Mudancas Base Acet 3
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Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4
J.A.T.B. NAL-4.13
Exemplo 3 [4.5]: Considere as transformações lineares →� �3 2 : R ,
→� �2 3 : S e →� �
3 3 : T , que possuem as representações matriciais
−
= = −
1 0 1( )
1 1 1m RR ,
−
= =
1 1
( ) 1 2
2 1
m SS e
= =
1 0 1
( ) 0 1 1
1 0 0
m TT
em relação às bases canónicas { }=� � �
3E , ,i j k e { } { }= =� �
2 1 1E , (1,0),(0,1)i j
para os espaços lineares �3 e �2 , respectivamente. Seja ainda a base ordenada para �3
{ } { }= =� � �
1 2 3V , , (1,0,1),(1,1,0),(1,0,2)v v v
Determine as seguintes representações matriciais:
a) =2 2V,E V,E( )m RR , que representa R em relação às bases ordenadas V
e 2E .
b) =2 2E ,V E ,V( )m SS , que representa S em relação às bases ordenadas 2E
e V.
c) =3 3V,E V,E( )m TT , que representa T em relação às bases ordenadas V e
3E .
d) =3 3E ,V E ,V( )m TT , que representa T em relação às bases ordenadas 3E
e V.
e) +2
V( )m SR T , que representa +2SR T em relação à base ordenada V e
recorrendo às matrizes obtidas nas alíneas anteriores.
f) +2
V( )m SR T a partir, neste caso, da sua representação matricial em
relação à base canónica 3E .
Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4
J.A.T.B. NAL-4.14
Solução:
a) A matriz =2 2V,E V,E( )m RR é
− = =
3
2
2
EV,E V
V,E
0 1 1
0 0 1R R M
onde 3EVM é a matriz mudança de base de V para 3E , definida por
−
= = = =
3E 13 3V
1 1 1
0 1 0
1 0 2
M E V I V V
b) A matriz =2 2E ,V E ,V( )m SS é
( )−
− −
= =
3
2
2
1E
E ,V V
E ,V
6 3
1 2
4 2
S M S
em que
( ) [ ]−
−
− −
= = = −
31 TE 1
V
2 2 11
0 1 0
1 1 1
M V Cof VV
c) A matriz =3 3V,E V,E( )m TT é
= =
3
3
3
EV,E V
V,E
2 1 3
1 1 2
1 1 1
T T M
Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4
J.A.T.B. NAL-4.15
d) A matriz =
3 3E ,V E ,V( )m TT é
( )−
−
= =
3
3
3
1E
E ,V V
E ,V
1 2 0
0 1 1
0 1 0
T M T
e) A matriz +2
V( )m SR T é
−
+ = + =
2 2V V V
V
0 7 2
( ) ( ) ( ) 2 3 4
1 5 0
m SR T m SR m T
em que
−
= = −
2 2V E ,V V,E
V
0 6 3
( ) 0 1 1
0 4 2
m SR S R
− −
= =
3 3
2V E ,V V,E
V
0 1 1
( ) 2 2 3
1 1 2
m T T T
f) A representação matricial de +2SR T em relação à base canónica 3E é
+ = + =
2 2
0 1 3
( ) ( ) ( ) 0 3 2
2 1 0
m SR T m SR m T
em que
−
= = − −
2 1 2
( ) 1 2 1
1 1 1
m SR S R
Noções sobre Álgebra Linear Capítulo 4
J.A.T.B. NAL-4.16
= =
2
2 0 1
( ) 1 1 1
1 0 1
m T T T
Assim, a matriz +2
V( )m SR T é obtida, neste caso, a partir da relação
matricial
( )−
−
+ = + =
3 31
E E2 2V V V
V
0 7 2
( ) ( ) 2 3 4
1 5 0
m SR T m SR TM M