Notas de Economia Matemática

Notas Docentes de Economía Matemática - Parte1

Alexander Alegría

Manuel Willington

Pontificia Universidad Javeriana de Cali

ILADES - Universidad Alberto HurtadoE-mail address, Manuel Willington: [email protected]

Resumen. Estas notas docentes están basadas en la primera parte del curso deEconomía Matemática que dictamos en los años 2006 y 2007 en la carrera deIngeniería Comercial (mención Economía) de la Universidad Alberto Hurtadoy en los cursillos de Nivelación Matemática dictados lo mismos años paralos alumnos ingresantes al Master of Arts in Economics ILADES/GeorgetownUniversity. El objetivo central del curso de pregrado (y en menro medida pordisponibilidad de tiempo el cursillo de nivelación) es que los alumnos adquieranlas herramientas que necesitarán para desempeñarse satisfactoriamente en elprograma de postgrado conjunto con Georgetown University. Algunos tópicosbásicos se incluyen para que estas notas sean más �autocontenidas�, pero nocorresponden a material revisado en los citados cursos.Las notas toman prestados enfoques de diversos libros y, en particular en laUnidad 1, de notas de clase del �math camp� preparatorio para el PhD inEconomics de la University of Pennsylvania.

Índice general

Capítulo 1. Conceptos Básicos de Lógica Proposicional y Teoría de Conjuntos 11. Lógica Proposicional 12. Técnicas de demostración 53. Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos 94. Operaciones sobre conjuntos 115. Conjuntos numéricos 12

Capítulo 2. Conceptos de Topología Métrica 151. Espacios métricos 152. Convexidad de conjuntos 22

Capítulo 3. Optimización Estática 251. Introducción 252. Existencia 263. Unicidad 274. Optimización sin Restricciones 285. Optimización con Restricciones de Igualdad 356. Optimización con Restricciones de Igualdad y de Desigualdad 497. Modelos Económicos y el Teorema de la Función Implícita 55

Apéndice A. Formas Cuadráticas y Concavidad y convexidad de funciones 67

iii

CAPíTULO 1

Conceptos Básicos de Lógica Proposicional yTeoría de Conjuntos

En esta unidad revisaremos algunos conceptos básicos acerca de lógica matemá-tica, álgebra de conjuntos, operaciones con conjuntos y conjuntos numéricos, sinembargo, nos detendremos en lo relativo a los métodos de demostración más común-mente utilizados, ello debido a que el buen manejo de estos permite comprender masfácilmente las demostraciones realizadas en los libros avanzados en economía. Debequedar claro que esta guía no pretende agotar todos los métodos de demostraciónexistentes, sino mostrar aquellos que son de uso común, si el lector desea profundizaren estos temas puede dirigirse a: De la Fuente, Ángel. (2000), �MathematicalMethods and Models for Economists�, o a Simon, C & Blume, L. (1994), �Mathema-tics for Economists�Norton & Company.

1. Lógica Proposicional

1.1. Proposiciones Simples y Compuestas. La lógica clásica (bi-valente)se basa en el estudio de proposiciones que son enunciados con un valor de verdad,esto signi�ca que son suceptibles de ser clasi�cadas como verdaderas o falsas sinambigüedad. Nosotros podemos identi�car básicamente dos tipos de proposiciones,proposiciones simples que son los enunciados más sencillos con valor de verdad.�7 es un número primo�, �nieva�, son proposiciones simples; y proposicionescompuestas las cuales están formadas por proposiciones simples y conectoreslógicos, tales como: �si y sólo si�, �o�, �y�, �no� y �entonces�. �si x es unnumero real, entonces x2 > 0�es una proposición compuesta.

Definición 1. Un conector es un simbolo lógico que representa un operador elcual permite combinar proposiciones simples.

Los conectores �si y solo si�, �o�, �y�, �no�y �entonces�, tienen asociadoslos siguientes operadores equivalencia (() ), disjunción (_), conjunción (^),negación (:) e implicancia ( =) ) respectivamente. A continuación veremosalgunas características de cada uno.

Toda proposición se puede simbolizar por una fórmula proposicional queesta formada por letras que representan las proposiciones simples llamadas letrasproposicionales.

Negación. Sea p una letra proposicional de una proposición dada. Entonces :p(se lee no p) representa el opuesto lógico de p. Cunado p es falso, :p es verdaderoy viceversa, lo anterior puede ser resumido en una �tabla de verdad�

p :pV FF V

1

2 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL Y TEORíA DE CONJUNTOS

donde usamos la letra F para denotar falso y la letra V para verdadero.1

Conjunción si p y q son proposiciones, entonces la proposición p ^ q (se lee py q) es verdadera solo cuando p y q son verdaderas, y falsa de otro modo.

p q p ^ qV V VV F FF V FF F F

Disjunción. Si p y q son proposiciones, entonces la propocision p _ q (se lee po q) es verdadera cuando al menos una de las dos propocisiones es verdadera y esfalsa cuando ambas son falsas.

p q p _ qV V VV F VF V VF F F

Implicancia. Una proposición de la forma si p entonces q; la cual se escribep =) q se denomina implicancia o proposición condicional. A la proposición p sele denomina antecedente y a q consecuente. La convención adoptada para el valorde verdad de la implicancia es que solo es falsa si el antecedente es verdadero y elcosecuente falso. Representemos la implicancia �si p entonces q� en una tabla deverdad.

p q p =) qV V VV F FF V VF F V

Equivalencia la proposición �p si y sólo si q� es la abreviación de ( p =)q) ^ (q =) p): una proposición de esta forma es llamada equivalencia. La tabla deverdad para la equivalencia es:

p q p =) q q =) p p, qV V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Dado que el �si y solo si� es la abreviación de formulas proposicionales queincluyen implicaciones y conjunción, podemos utilizar la terminología siguiente �qsi p�y �q solo si p�, �p es condición su�ciente para q�y �p es condición necesariapara q�.

Se dice que dos formulas proposicionales f1 y f2 son lógicamente equivalentessi tienen la misma tabla de verdad, en ese caso nosotros diremos que f1 � f2:

Ejemplo 1. p es lógicamente equivalente a� : (:p)�p :p : (:p)V F VF V F

1Esta notación se conserva a lo largo de la unidad.

1. LÓGICA PROPOSICIONAL 3

Ejemplo 2. [: (p ^ q)] es logicamente equivalente a [(:p _ :q)]p q :p :q : (p ^ q) [(:p _ :q)]V V F F F FV F F V V VF V V F V VF F V V V V

Cuando dos proposiciones compuestas p y q son lógicamente equivalente, suequivalencia es una nueva proposición cuyo valor de verdad es verdadero en todoslos casos. Tal proposición se denomina tautología y su de�nición es:

Definición 2. Una proposición compuesta es una tautología si su valor deverdad es siempre verdadero independientemente del valor de verdad de las proposi-ciones simples con las cuales fue construida y será una contradicción si siempre esfalsa. Por lo tanto una contradicción y una tautología son una la negacion de laotra.

Remark 1. El lector deberá comprobar que:p _ (:p) es una tautologia, mientras que p ^ (:p) es una contradicción.: (p) q) es equivalente a p ^ (:q)p ^ (p) q)) q es una tautologíap) q es lógicamente equivalente a [(:q)) (:p)]: (p _ q) es lógicamente equivalente a [(:p) ^ (:q)] (Ley de De Morgan).Resulta sumamente importante que el lector tenga presente cada una de estas

equivalencias, sobre todo que recuerde que p) q no es equivalente a q ) p, detallescomo este le serán útiles a la hora de pretender realizar una demostración.

Ejercicio 1. Construya una tabla de verdad para cada proposición

1. [p) (q ^ :q)], :p2. (q ) :p), (p ^ q)3. (p ^ q), (q ^ p)4. (p _ q), (q _ p)5. [p ^ (q ^ r)], [(p ^ q) ^ r]6. [p _ (q _ r)], [(p _ q) _ r]7. [p ^ (q _ r)], [(p ^ q) _ (p ^ r)]8. [p _ (q ^ r)], [(p _ q) ^ (p _ r)]

Ejercicio 2. Escriba la negación de las siguientes proposiciones

1. Si K es cerrado y acotado, entonces K es compacto2. Si K es compacto, entonces es cerrado y acotado3. Si una función es continua, entonces es diferenciable4. Toda función continua es diferenciable.

1.2. Cuanti�cadores. En la sección precedente vimos que una oración mate-mática que involucra una variable, por ejemplo �x > 3�, necesita hacer parte de uncontexto para ser considerada como una proposición. Los cuanti�cadores ayudan acrear proposiciones limitando el rol de las variables en una oración matemática.

Definición 3. Una variable es un símbolo que puede asumir varias especi�ca-ciones. Una proposición funcional es una oración que se convierte en proposicióncuando nosotros reemplazamos una variable por una de estas especi�caciones.


p (x) denota una proposición funcional, p es la oración y x la variable. Asi quep (x) : x > 3 es una proposición funcional.

Sea S un conjunto dado1, de�namos sobre este dos cuanti�cadores.Cuanti�cador Universal (para todo), denotado por 8, tiene la siguiente

interpretación:[8x 2 S; p (x)], signi�ca que p (x) es verdad dado que es verdad para cada x en

S. Por ejemplo, si S = f4; 5g, entonces [8x 2 S; p (x) : x > 3] � [(4 > 3) ^ (5 > 3)]Cuanti�cador Existencial (existe), denotado por 9:[9x 2 S; p (x)], que se lee �existe un x que pertenece a S tal que cumple la

propiedad p (x)�signi�ca que p(x) es verdad dado que existe almenos un x en S parael cual p (x) es verdad. Por ejemplo, si S = f1; 2; 4g ;entonces[9x 2 S; p (x) : x > 3] �[(1 > 3) _ (2 > 3) _ (4 > 3)].

Ejercicio 3. Sea S un conjunto �nito (por ejemplo f1; 2g). Use la Ley de DeMorgan para mostrar que �: [9x 2 S : p (x)], [8x 2 S : :p (x)] y : [8x 2 S : :p (x)],[9x 2 S : :p (x)] son tautologías.

Es común usar 9!x para denotar el caso cuando existe un único valor para lavariable x que hace p (x) cierta. A si mismo utilizaremos @ para decir que no existe.

Por ejemplo @x > 0 tal que (x+ 1) = 0 es lógicamente equivalente a 8x >0; x+ 1 6= 0

Ejercicio 4. Escriba la negacion de las siguientes proposiciones

1. 8x 2 A; f (x) > 52. 9y > 0 tal que 0 � g(y0) � 33. 8" > 0 9N tal que 8n; si n > N; entonces 8x 2 S; jfn (x)� f (x)j < "(Convergencia uniforme)

Como se observa en el ultimo ejercicio, es posible combinar tanto el cuanti�cadoruniversal como el existencial en una misma proposición, por lo tanto es importanteaclarar algo acerca del orden en el que los cuanti�cadores son usados.Mientras [8x; 8y; p (x; y)] � [8y;8x; p (x; y)] � [8x; y; p (x; y)] ; la proposición[9y tal que 8x p (x; y)] y [8x; 9y tal que p (x; y)] no son lógicamente equivalentes.En este caso el orden en que aparecen los cuanti�cadores afecta el signi�cadoy el valor de verdad de la proposición, ello se debe a que en la primera de lasproposiciones la escogencia de y es independiente de x. mientras en la segunda, laescogencia de y depende de x.

Veamos un ejemplo, considere que p (x; y) es x + 2 = y. La proposicion[9y tal que 8x p (x; y)] establece que existe un y tal que para todo x, x + 2 = y;el cual es claramente una proposición falsa. La proposición [8x;9y tal que p (x; y)]establece que para todo x existe un y tal que x+ 2 = y lo cual se puede catalogarcomo una proposicion verdadera.

Ejercicio 5. Encuentre un p (x; y) tal que [9y tal que 8x p (x; y)] y[8x; 9y tal que p (x; y)] tengan el mismo valor de verdad .

Ejercicio 6. dadas las siguientes proposiciones usted debe hacer dos cosas. a)Reescribirlas utilizando los símbolos de la lógica estudiados hasta el momento y b)escribir la negación de la parte a) usando los mismos símbolos.

1S es una colección de objetos que llamamos elementos de S. Cuando x es un elemento delconjunto S nosotros escribimos x 2 S y se lee"x es un elemento de S:

2. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN 5

: 1. x es impar si y sólo si x2 es impar2. Una función f es impar si para cada x, �f (x) = f (�x)3. Una función f es creciente si y sólo si para cada x y para cada y; six � y; entonces f (x) � f (y)

4. Una función f : A �! B es inyectiva si para cada x y cada y en A,si f (x) = f (y), entonces x = y:

5. Una función f : A �! B es sobreyectiva (o suryectiva) si para caday en B hay un x en A tal que f (x) = y:

6. Una función f : D �! R es continua en c 2 D si para cada " > 0existe un � > 0 tal que jf (x)� f (c)j < " siempre jx� cj < � yx 2 D:

Ejercicio 7. Veri�que las siguientes tautologias.

1. (p() q)() [(p =) q)] ^ [(q =) p)]2. (p ^ :p)() c3. (p =) q)() (:q =) :p)4. [p ^ (p =) q)] =) q5. [:q ^ (p =) q)] =) :p6. [:p ^ (p _ q)] =) q7. (p ^ q) =) p8. [(p =) q) ^ (q =) r)] =) (p =) r)9. [(p =) q) ^ (r =) s) ^ (p _ r)] =) (q _ s)10. [(p _ q) =) r]() [(p =) r) ^ (q =) r)]

2. Técnicas de demostración

Como se advierte al comienzo, esta sección no pretende agotar todas las técnicasde demostración, simplemente se trata de acercar al estudiante a aquellas que sonmás utilizadas, con el objetivo que el interés despertado por estás le premita abordartextos en los cuales quiza sean estudiadas tecnicas mucho mas re�nadas.

Una prueba es un método para establecer la veracidad de una proposición.Generalmente tenemos que probar proposiciones de la forma, si H1;H2; :::;Hn;entonces C. Las proposiciones como H1; :::;Hn se denominan Hipótesis de laprueba, mientras que la proposición C es denominada conclusión, o tesis. Unaprueba formal de tal proposición consiste en una secuencia de proposiciones validas�nalizando con la conclusión C.

Como sabemos, la mayoría de los teoremas son proposiciones de la forma �sip entonces q�o de la forma �p si y solo si q�, pero muchas veces el enunciado delteorema no está explicitamente escrito en esa forma, lo cual di�culta la identi�caciónde la hipótersis y la tesis. Por lo que el primer paso en la demostración de unteorema consiste en identi�car en forma precisa su hipótesis y su tesis.

Ejercicio 8. Identi�que la hipótesis y la tesis en los siguientes teoremas:

1. La suma de dos números impares es un número par.2. Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre si.3. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes4. x es impar si y sólo si x2 es impar

Otro aspecto importante a la hora de demostrar un teorema es identi�car enforma precisa las de�niciones, axiomas y otros teoremas demostrados anteriormente,los cuales nos van a ayudar en el proceso demostrativo.


Como un ejemplo, si usted tiene que probar que dado un conjunto S, [8x 2 S; p (x)] ;entonces necesitamos probar que [x 2 S =) p (x)] :De otro lado, si necesitamosprobar que [9x 2 S : p (x)] ; solo necesitamos encontrar un x en S tal que p (x)sea verdad.

Existen varias formas de probar una proposición, todas ellas útiles en diferentessituaciones, por lo que el exito en el proceso demostrativo depende del ingenio y ladestreza de quien realiza la demostración.

A continuación, sugerimos algunos métodos que nos pueden ayudar a demostraruna proposición.

2.0.1. Prueba Directa. Para mostrar que p =) q es verdad, primero asumimosque p es verdad y concluimos que q es verdad.

Ejemplo 3. Si x > 1; entonces x2 > x: Aquí p : x > 1 y q : x2 > x: La pruebadirecta es como sigue:

1. Hipótesis p : x > 12. Del axioma �si a > b y c > 0; entonces ac > bc� tenemos x > 1 =) xx >1x;

3. Pero por de�nición xx = x2 y 1x = x;4. Sustituyendo en la expresión 2 y utilizando la de�nición 3 xx > 1x =)x2 > x

5. Hemos llegado a la conclusión buscada x > 1 =) x2 > x:

2.0.2. Prueba por Contrarrecíproco. . Asociada a la implicación p =) q existeuna equivalencia lógica :q =) :p; llamada contrarreciproco. De esta forma unaimplicación se puede probar haciendo uso del contrarreciproco. En palabras, loque hacemos es suponer que :q es verdad y concluimos que :p es verdad. Elloclaramente equivale a probar que p =) q es verdad.

Ejemplo 4. Considere la proposición, para m 2 N; �si �m es un numero imparentonces m es un número impar�. El contrarrecóproco de la proposición es �si mno es un número impar entonce �m no es un número impar� o equivalentemente�si m es un número par, entonces �m es un número par�.

Demostración. Si :q es �m es un número par�. Entonces, por de�niciónm = 2k donde k 2 N. Pero multiplicando la última ecuación por un entero �tenemos que �m = � (2k) = 2 (�k) = 2ek el cual es también par �

Una forma alternativa de demostrar esta proposición es por el método decontradicción, el cual ilustraremos mas adelante.

2.0.3. Prueba por Descomposición. Supongamos que nosotros queremos de-mostrar que p =) q; y sabemos que p puede ser descompuesta en dos proposicionesdisjuntas p1;p2 tal que p1 ^ p2 es una contradicción. Entonces p � (p1 _ p2) ^: (p1 ^ p2) � (p1 _ p2) (recuerde que : (p1 ^ p2) es una tautología, dado que p1^p2es una contradicción).

Dada esta elección de p1 y p2 tenemos:(p =) q)() (:p _ q)() [: (p1 _ p2) _ q]

() [(:p1 ^ :p2) _ q]() [(:p _ q) ^ (:p2 _ q)]() [(p1 =) q) ^ (p2 =) q)]

Lo anterior evidencia que sólo necesitamos mostrar que (p1 =) q) y que(p2 =) q) : observe que este metodo funciona si descomponemos p en un número

2. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN 7

de proposiciones mayor que dos con la condición que estas proposiciones seanmutuamente excluyentes (lo cual signi�ca que cada par de ellas es una contradicción).

Ejercicio 9. Muestre que si x2 � x =) x � 1, utilizando el método dedescomposición (ayuda, por de�nición x2 � 0; entonces p se puede descomponer enp1 = 0 y p2 > 0) .

Ejercicio 10. Sea x 2 R; Muestre que sí jxj � 1 =) x2 � x

2.0.4. Prueba por Contradicción. Suponga que deseamos probar que p =) q.Este método consiste en asumir que [p ^ (:q)] es verdad (recuerde que : (p =) q)equivale a [p ^ (:q)] con lo cual, al asumir que [p ^ (:q)] es verdad, estamos asumien-do que p =) q es falso) y buscar una contradicción c. Para mostrar que p =) q y(p ^ :q) =) c son lógicamente equivalentes, comparamos sus tablas de verdad.

p q p =) q :q (p ^ :q) c (p ^ :q) =) cv v v f f f vv f f v v f ff v v f f f vf f v v f f v

Ejemplo 5. Utilicemos el método de contradicción para demostrar que si �mes impar entonces m es impar.

Demostración. Suponga que �m es impar, y m es par, entonces m se puede

escribir como 2ek, por lo que �m = ��2ek� = 2��ek� = 2l para l = �ek lo cual nos

lleva a una contradicción, pues 2l con l 2 Z es par, contradiciendo así el supuestoinicial, �m impar. �

Otro método ampliamente usado es el de inducción, el cual permite realizarpruebas cuando tenemos proposiciones de la forma p (n) ;8n 2 fm;m+ 1;m+ 2; :::g ;la prueba consta de dos pasos:

1. Probamos que para el primer elemento del conjunto de interés-en este casom-p (m) es verdad.

2. Mostramos que p (k) =) p (k + 1) ;para k � m: En otras palabras, asumaque p (k) es verdad y pruebe que p (k + 1) es también verdad.

2.0.5. Refutación por contraejemplo. Este es un metodo a través del cuallogramos probar que ciertos enunciados de la forma:

para todo x:::o ningún x:::

son falsos, descubriendo un valor de x para el cual el enunciado no se cumple.Dicho valor de x se denomina contraejemplo.

2.0.6. Inducción matemática. Este razonamiento constituye un instrumentomuy útil cuando se trabaja con los enteros positivos; veamos un ejemplo ilustrativo.

Supongamos que tenemos una colección de autos viajando por una autopista,además supongamos que viajan uno muy cerca del otro, si en un momento dadocomenzamos a contarlos tendremos auto número 1, número 2, número 3,......Si elauto 1 se detiene repentinamente, es claro que el auto 2 también se detendrá (asísea chocando con el primero), y así sucesiamente si el auto k se detiene, tambien lohará el siguiente k+1 y podemos incluso pensar que todos los autos se detendrán.

Antes de formular la propiedad general, enunciaremos un axioma.


Axioma de buena ordenación (B.O) Si S � Z+; S 6= ;;entonces existe un m 2 Stal que m � x;para todo x 2 S: Este entero m se llama el elemento mínimo de S:

Teorema 1. El número 1 es el mínimo de Z+

Demostración. Sabemos que 1 2 Z+:SeaS = fx 2 Z+ j 0 < x < 1g ; si S = ;:1 es el mínimo. Si S 6= ;; segun (B.O) existe un mínimo m para S:Entonces

0 < m < 1 y así mismo 0 < m2 < m < 1 esto implica que m2 2 S y que m2 < mlo cual es una contradicción que demuestra el teorema. �

Corolario 1. Si n pertenece a Z, no existe un entero k tal que n < k < n+1:

Ahora si veamos cual es el esquema de razonamiento detras de la inducciónmatematica.

Principio de inducción.

Teorema 2. Si el subconjunto S de Z+ satisface:

1. 1 2 S;2. Siempre que un entero positivo k pertenece a S, se cumple que k+1 2 S:

Entonces S = Z+

Demostración. Supongamos que S 6= Z+ y lleguemos a una contradicción.Bajo esta suposición P = Z+�S es no vacio y, de acuerdo con (B.O), a de tener unmínimo m. Pero 1 6= m porque 1 2 S, entonces m < 1, de donde 0 < m� 1 < m.Según la escogencia de m, m � 1 =2 P , por tanto m � 1 2 S y por hipótesis(m� 1) + 1 = m 2 S, lo cual es una contradicción porque m 2 Z+ � S = P: �

Existe una versión del principio de inducción que es de gran utilidad cuando seestudian propiedades de Z+

Teorema 3. Si P (n) es una proposición que se enuncia para enteros psitivosn, y se cumple:

1. P (1) es verdadera.2. Siempre que P (k) es verdadera (k 2 Z+) se tiene la veracidad de P (k + 1) :

Entonces P (n) es verdadera para todo n 2 Z+

Demostración. Sea S = fn 2 Z+ j P (n) es verdaderag ;la hipótesis 1 y 2simplemente corresponden a las hipótesis del teorema inmedatamente anterior alque estamos probando y la conclusión S = Z+ sign�ca la veracidad de P (n) paratodo n 2 Z+ �

Inclusive se puede demostrar el teorema inediatmente anterior a partir de este,basta con aplicar este último a la proposción

P (n) : �El entero positivo n pertenece a S.�

Ejercicios Adicionales.

Ejercicio 11. En cada uno de los siguientes ejercicios se pide:

Identi�car la hipótesis y la tesis.Indicar los fundamentos en los que usted se basa para realizar la demostra-ción.

3. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORíA DE CONJUNTOS 9

Realizar la demostración por el método directo para los ejercicios del 1 al6 y por contradicción del 7 al 11.

1. Demostrar que: �si a es par y b es impar entonces a+ b es impar.�2. Demostrar que: �el producto de dos números pares es un número par.�3. Demostrar que: �si x 2 R y x+ 6 = 12 entonces x = 6.�4. Demostrar que: �si a; b; c 2 R tales que a+ c = b+ c entonces a = b:�5. Demostrar que: �el cuadrado de un número impar es un número impar.�6. Demostrar que: �si a; b 2 R entonces a (�b) = � (ab) :�7. Demostrar que: �si x2 es impar entonces x es impar.�8. Demostrar que: �si a y b son números enteros y a:b es par entonces a espar o b es par.�

9. Demostrar que: �si a y b son números reales tales que a:b = 0, entoncesa = 0 o b = 0:�

10. Demostrar que: �p2 es un número irracional.�

11. Demostrar que:�si x2 es un multiplo de 5 entonces x es un multiplo de 5.�

Ejercicio 12. En los siguientes ejercicios, encontrar un contraejemplo querefute cada una de las proposiciones siguientes:

1. Si a y b son números enteros(a+ b)3 6= a3 + b3

2. No existe ningún número entero n para el cual (n� 1)5 = n5 � 13. Todo número par es múltiplo de 44. El cuadrado de cualquier número real siempre es positivo5. La multiplicación de dos números irracionales siempre es un número irracio-nal

6. Para todo número natural n se cumple que n2 6= 3n� 2.Ejercicio 13. Demostrar que:

1. Para todo n 2 Z+; es valda la formula 1 + 3 + 5 + :::+ (2n� 1) = n2

2. 2 + 4 + 6 + :::+ 2n = n (n+ 1) ; para todo n 2 Z+

3. 1 + 3 + 9 + 12 + :::+ 3n = (3n+1�1)2 ;para todo n 2 Z+

4.Pn

k=1 (2k � 1) 3k = (n� 1) 3n+1 + 3 para todo n 2 Z+5. Si a; b 2 Z+; demostrar que existe m 2 Z+ tal que ma > b6. n < 2n;para todo n 2 Z+

7. 13 + 23 + :::+ n3 =hn (n+1)2

i2;para todo n 2 Z+

3. Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos

Aunque comúnmente hablamos acerca de conjuntos, elementos, union, intersec-ción y partes de un conjunto, así como otros conceptos que tienen relacion con losconjuntos, es importante hacer un estudio de estos y sus propiedades ya que unade las nociones básicas de la matemática es la de conjunto, entendido como unacolección bien de�nida de objetos llamados miembros o elementos del conjunto.

Usualmente se denotan los conjuntos por letras mayúsculas tales como A,B,C...,y los elementos de un conjunto por letras minúsculas tales como a,b,c,...,.Los conjun-tos se describen regularmente encerrando sus elementos entre llavesfg y separándolospor comas.

La proposición �b es un elemnto de B�, se denota por: b 2 B y se lee �bpertenece a B�. Si, por el contrario , un objeto x no es un elemento de un conjuntoB, se escribe x =2 B y se lee �x no pertenence a B�.


Existen dos maneras de nombrar un conjunto:Por extensión. haciendo un listado completo de sus elementos.

Ejemplo 6. El conjunto de los números dígitos es D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g

Por comprensión.Dando una propiedad comun a todos los elementos quepermita distinguir cuáles pertenecen y cuales no pertenecen al conjunto.En este caso si p es la propiedad común se escribe:

A = fx j x tiene la propiedad pg oA = fx j p (x)gque se lee:�A es el conjunto de todos los elementos x tales que x tiene la

propiedad p�. De esta forma es posible de�nir el conjunto vacio como ; = fx j x 6= xg:el conjunto de los elementos distintos de si mismos, claramente el conjunto vaciono continen ningún elelmento, ; = fg :

Ejemplo 7. D = fx j x 2 N ^ x < 10g donde N denota el conjunto de losnúmeros naturales.

Ejemplo 8. S = fx j x es un día de la semanag :Este conjunto tiene comoelelmentos: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo.

3.0.7. Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos R y S son iguales si tienen losmismos elementos. En este caso se denota R = S. Se escribe R 6= S si los conjuntosno tiene los mismos elementos.

Ejemplo 9. Sean R = f1; 3; 5; 7; 9g y S = f3; 7; 9; 5; 1g : R = SSean A = fa; b; cg y B = fa; a; b; c; c; cg : A = B

Observe que: un conjunto no cambia al reordenar sus elementos, ni al repetirlos,por consiguiente se escribirán una sola vez.

3.0.8. Subconjunto. Un conjunto R es un subconjunto de un conjunto S (o Restá contenido en S) si todo elemento de R es a su vez elemento de S. �R es unsubconjunto se S� se denota R � S: 8x (x 2 R =) x 2 S)

Si R � S y R 6= S , entonces se dice que R es un subconjunto propio de S (oR está contenido estrictamente en S) y se denota R � S. Si R no está contenidoen S se escribe R * S:

3.0.9. Conjuntos no comparables. Si no existe relación de igualdad ni contenen-cia entre R y S se dice que R y S son no comparables, ello equivale a que R noestá contenido en S ni S está contenido en R:

3.0.10. El conjunto Universal. De la de�nición de contenencia y la tabla deverdad de la implicación se concluye que: para todo conjunto R; ; � R; puesto quela proposición (x 2 ; =) x 2 R) es siempre verdadera.

En la práctica es conveniente utilizar un conjunto llamado referencial o universal,denotado por Uo , del que todo conjunto que se nombre es subconjunto. Esteconjunto puede variar según las aplicaciones.

3.0.11. Conjunto potencia. Con la noción de contenencia a partir de un con-junto A es posible construir otro conjunto que está formado por todos los subconjun-tos de él, el conjunto de partes de A o conjunto potencia de A,

} (A) = fX j X � AgLos elementos de este conjunto son a su vez conjuntos.1. Si A = f1; 3; 5g ; } (A) = f;; f1g ; f3g ; f5g ; f1; 3g ; f1; 5g ; f3; 5g ; f1; 3; 5gg

4. OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS 11

2. Si A = f3; ;; f2gg ; los elementos de A son 3; ;; y f2g ;2 no es elemento deA, ya que no es lo mismo una bolsa con un lápiz que el lápiz, las llavesen este caso hacen las veces de bolsa, los subconjuntos propios de A son;, por ser subconjunto de todo conjunto, y las combinaciones de todos deelementos de A encerrados en llaves:f3g ; f;g ; ff2gg ; f3; ;g ; f3; f2gg ; f;; f2gg :

3. Los elementos del conjunto�x j 2x2 + 3x = 0

son: 0 y � 3

2 :

4. Operaciones sobre conjuntos

Unión e intersecciónSean A y B dos conjuntos de . De�nimos la unión de los conjuntos A y B;

denotada por A [B, como el conjunto de todos los elementos que están en A o enB.

A [B = fx 2 j [(x 2 A) _ (x 2 B)]gLa intersección del conjunto A con el B se denota por A\B, y representa el

conjunto de elementos que está en ambos A y B:

A \B = fx 2 j [(x 2 A) ^ (x 2 B)]gAmbas de�niciones pueden ser extendidas a una colección �nita o in�nita de

conjuntos.

Definición 4. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento encomún, en este caso el que A y B sean disjuntos signi�ca que A \B = ;:

Otra de las operaciones basicas sobre conjuntos es el complemento, que sedenota Ac:

Ac = fx 2 j : (x 2 A)gSon los elementos que no están en A; pero si en el conjunto referencial.Existen otras operaciones que son la diferencia y la diferencia simétrica entre

los conjuntos A y B. A�B = A \Bc y A4B = (A [B)� (A \B) :

Ejercicio 14. Pruebe las siguientes propiedades.

1. A \AC = ;2. A [B = B [A3. A \ (B \ C) = (A \B) \ C = A \B \ C4. A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)5. (A [B)C = AC \BC

Derivado de la ley asociativa establecida en los ejercicios anteriores, vemos queno hay ambiguedad en escribir A[B[C: Extendiendo este concepto, sea n cualquierentero positivo y A1; A2;:::; An subconjuntos de : El conjunto A1 [ A2 [ ::: [ Anes de�nido como el conjunto de todos los x 2 los cuales pertenecen por lo menosa uno de los subconjuntos Ai; y se escribe.

[ni=1Ai = A1 [A2 [ ::: [An = fx 2 j x 2 Ai para algun i = 1; :::; ngUsando un argumento similar de�nimos la interseccion de n subconjuntos de

como

\ni=1Ai = A1 \A2 \ ::: \An = fx 2 j x 2 Ai para todo i = 1; :::; ng

Teorema 4. Sean A1; A2;:::; An subconjuntos de :Entonces.


[[ni=1Ai]C= \ni=1ACi

[\ni=1Ai]C= [ni=1ACi

5. Conjuntos numéricos

Los NaturalesAsumimos la existencia de un conjunto N que consta de los enteros positivos,

también llamados números naturales.

N = f1; 2; 3; :::gEste es un conjunto in�nito en el sentido en que se puede poner en corresponden-

cia con uno de sus subconjuntos propios (por ejemplo. los números impares), esto sepuede ver como que tiene tantos elementos como uno de sus subconjuntos propios.Un conjunto se dice contable o numerable si se puede poner en correspondenciacon el conjunto de los números naturales, este es el conjunto básico en la teoríade ecuaciones en diferencias cuya base es la noción de sucesión. Cabe recordar queestas ecuaciones sirven para modelar procesos dinámicos discretos o procesos quetienen cambios en instantes igualmente espaciados del tiempo.

Los Enteros se denotan por la letra Z y conjuntistamente sede�nen como.Z = fx j x o (�x) es naturalg = f::::;�2;�1; 0; 1; 2:::g

Los RacionalesSon todos los números que se pueden escribir como una fracción, teniendo en

cuenta que tanto el umerador como el denominador pertenecen a los Z:

Q =�p

qj p y q son enteros y q 6= 0

�:

A partir de la de�nición decimos que un número es racional si posee un periododecimal que se repite. Al dividir p entre q, el residuo solamente puede ser 0; 1; 2:::; q�1 (de otro modo la división estará mal efectuada), puesto que la expansión decimalresulta de repetir in�nitas veces la división, entonces algunos valores entre 0 y q�1se deben repetir, por lo tanto el cociente se repite dando como resultado un periodo.Así, 3; 141614161416.....es racional puesto que 1416 se repite inde�nidamente.

Los números RealesSon todos los que tienen una expansión decimal in�nita. Como los racionales

expresados en forma decimal tienen un periodo que se repite, entonces deben estarcontenidos en los reales y estos contienen además otros números que no tienenperiodo,

R = Q [ IDonde I es el conjunto de los números irracionales, todos los no expresables

como fracciones, es decir aquellos números cuya expansión decimal no posee unperiodo que se repite. Por ejemplo � = 3; 141592652:::: es irracional, así comoe = 2; 718281828::::

Los números reales usualmente se gra�can sobre una recta y sus subconjuntosmas comunes son los intervalos:

[a; b] = fx 2 R j a � x � bg cerrados.(5.1)

(a; b) = fx 2 R j a < x < bg abiertos.

[a; b) = fx 2 R j a � x < bg cerrado a izquierda y abierto a derecha.

(a; b] = fx 2 R j a < x � bg abierto a izquierda y cerrado a derecha.

5. CONJUNTOS NUMÉRICOS 13

Otros subconjuntos de los reales son:

R+ = fx 2 R j x � 0gR++ = fx 2 R j x > 0g

Definición 5. Si x 2 R, entonces el valor absoluto de x; denotado por jxj ; esx si x � 0, y es �x si x < 0. Simbólicamente se escribe.

jxj =�x si x � 0�x si x < 0

El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia (sin teneren cuenta el sentido, a la derecha o a la izquierda) desde el origen. En particular,los puntos 6 y �6 están cada uno a seis unidades del origen.

De la de�nición de valor absoluto tenemos.

ja� bj =�

a� b si a� b � 0� (a� b) si a� b < 0

o equivalentemente,

ja� bj =�a� b si a � bb� a si a < b

En la recta numérica real, ja� bj unidades puede interpretarse como la distanciaentre a y b sin tener en cuenta el sentido.

La desigualdad jxj < a, donde a > 0, establece que en la recta numérica real,la distancia del origen al punto x es menor que a unidades; esto es �a < x < a:La desigualdad jxj > a; donde a > 0; indica que en la recta real la distancia delorigen al punto x es mayor que a unidades; es decir, x > a o x < �a: Lo anteriorse escribe formalmente como:

1. jxj < a() �a < x < a Donde a > 0:2. jxj > a() x > a o x < �a Donde a > 0:

Teorema 5. Sean a; b 2 R entonces:1. jabj = jaj jbj2.��ab

�� = jajjbj si b 6= 0:

Demostración. 1. jabj =q(ab)

2=pa2b2 =

pa2:pb2 = jaj jbj : La demostración

de 2. es análoga. �Teorema 6. La desigualdad del triángulo: Dados a; b 2 R; entonces, ja+ bj �

jaj+ jbj

Demostración. Por la de�nición de valor absoluto, a = jaj o a = � jaj;así� jaj � a � jaj : Además � jbj � b � jbj :Con estas desigualdades continuas y lapropiedad de los reales que dice que si a < b y c < d; entonces a+ c < b+d; resulta

� (jaj+ jbj) � a+ b � jaj+ jbjEn consecuencia de la proposición 1 (jxj < a() �a < x < a) con � en lugar de<; se tiene: ja+ bj � jaj+ jbj : �

Teorema 7. Sean a; b 2 R, entonces.

1. ja� bj � jaj+ jbj2. jaj � jbj � ja� bj


Demostración. 1. ja� bj = ja+ (�b)j � jaj+ j(�b)j = jaj+ jbj. Enesta prueba utilizamos el teorema 6

jaj = j(a� b) + bj � ja� bj+ jbjDe este modo, al restar jbj de los dos miembros de la desigualdad, se

tiene jaj � jbj � ja� bj : �

CAPíTULO 2

Conceptos de Topología Métrica

Este capítulo se abordarán algunos conceptos básicos de topología (únicamentetopología métrica).

1. Espacios métricos

Definición 6. Un conjunto X, cuyos elementos llamaremos puntos, se diceque es un espacio métrico si a dos puntos cualquiera p y q de X está asociado unnúmero real d (p; q) ; llamado distancia de p a q, tal que:

1. d (p; q) > 0 si p 6= q; d (p; p) = 02. d (p; q) = d (q; p)3. d (p; q) � d (p; r) + d (r; q) ; para cuaquier r 2 X

Cualquier función con estas tres propiedades es llamada función distancia, ométrica

Ejemplo 10. La distancia en R d (x; y) = jx� yj, es un métrica.

Ejemplo 11. Distancia euclidiana en R2 d (x; y) =q(x1 � y1)2 + (x2 � y2)2.

Dada la de�nición anterior podemos decir que un espacio métrico es un par(X; d), donde X es un conjunto, y d una métrica de�nida sobre este.

Ejemplo 12. Sea X un conjunto y sea la función

d : X �X 7�! R

(x; y) 7�! d(x; y) =

�0 si x = y1 si x 6= y:

Se puede veri�car que d es una métrica en X, ésta es llamada la métrica lamétricadiscreta en X. Luego (X; d) es un espacio métrico.

Definición 7. Sea (X; d) un espacio métrico. Sean a 2 X y r 2 R con r > 0.1. La bola abierta con centro en a y radio r es el conjunto

Br(a) = fx 2 X : d(x; a) < rg:2. La bola cerrada con centro en a y radio r es el conjunto

B0r(a) = fx 2 X : d(x; a) � rg:3. La esfera con centro en a y radio r es el conjunto

Sr(a) = fx 2 X : d(x; a) = rg:Para estos conjuntos se tiene Sr(a) \Br(a) = ; y Sr(a) [Br(a) = B0r(a)

15

16 2. CONCEPTOS DE TOPOLOGíA MÉTRICA

Ejemplo 13. En (R2; d1) donde (d1 = jx1 � y1j+ jx2 � y2j), tenemos

Figura 1. a): B0r(0); b): Br(0); c: Sr(0)

Definición 8. Conjuntos abiertos y cerrados. Sea (X; d) un espacio métri-co. Un conjunto A en X es abierto si para cada x 2 A existe una bola abiertacentrada en x que está completamente contenida en A, es decir,

8x 2 A;9" > 0 tal que B" (x) � A

Ejemplo 14. Ya que las implicaciones: x 2 ; =) B1(x) � ;; y x 2 X =)B1(x) � X; son verdaderas, entonces ; y X son abiertos.

Ejemplo 15. Cada bola abierta es un conjunto abierto.

Un conjunto C en X es cerrado si su complemento Cc es abierto.

Ejemplo 16. Como Xc = ; y ;c = X y puesto que ;; X son abiertos, entonces;; X son cerrados.

Remark 2. Un conjunto que no es abierto satisface la negación de la de�nición,es decir, existe algún punto en el conjunto para el cual todas las bolas centradas enél contienen puntos del complemento del conjunto, en otros términos,

9x 2 A;8" > 0; B" (x) \Ac 6= ;Notese que no necesariamente un conjunto que no es abierto es cerrado, y unconjunto no cerrado no necesariamente es abierto.

Ejemplo 17. Los intervalos [a; b) y (a; b] no son ni conjuntos abiertos niconjuntos cerrados.

Algunas propiedades de conjuntos abiertos son:

Sea (X; d) un espacio métrico.

La unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.La intersección de una colección �nita de conjuntos abiertos es abierta.; y X son abiertos en X:

1. ESPACIOS MÉTRICOS 17

Algunas propiedades de conjuntos cerrados son:

Sea (X; d) un espacio métrico.

La intersección de una colección arbitraria de conjuntos cerrados es cerada.La unión de una familia �nita de conjuntos cerrados es cerrada.; y X son cerrados en X:

Ejercicio 15. Demostrar cada una de estas propiedades.

1.0.12. Interior, frontera y cerradura de un conjunto. Sea (X; d) un espaciométrico, y A � X: Entonces:

Un punto xi 2 X es un punto interior de A si existe una bola abiertacon centro en xi; B" (xi) contenida en A. El conjunto de todos los puntosinteriores de A se llama interior de A (int A).

xi 2 intA () 9" > 0 tal que B" (xi) � A

Un punto xe 2 X es un punto exterior de A si existe alguna bola abiertaalrededor de xe contenida en el complemento de A. El conjunto de todoslos puntos exteriores de A es llamado exterior de A (ext A).

xe 2 ext A () 9" > 0 tal que B" (xe) � Ac

Un punto xb es un punto frontera de A si cualquier bola abierta a sualrededor intersecta tanto al conjunto A como a Ac: El conjunto de puntosfrontera de A es llamado frontera de A y se escribe frA.

xb 2 frA () 8" > 0; B" (xb) \A 6= ; y B" (xb) \Ac 6= ;Un punto xc 2 X es un punto clausura de A si cualquier "�bola alrededorde este contiene por lo menos un punto de A. El conjunto de puntosclausura de A es llamado clausura (cerradura), y se escribeA.

xc 2 A () 8" > 0; B" (xc) \A 6= ;

Algunas relaciones importantes

int A � A � AintA[ extA[ frA = A =intA[frAextA =intAc

frA = A \Ac; frA = A�intA:

1. intA es el conjunto abierto mas grande contenido en A2. A es abierto si y solo si A =intA.3. A es el conjunto cerrado mas pequeño que contiene a A4. A es cerrado si y solo si A = A


Demostración. 1. Mostremos inicialmente que el interior de A es abierto.Por de�nición de interior, para cada punto xi 2 intA existe una bola B" (xi)contenida en A: Para mostrar que intA es abierto, tenemos que veri�car que B" (xi)está contenida en int A: Debido a que una bola abierta es un conjunto abierto,alrededor de cualquier y en B" (xi) podemos construir otra bola abierta que estécompletamente contenida en B" (xi) y por lo tanto en A. De lo cual se sigue quecualquier punto y 2 B" (xi) es un punto interior y B" (xi) esta realmente contenidaen A: Ahora mostraremos que intA es el subconjunto abierto mas grande de A. SeaB cualquier subconjunto abierto de A, entonces todos sus puntos son por de�niciónpuntos interiores de A. Asi que cualquier conjunto B con estas caracteríasticascumple: B �intA, por de�nición de contenencia. �

Ejercicio 16. El lector debe demostrar los puntos 2,3,4.

Ejemplo 18. Sea X = R y A = [0; 2]

IntA = (0; 2)

extA = (�1; 0) [ (2;1)frA = f0; 2gA = [0; 2]

Ejemplo 19. Sea X = R y A = (0; 2)

IntA = (0; 2)

extA = (�1; 0] [ [2;1)frA = f0; 2gA = [0; 2]

Remark 3. El interior de un conjunto no vacío puede ser vacío. Por ejemploen (R; d); para A = Q se tiene intA = ;, pues para cada bola abierta Br(a) se tieneBr(a) * Q debido a que en Br(a) hay números del conjunto I = R�Q

Definición 9. Punto de acumulación (punto límite). x es punto de acumulaciónde un conjunto A si y sólo si para todo r > 0,

(Br (x)� fxg) \A 6= ;Lo anterior nos dice que x es punto de acumulación de A si toda vecindad de

x contiene puntos de A distintos de x. Al conjunto de puntos de acumulación de Ase le denota por Ac (A) : Si x es elemento de A pero no es punto de acumulación deA se dice que es un punto aislado de A.

Definición 10. Un subconjunto A de R es acotado si y sólo si existe un M > 0tal que

A � [�M;M ]

y es A es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.


Definición 11. El conjunto A de Rn es acotado si y sólo si existe M tal queA � BM (0)

Para introducir la noción de compacidad en Rn es necesaria la siguiente de�nición.

Definición 12. Cubierta y cubierta abierta. Una colección de conjuntos eU =fUi; i 2 Ig en un espacio métrico (X; d) es una cubierta de un conjunto A si Aestá contenido en su unión, es decir, si A � [i2IUi. Si todos los conjuntos Ui sonabiertos, se dice que la colección eU es una cubierta abierta de A:

Definición 13. Conjunto compacto. Un conjunto A en un espacio métrico escompacto si cada cubierta abierta de A tiene una subcubierta �nita. Es decir, A escompacto si dada cualquier cubierta abierta eU = fUi; i 2 Ig podemos encontrar unsubconjunto �nito de eU; fU1; :::;Ung, que aún cubra A:

Note que la de�nición no dice que un conjunto es compacto si tiene una cubiertaabierta �nita. De hecho, cada conjunto en un espacio métrico (X; d) tiene unacubierta abierta �nita, el conjunto universalX es abierto y cubre cualquier conjuntoen el espacio.

Ejemplo 20. (0; 1) no es compacto. La colección de intervalos abiertos�1n ; 1�

para n � 2 es una cubierta abierta de (0; 1) porque dado cualquier x 2 (0; 1) ; existeun entero n tal que n > 1

x ; y por lo tanto x 2�1n ; 1�: Así que, (0; 1) = [1n=2

�1n ; 1�:

Sin embargo, una subcolección �nitan�

1n1

�; :::;

�1nk; 1�o

no sería su�ciente para

cubrir (0; 1) ; pues la unión de este conjunto es�1N ; 1

�donde N = m�ax1�i�k ni; y

dado cualquier N hay algún número real estrictamente positivo x; tal que x < 1N :

1.0.13. Convergencia de sucesiones en espacios métricos. Una sucesión en Xes una función s : N �! X cuyo dominio es el conjunto de los números naturales ycuyo rango es un subconjunto de X:

Definición 14. Convergencia en espacios métricos. Sea (X; d) un espaciométrico y fxng una sucesión en X. Decimos que fxng converge a x 2 X, o que lasucesión tiene límite x si.

8" > 0;9N (") tq n > N (") =) d (xn; x) < " [o alternativamente, xn 2 B" (x)]Si fxng tiene limite x escribimos fxng �! x o l��mn�!1 xn = x: Una sucesión

que no converge se dice que diverge.

Ejercicio 17. Usando la de�nición formal de límite muestre que:

1. l��mn�!11n = 0 2.l��mn�!1

1pn= 0 3. l��mn�!1

n2+23n2+4 =

13

Teorema 8. Unicidad del límite. Si una sucesión fxng en un espacio métrico(X; d) tiene límite este es único.

Ejercicio 18. Probar este teorema.

Algunos resultados importantes relativos a sucesiones en R y Rn:

Teorema 9. Bolzano-Weierstrass. Cada sucesión real acotada contiene por lomenos una subsucesión convergente.


Teorema 10. Sean fxng y fyng sucesiones reales convergentes, con fxng �!x y fyng �! y: Si xn � yn para todo n; entonces x � y.

Demostración. Tomemos un " > 0. Debido a que fxng �! x y fyng �!y, existe un entero positivo Nx ("=2) y Ny ("=2) tal que jxn � xj < "=2 paratodo n > Nx ("=2 ) y jyn � yj < "=2 para todo n > Ny ("=2 ),así que tomandoN = Max fNx ("=2) ; Ny ("=2)g ambas desigualdades se tienen (jxn � xj < "=2 yjyn � yj < "=2). Así que para n > N: se cumple xn > x� "

2 y yn < y+ "2 , y es

posible escribir x� y =(x� xn) + (xn � yn) + (yn + y) < ", esto es cierto debidoa que xn � yn. Finalmente, como x� y < " para cualquier " positivo, será ciertoque x� y � 0 �

Observe que el teorema no es cierto para desigualdad estricta, ya que existensucesiones que tienen el mismo límite y sin embargo xn � yn para todo n:

Teorema 11. Sea fxng y fyng sucesiones reales convergentes, con fxng �! xy fyng �! y: Entonces.

1. fxn+yng �! x+ y2. fxnyng �! xy3. fxn=yng �! x=y siempre que yn 6= 0 y y 6= 0 para todo n:

Ejercicio 19. Probar cada uno de los tres puntos del teorema.

Definición 15. Una sucesión de números reales fxng tiende a in�nito (fxng �!1), si para cualquier número K existe algún entero N (K) tal que xn > K paratodo n > N (K) :

Teorema 12. Sea fxng una sucesión de números reales positivos. Entoncesfxng �! 1 si y sólo si

n1xn

o�! 0:

1.0.14. Límite de funciones.

Definición 16. Límite de una función. Sean (X; d) y (Y; �) dos espaciosmétricos, donde A � X , f : A �! Y; y x0 un punto límite de A. Se dice quef tiene como límite y0 cuando x se acerca a x0 si

8" > 0;9�e > 0 tal que 0 < d (x; x0) < �e =) � [f (x) ; y0] < "

Entonces escribimos f (x) �! y0 cuando x �! x0; o l��mx�!x0

f (x) = y0

Teorema 13. Sean (X; d) y (Y; �) dos espacios métricos, f una función X �!Y; y x0 un punto límite de X. Entonces f tiene límite y0 cuando x se acerca a x0si y sólo si para cada sucesión fxng que converge a x0 en (X; d) ; con x0 6= xn; lasucesión ff (xn)g converge a y0 en (Y; �) :

Teorema 14. Unicidad del límite. Sean (X; d) y (Y; �) dos espacios métricos,con A � X; f una función A �! Y; y x0 un punto límite de A: Entonces el límite

de f cuando x �! x0, si existe, es único. Es decir, si f (x) �! y; y f (x) �! y;;

cuando x �! x0; entonces y; = y;;:


Resultados que se pueden derivar utilizando los teoremas enunciados arriba yalgunas propiedades de las sucesiones covergentes son los siguientes:

Asuma que l��mx�!x0 f (x) = a y l��mx�!x0 g (x) = b; además f : X �! Y yg : X �! Y:

1. l��mx�!x0 f (x) + g (x) = a+ b2. l��mx�!x0 �f (x) = �a3. l��mx�!x0 f (x) � g (x) = a � b4. l��mx�!x0

f(x)g(x) =

ab siempre que b 6= 0

Definición 17. Sea f :R �! R: Entonces l��m f (x) = y0 cuando x �! 1 sipara cada " > 0 existe un B > 0 tal que jf (x)� y0j < " para todo x > B:

Definición 18. Sea (X; d) un espacio métrico, con una función f : X �! R;y x0 un punto límite de X: Entonces l��mx�!x0 f (x) =1 si 8B > 0;9� > 0 tal quef (x) > B , 8x 2 B� (x0)� fx0g :

1.0.15. Continuidad en espacios métricos.

Definición 19. Función continua. Sean (X; d) y (Y; �) espacios métricos yf : X �! Y: Decimos que f es continua en el punto x0 2 X si

8" > 0;9� (x0; ") > 0 tal que d (x; x0) < d (x0; ") =) � [f (x) ; f (x0)] < ":

La función f es continua sobre un subconjunto A de X si es continua en todoslos puntos de A:

Teorema 15. Sean (X; d) y (Y; �) espacios métricos y f una función f : X�! Y: Entonces f es continua en un punto x0 2 X si y sólo si se cumple cualquierade las siguientes proposiciones:

1. f (x0) está de�nido y l��mx�!x0 f (x) = f (x0) :2. Para cada sucesión fxng convergente a x0 en (X; d), la sucesión ff (xn)gconverge a f (x0) en (Y; �) :

Ejemplo 21. La función:

(1.1) f (x; y) =

�0 si (x; y) = (0; 0)xy

x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0)

Considere la sucesión�1n ;

1n

�esta converge a (0; 0), pero

�f�1n ;

1n

�converge a

12 6= 0 y f (0; 0) = 0

Teorema 16. Sean (X; d) y (Y; �) espacios métricos y f : X �! Y . Entoncesf es una función continua si y sólo si para cada conjunto C cerrado en (Y; �) elconjunto f�1 (C) es cerrado en (X; d) :

Demostración. Se deja al lector como ejercicio. �

Teorema 17. Sean (X; d) y (Y; �) espacios métricos y f : X �! Y . Entoncesf es una función continua si y sólo si para cada conjunto A abierto en (Y; �) elconjunto f�1 (A) es abierto en (X; d) :


Propiedades de funciones R �! R continuas.

Teorema 18. Sea f : R �! R de�nida y continua sobre el intervalo cerrado yacotado [a; b] : Entonces f es acotada sobre [a; b], es decir, existe algún número realM tal que jf (x)j � M para todo x en el intervalo.

Definición 20. Un conjunto S en un espacio métrico (X; d) es acotado siexiste x 2 X y un número real M tal que d (x; s) �M 8s 2 S

Definición 21. Sean (X; d) y (Y; �) espacios métricos, una función f : X�! Y es acotada si f (x) es acotada.

Teorema del valor extremo. Sea f una función continua (en los reales) encada punto del intervalo cerrado y acotado [a; b] : Entonces existen los puntos xMy xm en [a; b] tales que para todo x 2 [a; b], f (xm) � f(x) � f (xM ) :

Teorema del valor intermedio. Sea f una función continua (en los reales),en cada punto del intervalo cerrado y acotado [a; b] :Entonces, para cada número entre f (a) y f (b) ;existe un punto c 2 (a; b) tal que f (c) = :

Nota: invitamos al lector a revisar en un libro de cálculo el teorema de Bolzanoy el teorema de conservación del signo para funciones continuas. Con seguridad ellole permitirá comprender mejor las implicaciones del teorema del valor intermedio.

Teorema 19. Sea f una función real continua, sobre el intervalo cerrado yacotado [a; b]. Entonces f ([a; b]) es un intervalo cerrado.

Demostración. Por el teorema del valor extremo, existen los puntos xM yxm en [a; b] tal que f (xM ) � f (x) y f (xm) � f (x) para todo x 2 [a; b] : HagamosM = f (xM ) y m = f (xm) : Entonces tanto M como m petenecen a f ([a; b]) ; yeste conjunto está contenido en [m;M ] : Sea y un punto en [m;M ] ; por el teoremadel valor intermedio, existe un cy en (a; b) tal que f(cy) = y. Por lo tanto tal y estácontenido en f ([a; b]) ; lo cual completa la demostración. �

Definición 22. Todo subconjunto de Rn cerrado y acotado es compacto.

Teorema 20. Sean (X; d) y (Y; �) espacios métricos y f : X �! Y una funcióncontinua. Si C es compacto en (X; d) ; entonces f (C) es compacto en (Y; �) :

2. Convexidad de conjuntos

Un conjunto convexo es aquel en el cual al unir un par de puntos cualquieraa través de una recta, esta queda totalmente contenida en él. Realicemos unade�nición en términos vectoriales.

Definición 23. un conjunto A � Rn es convexo si para cada par de elementosx;y 2 A y � 2 [0; 1] ;

�x+ (1� �)y 2 A:

Sea y+� (x� y) = �x+(1� �)y el segmento de recta que une x y y comenzan-do en y y �nalizando en x, con � 2 [0; 1] y x; y dos vectores en Rn ; a la expresión�x+(1� �)y se denomina combinación convexa de x y y:Nota: Una idea intuitiva de la anterior de�nición es:

2. CONVEXIDAD DE CONJUNTOS 23

Un conjunto es convexo cuando al conectar cualquier par de puntos delconjunto por una recta, esta queda totalmente contenida en el conjunto,o

Un conjunto no es convexo si existen un par de puntos x y y tales que alunirlos por una recta, esta no queda totalmente contenida en el conjunto.

Ejercicio 20. En cada caso mostrar si se trata de un conjunto convexo o no.1. (0; 2)2. f2g3. A =

�(x; y) j x2 + x � y

4. B =

�(x; y) j x2 + x = y

5. C =

�(x; y) j x2 + 3y2 � xy

6. Sean A y B conjuntos convexos, ¿su intersección será convexa?7. Pruebe que un subconjunto de R es convexo si y solo si es un intervalo.

CAPíTULO 3

Optimización Estática

1. Introducción

En esta unidad se desarrollarán conceptos que permiten hallar los óptimosde una función, teniendo en cuenta que si el proceso de optimización se efectúasobre todo el dominio estaremos hablando de optimización no restringida, perosi en cambio se hace sobre un subconjunto del dominio, denominado conjuntofactible se hablará de optimización restringida. En esta última distinguiremos entreoptimización con restricciones de igualdad exclusivamente �en cuyo caso haremosuso del Teorema de Lagrange�y con restricciones de desigualdad e igualdad �encuyo caso haremos uso del Teorema de Kuhn Tucker.

El análisis de los diversos tipos problemas de optimización puede separarse encuatro dimensiones: una primera tiene que ver con la existencia de soluciones alproblema y los supuestos que garantizan dicha existencia, una segunda se re�erea la caracterización de la solución (e.g., condiciones de primer y segundo), latercera a la unicidad o multiplicidad de las soluciones y, �nalmente, al análisis desensibilidad o de estática comparativa (e.g., cómo cambia la solución ante cambiosen los parámetros del problema).

El resto de la unidad se organiza de la siguiente manera: primero se analizael problema de existencia de solución a los problemas de optimización de manerageneral, sin necesidad de distinguir si existen o no restricciones. Luego se estudianpara cada uno de los problemas los teoremas que permiten caracterizar las solucionesy su unicidad. Finalmente, y de manera integral para los diversos problemas, serealizan los análisis de sensibilidad a partir de las diversas versiones del teorema dela envolvente y de la función implícita.

Antes de continuar la lectura de la Unidad es importante que el alumno reveaalgunos tópicos como: cota superior, cota inferior, ín�mo, supremo, conjuntos acota-dos, conjuntos cerrados, funciones continuas y funciones diferenciables. Dichos temasestán explicados de manera clara en: Apostol, Tom M.(1988), y De la Fuente, Ángel.(2000)).

Asimismo, el alumno debe estar familiarizado con los conceptos de conceptosasociados a independencial lineal entre vectores, matriz jacobiana, hessiana y hessia-na orlada (estos temas los encontrará explicados en: Chiang, Alpha C. (1987),Capítulo 12). En la unidad se utilizarán como ejemplos problemas de la microecono-mía clásica tanto de la teoría del consumidor como de la �rma. Se recomienda porlo tanto al alumno revisar los conceptos relacionados como fución de costos, deutilidad indirecta, demandas de factores, demanda marshalliana, etc. Un excelentetratamiento de estos temas se encuentra en los libros de Hal Varian MicroeconomíaIntermedia y, del mismo autor, Análisis Microeconómico.

25

26 3. OPTIMIZACIÓN ESTÁTICA

2. Existencia

Antes de presentar el teorema de Weierstrass que garantiza bajo determinadossupuestos la existencia de un máximo y un mínimo, es necesario precisar las de�nicio-nes de máximo y mínimo que utilizaremos. Estas se presentan de manera generalpara una función cuyo dominio es un subconjunto de <N

�D � <N

�y se ilustran

con una función donde N = 1:

Definición 24 (Máximo y Mínimo Absoluto o Global). Sea f : D ! <: Sic 2 D, entonces f(c) es el valor mínimo de f(x) en D si f(c) � f(x) 8x 2 D.Similarmente, si b 2 D;entonces f(b) es el valor máximo de f(x) en D si f(b) �f(x) 8x 2 D:

Definición 25 (Máximo y Mínimo Local). Sea f : D ! <: Si c 2 D,entonces f(c) es un valor mínimo local de f(x) si los valores que asume la función�alrededor� del punto c son mayores o iguales que en c: Formalmente, si f (c) esun mínimo local entonces 9� > 0 : f (c) � f (x) 8x 2 B� (c) \ D. Similarmente,si b 2 D; entonces f(b) es un valor máximo local si 9� > 0 : f (b) � f (x)8x 2 B� (b) \D.

Lógicamente, todo máximo global es un máximo local, pero un máximo localpuede no ser un máximo global.

En ocasiones se utilizan las nociones de máximos o mínimos estrictos (localeso globales). Estas surgen simplemente de sustituir las desigualdades débiles porestrictas en las de�niciones anteriores.

Ejemplo 22. La función f (x) = 2x�x (x� 3)+x2 (x� 5)+10 de�nida en elintervalo [0; 6] presenta dos máximos locales (uno de ellos absoluto) y un mínimoabsoluto (y, naturalmente, local)

1 2 3 4 5 6

10

0

10

20

30

40

x

y

Teorema 21. (Weierstrass). Sea f una función real continua en un subconjuntoA compacto (A � Rn); entonces existen a y b en A tales que f(a) � f (x) � f (b)para todo x 2 A.

3. UNICIDAD 27

La demostración del teorema excede el alcance del curso. Sin embargo, elsiguiente ejercicio permite ilustar la necesidad de los supuestos de continuidad dela función y de que el conjunto de dominio de la función sea compacto.

Ejercicio 21. Demuestre que las siguientes funciones no tienen máximo global(utlice la de�nición formal de máximo)1) f : [0; 1]! <

f =

�1x si x 2 (0; 1]1 si x = 0:

2) f : [0; 1)! <f (x) = 2x:

3) f : < ! <f (x) = 2x:

de�nida en el intevalo [0; 1) alcanza un valor máximo o mínimo.

Es importante destacar que las condiciones del teorema son su�cientes, perono necesarias. Más aun, en muchas aplicaciones de economía en que se hace usode técnicas de diferenciación puede resultar conveniente plantear los problemasde optimización en conjuntos abiertos. Lo segundo que debe destacarse es queel teorema de Weierstrass no permite conocer cuál es la solución del problemaplanteado; para ello se utilizan las técnicas familiares de Lagrange y Kuhn-Tucker.

Ejercicio 22. Considere el problema típico de maximización de la utilidad deun consumidor. Demuestre que el conjunto de canastas de consumo factible es unconjunto compacto.

Ejercicio 23. Considere los problemas típicos de la �rma: maximización debene�cios y minimización de costos. Discuta por qué el primero de ellos resulta�inapropiado�cuando no existen rendimientos decrecientes a escala.

3. Unicidad

Para garantizar la unicidad de la solución suelen imponerse condiciones adici-onales de concavidad o convexidad de la función objetivo. El siguiente teoremase plantea en los términos más generales posibles, es decir con los supuestos másdébiles que garantizan la unicidad (cuasiconcavidad/cuasiconvexidad de la funciónobjetivo). Lógicamente, los resultados del teorema son válidos para supuestos másrestrictivos (y familiares) como concavidad o pseudo concavidad de la funciónobjetivo.

Teorema 22. Sea f una función real continua en un subconjunto A compacto(A � Rn) y sea X� el conjunto de soluciones al problema de maximización m�ax

x2Cf (x) :

Entonces:a) Si f es estrictamente cuasicóncava, entonces la solución es única; es decirX� = fx�g :b) Si f es cuasicóncava, entonces el conjunto de soluciones X� es un conjuntoconvexo. Es decir, si x0 y x00 son soluciones, entonces �x0 + (1� �)x00 es tambiénsolución para todo � 2 [0; 1] :

Naturalmente un resultado similar puede plantearse para la minimización deun función utilizando supuestos de cuasiconvexidad.


Remark 4. Se le sugiere al lector repasar las relaciones entre los conceptos decuasiconcavidad, concavidad, etc. en el Anexo de esta unidad.

4. Optimización sin Restricciones

4.1. Caracterización.4.1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Es importante tener presen-

tes las siguiente de�niciones:

Definición 26. Sea f : D � < ! <: Un punto crítico de f es aquél en que laderivada es cero o no existe.

Definición 27. Si a es un punto crítico de f , pero f no tiene un máximo niun mínimo en a , se dice que f tiene un punto de silla en a:

Una de�nición alternativa es la que sigue.

Definición 28. Sea f una función diferenciable en un subconjunto abiertoD � Rn con valores en R. se dice que f tiene un punto de silla en a0 si para todabola abierta Br(a) se veri�ca que existen a1;a2 2 Br(a) tales que

f (a1) < f (a0)

f (a2) > f (a0) :

Dos ejemplos �clásico�de puntos de silla son x = 0 en la función f (x) = x3 y,en dos dimensiones, (x; y) = (0; 0) en la función f (x; y) = x2� y2. Si partiendo delpunto (0; 0) se mueve en la dirección de x el valor de la función aumenta, en tantoque si se mueve en la dirección de y el valor de la función cae. Ver �gura 4.1.1.

4

20

2

10

4

x

z 200

y0

10

242

20

4

f (x; y) = x2 � y2

A continuación se presentan una serie de resultados que se conocen comocondiciones necesarias de primer orden para la existencia de extremos. La estructurade los teoremas propuestos es del tipo �si en el punto x la función presenta unmáximo, entonces x satisface cierta(s) propiedad(es)� (este es el mismo tipo de

4. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 29

resultados que se presentará después con los teoremas de Lagrange y Kuhn Tuckercuando la optimización esté sujeta a restricciones).

Estas propiedades constituyen por lo tanto condiciones necesarias para el óptimo.Si planteamos el contrapositivo de estos resultados tenemos... �si x no satisfaceninguna de las propiedades, entonces la función no presenta un máximo en esepunto�.

Teorema 23. Sea f : D � < ! <: Si f es derivable en c y f (c) es un valormáximo o mínimo local de f , entonces f 0 (c) = 0:

Demostración. Supoga que f (c) es un máximo local de f . La hipótesis deque f 0 (c) existe, signi�ca que los límites por derecha e izquierda

l��mh!0+

f (c+ h)� f (c)h

y l��mh!0�

f (c+ h)� f (c)h

existen y son iguales a f 0 (c) :

Si h > 0, entonces f(c+h)�f(c)h � 0 ya que f (c) � f (c+ h) para todos los valores

positivos pequeños de h. En consecuencia, por la versión lateral de la ley del encajepara límites, esta desigualdad se preserva si h ! 0:Vemos entonces que f 0 (c) =l��mh!0+

f(c+h)�f(c)h � l��m

h!0�0 = 0: Análogamente en el caso de h < 0 tenemos que

f(c+h)�f(c)h � 0; Por lo tanto,

f 0 (c) = l��mh!0

f (c+ h)� f (c)h

� l��mh!0

0 = 0

ahora como f 0 (c) � 0 y f 0 (c) � 0, concluimos que f 0 (c) = 0. �

Corolario 2. Máximos y mínimos globales: Sea f : [a; b]! <: Si f (c) es elvalor máximo global (mínimo global) de la función entonces c es un punto críticode f (es decir f 0 (c) = 0 o f 0 (c) no existe) o uno de sus extremos a o b:

Demostración. Este resultado se sigue de manera casi directa del teoremainmediatamente anterior.Si el máximo global no corresponde a uno de los extremosde [a; b] ; entonces o bien la función no es diferenciable en c o, si lo es, por el teoremaanterior debe satisfacerse f 0 (c) = 0. �

Ejemplo 23. La función f : [�4; 0]! <; f(x) = x2+5x�2 tiene un mínimoglobal en x = � 5

2 y un máximo global en x = 0:


4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

x

y

Para extender estos resultados a funciones de varias variables introducimosprimero algunas de�niciones necesarias:

Definición 29. Sea f : D � Rn ! R; donde D es abierto, de�nimos el vectorgradiente de f , rf como el vector formado por las primeras derivadas parciales dedicha función y para ello utilizaremos la siguiente notación

rf (x)=�@f

@x1(x) ;

@f

@x2(x) ; :::;

@f

@xn(x)

�:

Ejemplo 24. Dada la función f (x; y; z) = x2y + 2xz + 6y3 el gradiente es

rf (x) =�2xy + 2z; x2 + 18y2; 2x

�Definición 30. Sea f : D � <n ! <: Un punto crítico de f es aquél en que

el vector gradiente es cero rf (x) = 0 o en el que la función no es diferenciable.

Definición 31. Sea f : D � <n ! <m: Un punto crítico de f es aquél en queel Jacobiano de la función no es de rango completo.

Teorema 24. Sea f : D � <n ! <: Si f es derivable en x = (x1; x2;:::; xn)y f (x) es un valor máximo o mínimo local de f , entonces rf (x) = 0 (es decir,@f@xi(x) = 0 para i = 1; 2; :::; n).

4.1.2. Condiciones de Segundo Orden. Los resultados que se presentan a conti-nuación se relacionan íntimamente con los conceptos de convexidad y concavidad delas funciones. Es importante que el alumno domine estos conceptos, en particularlas de�niciones que hacen uso de las derivadas segundas de las funciones.

En esta sección mantenemos como un supuesto que las funciones son dos vecescontinuamente diferenciables (es decir, son de clase C2).1

1Que una función sea clase CK (donde K es un entero positivo) signi�ca que la derivadaK� �esima existe y es continua. En general las funciones que se utilizan en economía son al menosC2: Un ejemplo de una función que es diferenciable pero no es tipo C1 (ya que su derivada no es


Teorema 25 (Condición su�ciente de segundo orden). Sea f : D � < ! <:Si f 0 (c) = 0 y f 00 (c) < 0; entonces la función presenta un máximo local estricto eneste punto. Análogamente, Si f 0 (c) = 0 y f 00 (c) < 0; entonces la función presentaun mínimo local estricto en este punto.

En el caso en que f 0 (c) = 0 y f 00 (c) = 0 no es posible a�rmar �basándonos enla información que provee la derivada segunda en ese punto�si la función presentaun máximo local, un mínimo local o un punto de silla. Este resultado se extiende afunciones más generales:

Teorema 26 (Condición su�ciente de segundo orden). Sea f : D � <n ! < yH (x) la matriz Hessiana de�nida el punto x. Si rf (x) = 0 y1) H (x) es de�nida positiva, entonces f tiene un mínimo local estricto en x:2) H (x) es de�nida negativa, entonces f tiene un máximo local estricto en x:3) H (x) es no de�nida, entonces f tiene un punto de silla en x:4) H (x) es semide�nida, entonces el criterio no decide.

Considérense los siguientes ejemplos.

Ejemplo 25. La función f (x; y) = (x� 1)2�y2 + y

�+x2 tiene un único punto

crítico que es�x = � 1

3 ; y = �12

�. Las segundas derivadas parciales de f son

fx;x = 2�y2 + y

�+ 2

fx;y = fy;x = 2 (x� 1) (2y + 1)fy;y = 2 (x� 1)2

H (x; y) =

�2�y2 + y

�+ 2 2 (x� 1) (2y + 1)

2 (x� 1) (2y + 1) 2 (x� 1)2�

H

��13;1

2

�=

�23 00 32

9

�Como los menores principales de esta matriz son positivos, en el único punto crítico,la función tiene un mínimo local.

Ejemplo 26. Sea la función f (x; y) = e�x2�y2 los puntos críticos de f son la

solución del sistema:

fx = �2xe�x2�y2

= 0

fy = �2ye�x2�y2 = 0:

De lo que se deduce que el único punto crítico es (0; 0) : La matriz Hessiana endicho punto es

H (0; 0) =

��2 00 �2

�y como H (0; 0) es de�nida negativa dicho punto es un máximo local estricto. LaFigura 4.1.2 siguiente ilustra la función.

continua) es

f (x) =

�x2 sin (1=x) si x 6= 0

0 si x = 0:


33 22 11 0

0.0

xy0 11 2 33 2

1.0

0.8

0.6z

0.4

0.2

f (x; y) = e�x2�y2

Ejemplo 27. Sea la función f (x; y; z) = x2+ y2� 3x� 3xz+3z2: Los puntoscríticos de f deben satisfacer

fx = 2x� 3� 3z = 0fy = 2y = 0

fz = �3x+ 6z = 0:El único punto crítico es por lo tanto (6; 0; 3) y el valor de la función en dichopunto es f (6; 0; 3) = �9. Las condiciones de segundo orden nos obligan a hallarel Hessiano de f , ello nos permite determinar si dicho punto es un máximo, unmínimo o un punto de silla.

H (x; y; z) =

0@ 2 0 �30 2 0�3 0 6

1Apara todo (x; y; z) 2 R3 y particularmente en el punto (6; 0; 3) es de�nida positiva,entonces la función tiene un mínimo local en dicho punto.

Ejercicio 24. Realizar los siguientes ejercicios:1. Compruebe que la funcion f (x; y) = xyex+2y tiene sólo dos puntos críticos,hállelos y clasifíquelos como máximos, mínimos o puntos de silla, determine sialguno de esos dos puntos es máximo global.2. Dadas las siguientes funciones:a. z = 2x2 + xy + 4y2 + xw + w2 + 2b. z = ex + ey + ew

2 � 2ew � (x+ y)c. f(x; y) = xy(x� 1)d. f(x; y) = �4x

x2+y2+1

e. z = x2y2

f. f (x; y) = (a� x) (a� y) (x+ y � a)Identi�que sus puntos críticos y clasifíquelos como mínimos, máximos o puntos de


silla.3. Pruebe que la matriz Hessiana de f (x; y) = �x2 + �y4 es semide�nida en elpunto crítico (0; 0) y que si:a. � = � = 1;la función tiene un mínimo.b. � = � = �1; la función tiene un máximo.c. � = �1 y � = 1, la función tiene un punto de silla.

Ejercicio 25. Plantee el problema de maximización de bene�cios de una �rmaque posee la función de producción q (L;K) = AL�K� con �; � > 0; � + � < 1 yK;L 2 <2+: Obtenga la función de bene�cios y las demandas de factores. Veri�quelas condiciones de segundo orden para asegurar que se trata de un máximo.

Finalmente, los siguientes resultados plantean condiciones su�cientes de optima-lidad global. Estas condiciones, a diferencia de las estudiadas hasta aquí, involucrana la función en todo el dominio y no sólo en el punto que se plantea como óptimo.

Teorema 27. Sea f : Rn �! R:1) Si f es convexa en Rn, entonces todos los puntos críticos de f , de existir, sonmínimos globales.2) Si f es cóncava en Rn, entonces todos los puntos críticos de f , de existir, sonmáximos globales.Sea A � Rn un conjunto convexo y f una función de�nida de A en R.3) Si f es cuasiconvexa y a� 2 A es un mínimo local estricto de f , entonces a�

es mínimo global de f .4) Si f es cuasicóncava y a� 2 A es un máximo local estricto de f , entonces a�

es máximo global de f .

Ejercicio 26. Demuestre mediante dos ejemplos que las condiciones planteadasen el teorema anterior son su�cientes pero no necesarias.

4.2. Sensibilidad. El análisis de sensibilidad o estática comaprativa estudiacomo se ve afectada la solución del problema de optimización planteado cuandocambian algunos parámetros del problema. Los análisis se basan en dos teoremas.El teorema de la envolvente nos sirve para estudiar el cambio en el valor de la funciónobjetivo en la solución del problema cuando ocurre un cambio en un parámetro. Elteorema de función implícita, por otra parte, nos permite analizar cómo cambianlas soluciones (es decir, los valores ótpimos de las variables de elección) cuandocambian los parámetros del problema.

A modo de ejemplos, el primer tipo de análisis nos permite estudiar cómocambian los bene�cios de una �rma cuando cambia algún parámetro de la funciónde producción o alguno de los precios relevantes. El segundo análisis, en cambio,nos permitiría estudiar como cambian las cantidades demandas de factores ante uncambio en los precios de los factores o de los bienes producidos.

Considérese el siguiente problema de optimización en el que x representa lasvariables de elección y � el vector de parámetros (para el resto de la secciónmantenemos el supuesto que la función objetivo f es C1):

m�axxf (x1; x2; :::; xn;�1; �2; :::; �k)

(x1; x2; :::; xn) 2 Rn:

)(P )

y sea x� (�) la solución de este problema y (�) la función de valor del problema.Es decir, la función (�) � f (x� (�) ;�) nos dice para cada vector de parámetros� cuál es el valor que la función f alcanza en el óptimo.


Teorema 28 (de la Envolvente). Dado el problema (P ) y la de�nición de(�), se cumple que para todo �j ; j = 1; 2; :::; k

@(�)

@�j=@f (x� (�) ;�)

@�j:

Demostración. Por regla de la cadena es inmediato que

@(�)

@�j=

nXi=1

@f (x� (�) ;�)

@xi

@x�i (�)

@�j+@f (x� (�) ;�)

@�j;

pero a partir de las condiciones necesarias de primer orden se obtiene

@f (x� (�) ;�)

@xi= 0; 8i

por lo que la primera expresión se reduce a su último término. �

En términos prácticos, el teorema de la envolvente nos dice que para calcularel efecto que el cambio de un parámetro tiene en la función objetivo no es necesarioconsiderar todos los efectos �indirectos�que éste produce en las variables de eleccióny las variabels de elección en la función objetivo sino que basta con calcular el efectodirecto del cambio de parámetro en la función objetivo.

Ejemplo 28. La función de bene�cios de una empresa competitiva es

B = pq (K;L)� rK � wL;

donde K y L son las cantidades a emplear de capital y trabajo para llevar a cabosu proceso productivo, p es el precio unitario al cual puede ser vendido el producto,r y w son los precios unitarios a los que se pagan los factores capital y trabajorespectivamente y q es su función de producción.1) Escriba las condiciones que deben cumplir tanto K como L de tal forma que semaximice el bene�cio.2) Obtenga la función de valor y sus derivadas parciales.3) Explique que sucede con el bene�cio óptimo ante un aumento en p y que ocurresi lo que aumenta es r.

Solución 1. La función a máximizar es

B (K;L; p; r; w) = pq (K;L)� rK � wL;

1) Las condiciones de primer orden son

@B

@K= p

@f (K;L)

@K� r = 0

@B

@L= p

@f (K;L)

@L� w = 0;

supongamos que las cantidades K� y L� satisfacen las condiciones de primer orden(K� > 0 y L > 0). Entonces, si en (K�; L�) se cumple que la matriz hessianade B es de�nida negativa, el punto (K�; L�) es un máximo local de la función debene�cio.2) La función valor es

(p;r; w) = pf (K� (p;r; w) ; L� (p;r; w))� rK� (p;r; w)� wL� (p;r; w) :

5. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 35

Por el teorema de la envolvente las derivadas parciales de la función valor son

@

@p=

@B (K�; L�; p; r; w)

@p= f (K�; L�)

@

@r=

@B (K�; L�; p; r; w)

@r= �K�

@

@w=

@B (K�; L�; p; r; w)

@w= �L�

3) A partir de los resultados del punto anterior, es claro que un aumento de p

ocasiona un aumento del bene�cio óptimo.�@@p = f (K�; L�) > 0

�y que un aumento

de r produce una disminución del bene�cio óptimo.�@@r = �K

��.Ejercicio 27. Plantee un ejemplo con una función de producción tipo Cobb-

Douglas (con retornos decrecientes a escala) y valores especí�cos para los parámetros(p; w; r) : Calcule la función de valor y luego recalcúlela con cambios �pequeños�dep y de w: Compare sus resultados con los que se obtuvieron en el Ejemplo 28.

El planteamiento del Teorema de la Función Implícita se pospone para la sección7. Su presentación es general en el sentido que permitirá realizar ejercicios deestática comparativa tanto para los problemas de optimización con restriccionescomo sin restricciones.

5. Optimización con Restricciones de Igualdad

En la microeconomía clásica son varios (y ciertamente muy importantes) losproblemas de optimización que se plantean con restricciones de igualdad. Entreellos la maximización de la utilidad y la minimización del gasto de los consumidores(aunque, como veremos en la Sección 6, su tratamiento general requiere incorporarrestricciones de no negatividad) y la minimización del costo de producción deuna �rma condicional en un nivel de producto. Será este último el ejemplo queutilizaremos a lo largo de esta sección.

De manera general, el problema que nos interesa es

m�axxf (x)

sujeto a g1 (x) = 0:::

gm(x) = 0

9>>>>>>=>>>>>>;(P 0)

Donde las funciones f (:) ; g1 (�) ; :::; gm (�) están de�nidas sobre Rn, o más gene-ralmente, sobre un subconjunto abierto A � Rn, y además n � m. A lo largo de lasección se mantiene el supuesto que tanto f como las restricciones gi son funcionesC2:

5.1. Caracterización.5.1.1. Condiciones de Primer Orden. El lagrangiano del problema (P 0) se

de�ne como

$ (�;x) = f (x) + �1g1 (x) + �2g2 (x) + :::+ �mgm (x) :

Nótese que $ : Rn+m ! R es también C2: Los valores �1; :::; �m se conocen comomultiplicadores de Lagrange.


Para hallar la solución del problema (P 0) lo que se hace operativamente esplantear el �Lagrangiano� del problema y luego maximizar sin restricciones estanueva función. Las variables de elección de este nuevo problema son tanto el vectorde variables x como el vector de multiplicadores �:

Nótese que al derivar respecto a cada multiplicador de lagrange se obtendrá larespectiva restricción, por lo que si (x�; ��) es la solución del problema, entoncesse puede estar seguro que x� satisface las restricciones de (P 0) y es, por lo tanto,una posible solución de este problema. Nótese adicionalmente que, exceptuando elprimer término del lagrangiano, todos los demás serán iguales a cero en la solucióndel problema (ya que las condiciones de primer orden al derivar respecto a �iimpone gi (x) = 0 para todo i); por lo que la maximización del lagrangiano resultaequivalente a la de f sujeta a las restricciones. Naturalmente, $ (��;x�) = f (x�) :

La validez del procedimiento descrito se formaliza más abajo en la presentacióndel Teorema de Lagrange.

Ejemplo 29. Considérese la maximización de la función f (x; y) = 8+3x�2y2sujeta a la restricción x+ 3y = 5: El lagrangiano del problema es

$ (x; y; �) = 8 + 3x� 2y2 + � (x+ 3y � 5)y sus condiciones de primer orden

x : 3 + � = 0

y : � 4y + 3� = 0� : x+ 3y � 5 = 0:

Operando estas tres ecuaciones se encuentra que

x� = 47=4

y� = �9=4�� = �3:

La �gura 29 ilustra este problema y su solución.

34

5

5

010 0

1

50

z5 y2

25

20

15

x10

23

45


Teorema 29 (de Lagrange). Si x� es una solución (local) al problema (P 0) ysi la restricción de cali�cación es satisfecha en x�, entonces es posible encontrar mnúmeros reales (�1; :::; �m) tales que r$ (�;x) = 0 o, lo que es lo mismo, tales que

rf (x�) +mXk=1

��krgk (x�) = 0

lo que equivale a

@f (x�)

@x1+

mXk=1

��k@gk (x

�)

@x1= 0

...@f (x�)

@xn+

mXk=1

��k@gk (x

�)

@xn= 0

g1 (x�) = 0

...

gm (x�) = 0:

Antes de analizar el teorema es necesario de�nir qué signi�ca que la restricciónde cali�cación sea satisfecha...

Definición 32. Dado el problema (P 0) ; decimos que la restricción de cali�aciónes satisfecha en un punto x� si la matriz Jacobiana de las restricciones es de rangomáximo. Esto es, la matriz

Jg (x�) =

264@g1@x1

(x�) ::: @g1@xn

(x�)...

. . ....

@gm@x1

(x�) ::: @gm@xn

(x�)

375tiene rango m. De manera equivalente, los vectores �la de la matriz deben serlinealmente independientes.

El teorema de Lagrange nos brinda por lo tanto condiciones necesarias: si x�

es la solución (y si se cumple la restricción de cali�cación) es posible encontrar losmultiplicadores (el vector ��) tales que las condiciones necesarias de primer ordende la maximización del lagrangiano son satisfechas.

Es fundamental entender la lógica del teorema para no cometer errores deinterpretación. La estructura del mismo es (p ^ q)) r y, por lo tanto, una proposi-ción equivalente es :r ) (:p _ :q) : Es decir, si para un determinado x no es posibleencontrar un vector � tal que se satisfagan las condiciones de primer orden, ¡ellono signi�ca necesariamente que no se esté en presencia de un óptimo! Lógicamente,puede ocurrir tanto :p como :q: Es decir, si las condiciones de primer orden nose cumplen puede que x� efectivamente no sea un óptimo o que la restricciónde cali�cación no se satisfaga (o ambas). El ejemplo siguiente ilustra el caso,ciertamente menos frecuente, en que no es posible encontrar �� tales que las condicio-nes de primer orden se satisfagan para (x�;��) aun cuando x� es un óptimo.Naturalmente, sí es posible concluir que si en un punto x la restricción de cali�caciónse satisface y para ese mismo punto no es posible hallar � tal que se satisfagan lasrestricciones de primer orden entonces x no es un óptimo local.


Ejemplo 30. Considere el siguiente problema:

m�axx

f (x) = �x2

sujeto a

g (x) = x32 � x21 = 0:La siguiente Figura 30 ilustra la restricción del problema, a partir de la cual esevidente que la solución del mismo es x = (0; 0) :

2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2

1

1

2

x

y

A partir del lagrangiano se obtienen las condiciones de primer orden

x1 : � �2x1 = 0x2 : � 1 + �3x22 = 0� : x32 � x21 = 0

las que claramente no pueden ser satisfechas simultáneamente.Formalmente, la matriz Jacobiana, evaluada en el punto (0; 0) ; es (0; 0) y su rango,cero, es menor que la cantidad de restricciones.

En general, sin embargo, las aplicaciones que se encuentran en microeconomíason �bien comportadas�en el sentido que las restricciones de cali�cación son satisfe-chas y, por lo tanto, las condiciones de primer orden obtenidas a partir del lagrangianoson necesarias para el óptimo.

La demostración formal del teorema de Lagrange excede el propósito de estasnotas y del curso. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, �A �rst coursein optimization theory�, Sundaram Rangarajan. 1996.

Ejemplo 31. Se desea encontrar el costo mínimo de producir q unidades usandoinsumos K y L a precios r y w por unidad, respectivamente, por medio de unafunción de producción tipo Cobb-Douglas. Es decir, se debe solucionar el problema:

Minimizar C (K;L) = rK + wL sujeto a Q (K;L) = AK�L� = q


El Lagrangiano que debemos construir para este problema es :

$ (K;L; �) = rK + wL+ ��q �AK�L�

�;

las condiciones de primer orden son:

@$

@K= r � �A�K��1$� = 0;

@$

@L= w � �A�K�$��1 = 0; y

@$

@�= q �AK�L� = 0:

Si multiplicamos la primer ecuación por K; y la ecuación segunda por L tenemos:

rK = ��q

wL = ��q;

de ellas se deduce que

K =�

�

wL

r;

y reemplazando en la tercera condición se tiene

L� =

�q

A

��r

�w

�� 1�+�

;

por último, reemplazando L� en la expresión obtenida para K se tiene:

K� =

"q

A

��r

�w

��# 1�+�

:

Remark 5. El lector debe recordar que estas son las funciones de demandacondicionadas de factores las cuales representan las cantidades de insumos queel productor debe elegir para minimizar los costos. La función de costo se hallareemplazando estos valores en la función objetivo. El lector deberá ser capaz demostrar que la función de costos es de tipo Cobb-Douglas en los precios de losinsumos y que a pesar de que la función de producción no se ha restringido encuanto al grado de homogeneidad, la función de costos es homogénea de grado unoen los precios de los insumos.

Ejercicio 28. Considere el problema de minimización de costos de una �rmacuya función de producción es f (L;K;H) = AL�K�H donde �; �; > 0 y cuyaproducción mínima requerida es q:1) Encuentre las demandas condicionales de factores.2) Obtenga la función de costos totales y de costo marginal.3) Obtenga una expresión para el multiplicador del Lagrange del problema y compárelacon el costo marginal.

Ejercicio 29. Considere el problema de minimización del gasto de un consumi-dor que desea alcanzar un nivel de utilidad U , enfrenta precios de los dos bienes Pxy Py y tiene una función de utilidad es tipo CES:

U (x; y) = (ax� + by�)��

Construya el lagrangiano y halle las funciones de demanda Hicksianas, la función


de gasto correspondiente y muestre que dicha función de gasto es de tipo CES enlos precios de los bienes.

5.1.2. Condiciones de Segundo Orden. En el caso de maximización sin restric-ciones la condición de segundo orden imponía que la matriz Hessiana evaluada enel punto crítico fuese de�nida negativa. Esto implicaba que, a partir del puntocrítico, en cualquier dirección que uno se moviese la derivada parcial en esa direcciónsería negativa y por lo tant el valor de la función caería. Este requisito (matrizHessiana de�nida negativa) es demasiado fuerte para el caso de una maximizacióncon restricciones ya que lo importante es que, a partir del punto propuesto comosolución, las derivadas parciales se tornen negativas pero solamente en las derivadasparciales en aquellas direcciones que nos permiten las restricciones. Es irrelevante sien otra dirección la derivada parcial es positiva y la función crece. La �gura 29 queaquí repetimos desde un ángulo ligeramente diferente ilustra este punto: a partirdel máximo del problema con restricción (punto (47=4; 9=4)), en la medida que nosapartamos de este punto en la dirección que permite la restricción (es decir, la delplano que �corta�a la función) las pendientes son negativas y la función decrece,pero esto no es cierto en otras direcciones. derivadas parciales en la dirección quepermite la restricción problema y su solución.

x 5

02 00z

50

54

25

20

15

10y 2

4

El siguiente Teorema formaliza la discusión.

Teorema 30. Suponga que existe x� y m números reales (��

1; :::; ��m) tales que

r$ (��;x�) = 0 o, lo que es lo mismo, tales que

rf (x�) +mXk=1

��krgk (x�) = 0

y que se cumple xD2xx$ (�

�;x�)x < 0 para todo x 6= 0 para el que Dg (x�)x = 0,entonces x� es un maximizador local estricto de la función f sujeta a las restriccionesg:


Si bien la intuición del teorema es sencilla, lamentablemente no es particularmen-te simple veri�car cuando se cumple la condición �xD2

xx$ (��;x�)x < 0 para todo

x 6= 0 para el que Dg (x�)x = 0�.Por ello, resulta útil plantear un resultado adicional que hace uso de la matriz

Hessiana Orlada (Bordered Hessian), formada por las segundas derivadas parcialesdel Lagrangiano. Esta matriz tiene la forma

bH (x) =0BB@

@2$@xi@xj

... @gi@xj

� � � : � � �@gj@xi

... 0

1CCA(n+m)�(n+m)

Los ceros en la parte inferior derecha resultan de las derivadas parciales desegundo orden del Lagrangiano respecto de los multiplicadores.

Los determinantes de orden k � k que se obtienen de ella eliminando �las ycolumnas correspondientes (por ejemplo, si se elimina la �la 3 se elimina la columna3) sin que se afecten los ceros del extremo inferior derecho se denominan menoresprincipales orlados de orden k (MPOk). A partir de estos MPOk se consiguen lascondiciones su�cientes dadas por el siguiente teorema.

Teorema 31. Si los MPOk evaluados en un punto que cumple las condicionesnecesarias tienen signo (�1)k�m para k = 2m + 1; 2m + 2; :::; n = m; la funcióntiene un máximo en ese punto. Y si los MPOk evaluados en un punto que cumplelas condiciones necesarias tiene signo (�1)m para k = 2m = 1; 2m + 2; :::; n +m;la función tiene un mínimo en ese punto.

Para problemas en dos variables con una restricción,

f (x; y) sujeta a g (x; y) = 0

La matriz Hessiana orlada es,

bH =

0@ $xx $xy gx$xy $yy gygx gy 0

1Adonde

$xx = fxx + �gxx

$xy = $yx = fxy + �gxy

$yy = fyy + �gyy:

m = 1; n = 2; k, solamente puede tomar el valor 3 y k�m = 2: Para determinarsi en un punto que satisface las condiciones de primer orden la función tiene unmáximo o un mínimo se debe encontrar el determinante de la matriz Hessiana en elpunto crítico. Si

�� bH�� > 0 la función tiene un máximo y si �� bH�� < 0 la función tieneun mínimo.

Ejemplo 32. Consiérese la maximización de f (x; y; z; w) = x2 + y2 sujeta ax2 + z2 + w2 = 4 y y2 + 2z2 + 3w2 = 9:Construimos el lagrangiano:

$ (x; y; z; w; �; �) = x2 + y2 + ��4� x2 � z2 � w2

�+ �

�9� y2 � 2z2 � 3w2

�


Las condicones de primer orden son:

$x = 2x� 2�x = 0$y = 2y � 2�y = 0$z = �2�z � 4�z = 0$w = �2�w � 6�w = 0$� = 4� x2 � z2 � w2 = 0$� = 9� y2 � 2z2 � 3w2 = 0

Al resolver este sistema de ecuaciones el lector podra descubrir que existe más deuna solución, algunas de ellas son:h

w = 2; x = 0; y = �ip3; z = 0; � = 2; � = �6

ihw = �2; x = 0; y = �i

p3; z = 0; � = 2; � = �6

ihw = 1; x = 0; y = 0; z =

p3; � = 0; � = 0

ihw = �1; x = 0; y = 0; z =

p3; � = 0; � = 0

iCon el �n de ilustrar el uso del teorema anterior y aplicar la condición de segundoorden, tomaremos la solución en la cual: x = 0; y = 0; z =

p3; w = 1: Como puede

deducirse de las condiciones de primer orden en ese punto los dos multiplicadoresson iguales a cero (� = 0; � = 0) :Las derivadas segundas del Lagrangiano son:

$xx = 2 + 2� ;$xy = $xz = $xw = $x� = 0 ;$x� = 2x

$yy = 2 + 2� ;$yz = $yw = $y� = 0 ;$y� = 2y

$zz = 2�+ 4� ;$zw = 0 ;$z� = 2z

$z� = 4z ;$ww = 2�+ 6� ;$w� = 2w

$w� = 6w ;$�� = $�� = $�� = 0

por lo tanto

bH (x; �; �) =0BBBBBB@2 + 2� 0 0 0 2x 00 2 + 2� 0 0 0 2y0 0 2�+ 4� 0 2z 4z0 0 0 2�+ 6� 2w 6w2x 0 2z 2w 0 00 2y 4z 6w 0 0

1CCCCCCASabemos que para el punto

�0; 0;

p3; 1�los multiplicadores son cero, por lo que la

matriz Hessiana en dicho punto es:

bH �0; 0;p3; 1; 0; 0� =0BBBBBB@

2 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2p3 4

p3

0 0 0 0 2 6

0 0 2p3 2 0 0

0 0 4p3 6 0 0

1CCCCCCA


m = 2 y n = 4; k puede tomar los valores 5 y 6: Para k = 5, eliminamos la primera�la y primera columna:

bH �0; 0;p3; 1; 0; 0� =��2 0 0 0 0

0 0 0 2p3 4

p3

0 0 0 2 6

0 2p3 2 0 0

0 4p3 6 0 0

��= 96

Para k = 6 el MPOk es:

bH �0; 0;p3; 1; 0; 0� =��

2 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2p3 4

p3

0 0 0 0 2 6

0 0 2p3 2 0 0

0 0 4p3 6 0 0

��= 192

Por lo tanto y de acuerdo a lo enunciado en el teorema, la función tiene un mínimoen este punto.

Ejercicio 30. El lector deberá encontrar y clasi�car los extremos de las funcio-nes sujetas a las restricciones dadas:a) f (x; y; z) = x2 + y2 + z2 s.a x2 � y2 + z = 1b) f (x; y; z) = xyz s.a x+ y + z = 5 ;xy + xz + yz = 8c) f (z) = z s.a x2 + y2 = 2;x+ y + z = 0d) f (x; y) = xy s.a x+ 2y = 2e) f (x; y) = 7� y + x2 s.a x+ y = 0f) f (x; y; w) = x+ 2y + 3w + xy � yw s.a x+ y + 2w = 10g) f (x; y) = xy s.a x+ 2y = 2

Ejercicio 31. Encontrar las funciones de demanda Marshalianas y la funciónde utilidad indirecta para cada una de las siguientes funciones de utilidad (planteelas restricciones presupuestarias correspondientes)a) U (x; y) = xyb) U (x; y; z) = xaybzc

c) U (x; y) = xa + yb

d) U (x; y) = (xa + ya)ba

5.2. Sensibilidad. Se plantean en esta sección dos versiones del teoremade la envolvente para el caso de problemas de optimización con restricciones deigualdad y algunos ejemplos que ilustran su utilidad. La primera versión es �menosgeneral�, pero resulta su�ciente para muchos problemas económicos.

Ambos teoremas se re�eren a la manera en que cambia el valor óptimo deuna función cuando varía un parámetro de ésta. En el caso de un problema conrestricciones de igualdad, el cual se soluciona utilizando el teorema de Lagrange,el teorema de la envolvente garantiza que este cambio es igual a la derivada delLagrangiano con respecto a ese parámetro.


Considérese primero el problema��max f (x1; :::xn)

s.a g1 (x1; :::; xn) = �1...

gm (x1; :::; xn) = �m

9>>>=>>>; (P00)

donde f; g1; :::; gm son funciones con derivadas parciales primeras y segundascontinuas en un conjunto abierto D � Rn que contiene al conjunto de solucionesfactibles (es decir, todos los puntos x que satisfacen el conjunto de restricciones) y� 2 Rp es el vector de parámetros.

Teorema 32. Dado el vector de parámetros �; sea x� una solución local a(P 00) en la que se veri�can las condiciones necesarias de primer orden y que, juntocon sus multiplicadores de Lagrange �� = (��1; :::; �

�m), satisfacen las condiciones

su�cientes de segundo orden para un óptimo local estricto.Entonces, para cada � 2 Rm, que es parte de un entorno de �, existen x (�) =(x1 (�) ; :::; xn (�)) y � (�) = (�1 (�) ; :::; �m (�)) funciones continuas y diferencia-bles en �=� tales que x

��= x�, �

��= �� y x (�) es óptimo local de (P 00) con

multiplicadores � (�).Adicionalmente, la función objetivo es diferenciable y

r�f (x (�)) j�=� = ��:

Es decir que 8j, j = 1; :::;m se veri�ca

@f (x (b))

@bjjb=0 = ��

�:

La demostración se omite ya que más abajo se incluye la de la versión másgeneral del teorema.

En la expresión anterior, el j�ésimo multiplicador de Lagrange cambiado designo da la tasa marginal de cambio del valor óptimo de la función objetivo anteuna variación en el término independiente de la j-ésima restricción.

Es este último resultado el que explica la interpretación usual que se hace delos multiplicadores como los �precios sombra�de las restricciones. A continuaciónse plantean dos ejemplos de la microeconomía clásica: el primero corresponde alproblema de minimización de costos de una �rma y en éste el multiplicador asociadoa la restricción de producción mínima puede interpretarse como el costo marginalde producción. El segundo corresponde al problema de maximización de utilidad delconsumidor, en este problema el multiplicador asociado a la restricción presupuesta-ria se interpreta como la utilidad marginal que brinda un peso extra al consumidor.

Ejemplo 33. Considérese el problema�� m��nx+ ys.a x2 � y = 2

�El valor aproximado de la variación de la función objetivo en el óptimo cuando larestricción del problema cambia a x2 � y = 3: puede aproximarse mediante el usodel teorema de la envolvente:1) El Lagrangiano de este problema es (�; x; y) = x + y + �

�x2 � y � 2

�, así que


las condiciones de primer orden serán:@

@x= 1 + 2�x = 0

@

@y= 1� � = 0

@

@�= x2 � y � 2 = 0;

de la segunda ecuación es claro que � = 1, luego reemplazando en la primeraecuación tenemos x = � 1

2 , y �nalmente reemplazando este valor de x en la últimaecuación obtenemos y = � 7

4 . De esta manera hemos encontrado los valores de y; xy � que minimizan la función objetivo dada la restricción (se deja al lector queveri�que el cumplimiento de las condiciones de segundo orden).2) De acuerdo al teorema de la envolvente

df (x�)

dbjb=0 = ��

� = �1

a partir de aquí, es posible concluir que el valor óptimo de la función objetivodisminuye en una unidad cuando el valor del parámetro de la restricción aumentaen una unidad.

Ejemplo 34. Dado el problema��opt xy + yz

s.a x2 + y2 = 2y + z = 2

9=;y sabiendo que el máximo global se alcanza en a = (1; 1; 1) con multiplicadores

asociados �M1 = � 12 , �M2 = 1 y el mínimo global en b =

�p3�12 ;� 1+

p3

2 ;p3+52

�con multiplicadores asociados �1 =

p32 + 1 y �2 =

p3+12 se plantea:

a) ¿cuánto varía aproximadamente el valor mínimo de la función objetivo cuandolas restricciones iniciales se cambian por x2 + y2 = 1; 7 y y + z = 1; 7?b) ¿cuánto varía aproximadamente el valor máximo de la función objetivo cuandolas restricciones iniciales se cambian por x2 + y2 = 2; 5 y y + z = 1; 8?Solución:Los dos parámetros de las restricciones han disminuido en 0; 3, por lo tanto tenemosque �b1 = �b2 = �0; 3, entonces de acuerdo con el teorema de la envolvente setiene

�f m��n � �b1 (��1)+�b2 (��2) = �0; 3 � p

3

2+ 1

!� p

3 + 1

2

!!= 3; 5320

por lo que el valor mínimo de la función objetivo crece en aproximada-mente 3; 5320 unidades.

Ejercicio 32. Resuelva la pregunta b) del Ejemplo 34.

Ejercicio 33. Replantee los ejemplos 33 y 34 cambiando los valores �2� enlas restricciones por parámetros y encuentre las funciones de valor (del problemade minimización en el primer ejemplo y de maximización y minimización en elsegundo).Calcule cómo varían ante cambios en los parámetros.Evalúe la magnitud de estos cambios cuando los parámetros toman el valor �2�.


Ejemplo 35. Este ejemplo intenta mostrar que si la restricción de cuali�caciónno se cumple, el teorema de lagrange no es apliclabe aunque el problema tenga unmáximo o un mínimo.

Hallar el mínimo de x2 + y2

sujeto a (x� 1)3 = y:

Solución:Después de manipular las condiciones de primer orden hallamos que en la solucióny = 0 ó � = 1. Si � = 1 entonces:

x =�4�

p16� 366

=2 R

y si y = 0 entonces es fácil ver que la única forma en que se cumple la restricción esque x = 1, pero la derivada del lagrangiano con respecto a x nos daría el siguienteresultado: 2 + 3� (0)2 = 0 lo cual no tiene solución porque no hay valor de � parael que la igualdad se cumpla. Por otra parte, si decimos que en la derivada dellagrangiano con respecto a la variable y el valor de la variable � es 1, estaríamossuponiendo que y no puede ser igual a cero. ¡Grave error, porque como veremosenseguida, esa es justamente la solución del problema!.Veamos que el problema tiene solución, pero el teorema no funciona porque rg =(3(x� 1)2 ;�2y) y evaluado en x = 1 y y = 0 que son los valores que supuestamentesolucionan el problema tenemos: rg(1;0) = (0; 0) y debería haber una �la distintade cero porque el número de restricciones m es igual a 1.Veamos ahora la solución grá�ca del problema. Suponientdo que tenemos f (x; y) =x2+y2 = K (el contorno de la función objetivo a nivel K) y la restricción (x� 1)3 =y2


se observa claramente que la solución del problema se da en el punto (1; 0), sinembargo, a través del método de lagrange esta no era una solución factible.

Considérese ahora el problema más general en que los parámetros puedenafectar la función objetivo del problema y no necesariamente entran de maneralineal en las restricciones:

m�axxf (x;�)

sujeto a g1 (x;�) = 0:::

gm(x;�) = 0

9>>>>>>=>>>>>>;(P 000)

Se supone que las funciones f (:) ; g1 (�) ; :::; gm (�) están de�nidas sobre un sub-conjunto abierto A � Rn+p, y además n � m. A lo largo de la sección se mantieneel supuesto que tanto f como las restricciones gi son funciones C2:

Sea x� (�) la solución de este problema y (�) la función de valor del problema.Es decir, la función (�) � f (x� (�) ;�) nos dice para cada vector de parámetros� cuál es el valor que la función f alcanza en el óptimo.

A continuación se plantea la versión del teorema de la envolvente que correspondeal probema (P 0), su demostración y algunos ejemplos de problemas típicos deeconomía.

Teorema 33. Dado el vector de parámetros �; sea x� una solución local a (P 000)en la que se veri�can las condiciones necesarias de primer orden y que, junto con susmultiplicadores de Lagrange �� = (��1; :::; �

�m), satisfacen las condiciones su�cientes

de segundo orden para un óptimo local estricto. Entonces ��es diferenciable en

el punto � y

@ ��

@�k=

@$

@�k

��(x�;�)

=@f�x�;�

�@�k

+mXj=1

��j@gj

�x�;�

�@�k

; 8k = 1; :::; p:

En notación matricial,

r ��= r�f

�x�;�

�+ ��TD�g

�x�;�

�;

siendo D�g�x�;�

�la matriz (dimensión mxp) de derivadas de las restricciones

respecto a los parámetros y ��T el vector de multiplicadores transpuesto.

del Teorema de la Envolvente. La prueba del teorema requiere hacer usode la regla de la cadena y las condiciones necesarias de primer orden. La demostraciónse desarrolla para un �k genérico.Dado que x� (�) = (x�1 (�) ; :::; x

�n (�)) soluciona el problema, entonces debe satisfacer

las restriccionesgj (x

� (�) ;�) = 0; j = 1; :::;m:

Derivando parcialmente estas igualdades con respecto a un �k se tienenXi=1

@gj@xi

@x�i@�k

+@gj@�k

= 0 ; j = 1; :::;m;


y multiplicando por el corerspondiente �j se tiene

�j

nXi=1

@gj@xi

@x�i@�k

+ �j@gj@�k

= 0 ; j = 1; :::;m: (*)

Por otro lado, usando la regla de la cadena para derivar la ecuación (�) =f (x� (�) ;�) con respecto a �k; se obtiene

@ (�)

@�k=

nXi=1

fxi@x�i@�k

+ f�k (**)

Sumando (**) y cada una de las m ecuaciones (*) -que son cero- se tiene,

@ (�)

@�k=

nXi=1

fxi@x�i@�k

+ f�k +mXj=1

nXi=1

�j@gj@xi

@x�i@�k

+ �j@gj@�k

!

=

nXi=1

fxi@x�i@�k

+ f�k +

mXj=1

nXi=1

�j@gj@xi

@x�i@�k

+ �j@gj@�k

!

=nXi=1

@x�i@�k

0@fxi + mXj=1

�j@gj@xi

1A+ f�k + mXj=1

�j@gj@�k

estas expresión puede reescribirse como

@ (�)

@�k=

nXi=1

@x�i@�k

0@fxi + mXj=1

�j@gj@xi

1A+ f�k + mXj=1

�j@gj@�k

y, puesto que las condiciones necesarias de primer orden indican que

fxi +mXj=1

�j@gj@xi

= 0; i = 1; :::; n

se obtiene el resultado deseado

@ (�)

@�k= f�k +

mXj=1

�j@gj@�k

:

�Ejercicio 34. Considere el problema de minimización del costo de una �rma

con tecnología de producción Cobb-Douglas f (K;L) = AL�K� y, utilizando elteorema de la envolvente, calcule cuánto se reducen los costos cuando aumenta elparámetro tecnológico A:

Remark 6. Este teorema tiene amplias aplicaciones, en la teoría del consumidory el productor, especí�camente en lo que tiene que ver con los duales entre maximiza-ción de la utilidad y minimización del gasto, así como la maximización del bene�cioy la minimización del costo. Por lo anterior se recomienda al estudiante investigaracerca de la Identidad de Roy, Lema de Shephard, Lema de Hotelling, funcionde utilidad indirecta y demanda condicionada de factores entre otros (para unainformación detallada de estos y otros temas relacinados con el teorema de laenvolvente se recomienda leer: Nicholson, W. Teoría Microeconómica, principiosy aplicaciones (1997), cap 5. (Los efectos de las variaciones de la renta o delprecio de un bien); Mas-Colell A., Whinston, M y J. Green Microeconomic

6. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Y DE DESIGUALDAD 49

Theory (1995), caps 3 y 5 (Classical Demand Theory y Production) y Varian, H.Análisis microeconómico (1992), caps. 7 y 8 (La maximización de la Utilidad yLa Elección).

6. Optimización con Restricciones de Igualdad y de Desigualdad

6.1. Caracterización.6.1.1. Condiciones de Primer Orden. Tal como anunciamos al comienzo de

esta unidad nuestro estudio de las herramientas teóricas para hallar los óptimosde una función ha transcurrido desde la optimización sin restricciones hasta llegarahora a la optimización con restricciones de desigualdad. Es de destacar que unarestricción de desigualdad en dos variables, g (x; y) � 0; representa una porcióndel plano limitada por la curva g (x; y) = 0. Un punto para el que g (a:b) < 0 sedenomina interior a la restricción y si g (a; b) = 0, el punto es frontera. De la mismaforma los puntos que satisfacen la restricción g (x; y; z) � 0 generan una porción delespacio tridimencional limitada por una super�cie. El conjunto de puntos factiblesesta formado por aquellos puntos que satisfacen todas las restricciones, lo cual es laintersección de las regiones determinadas por cada una de las restricciones. Cuandoun punto factible satiface una restricción con igualdad se dice que la restricciónesta activa (saturada), de otro modo la restricción esta inactiva (no saturada). (Elestudiante debera investigar acerca de la importancia de que una restricción este ono activa, aplicaciones interesantes a la economia se pueden encontrar en: MachoS, I. y D. Pérez (1994)).

El problema más común de optimización restringida en economía incluye restriccionesde desigualdad y un conjunto completo de restricciones de no-negatividad:

Maximizar f (x1; :::; xn)(6.1)

Sujeto a :

g1 (x1; :::; xn) � 0

g2 (x1; :::; xn) � 0

...

gm (x1; :::; xn) � 0

Donde las funciones f (:) ; g1 (�) ; :::; gm (�) son diferenciables y están de�nidassobre Rn, o mas generalmente, sobre un subconjunto abierto y no vacio A � Rn.

para este tipo de problemas el Lagrangiano es de la forma: $ (x;�) = f (x) +�1g1 (x) + �2g2 (x) + :::+ �mgm (x)

2. La forma de abordar problemas como el 6.1exige enunciar el teorema de Kuhn-Tucker, el cual impone las condiciones necesariaso de primer orden para la solución de problemas de optimización restringida.

Teorema 34. (Teorema de Kuhn y Tucker) Sean f : A �! R y gi : A �! R(i = 1; 2; ::;m ) funciones C1 y A � Rn un subconjunto abierto y no vacio.Suponga que x� es un máximo local de función f sobre el conjunto

D = A \ fx jgi(x) �0 para i = 1; 2; ::;mg :

2Utilizaremos la letra � como los multiplicadores de los problemas de optimización conrestricción de desigualdad para distinguirlos de los � utilizados en la sección pasada.


Sea E � f1; 2; :::;mg el conjunto de las restricciones activas en x y la matriz dederivadas de las m restricciones con respecto a cada variable

�@gi@xj

�i2E�n

tiene

rango i. Entonces existe un vector �� = (��1; ��2; ::; �

�m) 2 Rm tales que

��i � 0 y ��i gi (x�) = 0 para i = 1; 2; ::;m

y

rf (x�) +mXi=1

��irgi (x�) = 0:

En el teorema anterior tenemos: la matriz�@gi@xj

�i2I�n

que esta formada por

los gradientes de las restricciones tales que i 2 I, es decir, las funciones que de�nenlos contornos que forman las restricciones activas en el punto x� que solucionael problema, esta es la llamada restricción de cuali�cación. Las condiciones deholgura complementaria ��i gi (x

�) = 0, con estas se determinan las restriccionesactivas (saturadas), pues si un multiplicador es positivo, entonces la restriccióncorrespondiente está saturada. (una prueba amplia y detallada de este teorema seencuentra en: A �rst course in optimization theory. Sundaram Rangarajan. 1996).

Si el problema que usted debe resolver es el de hallar el mínimo de una funciónf sujeta a restricciones de desigualdad, basta con multiplicar la función f por (�1)y escribir el problema de la forma siguiente: �máximo de [�f (x)] = mínimo def (x). manteniendo todo lo demás como antes.

6.1.2. Condiciones de segundo orden.

Teorema 35. Dado el problema 6.1 donde f; g1; :::; gm son funciones C2 y seax� una solución factible en la que se veri�can las condiciones de cuali�cación y elresultado de Kuhn Tucker. Entonces, si la matriz Hx (�

�;x�) es de�nida negativa8p 2M (x�) donde:

M (x�) = fp 2 Rn j rgi (x�)p = 0 8i 2 E p 6= 0g

y además M (x�) 6= ;, siendo E = fi j i = 1; :::;m; gi (x�) = 0; ��i > 0g, entonces,se veri�ca que x� es un máximo local estricto del problema 6.1.

No obstante haber expuesto las condiciones de segundo orden, se advierte allector que, cuando la función objetivo es convexa o cuasiconvexa, las condiciones deminimización se convierten en su�cientes, y lo mismo ocurre para funciones objetivocóncavas o cuasicóncavas en problemas de maximización.

Remark 7. El lector debe recordar que estamos utilizando letras en negritapara referirnos a vectores.

Ejemplo 36. Analicemos los siguientes ejemplos:1) Hallar el mínimo de f (x; y) = x2 � 2y sujeto a x2 + y2 � 1; x � 0; y � 0:Este problema se puede transformar en uno de maximización, cambiando el signode la función objetivo y reescribiendo la primera restricción como 1� x2 � y2 � 0.Por lo que nuestro problema ahora es: Máximo de �f (x; y) = 2y � x2 sujeto a1� x2 � y2 � 0; x � 0; y � 0. El Lagrangiano de este problema será:�

x; y; �1; �2;�3�= 2y � x2 + �1

�1� x2 � y2

�+ �2x+ �3y:


Las condiciones de primer orden producen el siguiente sistema de ecuaciones:

(6.2)

8>>>><>>>>:2� 2�1y + �3 = 0 (1)�2x� 2�1x+ �2 = 0 (2)�1�x2 + y2 � 1

�= 0 (3)

�2x = 0 (4)�3y = 0 (5)

Como el lector podrá ver, las ecuaciones (3) a (5) equivalen a �1 = 0 o�x2 + y2 � 1

�=

0; �2 = 0 o x = 0; �3 = 0 o y = 0 . Para encontrar la solución a este problema sedeben analizar 8 combinaciones, las cuales se pueden ver en la siguiente tabla

�1 0 0 0 + 0 + + +�2 0 0 + 0 + 0 + +�3 0 + 0 0 + + 0 +

(�) Observe que los tres multiplicadores no pueden ser cero a la vez, pues en laecuación (1) tendriamos 2 = 0 lo cual es un imposible.(�) Si �1 = �2 = 0 y �3 > 0 en la ecuación (1) tedriamos �3 = �2 contrario alhecho que �3 > 0:(�) Si �1 = �3 = 0 y �2 > 0, por la ecuación (1) tendriamos 2 = 0 y estaríamosen el caso inicial.(�) Si �2 = �3 = 0 y �1 > 0 obtenemos x = 0 , y = 1 , �1 = 2 lo que es una solucióndel problema de minimización (el lector deberá comprobar que con �2 = �3 = 0 y�1 > 0 aplicados al sistema (1.3.9) se obtienen los valores de x; y; �1 dados arriba).(�) Si �1 = 0; �2 > 0; �3 > 0 en (1) tenemos �3 = �2 lo cual contradice el que�3 > 0.(�) Si �2 > 0; �1 > 0, y �3 = 0 entonces en (4) tenemos x = 0 y en (2) �2 = 0 peroeso contradice el que �2 > 0:(�) Si �2 = 0 y �3 > 0; �1 > 0 en (5) tendríamos y = 0 y por (1) �3 = �2 lo cuales una contradicción.(�) Por último, si todos los multiplicadores son positivos entonces x = 0; y = 0 yde nuevo �3 = �2 y estaríamos de nuevo en el caso anterior.Por lo tanto la solución del problema es: x = 0; y = 1; �1 = 2; �2 = �3 = 0:2) Sea el problema de minimizar 1�x+y2 sujeto a x2+y2�1 � 0: Interesa hallarla solución y veri�car además las condiciones de segundo orden.Recordemos primero que este problema se puede transformar en uno de maximizaciónmultiplicando la función objetivo por �1 y escribiendo la restricción así: 1�x2�y2 �0 con lo que el problema se transforma en�� m�axx� 1� y2

s.a 1� x2 � y2 � 0;

�el lagrangiano de este problema es (x; y; �) = x� 1� y2 + �

�1� x2 � y2

�, del cual

obtenemos las condiciones de primer orden

Lx = 1� 2�xLy = �2y � 2y�L� =

�1� x2 � y2

�


dadas estas condiciones construimos el sistema��1� 2�x = 0�2y � 2y� = 0

��1� x2 � y2

�= 0;

9=; (I)de lo que podemos deducir que � 6= 0, y luego de operar sobre las tres ecuacionesdel sistema (I) encontraremos que y = 0, x = 1, � = 1

2 .Sabemos que rg(1; 0) = (2; 0) hallemos ahora el vector p�

2 00 0

��p1p2

�= 0

de lo que tenemos2p1 + 0p2 = 0;

de esta forma

M (1; 0) =�(p1; p2) 2 R2 j p1 = 0; p2 6= 0

=�(0; �) 2 R2 j � 2 R� f0g

;

y dado que la matriz Hx (��;x�) es

Hx (��;x�) =

�0 00 2

�+1

2

�2 00 2

�=

�1 00 3

�tenemos que 8� 2 R� f0g�

0 �� 1 0

0 3

��0�

�= 3�2 > 0:

De esta manera y de acuerdo al teorema de su�ciencia, (1; 0) es un mínimo localestricto del problema planteado.

Ejercicio 35. El lector deberá:1. Encontrar el costo mínimo de producir por lo menos q unidades usando comoinsumos capital K y trabajo L mediante una función de producción Leontief, esdecir, encontrar:

Mínimo de C (K;L) = rK + wL sujeto a min faK; bLg � q:

2. Encontrar el costo mínimo de producir por lo menos q unidades usando comoinsumos capital K y trabajo L mediante una función de producción lineal.3. Encontrar el costo mínimo de producir q unidades de usando como insumoscapital K , trabajo L y tecnología T mediante la función de producción

Q (K;L; T ) = min�aK;AL�T �

:

4. Encontrar los extremos de las funciones de acuerdo a las restricciones especi�cadas:a. Máximo de f (x; y) = xy sujeto a 5x+4y � 50; x � 0; y � 0:(en este caso veri�carel cumplimiento de la condición su�ciente para máximo).b. Óptimo de x2 + (y � 1)2 sujeto a x+ y � 6; 2x+ y � 4;x � 0; y � 0:c. Máximo de x+ y sujeto a x2 + y2 � 4; y2 � x:

d. Mínimo x2 � y sujeto a�y � x2 � 10

�3 � 0;x � 0; y � 0: (en este caso veri�carel cumplimiento de la condición su�ciente para mínimo).e. Mínimo (x� 5)2 + (y � 5)2sujeto a x2 � y � 6;x+ 3y � 12;x � 0; y � 0:f. Óptimos de xy + x+ y sujeto a 2x+ 3y � 12; 3x+ 2y � 6 y x� y � 6:


6.2. Análisis de sensibilidad. Consideremos el problema

m�ax f (x1; :::; xn)s.a g1 (x1; x2; :::; xn) � b1

...gm (x1; x2; :::; xn) � bm:

9>>>=>>>;Dado que el resultado es análogo al que se obtiene cuando el problema incluye

restricciones de igualdad, el mismo será enunciado, no sin antes advertir que sedeben cumplir las condiciones de Kuhn-Tucker con multiplicadores asociados �� 0 y las condiciones su�cientes de segundo orden para óptimo local estricto. Elresultado es el siguiente: los multiplicadores de Lagrange cambiados de signo sonlas derivadas parciales del valor óptimo de la función objetivo del problema respectoa los términos independientes de las restricciones saturadas, de lo cual se deduceque dichos multiplicadores ofrecen una medida de la sensibilidad del valor óptimofrente a variaciones de los segundos miembros de las restricciones. Formalmenteesto es.

��i = �@f (x�)

@bipara i 2 I

donde I = fi j gi (x�) = 0g, �� > 0.

Ejemplo 37. Una empresa desea minimizar sus costos totales, con la condiciónque los ingresos obtenidos por la venta de las cantidades x, y de los dos productosque fabrica superen un cierto nivel. Sabiendo que los costos unitarios de fabricaciónde cada bien son funciones lineales de las cantidades producidas y vienen dadas porCx = x y Cy = 2y, que se vende el total de la producción y que los precios de ventade los productos son, px = 1, py = 3, respectivamente. Interesa:1) Formular el problema matemático correspondiente, suponiendo que se debe tenercomo ingreso, un mínimo de 3 unidades monetarias.2) Resolver el problema.3) Calcular cuánto variará el costo óptimo con respecto a la situación anterior sise deben ingresar 2 unidades monetarias como mínimo.Solución:1) La función de costos total será la suma de los costos totales para la producciónde cada bien.

C (x; y) = x2 + 2y2

y la restricción impuesta por el nivel de ingreso mínimo que se desea obtener es

x+ 3y � 3

además se supone x � 0, y � 0.Finalmente el probema de minimización será

m��nC (x; y) = x2 + 2y2

s.a x+ 3y � 3; x � 0; y � 0

este problema se puede transformar en uno de maximización multiplicando la funciónobjetivo por (�1), entonces nuestro problema se transforma en

m�ax�C (x; y) = �x2 � 2y2

s.a x+ 3y � 3; x � 0; y � 0:


2) El Lagrangiano para este problema es

(x; y; �1; �2; �3) = �x2 � 2y2 + �1 (x+ 3y � 3) + �2x+ �3

y las condiciones de primer orden producen el sistema8>>>><>>>>:�2x+ �1 + �2 = 0 (1)�4y + 3�1 + �3 = 0 (2)(x+ 3y � 3)�1 = 0 (3)x�2 = 0 (4)y�3 = 0 (5)

Por lo tanto, las posibles combinaciones de �1; �2; �3 que son necesarias para obtenerla solución a nuestro problema son

caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8�1 0 0 0 + 0 + + +�2 0 0 + 0 + 0 + +�3 0 + 0 0 + + 0 +

(�) Antes que nada dejemos claro que x y y no pueden ser cero al mismo tiempoporque violarían la restricción x+ 3y � 3.(�) Por el punto anterior �2 y �3 no pueden ser mayores que cero al mismo tiempo,con lo cual descartamos los casos 5 y 8.(�) El caso 1 implica que x y y sean cero al mismo tiempo (ver ecuaciones (1) y (2)del sistema), lo cual ya hemos visto que no es posible.(�) El caso 2 conduce a x = y = 0, lo cual ya sabemos no es posible.(�) Para el caso 3, como �2 es mayor que cero, entonces x debe ser cero para cumplirla ecuación (4) del sistema, sin embargo ello hace genera una contradicción en laecuación 1.(�) En el caso 6 como y debe ser igual a cero para cumplir la última ecuación delsistema, llegamos a una contradicción con la ecuación (2).(�) Para el caso 7como x debe ser cero para satisfacer la cuarta ecuación del sistema,generamos una contradicción con la ecuación (1)(�) El caso 4, donde �2 = �3 = 0, y �1 > 0, entonces de la ecuación (3) x+3y�3 =0, de la ecuación (1) sabemos que �1 = 2x y combinando esta y la ecuación (2)obtenemos y = 3

2x. Finalmente reemplazando esta expresión en (3) podemos deducir

x� =6

11, y� =

9

11y los multiplicadores asociados ��2 = ��3 = 0, ��1 =

12

11:

Esta es la única combinación que cumple las condiciones de Kuhn-Tucker, y alreemplazar estos valores en la función de costos podemos hallar el valor del costototal mínimo C (x�; y�).3) Dado que los ingresos por ventas debían ser, como mínimo, 3 unidades monetarias,la restricción era

g1 (x; y) � x+ 3y � 3 � 0

si ahora cambiamos la restricción para exigir como mínimo, 2 unidades monetariasde ingresos por ventas, la restricción será

g1 (x; y) � 1:

7. MODELOS ECONÓMICOS Y EL TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLíCITA 55

El multiplicador asociado a la primera restricción es ��1 =1211 , así que teniendo el

teorema de sensibilidad podemos escribir

��1 =dC (x�; y�)

db;

es decir � 1211 =

dC(x�;y�)db , por lo tanto

�C (x�; y�)

�b� �12

11:

Si �b = 1, entonces �C(x�;y�)1 � � 12

11 y �C (x�; y�) � �12

11 unidades monetarias.Lo anterior nos dice que si deben ingresarse como mínimo 2 unidades monetarias, elcosto óptimo debe disminuir en 12

11 unidades monetarias aproximadamente, respectoal caso en que debian ingresarse al menos 3 unidades monetarias.

Ejercicio 36. Suponga que la utilidad de Antonieta depende del consumo defrutas (F) y hortalizas (H), su función de utilidad viene dada por U (F;H) = F aH;donde a; b > 0:a) Encuentre la solución al problema de maximización de la utilidad que enfrentaAntonieta asumiendo que tiene una riqueza de $5000 y los precios de las frutas yhortalizas son pf y ph respectivamente.b) A partir de la solución encontrada y haciendo uso del teorema de la envolventeencontrar una aproximación al valor de la utilidad de Antonieta (una vez ajustadasu decisión de consumo) bajo el supuesto que todo permanece igual excepto el ingresode Antonieta el cual aumenta en 20%.c) A partir de la solución encontrada y haciendo uso del teorema de la envolventeencontrar una aproximación al valor de la utilidad de Antonieta (una vez ajustadasu decision de consumo) bajo el supuesto que todo permanece igual excepto pf queaumenta en 15%.

Ejercicio 37. Encontrar las funciones de demanda condicionada de factoresy los costos óptimos, si la función de produccion es:a) Q (K;L) = aK + bLb) Q (K;L) = m��n f4K; 2Lgc) Q (K;L; T ) = K� (aL�� + bT��)

��

Ejercicio 38. Encontrar las funciones de demanda Hicksiana y Marshalliana,función de gasto y utilidad indirecta, si la función de utilidad es:a) U (x; y) = x�y�z

b) U (x; y) = m��n�ax; y�z�

c) U (x; y) = (ax�� + by��)�

�� :

7. Modelos Económicos y el Teorema de la Función Implícita

Muchos modelos económicos pueden ser escritos como un sistema parametrizadode ecuaciones de la forma

F (x;�) = 0

donde F es una función F : Rn � RP � X � �! Rm (generalmente m = n).En la expresión arriba � es un vector de parámetros y x es el vector de variablesendógenas, de las cuales buscamos los valores que solucionan el sistema.2

2En algunos casos este �modelo económico�corresponde al conjunto de condiciones de primerorden que caracterizan la solución de un problema de optimización (e.g., la maximización de la


Muchas de las preguntas que nos hacemos al analizar un modelo como el descritoarriba tienen que ver con las propiedades de la correspondencia solución,

S : �! X; donde S (�) = fx 2 X;F (x;�) = 0g

lo que nos dice la expresión anterior es que la correspondencia S asigna a cadavector de parámetros el correspondiente conjunto de variables solución del modelo.

Dado un modelo como el que aparece arriba, las preguntas que típicamente sedesea responder son: dado �; ¿Existe una solución al modelo?, ¿Cuál es?, ¿Es única,local o globalmente?, ¿Cómo cambia S (�) ante cambios en �?

Nuestro interés se centrará casi exclusivamente en la última de estas preguntas,siendo la principal herramienta para respondera el Teorema de la Función Implícita.Para el caso departicular de los modelos lineales, sin embargo, se realizará una brevepresentación de resultados de existencia y unicidad o multiplicidad de soluciones.3

7.1. Modelos lineales. Suponga que tenemos el modelo

(7.1) F (x;�) = 0

donde F : Rn � RP � X � �! Rm es una función lineal. Dadas las bases paraRm;Rn y RP , podemos escribir 7.1 de la forma

(7.2) Ax+B� = 0

en la expresión anterior A es una matriz de dimensión m� n, B es una matriz dedimensión n� p, x es un vector de dimensión n y � de dimensión p.

De�niendo y � �B�, entonces 7.2 se convierte en

Ax = y

A continuación se presentan dos resultados de existencia y unicidad de la solucióndel sistema. para ello de�nimos primero la matriz ampliada Ay:

Ay =

0BBBBBBB@

a11 : : : : : : a1n y1...

......

.... . .

......

...am1 : : : amn ym

1CCCCCCCATeorema 36. El sistema Ax = y tiene al menos una solución si y sólo si rango

A = rangoAy:

Una tentativa de prueba para este teorema es que al agregar y a la matriz A elrango no cambia, esto signi�ca que y puede escribirse como una combinación lineal

utilidad de un concumidor y la derivación de sus demandas), pero en otro casi puede correspondera ecuaciones que carcterizan las soluciones a varios problemas de optimización a las que se agregancondiciones de equilibrio (e.g., un modelo de equilibrio general). Los resultados que se presentanen esta sección son generales y por ello nos apartamos de la presentación en términos de análisisde sensibilidad de un problema de optimización.

3En esta sección se sigue de cerca el enfoque seguido por Angel de la Fuente, aunque lapresentación es menos técnica.


de las columnas de A, es decir que existen escalares x1; x2; :::; xn tales que

x1

0BBBBBBB@

a11.........

am1

1CCCCCCCA+ : : :+ xn

0BBB@a1n...

amn

1CCCA =

0BBBBBBB@

y1.........ym

1CCCCCCCA;

por lo tanto este vector x es solución al sistema.Por el contrario, si el rango de A aumenta al agregar y, esto signi�ca que y

no puede escribirse como una combinación lineal de las columnas de A, esto es, noexiste solución a Ax = y.

Teorema 37. El sistema Ax = y , (x 2 Rn y y 2 Rm), tiene solución única siy sólo si rangoA = n = rangoAy.

A partir de estos teoremas es posible obtener las siguientes conclusiones:

Si m < n, la solución no puede ser única. El sistema, si tiene solución,tendrá in�nitas soluciones. En términos de los teoremas, para que tengasolución debe cumplirse que rangoA = rangoAy y puesto que m < n;entonces el rangoA < n: El mejor ejemplo es un sistema de una ecuacióny dos incognitas 2x1 + 3x2 = 12, esta es la ecuación de una recta, la cualcomo todos sabemos, tiene in�nitas soluciones.Si m = n, y el rangoA = n, entonces agregar una columna no incrementael rango (el cual está limitado por las n �las). y por el teorema inmediata-mente anterior, existe una solución. Esta solución es:

x� = A�1y;

utilizando la Regla de Cramer podemos expresar x� = jAijjAj ;donde Ai es el

resultado de reemplazar la i� �esima columna de A por y.Si m = n y el rango de A < n entonces existirán múltiples soluciones sirangoA = rangoAy (y no existirán soluciones de otro modo).Si m > n, habrá al menos m � n ecuaciones linealmente dependientes.Si hay n linealmente independientes, entonces las consideraciones hechaspara el caso en que m = n son válidas. Si hay menos de n �las linealmentelinealmente independientes entonces las consideraciones realizadas para elprimer caso (m < n) son válidas.En general, S� (x) = y puede tener solución para algunos �y�, pero nopara otros. Para que siempre tenga solución debe cumplirse rangoA = m,de modo que A sea capaz de generar Rm.

7.2. Estática comparativa. Volviendo al sistema

Ax+B� = 0;

se supondrá que tiene n ecuaciones independientes. Entonces A es invertible, y elsistema se puede resolver de maera única:

x�= �A�1B�;


la función solución para este modelo es entonces

x� = x (�)C�, donde C = �A�1B:Dado que se conocen las matrices A y B, las soluciones explícitas del modelopueden ser calculadas usando Regla de Cramer. Puesto que se conoce perfectamentela funcón solución, es posible diferenciar directamente para obtener resultados deestática comparativa

@x�

@�k= cik

Tambien es posible analizar cambios en la solución cuando los cambios sondiscretos, es decir, ante un cambio �grande� de �. Sean �0 y �00 dos vectores deparámetros distintos. Sus correspondientes valores solución de las variables endóge-nas están dados por

x00 = C�00 y x = C�0:

Por lo tanto el cambio de la solución como resultado del cambio en el vector deparámetros es

�x = x00�x0=C(�00��0) = C��El cambio de un x�i en particular ante el cambio de un �k es simplemente

�x�i=cik��k

7.3. Modelos no lineales - Teorema de la Función Implícita. Sea Fla función F : Rn � RP � X � �! Rm, con X � abierto y el modelo

F (x;�) = 0

al igual que antes x es el vector de variables endógenas y� es el vector de parámetros.Entonces dado un vector de parámetros � nosotros tenemos f� (x) = F (x;�). Deesta forma la correspondencia de solución es

S (�) = f�1� (0) = fx 2 X; f� (x) = 0gConsiderando que la solución x depende depende de �; puede escribirse

(7.3) F (x (�) ;�) � 0lo que permitiría diferenciar ambos lados de 7.3 con respecto a cualquier parámetroy la igualdad se mantiene. Se supone que F es C1(esto implica que es diferenciablealrededor de la solución y que sus derivadas son continuas) por lo tanto se intentaráaproximar linealmente el cambio en x� ante un cambio en �. Se supone que m = n,es decir que el número de ecuaciones que caracterizan la caracterizan la solucióndel modelo es idéntico al número de variables del mismo.

Antes de plantear formalmente el teorema de la función implícita resulta útil suderivación informal. Considerando primero el caso en que F depende de una variabley un parámetro, la ecuación 7.3 es simplemente F (x(�); �) = 0 y, diferenciandorespecto a � se obtiene

Fx(x(�); �)x0(�) + F�(x(�); �) = 0;

siendo Fj signi�ca la derivada parcial de F respecto a j. A partir de esta ecuaciónse tiene que

x0(�) = �F�(x(�); �)Fx(x(�); �)

:


Para el caso general en que F : Rn � RP � X � ! Rm; diferenciando el sistemade ecuaciones respecto al vector � arroja

DxF (x;�)n�nDx(�)nxp +D�(x;�)n�p = 0n�p

la que puede escribirse como

DxF (�)n�p = � [DxF (x;�)]�1nxpD�(x;�)n�p:

Para facilitar la comprensión del sistema de ecuaciones anterior, a continuaciónse desarrolla extensivamente el efecto que tiene el cambio en un parámetro (�k) enlas variables x. El resultado de este desarrollo será un vector de n componentes (elcambio de cada variable generado por el cambio de �k). Si este ejercicio se repitepara cada uno de los p parámetros �i se obtiene la matriz de dimensión n�p quesintetiza los cambios de todas las variables ante cambios de todos los parámetros.El sistema F (x;�) = 0 se puede escribir como

F 1 (x1; :::; xn;�1; :::; �p) = 0

...

Fn (x1; :::; xn;�1; :::; �p) = 0:

Para un � dado la solución es x� (x�1; :::; x�n), que puede escribirse en general

como (x�1 (�) ; :::; x�n (�)). El interés es entonces obtener

rx�@�k

:4 Tomando la primeraecuación del sistema F 1(x1(�1; :::; �p); :::; xn(�1; :::; �p);�1; :::; �p) � 0 y diferencián-dola respecto a �k se tiene

dF 1

d�k= F 1x1

@x�1 (:)

@�k+ F 1x2

@x�2 (:)

@�k+ :::+ F 1xn

@x�n (:)

@�k+ F 1�k = 0:

Esta ecuación puede reescribirse matricialmente como

�F 1x1; F

1x2; :::; F

1xn

�0BBBB@

@x�1(:)@�k@x�2(:)@�k...

@x�n(:)@�k

1CCCCA :

Procediendo de la manera análoga para las n ecuaciones del sistema se tiene

0B@ F 1x1 : : : F 1xn... : : :

...Fnx1 : : : Fnxn

1CA0BBBBB@

@x�1(:)@�k......

@x�n(:)@�k

1CCCCCA = �

0BBBB@F 1�k......

Fn�k

1CCCCA :

Entonces, despejando se obtiene

4Es importante recalcar que la utilidad del teorema de la función implícita (y por tanto deldesarrollo presentado) se limita a aquellos modelos para los cuales no es posible tener una soluciónexplícita ( es decir, aquellos en los que no es posible despejar cada uno de los xi en funciónsolamente de los �j), sino que solamente se conoce el sistema de ecuaciones que caracteriza elequilbrio pero se es incapaz de resolverlo. Para los casos en que se tiene una solución explícitabasta con derivar la solución de la variable de interés respecto al parámetro de interés.

60 3. OPTIMIZACIÓN ESTÁTICA0BBBBB@@x�1(:)@�k......

@x�n(:)@�k

1CCCCCA = �

0B@ F 1x1 : : : F 1xn... : : :

...Fnx1 : : : Fnxn

1CA�10BBBB@

F 1�k......

Fn�k

1CCCCANaturalmente, para que esto sea posible debe ser cierto que la matriz DxF (x;�)

es invertible.A continuación se enuncia formalmente el teorema (su demostración se omite)

para el caso más sencillo de una variable y un parámetro.

Teorema 38. (de la Función Implícita). Suponga que F : R2 ! R es C1 enuna vecindad abierta A del punto (x0;�0) = 0 y Fx(x0;�0) 6= 0: Entonces existenintervalos abiertos Ix e I� centrados en x0 y �0 respectivamente, tales que:

1. Para cada � 2 I�9!x� 2 Ix tal que F (x(�);�) = 0: Es decir que larestricción F (x;�) = 0 de�ne una función x : I� �! Ix, con x (�) = x�:

2. x (�) es diferenciable, su derivada es una función continua y está dadapor: x0 (�) = �F�(x;�)

Fx(x;�).

Varios comentarios son pertinentes respecto a este resultado.

Remark 8. Es necesario recalcar que la unicidad del mapping I� ! Ix es local.Es decir, el teorema plantea que bajo ciertas condiciones será posible encontrarintervalos alrededor de �0 y x0 tales que en esos intervalos efectivamente para cada� existe un único x tal que F (x; �) = 0: La Figura 1 ilustra este punto. En ella segra�can en el plano (�; x) el conjunto de puntos tales que F (x; �) = 0 y, pese a quepara �0 existen dos x tales que F (x; �) = 0; alrededor del punto (x0;�0) para cada� eciste un único x:

Remark 9. La condición de que Fx(x0;�0) 6= 0 no es necesaria para la existen-cia de la función x(�). El siguiente ejemplo ilustra de manera sencilla este punto:considere la función F (x; �) = (x� �)3 = 0 y el punto (x; �) = (0; 0): Obviamenteel punto F (0; 0) = 0; Fx = 3(x;�y)2 y Fy = �3(x � y)2 son ambas continuas y,en el punto (x; �) = (0; 0); no se satisface Fx(0; 0) 6= 0: Sin embargo, es evidenteque alrededor del punto (0; 0) sí es posible obtener la función x(a): De hecho, lafunción x(a) = � satisface que F (x(�); �) = 0 para todo valor de �: Obviamente,la fórmula x`(�) = �F�(x;�)

Fx(x;�)no resulta práctica para evaluar los cambios de x ante

cambios de � alrededor del punto en cuestión.

Remark 10. En la Figura 7.3 se ilustra un caso en que sí es porblemático elhecho que Fx(x; �) = 0: Nótese que para el punto (�0; x0) no es posible encontrarintervalos abiertos centrados en �0 y en x0 tales que para cada � exista un x tal queF (x; �) = 0: En particular, nótese que para cualquier � > �0 no existe ningún x ypara los � < �0 existen dos.Este mismo punto se ilustra en la �gura 38, que ilustra la misma función F (:) de laFigura 7.3 pero en el plano (F; x): La línea sólida corresponde al caso de � = �0; entanto que la línea punteada superior a un � mayor (pero cercano) que �0 y la líneainferior a un � ligeramente inferior a �0. Como se deduce en la grá�ca, alrededorde x0 no es posible encontrar una función uno a uno entre � y x, en tanto que síes posible hacerlo alrededor de x00:


α

x’’

αº α’

xº

x’

x

F(x,α)=0

Ejemplo 38. Considérese el modelo de renta nacional:

I(i) +X0 = S(Y; i) +M(Y )

L(Y; i) = MS0

donde I es la inversión que depende de la tasa de interés i, S es la función de ahorroque depende del ingreso Y y de la tasa de interés,M(Y ) es el nivel de importaciones,L es la demanda de dinero, X0 es el nivel de exportaciones (exógeno) y MS0 es

la oferta de dinero (exógena).Queremos hallar�

@Y@Ms0

�y�

@I@Ms0

�e interpretar

brevemente su signi�cado económico.Las variables endógenas de nuestro modelo son Y e i; las variables exógenas X0 yMS0 (la primera de estas variables exógenas está basada en decisiones exteriores y


F

x’ x’’

x’

F(x,α’)=0

la segunda está determinada por la autoridad monetaria). Entonces las dos ecuacio-nes de nuestro problema pueden expresarse como

F 1 = (Y; i;X0;MS0) = I(i) +X0 � S(Y; i)�M(Y ) = 0F 2 = (Y; i;X0;MS0) = L(Y; i)�MS0 = 0

Cabe preguntarse, ¿cumple este sistema las condiciones del teorema de la funciónimplícita?. Para ello debemos suponer que las funciones componentes tanto de F 1

como de F 2 tienen derivadas parciales continuas respecto de todas las variables, yen segundo lugar debemos veri�car que el jacobiano del sistema de ecuaciones seadistitno de cero:

jDxF j =�� @F 1

@Y@F 1

@i@F 2

@Y@F 2

@i

�� =�� SY �MY Ii � Si

LY Li

�� = ��Li(SY +MY )

��[LY (Ii � Si)]

bajo los supuestos habituales que Li < 0; 0 < SY < 1; 0 < MY < 1; LY > 0; Ii < 0y Si > 0 se tiene que el determinante es mayor que cero, por lo tanto se puedenescribir las funciones implícitas:

Y = Y (X0;MS0)

i = i(X0;MS0)


Las ecuaciones propuestas pueden utilizarse como identidades en el entorno deequilibrio, de forma que:

I(i) +X0 � S(y; i)�M(Y ) � 0(7.4)

L(Y ; i)�MS0 � 0

Suponiendo que varía sólo el parámetroMS0 entonces, después de tomar el diferencialde cada identidad 7.4 respecto a MS0 y considerando que

@F 1

@F 2= �SY �MY ;

@F 1

@i= Ii � Si;

@F 2

@Y= Ly

@F 2

@i= Li;

@F 1

@MS0= 0;

@F 2

@MS0= 1

se tienen las ecuaciones (en forma matricial):"@F 1

@Y@F 1

@i@F 2

@Y@F 2

@i

#"@Y@Ms0

@i@Ms0

#=

"@F 1

@Ms0@F 2

@Ms0

#(7.5)

��SY �MY Ii � Si

Ly Li

�" @Y@Ms0

@i@Ms0

#=

�0

1

�Por lo tanto,

@Y

@Ms0=

�� 0 Ii � Si1 Li

��jJ j =

Si � IiJ

> 0

y

@i

@Ms0=

�� SY �MY 0Ly 1

��jJ j =

�SY �MY

jJ j < 0:

Así, en este modelo el producto se incrementa ante aumentos en la oferta monetariay la tasa de interés disminuye con el aumento en la oferta monetaria5

Ejemplo 39. Sea el problema del consumidor

máx x21x22 + x1x2

sujeto a: w � p1x1 � p2x2 = 0:Para este problema las condiciones de primer orden son:1.

2x1x22 + x2 � �p1 = 0

2x21x1 + x1 � �p2 = 0

w � p1x1 � p2x2 = 0

donde � es el multiplicador de Lagrange. Las variables del sistema serán x =(x1; x2; �) y sus parámetros � = (p1; p2; w); llamando a este sistema F (x;�) = 0:El teorema de la función implícita nos dice que, alrededor de un punto de equilibrio,podemos evaluar los cambios en las variables a partir de cambios en los parámetrosde acuerdo a la siguiente fórmula

(7.6) Dx(�) = � [DzF (x(�);�]�1D�F (x(�);�)

5Cabe destacar que todas las derivadas del lado derecho del igual, incluyendo las del jacobiano,están evaluadas en el equilibrio inicial, es decir, en Y = Y e i = i:


siendo D el operador que indica que se ha llevado a cabo el proceso de diferenciación.Para este problema se puede escribir264

@x1@p1

@x1@p2

@x1@w

@x2@p1

@x2@p2

@x2@w

@�@p1

@�@p2

@�@w

375 =24 2y2 4xy + 1 �p14xy + 1 2x2 �p2�p1 �p2 0

35�1 24 �� 0 00 �� 0�x1 �x2 1

35esto es264

@x1@p1

@x1@p2

@x1@w

@x2@p1

@x2@p2

@x2@w

@�@p1

@�@p2

@�@w

375 =264

p2�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2 �p1 p2

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2�p1 p2

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2p1

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2p2+4xyp2�2x2p1

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2p1+4xyp2�2y2p1

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2p2+4xyp2�2x2p1

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2p1+4xyp2�2y2p2

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p28xy+12x2y2+1

�2p1p2�8xyp1p2+2x2p1+2y2p2

375�24 �� 0 0

0 �� 0�x �y 1

35Para concluir, se suponen los valores para los parámetros del problema: (p1; p2; w) =(1; 1; 10): A partir de las condiciones de primer orden es posible concluir que (x; y) =(5; 5) y � = 255: Evaluando la ecuación anterior en este punto (x;�) = (5; 5; 255);(1; 1; 10)) se obtiene:264

@x1@p1

@x1@p2

@x1@w

@x2@p1

@x2@p2

@x2@w

@�@p1

@�@p2

@�@w

375 =24 �5 0 1

20 �5 1

2�505 �505 151

2

35 :Ejercicio 39. A partir del ejemplo 13 obtenga soluciones explícitas para x(�)

y a partir de ellas veri�que que las expresiones para @x1@p1

; @x2@p1; @�@p2 ;

@x1@w ; y

@�@w coinciden

con las obtenidas en el ejemplo, (si no coinciden, revise el procedimiento seguidoen el ejemplo, puede haber errores de álgebra...).

Ejercicio 40. Considere el problema de minimización de costos de una �rmacon función de producción f(K;L)(f (:) es C1) que es tomadora de precios en losmercados de factores (los precios respectivos son r y w) que quiere producir al menosla cantidad q�. Suponga fk > 0 y fL > 0:a) Plantee el problema de la �rma y obtenga las condiciones de primer orden .b) Muestre que el multiplicador asociado a la restricción puede interpretarse comoel costo marginal.c) Diferencie el sistema y obtenga cómo cambia cada una de las variables delproblema ante cambios en los parámetros.d) Plantee supuestos su�cientes (y muestre que lo son) para que la estática comparati-va del problema arroje los siguientes resultados: @K@r < 0; @K@w > 0; @�@r > 0;

@�@q� < 0:

Ejercicio 41. Plantear un ejemplo de equilibrio general con intercambio puro.

Ejercicio 42. Plantear un ejemplo de minimización del gasto de los consumidores.


Ejercicio 43. Plantear un ejemplo de maximización de utilidad de los consumidorescon solución de esquina. Obtener la función de utilidad indirecta. Interpretar elmultiplicador.

APÉNDICE A

Formas Cuadráticas y Concavidad y convexidadde funciones

Definición 33. Una forma cuadrática es una función q : Rn ! R

q(x) = xAxT =nXi=1

nXk=1

aikxixk

Donde A = [aik] es una matriz cuadrada y simétrica con entradas reales, x 2 Rnes un vector, y xT su transpuesto.

El estudio de formas cuadráticas nos permite obtener resultados del comporta-miento de una función, dicha información se obtiene a partir de las segundasderivadas de la función en cuestión.

Es importante resaltar que cuando hablamos de funciones de una sola variablela función cuadrática f(x) = ax2 constituye la base para la prueba del teoremaque relaciona las nociones de segunda derivada, convexidad y concavidad. Cuandohablamos de funciones de variables, este papel lo desempeñan las formas cuadráticas

q(x) = xAxT

Una forma cuadrática q(x) = xAxT es

1. :De�nida positiva si q(x) > 0 para todo x 6= 02. Semide�nida positiva si q(x) � 0 para todo x:3. De�nida negativa si q(x) < 0 para todo x 6= 0:4. Semide�nida negativa si q(x) � 0 para todo x:5. Las dormas cuadráticas que no son semide�nida positiva, ni semide�nidanegativa, se denominan no de�nidas.

Ejemplo 40. La forma q(x; y) = 4x2 + 3y2; es decir

(x; y)

�4 00 3

��xy

�;

cero si y sólo si x = y = 0; de otro modo es positiva, por lo tanto es de�nidapositiva.

Ejemplo 41. La forma a(x; y; z) = 4x2 � 4xy + y2 + z2; la cual factorizandoadecuadamente se convierte en q(x; y; z) = (2x � y)2 + z2 es no negativa. Peroexisten otros valores distintos de x = y = z = 0 que la hacen cero, por ejemploz = 0; x = 3; y = 6;así que q(x; y; z) es semide�nida positiva.La clasi�cación delas formas cuadráticas usando la de�nición anterior puede resultar un ejerciciobastante complicado en tanto el número de variables del polinomio crezca, por lo

67

68 A. FORMAS CUADRÁTICAS Y CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES

que es deseable trasladar el problema de la clasi�cación de formas cuadráticas acriterios matriciales simples. Para ello se plantea la siguiente de�nición.

Definición 34. sea A una matriz n� n. El menor principal de A de orden 2es el determinante

M2 =

�� a11 a12a21 a22

�� ;el de orden 3

M3 =

��a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

�� ;y en general, el de orden r es

Mr =

��a11 a12 � � � a1ra21 a22 � � � a2r...

......

ar1 ar2 � � � arr

��Definición 35. 13. Sea A una matriz de n�n: Un menor principal prima-

rio de A de orden r es un determinante de la forma

Pr =

��aii aij � � � aikaji ajj � � � ajk...

......

aki akj � � � akk

��r�r

Es decir, surge de eliminar n� r �las y columnas con el mismo índice.

Ejemplo 42. Por ejemplo los menores principales de orden 2 de la matriz

C =

0BB@1 4 6 72 6 8 51 3 1 68 2 0 6

1CCAson: �� 1 6

0 6

�� ; �� 6 52 6

�� ; �� 6 83 1

�� ; �� 1 78 6

�� ; �� 1 61 1

�� ; �� 1 42 6

�� :Observe que cada uno de estos determinantes se forma al eliminar dos columnasy dos �las correspondientes, esto debido a que la matriz C es 4 � 4 y en ese casocada menor principal primario sale de eliminar 4 � 2 = 2 columnas y �lascorrespondientes.

El siguiente teorema provee resultados que permiten veri�car la de�nición delas formas cuadráticas a partir de los menores principales.

La forma cuadrática q(x) = xAxT ; donde A es una matriz simétrica de tamañon� n, es:

1): De�nida positiva si y sólo si Mr > 0 para r = 1; 2; 3; :::; n:2): Semide�nida positivasi y sólo si Pr � 0 para r = 1; 2; 3; :::; n3): De�nida negativa si y sólo si (�1)rMr > 0 para r = 1; 2; 3; :::; n:4): Semide�nida negativa si y sólo si (�1)rPr � 0 para r = 1; 2; 3; :::; n:

A. FORMAS CUADRÁTICAS Y CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE FUNCIONES 69

Una forma cuadrática es de�nida positiva si y sólo si todos los elementos de ladiagonal principal de su matriz de representación y todos los menores principalesson positivos. Es de�nida negativa si y sólo si todos los elementos de la diagonalprincipal de su matriz de representación son negativos y los menores principalestienen signos intercalados, es decir, el menor principal de orden dos es positivo, elde orden tres negativo, el de orden cuatro positivo y así sucesivamente.

Análogamente examinamos si la forma es semide�nida, pero para ello utilizamoslos menores principales primarios: para que la matriz sea semide�nida positiva loselementos en la diagonal y todos los menores primarios de la matriz deben serno negativos; para que sea semide�nida negativa los elementos de la diagonal dela matriz deben ser no positivos, los menores primarios de orden 2 deben ser nonegativos, los de orden 3 no positivos, y así sucesivamente.

Note que es posible determinar si la forma cuadrática es de�nida positiva onegativa simplemente chequeando el signo de los menores principales, pero para elcaso de las formas semide�nidas debemos observar todos los menores principalesprimarios.

Ejemplo 43. La matriz de q(x; y; z) = 16x2 � 8xy + y2 + z2 es0@ 16 �4 0�4 1 00 0 1

1Asus menores principales son

16;

�� 16 �4�4 1

�� = 16� 16 = 0 y��16 �4 0�4 1 00 0 1

�� = 0Nótese por lo tanto que q no es de�nida positiva ni de�nida negativa. para examinarsi es semide�nida deben considerarse los menores principales primarios. Los meno-res primarios de primer orden son:

16; 1 y 1

Los de segundo orden son�� 16 �4�4 1

�� = 0; ::: �� 16 00 1

�� = 16 y �� 1 00 1

�� = 1y el de tercer orden es ��

8 �4 0�4 1 00 0 1

�� = 0como todos los menores primarios son no negativos, entonces la forma es semide�-nida positiva.

Ejercicio 44. Determinar si las siguientes formas cuadráticas son de�nidasy en cso a�rmativo clasi�carlas como de�nida positiva (negativa) o semide�nidapositiva (negativa):

a): q(x; y; z) = 4x2 + 4xy + 3y2 + z2

b): q(x; y; z) = x2 � y2 + xyc): q(x; y; z) = �(x� 3y)2 � (3x� 2z)2 � (y � 2z)2d): q(x; y; z) = zy + x2 + 3xz


e): q(x; y; z) = �x2 + 5yz + 3xy + z2:

Teorema 39. 16. La forma cuadrática q(x) = xAxT es:

Estrictamente convexa si y sólo si es de�nida positivaConvexa si y sólo si es semide�nida positiva.Estrictamente cóncava si y sólo si es de�nida negativaCóncava si y sólo si es semide�nida negativa.

Nota: se recomienda a los lectores revisar lo relativo a la matriz Hessiana yHessiana Orlada, para complementar el estudio de las formas cuadráticas en lo queatañe a su convexidad o concavidad.

0.4. Concavidad y Convexidad de Funciones.0.4.1. De�niciones básicas. Vista geométricamente, una función es conve-

xa sobre un conjunto convexo si la recta que une los puntos (z; f(x)) y (y; f(y))está por encima de la grá�ca de la función entre esos puntos, y es cóncava si la rectasecante está por debajo de la grá�ca de la función entre esos dos puntos, veamosahora una de�nición formal.

Definición 36. Sean A � Rn un subconjunto convexo y f : A �! R; f esconvexa si y sólo si para todo x;y de A y � 2 [0; 1],

f (�x+ (1� �)y) � �f (x) + (1� �) f (y)

y f es cóncava si y sólo si para todo x;y de A y � 2 [0; 1],

f (�x+ (1� �)y) � �f (x) + (1� �) f (y)

Si en la de�nición anterior las desigualdades se satisfacen en forma estricta para0 < � < 1 y valores de x y y distintos, se dice que la función es estrictamenteconvexa o estrictamente cóncava, dependiendo del caso.

Remark 11. Para determinar si una función es cóncava o convexa se debeencontrar el signo de �f (x) + (1� �) f (y)� f�x+ (1� �)y


Figura 2: funcin convexa

Figura 3: funcin cncava

Ejercicio 45. Determine si las siguientes funciones son cóncavas, convexas oninguna de las dos

1. f (x) = 4� (1� x)2 :2. f (x) = ax2 + bx+ c:

Ejercicio 46. Demuestre lo siguiente.

1. Si f y g son convexas, entonces f + g es convexa.2. La función f (x; y) = 4x2 � 3xy + 5y2 es convexa

Proposición 1. Sean A un subconjunto convexo de Rn y f : A �! R. Severi�ca:


1. Si f es una función convexa (cóncava) en A, entonces �f es cóncava(convexa).(análogamente para convexidad y concavidad estrictas).

2. Si f es convexa (cóncava) en A y � � 0, entonces �f es convexa (cóncava).3. Si f es convexa (cóncava) en A y � � 0, entonces �f es cóncava (convexa).4. Si ffi j i = 1; :::;mg es una familia de funciones convexas en A (cóncavas),entonces la función f =

mPi=1

�ifi con � � 0 i = 1; :::;m es una función

convexa (cóncava) en A:

Ejercicio 47. Demuestre la proposición anterior

0.4.2. Convexidad y concavidad de funciones diferenciables.

Proposición 2. Sean A un conjunto abierto, no vacio y convexo de Rn, y funa función diferenciable de A en R:La función f es convexa en A si y sólo si paracualesquiera x;y 2 A se veri�ca que

f (y) � f (x) +rf (x) (y � x)o, alternativamente,

[rf (y)�rf (x)] (y � x) � 0;Representando el símbolo r el gradiente de la función respectiva.

Para la convexidad estricta es requisito que x;y 2 A con x 6= y, ademásla desigualdad débil cambia por desigualdad estricta. El resultado para funcionescóncavas se obtiene a partir de este invirtiendo el sentido de las desigualdades yutilizando desigualdad débil o estricta según sea el caso.

Ejercicio 48. Aplicando la proposición anterior, de�na si las siguientes funcionesson cóncavas o convexas

f (y1; y2) = ln (2y1 + ay2) (y1; y2) 2 R2; a 2 Rf (x1; x2; x3) = ln (x1) + x2x3 (x1; x2; x3) 2 R3f (y1; y2) = y21 + 3y

22 (y1; y2) 2 R2

f (x1; x2;x3) =pax1 + x2 + bx3 (x1; x2; x3) 2 R3; a; b 2 R

Proposición 3. Sea A un subconjunto abierto no vacío y convexo de Rn yf una función C2 (dos veces diferenciable) de�nida de A en R. Entonces, lafunción f es convexa (cóncava) en A si para todo x 2 A la forma cuadráticacon matriz asociada Hf(x) es semide�nida positiva (semide�nida negativa) ode�nida positiva (de�nida negativa).Si para todo x 2 A, se veri�ca que la formacuadrática con matriz asociada Hf(x) es de�nida positiva (de�nida negativa),la función f es estrictamente convexa (cóncava) en A.

Ejemplo 44. Dada la función f (x; y; z) = ax2 + by2 + z2 + xy+ 2xz tenemosque para todo p 2 R3

Hf (p)

24 2a 4 24 2b 02 0 2

35asumiendo que a > 0, b > 0 y ab > b+ 4 tenemos que:

M1 : 2a > 0

M2 :

�� 2a 44 2b

�� = 4 (ab� 4) > 0


M3 : jHf (p)j = 8 (ab� b� 4) > 0lo que nos indica entonces que la función es estrictamente convexa.

Ejercicio 49. A partir de la proposición anterior estudiar la convexidad,concavidad, así como la concavidad o convexidad estrictas de las siguientes funciones.

1. f (x; y; z) =px+ y + z para x > 0; y > 0; z > 0.

2. f (x; y) = (x+ y) ex+y para x > 0; y > 0.3. f (x; y; z) = (x; y; z)2 para todo x; y; z.4. f (x; y; z) = ax2 + by2 + z2 + 12xy + 3xz tal que (x; y; z) 2 R35. f (x1; x2;x3) = ex1x2+x3 (x1; x2;x3) 2 R3.

0.4.3. Cuasiconcavidad, cuasiconvexidad y pseudoconcavidad de fun-ciones. Adicionalmente a las funciones cóncavas y convexas existen las funcionescuasicón-cavas y cuasiconvexas, las cuales juegan un importante papel en optimización, puesson menos restrictivas que las primeras, pero conservan algunas de sus propiedades.En particular, una función cuasicóncava (cuasiconvexa) tiene la carcaterística detener a lo más un peak (valle), por lo que cualquier máximo (mínimo) local de lafunción será también un máximo (mínimo) global. Esta propiedad es particularmenteútil para problemas de maximización (minimización).

Definición 37. Sean A � Rn un conjunto convexo no vacio y f una funciónf : A �! R; entonces decimos que f es cuasiconvexa en A si y sólo si para todox;y de A y � 2 [0; 1] ;

f (�x+ (1� �)y) � m�ax ff (x) ; f (y)gy f es cuasicóncava si y sólo si

f (�x+ (1� �)y) � m�{n ff (x) ; f (y)gSean A � Rn un conjunto convexo no vacio y f una función f : A �! R; entoncesdecimos que f es estrictamente cuasiconvexa en A si para todo x;y de A;x 6= y y� 2 (0; 1),

f (�x+ (1� �)y) < m�ax ff (x) ; f (y)gy f es estrictamente cuasicóncava en A si

f (�x+ (1� �)y) > m�{n ff (x) ; f (y)g

0.4.4. Cuasiconcavidad de funciones diferenciables. SeanA un subcon-junto abierto, no vacío y convexo de Rn, y f una función f : A �! R y diferenciableen A. Entonces se veri�ca que.

1): La función f es cuasiconvexa en A si y sólo si para cualquier x;y 2Atales que f (y) � f (x) se tiene que

rf (x) (x� y) � 02): Si para cualquier x;y 2 A con x 6= y tales que f (y) � f (x) se tiene que

rf (x) (x� y) < 0entonces f es estrictamente convexa.Para el caso de funciones cóncavas y estrictamente cóncavas el resultado es


análogo, lo único que debemos cambiar es el signo de todas las desigualda-des para cada caso.

Proposición 4. Sean A un subconjunto abierto, no vacío y convexo de Rn,y f una función C2 (dos veces continuamente diferenciable) en A: Sea cHf (x) lamatriz cuadrada de orden n+ 1 denominada Hessiana Orlada y de�nida por

cHf (x1; x2;:::; xn) =

26666640 f1 f2 � � � fnf1 f11 f12 � � � f1nf2 f21 f22 � � � f2n...

......

...fn fn1 fn2 � � � fnn

3777775Se veri�ca que.1. Si la función f es cuasiconvexa en A, entonces para todo x 2 A y todo r =2; 3; :::; n+ 1 se cumple que

Mr

hcHf (x)i� 0

2. Si la función f es cuasicóncava en A entonces, para todo x 2 A y todo r =2; 3; :::; n+ 1 se cumple que1

(�1)r+1Mr

hcHf (x)i� 0

3. Si para todo x 2 A y todo r = 2; 3; :::; n+ 1 se tiene que

Mr

hcHf (x)i< 0

entonces la función f es estrictamente cuasiconvexa.4. Si para todo x 2 A y todo r = 2; 3; :::; n+ 1 se tiene que

(�1)r+1Mr

hcHf (x)i> 0

entonces la función f es estrictamente cuasicóncava.

Ejercicio 50. Diga cuales de los siguientes conjuntos son convexos.

1. A =�(x1; x2) 2 R2 j x2 = senx1

2. A =

�(x1; x2) 2 R2 j x2 + x1 < 4

3. A =

�(x1; x2) 2 R2 j x2 > x1

4. A =

�(x1; x2) 2 R2 j x2 � x1

5. A =

�(x1; x2; x3) 2 R3 j x22 + x21 � x3

Ejercicio 51. Determine cuáles de las siguietes funciones son convexas, cónca-

vas, cuasicóncavas o cuasiconvexas, además en los casos en que el ejercicio contengaparámetros decir que valores de los parámetros hacen la función cóncava o convexa:2

1. f (x) = x3 � 2x:2. f (x1; x2) = 4x1 � 8x23. f (x1; x2) = 3 (x1 + x2)

3, (x1;x2) 2 R2

1Es preciso que el estudiante que se dirija a Chiang. Alpha, C. (1987), tenga en cuenta queallí se de�ne el menor principal como 1, a partir del segundo elemento de la diagonal principal, elcual equivale a la segunda derivada del primer elemento del vector x, es decir obvian la orla de lamatriz Hessiana.

2Nota: R+ = fx 2 R j x � 0g y R++ = fx 2 R j x > 0g :


4. f (x; y; z) = 2x2 + 3y2 � az2 + 3xy + 4yz:5. f (x; y) = x+ axy � bx2 + y2; (x; y) 2 R2:6. f (x; y) = �x2 � y2; (x; y > 0)7. f (x) = ax4 � bx2 + 3; x 2 R8. f (x; y; z) = ax2 + bz2 + cy2 en R3 con a; b; c 2 R:

9. f (x) = ln�

nPi=1

xi

�con x 2 Rn++:

10. f (x1; x2) = ln (x1:x2), (x1; x2;) 2 R2++11. f (x; y) = Ax�y asuma que �+ > 0:12. f (x; y; z) = ex � ln yz13. f (x; y; z) = y2 � 4

pxz

Ejercicio 52. Muestre que:a. La suma de funciones cuasiconvexas no necesariamente es cuasiconvexa.b. Cualquier función monótona es cuasiconvexa o cuasicóncava.c. Si f es creciente y g es cuasiconvexa, h (x) = f (g (x)) es cuasiconvexa.

0.4.5. Pseudoconcavidad.

Definición 38. Sea f : X ! < una función C1 de�nida en el set convexo yabierto X � <n f es pseudo cóncava si para todo x0;x00 2 X se veri�ca que

rf(x)(x00 � x0) �0=)f(x0) �f(x):

Las funciones pseudocóncavas tienen algunas propiedades cuyas demostracionesquedan planteadas como ejercicios.

Ejemplo 45. La función f(x) = +x� x3 es pseudocóncava.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

120

100

80

60

40

20

20

40

60

80

100

120

x

y

Funcin x� x3

Ejercicio 53. ¿Es f(x) = x3 pseudocóncava? ¿Es cuasicóncava? ¿Y cóncava?


Ejercicio 54. Demuestre que si el gradiente de una función pseudocóncava enun punto es cero entonces la función alcanza un máximo en dicho punto. Pruebeadicionalmente que esta propiedad no es válida para una función cuasicóncava.

Ejercicio 55. Demuestre que si una función es pseudo cóncava entonces estambién cuasi cóncava.

El siguiente cuadro provee una síntesis de las relaciones entre las de�nicionespresentadas.

f es estrictamentecóncava

=) f es estrictamentecuasicóncava

+ +f escóncava

=) f es pseudocóncava

=) f escuasicóncava

Ejercicio 56. Demuestre mediante contraejemplos que las causalidades opuestasa las presentadas en el cuadro anterior no son válidas.

Notas de Economia Matemática

Documents

Transcript of Notas de Economia Matemática