Moyses_v2c05

Curso de

Física BásicaH. Moyses Nussenzveig

Resolução doVolume II

Capítulo 5Ondas

Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5

1 - Uma corda uniforme de 20m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e freqüência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima.

a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda.

b) Escreva, com função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. (Resolução)

2 - A mesma corda descrita no Probl. 1 está com uma extremidade amarrada num poste. A outra, inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, é deslocada de 10 cm para cima, com velocidade uniforme entre t = 0 e t = 0,5 s. A seguir, é deslocada para baixo, com a magnitude da velocidade reduzida à metade da anterior, entre t= 0,5 s e t = 1,5 s, quando retorna à posição de equilíbrio.

a) Desenhe a forma da corda no instante t = 1,7 s.b) Desenhe a forma da corda no instante t = 2,6 s. (Resolução)

3 – Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade através de uma polia. Depois (fig.), mergulha-se o bloco na água até os 2/3 da altura e verifica-se que a velocidade cai para 95,5 % da anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água? (Resolução)

4 - a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda,

que a variação percentual de velocidade v

v∆ produzida por uma variação percentual

T

T∆ da tensão

na corda é dada por T

T

2

1

v

v ∆=∆.

b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de freqüência υ = 440 Hz, para compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambos soando simultaneamente, ele ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de 0,5 s. Que ajuste percentual ele deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la? (Resolução)

5 – Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da água, com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água, propagam-se com

velocidade de fase πλ=ϕ 2

gv , onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a velocidade de

grupo correspondente é ϕ= v2

1vg . (Resolução)

6 – Duas ondas transversais de mesma freqüência ν = 100 s-1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm³, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são dadas por:

π+ω−=

6tkxcosAy1 , ( )kxtsenA2y2 −ω= , onde A = 2 mm.

2


a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas.b) Calcule a intensidade da resultante.c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a região entre os valores

máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? (Resolução)

7 – A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma tensão de 80N, afinada para uma freqüência υ = 660 Hz.

a) Qual é o comprimento da corda? b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de freqüência 880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f do seu comprimento. Qual é o valor de f? (Resolução)

8 – Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extrremidade livre.

a) Ache as freqüências υn dos modos normais de vibração da corda.b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem

de freqüência crescente). A velocidade de ondas na corda é v. (Resolução)

9 – Considere novamente a corda do problema 8, com um extremo fixo e outro livre e de comprimento l. No instante t = 0, um pequeno pulso de forma triangular está se propagando para a direita na corda. Depois de quanto tempo a corda voltará à configuração inicial? (Resolução)

10 - Uma corda vibrante de comprimento l presa em ambas as extremidades está vibrando em seu n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela (5.7.10, ou seja,

δ+π

π=δ+ω= )vt

ncosx

nsenb)tcos()xksen(b)t,x(y nnnnnnn ll

, (n = 1,2,3,...). Calcule a

energia total de oscilação da corda. Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade linear de energia cinética e integre sobre toda a corda. (Resolução)

11 – (modificada: acrescentou-se a letra 'a' à questão) Duas cordas muito longas, bem esticadas, de densidades lineares diferentes µ1 e µ2, estão ligadas uma à outra. Toma-se a posição de equilíbrio como eixo dos x e a origem O no ponto de junção, sendo y o deslocamento transversal da corda (fig). Uma onda harmônica progressiva, yi=A1cos (k1x - ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com freqüência angular ω. Isto produz na corda 2 (x > 0) uma onda progressiva de mesma freqüência, yt=A2 cos (k2x - ωt) (onda transmitida), e dá origem, na corda 1, a uma onda que viaja em sentido contrário, yr=B1 cos(k1x +ωt) (onda refletida). Dada a

onda incidente yi, de amplitude A1, desejam-se obter a amplitude de reflexão 1

1

A

B=ρ e a amplitude

de transmissão 1

2

A

A=τ .

a) Use sua intuição para prever quais devem ser os valores de ρ e τ para os casos em que: (i) µ1 >> µ2; (ii) µ1 = µ2; e (iii) µ1 << µ2.

b) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos números de onda k1 e k2. O deslocamento total na corda 1 é yi + yr, e na corda 2 é yt.

c) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter yi + yr = yt.

3


d) Aplicando a 3ª lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre que, nesse ponto, deve-se

ter também tri yx

)yy(x ∂

∂=+∂∂

.

e) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexão e transmissão ρ e τ em função das velocidades v1 e v2. Discuta o sinal de ρ. (Resolução)

12 – No problema 11, a refletividade r da junção é definida como a razão da intensidade da onda refletida para a intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a razão da intensidade transmitida para a incidente.

a) Calcule r e t.b) Mostre que r + t = 1, e interprete esse resultado. (Resolução)

Resolução

R-1) Dados: L = 20m ; m = 2 kg ; A = 3 cm = 0,03 m ; υ = 5 Hz ; T = 10N.

a) A densidade linear da corda vale: m/kg 1,0L

m ==µ .

Logo, a velocidade será: µ

= Tv =

1,0

10 ⇒ v = 10 m/s

E

υ=λ v

= 5

10 ⇒ λ = 2 m

b) Equação da corda:y (x,t) = A cos (kx - ωt + φ) , onde A foi dado e ω = 2πυ = 10π rad/s , k = (v / ω) = π m-1

De acordo com o problema, temos, em t = 0 e x = 0, que y vale 1,5 cm = 0,015 m. Substituindo na equação da corda:

y (0,0) = 0,015 = 0,03 cos (φ)O que nos dá cos φ = (1/2). Logo φ = π/3 rad.Portanto:

y(x.t) = 0,03 cos (πx - 10πt + π/3)

c) A intensidade I representa o fluxo médio de energia através de um ponto qualquer da corda, ou seja, a intensidade é dada como o valor da potência média sobre um período. Assim:

I = (1/2).µ.v.ω².A² ⇒ I = 0,44W

R-3) Notação:µ: densidade linear da corda;β = m / Vb: densidade do bloco;ρ: densidade da água;Vb: volume do bloco [A (área da base) x h (altura)];Vl: volume do líquido deslocado;

4


E = ρ.Vl.g : empuxo sobre o bloco.

Primeira situação:T – P = 0 ⇒ µ.v² - m.g = 0 ⇒ µ.v² - β.Vb.g = 0 ⇒ µ.v² = β.A.h.g (I)

Segunda situação (bloco é colocado na água):T + E – P = 0 µ.(0,955v)² + ρ.Vl.g – m.g = 0 ⇒ (0,955)².µ.v² + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 (II)

Substituindo (I) em (II), cancelando g e substituindo os termos Vb e Vl:(0,955)².β.Vb.g + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 ⇒ 0,0879.β.A.h = ρ.A.(2 / 3).h

R-4)

a) µ

= Tv

T.

1.

2

1

dT

dv

µ= =

T

T.

T.

1.

2

1

µ =

T

1.

T.

2

1

µ =

T

1.v.

2

1

Logo:

T

dT.

2

1

v

dv = ou

b)

R5)Seja uma onda na forma:

y = A cos(kx - ωt)

λπ= 2

k

πλ=

πλω=ω=ϕ 2

g

2.

kv

λπ

πλ=ω 2

.2

.g , que pode ser escrito como

22

.2

.g

λπ

πλ=ω ou ( )

22

21

21 2

2g

λπ

πλ=ω

( )2

22

1

21 22

g

λπ

λπ=ω

−

( )2

1

21 2

g

λπ=ω ⇒ ( ) ( ) 2

12

1kg=ω

dk

dvg

ω=

5

6,758,7 ≈=ρβ

T

T.

2

1

v

v ∆=∆


( )2

1

21

g 2g

2

1v

πλ=

21

g 2

.g

2

1v

πλ= = ϕv.

2

1

R-6) Temos:

π+ω−=

6tkxcosAy1 ≡ A1 cos (θ + φ1)

( )kxtcosA2y2 −ω= ≡ A2 sen (-θ) ≡ A2.[-sen (θ)] ≡

π−+θ

2cosA2 ≡ A2 cos (θ +φ2)

Onde definimos:

(I)

Em notação complexa, podemos escrever:z1 = )(i

11e.A φ+θ

z2 = )(i2

2e.A φ+θ

que representam, também, as equações das duas ondas. Logo:z = z1 + z2 = )(i

11e.A φ+θ + )(i

22e.A φ+θ = )(i

1221e.A φ−φ+φ+θ + )(i

22e.A φ+θ

[ ]44 344 21β

+= φ−φφ+θ

i

212

e.B

2)(i

1)(i Ae.Aez

em que(II)

Para um dado complexo z, temos:β= ie.Bz e seu conjugado será β−= ie.B*z

z = B cosβ + iB senβ ⇒ z* = B cosβ - iB senβE

z.z* = B² Como z é dado por (II):

B² = [A1cos (φ1 - φ2) + A2]² + [A1sen(φ1 - φ2)]² = A1²cos²(φ1 - φ2) + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) + A2² + A1²sen²(φ1 - φ2)

A1²B² = A1² + A2² + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) (III)

Basta substituirmos os valores na equação (III), lembrando que: A1 = 2mm = 2x10-3m; A2 = 2A1; φ1

e φ2 dados em (I). Com isso, obtemos:

6

A1 = AA2 = 2Aφ1 = π/6φ2 = - (π/2)

B.eiβ = 2)(i

1 Ae.A 21 +φ−φ

B = 5,29x10-3 m


Encontrando β :De acordo com (II):

β+β=β seniBcosBe.B i = [A1cos (φ1 - φ2) + A2] + i[A1sen (φ1 - φ2)]Aplicando a identidade de números complexos:

B cosβ = A1cos (φ1 - φ2) + A2 ⇒

Resolvendo, encontramos:cosβ = 0,945 ⇒ β = 0,33

A onda resultante é a parte real de: )(i 2e.Bz β+φ+θ=y = (Re)z = B cos (θ + φ2 + β) =

R-11) Temos o seguinte esquema:µ1 µ2

O v

( )( )( )

( )( )( )

1 1

2 2

1 1

0

0

0

i

t

r

y A cos k x t x

y A cos k x t x

y B cos k x t x

ωωω

= − < = − > = + <

1

1

B

Aρ = 2

1

A

Aτ =

a)(iii)

1 2

1 1

2

1

0 0

B A

A

µ µρτ

<<≅ − → ≅ −

≅ → ≅

1 2

1 0

0 1

se µ µρτ

<− < <

< <

(ii)

1 2

1

2 2

0 0

1

B

A A

µ µρτ

== → == → ≅

(i)

1 2

1 1

2 2

1

2 2

B A

A A

µ µρτ

>>≅ → ≅

≅ → ≅

1 2

0 1

0 2

se µ µρτ

>< << <

b) 11

Tv

µ= ; 2

2

Tv

µ= ; 1

1

kv

ω= ; 22

kv

ω= .

c) Continuidade da corda, caso contrário ela estaria quebrada.

d) yi + yr = yt

7

B

A)cos(Acos 2211 +φ−φ=β


As derivadas no ponto de junção são iguais (a tangente é horizontal).

( ) ( ) ( ) ( )0 0i r t,t ,ty y y

x x

∂ ∂+ =∂ ∂

(*)

e) ( ) ( ) ( )1 1 1 2A cos t B cos k x t A cos tω ω ω− + − = −

( ) ( ) ( )1 1 2A B cos t A cos tω ω+ =Pode-se cancelar cos(ωt), pois o termo é válido para qualquer t e há t que não zera o cosseno).Logo:

A1 + B1 = A2 (**)

1 1 1 1 1 1

0 0

k A sen k x t k B sen k x tω ω= =

− − + − − EF EF = ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− − − =

= ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− (***)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20t ,ty k A sen k x t k A sen t

xω ω∂ = − − =

∂ (****)

Igualando (***) = (****):( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2k A sen t k B sen t k A sen tω ω ω− =

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2k A k B sen t k A sen tω ω− =

1 1 1 1 2 2k A k B k A− =

1 21 1 2

1 1

B Ak k k

A A− = ⇒

1 2 2

1 1 1

1B k A

A k Aρ τ

− =EF EF

2 1

1 2

k v

k v

k v

ω= =

De (**): 1 2

1 1

1B A

A A+ =

1

2

1

1v

v

ρ τ

ρ τ

+ = − =

Logo:

1 2

2 1

v v

v vρ −=

+2

2 1

2.v

v vτ =

+

R-12)

Dados: r

i

Ir

I= ;

t

i

It

I= .

a)2 21

2I v Aµ ω=

2 21 1 1

1

2iI v Aµ ω= ; 2 21 1 1

1

2rI v Bµ ω= ; 2 22 2 2

1

2tI v Aµ ω=2

21

1

Br r

Aρ

= ⇒ =

8


2

22 2 2 2 2

1 1 1 1 1

v A vt t

v A v

µ µ τµ µ

= ⇒ =

b)

9

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