Multiplicação de Multiplicação de MatrizesMatrizes

Colégio Batista Santos Colégio Batista Santos DumontDumont

Olimpíada Brasileira de Olimpíada Brasileira de InformáticaInformática

Wladimir Araújo TavaresWladimir Araújo Tavares

ProblemaProblema

Encontrar uma ordem para a Encontrar uma ordem para a multiplicação demultiplicação de

matrizes que minimize o número de matrizes que minimize o número de operações.operações.

Sabendo que o custo de multiplicar Sabendo que o custo de multiplicar uma matriz uma matriz

A A n x m n x m por uma matriz B por uma matriz B m x p m x p é é

n x m x p.n x m x p.

Seja Seja

AA1 1 :: 5 x 2 A5 x 2 A2 2 :2 x 3 A:2 x 3 A3 3 : 3 x 4 A: 3 x 4 A4 4 :: 4 x 5 4 x 5

AA1 1 x Ax A22 x A x A33 AA1 1 x Ax A22 x A x A3 3 x Ax A44

(A(A1 1 x Ax A22 )x A )x A33 ((A((A1 1 x Ax A22) x A) x A33)) x x AA44

AA1 1 x (Ax (A22 x A x A3 3 )) ((A((A1 1 x Ax A22) x (A) x (A3 3 x x AA44))))

(A(A1 1 x (Ax (A22 x A x A33)))) x x AA44

AA1 1 x ((Ax ((A22 x A x A33)) x x AA44))

Veja que existe vários sub-problemas que se repetem.

Podemos atacar esse problema resolvendo todasPodemos atacar esse problema resolvendo todasas multiplicações envolvendo 2 matrizes e depoisas multiplicações envolvendo 2 matrizes e depoispara a multiplicações envolvendo 3 matrizes epara a multiplicações envolvendo 3 matrizes efinalmente resolver o problema.finalmente resolver o problema.Vamos denotar m[i,j] = custo de multiplicar asVamos denotar m[i,j] = custo de multiplicar as

matrizes de Amatrizes de Aii...A...Ajj. Vamos denotar b[i-1],b[i]. Vamos denotar b[i-1],b[i]como as dimensões das matrizes.como as dimensões das matrizes.b[0]=5 b[1]=2 b[2]=3 b[3]=4 b[4]=5b[0]=5 b[1]=2 b[2]=3 b[3]=4 b[4]=5Multiplicações envolvendo 1 matriz tem custo 0.Multiplicações envolvendo 1 matriz tem custo 0.Multiplicações envolvendo 2 matrizes:Multiplicações envolvendo 2 matrizes:m[1,2] = 5 x 2 x 3 = 30m[1,2] = 5 x 2 x 3 = 30m[2,3] = 2 x 3 x 4 = 24m[2,3] = 2 x 3 x 4 = 24m[3,4] = 3 x 4 x 5 = 60m[3,4] = 3 x 4 x 5 = 60

Multiplicação envolvendo 3 matrizes:Multiplicação envolvendo 3 matrizes:Podemos calcular APodemos calcular A1 1 x Ax A22 x A x A3 3 de duas formas:de duas formas: (A(A1 1 x Ax A22 )x A )x A3 3 = m[1,2] +m[3,3]+ b[0] x b[2] x = m[1,2] +m[3,3]+ b[0] x b[2] x

b[3] =b[3] =30 + 0 + 5 x 3 x 4 = 90.30 + 0 + 5 x 3 x 4 = 90.AA1 1 x (Ax (A22 x A x A33) = m[1,1] +m[2,3] b[0] x b[1] x [3] =) = m[1,1] +m[2,3] b[0] x b[1] x [3] =0 + 24 + 5 x 2 x 4 = 64.0 + 24 + 5 x 2 x 4 = 64.O custo mínimo para calcular m[1,3] =64O custo mínimo para calcular m[1,3] =64Podemos calcular APodemos calcular A22 x A x A3 3 x Ax A4 4 de duas formasde duas formas

(A(A2 2 x Ax A33 )x A )x A4 4 = m[2,3] +m[4,4]+ b[1] x b[3] x b[4] = m[2,3] +m[4,4]+ b[1] x b[3] x b[4] ==

24 + 0 + 2 x 4 x 5 = 6424 + 0 + 2 x 4 x 5 = 64AA2 2 x (Ax (A33 x A x A44) = m[2,2] +m[3,4] b[1] x b[2] x [4] =) = m[2,2] +m[3,4] b[1] x b[2] x [4] =0 + 60 + 2 x 3 x 5 = 900 + 60 + 2 x 3 x 5 = 90m[2,4]=64m[2,4]=64

Para a multiplicação de tamanho 2 temos 4 Para a multiplicação de tamanho 2 temos 4 formas:formas:

AA1 1 x (Ax (A22 x A x A3 3 x Ax A44) = m[1,1] + m[2,3] + b[0] x ) = m[1,1] + m[2,3] + b[0] x b[1] x b[4]b[1] x b[4]

0 + 64 + 2 x 5 x 5 = 1140 + 64 + 2 x 5 x 5 = 114

((A((A1 1 x Ax A22) x (A) x (A3 3 x Ax A44)) = m[1,2] + m[3,4] +b[0] )) = m[1,2] + m[3,4] +b[0] x b[2] x b[4]x b[2] x b[4]

30+ 60 + 2 x 3 x 5 = 12030+ 60 + 2 x 3 x 5 = 120

(A(A1 1 x Ax A22 x A x A33)) x Ax A4 4 = m[1,3] + m [4,4] + b[0] x = m[1,3] + m [4,4] + b[0] x b[3] x b[4]b[3] x b[4]

64 + 0 + 2 x 4 x 5 = 10464 + 0 + 2 x 4 x 5 = 104

Logo, m[1,4] = 104Logo, m[1,4] = 104

Em geral,Em geral,

m[i,j] = min m[i,j] = min i<=k<ji<=k<j( m[i,k] + m[k+1,j] + b[i-1] ( m[i,k] + m[k+1,j] + b[i-1] x b[k] x b[j])x b[k] x b[j])

Se resolvermos primeiro os casos menores Se resolvermos primeiro os casos menores poderemospoderemos

utilizar estes resultados para construir utilizar estes resultados para construir casos maiores.casos maiores.

AlgoritmoAlgoritmo

Para i=1 até n faça m[i,i] = 0Para i=1 até n faça m[i,i] = 0 variando as diagonaisvariando as diagonais Para u=1 até n-1 façaPara u=1 até n-1 faça Para i = 1 ate n – u façaPara i = 1 ate n – u faça j = i + uj = i + u min = ∞ s[i,j] = 0min = ∞ s[i,j] = 0 Para k = i ate j facaPara k = i ate j faca q = m[i,k] + m[k+1][j] + b[i-1] * b[k] q = m[i,k] + m[k+1][j] + b[i-1] * b[k]

* b[j] * b[j] Se q < min então { min = q Se q < min então { min = q s[i,j] = s[i,j] =

k }k } m[i,j] = min m[i,j] = min

Construindo a solução Construindo a solução ótimaótima

Print-MCM(s,i,j)Print-MCM(s,i,j)  if i=j then  if i=j then    imprima “Ai”    imprima “Ai”  else  else    imprima "(" + Print-    imprima "(" + Print-MCM(s,1,s[i,j]) + "*" + Print-MCM(s,1,s[i,j]) + "*" + Print-MCM(s,s[i,j]+1,j) + ")" MCM(s,s[i,j]+1,j) + ")"