Matemática notas 2006

Geometrıa IV

Notas provisionales del curso 2005/06

Gabino Gonzalez DiezDepartamento de Matematicas. UAM

Septiembre/2005

Indice general

Introduccion V

I Cohomologıa de De Rham 1

1. Formas diferenciales y cohomologıa 3

1.1. Formas diferenciales en abiertos de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Formas diferenciales y calculo vectorial clasico. . . . . . . . . . . 7

1.3. Formas diferenciales en variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Soporte de una forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Apendice: Formas diferenciales como tensores . . . . . . . . . . . 15

2. Integracion en variedades. 17

2.1. Integracion y orientabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Teorema de Stokes para variedades sin frontera . . . . . . 24

2.2.2. Teorema de Stokes para variedades confrontera . . . . . . 25

2.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Teoremas integrales del Analisis vectorial . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1. Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Invariancia homotopica de la cohomologıa 37

3.1. Lema de Poincare: Cohomologıa de Rn. . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Caracter topologico de la cohomologıa de De Rham. . . . . . . . 41

3.2.1. Inmersiones en espacio euclıdeo . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2. Entornos tubulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iii

iv INDICE GENERAL

4. La sucesion de Mayer-Vietoris 474.1. Sucesiones exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. La sucesion de Mayer Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Cohomologıa de las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4. Un par de resultados clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.1. Teorema del punto fijo de Brower. . . . . . . . . . . . . . 534.4.2. Invarianza/cia de la dimension. . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. La caracterıstica de Euler 575.0.3. Prueba de la igualdad

∑(−1)kαk =

∑(−1)khk(M) . . . 61

5.1. Triangulaciones de S2. Solidos platonicos. . . . . . . . . . . . . . 635.2. Caracterıstica de Euler de las superficies compactas . . . . . . . . 65

Introduccion

Como una primera motivacion de este curso podrıamos decir que su objetivoprincipal es desarrollar metodos que ayuden a decidir si dos variedades M y Ndadas son homeomorfas / difeomorfas.

Veamos algunos ejemplos:1) M = R, N = S1, la circunferencia unidad.2) M = R, N = R\03) M = R, N = ( − 1, 1)4) M = Rn, N = Bn, la bola unidad n-dimensional.5) M = Rn, N = Rm, n 6= m.

6) M = S2, la esfera , N el elipsoide N = (x, y, z) ∈ R3 : x2

a2 + y2

b2+ z2

c2 = 17) M = R2, N = R2\−→0 8) M = R3, N = R3\−→0 9) M = S2, la esfera , N = S1 × S1, el toro T.10) M = S2 × S2, N = S4 := −→x ∈ R4/ ‖ −→x ‖= 1, la esfera 4-dimensional.

RESPUESTAS

1) La respuesta es obviamente negativa, pues todo homeomorfismo f : M →N ha de preservar la compacidad.

2) La respuesta es, de nuevo, negativa pues los homeomorfismos preservantambien la conexion.

3) Aquı la respuesta es afirmativa. Un difeomorfismo explıcito viene dadopor

f : R → ( − 1, 1)

f(t) = t(−1 +

√1 + 4t2

2t2)

f−1(r) =r

1 − r2

4) Mas generalmente Rn y Bn son siempre difeomorfos. Un difeomorfismo

viene dado por la formula f(−→x ) = −→x (−1+

√1+4‖−→x ‖2

2‖−→x ‖2 ) con inversa f−1(−→y ) =−→y

1−‖−→y ‖2 .

v

vi INTRODUCCION

5) Si n 6= m Rn y Rm no pueden ser difeomorfos, ni siquiera localmente,pues un difeomorfismo f : U → V entre abieros de Rn y Rm darıa lugar a loimposible: un isomorfismo de espacios vectoriales Df : Rn → Rm.

¿Y homeomorfos? Esta pregunta tiene tambien respuesta negativa. En cam-bio su solucion dista mucho de ser trivial. Este es uno de los resultados queveremos a lo largo del curso. Implicara, mas generalmente, que variedades dedimensiones distintas no pueden ser homeomorfas.

6) La esfera y el elipsoide sı son difeomorfas. Basta poner

f(x, y, z) = (ax, by, cz)

7) Las respuesta a esta preguntas es negativa. Pero su demostracion tampocoes inmediata. Quienes conozcan algo de la teorıa del grupo fundamental de unespacio topologico X, π1(X), pueden arguir diciendo que π1(R2) es trivial pero

π(R2\−→0 ) no.Para quienes no sepan que significa π1(X) baste, de momento, decir que,

por ejemplo, la expresion π1(R2) = 0 solo esta indicando el hecho de que todacurva cerrada puede contraerse de forma continua a un punto y que la razon por

la que π1(R2\−→0 ) 6= 0 es que, al haber un agujero, esto no es ahora posible

(e.g tomar una circunferencia γ alrededor del origen). Luego R2 y R2\−→0 nopueden ser homeomorfos.

Como consecuencia del Teorema de Green, este mismo hecho puede de-scribirse sustituyendo el lenguaje topologico de curvas por el diferenciable decampos vectoriales o formas diferenciales. Recuerdese (ver [9]) que un campo

vectorial−→F = P

−→i + Q

−→j definido en un abierto de U de R2 se dice que es

un campo conservativo o gradiente si existe una funcion ϕ : U → R2 (llama-

da, entonces, funcion potencial) tal que−→F = ∇ϕ := ϕx

−→i + ϕy

−→j y se llama

irrotacional si satisface la ecuacion ∇ × −→F = (Qx − Py)

−→k = 0. Se veıa que

∇ × ∇ϕ = 0, i.e. que los campos gradientes son irrotacionales. Tiene sentidoentonces considerar el espacio vectorial cociente

H1(U) =campos irrotacionales en Ucampos gradientes en U

En terminos de formas diferenciales se escribıa ω = Pdx+Qdy en lugar de−→F

y dϕ = ϕxdx+ ϕydy en lugar de ∇ϕ. Se usaba el termino diferenciales exactaspara referirse a las diferenciales correspondientes a los campos conservativos ycerradas a las correspondientes a campos irrotacionales. Con esta terminologıa,que es la que se usara en este curso, escribiremos

H1(U) =formas diferenciales en U cerradasformas diferenciales en U exactas

Este espacio vectorial cociente recibira el nombre de primer grupo de co-homologıa de U . Desde este punto de vista el argumento que acabamos de

invocar para distinguir R2 y R2\−→0 se resumirıa diciendo que H1(R2) = 0

vii

( [9], p.524) mientras que H1(R2\−→0 ) 6= 0. En el primer caso toda for-ma cerrada ω es exacta; de hecho la funcion potencial ϕ se obtiene tomando

ϕ(x, y) =∫ (x,y)

(0,0)Pdx+Qdy , integral que no depende del camino precisamente

porque π1(R2) es trivial (Teorema de Green). En el segundo caso existe, encorrespondencia con la circunferencia γ que rodea el agujero, una forma cer-rada ω = −xdy+ydx

x2+y2 tal que∫

γω 6= 0, luego ω define un elemento no nulo de

H1(R2\−→0 ).8) El grupo fundamental no distingue ahora nuestras dos variedades pues es

intuitivamente obvio que π1(R3\−→0 ) es tambien trivial. Como consecuencia deello, utilizando ahora el Teorema de Stokes, obtenemos que todo campo irrota-

cional es un campo gradiente, i.e. H1(R3\−→0 ) es nulo. En otras palabras, ni elgrupo fundamental ni el primer grupo de cohomologıa (dos grupos, que comoveremos, estan estrechamente relacionados) detectan, en este caso, el agujero.Sin embargo hay todavıa un tercer operador diferencial que podemos utilizar: ladivergencia, cuya anulacion significa que el campo en cuestion es incompresible.

Tenıamos la fomula (ver [9], p.221) div.rot−→F = ∇· (∇×−→

F ) = 0 que dice que ladivergencia de cualquier rotacional es 0. Y ası podemos definir el segundo grupode cohomologıa de un abiero U como el espacio cociente

H2(U) =campos incompresibles i.e. div

−→F = 0

campos de la forma−→F = rot

−→G

Este grupo sı detecta el agujero en R3\−→0 , pues mientras que H2(R3) es

trivial (ver [9], p.526), H2(R3\−→0 ) no lo es, como puede verse consideran-

do el campo−→F = 1

(x2+y2+z2)3/2 (x−→i + y

−→j + z

−→k ) que es incompresible, pero

no es el rotacional de ningun campo, pues si fuera−→F = (∇ × −→

G), aplican-

do el Teorema de Stokes ([9], p.510), tendrıamos∫

S2

−→F =

∫S2(∇ × −→

G) =∫

∂S2=∅−→G = 0, mientras que un calculo directo con coordenada esfericas (θ, φ)

T→(senφ cos θ, senφsenθ, cosφ) da

∫S2

−→F =

∫ 2π

0

∫ π

0

−→F ·(Tθ×Tφ) =

∫ 2π

0

∫ π

0−senφ =

−4π 6= 0 ([9], p.473).Por supuesto, al dar por sentado que variedades con grupos de cohomologıa

distintos no pueden ser difeomorfas/homeomorfas estamosimplıcitamente suponiendo que dado un difeomorfismo f : U → V existe unmecanismo para construir una biyeccion entre campos incompresibles, rota-cionales, irrotacionales y gradientes de U y V . Para mostrar este fenomeno,y para el desarrollo de la teorıa en general, sera mucho mas comodo utilizarlenguaje de las formas diferenciales mencionado en el punto anterior. Para losque esten familiarizados con el, digamos que el grupo anterior tomara la forma

H2(U) =formas de grado 2 cerradas formas de grado 2 exactas

9) Es otro caso en el que el grupo fundamental sirve para distinguir las dosvariedades ( π1(S2) = 0 mientras que π1(S1 × S1) ≈ Z ⊕ Z).

viii INTRODUCCION

10) Proporciona tambien un ejemplo de variedades que no son distinguidaspor el grupo de homotopıa pero, como veremos, sı por los de cohomologıa.

Una ultima observacion antes de cerrar esta introduccion. La forma en la quehemos presentado nuestros objetivos podrıa inducir a pensar que la propiedadde ser variedades difeomorfas es equivalente a la de ser homeomorfas. Ello no esası (existen variedades topologicas -de hecho el mismo R4- que poseen estruc-turas diferenciables no difeomorfas entre sı), sin embargo los resultados que seexpondran en este curso no percibiran este fenomeno.

Parte I

Cohomologıa de De Rham

1

Capıtulo 1

Formas diferenciales ycohomologıa

1.1. Formas diferenciales en abiertos de Rn.

En toda esta seccion U denota un abierto de Rn

Definicion 1 Una forma diferencial de grado k es una expresion del tipo

ω =∑

i1<...<ik

fi1 , ...ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik

=∑

fIdxI

donde el sumatorio se extiende a lo largo de todos los conjuntos de k ındicesI = i1,...,ik ⊂ 1, ..., n ordenados en sentido creciente, fi1 , ...ik

= fI sonfunciones C∞ definidas en U y dx1, ..., dxn son sımbolos formales.

El espacio de formas diferenciales de grado k sera denotado por Ωk(U). Como

espacio vectorial real Ωk(U) es simplemente la suma directa de

(nk

)copias

de C∞(U), tantas como el numero de subconjuntos de1, ..., n de k elementosordenados en orden creciente. Ası Ω0(U) = C∞(U) y Ωk(U) = 0 siempre quek > n, la dimension del abierto.

Para trabajar con formas diferenciales sera muy util -si no esencial- permitirexpresiones como la anterior en las que el conjunto de ındices no tiene porque estar ordenado en sentido creciente. Usaremos la siguiente

Notacion 2 Si I = i1,...,ik es un conjunto de k indices distintos no necesaria-mente ordenados en orden creciente, pondremos dxi1 ∧ ... ∧ dxik

=ε(σ)dxiσ(1)

∧ ... ∧ dxiσ(k)( abreviadamente dxI = ε(σI)dxI+) siendo I+ el con-

junto I ordenado en orden creciente y ε(σI) = ±1 la signatura de la permutacionσI que realiza esta ordenacion y pondremos dxi1 ∧ ... ∧ dxik

= 0 si alguno delos ındices esta repetido. En particular, para una permutacion arbitraria σ de

3

4 CAPITULO 1. FORMAS DIFERENCIALES Y COHOMOLOGIA

i1,...,ik se tiene dxI = ε(σ)dxIσ , donde Iσ es el conjunto ordenado que resultaal aplicar σ a I.

De ahora en adelante, pues, admitiremos como I = i1,...,ik cualquier con-junto ordenado de k ındices no necesariamente distintos con 1 ≤ id ≤ n. A lahora de operar con formas diferenciales bastara tener en cuenta las siguientesreglas:

I) dxi ∧ dxi = 0

II) dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi

Para simplificar la notacion, a menudo escribiremos dxi1 ...dxiken lugar de

dxi1 ∧ ... ∧ dxik. Ademas de sumarse las formas diferenciales pueden tambien

multiplicarse.

Definicion 3 El producto exterior de dos formas ω =∑fIdxI y

τ =∑gJdxJ de grados p y q es la forma de grado p+ q siguiente

ω ∧ τ =∑

fIgJdxIdxJ

Observacion 4 La definicion anterior es compatible con la identificacion dxI =ε(σ)dxIσ pues si tenemos tambien dxJ = ε(β)dxJβ , entonces:ε(σ)dxIσ ∧ ε(β)dxJβ = ε(σ)ε(β)dxIσ ∧ dxJβ = ε(σβ)dxIσ+Jβ = dxI+J =dxI ∧ dxJ

(Con la notacion I + J nos referimos al conjunto de ındices I ∪ J con la or-denacıon de I seguida de la de J ; esto suponiendo I y J disjuntos; de lo contrarioambos productos son nulos).

Ejemplo 5 Si ω = senxdy + ydz y η = senxdx + xdz tenemos ω ∧ η =sen2xdy ∧ dx+ xsenxdy ∧ dz + ysenxdz ∧ dx+ yxdz ∧ dz = −sen2xdx ∧ dy +xsenxdy ∧ dz − ysenxdx ∧ dz.Notacion 6 Pondremos Ω∗(U) = ⊕k≥0Ω

k(U).

Es evidente que con la opercion de suma obvia y el producto que se acabade definir Ω∗(U) adquiere las estructuras algebraicas de espacio vectorial reale incluso anillo graduado (esto solo significa que al multiplicar una forma degrado p por una forma de grado q obtenemos una de grado p + q. Observeseque este anillo no es conmutativo pero que si nos quedamos solo con el subanilloconstituido por las formas de grado par Ωpar(U) = ⊕k=2p≥0Ω

k(U) entonces sı loes.

Definicion 7 El operador diferencial exterior d : Ωk(U) → Ωk+1(U) sedefine como

i)si f ∈ Ω0(U), df =∑ ∂f

∂xi

dxi

ii) si ω =∑

fIdxI , dω =∑

dfIdxI

1.1. FORMAS DIFERENCIALES EN ABIERTOS DE RN . 5

Observacion 8 i) De nuevo es trivial comprobar que la deficion del operadord es compatible con la identificacion fIdxI = ε(σ) fIdxIσ

ii) Notese que si denotamos por xi ∈ Ω0(U) la aplicacion “i−esima coor-denada” su diferencial dxi, segun la definicion que acabamos de dar, sera elsımbolo formal dxi. En otras palabras no hay ambiguedad en el uso de estanotacion.

Ejemplo 9 1)Si ω = senxdy ∈ Ω1(R2), dω = d(senx)dy = cosxdx ∧ dy =cos dxdy

2)d(x2 + z + 1)dxdy = 2xdxdxdz + dzdxdy = dxdydz3)d(x2 + z + 1)dydx = 2xdxdydx+ dzdydx = −dxdydz

Ejemplo 10 Si ω = dxI , dω = d(1)dxI = 0

Proposicion 11 d es una antiderivacion i.e. d(ω ∧ τ) = dω ∧ τ + (−1)kω ∧ dτ ,donde k =grado de ω.

Demostracion. Si ω =∑fIdxI y τ =

∑gJdxJ , tenemos

d(ω ∧ τ) = d(∑fIgJdxIdxJ) =

∑d(fIgJ)dxIdxJ =

∑(d(fI)gJ + fI(dgJ ))dxIdxJ =

∑d(fI)gJdxIdxJ + fI(dgJ )dxIdxJ =

(∑d(fI)dxI)∧

∑gJdxJ +(−1)k(

∑fIdxIdgJdxJ) = dω∧τ+(−1)kω∧dτ (pues

se necesitan k cambios de signo para intercambiar el orden de dgJ y dxI)

Ejercicio 12 Comprobar el resultado anterior para la formas que aparecen enel Ejemplo 5.

Proposicion 13 d2 = 0

Demostracion. i) Si f ∈ Ω0(U), d2f = d(∑ ∂f

∂xidxi) =

∑ ∂2f∂xj∂xi

dxj ∧dxi = 0, pues por cada termino ∂2f

∂xj∂xidxj ∧dxi tenemos un termino ∂2f

∂xi∂xjdxi∧

dxj = − ∂2f∂xj∂xi

dxj ∧ dxi.

ii) Si ω =∑fIdxI , d

2ω = d(∑dfIdxI) =

∑(d2fIdxI − dfId

2xI) = 0

Ejercicio 14 Comprobar el resultado anterior para las formas que aparecen enel Ejemplo 5.

El ultimo resultado nos permite dar la siguiente

Definicion 15 El k-esimo grupo de cohomologıa de De Rham de U esel espacio vectorial cociente

Hk(U) =Ker(d : Ωk(U) → Ωk+1(U))

d(Ωk−1(U))=:

k-formas cerradask-formas exactas

Veamos un ejemplo muy simple


Ejemplo 16 U = (a, b), incluido el caso a o b = ∞, Hk(U) =

R, si k = 00, si k > 0

que solo expresa los siguientes hechos:1) las funciones f : U → R cuya derivada se anula son las constantes (H0(U) =R),2) toda 1-forma ω = g(x)dx es exacta con g(x) = d(

∫ x

∗ g(t)dt) (H1(U) = 0), y

3) toda forma de grado ≥ 2 es, por definicion, nula (Hk(U) = 0, si k ≥ 2).

Ejercicio 17 ¿Quien es Hk(U) cuando U es la union disjunta de m intervalos?

Puesto que, segun se ha anunciado, abiertos difeomorfos van a tener gruposde cohomogıa isomorfos, necesitamos ser capaces de asociar a cada difeomorfis-mo f : U → V un operador que transforme diferenciales de U en diferencialesde V . Este operador se define como sigue

Definicion 18 Sea f = (f1,..,fm) : U → V una aplicacion diferenciable entreabiertos de Rn y Rm respectivamente. Se define el operador imagen recıpro-ca (o “pullback”) f∗, entre formas diferenciales por la siguiente formula:

f∗ : Ωk(V ) → Ωk(U)

ω =∑

gj1 , ...jkdxj1 · · · dxjk

→ f∗(ω) :=∑

(gj1 , ...jk f)dfj1 · · · dfjk

Observacion 19 1)Si f : U → U es la aplicacion identidad, entonces tambienlo es f∗ : Ω∗(U) → Ω∗(U)2) Es tambien evidente que f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η)

Ejemplo 20 (Regla de la cadena) Sea g : V → R diferenciable, entoncesf∗dg = d(g f).

Este hecho es una consecuencia de la Regla de la cadena:f∗dg = f∗

∑ ∂g∂xj

dxj =∑

( ∂g∂xj

f)dfj =∑

j(∂g∂xj

f)(∑

i∂fj

∂xidxi) =

∑ij(

∂g∂xj

f)∂fj

∂xidxi = d(g f)

Proposicion 21 f∗ d = d f∗

Demostracion. Por linealidad basta comprobarlo para una forma del tipoω = ϕdxI = ϕdxi1 · ·dxik

. Aplicando los resultados anteriores tenemos:f∗dω = f∗d(ϕdxI) = f∗(dϕ ∧ dxI) = f∗dϕ ∧ f∗dxI = d(ϕ f) ∧ dfi1 · ·dfik

=d ((ϕ f) ∧ dfi1 · ·dfik

) = d (f∗ϕ ∧ f∗dxI) = d f∗ω.

Corolario 22 El operador f∗ envıa formas cerradas (resp. exactas) de V enformas cerradas (resp. exactas) de U y, en particular, induce un homomorfismode espacios vectoriales:

f∗ : Hk(V ) → Hk(U)

1.2. FORMAS DIFERENCIALES Y CALCULO VECTORIAL CLASICO. 7

Proposicion 23 Si g : V →W ⊂ Rm es otra aplicacion diferenciable, tenemos(g f)∗ = f∗ g∗. En particular si f : U → V es un difeomorfismo (f−1)∗ =(f∗)−1

Demostracion. Basta ver que ambos operadores coinciden en una forma deltipo dxj , i.e basta ver que (gf)∗dxj = d(gj f) coincide con f∗g∗dxj = f∗dgj ,pero esto es precisamente la Regla de la cadena.

Teorema 24 f : U → V difeomorfismo ⇒ f∗ : Hk(V ) → Hk(U) es unisomorfismo de espacios vectoriales

Demostracion. Basta observar que f∗ (f−1)∗ = (f−1 f)∗ = id∗U =idHk(U)

Este teorema dice que para decidir que dos abiertos U y V no son difeomorfosbasta que tengan algun grupo de cohomologıa distinto. De hecho si, en analogıacon con la definicion Ω∗(U), consideramos el algebra H∗(U) := ⊕k≥0H

k(U) (noes solo un espacio vectorial, tambıen esta definido un producto (ω, η) → ω ∧ η)entonces f∗ : H∗(V ) → H∗(U) es incluso un isomorfismo de algebras.

Ejercicio 25 Comprobar los dos hechos siguientes, que son necesarios para darsentido al comentario anterior: ω, η cerradas (resp. ω exacta, η cerrada)⇒ ω∧ηcerradas (resp. exacta).

1.1.1. Ejercicios

1)Ejercicios 1,2 y 3 de[9] pag.580)2)Calcular dω cuando ω es cualquiera de las formas diferenciales siguientes:

ω1 = 3dx+ ydy, ω2 = dx ∧ dy, ω3 = dx ∧ dy ∧ dz.Calcular ω1∧ ω2, ω1∧ ω3, ω2∧ ω3

Comprobar que d(ω1∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)ω1 ∧ dω2

Comprobar que d dωi = 0, i = 1, 2, 3.3) Sea f : U → V una aplicacion diferenciable entre abiertos de Rn. Probar quef∗(dx1 ∧ ... ∧ dxn) = Jac(f)dx1 ∧ ... ∧ dxn.4) Sea υ = xdy∧dz−ydx∧dz+zdx∧dy y β(θ, φ) = (senφ cos θ, senφsenθ, cosφ).Comprobar que (β)∗υ = −senφdθdφ.

1.2. Formas diferenciales y calculo vectorial clasico.

La conexion entre el lenguaje de las formas diferenciales y el, mas clasico,del calculo vectorial se establece facilmente.

•DIMENSION 2Si U es un abierto de R2 y V ec(U) denota el espacio vectorial de campos en

vectoriales se tienen las siguientes identificaciones entre campos y formas:

ϕ ∈ Ω0(U), ω = Pdx+Qdy ∈ Ω1(U), ϕdxdy ∈ Ω2(U)q q q

ϕ ∈ C∞(U),−→F = P

−→i +Q

−→j ∈ V ec(U), ϕ ∈ C∞(U)


Por su parte, la correspondencia entre el operador diferencial d y los oper-adores diferenciales clasicos es

Ω0(U)d→ Ω1(U)

d→ Ω2(U)q q q

C∞(U)∇→ V ec(U)

∇×→ C∞(U)

donde ∇× aplicado al campo−→F representa la tercera (y unica) componente del

campo ∇×−→F = (Qx − Py)

−→k .

Ejercicio 26 Comprobar que, efectivamente, el diagrama anterior conmuta.

•DIMENSION 3Si U es un abierto de R3 la identificacion entre campos y formas es la sigu-

iente.

Ω0(U), Ω1(U) F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy ∈ Ω2(U), ϕdxdydz ∈ Ω3(U)q q q q

C∞(U), V ec(U) F1−→i + F2

−→j + F3

−→k ∈ V ec(U), ϕ ∈ C∞(U)

y entre los operadores diferenciales

Ω0(U)d→ Ω1(U)

d→ Ω2(U)d→ Ω3(U)

q q q q

C∞(U)∇→ V ec(U)

∇×→ V ec(U)div→ C∞(U)

Ejercicio 27 Comprobar la conmutatividad del diagrama anterior. (Observeseque la identificacion Ω2(U) ≡ V ec(U) esta elegida ası para que esto ocurra)

1.3. Formas diferenciales en variedades.

La manera de definir formas en una variedad M de dimension m es, porsupuesto, utilizar entornos coordenados. Ası, para definir una forma ω ∈ Ωk(M)tendremos que dar una coleccion de formas ωi en abiertos ϕi(Ui) ⊂ Rn, una porcada carta (Ui, ϕi) de la variedad.

Es claro que necesitamos imponer alguna condicion de compatibilidad enlas intersecciones de cartas. Por ejemplo, en el caso de formas de grado k = 0deseamos tener Ω0(M) = C∞(M). Ahora bien, para que una coleccion fi ∈Ω0(ϕi(Ui)) defina una funcion global f : M → R mediante la formula f(x) =fi(ϕi(x)) necesitamos asegurarnos de que para cada x ∈ Ui ∩ Uj se satisfacefi ϕi(x) = fj ϕj(x), i.e. necesitamos tener:

fi ϕi|Ui∩Uj= fj ϕj|Ui∩Uj

⇔ fi|ϕi(Ui∩Uj) = fj (ϕj ϕ−1i )|ϕi(Ui∩Uj)

⇔ fi|ϕi(Ui∩Uj) = (ϕj ϕ−1i )∗fj|ϕi(Ui∩Uj)

Examinemos ahora el caso en que ω fuera una k−forma en M = U ⊂ Rn y(Ui, ϕi)i fuese una coleccion de cartas para U , donde cada ϕi : Ui → ϕi(Ui) es

1.3. FORMAS DIFERENCIALES EN VARIEDADES. 9

U1 U2

ϕ ϕ1 2

1

M

.ϕ2

ϕ-1

un difeomorfismo entre abiertos de Rn. Deseamos que lasωi ∈ Ω(ϕi(Ui)) determinen una forma ω =

∑I=i1<..<ik fIdxI en U . La unica

manera de proceder que a uno se le ocurre es tomar ϕi∗ωi =∑

I=i1<..<ik fiIdxI ∈ Ω(Ui) y definir fI(x) = f i

I(x) si x ∈ Ui. De nuevo para

que esto tenga sentido necesitamos que se satisfaga f iI = f j

I en Ui∩Uj . En otraspalabras, debe ocurrir que

f iI|ϕi(Ui∩Uj)

= f jI|ϕi(Ui∩Uj)

,∀I = i1 < .. < ik ⇔ ϕ∗iωi|ϕi(Ui∩Uj) = ϕj

∗ωj|ϕj(Ui∩Uj) ⇔ωi|ϕi(Ui∩Uj) = (ϕ−1

i )∗ϕj∗ωj|ϕi(Ui∩Uj) ⇔ ωi|ϕi(Ui∩Uj) = (ϕj ϕ−1

i )∗ωj|ϕi(Ui∩Uj)

que es la misma condicion que obtuvimos antes.

Esto nos lleva a la siguiente

Definicion 28 Una forma diferencial de grado k en una variedad M es unacoleccion

ω ≡ ωi ∈ Ωk(ϕi(Ui))donde Ui, ϕi es un atlas de M (no necesariamente maximal), satisfaciendo

ωi = (ϕj ϕ−1i )∗ωj en ϕi(Ui ∩ Uj) ⊂ Rn

Observacion 29 Si M = U ⊂ Rn, el comentario previo a la definicion muestraque ω ≡ ωi = (ϕ−1

i )∗ω y que ω|Ui= ϕi

∗ωi

Observacion 30 Una vez que se da la coleccion ωi ∈ Ωk(ϕi(Ui)) respecto aun atlas particular se tiene determinada la expresion de la forma respecto decualquier posible carta (U,ϕ). En efecto, basta cubrir U por unos cuantos Ui yrazonar como en la observacion anterior.


(0,1)U 1

2π0

( )ϕ

1

Ejemplo 31 Ω∗(S1).

Consideremos el atlas dado por las dos cartas siguientes:

U1 = S1 \ (1, 0), ϕ1 : U1 → (0, 2π) con ϕ−11 (θ) = (cos θ, senθ)

U2 = S1 \ (−1, 0), ϕ2 : U2 → (−π, π) con ϕ−12 (θ) = (cos θ, senθ)

Una forma de grado 1 vendra dada por

ω1 = g1(θ)dθ ∈ Ω1(0, 2π)ω2 = g2(θ)dθ ∈ Ω1(−π, π)

donde ω1 y ω2 deben satisfacer la condicion de compatibilidad exigida en ladefinicion. Estudiemos la situacion con detalle.

ϕ1(U1 ∩ U2) = (0, π) ∪ (π, 2π) y ϕ2(U1 ∩ U2) = (−π, 0) ∪ (0, π)

En (0, π) tenemos ϕ−11 (θ) = ϕ−1

2 (θ) ⇒ ϕ1 ϕ−12 = id, mientras que

en (−π, 0), ϕ−12 (θ) = ϕ−1

1 (θ + 2π) ⇒ ϕ1 ϕ−12 = id+ 2π

Vemos que

ω2 = (ϕ1 ϕ−12 )∗ω1 ⇔ g2(θ)dθ = (ϕ1 ϕ−1

2 )∗g1(θ)dθ =

g1((ϕ1 ϕ−12 )(θ))d(ϕ1 ϕ−1

2 ) = g1((ϕ1 ϕ−12 )(θ))dθ ⇔

g2(θ) =

g1(θ), en (0, π)

g1(θ + 2π), en (−π, 0)

⇔ g1 y g2 “se pegan” para

definir una funcion preriodica g : (−π, 2π) definida por

g(θ) =

g1(θ), en (0, 2π)g2(θ), en (−π, π)

• Ası pues Ω1(S1) = g(θ)dθ, con g periodica•De paso hemos visto tambien algo mas simple: Ω0(S1) = g(θ), con g

periodica


Tambien ahora podemos definir los operadores derivada exterior y pullback

Definicion 32 Si ω = ωi ∈ Ωk( ϕi(Ui)) es una forma en M se define dω =dωi ∈ Ωk+1( ϕi(Ui))

(Notese que, en efecto, la coleccion dωi define una forma, pues

(ϕj ϕ−1i )∗dωj = d(ϕj ϕ−1

i )∗ωj = dωi)

Es claro que tambien para variedades se cumple la propiedad d d = 0.Podemos definir, por tanto, los grupos de cohomologıa de De Rham

Definicion 33 El k-esimo grupo de cohomologıa De Rham de M es elespacio vectorial cociente

Hk(M) =Ker(d : Ωk(M) → Ωk+1(M))

d(Ωk−1(M))=:

k-formas cerradask-formas exactas

Ejemplo 34 1)H0(M) = R\ componentes conexas

(una 0−forma cerrada es una funcion localmente constante)

2)Hp(M) = 0 siempre que p > dim(M)

Ejemplo 35 (cohomologıa de S1)

Por lo anterior tenemos que H0(S1) = R y Hp(S1) = 0 si p > 1. Paraestudiar el caso p = 1 empezamos construyendo el siguiente homomorfismo:

L : Ω1(S1) ' Rω = f(θ)dθ →

∫ 2π

0f(θ)dθ

•L es suprayectiva porque L(dθ) = 2π 6= 0

•KerL = dΩ0(S1), i.e. L(ω) = 0 ⇔ ω es exacta. De hecho ω = dg con

g(θ) =∫ θ

0f(t)dt. (El punto clave es que g es periodica cuando

∫ 2π

0f(θ)dθ = 0).

Luego L induce un isomorfismo L : H1(S1) ' R.

Notese que la forma diferencial dθ, llamada forma angular, no es, pese a suaspecto, una forma exacta, pues la coordenada θ no es una funcion globalmentedefinida.

Definicion 36 Si f : M → N es una aplicacion entre variedades diferenciablesdefinimos f∗ : Ω(N) → Ω(M) mediante la formula

ω′ = ω′i ∈ Ω(ϕ′

i(U′i)) → f∗(ω′) := (ϕ′

i f ϕ−1i )∗ω′

i ∈ Ω(ϕi(Ui))

En esta definicion se esta presuponiendo que el atlas Ui, ϕi de M seesta eligiendo de modo que f(Ui) ⊂ U ′

i (lo que es posible por la continuidad def )


U

ϕ1

i

f

ϕi

iU’

’

M N

Observacion 37 Para asegurarnos de que la coleccion

(ϕ′i f ϕ−1

i )∗ω′i ∈ Ω(ϕi(Ui))

define realmente una diferencial, debemos comprobar que se satisface la condi-cion de compatibilidad, i.e.

(ϕ′i f ϕ−1

i )∗ω′i = (ϕj ϕ−1

i )∗(ϕ′j f ϕ−1

j )∗ω′j

Ahora, para las ω′i sabemos que esta condicion se cumple, luego

ω′i = (ϕ′

j ϕ′−1i )∗ω′

j y por tanto (ϕ′if ϕ−1

i )∗ω′i = (ϕ′

if ϕ−1i )∗(ϕ′

j ϕ′−1i )∗ω′

j =

(ϕ′j ϕ′−1

i ϕ′i f ϕ−1

i )∗ω′j = (ϕ′

j f ϕ−1i )∗ω′

j

Pero por otro lado vemos que (ϕj ϕ−1i )∗(ϕ′

j f ϕ−1j )∗ω′

j =

(ϕ′i f ϕ−1

j ϕj ϕ−1i )∗ω′

j = (ϕ′j f ϕ−1

i )∗ω′j

Observacion 38 Una forma diferencial ω ∈ Ω(M) se expresa en terminos decualquier atlas (Uk, ϕk) como ω ≡ ωk := (ϕ−1

k )∗ω ∈ Ω(ϕk(Uk).

Ejemplo 39 Consideremos en R2 la forma ω = xdy − ydx y pensemos ensu restriccion a S1. De acuerdo con la definicion de ω|S1 como pullback de lainclusion i : S1 → R2 y, en terminos del atlas de S1 elegido anteriormente y elobvio -con la unica carta identidad- en R2, la forma ω|S1 = i∗(ω) viene descritacomo

(ϕ−1

1 )∗(ω) = cos θdsenθ − senθd cos θ = dθ en (0, 2π)(ϕ−1

2 )∗(ω) = cos θdsenθ − senθd cos θ = dθ en (−π, π)

es decir ω|S1 coincide con la forma dθ introducida en el Ejemplo 31. Notese

que la restriccion de la forma η = 1x2+y2 (xdy − ydx) ∈ Ω(R2) coincide con la

restriccion de ω.

Es particularmente interesante el caso en que M es una subvariedad de Rn

y f es la aplicacion inclusion M → Rn. Esta es en la practica la manera de


construir formas diferenciales explıcitas. Por ejemplo, si consideramos la apli-cacion inclusion i : S2 → R3 y la forma diferencial ω = dxdy + 3dxdz ∈ Ω(R3),obtenemos mediante la operacion pullback una forma i∗(ω) ∈ Ω(S2) que se de-nomina restriccion de ω a S2 y se denota por (dxdy+3dxdz)|S2 o simplementedxdy + 3dxdz cuando el contexto aclara que la estamos pensando en S2.

Otra situacion que conviene ser senalada es aquella en la que se considerael pullback mediante la aplicacion coordenada ϕ−1

i : ϕi(Ui) → M . Se tieneentonces (ϕ−1

i )∗ω′ = (ϕi ϕ−1i id−1)∗ω′

i = ω′i. Esto justifica la siguiente obser-

vacion (en parte, un juego de palabras).El operador f∗ entre variedades verifica las mismas propiedades que entre

abiertos de Rn

Proposicion 40 Sea f : M → N una aplicacion diferenciable entre variedades.Se tiene

1) f∗ conmuta con d.2) Si g : N → X es otra aplicacion diferenciable (g f)∗ = f∗ g∗3) id∗M = idΩ(M)

Demostracion. La prueba es la misma que para aplicaciones entre abiertosde Rn. Por ejemplo, la prueba de 2) serıa: dada η = ηi ∈ Ω(X) tenemos

g∗η = (ϕ′′

i g(ϕ′

i)−1)∗ηi luegof∗g∗η = (ϕ′

if ϕi−1)∗(ϕ

′′

i g(ϕ′

i)−1)∗ηi =

(ϕ′′

i g f ϕi−1)∗ηi = (g f)∗η.

Corolario 41 f : M → N induce una aplicacion lineal f∗ : H∗(N) → H∗(M).Cuando f es un difeomorfismo f∗ es un isomorfismo lineal.

Ejemplo 42 Consideremos la aplicacion F : R → S1 dada porF (x) = (cosx, senx). Sabemos que F ∗ : H1(S1) → H1(R) = 0 ha de ser nece-sariamente nula, pero puede ser ilustrativo calcular explıcitamente F ∗(dθ). Paraentender F ∗(dθ) debemos tomar un atlas en R Vn, αn adaptado a la apli-cacion F y al atlas de S1 empleado en el Ejemplo31 para describir dθ. Lo masfacil es tomar Vn = (nπ, nπ+ 2π) y αn = id (notese que F (Vn) esta contenidoen alguna de las cartas del atlas de S1, que es lo que el termino ”adaptado”significa aquı).

Ahora la expresion de F ∗(dθ) en cada intervalo Un vendra dada por(ϕi F α−1

n )∗dθ = dx, luego globalmente F ∗(dθ) = dx que es exacta, comodebıa ocurrir.Este calculo se puede hacer de forma mas comoda si utilizamos el resultadoobtenido mas arriba que nos decıa que dθ = i∗(ω) con ω = xdy − ydx, puesentonces podemos escribir F ∗(dθ) = F ∗i∗(ω) = (i F )∗ω = dx sin necesidad deusar cartas.

Ejemplo 43 Consideremos ahora la aplicacion F : S1 → S1 que en coorde-nadas complejas se escribe F (z) = zn y tratemos de entender F ∗(dθ). Como yasabemos que F ∗(dθ) = g(θ)dθ bastara determinar la funcion g(θ) en una de lasdos cartas.


Tomando en la variedad imagen el atlas del Ejemplo 31, el atlas adecuado enla variedad inicial se obtiene tomando las cartas cuyo dominio son los abiertos

Vk = ϕ−1(kπn, (k+2)π

n). Ahora para ε = 1, 2 y k ∈ N se tiene

(ϕεF ϕ−1k )(θ) = ϕεF (eiθ) = ϕε(e

inθ) =

nθ − kπ, si k es paro

nθ − (k + 1)π, si k es impar

Luego F ∗(dθ) = (ϕε F ϕ−1k )∗dθ = ndθ ( n veces la forma angular)

De nuevo, una manera alternativa de hacer este calculo es tomar la extensionobvia de F : S1 → S1 a R2 → R2 y utilizar el hecho de que dθ = i∗(ω)

1.4. Soporte de una forma diferencial

En general, una forma ω de grado k > 1 no define una funcion sobre M(el hipotetico valor ω(x) que uno pensarıa asociar al punto x ∈ M dependerıade la carta elegida). Sin embargo lo que sı se puede definir de forma coher-ente es si ω se anula o no en un punto. Naturalmente decimos que una formaω ≡ ωi =

∑I=i1<..ik f

iIdxI se anula en el punto x -y escribimos ω(x) = 0-

si existe una carta (Ui, ϕi) que contiene a x tal que f iI(ϕi(x)) = 0 ∀I. (Notese que

para aplicar esta definicion correctamente, los ındices I han de estar- esta vez sı-ordenados en sentido creciente; por ejemplo en R2 la forma xdx∧ dy+ ydy ∧ dxse anula en el punto (3, 3)).

La definicion es coherente porque si (Uj , ϕj) es otra carta que contiene tam-

bien a x tendremos ωj =∑

I=i1<..ik fjI dxI = (ϕi ϕ−1

j )∗ωi =∑I=i1<..ik f

iI(ϕi ϕ−1

j )d(ϕi ϕ−1j )i1 ∧ ... ∧ d(ϕi ϕ−1

j )ik. Vemos ası que cada

funcion f jI es una combinacion lineal de las funciones f i

I(ϕi ϕ−1j ) -con ciertas

derivadas parciales de (ϕi ϕ−1j ) como coeficientes-. Se concluye que

f iI(ϕi(x)) = f i

I(ϕi ϕ−1j )(ϕj(x)) = 0 ∀I ⇒ f j

I (ϕj(x)) = 0 ∀I

como deseabamos.

Definicion 44 El soporte de una forma diferencial ω, que denotaremospor sop(ω), es la clausura toplogica del conjunto x ∈ X : ω(x) 6= 0. Se deno-tara por Ωc(M) al espacio vectorial de las formas con soporte compacto.

1.4.1. Ejercicios.

1. Comparar sop(ω) y sop(ω|S2) para la forma ω = dx ∧ dy ∧ dz ∈ Ω(R3).

2. Decidir si son o no cerradas las formas 1x2+y2 (xdy − ydx) y xdy − ydx ∈

Ω(R2 \ −→0 ). ¿Y sus restricciones a S1?3. Sean M y N variedades diferenciables y p1 : M ×N , p2 : M ×N as proyec-ciones sobre el primer y segundo factor respectivamente. Son aplicaciones difer-enciables (comprobarlo).

1.5. APENDICE: FORMAS DIFERENCIALES COMO TENSORES 15

-Sean ω ∈ Ωk(M) y η ∈ Ωd(N), ¿cual es el grado de p∗1(ω) ∧ p∗2(η)?-Comparar los soportes de ω, η y p∗1(ω) ∧ p∗2(η).

1.5. Apendice: Formas diferenciales como ten-sores

Acabamos de observar que dada una forma diferencial ω, no existe un pro-cedimiento razonable para asociar a cada punto x ∈ M un valor ω(x) ∈ R demanera que tengamos definida de manera coherente una funcion en la variedad.En realidad, lo que se puede asociar de manera coherente a cada punto x ∈M ,es una aplicacion multilineal alternada (de grado k) sobre el espacio tangente.

El objetivo de esta seccion es describir brevemente este punto de vista des-de el que pueden verse las formas diferenciales, mas rico, pero que nosotrosno necesitamos tener en cuenta aquı. Por ello la lectura de esta seccion no esestrictamente necesaria.

Por simplicidad consideremos el caso en que M es un subvariedad del espacioeuclıdeo, digamos M ⊂ Rl (en realidad esto no supone ninguna restriccion comoveremos mas adelante en la seccion 3.2.2). Recuerdese que si α : Rm →M ⊂ Rl

es una parametrizacion cuya inversa ϕ := α−1 es una carta con domio α(Rm) ⊂M el espacio tangente en x ∈M ⊂ Rl, TxM , es Dαt(Rm) ⊂ Rl, donde α(t) =x. Es bien sabido, y muy facil de probar que TxM no depende la parametrizacionusada para definirlo (basta observar que si β es otra parametrizacion de otroentorno del punto x cuya inversa define otra carta ψ, la Regla de la Cadenapermite escribir Dβ = D(α)D(ϕ β) = D(α)D(ϕ ψ−1)).

Sea ahora ω ≡ ωλ = fλ1 dx1 + ... + fλ

ndxn ∈ Ω1(ϕλ(Uλ))λ una forma degrado 1 en M . Por conveniencia usemos la notacion

ωλ = fλ1 dx1 + ...+ fλ

ndxn = ( fλ1 .. fλ

n )

dx1

:dxn

entonces, para cada x ∈M , designamos por ω(x) la aplicacion lineal:ω(x) : (TxM) → R dada por

ω(x)((Dϕ−1

λ )v)

= ( fλ1 (ϕλ(x)) .. fλ

n (ϕλ(x)) )

v1:vn

=: fλ · v

¿Que pasa si x pertence a otra carta (Uµ, ϕµ)?

Por un lado, en virtud de la Regla de la cadena, tendrıamos:

ωµ((Dϕ−1λ )v) = ωµ((Dϕ−1

µ )DT−1(v)), con T−1 = (ϕµ ϕ−1λ )


Por otra parte

ωµ = T ∗ωλ = (fλ1 T )dT1 + ...+ (fλ

n T )dTn =

( fλ1 T .. fλ

n T )

dT1

:dTn

= ( fλ

1 T .. fλn T )DT

dx1

:dxn

Luego ωµ((Dϕ−1λ )v) = ( fλ

1 .. fλn )(DT )(DT−1)v = fλ · v, que coincide con

el calculo realizado en la otra carta.Hemos descrito ası ω como una regla que asigna a cada x ∈M un elemento

del espacio dual (TxM)∗ o, si se quiere, como una aplicacion:

ω : M → T ∗M :=∐

x∈M

(TxM)∗ (fibrado cotangente)

De forma analoga las diferenciales de grado 2 pueden verse como aplicacionesbilineales alternadas (y en general las de grado k como multilineales alternadas)sin mas que poner dxi∧dxj(v, w) = dxi(v)dxj(w)−dxi(w)dxj(v) = viwj−wivj ,etc.

Ejercicio 45 Comparar la definicion de espacio tangente que se acaba dar conla definicion intrınseca -i.e. sin asumir que M es una subvariedad de Rl- que elalumno haya visto en otros cursos, e.g. [2]. (Habra que hacer identificacionesdel tipo

(Dϕ−1λ )v ↔ v1

∂

∂x1+ ...+ vn

∂

∂xn

y comprobar que estas son compatibles con cambios de cartas. Para ello habra querecordar como se transformaban las derivaciones ( ∂

∂x1, ..., ∂

∂xn) por cambios de

cartas).

Capıtulo 2

Integracion en variedades.

2.1. Integracion y orientabilidad.

Supongamos que queremos definir la integral de una funcion f : M → R. Loprimero que a uno se le puede ocurrir es descomponer M como una coleccion depoliedros Pi (i.e. existen cartas (Ui, ϕi) tales que Pi ⊂ Ui de forma que ϕi(Pi)y ϕi(Pi ∩ Pj) son poliedros de Rn y Rn−1 respectivamente) y poner

∫

M

f =∑ ∫

ϕi(Pi)

f ϕ−1i

M

Figura 2.1: Triangulacion

Pero, para que esta sea una definicion consistente, lo primero que debemoscomprobar es que si un poliedro P esta contenido en dos cartas (Ui, ϕi) y (Uj , ϕj)tenemos

∫ϕi(P )

f ϕ−1i =

∫ϕj(P )

f ϕ−1j

17

18 CAPITULO 2. INTEGRACION EN VARIEDADES.

Ahora bien, por el Teorema de Cambio de Variable aplicado a las funcionestransicion Φij := ϕi ϕ−1

j se tiene:

∫

ϕi(P )

f ϕ−1i =

∫

ϕj(P )

(f ϕ−1i ) Φij | detD (Φij) |

Luego lo que necesitamos para tener∫

ϕi(P )f ϕ−1

i =∫

ϕj(P )f ϕ−1

j es que

las funciones fi := f ϕ−1i ∈ C∞(ϕi(Ui)) esten ligadas por la relacion

fj = fi Φij | detD(Φij |

lo que -salvo por “el valor absoluto”- es equivalente a pedir que la coleccionωi = fidx1 ∧ ... ∧ dxn defina una forma de grado n en M (ver 1.1.1).

Pero no hay ninguna razon para que una funcion global f : M → R cumplaestas relaciones. Vemos pues, que lo que podemos integrar en una variedadson formas diferenciales, no funciones, y ello siempre que tengamos en lavariedad un atlas del tipo siguiente.

Definicion 46 Un atlas Ui, ϕii∈I se dice orientado si todas las funcionestransicion satisfacen la condicion detD(Φij) > 0, i.e. detD(Φij) =| detD(Φij) |,y se dice que la variedad M es orientable si admite un atlas orientado.

(Si nos empecinaramos en seguir desarrollando la identidad anterior sin re-nunciar a la funcion f , encontrarıamos que la condicıon que tendrıamos queexigir para dar sentido a

∫Mf es que la coleccion η ≡ ηi = dx1∧ ...∧dxn defi-

na una forma diferencial, lo que solo puede ocurrir para atlas muy especiales; yen ese caso, el sentido que estarıamos dando a la integral de la funcion f serıa,de nuevo, el de la integral de una forma diferencial, a saber ω = fη)

Bien, podrıamos empezar con la siguiente definicion de integral :

Definicion 47 (1adefinicion) Si M es una variedad orientada por la eleccionde un atlas Ui, ϕii∈I y ω = fidx1...dxn es una forma diferencial de gradomaximo, pondremos ∫

ω =∑ ∫

ϕi(Pi)

fi

Antes de seguir adelante sera conveniente advertir que no toda variedad esorientable (ver Ejemplo 57). Por lo demas esta definicion de integral tiene dospuntos oscuros:

1o) No es facil probar que toda variedad diferenciable es triangulable i.e.admite una descomposicion en poliedros, digamos triangulos si n = 2 (ver [10])

2o) Si Qj es otra triangulacion habrıa que justificar que∑∫

ϕi(Pi)fi =∑∫

ϕj(Qj)fj . Lo que se suele hacer para justificar este tipo de identidades es sub-

dividir los triangulos Pi y Qj para obtener una subtriangulacion Rkde ambastriangulaciones, de forma que Pi =

∐Rki y Qj =

∐Rkj lo que permite escribir∑∫

ϕi(Pi)fi =

∑ ∑∫ϕi(Rk

i )fi =

∑∫ϕk(Rk)

fk =∑∫

ϕj(Rkj )fj =

∑∫ϕj(Pj)

fj

2.1. INTEGRACION Y ORIENTABILIDAD. 19

como se desea. Sin embargo la formalizacion de esta idea conlleva algunas difi-cultades tecnicas.

Para dar una definicion rigurosa - aunque menos intuitiva- lo que haremossera expresar la forma diferencial ω como una suma de formas ω =

∑wi de

manera que cada wi este soportada en una unica carta Ui y entonces se po-dra poner

∫ω =

∑∫Uiwi, pues ya hemos visto que el hecho de que alguna

forma wi estuviera soportada en dos cartas distintas U y V no conducirıa aninguna ambiguedad en la definicion. Para conseguir esta descomposicion de ωnecesitamos recordar el concepto de particion de la unidad.

Definicion 48 Una particion de la unidad subordinada a un un cubrimientoUii∈I de M es una coleccion de funciones ρi ∈ C∞(M) tal que

1) ρi ≥ 02) sop(ρi) ⊂ Ui

3)∑ρi = 1 ( lo que significa que para todo punto x ∈M existe un entorno

Vx en el que se anulan todas de las funciones ρi, salvo un numero finito de ellas,de forma que

∑ρi(x) = 1)

Ejemplo 49 Tomemos la esfera S2 equipada con el atlas que proporciona laproyeccion estereografica

Ecuador

U 2

U

1

Ecuador

Ecuador

1

ϕ

ϕ

2

ρ =1

ρ =1

ρ =0

ρ =0

Figura 2.2: Atlas estereogafico en S2

A partir de las funciones diferenciables ρ1, ρ2 ≥ 0 mostradas en la figuraadjunta podemos construir las nuevas funciones ρ′1 = ρ1

ρ1+ρ2y ρ′2 = ρ2

ρ1+ρ2que

proporcionarıan una particion de la unidad subordinada al atlas estereografico.

Un razonamiento similar prueba la existencia de particiones de la unidadpara variedades compactas, que son las que mas nos interesan:

Demostracion. Para cada punto x ∈ M tomamos una carta (U,ϕU ) cen-trada en el origen, es decir con ϕU (x) = 0. Pongamos V = ϕ−1

U (B(0, 1)) y


W = ϕ−1U (B(0, 1

2 )). Por la compacidad de M podemos elegir un numero finitode abiertos W , digamos W1, ...,Wd, que recubren M . Asociados a ellos constru-imos, como antes, funciones diferenciables no negativas ρi : M → R que valen 1en Wi y 0 fuera del correspondiente Vi. El argumento se acaba tomando, comoantes, ρ′i = ρi

Σρi

Con ayuda de una particion de la unidad ya sı podemos conseguir una de-scomposicion ω =

∑wi . Basta poner wi = ρiω.

Definicion 50 (2adefinicion) Sea M una variedad orientada por la eleccionde un atlas Ui, ϕii∈I y ω ≡ fidx1...dxn una forma diferencial de gradomaximo con soporte compacto, pondremos

∫

M

ω =∑ ∫

Ui

ρiω :=∑ ∫

ϕi(Ui)

(ρi ϕ−1i )fidx1...dxn

Pregunta: ¿Que pasa si tomamos un atlas Vj , ψjj∈J y una particion dela unidad χj subordinada a el distintos?

Bueno, al ser 1 = (∑ρi)(

∑χj) =

∑ρiχj vemos que ρiχj serıa una par-

ticion de la unidad subordinada al cubrimiento Ui ∩ Vj y podrıamos escribir∑i

∫Uiρiω =

∑i(

∫Ui

∑j χjρiω) =

∑i

∑j(

∫Uiχjρiω) =

∑j

∑i(

∫Vjχjρiω) =∑

j(∫

Vj

∑i ρiχjω) =

∑j

∫V jχjω.

En esta cadena de igualdades ha sido crucial usar la identidad∫

Uiχjρiω =∫

Vjχjρiω que , por lo visto mas arriba, es valida siempre que se satisfagan las

dos propiedades siguientesi) la forma que se integra tiene soporte en la interseccion Ui ∩ Vj , como

aquı ocurre, y, sobre todo,ii) detD(ϕi ψ−1

j ) > 0

Esto proporciona la siguiente

Respuesta: Las integrales∫ω definidas respecto de ((Ui, ϕi)i∈I , ρi) y

((Vj , ψj)j∈J , χj) coinciden siempre que los dos atlas sean compatibles en elsentido de que detD(ϕiψ−1

j ) > 0. Diremos entonces que los dos atlas orientadosUi, ϕii∈I y Vj , ψjj∈J determinan la misma orientacion.

Proposicion 51 Una variedad M de dimension n es orientable ⇔ tiene unaforma ω de grado n que no se anula en ningun punto (forma de volumen).

Demostracion. ⇐) Pada una tal forma ω construimos un atlas orientadodel siguiente modo: Dada una carta (U,ϕ), (ϕ−1)∗ω sera de la forma (ϕ−1)∗ω =hdx1 ∧ ... ∧ dxn para alguna funcion h no nula, luego > 0 o < 0 (U esconexo). A partir de aquı decidimos quedarnos con (U,ϕ) si h > 0; si no esası componiendo ϕ con un difeomorfismo T : Rn → Rn tal que detDT =−1 (e.g. T (x1, x2, x3, ..., xn) = (x2, x1, x3, ..., xn)) obtenemos una nueva car-ta (U, T ϕ) en las condiciones deseadas, pues (ϕ−1 T−1)∗(dx1 ∧ ... ∧ dxn) =


(T−1)∗(hdx1∧..∧dxn) = h(T−1) detD(T−1)dx1∧..∧dxn = −h(T−1)dx1∧..∧dxn

∈ Ωn(T ϕ(U)) donde ahora ya −h(T−1) > 0. El atlas ası obtenido es un atlasorientado ya que la relacion hidx1 ∧ ... ∧ dxn = (ϕj ϕ−1

i )∗hjdx1 ∧ ... ∧ dxn =hj(ϕj ϕ−1

i ) det(D(ϕj ϕ−1i ))dx1 ∧ ... ∧ dxn muestra que detD(ϕj ϕ−1

i ) > 0.⇒) Reciprocamente supongamos que Ui, ϕii∈I es un atlas orientado y ρi

una particion de la unidad subordinada a el, entonces la forma diferencial queandabamos buscando es ω =

∑ρiϕ

∗i (dx1 ∧ ... ∧ dxn), es decir ω es la forma

determinada por la coleccion (ver 29):

ωk := (ϕ−1k )∗ω =

∑(ρi ϕ−1

k )(ϕi ϕ−1k )∗dx1...dxn =

∑(ρi ϕ−1

k ) det(D(ϕi ϕ−1k ))dx1...dxn

En efecto: La definicion misma de particion de la unidad implica que la sumaesta bien definida. Si ademas observamos que, por tratarse de un atlas orientado,det(D(ϕj ϕ−1

i ) > 0 es claro que ω no se anula nunca.

Ejercicio 52 Si ω ≡ gidx1...dxn es una forma de volumen y η ≡ fidx1...dxnes cualquier otra forma de grado maximo, el cociente η/ω define una funcion h

sobre M sin mas que poner h(x) = fi(ϕi(x))gi(ϕi(x)) para x ∈ Ui. Deducir que para cada

forma de volumen en M se tiene un isomorfismo obvio entre Ω0(M) y Ωn(M).

Despues del ejercicio anterior, si η es otra forma de volumen sabemos queη = hω para alguna funcion h sin ceros. La demostracion anterior muestra que ηdetermina la misma orientacion que ω si y solo si h > 0. Esto nos dice que sobreuna variedad orientada se pueden dar exactamente dos orientaciones.

Ejemplo 53 En el caso M = Rn estas dos orientaciones son las determinadaspor las diferenciales dx1 ∧ ... ∧ dxn, orientacion usual, (que corresponde alatlas orientado id : Rn → Rn) y −dx1 ∧ ... ∧ dxn (que corresponde al atlasorientado T : Rn → Rn, T (x1, x2, x3, ..., xn) = (x2, x1, x3, ..., xn)).

Corolario 54 Los resultados obtenidos al calcular∫

Mω respecto a cada una de

las dos orientaciones de una variedad orientable M son opuestos.

Demostracion. Basta observar que, de hecho, cada una de la integrales∫ϕi(Ui)

(ρi ϕ−1i )fidx1...dxn de que consta el sumatorio que define

∫Mω cambia

de signo al cambiar la orientacion de la carta (Ui, ϕi).

Ejemplo 55 (dim(M) = 1 ⇒ M orientable). Sea X ⊂ Rn una subvariedadde dimension 1.

- Si γ = ϕ−1, β = ψ−1 : R → X ⊂ Rn son dos aplicaciones coordenadas conϕ−1(a) = ψ−1(b) = x0 ∈ X, entonces los vectores (ϕ−1)′(a) = (γ′1(a), ..., γ

′n(a))

y β′(b) son proporcionales, con factor de proporcionalidad (ψ ϕ−1)′(a) 6= 0.- Si para cada punto de X nos quedamos solo con aquellas aplicaciones coor-

denadas tales que la primera componente γ′i(a) no nula es positiva (lo que implicaγ′i > 0 en un cierto entorno (ai, bi)) entonces, razonando de forma parecida a


como se hizo en la demostracion de la Proposicion 51 (en este caso cambiandoϕ(t) por ϕ(−t) ) se obtiene una coleccion de cartas

ϕ : ϕ−1(ai, bi) → R

que

satisface (ψ ϕ−1)′(t) > 0.

- Si se desea dar una forma de volumen explıcita volC , basta poner encada carta γ∗(volC) =‖ γ′(t) ‖ dt; en efecto la condicion de compatibilidadse cumple: (ϕ ψ−1)∗ (‖ γ′(t) ‖ dt) =‖ γ′((ϕ ψ−1)(t)) ‖ (ϕ ψ−1)′(t)dt =‖ (γ (ϕ ψ−1))′(t) ‖ dt =‖ β′(t) ‖ dt

Esta no es una forma de volumen mas, sino la forma de volumen, masbien de longitud, que mide longitudes euclıdeas en la curva X ⊂ Rn, y sesuele denotar por ds.

Ejemplo 56 (S = f−1(−→0 ) ⊆ R3con ∇f 6= 0 ⇒ S superficie orientable)

Sea S ⊂ R3 un subconjunto dado como S = f−1(−→0 ), donde f : R3 → Res una funcion con ∇f 6= 0 en los puntos de S; se sabe que, como consecuenciadel Teorema de la funcion implıcita, S es entonces una variedad diferenciablede dimension 2 ( recordar que si, por ejemplo, ∂zf(P ) 6= 0 en un punto P ∈ S,este teorema proporciona una parametrizacion alrededor del punto P de la formaϕ−1(x, y) = (x, y, z(x, y)), ver [3] pag 71).).

A partir de las componentes del campo normal

−→n = (n1, n2, n3) :=∇f

‖ ∇f ‖

se define la forma de volumen en S

volS = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx+ n3dx ∧ dy

Notese que el hecho de que −→n = (n1, n2, n3) no se anule nunca no implica quevolS sea no nula, puesto que aunque los simbolos dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy sonindependientes en Ω2(R3) sus restricciones a Ω2(S) no lo son . Para ver quevolS es una forma de volumen tenemos que comprobar que podemos tomar apli-caciones coordenadas ϕ−1 = Φ : R2 → S ⊂ R3 tal que la expresion de Φ∗(volS)en la carta (ϕ−1(R2), ϕ) no se anula nunca. Un calculo simple muestra que,de hecho, vamos a tener Φ∗(volS) =‖ Φu × Φv ‖ du ∧ dv (=

√EG− F 2, en

lenguaje mas clasico). Luego la forma de volumen, i.e. de area, ası obtenidaes la que mide el area euclıdea en S ⊂ R3 y, a veces, se denota por dS.El calculo en cuestion es esl siguiente:

Φ∗(dS) = (n1 Φ)dΦ2 ∧ dΦ3 + (n2 Φ)dΦ3 ∧ dΦ1 + n3 Φ)dΦ1 ∧ dΦ2 =

(n1 Φ)((Φ2)udu+ (Φ2)vdv) ∧ ((Φ3)udu+ (Φ3)vdv)+

(n2 Φ)((Φ3)udu+ (Φ3)vdv) ∧ ((Φ1)udu+ (Φ1)vdv)+

(n3 Φ)((Φ1)udu+ (Φ1)vdv) ∧ ((Φ2)udu+ (Φ2)vdv) =

(n1 Φ)((Φ2)u(Φ3)v − (Φ2)v(Φ3)u) + (n2 Φ)((Φ3)u(Φ1)v − (Φ3)v(Φ1)u)+


2

u1

=π/4π/2−u/2

Figura 2.3: Banda de Mobius

(n3 Φ)((Φ1)u(Φ2)v − (Φ1)v(Φ2)u)du ∧ dv =

=

∣∣∣∣∣∣

(n1 Φ) (n1 Φ) (n1 Φ)(Φ1)u (Φ2)u (Φ3)u

(Φ1)v (Φ2)v (Φ3)v

∣∣∣∣∣∣du ∧ dv = −→n ·

(∂Φ

∂u× ∂Φ

∂v

)du ∧ dv

Ahora bien, −→n · (Φu × Φv) = ± ‖ Φu × Φv ‖Por ejemplo, esta construccion para la esfera (f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1)

nos da la forma de volumen

dS = volS2 = xdy ∧ dz − ydx ∧ dz + zdx ∧ dy

La otra orientacion aparecerıa definiendo la esfera con la funcion −f en vez decon f .

Ejemplo 57 (Banda de Mobius, variedad no orientable)Es la superficie de R3 que se obtiene cuando colocamos el punto medio de un

segmento de longitud 2 (−1 < v < 1) sobre la circunferencia

x2 + y2 = 4

z = 0parametrizada por el angulo u ∈ [0, 2π] (u → (2 cosu, 2senu, 0)) y permitimosque se deslice a lo largo de ella de modo que simultaneamente vamos girando-lo (sobre esta circunferencia central) un angulo u/2 de manera que forme unangulo π

2 − u2 con el plano z = 0 y ası regresar al punto de partida en posicion

invertida.Despues de deslizar el segmento un angulo u vemos que el punto (2, 0, v)

pasa a tener coordenada z = v cos u2 y que su proyeccion sobre el plano z = 0


es un punto que dista 2 − v cos(π2 − u

2 ) del origen. Se siguen de ahı los valoresde sus coordenadas x, y obteniendo la siguiente parametrizacion:

M =

x = (2 − v cos(π2 − u

2 )) cosuy = (2 − v cos(π

2 − u2 ))senu

z = v cos u2

Tenemos las dos cartas siguientes

• ϕ1 : U1 → (0, 2π) × (−1, 1),ϕ−1

1 (u, v) = ((2 − v cos(π2 − u

2 )) cosu, (2 − v cos(π2 − u

2 ))senu, v cos u2 )

• ϕ2 : U2 → (−π, π) × (−1, 1),ϕ−1

2 (u, v) = ((2 − v cos(π2 − u

2 )) cosu, (2 − v cos(π2 − u

2 ))senu, v cos u2 )

• ϕ1(U1 ∩ U2) = ((0, π) × (−1, 1)) ∪ ((π, 2π) × (−1, 1))

La funcion transicion es ϕ2ϕ−11 (u, v) =

(u, v) en (0, π) × (−1, 1)

(u− 2π,−v) en (π, 2π) × (−1, 1)

(notese que efectivamente ϕ−11 (u, v) = ϕ−1

2 (u− 2π,−v)

Se deduce que detD(ϕ2 ϕ−11 ) =

1 > 0 en (0, π) × (−1, 1)

−1 < 0 en (π, 2π) × (−1, 1)

Supongamos que fuera posible definir una forma de volumen ω ∈ Ω2(M).Escribamos (ϕ−1

1 )∗ω = f1dx ∧ dy y (ϕ−12 )∗ω = f2dx ∧ dy donde las funciones

f1 y f2 no se anulan, luego no cambian de signo, en sus respectivos dominiosde definicion. La condicion de compatibilidad entre cartas implica que f1 =detD(ϕ2 ϕ−1

1 )(f2 ϕ2 ϕ−11 ) en ϕ1(U1 ∩ U2) = ((0, π) × (−1, 1)) ∪ ((π, 2π) ×

(−1, 1)). Contradiccion.

2.2. Teorema de Stokes

2.2.1. Teorema de Stokes para variedades sin frontera

Teorema 58 (de Stokes) Sea M es una variedad orientada y compacta dedimension n. Entonces para toda η ∈ Ωn−1(M) se tiene

∫

M

dη = 0

Demostracion. Como η =∑ρiη, y por tanto

∫Mdη =

∑∫Uidρiη, basta

probar que∫

Uidρiη = 0. Observemos antes de empezar que sopρiη es compacto

(un cerrado en el compacto M). Ası pues, en el dominio ϕi(Ui) = Rn podemossuponer que (ϕ−1

i )∗ρiη = fdx2 · · · dxn, donde f es una funcion de soportecompacto (en realidad sera una suma de (n− 1)-formas de este tipo). Tenemosentonces

2.2. TEOREMA DE STOKES 25

∫Uidρiη =

∫Rn(ϕ−1

i )∗dρiη =∫

Rn d(ϕ−1i )∗ρiη =

∫Rn

∂f∂x1

dx1dx2 · · · dxn =∫(∫ ∞−∞

∂f∂x1

)dx2 · · ·dxn. Por otro lado, al ser f una funcion de soporte compacto,

tenemos∫ ∞−∞

∂f∂x1

= f(∞, x2, ··, xn) − f(−∞, x2, ··, xn) = 0, luego∫

Uidρiη = 0.

Observacion 59 Notese que si en la demostracion anterior en vez de comenzarcon la identidad dω =

∑dρiω empezasemos con la relacion dω =

∑ρidω,

tambien cierta, estarıamos en dificultades.

Corolario 60 Si M es una variedad de dimension n compacta y orientable,entonces Hn(M) 6= 0.

Demostracion. Sea ω la forma de volumen construida en Proposicion 51. Esuna forma cerrada por razones de dimension, pero por su misma construccion∫

Mω > 0, luego no puede ser exacta pues ω = dη ⇒

∫Mω =

∫Mdη = 0.

Contradiccion.

2.2.2. Teorema de Stokes para variedades confrontera

(Esta secion puede evitarse si solo se esta interesado en los aspectos cohomologicos)

Si en la definicion de variedad diferenciable permitimos que para algunasde las cartas del atlas Ui, ϕii∈I , en vez de ϕi(Ui) = Rn, se tenga ϕi(Ui) =Hn, donde Hn es el semiespacio superior Hn = (x1, x2, x3, ..., xn)/xn ≥ 0,llegamos al concepto de variedad con frontera. ( La diferenciabilidad de lasfunciones transicion ϕjϕ

−1i en los puntos x ∈ M en los que ϕi(x) ∈ ∂Hn,

puntos frontera, debe entenderse ahora en el sentido de que estas coincidencon la resticcion de difeomorfismos entre abiertos de Rn). Si M es una variedadcon frontera, el conjunto de los puntos frontera se denomina la frontera de My se designa por ∂M . En esta terminologıa, una variedad M en el sentido usualno es sino una variedad con frontera en la que ∂M = ∅. Es obvio que Hn esuna variedad con frontera cuyo atlas consta de la unica carta id : Hn → Hn. Unejemplo no trivial de variedad con frontera es el siguiente:

Ejemplo 61 La bola unidad cerrada Bn

es una variedad con frontera tal que∂B

n= Sn−1.Explicitemos el atlas en el caso n = 2. Basta dar tres cartas:1) ϕ−1 = id : B2 → B2

2) ϕ−11 : (0, 2π) × [0, a) → B

2, ϕ−1

1 (θ, s) = (1 − s)(cos θ, senθ)

3) ϕ−12 : (−π, π) × [0, a) → B

2, ϕ−1

2 (θ, s) = (1 − s)(cos θ, senθ)

((0, 2π) × [0, a) ≡ H2, mediante (θ, s) → (tg( θ−π2 ), tg( π

2a))


(0,1)

1

U

1-a

1

0 2 π

ϕ a

El atlas que acabamos de dar para B2es un atlas orientado ya que detD(ϕ

ϕ−1i ) = 1 − s > 0. Corresponde este a la orientacion usual en B

2. Es muy

importante observar que si restringimos las cartas ϕi a la frontera S1 ≡ s = 0obtenemos un atlas θ →ϕ−1

i (θ, 0) = (cos θ, senθ), que es tambien orientado(en sentido opuesto a las agujas del reloj, de hecho).

En general un atlas (resp. un atlas orientado) Ui, ϕii∈I en M inducira unatlas (resp. un atlas orientado) ∂Ui := ∂M ∩ Ui, ϕi|∂Ui

i∈I en ∂M , lo quenos va a permitir considerar ∂M como una variedad (resp. variedad ori-entable,con orientacion inducida por la de M) de dimension n− 1. Estaafirmacion (incluyendo el hecho, todavıa no justificado, de que los puntos fron-tera estan definidos independientemente de la eleccion de cartas) requiere quese satisfagan los tres hechos siguientes:

1)Si x ∈ Ui ∩Uj entonces ϕi(x) ∈ ∂Hn ⇔ ϕj(x) ∈ ∂Hn o, equivalentemente,ϕj ϕ−1

i (t, 0) ∈ ∂Hn

2)ϕj ϕ−1i induce un difeomorfismo entre abiertos de ∂Hn ≡ Rn−1,

3)detD(ϕj ϕ−1i ) > 0,

hechos que se siguen, todos, del siguiente lema (tomando ϕj ϕ−1i = T )

Lema 62 Un difeomorfismo T : Hn → Hn con detDT > 0 induce, por restric-cion, un difeomorfismo de ∂Hn ≈ Rn−1 cuyo jacobiano tiene tambien determi-nante positivo.

Demostracion. Para fijar ideas elijamos un valor concreto de n, digamosn = 3 (en [1], p.30 se toma n = 2) y escribamos T = (T1, T2, T3).Empecemos convenciendonos de que T (∂H3) = ∂H3. Dado un punto interiorp ∈ H3 \ ∂H3, el Teorema de la funcion inversa proporciona un difeomorfismoentre una pequena bola centrada en p, B(p, ε), y un entorno abiero de T (p) enR3. Si T (p) fuese un punto frontera, la imagen de B(p, ε) ⊂ H3 no podrıa estarcompletamente contenida dentro de H3. Contradiccion.


Veamos ahora que el jacobiano del difeomorfismo restringido

T : R2 → R2 ≡ ∂H3

(x, y) → (T1(x, y, 0), T2(x, y, 0))

tiene determinante positivo. De lo anterior se deducen dos hechos1) la funcion (x, y) → T3(x, y, 0) es identicamente nula, luego (T3)x (x, y, 0) =

(T3)y (x, y, 0) = 0, y2) z > 0 ⇒ T3(x, y, z) > 0, lo que junto con el apartado anterior impli-

ca que la funcion z → T3(x, y, z) es creciente cerca de z = 0 y, por tanto,(T3)z (x, y, 0) > 0.

Habida cuenta de que, por hipotesis, el determinante de DT (x, y, 0) es pos-itivo, deducimos que

|DT (x, y, 0)| =

∣∣∣∣∣∣

(T1)x (T1)y 0

(T2)x (T2)y 0

(T3)x (T3)y (T3)z

∣∣∣∣∣∣= (T3)z

∣∣∣∣(T1)x (T1)y

(T2)x (T2)y

∣∣∣∣ > 0

como deseabamos.El teorema fundamental del calculo integral toma en la teorıa de in-

tegracion en variedades la forma siguiente:

Teorema 63 (de Stokes) Sea M es una variedad orientada de dimension ny ω ∈ Ωn−1

c (M). Si en ∂M tomamos la orientacion inducida o la opuestasegun n sea par o impar, tenemos

∫

M

dω =

∫

∂M

ω

Demostracion. Como ω =∑ρiω y, por tanto, dω =

∑dρiω, basta pro-

bar que∑∫

Uidρiω =

∑∫∂Ui

ρiω. Observemos antes de empezar que como

sopρiω ⊂ sopρi ∩ sopω, se debe tener sopρiω compacto (un cerrado en un com-pacto). Ahora estudiamos separadamente las dos posibilidades para ϕi(Ui)

i)ϕi(Ui) = Rn

Este es el caso tratado en la demostracion del Teorema 58. Vimos que∫Uidρiω = 0. Pero tambien

∫∂Ui

ρiω = 0 ya que ∂Ui = ∅.

ii)ϕi(Ui) = Hn

Para fijar ideas tomemos primero n = 2. Pongamos (ϕ−1i )∗ρiω = f(x, y)dx+

g(x, y)dy, entonces∫

Uidρiω =

∫H2 d(ϕ

−1i )∗ρiω =

∫H2(−∂f/∂y + ∂g/∂x)dxdy =

−∫ ∞−∞(

∫ ∞0

(∂f/∂y)dy)dx +∫ ∞0

(∫ ∞−∞(∂g/∂x)dx)dy =

−∫ ∞−∞(f(x,∞)−f(x, 0))dx+

∫ ∞0

(g(∞, y)−g(−∞, y)dy =∫ ∞−∞ f(x, 0)dx (puesto

que f y g tienen soporte compacto). Por otro lado∫

∂Uiρiω =

∫R×0(ϕ

−1i )∗ρiω =∫ ∞

−∞ f(x, 0)dx+ g(x, 0)d0 =∫ ∞−∞ f(x, 0)dx


Para n = 3 las relacione analogas serıan(ϕ−1

i )∗ρiω = f1dxdy + f2dxdz + f3dydz∫Uidρiω =

∫H3(f1z − f2y + f3z)dxdydz =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞ −f1(x, y, 0)dxdy∫

∂Uiρiω =

∫R2 f1dxdy. Vemos que en este caso (dimension impar) necesitamos

cambiar el signo para que se verifique la igualdad.

Ejemplo 64 Comprobemos el teorema de Sokes en el caso en que M es unacorona circular de radios 1 y r < 1 dotada de la orientacion usual y ω =Pdx+Qdy

Figura 2.4: Orientacion inducida en la frontera

Que la orientacion inducida en la circunferencia exterior C1, digamos ori-entacion +, es la indicada se vio en el Ejemplo 61. Para entender lo que pasaen la otra componente de la frontera Cr necesitamos dar otras dos cartas ψi queparametricen estos puntos. Como allı podemos tomar ambas definidas por la mis-ma formula ψ−1

i (θ, s) = (r+s)(senθ, cos θ). Vemos que det(idψ−1i ) = r+s > 0,

o sea que estas cartas ciertamente definen la orientacion usual. La orientacionen la circunferencia interior es, por tanto, la dada por la parametrizacion θ →ψ−1

i (θ, 0) = r(senθ, cos θ), digamos orientacion −.El teorema de Stokes dirıa entonces que

∫

M

dω =

∫

M

(Qx − Py)dxdy =

∫

C+1

ω +

∫

C−

r

ω

En otras palabras el teorema de Stokes para recintos del plano se reduce a laformula de Green. Si la forma ω es cerrada se deduce de aquı que

∫C+

1ω =

∫C+

rω.

Ejemplo 65 Comprobemos el Teorema de Stokes para el caso∫

B3 dυ =∫

S2 υ,donde υ = xdy ∧ dz − ydx ∧ dz + zdx ∧ dy.∫

B3 dυ) dυ = 3dx ∧ dy ∧ dz ⇒∫

B3 dυ = 3∫

B3 dxdydz = 4π (tres veces elvolumen de la esfera, e.g [9], pag. 386)


∫S2 υ) Primero debemos averiguar cual es la orientacion inducida en

∂B3 = S2. Para ello parametrizamos los puntos frontera por medio de las coor-denadas polares usuales:

(ρ, θ, φ)ϕ−1

→

(1 − ρ)senφ cos θ(1 − ρ)senφsenθ

(1 − ρ) cosφ

Se comprueba que det(Dϕ−1) = ρ2senφ > 0, luego ϕ−1 es compatible con laorientacion usual de la bola. O sea que la orientacion inducida en S2 es lacorrespondiente a la parametrizacion que resulta al poner ρ = 0, i.e.

(θ, φ)α→

senφ cos θsenφsenθ

cosφ

Puesto que estamos en dimension 3, impar, la orientacion pertinente en el Teo-rema de Stokes es la opuesta a la inducida. Por tanto∫

S2 υ = −∫ π

0

∫ 2π

0(α−1)∗υ = −

∫ π

0

∫ 2π

0−senφdθdφ = 4π (para la primera igual-

dad ver los comentarios introductorios de la seccion 2.3).Observemos de paso que el vector normal correspondiente a esta parametrizaciones ∣∣∣∣∣∣

i j k−senφsenθ senφ cos θ 0cosφ cos θ cosφsenθ −senφ

∣∣∣∣∣∣=

(sen2φ cos θ,−sen2φsenθ,−senφ cos θ)

Por ejemplo en el punto (0, 1, 0) ∈ S2 correspondiente a φ = θ = π/2 tenemosαθ × αφ = (0,−1,−1). Puesto que estamos en dimension impar, la orientacionpertinente en el Teorema de Stokes es la determinada por el vector normal es(0, 1, 1), que es la direccion “normal exterior” (o la que apunta “hacia afuera”)segun las versiones mas clasicas

2.2.3. Ejercicios

1) Generalizar el argumento del Ejemplo 56 para obtener que toda hiper-superficie “no singular”X de Rn es orientable.

-Comprobar que volSn =∑

(−1)i−1xidx1 ∧ ...∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ ...∧ dxn+1.2) (Las superficies orientables compactas [6])

Estudiar las siguientes ecuaciones en R3 y discutir a cuales de ellas se lespuede aplicar el argumento del Ejemplo 56 para concluir que corresponden asuperficies orientables.

1) x2 + y2 + z2 = r2 (la esfera).2) z2 = x2 + y2 − r2 (hiperboloide/cono)3) z2 = (1 − x2 − y2)(x2 + y2 − r2), con r2 < 1 (superficie con un con un

agujero limitado por la


circunferencia

x2 + y2 = r2

z = 0, es pues, un toro)

4) z2 = (1 − x2 − y2)((x− a)2 + y2 − r21)((x− b)2 + y2 − r22), con0 < a < a + r1 < b − r2 < b < b + r2 < 1 (superficie con dos agujeros: toro

doble o de genero 2).5) Construir superficies similares de generos 3, 4, 5, ... Es conocido que no

hay mas superficies compactas y orientables que estas. Dibujar algunas de ellas.

Figura 2.5: Toro y toro doble

3) Sea X = f−1(−→0 ) ⊂ Rn una hipersuperficie no singular. Se considera laaplicacion normal

−→n :X → Sn−1

x→ ∇f(x)‖∇f(x)‖

-Comprobar que −→n es una aplicacion diferenciable.-Se define la curvatura de X en un punto x ∈ X como

k(x) =−→n ∗(volSn−1)

volX|x

-Compruebese que la funcion curvatura k : X → R esta coherentementedefinida. ( Aquı se usa de nuevo el hecho de que dadas dos formas η y ω degrado maximo tales que ω no se anula en ningun punto, se puede definir elcociente η/ω ∈ C∞(X), ver Ejercicio 52 )

-Sea X = Sd(r), la esfera de radio r. Pruebese que la curvatura es constan-temente igual a 1/rd−1.4) En el contexto del ejercicio anterior −→n : X → Sn−1 restrinjamonos al casoen que n = 3 y X ⊂ R3 una superficie.

-Si (U,ϕ−1) es una parametrizacion centrada en un punto x ∈ X, probar quese puede encontrar otra (U,ψ−1) centrada en −→n (x) ∈ Sn−1 tal que los vectores


de R3 Dϕ(1, 0) y Dψ(1, 0) (respectivamente Dϕ(0, 1) y Dψ(0, 1) coinciden. (Ob-servar primero que los espacios tangentes Tx = ImDϕ|(0,0)

y T−→n (x) = ImDψ|(0,0)

coinciden ambos como subespacios de R3 con 〈−→n (x)〉⊥ y luego modificar ϕ com-poniendo con una transformacion lineal adecuada)

-Efectuar el calculo

k(x) =−→n ∗(volS2)

volX|x =

(ψ−1 −→n ϕ)∗(‖ ψu × ψv ‖ du ∧ dv)‖ ϕu × ϕv ‖ du ∧ dv

para obtener k(x) = detD(ψ−1−→n ϕ) |0 que es la definicion usual de curvaturade una superficie (ver [3] pag. 152)5) Utilizando los ejercicios anteriores encontrar la curvatura de las siguienteshipersuperficies:

a) el cilindro de ecuacion x2 + y2 = 1 en R3.b) el cilindro n−dimensional.c) el cono de ecuacion x2 + y2 = z2, z > 0 en R3.

6) Sean N y M variedades compactas orientables de dimensiones n y m respec-tivamente.

a) Probar que N ×M tambien es orientable.b) Sean ω ∈ Ωn(N), η ∈ Ωm(M). Probar que

∫N×M

π∗1ω ∧ π∗

2η =∫

Nω

∫Mη

donde π1 : N ×M → N , π2 : N ×M →M son las proyecciones standard.7) Sea M una variedad con un atlas orientado (Ui, ϕi) y una particion de launidad ρisubordinada a el: Si X es un subconjunto de M ponemos

∫Xω :=∑∫

ϕi(Ui∩X)ρiω (siempre que la integral tenga sentido).

a) Probar que si Y es otro tal conjunto con X∪Y = M , X∩Y = ∅, tenemos∫Xω +

∫Yω =

∫Mω.

b) En particular, si para cada i, ϕi(Ui ∩ Y ) es un conjunto de medida nula,∫Xω =

∫Mω. Este resultado permite, en muchos casos (e.g. esferas, toros, etc.),

realizar las integrales usando una unica carta. Por ejemploc) Calcular el area de la esfera

∫S2 dS utilizando coordenadas polares, donde

dS = volS2 se ha definido en el Ejemplo 56.8) Se dice que una variedad diferenciable M es una variedad compleja (o holo-morfa o analıtica) de dimension n si admite un atlas (Ui, ϕi) tal que cadaϕi(Ui) es un abierto de Cn y las funciones transicion ϕj ϕ−1

i son holomorfas.a) Probar que la esfera S2 adquiere una estructura de variedad compleja

cuando en ella se consideran las cartas ϕ1 : S2 \(0, 0, 1) → C, ϕ1(x1, x2, x3) =x1

1−x3+ i x2

1−x3y ϕ2 : S2 \ (0, 0,−1) → C, ϕ2(x1, x2, x3) = x1

1+x3− i x2

1+x3. Vease

que ϕ2 ϕ−11 (z) = 1/z. (Observar que x1−ix2

1+x3= 1−x3

x1+ix2)

b)Probar que tambien lo es C := C ∪ ∞, la compactificacion de C, usando

las cartas z ∈ C → z ∈ C y z ∈ C → 1/z ∈ C.c) Probar que ambas son isomorfas, como variedades complejas.

9) Sea M una variedad compleja de dimension n con cartas Φα : Uα →Cn. Probar que la estructura de variedad diferenciable inducida por las car-tas (ReΦα,ImΦα) : Uα → R2n hace de M una variedad diferenciable orientable.(Empezar con el caso n = 1. Habra que utilizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann)


2.3. Teoremas integrales del Analisis vectorial

El objetivo de esta seccion es presentar las definiciones de la teorıa clasicade integracion sobre trayectorias y superficies en terminos de la teorıa de in-tegracion en variedades que se acaba de exponer, ası como los teoremas masimportantes de la misma: los de Green, Stokes y Gauss.

En los textos que exponen estos resultados se suele integrar siempre sobrevariedades M (con o sin frontera) que quedan parametrizadas por una sola carta(U,ϕ) con ϕ(U) = M . Naturalmente en tal situacion la integracion no requiereel uso de particiones de la unidad (o, si se quiere, de una particion de la unidadque consta de una unica funcion ρ identicamente igual a 1) y podemos ponerdirectamente

∫Mω =

∫U

(ϕ−1)∗ω. Es obvio que esta reduccion es valida tambienen el caso (muy corriente en la practica) de que ϕ(U) deje sin cubrir solo unconjunto Z de dimension menor que la de M (e.g. para la parametrizacion enpolares de la esfera, Z es un meridiano mientras que para la estereografica esel polo norte. En ambos casos Z es despreciable desde el punto de vista de laintegracion. Mas generalmente, ver el ejercicio pertinente del apartado 2.2.3).

2.3.1. Integrales de lınea

Antes de nada necesitamos recordar (Ejemplo 55) que una variedad unidi-mensional C ⊂ R3 es siempre orientable y que su forma natural de volumenes la forma de longitud ds, cuya expresion en cada carta γ = (γ1, γ2, γ3) : I =(a, b) → C ⊂ R3 es γ∗(volC) =‖ γ′(t) ‖ dt. Con la forma ds a nuestra disposicionpodemos definir integracion de funciones escalares y campos vectoriales sobreuna trayectoria.

Integral de lınea de una funcion h : C → R

Ponemos ∫

C

h :=

∫

C

hds

Si C es una curva parametrizada, es decir definida por una unica cartaϕ−1 = γ : I = (a, b) → C ⊂ R3, tenemos

∫

C

h =

∫

I

γ∗(hvolC) =

∫ b

a

h(γ(t)) ‖ γ′(t) ‖ dt

que es la definicion clasica ([9] pag. 414).

Integral de lınea de un campo vectorial

Para definir∫

C

−→F primero identificamos el campo

−→F =F1

−→i + F2

−→j + F3

−→k

con la 1-forma diferencial ω = F1dx + F2dy + F3dz tal y como vimos en 1.2 ydespues ponemos ∫

C

−→F :=

∫

C

ω

2.3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL 33

En el caso de tratarse de una curva parametriza tendremos∫

C

−→F =

∫Iγ∗ω =∫ b

a((F1 γ)γ′1(t) + (F2 γ)γ′2(t) + (F3 γ)γ′3(t)) dt. O sea, llegamos a la defini-

cion clasica (ver [9] pag. 426)

∫

C

−→F =

∫ b

a

(−→F γ(t)) · γ′(t)dt =:

∫

γ

−→F · ds

Si−→F es un campo gradiente, i.e.

−→F = ∇h, o equivalentemente ω = dh (ver

de nuevo 1.2),

∫

C

−→F =

∫ b

a

(∇h γ(t)) · γ′(t)dt =

∫ b

a

(h γ)′(t))dt = h(γ(b)) − h(γ(a))

o sea, la integral no depende del camino γ sino solo de los extremos γ(a)

y γ(b); en particular, si la curva C es cerrada∫

C

−→F = 0, por lo que estos campos

suelen llamarse conservativos. Esto, que no es sino el Teorema fundamentaldel calculo, puede tambien interpretarse de la siguiente forma

Teorema 66 (de Stokes unidimensional) Sea C es una variedad unidimen-sional cuya frontera conta de dos puntos P y Q (los dos extremos de la curva)orientada en el sentido “de P a Q”, entonces

∫

C

dh = h(Q) − h(P )

En esta version h(Q) y h(P ) deben verse como la integral de la 0-forma hen las variedades 0-dimensionales Q y P respectivamente. Ademas, del mismomodo que en el ejemplo de la corona circular las dos componentes de la fronteratenıan orientaciones opuestas, ası tambien a P y Q les corresponden orienta-ciones positiva y negativa respectivamente (aunque en el teorema de Stokes estasorientaciones van invertidas, al ser C una variedad de dimension impar).

Observacion 67 Notese que tanto si se trata de una funcion como de un campovectorial, la integral tiene sentido aun cuando la curva γ no defina una variedad,i.e. en el caso en que falle la inyectividad o que se tenga γ′(t) = 0 para algunvalor t (no regularidad). En realidad basta con que γ sea diferenciable a trozos.

2.3.2. Integrales de superficie

Ya vimos en el Ejemplo 56 que una variedad 2−dimensional S ⊂ R3 esorientable siempre que admita un campo normal −→n = (n1, n2, n3), y que en talcaso la forma de area era dS = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx+ n3dx ∧ dy.

Mas aun, si ϕ−1 = Φ : D → S es una carta, tenıamos−→n (Φ(u, v)) = (Φu × Φv)/ ‖ (Φu × Φv) ‖ y Φ∗dS =‖ (Φu × Φv) ‖ du ∧ dv.Recordado esto, podemos continuar con


Integral de superficie de una funcion escalar h : S → R

Como en el caso de integrales de lınea ponemos

∫

S

h :=

∫

S

hdS

En caso de tratarse de una superficie parametrizada Φ : D → S obtenemos

∫

S

hdS =

∫

D

Φ∗(hdS) =

∫

D

h(Φ(u, v)) ‖ Φu × Φv ‖ dudv

que coincide con [9], pag. 464

Integral de un campo vectorial sobre una superficie.

Para definir∫

S

−→F identificamos el campo

−→F con la 2-forma η = F1dydz +

F2dzdx+ F3dxdy segun se indico en 1.2, y ponemos

∫

S

−→F :=

∫

S

η

Cuando S es una superficie parametrizada tenemos, por tanto,∫

S

−→F =

∫D

Φ∗η.Ahora bien, segun los calculos llevados a cabo en el Ejemplo 56 (allı con −→n en lu-

gar−→F ), esta ultima integral vale

∫D

−→F (Φ(u, v)) ·(Φu × Φv) dudv. O tambien, te-

niendo en cuenta que (Φu × Φv) = Φu×Φv

‖(Φu×Φv)‖ ‖ (Φu × Φv) ‖=−→n (Φ(u, v)) ‖ (Φu × Φv) ‖,

∫

S

−→F =

∫

D

−→F (Φ(u, v)) · −→n (Φ(u, v) ‖ (Φu × Φv) ‖ dudv =

∫

D

−→F · −→n dS

que es la expresion mas corriente para la integral de superficie de un campovectorial (ver [9], pag. 478).

Teorema de Stokes clasicoEn particular, cuando el campo es un rotacional

−→F = ∇ × −→

G , usando la

correspondencia−→G = (G1, G2, G3) ↔ α = G1dx+G2dy+G3dz y ∇×−→

G ↔ dα

expuesta en 1.2, podemos escribir∫

S

−→F =

∫S∇×−→

G =∫

Sdα =

∫∂Sα =

∫∂S

−→G ·

ds. Obtenemos ası:

Teorema 68 (de Stokes clasico [9])

∫

S

(∇×−→G) · −→n dS =

∫

∂S

−→G · ds

Recuerdese que para determinar la orientacion en S (y por tanto en ∂S)basta elegir el sentido del vector normal −→n = (n1, n2, n3) en un solo punto(pues ya hemos convenido en que una variedad orientable admite exactamente

2.3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL 35

dos orientaciones) lo que, a su vez, equivale a elegir n3 > 0 o n3 < 0 en un puntoconveniente (excepto en los casos excepcionales en los que n3 = 0 en todo punto,e.g. un cilindro vertical). En los textos de Calculo Vectorial estas orientacionesse describen con un discurso del tipo siguiente (ver [9], pag. 505): Imaginemosun “observador” caminando a lo largo de la frontera de la superficie (paseoque en el lenguaje de la seccion 2.2.2 esta parametrizado por x → ϕ−1(x, 0),donde (U,ϕ) es una carta frontera) donde la normal apunta para el mismo ladoque su cabeza (logicamente el observador camina de forma perpendicular a la

superficie, luego la frase anterior equivale a escoger el sentido −→n =−−−−−−−−→pies, cabeza

en vez del opuesto); se estara moviendo en la direccion positiva ( inducida) sila superficie esta a su izquierda ( en nuestra version, esto corresponde al hecho

de que ϕ−1(x, y) ∈ S ⇔ y > 0, i.e. si y esta a la izquierda del eje−−→OX, luego

este criterio coincide con el nuestro). Esta orientacion de ∂S suele llamarseorientacion inducida por una normal −→n “hacia arriba” ( o n3 > 0, pues alandar la cabeza suele ir mas alta que los pies). La receta es satisfactoria enmuchas situaciones. Tal es el caso del disco y de la corona circular en R2 ⊂ R3

considerados en los Ejemplos 61 y 64; aquı la forma de area obvia es dS =dx ∧ dy = n1dy ∧ dz + n2dz ∧ dx+ n3dx ∧ dy con −→n = (0, 0, 1) y la orientacionque obtenıamos en la frontera era la “la de las agujas del reloj” para lacircunferencia interior y la“contraria” para la exterior.

Pero esta forma de hablar no es tan clara cuando consideramos otras su-perficies (cilindros verticales, hemisferio sur de la esfera, etc.). Una descripcionalternativa de la orientacion en una superficie que uno puede encontrarse es lasiguiente ( [9], pag. 473):

Una superficie orientada es una superficie con dos lados, uno de ellos el ladoexterior o positivo; y el otro el lado interior o negativo. En cada punto(x, y, z) ∈ S hay dos vectores normales unitarios...Cada una de estas normalesse puede asociar con un lado de la superficie. Ası, para especificar un lado dela superficie S, en cada punto escogemos un vector normal unitario −→n queapunta hacia afuera desde el lado positivo de S en ese punto.

De nuevo, esta definicion, que puede servirnos en muchos casos, es ambiguaen algunas situaciones: por ejemplo, en los casos del disco y de la corona men-cionado antes. Y aunque es cierto el hecho de que todas las superficies compactasy orientables dividen a R3 en dos componentes conexas, una interior y otra exte-rior, su demostracion dista mucho de ser trivial; lo veremos mas adelante comouna aplicacion de la cohomologıa relativa.

Consideremos ahora el caso particular en que la superficie S es un abierto

del plano y−→G = (P (x, y), Q(x, y) ), entonces ∇×−→

G = (Qx − Py)−→k , −→n =

−→k ,

dS = dx ∧ dy; y el Teorema de Stokes anterior se reduce a

Teorema 69 (de Green [9])

∫

S

(Qx − Py)dx ∧ dy =

∫

∂S

−→G · ds =

∫

∂S

Pdx+Qdy


Teorema de la divergencia de GaussSupongamos ahora que Ω ⊂ R3 es una variedad de dimension 3 con fron-

tera S = ∂Ω (pensemos en una bola cerrada con ∂Ω = S2 o, mas general-mente, el solido limitado por cualquier superficie orientable y compacta delasconstruidas en 2.2.3), entonces usando de nuevo las correspondencia cam-pos/formas diferenciales, operadores diferenciales clasicos/diferencial exterior,−→F ↔ η = F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy y div

−→F = ∇ · −→F ↔ dη, podemos escribir

∫

∂Ω

−→F · −→n dS =

∫

∂Ω

−→F =

∫

∂Ω

η =

∫

Ω

dη =

∫

Ω

(div−→F )dV

donde dV = dxdydz es la forma de volumen usual en R3. Obtenemos ası el

Teorema 70 (de la divergencia de Gauss)

∫

Ω

(div−→F )dV =

∫

∂Ω

−→F · −→n dS

¿Cual es el vector normal −→n a la superficie ∂Ω que hace la formulaanterior correcta?

Bien, consideremos una parametrizacion arbitraria Φ = (Φ1,Φ2,Φ3) : R2 →R3 alrededor de un punto de la superficie ∂Ω y tomemos provisionalmente como−→n el vector −→n (Φ(x, y)) = (Φx × Φy)/ ‖ (Φx × Φy) ‖.

Construyamos ahora la aplicacion Φ : R3 → R3 definida por Φ(x, y, z) =Φ(x, y) + z−→n (Φ(x, y)). Es evidente que los parametros (x, y, 0) corresponden a

los puntos de ∂Ω. Calculemos el jacobiano de Φ en uno de estos puntos:

det(DΦ|z=0) =

∣∣∣∣∣∣

Φx + z(−→n Φ)x

Φy + z(−→n Φ)y−→n Φ

∣∣∣∣∣∣|z=o

=

∣∣∣∣∣∣

Φx

Φy(Φx×Φy)

‖(Φx×Φy)‖

∣∣∣∣∣∣|z=o

=‖ (Φx × Φy) ‖> 0

Esto nos dice que si la parametrizacion bidimensional Φ : R2 → R3 esta elegidade forma que “z > 0 ⇒ Φ(x, y, z) ∈ Ω”, entonces Φ es una parametrizacion local

del punto frontera Φ(x, y, 0) que conserva la orientacion usual de Ω ⊂ R3. Peroesta condicion equivale a pedir que el vector −→n apunte hacia dentro de Ω (estotiene ahora un sentido preciso, a saber, p + ε−→n (p) ∈ Ω para ε suficientementepequeno) . Como al estar en dimension impar la orientacion que se precisa en elTeorema de Stokes es la opuesta de la inducida, el vector normal que andamosbuscando es el que apunta hacia afuera, coincidiendo con [9]

Capıtulo 3

Invariancia homotopica dela cohomologıa

3.1. Lema de Poincare: Cohomologıa de Rn.

Consideremos las aplicaciones

(x, 0) Rn × R (x, t)↑ s ↑↓ π ↓x Rn x

Se trata de probar que a pesar de que s y π no son inversas la una de la otra,las aplicaciones lineales s∗ y π∗ que inducen entre los grupos de cohomologıaH∗(Rn) y H∗(Rn×R) sı lo son. Esto puede parecer a primera vista extrano puesvemos que aunque s∗ π∗ = idΩ∗(Rn), π

∗ s∗ 6= idΩ(Rn×R) (e.g. (s π)∗f(x, t) =f(x, 0)); ahora bien, para que se cumpla π∗ s∗ = idH∗(Rn×R) no es necesariotener π∗ s∗ = idΩ∗(Rn×R) sino simplemente

π∗ s∗ = idΩ∗(Rn×R) + (d K ±K d)

para algun operador K : Ωk(Rn × R) → k−1(Rn × R), pues para cualquier

forma cerrada ω, (d K ±K d)ω = d(Kω) es una forma cohomologicamentenula.

Definicion 71 El operador de homotopıa K : Ωk(Rn×R) → k−1(Rn×R)

se define mediante la formula:

ω =∑

fI(x, t)dxI +∑

gJ(x, t)dxJ ∧ dt ∈ Ωk+1(Rn × R) ⇒

K(ω) =∑

(

∫ t

0

gJ(x, s)ds)dxJ

Proposicion 72 El operador K satisface, efectivamente, la relacion(s π)∗ − idΩ∗(Rn×R) = ±(d K ±K d).

37

38CAPITULO 3. INVARIANCIA HOMOTOPICA DE LA COHOMOLOGIA

Demostracion. Se puede tratar cada uno de los dos sumandos separada-mente

1) Si ω = fI(x, t)dxI = fdxI tenemos(s π)∗ω − ω = f(x, 0)dxI − f(x, t)dxI .Por otro lado(d K ±K d)ω = ±K dω = ±K(

∑fxi

(x, t)dxidxI + ft(x, t)dtdxI) =

±K(ft(x, t)dxIdt) = ±(∫ t

0(ft(x, s)ds)dxI = ±(f(x, t) − f(x, 0))dxI .

Esto muestra el resultado en este caso.2) Si ω = gJ(x, t)dxJ ∧ dt = gdxJ ∧ dt tenemos

(s π)∗ω − ω = g(x, 0)dxJ ∧ d0 − ω = −ω.Por otro ladoKdω = K(

∑gxi

(x, t)dxi∧dxJ ∧dt) =∑∫ t

0(gxi

(x, s)ds)dxi∧dxJ , mientras que

dKω = d(∫ t

0g(x, s)ds)dxJ = g(x, t)dt ∧ dxJ +

∑∫ t

0gxi

(x, t)dxi ∧ dxJ .El resultado es ahora evidente.Despues de los comentarios que preceden a la proposicion anterior podemos

establecer el siguiente

Corolario 73 (Lema de Poincare)

Hk(Rn) = Hk(Rn−1 × R) = Hk(Rn−1) = .... = Hk(R) =

R, si k = 00, si k 6= 0

Mas generalmente se tiene

Corolario 74 Para cualquier variedad diferenciable M las aplicaciones

(x, 0) M × R (x, t)↑ s ↑↓ π ↓x M t

producen en cohomologıa aplicaciones s∗ y π∗ inversas la una de la otra. Setiene, por tanto, Hk(M × R) = Hk(M).

Demostracion. La demostracion es analoga a la del caso M = Rn. Toman-do como atlas en M × R el constituido por (Ui × R, ϕi × id) el operador dehomotopıa se define ahora como sigue: Si ω ≡ ωi ∈ Ω∗(ϕi(Ui) × R) ponemosK(ω) :≡ K(ωi) ∈ Ω∗(ϕi(Ui) × R). Que la coleccion K(ω) define realmenteuna forma diferencial se sigue del ejercicio que proponemos a continuacion,tomando T = ϕj ϕ−1

i .

Ejercicio 75 Si T : O1× R → O2 × R es un difeomorfismo entere abiertos deRn × R de la forma T (x, t) = (g(x), t) y ω ∈ Ω∗(O2 × R) entonces KT ∗ω =T ∗Kω

Otra forma de interpretar estos resultados es la siguiente:

Teorema 76 (Axioma de homotopıa para la cohomologıa de De Rham)f, g : M → N homotopas ⇒ f∗ = g∗ : H∗(N) → H∗(M)

3.1. LEMA DE POINCARE: COHOMOLOGIA DE RN . 39

Demostracion. Sea F : M × [0, 1] → N una homotopıa entre f y g. Parallevar el problema a nuestro terreno construimos a partir de F una aplicacionF : M × R → N poniendo F (x, t) = F (x, α(t)) donde α : R →[0, 1] es unafuncion como la de la Figura 3.1

1

1

Figura 3.1: Funcion α

Vemos que t ≥ 1 ⇒ F (x, t) = F (x, 1) = g(x)

t ≤ 0 ⇒ F (x, t) = F (x, 0) = f(x)

Denotando por sk la seccion constante x ∈ M → (x, k) ∈ M × R podemos

escribir la anterior relacion en la forma g = F s1, f = F s0 y teniendo encuenta que, por el corolario anterior, s∗k = (π∗)−1 obtenemos

f∗ = (F s0)∗ = s∗0 F ∗ = (π∗)−1 F ∗

g∗ = (F s1)∗ = s∗1 F ∗ = (π∗)−1 F ∗

⇒ f∗ = g∗

Corolario 77 Dos variedades homotopas tienen la misma cohomologıa.

Demostracion. Recordemos que M y N se dicen homotopas cuando existenaplicaciones f : M → N y g : N → M tales que g f y f g son homotopas ala aplicacion identidad en M y N respectivamente. Por tanto f∗ g∗ y g∗ f∗coinciden con la identidad a nivel cohomologico.

El caso mas notable de esta situacion es aquel en que M es una subvariedadde N , f es una inclusion i : M → N y g es una retraccion i.e. una aplicaciong = r : N →M cuya restriccion a M es la identidad. En tal caso se dice que Nes un retracto por deformacion de M . Tenemos, pues, el siguiente


Corolario 78 Si M es un retracto de N entonces M y N tienen la mismacohomologıa

Observacion 79 No toda retraccion lo es por deformacion. Por ejemplo, laretraccion r : S1 × S1 → S1 × 0 ≡ S1 definida por r(x, y) = (x, 0) no lo espor deformacion ya que los segundos grupos de cohomologıa de S1 y S1 ×S1 sondistintos.

Ejemplo 80 i)R2 no puede retraerse a a la circunferencia unidad S1 puesr i = idS1 implicarıa

(r i)∗ = idH1(S1) : H1(S1)r∗

→ H1(R2)i∗→ H1(S1)

‖ ‖ ‖R 0 R

Imposible.

ii)R2 \ −→0 sı puede retraerse a la circunferencia unidad S1 mediante la

retraccion r : R2\−→0 → S1 dada por r(x) = −→x / ‖ −→x ‖. De hecho esta es unaretraccion por deformacion. Para ver que i r es, efectivamente, homotopaa la identidad, consideramos la homotopıa

F : (R2 \ −→0 ) × [0, 1] → R2 \ −→0 definida por

F (−→x , t) = (1 − t)−→x +t

‖ −→x ‖−→x

(Compruebese que F no se anula nunca).Ahora, en virtud del Ejemplo 35, podemos concluir que

Hk(R2 \ −→0 ) = Hk(S1) =

R, si k = 0, 10, si k ≥ 2

En realidad se obtiene algo mas que la dimension de los espacios vectoriales

Hk(R2 \ −→0 ). Puesto que r∗ : H1(S1) → H1(R2 \ −→0 ) es un isomorfismo,

se obtiene tambien un generador de H1(R2 \ −→0 ) a apartir del de H1(S1), asaber,

r∗(dθ) = r∗(−xdy + ydx) =−xdy + ydx

x2 + y2

(ver Ejemplos 31 y 39).

3.1.1. Ejercicios.

1) Sea X el hiperboloide de ecuacion x2 + y2 − z2 = 1.a) Probar que X es una variedad orientable de dimension 2.

b) Probar que la aplicacion r(x, y, z) = (x,y,0)‖(x,y,0)‖ induce una retraccion por

deformacion sobre la circunferencia X ∩ z = 0.c) Calcular H∗(X).

2) Consideremos Sp,q = (−→x ,−→y ) ∈ Rp × Rq/ ‖ −→x ‖2 − ‖ −→y ‖2= 1

3.2. CARACTER TOPOLOGICO DE LA COHOMOLOGIA DE DE RHAM.41

a) Probar que Sp,q es una subvariedad diferenciable de Rp+q. ¿Es compacta?

b) Probar que la aplicacion r : Sp,q → Sp−1 definida como r(−→x ,−→y ) =−→x

‖−→x ‖es una retraccion por deformacion. Deducir que H∗(Sp,q) = H∗(Sp−1).

(Cuando p = 2 y q = 1 nos queda el ejercicio anterior)3) Definir una retraccion del cilindro

x2 + y2 = 1,−1 < z < 1

a S1.

Definir una retraccion por deformacion de la banda de Mobius a S1.(Sugerencia:en coordenadas polares tomar r(θ, υ) = (θ, 0)).

Comprobar que la formula r(x, y, z) = (x/z, y/z, 1) define una retraccion pordeformacion del cono X =

x2 + y2 = z2, z > 0

a la circunferencia X∩z = 1

c) Calcular la cohomologıa del cilindro y de la banda de Mobius.4) Con los conocimientos que ya tenemos sobre la cohomologıa de las esferasprobar que S2 no se puede retraer a su ecuador, ni en general Sp a Sp−1.

3.2. Caracter topologico de la cohomologıa de

De Rham.

(Esta es la primera vez que aparecen aplicaciones continuas)

En esta seccion veremos que la cohomologıa es un invariante topologico dela variedad, es decir que dos variedades homeomorfas, o incluso continuamentehomotopicas, tienen la misma cohomologıa. Siguiendo [4] o [11], este hecho seobtendra como resultado de recorrer los tres pasos siguientes:

•Primer paso: Una aplicacion continua entre dos variedades diferencia-bles f : N → M se puede aproximar tanto como se quiera por una aplicaciondiferenciable fε : N →M .

•Segundo paso: Si dos aplicaciones continuas f, fε : N → M estan muyproximas, entonces son necesariamente homotopas.

•Tercer paso: Si f0, f1 : N → M son dos aplicaciones diferenciables queson homotopas por una homotopıa continua, entonces lo son por una homotopıadiferenciable.

A partir de aquı puede darse sentido al operador pullback f∗ : H∗(M) →H∗(N) aun cuando f : N → M sea unicamente continua. (Esto es llamativoporque no puede hacerse lo mismo con f∗ : Ω∗(M) → Ω∗(N), ya que su sudefinicion involucra las derivadas parciales de f). La manera de hacerlo serıatomar f∗ = f∗ε donde fε es una aproximacion diferenciable de f . Queda claraahora la afirmacion de que la cohomologıa es un invariante homotopico.

Un primer corolario de esta invariancia topologica sera:

Corolario 81 Si n 6= m, Rn no es homeomorfo a Rm.

Demostracion. Supongamos que existiera un homeomorfismof : Rn → Rm. Componiendo con una translacion, si fuera necesario, podemossuponer f(0) = 0 con lo que tendrıamos un homeomorfismof : Rn \0 → Rm \0. Ahora bien, Rn \0 es homotopicamente equivalente a


Sn−1(la version n−dimensional de la formula usada en el Ejemplo 80 para el ca-so n = 2 proporciona una homotopıa). Pero si m > n se tiene Hm−1(Sm−1) 6= 0mientras que Hm−1(Sn−1) = 0.

Lo que sigue es una justificacion de las tres afirmaciones anteriores, prestandoatencion solo al caso compacto. Para el caso general, ver [11] o [7].

3.2.1. Inmersiones en espacio euclıdeo

Teorema 82 Toda variedad compacta M es difeomorfa a una subvariedad deRl, para algun l suficientemente grande.

Demostracion. Como ya vimos al construir particiones de la unidad envariedades compactas (Demostracion 48), podemos cubrir M con un numerofinito de cartas (Ui, ϕi), i = 1, ..., d, cada una de ellas conteniendo abiertos Wi ⊂Vi ⊂ Ui, que a su vez recubren M , y podemos tomar funciones diferenciablesno negativas ρi : M → R que valen 1 en Wi y 0 fuera del correspondiente Vi. Apartir de ahı consideramos la siguiente aplicacion:

f : M → Rm × · · · × Rm × Rd

x → (ρ1(x)ϕ1(x) , · · · , ρd(x)ϕd(x) , (ρ1(x), .., ρd(x))

1) f es inyectiva:

Sea x ∈ Wk ⊂ Vk y supongamos que existe otro punto y ∈ M con f(x) =f(y). Por la definicion misma de f hemos de tener ρi(x) = ρi(y) para todo ındicei. Vemos ası que y tambien esta dentro de Vk y que se satisface la identidad1 = ρk(x) = ρk(y). Pero esto a su vez implica ϕk(x) = ϕk(y) lo que, siendo ϕk

una carta, no puede ocurrir mas que si x = y.

2) f es un homeomorfismo sobre su imagen:

Al ser M compacta, sus subconjuntos cerrados coinciden con sus compactos.Ası pues, la imagen de cualquier cerrado es un conjunto compacto, luego cerra-do. En otras palabras, f−1 es tambien continua.

3) f es de rango m:

Por construccion para los puntos x ∈ Wi se tiene ρi(x)ϕi(x) = ϕi(x), luegoahı la componente i-esima de f ϕ−1

i es simplemente la aplicacion identidad.En particular la matriz jacobiana D(f ϕ−1

i ) contiene a la matriz identidad Imcomo submatriz.

Observacion 83 El resultado continua siendo valido cuando M no es com-pacta. Ademas, segun un teorema de Whitney, l puede tomarse tan pequenocomo l = 2m (ver [4], [7] o [11])


3.2.2. Entornos tubulares

Recuerdese (seccion 1.5) que el fibrado tangente de M ⊂ Rl se definıacomo

TM = (x, v) : x ∈M,v ∈ TxM ⊂M × Rl ⊂ Rl × Rl

TM es a su vez una variedad de dimension 2m con cartas(T U, (α×Dα)−1

),

siendo (U,ϕ−1) una carta en M .El fibrado normal de M ⊂ Rl se define de la manera siguiente:

NM =(x, v) : x ∈M,v ∈ (TxM)⊥

⊂M × Rl

donde (TxM)⊥ designa el complemento ortogonal de (TxM) en Rl.NM es tambien una variedad de dimension l.Para probar la ultima afirmacion recordemos que se puede tomar como U

el conjunto descrito por l −m ecuaciones locales gi(x1, ..., xl) = 0 definidas en

un abierto O de Rl, i.e. podemos suponer que U = M ∩ O = G−1(−→0 ) donde

O es un abierto de Rl y G = (g1,...,gl−m) : O → Rl−m una funcion de rangomaximo ( Esto no es difıcil, ver [3] o el Ejemplo 86). En esta situacion la funcionG α se anula identicamente, luego tambien su diferencial, i.e. DG Dα ≡ 0.De aquı se deduce que TxM ⊂ Ker(DG) y, habida cuenta de las dimensiones deambos espacios, se tiene de hecho TxM = Ker(DG). Ademas, segun resultadosvistos en el primer curso de Algebra Lineal, sabemos que 1o) Ker(DG)⊥ =(DG)T (Rl−m), donde (DG)T : Rl−m → Rl es la aplicacion transpuesta (o dual)de DG y, por ser DG : Rl → Rl−m suprayectiva, 2o) (DG)T : Rl−m → Rl

es inyectiva. (Estos resultados pueden probarse facilmente con solo recordarque (DG)T esta caracteriza por la propiedad:

⟨v, (DG)Tw

⟩= 〈DGv,w〉. Por

ejemplo, para comprobar la primera afirmacion sera mas comodo demostrar la

afirmacion dual Ker(DG) =((DG)T (Rl−m)

)⊥).

Esto nos permite tomar como atlas para NM el constituido por cartas dela forma

(NU, (α×DGT )−1

).

Observacion 84 Mientras que TM es independiente de la inmersion M → Rl;de hecho, a estas alturas el alumno habra visto alguna definicion del fibradotangente para una variedad abstracta (ver Ejercicio 85), solo puede pensarse enNM una vez que se ha fijado una inmersion.

Ejercicio 85 Como continuacion al Ejercicio 45, construir un isomorfismo defibrados entre el fibrado tangente que acabamos de definir y el que el alumno hayavisto en cursos anteriores. (Isomorfismo de fibrados significa que el difeomorfis-mo entre ellos envıa cada espacio tangente TxM en sı mismo y que restingidoahı es un isomorfismo lineal).

Ejemplo 86 Si M es una superficie en R3 y α : R2 → R3 es una parametrizacionlocal alrededor de un punto x ∈ M , al menos una de las tres submatrices 2 × 2

de Dα, digamos ∂(α1,α2)∂(x,y) , debe ser regular. Pero esta matriz 2 × 2 no es mas

que la matriz jacobiana de la aplicacion π α, donde π : R3 → R2 denota la


M

Figura 3.2: Entorno tubular de M

proyeccion en las dos primeras coordenas. Esto implica que π α es un difeo-morfismo local. Ası pues, restringida a un pequeno entorno del punto x, π|M esun homeomorfismo, y podemos tomar como entorno coordenado de x un abiertode la forma U := π−1

|M (A) = π−1(A)∩M con parametrizacion π−1|M : A→ U dada

por π−1|M (x, y) = (x, y, g(x, y)). Ademas la identidad π−1

|M = α (π α)−1 muestra

que g(x, y) es una funcion diferenciable, luego U = (x, y, g(x, y))/(x, y) ∈ Aes el conjunto de ceros de una funcion diferenciable en O := π−1(A) ⊂ R3, congradiente no nulo, a saber G(x, y, z) := z − g(x, y). Es claro como generalizareste razonamiento al caso Mm ⊂ Rl.

Consideremos ahora la aplicacion Φ : NM → Rl dada por (x, v) → x+ v, yestudiemos su diferencial en un punto de la forma (x, 0). TenemosDΦ(x,0)(Rm × 0) := D(Φ (α×DGT ))(t,0)(Rm × 0) = Dα(Rm) = TxM ,

mientras queDΦ(x,0)(0×Rl−m) = D(Φ(α×DGT ))(0×Rl−m) = DGT (Rl−m)

= (TxM)⊥. Ası pues, la imagen de DΦ(x,0) contiene simultaneamente a TxM y

a (TxM)⊥, luego coincide con Rl.Por el Teorema de la funcion inversa sabemos que entonces existe un en-

torno de (x, 0), pongamos Ux =(y, v) ∈ NM : y ∈ Bl(x, εx) ∩M, ‖ v ‖< εx

,

restringido al cual Φ : NM → Rl es un difeomorfismo. Por la compacidad sabe-mos que basta tomar un numero finito de abiertos Uxi

para cubrir todo M . Seaahora ε = 1

2 mın εxi, y considerese el subconjunto

M ε = (x, v) ∈ NM/ ‖ v ‖< εPues bien, M ε es un abierto de NM que se transforma, todo el, difeomorfica-mente mediante Φ ( ya que Φ(x, v) = Φ(y, w) ⇒ x + v = y + w ⇒‖ y − x ‖=‖ w − v ‖< 2ε ≤ εx ⇒ (y, w) ∈ Ux; imposible: en Ux hay inyectividad).

A un tal entorno deM ≡M×−→0 (o mejor, a su imagen en Rl, que seguimosdenotando por M ε, se le denomina entorno tubular de M en Rl.

Su utilidad reside en que tenemos de manera natural una proyeccion

π = πεM : M ε →M


Con ella a nuestra disposicion es facil probar cada uno de los tres pasos delos que consiste la demostracion:

•Primer paso: Una aplicacion continua entre dos variedades diferenciablesf : N → M se puede aproximar tanto como se quiera por una aplicaciondiferenciable fε : N →M .

Demostracion. Empecemos considerando la aplicacionf πε

N : N ε → M ⊂ Rl. Se trata de una aplicacion continua definida en unabierto de Rl, luego, por resultados vistos en los cursos de Analisis, puede aprox-imarse tanto como se desee por una aplicacion diferenciable h : N ε →M ε ⊂ Rl.Entonces la aplicacion diferenciable πε

M h estara proxima a πεM f πε

N =f πε

N ⇒ πεM h|N es cercana a (πε

M f πεN )|N = f , y podemos tomar

fε := πεM h|N .

•Segundo paso: Dos aplicaciones f0, f1 : N →M muy proximas son nece-sariamente homotopas, y si son diferenciables lo son por una homotopıa difer-enciable.

Demostracion. Basta poner ft(x) = πεM (Ft(x)), donde Ft(x) =

tf0(x) + (1 − t)f1(x) = t(f0(x) − f1(x)) + f1(x). La proximidad de f0 y f1se utiliza para asegurarse de que Ft(x) esta proximo a f1(x) lo que, a su vez,implica que la imagen de Ft cae dentro de M ε pues de otro modo πε

M (Ft(x)) notendrıa sentido.

•Tercer paso: Si f0, f1 : N → M son dos aplicaciones diferenciables queson homotopas por una homotopıa continua, entonces lo son por una homotopıadiferenciable.

Demostracion. Sea H : N × [0, 1] → M una homotopıa continua entref0 y f1. Aplicando el resultado enunciado en el primer paso a la aplicacion Hdeducimos la existencia de una aplicacion diferenciable G : N × [0, 1] →M tancercana a H como se desee. Obtenemos ası aplicaciones diferenciables Gδ(x) :=G(x, δ) y G1−δ(x) proximas a Hδ y H1−δ respectivamente y, por tanto, proximastambien a H0 = f0 y H1 = f1 respectivamente. Ahora bien, por el paso segundoH0 = f0 es diferenciablemente homotopa a Gδ, que a su vez lo es a G1−δ que,de nuevo por el paso segundo, lo es a H1 = f1. Esto acaba la demostracion

3.2.3. Ejercicios.

1)Sea X un espacio topologico homeomorfo, o sımplemente homotopo, a unavariedad diferenciable M . Demostrar que se puede definir la cohomologıa de DeRham de M poniendo H∗(X) = H∗(M). Calcular despues las cohomologıas deun triangulo, un rectangulo, un pentagono,....y de los trazos correspondientes alos siete primeros numeros (para el ocho habra que esperar al siguiente capıtulo).Tambien la del cono doble de ecuacion x2 + y2 = z2.

Capıtulo 4

La sucesion deMayer-Vietoris

4.1. Sucesiones exactas.

Antes de exponer la sucesion cohomologica que da nombre a este capıtu-lo recordaremos brevemente la nocion y un par de propiedades basicas de lassucesiones exactas.

Una sucesion de espacios vectoriales y homomorfismos

· → Vi−2hi−2→ Vi−1

hi−1→ Vihi→ Vi+1

hi+1→ Vi+2hi+2→ ·

se dice exacta si, en cada paso, Kerhi+1 = Imhi.

Ası, por ejemplo, la exactitud de Vihi→ Vi+1 → 0 significa que hi es

suprayectiva (lo que denotaremos poniendo Vi

hi

Vi+1), mientras que la de

0 → Vihi→ Vi+1 significa que hi es inyectiva (lo que denotaremos en la forma

Vihi→ Vi+1). Notese que hi+1 hi = 0.Una sucesion exacta con solo tres terminos

0 → Vi−1hi−1→ Vi

hi→ Vi+1 → 0

se denomina sucesion exacta corta. Por lo anterior, lo que esto significa esque hi es suprayectiva, hi es inyectiva y Kerhi = Imhi−1. Luego, por el primerteorema de isomorfıa, la sucesion exacta corta tıpica se obtiene a partir de unhomomorfismo h : V →W tomando

0 → Kerhi→ V

h→ Imh→ 0

Necesitaremos la siguiente

47

48 CAPITULO 4. LA SUCESION DE MAYER-VIETORIS

Proposicion 87 Si la sucesion

0 → V1h1→ V2

h2→ · · Vihi→ ·· → Vn → 0

es exacta se satisface la siguiente relacion

∑(−1)i dim(Vi) = 0

Demostracion. Se razona por induccion sobre la longitud de la sucesion.El comentario que precede a la proposicion muestra el resultado para n = 3.

Si n > 3 descomponemos nuestra sucesion en las dos siguientes:

0 → V1h1→ V2

h2→ Imh2 → 0

0 → Imh2 → V3h3→ V4 → · · Vi

hi→ ·· → Vn → 0

La demostracion se acaba restando las relaciones correspondientes a cada unade ellas.

Finalmente, para ilustrar el tipo de argumentos que se llevan a cabo cuandose trabaja con sucesiones exactas, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 88 Si en el siguiente diagrama conmutativo

0 → V1h1→ V2

h2→ V3 → 0↓ α1 ↓ α ↓ α3

0 → W1g1→ W2

g2→ W3 → 0

se supone que las dos sucesiones horizontales son exactas y que las flechas ver-ticales α1y α3 son isomorfismos, entonces α tambien debe serlo.

Demostracion.•Kerα = 0)α(v2) = 0 ⇒ 0 = g2 α(v2) = α3 h2(v2) ⇒ h2(v2) = 0 ⇒ v2 = h1(v1) ⇒g1 α1(v1) = α h1(v1) = α(v2) = 0 ⇒ α1(v1) ∈ Kerg1 = 0 ⇒ α1(v1) = 0 ⇒v1 = 0 ⇒ v2 = h1(v1) = 0 CQD.•Imα = W2)w2 ∈ W2 ⇒ g2(w2) = α3(v3) ⇒ g2(w2) = α3(v3) = α3(h2(v2)) = g2(α(v2)) ⇒w2−α(v2) ∈ Kerg2 = Img1 ⇒ w2−α(v2) = g1(w1) = g1(α1(v1)) = αh1(v1) ⇒w2 = α(v2 − h1(v1) ⇒ w2 ∈ Imα CQD.

4.1.1. Ejercicios.

1) Demostrar que Vi−1 = Vi+1 = 0 ⇒ Vi = 0.

2) Estudiar la posible exactitud de la sucesion · → Ωi−2(M)d→ Ωi−1(M)

d→Ωi(M)

d→ Ωi+1(M)d→ Ωi+2(M)

d→ ·3) Construir, si es posible, sucesiones exactas cortas con

a) V1 = R3, V2 = R5 V3 = R2

b) V1 = R3, V2 = R6 V3 = R2

4.2. LA SUCESION DE MAYER VIETORIS 49

4.2. La sucesion de Mayer Vietoris

La sucesion de Mayer-Vietoris juega un papel fundamental en la teorıa decohomologıa no solo por su eficacia en el calculo de la cohomologıa de variedadesconcretas, sino tambien porque puede ser usada para probar resultados teoricosbasicos. Si M = U ∪V esta herramienta permite expresar la cohomologıa de Men terminos de la de los abiertos U, V y U ∩ V .

Se trata de la sucesion de espacios vectoriales

0 → Ω∗(M)r→ Ω∗(U) ⊕ Ω∗(V )

δ→ Ω∗(U ∩ V ) → 0(η1, η2) → η2 − η1

donde r(ω) = (ω|U , ω|V ) y δ(η1, η2) = (η2 − η1)|U∩V .

Observese que puesto que los abiertos U y V recubren todo M , su nucleo estrivial, i.e. la sucesion es exacta en el primer paso. Por su parte, δ(η1, η2) = 0significa que podemos ”pegar” η1 ∈ Ω∗(U) y η2 ∈ Ω∗(V ) para construir unaforma Θ1,2 bien definida en U ∪ V i.e. en M tal que r(Θ1,2) = (η1, η2), i.e. lasucesion es exacta tambien en este paso. De hecho se tiene

Proposicion 89 La sucesion de Mayer-Vietoris es exacta.

Demostracion. Despues de los comentarios precedentes solo queda probarla exactitud en el ultimo paso, es decir, queda por ver que toda forma σ ∈ Ω∗(U∩V ) se puede escribir como σ = (η2 − η1)|U∩V para ciertas η1 ∈ Ω∗(U) y η2 ∈Ω∗(V ). Si ρU , ρV es una particion de la unidad subordinada al recubrimientoU, V podemos escribir

σ = ρUσ + ρV σ =

ρUσ − (−ρV σ)o

ρV σ − (−ρUσ)

lo que sugiere que una de estas dos expresiones da la descomposicion que an-damos buscando, ¿pero cual de ellas? La correcta resulta ser la segunda, puesquien define una forma en U es ρV σ, no ρUσ, y viceversa. Mas precisamentepodemos poner

ρV σ =

ρV σ en U ∩ V

0 en U \ V ∈ Ω∗(U)

La unica duda en esta extension por cero de ρV σ a todo U (tengase en cuentaque ρV σ es una forma definida, en principio, solo en U∩V ) surgirıa en los puntosx ∈ U ∩ V \ U ∩ V , pero esta duda se resuelve observando que debe existir unentorno de x en el que ρV se anule identicamente, pues de otro modo tendrıamosque x ∈ sop(ρV ) que va en contra de la hipotesis sop(ρV ) ⊂ V .

Puesto que las aplicaciones r y δ preservan el grado, la sucesion exactaanterior consiste, en realidad, en una multitud de sucesiones exactas cortas, una


para cada grado. Explıcitamente:

: : :d ↑ d ↑ d ↑

0 → Ωk+1(M)r→ Ωk+1(U) ⊕ Ωk+1(V )

δ→ Ωk+1(U ∩ V ) → 0d ↑ d ↑ d ↑

0 → Ωk(M)r→ Ωk(U) ⊕ Ωk(V )

δ→ Ωk(U ∩ V ) → 0d ↑ d ↑ d ↑: : :

Este diagrama de sucesiones exactas cortas es conmutativo porque derivacionconmuta con restriccion. Es por ello tambien que r y δ envıan formas cerradasen formas cerradas y exactas en exactas por lo que inducen ademas homomor-fismos entre los correspondientes grupos de cohomologıa (que denotaremos conlos mismos sımbolos). Se obtiene ası una sucesion que conecta todos losgrupos de cohomologıa de la manera siguiente:

→ Hk−1(U ∩ V ) → Hk(M)r→ Hk(U) ⊕Hk(V )

δ→ Hk(U ∩ V )d∗

→ Hk+1(M) →La definicion de la imagen d∗(α) = β ∈ Hk+1(M) de α ∈ Hk(U ∩V ) se hace

rastreando nuestro diagrama guiados siempre por la exactitud de las sucesionestal y como se ilustro en el Ejemplo 88. Esquematicamente:

β → (dξ1, dξ2) → 0↑ ↑

(ξ1, ξ2) α

donde el camino seguido ha sido α (ξ1, ξ2) (por exactitud) (dξ1, dξ2) β(por exactitud, teniendo en cuenta que (dξ1, dξ2) → 0 como consecuencia de queα es cerrada y que el diagrama conmuta).

Esto por lo que refiere a la obtencion de β. Para justificar que β es cerrada,luego define una clase de cohomologıa, hay que proseguir y darse cuenta de quedβ → 0 (por conmutatividad)⇒ dβ = 0 (por exactitud), segun vemos en elsiguiente trozo del diagrama

dβ → 0↑ ↑β → (dξ1, dξ2) → 0

Naturalmente, debe probarse que el homomorfismo d∗ esta bien definido, i.e.que se satisfacen las dos propiedades siguientes:

1) Si en vez de (ξ1, ξ2) tomamos (ξ′1, ξ′2) α obtenemos el mismo resultado.

Pero esto es claro: en tal caso tendrıamos (ξ1 − ξ′1, ξ2 − ξ′2) 0 ⇒(ξ1 − ξ′1, ξ2 − ξ′2) = r(β−1), y en vez de β obtendrıamos β + dβ−1 de acuer-do con el siguiente diagrama

dβ−1 → (dξ1 − dξ′1, dξ2 − dξ′2) 0↑ ↑ ↑β−1 → (ξ1 − ξ′1, ξ2 − ξ′2) 0

4.2. LA SUCESION DE MAYER VIETORIS 51

2) Si en vez de α se toma otro representante su misma clase α′ = α+ dτ seobtiene es β′ = β, de acuerdo con el siguiente diagrama

0 → 0↑

(dγ1, dγ2) dτ.. .. .. .. ..

↑ ↑(γ1, γ2) τ

Teorema 90 (sucesion exacta larga de cohomologıa)La sucesion

→ Hk−1(U ∩ V )d∗

→ Hk(M)r→ Hk(U) ⊕ Ωk(V )

δ→ Hk(U ∩ V )d∗

→ Hk+1(M) →es exacta.

Demostracion.

i) Exactitud en el paso Hk−1(U ∩ V )d∗

→ Hk(M)r→ Hk(U) ⊕ Ωk(V ).

r d∗(α) ≡ r(β) ≡ (dξ1, dξ2) ≡ 0 ⇒ Imd∗ ⊂ Ker(r).r(ω) ≡ (ω|U , ω|V ) ≡ 0 ⇒ (ω|U , ω|V ) = d(ξ1,ξ2), y se tiene el diagrama

ω → (ω|U , ω|V ) 0↑ ↑

(ξ1, ξ2) ξ2−ξ1que muestra que ω ≡ d∗(ξ2 − ξ1) ⇒ Ker(r) ⊂ Imd∗.

ii) Exactitud en el paso Hk(M)r→ Hk(U) ⊕ Ωk(V )

δ→ Hk(U ∩ V ).δ r(ω) ≡ δ(ω|U , ω|V ) ≡ ω|V ∩U − ω|U∩V ≡ 0 ⇒ Imr ⊂ Kerδ.δ(ξ1, ξ2) ≡ 0 ⇒ δ(ξ1, ξ2) = dυ = dδ(υ1, υ2) = δ(dυ1, dυ2) ⇒δ(ξ1 − dυ1, ξ2 − dυ2) = 0 ⇒ (ξ1, ξ2) − (dυ1, dυ2) = r(β) ⇒ (ξ1, ξ2) ≡ r(β) ⇒Kerδ ⊂ Imr

iii) Exactitud en el paso Hk(U) ⊕ Ωk(V )δ→ Hk(U ∩ V )

d∗

→ Hk+1(M).Si (ξ1, ξ2) es cerrada (para que defina una clase de cohomologıa) tenemos

0 → (0, 0) 0↑ ↑

(ξ1, ξ2) ξ2 − ξ1

i.e. d∗(δ(ξ1, ξ2)) ≡ d∗(ξ2 − ξ1) ≡ 0 ⇒ Imδ ⊂ Kerd∗.En el otro sentido tomemos α cerrada tal que d∗(α) ≡ 0; deseamos probar

que existe (ξ1, ξ2) cerrada tal que δ(ξ1, ξ2) ≡ α. La exactitud de la sucesion deMayer-Vietoris garantiza esto salvo por el hecho de que (ξ1, ξ2) sea cerrada (y ello independientemente de que α lo sea o no). Desgraciadamente no tienepor que ocurrir que (ξ1, ξ2), la preimagen de ξ2 − ξ1 por nosotros elegida, seacerrada. La condicion d∗(α) ≡ 0 solo garantiza la existencia de un diagrama dela forma

dβ′ → (dξ1, dξ2) 0↑ ↑ ↑β′ (ξ1, ξ2) α


lo que ya pone de manifiesto que (dβ′|U , dβ

′|V ) = (dξ1, dξ2), lo que a su vez implica

que (ξ1 − β′|U , ξ2 − β′

|V ) es cerrada. Pero, por otro lado, δ(ξ1 − β′|U , ξ2 − β′

|V ) ≡δ(ξ1, ξ2)− δ(β′

|U , β′|V ) ≡ δ(ξ1, ξ2)− δr(β′) ≡ δ(ξ1, ξ2)−0 = α; luego basta tomar

(ξ1 − β′|U , ξ2 − β′

|V ) en lugar de (ξ1, ξ2) para resolver nuestro problema.Para ilustrar como se aplica Mayer-Vietoris en el calculo practico de coho-

mologıas veamos el siguiente

Ejemplo 91 (cohomologıa de la circunfrencia S1)Esta cohomologıa ya la habıamos calculado directamente en el Ejemplo 35,

pero veamos como se obtendrıa aplicando Mayer-Vietoris. Tendrıamos:

0 → H0(S1) → H0(U) ⊕H0(V )δ→ H0(U ∩ V ) →

H1(S1)r→ H1(U) ⊕H1(V )

δ→ H1(U ∩ V ) → 0Como

U ∼= (0, 2π), V ∼= (−π, π)yU ∩ V ∼= (−π, π) ∪ (π, 2π)queda

0 → R → R ⊕ Rδ→ R ⊕ R

ϕ→ H1(S1) → 0 ⊕ 0 → 0 → 0donde hemos identificadoH1(U ∩ V ) ' H1(−π, π) ⊕H1(π, 2π) ' R ⊕ RAhora basta aplicar la formula de las dimensiones obtenida en la Proposicion87 para deducir H1(S1) ' R, como ya sabıamos.

Es ilustrativo observar directamente que Imδ(' Ker(r)) es unidimensional.En efecto, recuerdese que δ estaba definida por δ(ξ1, ξ2) = (ξ2 − ξ1)|U∩V '(ξ2 − ξ1|(−π,π), ξ2 − ξ1|(π,2π)).

4.3. Cohomologıa de las esferas.

Escribamos la sucesion de Mayer Vietoris para la esfera n-dimensional Sn, n >1, y los dos abiertos U y V correspondientes al atlas estereografico:

→ Hk−1(U ∩ V ) → Hk(Sn) → Hk(U) ⊕Hk(V ) → Hk(U ∩ V ) → Hk+1(Sn) →

Ahora bien, U y V son homeomorfos a Rn y U ∩ V a Rn \−→

0

luego

homotopo a Sn−1( la homopıa esta dada por la version n−dimensional de laformula usada para el caso n = 2 en el Ejemplo 80). Por tanto tenemos

• k = 0)0 → H0(Sn) → H0(U)⊕H0(V ) → H0(U∩V ) → H1(Sn) → H1(U)⊕H1(V )Queda

0 → R → R ⊕ Rδ→ R

r→ H1(Sn) → 0 ⇒ H1(Sn) = 0, si n > 1(usar la formula de suma alternada de las dimensiones)

• k > 0)· → Hk−1(Sn−1) → Hk(Sn) → 0 ⊕ 0 → Hk(Sn−1) → Hk+1(Sn) → 0 ⊕ 0⇒ Hk(Sn−1) ' Hk+1(Sn).

4.4. UN PAR DE RESULTADOS CLASICOS 53

Vemos que si 1 < k < n

Hk+1(Sn) ' Hk(Sn−1) ' Hk−1(Sn−2) ' ··· ' H1(Sn−k) =

R, si k + 1 = n0, si k + 1 < n

Definitivamente tenemos

Teorema 92 (cohomologıa de las esferas)

Hk(Sn) =

R, si k = 00, si 0 < k < n

R, si k = n

Corolario 93 Rn no se puede retraer a Sn−1

Demostracion. Si existiera una aplicacion continua r : R → Sn−1 cuyarestriccion a Sn−1 fuese la identidad, entonces la composicion de aplicaciones

Sn−1 i→ Rn r→ Sn−1 darıa la aplicacion identidad id : Sn−1 → Sn−1, lo que, anivel de cohomologıa, permitirıa obtener la aplicacionid : H1(Sn−1) → H1(Sn−1) como resultado de componer los homomorfismos

H1(Sn−1)r∗

→ H1(Rn)i∗→ H1(Sn−1). Siendo H1(Rn) = 0, esto es imposible.

Corolario 94 Bn

no se puede retraer a Sn−1

Demostracion. Si existiera una retraccion continua r1 : Bn → Sn−1 po-

drıamos extenderla a una r : Rn → Sn−1 solo con poner r(−→x ) = −→x /‖−→x ‖ fuerade Bn.

4.4. Un par de resultados clasicos

Con la cohomologıa de las esferas a nuestra disposicion podemos probar unpar de resultados llamativos de la Topologıa clasica.

4.4.1. Teorema del punto fijo de Brower.

Un ejercicio tıpico en el primer curso de Analisis Real de una variable es

probar que una aplicacion f : B1

= [0, 1] → B1

fija al menos un punto (resultade aplicar el teorema de Bolzano a la funcion x→ f(x) − x). Este resultado segeneraliza de la siguiente manera:

Teorema 95 (del punto fijo de Brower)Toda aplicacion continua f : B

n→Bn

fija algun punto.

Demostracion. De no ser ası podrıamos construir una retraccion r : Bn →

∂Bn

= Sn−1 mediante el siguiente procedimiento:Para cada −→x ∈ B

ntrazamos la semirrecta que une los puntos f(−→x ) y −→x

(en este orden). Esta semirrecta corta a Sn−1 en un unico punto que tomamoscomo r(−→x ). Es geometricamente evidente que r es una funcion continua.

Alternativamente, resolver el ejercicio que se propone a continuacion.


f(x)

x

r(x)

Figura 4.1: La semirrecta L−−−→f(x)x

corta a ∂Bn en r(x)

Ejercicio 96 Encontrar la formula analıtica de r(−→x ) en terminos de f(−→x ) y−→x imponiendo la condicion

‖f(−→x ) + λ(−→x − f(−→x ))‖2 = 1

Se obtendra que el valor de λ es λ =‖f(−→x )‖2−〈−→x ,f(−→x )〉+√

∆

‖−→x −f(−→x )‖2 donde 〈, 〉 denota

el producto escala usual en Rn y

∆ = (〈−→x , f(−→x )〉 − ‖f(−→x )‖2)2 + (1 − ‖f(−→x )‖2)‖−→x − f(−→x )‖2

En el teorema del punto fijo de Brower es esencial que el espacio en cuestionsea la bola cerrada; resolver si no el siguiente ejercicio

Ejercicio 97 Tomar un homeomorfismo explıcito entre Rn y la bola abierta,α : Rn ' Bn, y una traslacion Tv : Rn →: Rn para construir una homeomorfismode Bn que no fije ningun punto. Intentar extenderlo a B

n.

4.4.2. Invarianza/cia de la dimension.

Con solo invocar la propiedad de conexion sabemos probar que un abiertode R no puede ser homeomorfo a uno de Rn con n > 1 (ver la introduccion).Con los resultados cohomologicos que tenemos ya a nuestra disposicion podemosgeneralizar completamente este resultado.

Teorema 98 (de invarianza/cia de la dimension)

4.4. UN PAR DE RESULTADOS CLASICOS 55

Si dos abiertos U ⊂ Rn y V ⊂ Rm son homeomorfos, entonces, necesaria-mente, n = m.

Demostracion. Componiendo con translaciones adecuadas podemos supon-er que los abiertos U y V contienen el origen y que el homeomorfismo f : U → V

es tal que f(−→0 ) =

−→0 . Considerese ahora el siguiente diagrama conmutativo de

inclusiones (verticales) y homeomorfismos (horizontales)

B∗r

f→ f(B∗r )

i ↑ ↑ if−1(B∗

r′)f→ B′∗

r′

i ↑ ↑ iSn−1

ε

f→ f(Sn−1ε )

donde B∗δ (resp. B′∗

δ ) representa la bola n−dimensional (resp. m−dimensional)de radio δ centrada en el origen con este punto excluido.

Efectuando las composiciones obvias este diagrama se reduce a

B∗r

i ↑ B∗r′

Sn−1ε

que a nivel de cohomologıa se transforma en

Hk(B∗r )

i∗ ↓ Hk(B∗r′)

Hk(Sn−1ε )

Supongamos n > m y tomemos en el diagrama anterior k = n− 1. Teniendoen cuenta que i∗ = id (pues Sn−1

ε es un retracto de deformacion de B∗r ), queda

R '↓ 0R

Imposible.Observese que la demostracion tambien es valida en el caso facil n = 1. El

diagrama imposible al que se llega es entonces

R2 ↓ R

R2

Capıtulo 5

La caracterıstica de Euler

Una variedad M se dice que es triangulable si se puede descomponer comouna coleccion de poliedros n−dimensionales Pi (lo que significa que Pi ⊂ Ui

y que ϕi(Pi) ⊂ Rn es un poliedro y M = ∪Pi) de forma que las interseccionesno vacias Pi ∩ Pj son, a su vez, subpoliedros d−dimensionales, caras, tanto dePi como de Pj . Las caras de diemensiones 0, 1 y 2 se llaman tradicionalmentevertices, aristas y caras propiamente dichas.

Sea αk el numero de caras de dimension k de una variedad triangulable(en realidad, aunque su demostracion no es facil, se sabe que toda variedaddiferenciable lo es (ver [10]). Si el numero αn de caras de dimension n es finito(⇒M compacto, como union de una coleccion finita de compactos Pi) todos losαk son finitos, y podemos definir la caracterıstica de Euler-Poincare comoel numero natural

χ(M) =∑

(−1)kαk

En principio este numero dependera de la triangulacion elegida, pero, justa-mente, el objetivo de este apartado es mostrar que por muy distintas que seanlas triangulaciones (y por tanto los αk) que tomemos en M la suma alternadaanterior permanacera constante. Mas exactamente, si denotamos por hk(M) ladimension de Hk(M) y asumimos que todas estas dimensiones son finitas loque ocurre siempre que M es compacta, se tiene

χ(M) =∑

(−1)khk(M)

Una vez probado este resultado tomaremos esta ultima expresion, siempre quetenga sentido, como definicion de χ(M) sea M una variedad compacta o no.

Ejemplo 99 (triangulaciones de S1)Una triangulacion se obtiene inscribiendo un triangulo en la circunferencia

y proyectando sobre sus lados

Ejemplo 100 Tenemos α0 = 3 vertices y α1 = 3 lados. Por tanto χ(S1) =3 − 3 = 0, que coincide con ho(S1) − h1(S1) = 1 − 1.

57

58 CAPITULO 5. LA CARACTERISTICA DE EULER

1

2

3

Figura 5.1: Triangulacion de S1

Otra triangulacion distinta se obtendrıa tomando un cuadrado, o en generalcualquier polıgono regular de n lados, en lugar de un triangulo. Quedarıa ahoraχ(S1) = n− n = 0.

Ejemplo 101 χ(S2) = 2

Como en el caso anterior, obtenemos una triangulacion de S2 inscribiendoun poliedro, regular o no, con caras iguales o no, y proyectando desde el origen.Las mas interesantes son las que se obtienen a partir de los poliedros regulareso solidos platonicos (ver seccion 5.1). Puesto que h0(S2) − h1(S2) + h2(S2) =1 − 0 + 1 = 2, el teorema que vamos a probar garantizara que para todos ellos(pero tambien para poliedros irregulares) se verificara la famosa relacion deEuler:

α0 − α1 + α2 = v − a+ c = 2

Ejemplo 102 χ(Bn) = h0(Bn) = 1

Ejemplo 103 (Caracterıstica de Euler del toro χ(T))Apliquemos Mayer-Vietoris al siguiente recubrimiento del toroT = U ∪ V , donde (ver Fig 5.3)U = T\c, homotopo a S1

V = T\d, homotopo a S1

U ∩ V = T \ (c ∪ d), homotopo a S1∐

S1

La sucesion es

0 → H0(T) → H0(U) ⊕H0(V ) → H0(U ∩ V )→ H1(T) → H1(U) ⊕H1(V ) → H1(U ∩ V )→ H2(T) → H2(U) ⊕H2(V ) → H2(U ∩ V )→ H3(T) = 0

59

1

2

34

5

Figura 5.2: Otra triangulacion de S1

c

d

Figura 5.3: T = (T\c) ∪ (T\d)


*D

Figura 5.4: Toro menos un punto

Sumando por columnas obtenemos:χ(T) = χ(U) + χ(V ) − χ(U ∩ V ) = χ(S1) + χ(S1) − 2χ(S1) = 0

Luegoχ(T) = 0

El razonamiento anterior pone de manifiesto la siguiente propiedad aditivade la caracterıstica de Euler.

Proposicion 104 La caracterıstica homologica definida por

χ(M) =∑

(−1)khk(M)

satisface la relacion

χ(U ∪ V ) = χ(U) + χ(V ) − χ(U ∩ V )

para cualquier cubrimiento abierto U, V de M

Ejemplo 105 (La caracterıstica del toro menos un punto- o un disco-)Se puede obtener aplicando, de nuevo, Mayer-Vietoris al toro, pero recubierto

de forma distinta. AhoraU = T\ ∗V = D un pequeno disco alrededor del punto excluido ∗.U ∩D = D\ ∗, homotopo a S1

61

Por la proposicion 104 tenemos

χ(T) = χ(U) + χ(D) − χ(U ∩D)

Se deduce que χ(T\ ∗) = χ(T) − 1 = −1

Ejercicio 106 (caracterıstica del toro doble y, en general, de la super-ficie compacta con g agujeros Tg)

Figura 5.5: Genero 2

Utilizando el resultado anterior calcular la caracterıstica del toro doble T2

y, luego por induccion, la de la superficie compacta Tg con genero - o numerode agujeros- g.

Sugerencia: Aplicar Mayer-Vietoris al recubrimiento obvio T2 = U ∪ V parael que U ≡ V ≡ T\D y U ∩ V es un pequeno cilindro (ver Fig.106).Quedara

χ(Tg) = 2 − 2g

Las mismas ideas permiten demostrar el siguiente resultado mas general

Teorema 107 i) χ(M\ ∗) = χ(M) − 1.ii) χ(M1]M2) = χ(M1) + χ(M2) − 2.(donde M,M1,M2 son superficies arbitrarias y M1]M2 representa la suma conexade M1 y M2, ver [5])

5.0.3. Prueba de la igualdad∑

(−1)kαk =

∑(−1)k

hk(M)

La prueba es una aplicacion muy bonita de Mayer-Vietoris. Presentamosaquı el caso n = 2 porque la construccion topologica en la que se basa es mastransparente en este caso. Para el caso general ver [12]

• Tomemos M = U ∪ V donde- U = ∪Bi es una union de bolas disjuntas centradas en los baricentros xi

de cada una de las α2 caras.


M

B i

B’i

Figura 5.6: U =∐Bi, V = M \ ∐

B′i, U ∩ V =

∐Bi \Bi

- V = M \ ∪B′i, donde cada B′

i es una bola cerrada centrada en xi conB′

i ⊂ Bi

- U ∩V = ∪(Bi \B′i), luego homotopicamente equivalente a la union disjunta

de α2 circunferencias.Por la proposicion 104 tenemos

χ(M) = χ(U) + χ(V ) − χ(U ∩ V ) = α2 + χ(V ) − 0

De esta forma hemos introducido el numero α2 de caras en el problema.Para introducir el numero de vertices α0 y el de aristas α1 aplicaremos ahoraMayer-Vietoris a

• V = U1 ∪ V1, donde

- U1 = ∪Fij es la union disjunta de α1 bandas estrechas homeomorfas arectangulos que conectan cada bola B′

i con las B′j correspondientes a las caras

adyacentes a la i−esima.

- V1 = V \ ∪γij siendo γij un camino que une los centros xi y xj y dividea Fij en dos rectangulos. Notese que V1 esta constituido por α0 componentesconexas, una alrededor de cada vertice, cada una de ellas homeomorfa a un disco.

- U1 ∩ V1 = ∪(Fij \ γij) que tiene 2α1 componentes conexas.

De nuevo por la propiedad aditiva de χ tenemos

χ(V ) = χ(U1) + χ(V1) − χ(U1 ∩ V1) = α1 + α0 − 2α1

Llevando ahora esta ultima igualdad a la relacion para χ(M) obtenida an-teriormente nos da el resultado deseado.

5.1. TRIANGULACIONES DE S2. SOLIDOS PLATONICOS. 63

M

B’i

F ij

Figura 5.7: U1 = ∪Fij , V1 = V \ ∪γij

5.1. Triangulaciones de S2. Solidos platonicos.

Recordamos que los llamados solidos platonicos son los cinco poliedrosregulares siguientes:

v a c χTetraedro 4 6 4 triangulos 2Cubo 8 12 6 cuadrados 2Octaedro 6 12 8 triangulos 2Dodecaedro 20 30 12 pentagonos 2Icosaedro 12 30 20 triangulos 2

Teorema 108 No hay mas poliedros regulares que los cinco solidos platonicos.

Demostracion. Por la formula de Euler debe tenerse v−a+ c = 2. Sea n elnumero de aristas de cada polıgono, entonces entre todas las caras (consideradascomo conjuntos disjuntos) habrıa cn aristas, lo que, teniendo en cuenta quecada arista forma parte de exactamente dos caras, da a = cn/2 ⇒ c = 2a/n.Del mismo modo si r es el numero de aristas que se encuentran en cada verticetendremos a = vr/2 ⇒ v = 2a/r. Sustituyendo estas relaciones en la formulade Euler queda

2 = 2a

r− a+ 2

a

n= a(

2

r− 1 +

2

n)

Evidentemente en un poliedro regular debe tenerse r, n ≥ 3. Y por la iden-tidad anterior debe verificarse ademas que 1

r+ 1

n> 1

2 . Busquemos las posiblesnumeros naturales r, n en estas condiciones.


• Si n = 3 tenemos 1r

+ 13 >

12 ⇒ 1

r> 1

6 ⇒ r =

543

⇒ a =

30126

⇒

el poliedro en cuestion es el

icosaedrooctaedrotetraedro


+ 14 >

12 ⇒ 1

r> 1

4 ⇒ r = 3 ⇒ a = 12 ⇒ el poliedro encuestion es el cubo.


+ 15 >

12 ⇒ 1

r> 3

10 ⇒ r = 3 ⇒ a = 30 ⇒ el poliedroen cuestion es el dodecaedro.

• Si n = 6 (o n ≥ 6) tenemos 1r+ 1

6 >12 ⇒ 1

r> 2

6 = 13 ⇒ r < 3 ⇒ Imposible.

5.2. CARACTERISTICA DE EULER DE LAS SUPERFICIES COMPACTAS65

5.2. Caracterıstica de Euler de las superficiescompactas

Empecemos recordando el Teorema de clasificacion de las superficiescompactas

Sea S una superficie compacta. Entonces S es homeomorfa a una y solo unade las siguientes superficies:(S orientable)

Tg =

S2, si g = 0

T]g· · ·]T, si g > 0

(S no orientable)

Pb = P2]b· · ·]P2

Ya conocemos cual es la caracterıstica de cualquier superficie compacta ori-entable. Para calcular la de las no orientables necesitamos el siguiente

Lema 109 P2 ∗ es homotopicamente equivalente a P1 ≈ S1

Demostracion. Tomemos como ∗ el punto (0 : 0 : 1) entonces podemosdefinir la siguiente retraccion

r : P2 ∗ → P1

(x0 : x1 : x2) → (x0 : x1), donde

i : P1 → P2 ∗(x0 : x1) → (x0 : x1 : 0)

Que esta retraccion lo es por deformacion puede verse mediante la familia deaplicaciones

rt : P2 ∗ → P2 ∗(x0 : x1 : x2) → (x0 : x1 : tx2)

Corolario 110 χ(P2 ∗

)= 0. Y por tanto χ

(P2

)= 1.

Demostracion. Usar Teorema 107, i).

Teorema 111 i) χ (Tg) = 2 − 2gii) χ (Pb) = 2 − b

Demostracion. i) Ya visto.

ii) El Teorema 107, ii) permite hacer el siguiente razonamiento inductivo

χ (Pb) = χ(Pb−1]P

2)

= χ(Pb−1) + χ(P2) − 2 = (2 − (b− 1)) + 1 − 2 = 2 − b.


Ejercicio 112 Justificar la siguiente version alternativa del teorema de clasifi-cacion de superficies compactas:Una superficie compacta no orientable es homeomorfa a una y solo una de lassiguientes superficies:

Tg]P2 = P2g+1

Tg]K = P2g+2

(donde K =P2 es la botella de Klein).

Ejercicio 113 i) Demostrar que P2 ≈ S2 ∼, donde v ∼ w ⇔ w = −v.ii) Deducir que P2 ≈ D2 ∼, donde v ∼ w ⇔ w = −v.iii) Dibujar una triangulacion de P2 y comprobar que χ

(P2

)= 1.

Bibliografıa

[1] R. Bott L.W. Tu. Differential Forms in Algebraic Topology. GTM. Springer-Verlag.1982

[2] Diaz Miranda, A. Notas del curso de Geometrıa III.2002/03.

[3] Docarmo. Geometrıa diferencial de curvas y superficies. Alianza Universi-dad.1992.

[4] B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko. Geometrie contemporaine.Geometrie et topologie des varietes. Editions MIR. 1982.

[5] J. Gonzalo.Variedades y Geometrıa: Un curso breve. UAM Ediciones. 2005.

[6] Griffits. Surfaces. Cambridge University Press. 1976.

[7] V. Guillemin, A. Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall, EnglewoodsCliffs, New Jersey, 1974.

[8] M. Karoubi, C. Leruste. Algebraic Topology via Differential Geometry.LMS. Lec.Notes. Se. 99. CUP.1989.

[9] Mardsden, A. Tromba. Calculo vectorial. Addison-Wesley Iberoameri-cana.1991. Tercera edicion.

[10] J.R. Munkres. Elementary Differential Topology. Princeton UniversityPress. 1966.

[11] E Outerelo, JM Ruiz. Topologıa diferencial. Addison-Wesley.1998

[12] Differential Geometry. Publish or Perish.1970

67

Matemática notas 2006

Documents

Transcript of Matemática notas 2006