Noções de Conjuntos

SERVIÇO PÚBLICO FEDERALMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁPLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES

LICENCIATURAEM COMPUTAÇÃO

NOÇÕES DE CONJUNTOSIntrodução à Teoria dos Conjuntos

Os fundamentos da teoria dos conjuntos foram lançados no final do século XIX, a partir dos trabalhos de George Cantor (1845-1918). A partir de então, está teoria passou por um forte processo de desenvolvimento, dando suporte a diversos ramos da matemática e influenciando outras áreas do conhecimento, dentre elas a Ciência da Computação.

O conceito de conjunto é fundamental para a Ciência da Computação, uma vez que grande parte de seus conceitos, construções e resultados são escritos na linguagem dos conjuntos ou baseados em construções sobre conjuntos (MENEZES, 2008), existindo aplicações em áreas como Banco de Dados e Linguagens Formais, por exemplo.

Neste capítulo, introduziremos os principais conceitos da teoria dos conjuntos, que serão indispensáveis para estudos posteriores.

Três noções são consideradas primitivas: Conjunto; elemento; pertinência entre elemento e conjunto.Conjunto –notação: letras maiúsculasPode ser designada, intuitivamente, como uma coleção de objetos de qualquer natureza, considerados globalmente. Em um conjunto, a ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado apenas uma vez. A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante

Elemento-notação: letras minúsculasOs objetos que constituem um conjunto denomina-se elementos do conjunto.

Pertinência - notação: ЄRelacionam elemento com conjunto. Qualquer objeto que faça parte de um conjunto é chamado “membro” ou “elemento” daquele conjunto ou ainda é dito pertencer aquele conjunto. Para denotar que o elemento x pertence ao conjunto A utiliza-se: X∈ASe o elemento não pertence ao conjunto A denota-se: X ∉ AEx: Considerando o conjunto D dos dias da semana, temos que: segunda ∈ D; sábado ∈D; janeiro ∉ D




REPRESENTAÇÃOUm conjunto pode ser representado basicamente de duas maneiras: por extensão ou por compreensão. Extensão: os elementos são listados exaustivamente, sendo colocados entre um par de chaves e separados por vírgulas. Por exemplo,D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}

Compreensão: em casos em que os números de elementos são muitos, devemos optar por descrever o conjunto por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. De forma geral, escreve-se S= {x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade.Exemplos:

a) A = {a, e, i, o, u}b) B = {1, 3, 5, 7, ..., 15}c) C = {1, 2, 3, 4, 5,...} d) d) D = {n|n=2y, onde y é um número inteiro} A foi representado por meio da listagem de todos os seus elementos. B e C, alguns elementos foram omitidos, mas podem facilmente ser

deduzidos do contexto. Nos três casos, a forma de representação utilizada foi a extensão.

O conjunto D, que corresponde ao conjunto D = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, foi representado por meio da propriedade comum a seus elementos, o que constitui a forma de representação por compreensão.

Ex1:Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus elementos:a) {x|x é a capital do Pará}b) {y|y é um número primo menor do que 30}




Ex 2: Descreva cada um dos seguintes conjuntos, através de uma propriedade que caracteriza seus elementos:

a) {1,3,5,7,9...}b). {1,4,9,16...}

Alguns Conjuntos EspeciaisConsidere a seguinte situação: queremos listar todos os elementos de um conjunto A={a|a é um número natural par menor do que 2}. Então, quantos elementos o conjunto A possui? A não possui nenhum elemento, pois não existe nenhum número natural par que seja menor do que 2. Neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio, e representamos como segue: A = { } ou A = ∅E se quiséssemos listar todos os elementos do conjunto B = {b|b é um número natural ímpar menor do que 2}, quantos elementos esse conjunto teria? Neste caso, B teria apenas um elemento, sendo, por isso, chamado de conjunto unitário. B = { 1 }

CONJUNTO UNITÁRIO é o conjunto que possui apenas um elemento. Um conjunto possui um número finito ou infinito de elementos. Chamamos de conjunto finito aquele que pode ser descrito por extensão, ou seja, é possível listar todos os seus elementos. Um conjunto é dito infinito quando não é possível listar exaustivamente todos os seus elementos.

CONJUNTO UNIVERSOGeralmente, o conjunto universo é representado pela letra U, é o conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo considerados, ou seja, define o contexto da discussão.

- Num diagrama de Venn, os elementos de U são geralmente representados por pontos internos ao um quadrado(retângulo) e os demais são representados por um circulo contidos no quadrado/retângulo.

- U não é um conjunto fixo e, para qualquer conjunto A, temos :




Propriedades dos Conjuntos1. Qualquer conjunto é subconjunto do conjunto universo;2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;3. Todo conjunto é subconjunto de si próprio;4. Se todo elemento de um conjunto A pertence também a um conjunto B, e todo elemento de B pertence a um conjunto C, então todo elemento de A pertence a C (propriedade da transitividade).

RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOSJá introduzimos a noção de pertinência entre elementos e conjuntos. Além desta, outra noção importante é a de continência, a partir da qual podemos introduzir os conceitos de subconjuntos e de igualdade de conjuntos. Relações de pertinência são estabelecidas entre elemento e conjunto, enquanto que as relações de continência são estabelecidas entre conjunto e conjunto.

- SUBCONJUNTOS Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a e também pertence a , então

o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta

definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, A = B. Se

e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado

de subconjunto próprio de , denotado por . Todo conjunto é subconjunto dele

próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Observe que todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. Com a notação A⊂B indicamos que “A” é subconjunto de “B” ou “A” está contido em “B” ou “A é parte de B”, ou ainda que B contém A, com notação B⊃A.A⊂B ↔(∀x)(x ∈A→x∈B)




Quando A não é um subconjunto de B, ou seja, quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B, indicamos A ⊄ B.

- IGUALDADE DE CONJUNTOSConsideremos os conjuntos A={1, 3, 5} e B={1, 3, 5}. Não é preciso se esforçar para perceber que A é um subconjunto de B e B, por sua vez, também é subconjunto de A. Neste caso, dizemos que os conjuntos A e B são iguais.Formalmente, podemos dizer: dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A, ou seja: A = B ↔ (∀x)((x∈A→x∈B)∧(x∈B →x∈A))

CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTOSe tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto das partes de F será

aquele formado por todos os possíveis subconjuntos de F e será representado por P(F). Se

o conjunto F tem n elementos, então o conjunto das partes de F, P(F), terá 2n elementos.

Exemplo: Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis subconjuntos de F:

→ com nenhum elemento Ø

→ com 1 elemento {3}, {5}, {9}

→ com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}

→ com 3 elementos {3, 5, 9}

Podemos então escrever: P(F) = { Ø, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 5, 9} }

O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do conjunto e é indicado por

n(F). Repare que no exemplo acima n(F) = 3 e n (P(F)) = 23 = 8

CONJUNTO COMPLEMENTAR

Complementar de B com respeito a A e é representada por = B - A. No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos

presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.

RELAÇÃO DE INCLUSÃOA relação de inclusão possui 3 propriedades:

→ Propriedade reflexiva: AA, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

→ Propriedade anti-simétrica: se AB e BA, então A = B.

→ Propriedade transitiva: se AB e BC, então AC.




DIAGRAMAS DE VENNPodemos expressar um conjunto através de diagramas de Venn, de forma a facilitar o entendimento de definições, o desenvolvimento de raciocínios e a compreensão dos componentes e relacionamentos que estejam sendo discutidos (MENEZES, 2008). Um diagrama de Venn é uma representação pictórica na qual os conjuntos são representados por áreas delimitadas por curvas no plano. Lipschutz e Lipson (2004).Para seguir este modelo de representação, devemos observar as seguintes regras:

1. O conjunto universo é representado por um retângulo;2. Cada um dos demais conjuntos é representado por um círculo (ou uma elipse);3. Cada conjunto deve ser identificado por uma letra maiúscula;

A seguir, são ilustradas algumas situações para que você possa entender como utilizar Diagramas de Venn para representar conjuntos. Para representar a continência de dois conjuntos, construímos uma elipse dentro de outra, como segue:

Figura 1.1: Diagrama de VennA Figura 1.1 representa a relação A⊂B, ou seja A é subconjunto de B.

Perceba que a elipse que representa o conjunto A está totalmente contida na que representa o conjunto B. Isto representa que todos os elementos de A são também elementos de B, conforme a definição de subconjunto já apresentada.

Observe agora a Figura:

Figura 1.2: Diagrama de Venn




Perceba que as figuras que representam os conjuntos A e B estão totalmente separadas. Isto representa que não existem elementos de A que sejam também elementos de B. Neste caso, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Reflita: E se quisermos representar dois conjuntos A e B onde seja possível que alguns elementos de A não pertençam a B e que alguns elementos de B não pertençam a A?Neste caso, a representação é como segue:

Figura 1.3: Diagramas de Venn

Portanto, dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura acima, podemos estabelecer

uma relação entre os respectivos números de elementos:

n (A∪ B) = n (A) + n (B) − n (A∩ B)

Observe o diagrama e comprove.

Figura 1.4: Diagramas de Vennn(A∪B∪C) = n(A) + n(B)+ n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Conjuntos numéricos:




Os conjuntos numéricos são os seguintes: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.

Figura 1.4: Diagramas de Venn

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