos relacionados con el comercio.

Desde entonces las matemáticas han tenido un largo

desarrollo a través de la historia Los comienzos de las

matemáticas

Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido

a lo largo de la historia y se continúan produciendo en

la actualidad

Las primeras apariciones de las matemáticas avanzadas

son del tercer milenio antes de cristo en Babilonia y

Egipto.

El PAPIRO DE RHIND, es el principal texto

matemático egipcio, este escrito tiene los puntos más

importantes de las matemáticas egipcias. Unos de los

más importantes son los cálculos de adiciones y las

restas de fracciones, ecuaciones simples etc…

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de

los babilonios y egipcios

No solamente los egipcios, griegos y babilonios

aportaron grandes descubrimientos matemáticos En

otros lugares del mundo en diferentes tiempos, distintos

descubrimientos matemáticos eran aportados a la

humanidad …

276- 194 a.C. El matemático griego Eratóstenes ideo un

método para poder medir la circunferencia de la tierra.

300-600 Los hindúes conocen el sistema de numeración

babilónica y lo adaptan a decimal, que es nuestro

sistema actual.

1525 Christoff Rudolff utiliza el símbolo de la raíz

cuadrada

1617 John Napier Inventa un juego de tablas de

multiplicar, llamado “Los huesos de Napier” Después

publico la primera tabla de logaritmos

1798 Paolo Ruffini demuestra que es imposible resolver

ecuaciones de 5to grado

LAS MATEMATICAS EN EL SIGLO XX Las

matemáticas en el siglo XX se convirtieron en una de

las herramientas más cotidianas que hay. Puesto que

para la mayoría de las actividades se requería de las

matemáticas En el siglo XX se hicieron grandes

descubrimientos sobre los límites de las matemáticas…

A mediados del siglo XIX, las matemáticas tomaron

más importancia. Las matemáticas se convertían en una

materia indispensable en la educación. Las matemáticas

son tan antiguas como la propia humanidad.

En el siglo XX las matemáticas se convertían en una

profesión más importante Cada vez se daban mas

doctorados en matemáticas.

En siglos anteriores, hubo pocos matemáticos creativos.

La mayoría provenían de familias con dinero como

Napier: Otros eran apoyados por ricos, como Gauss: Y

había pocos como Fourier, que se ganaba la vida dando

clases en universidades:

En el siglo XX las matemáticas crecieron muy

rápidamente En 1990, David Hilbert estableció una lista

de 23 problemas sin resolver. En la actualidad 10 están

resueltos, 7 parcialmente resueltos, 2 están sin resolver

y 4 muy mal resueltos

TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES En 1976,

Wolfgang Haken, y Kenneth Appel usaron una

computadora para demostrar el Teorema de los cuatro


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colores que explica lo siguiente: “Dado cualquier mapa

geográfico con regiones continuas, éste puede ser

coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que

no queden regiones adyacentes con el mismo color.”

Dando a conocer que CUATRO colores son suficientes

para colorear un mapa

DESCUBRIMIENTOS MATEMATICOS DEL SIGLO

XXI En 2003 la demostración de la Conjetura de

Poincaré (que es el resultado sobre la esfera

tridimensional) fue resuelta por Grigori Perelman

Actualmente los descubrimientos matemáticos están

avanzando muy rápidamente y cada vez más personas

estudian para hacer algún invento o algo que tenga que

ver para el desarrollo de la humanidad en las

matemáticas.

En conclusión: A lo largo de la historia, las matemáticas

han avanzado muy rápidamente, y han ayudado la

humanidad a crecer en distintos aspectos.

Conjunto Numérico

Aquí se listan los principales conjuntos de números.

Números Naturales: la

necesidad de contar

desembocó directamente

en la creación y el uso de

los números naturales.

Son los números más

simples de los que

hacemos uso, se denotan

por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se

denominan también números enteros positivos.

Números Cardinales: Son aquellos números que

empiezan por el cero.

ℕ∗ = { 0,1,2,3,4, … . . }

Números Enteros: la insuficiencia de los números

naturales para contar deudas o temperaturas por debajo

de cero lleva directamente a los números enteros. Se

denotan por y están formados por los números

naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de

los números enteros incluye a los naturales, .

Números Racionales: la insuficiencia de los números

enteros para denominar partes de unidad lleva

directamente a los números racionales. Se denotan por

y son todos aquellos que se pueden expresar de la

forma 𝑝

𝑞 donde p y q son enteros y 𝑞 ≠ 0.

Estos pueden ser enteros de la forma 𝑛

1 donde n es un

entero, decimales finitos o decimales infinitos

periódicos. El conjunto de los números racionales

incluye a los enteros, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

Números Irracionales: Se denotan por 𝕀 y son el

conjunto de los números decimales infinitos no

periódicos, es decir todos aquellos que no pueden

expresarse de la forma 𝑝

𝑞. Acá caben los números

obtenidos por raíces imperfectas, algunos logaritmos,

el número e, el número π, entre otros.

Números Reales: es la unión entre el conjunto de los

números racionales y los irracionales. ℝ = ℚ 𝑈 𝕀

Obs. Cualquier número natural, cardinal, entero,

racional o irracional, es también REAL

Números Imaginarios: son aquellos que se obtiene a

partir de raíces de índice par y radicando negativo. Se

representan por i.

𝒊 = √−𝟏: Definición de unidad imaginaria.

Ej. √−𝟒 = 𝟐𝒊 Números Complejos: son aquellos que poseen una

parte real y otra

imaginaria, y se

pueden escribir de

la siguiente forma:

Forma de par

ordenado

a: corresponde a la

parte real

𝑏𝑖: corresponde a la parte imaginaria

Estos números se representan por C

Las propiedades de las operaciones con números

reales en la suma y la multiplicación son las siguientes:

Ejemplo de operaciones con números reales en la suma

y la multiplicación:

Cerradura la suma o multiplicación de dos números

reales, siempre da un número real.


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Sean 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅

𝑎 + 𝑏 𝜖 𝑅 5 + 7 = 12 𝜖 𝑅 (𝑎)(𝑏)𝜖 𝑅

(7)(8) = 56 𝜖 𝑅

Conmutativa El orden en que se agrupen los

sumandos o factores, no altera el resultado de la

operación.

Sí se tiene que: 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

(𝑎)(𝑏) = (𝑏)(𝑎)

Asociativa La suma o la multiplicación, no se alteran,

por la forma en que se agrupen los sumandos o

factores, respectivamente.

Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅 Entonces:

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐

5 + (7 + 9) = (5 + 7) + 9

𝑎 (𝑏𝑥𝑐) = (𝑎𝑥𝑏) 𝑐

3 (5 𝑥 8) = (3 𝑥 5)8

Neutro aditivo Se define con este nombre al número

cero, ya que cuando se suma con cualquier número

real, el resultado es el mismo número.

Sí 𝑎 𝜖 𝑅

entonces : existe un elemento 0 / 0 𝜖 𝑅 de tal forma

que:

𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎

8 + 0 = 0 + 8 = 8

Neutro multiplicativo Se define con este nombre, al

número uno, ya que todo número multiplicado por uno,

da el mismo número.

Sí 𝑎 𝜖 𝑅

entonces: existe un elemento 1/1 𝜖 𝑅

de tal forma que:

(1)(𝑎) = (𝑎)(1) = 𝑎

(1)(6) = (6)(1) = 6

Distributiva de la multiplicación con respecto a la

suma Cuando se multiplica una suma por el mismo

factor, el resultado que se obtiene es el mismo, que si

se multiplica cada sumando por el factor común y

después se suman.

Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅

Entonces:

𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

3(5 + 6) = 3𝑥5 + 3𝑥6

Jerarquía de las operaciones Cuando en una expresión

aparecen varias operaciones, ha de respetarse la

siguiente prioridad:

1. Las operaciones entre paréntesis. (signos de

colección)

2. Las potencias y raíces.

3. Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a

derecha.

4. Las sumas y restas, de izquierda a derecha.

La ley de los signos: es una ley que corresponde y

atiende a los números positivos y negativos de los

números enteros.

Esta ley se ocupa del sentido de los números y ocupa

los signos “+” y “-”, siendo el signo + nombrado

“más” y correspondiendo a los números positivos y el

signo – de nombre “menos” corresponde al negativo y

es de los negativos.

En relación a la suma y la resta de números enteros el

resultado será positivo en el caso del signo + y

negativo en el caso del signo -.

Pero en el caso de la multiplicación y la división, sólo

se presenta el positivo si ambos números son positivos

y negativo si alguno es positivo y su contrario

negativo, lo mismo sucede en las ecuaciones

algebraicas.

http://solucionesproblemas.com/m6-jerarquia-de-las-operaciones/c1-eso/c1-eso-matematicas/ci-eso-matematicas-los-numeros-naturales/c6jerarquia-de-las-operaciones/tjerarquia-de-las-operaciones


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Potencia de un número

Si RayNn , entonces na , es igual al

producto de n veces el número real a tomado c0mo

factor, es decir vecesn

n a...aaaaa

Ejemplos:

12555553

11111115

81

16

3

2

3

2

3

2

3

2

3

24

Propiedades

Producto de potencias de igual base el producto de

potencias de igual base, es otra potencia de la misma

base y de exponente igual a la suma de los exponentes

de los términos factores.

Simbólicamente: m n m na a a

Ejemplo: 2021082108 33333

Cociente de potencias de igual base El cociente de dos

potencias de igual base, es otra potencia de la misma

base y cuyo exponente es igual a la resta de los

exponentes del término dividendo menos el del divisor.

Simbólicamente:

mm n

n

aa

a

con a ≠ 0 y m>n

Ejemplo: 9312

3

12

555

5

Potencia de una potencia La potencia de una potencia

es otra potencia de la misma base y de exponente igual

al producto de los exponentes que haya en la expresión

Simbólicamente: nmmn aa

Ejemplo: 302532

53222

Potencia de un producto La potencia de un producto

es igual al producto de dichas potencias.

Simbólicamente: nnnbaba

Ejemplo: 3332525

Potencia de un cociente La potencia de un cociente es

igual al cociente de dichas potencias.

Simbólicamente: n

nn

b

a

b

a

b ≠ 0

Ejemplo: 2

22

4

5

4

5

Exponente cero toda cantidad con exponente cero es

igual a 1

Simbólicamente: 10 a a ≠ 0

La expresión 00 no está definida

Exponentes enteros negativos si n es cualquier entero

negativo y a un número real diferente de cero se cumple

que:

n

n

aa

1 o que

n

n

aa

1

En caso que la base sea un número racional se tiene que nn

a

b

b

a

Ejemplos:

8

1

2

12

3

3 33

5

3

3

5

Radicales

Un radical es una expresión de la forma na , en la que

n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n

ha de ser impar


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Raíz cuadrada de un número Si , ,a R b R se

cumple que 2, :a b si solo si b a , donde a es la

raíz cuadrada de b

Ejemplo: 255525 2 porque

Raíz cúbica de un número Si ,Rb,a entonces se

cumple que 33 , :a b si solo si b a , donde a es la

raíz cúbica de b


Raíz enésima de un número Si Nny,Rb,a

entonces se cumple que , : nn a b si solo si b a ,

donde a es la raíz enésima de b


Exponentes Racionales Una expresión radical puede

escribirse como una potencia de exponente racional, es

decir n

mn m aa

Ejemplo: 32

3 2 55

Propiedades

Raíz enésima de un número real elevado a la

potencia n para cualquier ,Zn se cumple que:

aaaa n

nn/nn n

1

Raíz enésima de un producto la raíz enésima de un

producto es igual al producto de las raíces enésimas de

los factores. Para cualquier ,Zn se cumple que

nnn baba

Raíz enésima de un cociente la raíz enésima de un

cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del

dividendo y del divisor. Para todo ,Z,b,a,n se

cumple que: n

nn

b

a

b

a

Raíz enésima de una raíz la raíz enésima de una raíz

es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los

índices. Para todo ,Z,b,n,m se cumple que:

nmnm bb

Propiedad fundamental de los radicales Se puede

multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente

del radicando por un mismo número y el valor de la raíz

no cambia, por tanto

Nkdonde,bbbbn nn/mkn/kmkn km

Se debe tener en cuenta que, si n es par, entonces el

radicando debe ser positivo para que exista una raíz real.

Exponente Afecta

al signo

Par o impar

Resultado

Base negativa

Si Par Positivo

Base negativa

No Impar Negativo

Base negativa

Si Impar Negativo

Base negativa

No Par Negativo

Base positiva

Si Par Positivo

Base positiva

No Impar Positivo

Base positiva

Si Impar Positivo

Base positiva

No Par Positivo


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Ejercicios

01. Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en

cada caso, el número entero:

Situación Número entero

Avancé 4 metros.

Avancé 12 metros.

El ascensor está en el 3° piso.

El ascensor está en el 0° piso.

Debo $11000

Debo $2000

El submarino está a 40 metros

de profundidad.

El submarino está a 24 metros

de profundidad.

La temperatura en la Antártica

es de 3 grados bajo cero.

La temperatura en la Antártica

es de 2 grados bajo cero.

El ascensor está en el primer

subterráneo.

Ahorré $10.000

Ahorré $24.000

Giré de mi libreta de ahorros

$8.000

Giré de mi libreta de ahorros

$5.000

Retrocedí 2 pasos.

02. Simplifica aplicando las propiedades de las

potencias:

a)

423

232

5 8 3

6 2 52 b)

23

22

))3((

)3.(27

c)

423

232

5 8 3

30 2 12 d)

72 5 3

35 2 15 423

232

e)

23

22

))5((

)5.(25 f)

423

232

2 5 3

15 2 4

03. Reduce y calcula, aplicando las propiedades de las

potencias:

a)

3

21

2·2

1·

2

1 b)

12

9

10·

3

5

c)

2

6

8

5

15

5

1 d)

25

62

77

1

e)

232

2

5:

5

2 g)

23

22

))5((

)2.(20

h)

4

32

30

1527 i)

23

22

))5((

)3.(15

04. Calcula, cuando sea posible, las siguientes raíces:

a) 1225 b) 3 125

c) 3

343

216 d) 4 81

e) 2025 f) 3 343

g) 3

1000

125

h) 6 625

05. Calcula y simplifica:

a) 3

22

2713

2:

6

5

3

4

5

2

b) 3

22

643

21

4

3:

4

5

2

1

06. Averigua el valor de k en cada caso:

4 5a) 7 b) 125 5 c) 32kk k


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07. Calcula y simplifica:

3

6

1 9 27a) 3 32 72 128 b)

3 3

08. Opera y simplifica:

375 25a) 48 3 75 81 108 b)

15

09. Calcula y simplifica el resultado:

3 9 3a) 27 3 192 2 12 b)

27

10. Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo

por 35 cm de ancho, y lo queremos dividir haciendo

cuadraditos del mayor tamaño posible. ¿Qué lado

tendrán dichos cuadraditos?

11. Un comerciante va a comprar mercancía a unos

almacenes cada 42 días y otro va cada 70 días. Si

coincidieron el día 15 de septiembre, ¿al cabo de

cuántas semanas volverán a coincidir?

12. En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18

m de ancho se quiere poner una valla alrededor, de

forma que los postes estén todos a igual distancia y con

la mayor separación posible entre ellos. ¿A qué

distancia deberemos colocar unos de otros?

13. Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada

54 segundos, y otro lo hace cada 72 segundos. Si parten

juntos de la línea de salida:

a) ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a coincidir?

b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese

momento?

14. Para la campaña de Navidad, queremos envasar dos

bebidas diferentes en botellas iguales. Pero, para

abaratar los costes, el número de botellas utilizadas debe

ser el mínimo posible. De la primera bebida tenemos

770 litros, y de la segunda, 234 litros. ¿Cuántas botellas

utilizaremos?

15. Escribe los siguientes números en notación

científica e indica su orden de magnitud.

a) 91 700 000 000 b) 6 300 000 000 000

c) 0,00000000134 d) 0,071

16. Expresa el resultado como potencia única:

43

2 2 -53 2 2

a) b) 4 7 7

Problemas

01. Un anciano deja al morir a cada uno de sus hijos S/.

6840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de

este se repartió entre los demás, entonces cada uno

recibió un total de 9120 soles. ¿Cuánto era la fortuna del

anciano?

02. Cuando un buque navega en el sentido de la

corriente de un rio tiene una velocidad de 80 km/h. y

cuando lo hace en contra de la corriente tiene una

velocidad de 20 km/h. si se sabe que en ambos casos el

motor funciona a plena potencia. ¿Cuál es la velocidad

de la corriente?

03. A un baile al cual asistieron 120 personas, se

observó lo siguiente: una mujer baila con 7 hombres,

una segunda mujer baila con 8 hombres, una tercera

mujer baila con 9 hombres y así sucesivamente, hasta

que la última baila con todos los hombres. ¿Cuántas

mujeres asistieron al baile?

04. Un bus parte de su paradero inicial, con cierta

cantidad de pasajeros y llega al paradero final con 61

pasajeros; sabiendo que cada pasaje cuesta S/. 3 y que

ha recaudado S/. 255, además que en cada paradero

subían 5 pero bajaban 2 pasajeros. ¿con cuántos

pasajeros partió el bus?

06. Entre 3 personas A, B y C tienen 9000 soles. C tiene

el doble de lo que tienen juntos A y B, los cuales a su

vez se diferencian en 1000 soles. Hallar lo que tiene A,

que es la que menos tiene.

07. El cociente y el resto en una división inexacta son 8

y 16 respectivamente, si la suma de los términos de la

división es 904. Hallar el dividendo.

08. Clarisa vende pescados en el mercado. Si los vende

a 18 soles cada uno, se compraría un vestido y le

sobrarían 6 pesos, pero si los vende a 20 soles cada uno,


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8 | P á g i n a

le sobrarían 90 pesos luego de comprar el vestido.

¿Cuánto cuesta el vestido?

09. Un grupo de amigos quiere comprarse un balón de

futbol. Si cada uno pone (m – n) euros faltaría (2x + 3y)

euros, pero si pone cada uno (m + n) euros sobraría (3x

– 2y) euros. ¿Cuántas personas forman dicho grupo de

amigos?

11. Cuatro jugadores A, B, C y D convienen en cada

partida, el perdedor doblara el dinero de los otros 3.

Ellos pierden cada uno una partida en el orden indicado

por sus nombres, después de lo cual cada uno de ellos

tiene 480 dólares. ¿Cuánto tenían cada uno al principio

del juego?

12. A un cierto número se le multiplica por 3, a este

resultado se le resta 7, a este nuevo resultado le sacamos

la raíz cubica, luego le sumamos 5 y lo elevamos al

cuadrado, a este nuevo resultado le sumamos 1 y

dividimos entre 2 y a este resultado finalmente le

sacamos la raíz cuadrada, obteniéndose como resultado

5. ¿hallar dicho número?

13. Cada día, de un reservorio de agua se consume la

mitad del contenido más 20 litros, si después de 3 días

consecutivos quedan 10 litros en el reservorio. ¿Cuántos

litros de agua se consumieron?

14. En una playa de estacionamiento hay 20 vehículos

entre autos y motos. ¿Cuántos autos hay si en total se

cuentan 73 neumáticos? Se sabe que cada tiene su llanta

de repuesto.

15. Un coleccionista tiene 10 insectos entre arañas y

escarabajos. ¿Cuántos coleópteros posee, si en total se

cuentan 72 patitas?

16. En un examen se da 20 puntos por respuesta correcta

y se quita 10 puntos por cada pregunta incorrecta. Un

alumno contesto 50 preguntas y obtuvo 640 puntos.

¿Cuántos contesto correctamente?

19. Si: 𝐶. 𝐴(𝑎𝑏̅̅ ̅) × 1𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅ = 9831

Hallar a + b

20. Calcular x + y + z sabiendo que:

𝐶. 𝐴 (𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅) + 𝑐𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑥3𝑦𝑧̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Fuentes de información

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Poi

ncar%C3%A9

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_c

olores http://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmes

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Las_matem

%C3%A1ticas_en_el_siglo_XX

http://www.sectormatematica.cl/historia.htm

http://www.ecured.cu/index.php/Matem%C3%A1tica_

en_la_antig%C3%BCedad

http://www.monografias.com/trabajos91/matematicas-

traves-tiempos/matematicas-traves-tiempos.shtml

http://definicion.de/matematicas/

http://www.ejemplode.com/5-matematicas/4116-

ejemplo_de_ley_de_los_signos.html

http://www.ejemplode.com/5-matematicas/328-

propiedades_de_las_operaciones_con_numeros_reales

_en_la_suma_y_multiplicacion.html

http://www.problemasresueltos.com/razonamiento-

matematico/razonamiento-matematico-escolar/cuatro-

operaciones.html

http://definicion.de/matematicas/

http://www.ejemplode.com/5-matematicas/328-propiedades_de_las_operaciones_con_numeros_reales_en_la_suma_y_multiplicacion.html



http://www.problemasresueltos.com/razonamiento-matematico/razonamiento-matematico-escolar/cuatro-operaciones.html



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