No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.

MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO

Um corpo rígido pode ter três movimentos

1º - O movimento de translação quando todos os pontos percorrem trajectórias paralelas

2º - O movimento de rotação quando todos os pontos percorrem trajectórias circulares

3º - Combinação do movimento de rotação e de translação

Movimento translacional + rotacional

Movimento rotacional puro

MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DA TERRA

ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL

2

21

iii vmK

ii rv

2222

21

21 iiiii rmrmK

22total 2

1

iiirmK

Energia cinética de uma partícula do corpo rígido

Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular

Substituindo em iK

Energia cinética total Unidade: joule (J)

Não é uma nova forma de energia.

A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação

Cada partícula de massa do corpo rígido descreve uma trajectória circular de raio com velocidade tangencial

imir iv

Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z

onde é o momento de inérciai

iirmI 2

2m kg: Unidade

2

21 IK R

MOMENTO DE INÉRCIA

O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação

No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa no movimento translacional

lim 2 20im i ii

I r m r dm

Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm

MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS

Definimos inicialmente o momento angular de uma partícula com momento linear .

prL

Derivando o momento angular em relação ao tempo:

dtpdrp

dtrdpr

dtd

dtLd

)(

=0

dtpd

f

como

MfrdtLd

L

Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto a rotação não é necessária para o momento angular

pprL

rpm

é o momento angular instantâneo emrelação à origem O

L

MOSTRAREMOS QUE O MOVIMENTO ROTACIONAL TEM UMA LEI DE MOVIMENTO SEMELHANTE À SEGUNDA LEI DE NEWTON

L

O MOMENTO ANGULAR

A mesma relação é válida para um corpo rígido, em rotação em torno de um ponto O.

dtLdM

e corresponde à um momento da força externo resultante M

análogo à segunda lei de newtondtpd

f

oudtLdM

A relação acima é válida também para um sistema de partículas onde o momento angular é a soma vectorial dos momentos angulares de cada partícula

em relação ao mesmo ponto fixo O

A soma dos momentos das forças internos são nulos

Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z

O momento angular total do corpo rígido será

2ii rmI

iii

i rvmL

prL

Lembrando que

como obtemos ii rv

)()( 2i

iiii

ii rmrrmL

e é o momento de inércia

e o momento angular pode ser escrito como IL que é análogo à mvp

O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação

O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

constante 0 LfrdtLdM

Quando

se 0 ) fi

ou 0 ) rii

0M

ou constanteL

fi LL

Análogo ao que acontece com o momento linear fi pp

FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma

urfrF )()(

Neste caso:

iii) quando a força é colinear com o vector posição teremos também

constante

0)(

L

urfrdtLdM

0M

Exemplo:

EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:

ffii IIIL constante

iI fi fI

Com a aproximação dos halteres ( < ) a velocidade angular do sistema aumentafI iI

EXEMPLO 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta-homem (+ banco)

ibicbici ILL

Agora o homem inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta

ibic LL

2 21,2 kg.m ; 6,8 kg.m e 3,9 rot/sbic tot iI I

Dados

Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o homem inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta

EXEMPLO 2 (cont): CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

Há conservação do momento angular uma vez que só há forças internas no sistema

ibictot II 2

imen

iimenif

LL

LLLLL

2

Momento angular final do sistema:

imenmenbicf LLLLL

rot/s4,12

tot

ibic

II

No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico

e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo

L

Mg

L

gM

L

Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

i

iirmI

const.0

LdtLd

onde

IdtdII

dtd

dtdL

)(

QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO

ou

IM

que é semelhante à equação de Newton

amF

Velocidade do centro de massa

CMds dv R Rdt dt

CMCMdv da R Rdt dt

ROLAMENTO DE UM CORPO RÍGIDO

Aceleração do centro de massa

Consideramos que um cilindro gira de um ângulo . O centro de massa desloca-se de rs

PARA O MOVIMENTO DE ROLAMENTO PURO