Monografia Gilberto Matemática 2008

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

GILBERTO ALVES DOS REIS

FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O

MELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE

ITIÚBA, BAHIA

SENHOR DO BONFIM, 2008

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA


FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O

MELOCACTUS SP NO MUNICÍPIO DE

ITIÚBA, BAHIA



FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O MELOCACTUS

SP NO MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA

Monografia apresentada ao Departamento de

Educação – Campus VII da Universidade do

Estado da Bahia, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do grau de licenciado em

Matemática.

Professora Mirian Brito de Santana Orientadora


FOLHA DE APROVAÇÃO

FRACTAIS: UM ESTUDO SOBRE O MELOCACTUS SP NO

MUNICÍPIO DE ITIÚBA, BAHIA


BANCA EXAMINADORA

Profa. Mirian Brito de Santana_____________________________________ Universidade do Estado da Bahia - UNEB Especialista em Metodologia do Ensino do Desenho/UEFS Profa. Fabiana Oliveira da Silva____________________________________ Universidade do Estado da Bahia - UNEB Mestre em Ciências Biológicas/UFBA Prof. Danton de Oliveira Freitas____________________________________ Universidade do Estado da Bahia - UNEB Especialista em Metodologia do Ensino do Desenho/UEFS

Senhor do Bonfim, julho 2010

Dedico este trabalho:

Aos meus pais: fãs incondicionais e verdadeiros amigos em todo o meu

percurso de vida e que deixaram muitas vezes de realizar os próprios sonhos para

me proporcionarem a educação que não tiveram;

Ao meu filho Tauan que com o seu sorriso inocente sempre me deu forças

para continuar em busca dos meus objetivos;

À minha esposa Aninha que durante todos esses anos tem sido o meu

suporte emocional, sempre disposta a me ouvir, me dar colo e a me impulsionar a

vôos cada vez mais altos;

Aos professores que direta ou indiretamente participaram da minha formação

acadêmica, profissional e pessoal.

Agradeço:

Inicialmente a Deus, pela força para realizar este trabalho e por ter colocado

no meu caminho as pessoas certas nas horas mais necessárias;

Às pessoas que contribuíram para o bom andamento deste trabalho:

Professor Danton Freitas, Professor José Garcia Vivas Miranda, Professora Fabiana

Silva, Professor Adson Bastos, Professor José Cleub Santos Junior, Professor

Hiroyuki Sasaki;

Aos meus amigos, Roberto Rayala e Manoel Bonfim, pelo incentivo e abrigo

tão importantes nesta caminhada;

À professora Mirian Brito, orientadora desse trabalho, pela dedicação e

carinho;

A todas as pessoas que direta ou indiretamente participaram deste processo.

“Não é o ângulo reto que me atrai, Nem a linha reta, dura, inflexível,

Criada pelo homem. O que me atrai é a curva livre e sensual,

A curva que encontro nas montanhas do meu país, No curso sinuoso dos seus rios,

Nas ondas do mar, No corpo da mulher preferida.

De curvas é feito todo o universo, O universo curvo de Einstein”.

(Oscar Niemeyer)

RESUMO

Este trabalho busca uma aproximação entre a geometria fractal e a caatinga do sertão nordestino. A descoberta desta geometria é datada de meados do século XX e traz o foco de discussões para a área da geometria. A geometria fractal é também conhecida como geometria da natureza visto que muitos fenômenos naturais apresentam estruturas fractais e assim sendo, apresentam irregularidades que tornam impossível a sua descrição através dos postulados e proposições geométricas antes conhecidas. Não é possível, por exemplo, determinar de modo próximo ao real, o volume de uma pedra arredonda utilizando apenas a geometria euclidiana. A beleza da geometria fractal e suas características nos levaram a concretizar esta pesquisa através de uma abordagem qualitativa, descrevendo um caso específico de investigação na perspectiva geométrica, de uma planta natural da caatinga. Neste sentido, inquietava-nos então saber se a geometria fractal estaria presente no Melocactus SP ou Cabeça-de-frade e, se confirmado, como poderíamos estudar e analisar as características fractais desta planta. Para tanto, realizamos um estudo de campo, consistindo na captura de imagens da planta escolhida no município de Itiúba, Bahia, e atribuindo a esta um tratamento específico através do Programa Computacional Fractal Analysis System, concedido gentilmente pela National Agriculture and Food Research Organization, do Japão. Diante dos dados coletados, ousamos afirmar que nossas suspeitas iniciais se confirmaram. Estes dados parecem indicar que a Melocactus SP é realmente um objeto fractal, por apresentar as principais características fractais. Esperamos, pois, que o estudo realizado, sirva de base para outros mais detalhados e que possa servir também para construir novos caminhos apontando previsões ou soluções que amenizem problemas significativos como a seca na região nordeste do país. Palavras-chave: Melocactus SP; geometria não euclidiana; fractais; Fractal Analysis System

9

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS ................................................ 10

INTRODUÇÃO ................................................................................................... 11

1 Fractais: Estudo Recente, História Antiga ............................................. .....13

1.1 Geometria Euclidiana e Não Euclidianas: Base para o Estudo do Fractal.....19

2 Dimensão e Aplicação de Fractais .............................................................. 26

2.1 Triângulo de Sierpinski ................................................................................. 26

2.2 Curva de Koch .............................................................................................. 27

2.3 Poeira de Cantor .......................................................................................... 28

2.4 Aplicações dos Fractais................................................................................ 30

3 Geometria Fractal na Caatinga ..................................................................... 36

3.1 Caminhos Fractais ....................................................................................... 36

3.2 O Software: Tratamento Fractal ................................................................... 38

3.3 Lócus da Pesquisa ....................................................................................... 40

3.4 Cactácea: Vida no Nordeste Seco ............................................................... 42

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 48

REFERÊNCIAS .................................................................................................. 51

ANEXOS ........................................................................................................... 56

10

LISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS

Figura 1: Gráfico da função de Weierstrass ............................................................. 13

Figura 2: Os seis primeiros passos da Poeira de Cantor ......................................... 14

Figura 3: Os três primeiros passos para a construção da curva de peano .............. 15

Figura 4: Gráfico das equações x n+1 = k. x n (1 – xn2) referente à tabela 1 .......... 17

Figura 5: Conjunto de Mandelbrot ........................................................................... 21

Figura 6: Feto fractal gerado por recursos computacionais ..................................... 22

Figura 7: Simulação de uma linha costeira .............................................................. 23

Figura 8: Os cinco primeiros passos da construção do Triângulo de Sierspinski ..... 26

Figura 9: Processo iterativo de construção da Curva de Koch apresentado através

dos 5 primeiros níveis .............................................................................................. 28

Figura 10: Poeira de Cantor .................................................................................... 29

Figura 11: Construção do Floco de Neve de Koch .................................................. 30

Figura 12: Fire Flower .............................................................................................. 32

Figura 13: Galáxia fractal ......................................................................................... 32

Figura 14: Gráfico das cotações do DJIA no período de janeiro de 1990 a

dezembro de 2001 ................................................................................................... 33

Figura 15: Vista de Itiúba, Bahia .............................................................................. 42

Figura 16: Melocactus SP ou cabeça-de-frade ........................................................ 43

Figura 17: Secção transversal de um cacto ............................................................. 44

Figura 18: Parte isolada do polígono estrelado, com aspecto que se assemelha a

dois triângulos não euclidianos ................................................................................ 45

Figura 19: Melocactus com quatro cladódios ........................................................... 45

Figura 20: Triângulo Euclidiano e de Sierpinski ....................................................... 47

Tabela1: As primeiras dez iterações da equação não linear x n+1 = k. x n (1 – xn2)16

Tabela 2: Relação entre a dimensão de uma figura, o coeficiente de redução e o

número de partes originadas ................................................................................... 24

11

INTRODUÇÃO

Há mais de dois mil anos estudiosos das matemáticas e pessoas comuns,

tentam e resolvem problemas da vida real baseados na geometria euclidiana, seja

confeccionando objetos para facilitar sua sobrevivência, seja para se locomover,

diminuir distâncias, ou para medir terras. Até hoje esta geometria tem seu lugar de

destaque na vida dos seres humanos e também na aprendizagem em meio aos

conteúdos escolares, mesmo após a descoberta de novas geometrias, denominadas

de geometrias não euclidianas. Estas novas geometrias vieram para aumentar o

campo de atuação desta ciência, considerando outras superfícies diferentes da

superfície de curvatura nula, sistematizada por Euclides de Alexandria.

Para alguns problemas, porém, não se encontravam respostas ou fórmulas

adequadas para garantir os resultados esperados. Por exemplo, para calcular o

volume de uma pedra arredondada não poderíamos utilizar a definição e a fórmula

da esfera porque os valores não seriam reais ou próximos deste. Trariam distorções

muito elevadas. Não seria possível também, calcular a dimensão da folha de uma

planta. Para estes cálculos, as definições da geometria euclidiana não eram

suficientes. Com estas mesmas idéias, Benoit Mandelbrot, em meados do século

XX, ao estudar os preços do algodão de todo o século anterior, percebeu que, as

oscilações embora aparentemente desordenadas, seguiam um mesmo padrão em

períodos. Buscou então, um modelo matemático que representasse tal padrão e

chegou à Poeira de Cantor que há muito era conhecida como um dos monstros

matemáticos. Começava a nascer uma nova ciência que seria mais tarde

sistematizada pelo próprio Mandelbrot. A geometria dos fractais apresenta-se para

tratar de fenômenos imprevisíveis, caóticos, buscando sempre encontrar um padrão

em situações que antes se pensava haver apenas aleatoriedade. Para

desenvolvimento dos cálculos desta nova geometria que leva em conta as

irregularidades e por trabalhar com funções iterativas e algoritmos recursivos, é

indispensável à utilização do computador e de softwares apropriados para estes fins.

A geometria fractal ainda não faz parte dos currículos escolares, mas por

utilizar-se de softwares consegue chamar a atenção de admiradores e estudiosos

12

desta área. Isto foi inclusive o que nos levou a buscar maior compreensão, nestas

figuras tão interessantes de se observar. Além disso, impressionávamos como um

algoritmo matemático podia gerar figuras tão belas. Outro motivo foi a nossa própria

existência enquanto nordestino. A convivência com a região nos permitia observar,

mesmo sem cunho científico, a existência de alguma uniformidade no crescimento

das plantas nativas, e ainda, nos levava a observar que estas plantas pareciam

denotar maior resistência ao fenômeno da seca. Então nos instigava saber se a

geometria fractal estaria presente nas plantas do semi-árido e como isso poderia de

alguma maneira indicar caminhos que levassem a estudos visando o melhoramento

das pastagens ou alguma previsão que assegure alternativas tão necessárias a vida

do sertanejo.

Assim elaboramos o presente estudo visando demonstrar as principais

características e apontando algumas aplicações práticas dos fractais, utilizando

como modelo a espécie Melocactus SP, uma cactaceae típica de áreas de caatinga.

A pesquisa realizou-se na região do Piemonte da Diamantina, no município de

Itiúba, Bahia, numa abordagem qualitativa, através de coleta de imagens e

tratamento destas através do software Fractal Analysis System, além de pesquisa

bibliográfica para melhor entendimento das características científicas da planta em

estudo.

Para tanto, elaboramos e organizamos a presente pesquisa em três capítulos.

No primeiro capítulo, Fractais: Estudo Recente, História Antiga, abordamos a história

dos fractais desde as primeiras indagações no século XIX até a sua concretização

em meados do século XX. Além disso, procuramos discutir sucintamente alguns

aspectos das geometrias. No segundo capítulo, Dimensão e Aplicação de Fractais,

trazemos os estudos de fractais através do cálculo de suas dimensões, bem como a

aplicação dos fractais em outras áreas de conhecimentos. No terceiro capítulo,

Geometria Fractal na Caatinga, descrevemos os caminhos e procedimentos

metodológicos utilizados no estudo do Melocactus SP e os resultados encontrados

com esta pesquisa. Nas considerações finais retomamos o tema em questão e

incluímos algumas sugestões para ampliação da pesquisa. E por fim, listamos os

autores que referendaram nossos argumentos e, a autorização concedida para a

utilização do software necessário ao tratamento das imagens capturadas.

13

1 FRACTAIS: ESTUDO RECENTE, HISTÓRIA ANTIGA

Por volta da metade do século XVIII, Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-

1716) criaram o cálculo1, enquanto estudavam independentemente as leis do

movimento e problemas que diziam respeito a taxas de variação, com as suas

técnicas de diferenciação em termos geométricos para então encontrar a tangente

de uma curva em qualquer ponto dado. Em 1870 Weierstrass (1815-1897)

descreveu uma função contínua, mas não diferenciável, isto é, em nenhum ponto se

podia descrever uma tangente à curva (RESENDE, 2004; STEWART, 1996). O

gráfico dessa função denominado de “Função de Weierstrass”, apresentava uma

série de curvas oscilantes dotadas de uma característica própria. Apresentavam

irregularidades altamente complexas que davam a aparência de sucessivas pontas,

e cada uma delas, formadas também por outras pontas menores, e assim

sucessivamente. Essas curvas possuíam uma complexidade inacabável e uma fina

estrutura, e foram denominadas “curvas sem tangente ou sem derivada”, conforme

mostra o gráfico abaixo.

Figura 1: Gráfico da função de Weierstrass

Fonte: http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm

1 Cálculo, segundo Ferreira (1999, p. 370) é a “parte fundamental da análise matemática, sobre a qual

se apoiam outros domínios dessa ciência, e em que se investigam as propriedades das derivadas e diferenciais, os processos de obtê-las, a operação de integração, suas propriedades e métodos de obtenção de primitivas”.

http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm

14

Segundo Resende (2004), quase que simultaneamente a Weierstrass, Cantor

(1845-1918) criou um método simples de transformar uma linha numa “poeira de

pontos” que apesar de serem pontos isolados no intervalo [0;1], têm uma quantidade

infinita de pontos. Este conjunto, conhecido como “Poeira de Cantor”, consistiu em

se tirar de um segmento de reta, a sua terça parte. Dos segmentos formados após

tal procedimento, retirou-se também a sua terça parte, e assim infinitamente. Na

figura abaixo, podemos acompanhar a evolução deste processo.

Figura 2: Os seis primeiros passos da Poeira de Cantor

Fonte: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-442004000200004

Ainda, de acordo com Resende (2004), Peano (1858–1932), gerou pela

primeira vez, uma curva ondulada que tocava em cada ponto do plano. O ponto de

partida para a construção da Curva de Peano é um segmento. Na 1.ª iteração2, o

segmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a um terço do

comprimento do segmento inicial, como indica a primeira imagem da Figura 2. Esses

9 segmentos constituem a 1.ª iteração da construção recursiva da Curva de Peano.

2Para Ferreira (1999, p. 1146), “Iteração é o processo de resolução (de uma equação, de um

problema) mediante uma seqüência finita de operações em que o objeto de cada uma é o resultado da que a precede”.

http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-442004000200004

15

Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um dos 9 segmentos, infinitamente,

como mostra a Figura 3.

Figura 3: Os três primeiros passos para a construção da Curva de Peano

Fonte: www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/index.html

Estas, entre outras formas geométricas, pareciam sair das categorias usuais

de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais a que estávamos

acostumados, desafiando assim os sólidos postulados da geometria euclidiana. Fato

este pelo o qual a maioria foi vista como casos patológicos, chamadas assim de

monstros matemáticos ou objetos caóticos (FARIA et al, 1999). Somente anos mais

tarde, com o desenvolvimento da teoria do caos, é que essas formas passaram a ter

um sentido lógico. Segundo Farias (2003, p. 9), teoria do caos:

é um ramo matemático que se ocupa dos sistemas que apresentam um

comportamento imprevisível e aparentemente aleatório, embora sejam

regidos por leis estritamente deterministas, e que se deve ao fato de as

equações não lineares que regem a evolução desses sistemas serem

extremamente sensíveis a variações em suas condições iniciais, assim, uma

pequena alteração no valor de um parâmetro pode gerar grandes mudanças

no estado do sistema à medida que este tem uma evolução temporal.

De acordo com Corrêa (2007), tomemos como exemplo, a equação não linear

x n+1 = k. xn (1 – xn2), onde x n+1 é o valor da iteração n, k é um valor constante e xn é

o valor da iteração interior. Se considerarmos:

http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/index.html

16

k = 2,5 e xn = 0, 700000000 e depois tomarmos xn = 0, 700000001, aparentemente o

resultado não será muito diferente. Observemos a tabela a seguir.

Tabela1: As primeiras dez iterações da equação não linear x n+1 = k. x n (1 – xn2)

x0 = 0, 700000000 X0 = 0, 700000001

x1 = 0, 892500000 x1 = 0, 892499999

x2 = 0, 453933867 x2 = 0, 453933871

x3 = 0, 900995226 x3 = 0, 900995230

x4 = 0, 423935380 x4 = 0, 423935366

x5 = 0, 869363005 x5 = 0, 869362989

x6 = 0, 530763428 x6 = 0, 530763479

x7 = 0,953105400 x7 = 0, 953105420

x8 = 0,218237538 x8 = 0, 218237453

x9 = 0,519608507 x9 = 0, 519608324

x10 = 0,948294618 x10 = 0,948294531

Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm

Construindo o gráfico das duas equações até a 50.ª iteração, veremos que até

a iteração 35 os resultados são praticamente iguais. A partir daí, porém, os valores

começam a se tornar completamente diferentes. É a dependência das condições

iniciais, o que Corrêa (2007) denominou de caos.

http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm

17

Figura 4: Gráficos da equação iterativa x n+1 = k. x n (1 – xn2) referente à tabela 1

Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm

No final da década de 1950, um jovem matemático polonês, Benoit

Mandelbrot, funcionário da International Business Machines Corporation (IBM),

achava que problemas imprevisíveis do cotidiano como a oscilação da bolsa de

valores e os problemas de comunicação dos computadores que a IBM vinha

enfrentando, poderiam ser traduzidos em fórmulas matemáticas, portanto, poderiam

ser representadas graficamente. Dizia isso baseado nos trabalhos de Hausdorff e

Besikovich (1919). Mandelbrot percebeu que existiam certas características comuns

entres os gráficos. No gráfico de Weierstrass as curvas se repetiam após breve

intervalo mantendo certa semelhança entre si, ou seja, existia um certo padrão. Era

a ordem dentro do caos (GLEICK, 1989, p. 79).

De acordo com Corrêa (2007), Mandelbrot começou então a empenhar-se na

pesquisa fazendo uma analogia com a Poeira de Cantor e outros objetos caóticos.

Observando as irregularidades existentes na natureza, percebeu que a geometria

euclidiana não seria suficiente para descrever todos os fenômenos, como por

exemplo, calcular o perímetro de uma folha ou mesmo a extensão de uma linha

costeira. Foi além, e chegou a dimensões fracionárias. Sobre essas idéias escreveu

http://www.geocities.com/inthechaos/num.htm

18

um artigo intitulado “Qual a extensão da costa da Grã-Bretanha?”, que analisava o

processo de mensurar uma superfície irregular como o litoral em estudo.

Para designar as novas formas estudadas, Mandelbrot ao folhear um

dicionário de latim do seu filho encontrou uma palavra adequada: fractal.

Eu cunhei a palavra fractal do adjetivo em latim fractus. O verbo latino correspondente frangere significa „quebrar‟, criar fragmentos irregulares. É contudo sabido – e como isso é apropriado para os nossos propósitos – que, além de significar „quebrado‟ ou „partido‟, fractus também significa „irregular‟. Os dois significados estão preservados em fragmento (MANDELBROT, 1982, p. 180).

Paralelamente a Mandelbrot, outros estudiosos como Mitchell Feigenbaun e

Edward Lorenz realizavam estudos sobre o comportamento atmosférico. Nestes

estudos também concluíram que existem certos padrões de comportamento em

sistemas que tendiam para o caos. Lorenz tentava prever com auxílio de um

computador primitivo e munido de doze equações não lineares, os fenômenos

meteorológicos.

Ele havia reduzido o tempo atmosférico aos elementos essenciais. Não obstante, linha por linha, os ventos e as temperaturas dos resultados impressos por seu computador pareciam comportar-se de uma maneira terrena reconhecível. Eles correspondiam à sua querida intuição sobre o tempo, sua sensação de que ele se repetia, revelando padrões conhecidos, a pressão aumentando e caindo, as correntes de ar oscilando entre norte e sul. Descobriu que quando uma linha passava do alto para baixo sem um salto, ocorreria em seguida um salto duplo, e disse: “É esse o tipo de regra que um meteorologista pode usar”. Mas as repetições nunca eram perfeitamente iguais. Havia um padrão, com alterações. Uma desordem

ordenada (GLEICK, 1989, p.13).

Para melhor observar os padrões, Lorenz criou um gráfico. Neste gráfico, o

computador traçava seqüencias de “a” e espaços em branco que formavam uma

linha ondulada representando a maneira pela qual os ventos se comportavam. Ele

observou que os ciclos se repetiam, no entanto, nunca eram precisamente iguais.

Certo dia, em 1961, resolveu tomar um atalho. Ao invés de observar toda uma

seqüência, começou pelo meio. Para iniciar a máquina, ele mesmo atribuiu as

coordenadas, utilizando os números de uma seqüência anterior. Qual não foi sua

surpresa ao perceber que o gráfico desenhado era completamente diferente do

gráfico anterior. Preocupado Lorenz começa a analisar a equação utilizada e o

gráfico traçado desconfiado de que o computador estivesse com problemas, e

descobre a verdade. Não havia problema com o computador. Na impressão anterior

19

o computador havia iniciado com os números 0,506127. Ele havia digitado apenas

0,506 achando que por ser um valor muito pequeno o restante do número não iria

influenciar na construção do gráfico. Chegou então à conclusão de que erros

pequenos poderiam ser catastróficos em um sistema específico. Era a dependência

das condições iniciais, o próprio caos (GLEICK, 1989).

Criou-se então uma grande curiosidade e interesse pelos fractais,

impulsionando muitos matemáticos a plotarem, com o auxílio de modernos

computadores, fórmulas iterativas para a geração de belíssimas figuras. Entre eles,

pode-se citar Michael Banrsley que em 1988 lançou o livro Fractales Everywher.

Todo esse interesse rendeu a Benoit Mandelbrot o título de “Pai dos Fractais”, como

é até hoje conhecido.

1.1 GEOMETRIAS EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANAS: BASE PARA O ESTUDO

DO FRACTAL

A geometria fractal é uma das áreas mais recentes da geometria e apesar de

ter sua origem no século XVIII, só se concretizou no século XX. Esta geometria

trabalha com funções iterativas e algoritmos próprios, não apenas com fórmulas e

equações euclidianas para estudar o grau de irregularidade presente nos objetos

naturais em diferentes escalas. Para isto, utiliza-se do auxílio das ferramentas

computacionais para sua compreensão.

A geometria euclidiana data do século III a.C., e teve um marco inigualável

com Euclides de Alexandria. Euclides sistematizou todo o conhecimento existente

até aquele período em 13 livros denominados de Os Elementos. Para Lima Filho

(1998, p. 604), Euclides “utilizou de maneira rigorosa e continuada a lógica

estruturada e desenvolvida por Aristóteles, adequando os conhecimentos

matemáticos de então às exigências da perfeição nas idéias e na forma, que

impregnavam a filosofia idealista platônica predominante”. Para Penick (1980), a

geometria euclidiana por suas formas perfeitas, era utilizada por vários povos

20

também com caráter religioso, por as considerarem como objetos sagrados. Além

disso, cada forma apresentava propriedades únicas e detinham um significado

esotérico que permaneceu imutável ao longo da história humana. Essas figuras

euclidianas, de acordo com Resende (2004), podiam facilmente ser reproduzidas

com o auxílio de apenas dois instrumentos: a régua e o compasso.

A geometria euclidiana de acordo com Tenório (1995) é o estudo relativo às

formas, tamanho ou posição dos objetos e manteve suas bases inalteráveis por mais

de dois mil anos. As novas geometrias surgiram no século XIX depois de vários

questionamentos relacionados ao Postulado das Paralelas. Este Postulado não era

conseqüência lógica dos outros Postulados e por isto se destacava. Discussões

outras relacionadas ao Postulado das Paralelas resultou na descoberta e

consistência de novas geometrias: geometria hiperbólica e elíptica. Assim, de acordo

com Santana (2008, p. 17):

Por ocuparem espaços distintos: a geometria euclidiana com espaços de curvatura nula, a geometria esférica com curvatura positiva e a geometria hiperbólica com curvatura negativa passaram a ter suas aplicações voltadas para diferentes realidades. No entanto, o fato do descobrimento de outras geometrias não invalidou a primeira delas [...]. Deste modo, a geometria presente no universo é uma geometria euclidiana quando engloba objetos que nos cercam cuja curvatura não se altera (curvatura nula). É uma geometria esférica ou hiperbólica quando envolve distâncias ínfimas como objetos visíveis através de aparelhos eletrônicos [...] ou quando considera grandes objetos ou distâncias como, por exemplo, a distância de Salvador a Espanha.

Desta maneira, para a geometria esférica ou hiperbólica que compreende

espaços ou superfícies que envolvem distâncias muito grandes ou pequenas a

geometria euclidiana não é suficiente. Neste sentido, segundo a autora, a partir da

aceitação destas geometrias outras podem ser consideradas desde que haja

superfícies distintas das aqui descritas. A superfície para a construção de um fractal

é uma superfície de dimensão diferente da geometria euclidiana. A geometria

euclidiana considera no máximo três dimensões (tridimensional), enquanto a

geometria fractal considera a dimensão que varia no intervalo entre zero a três

dimensões, considerando inclusive dimensões fracionárias, ou seja, trata-se de uma

superfície não euclidiana.

21

Para Barbosa (2002), são três as características indispensáveis para o estudo

da geometria fractal: a auto semelhança, a dimensão fracionária e a sua infinita

complexidade. Tomando uma figura da geometria euclidiana como, por exemplo,

uma circunferência, se ampliarmos uma de suas partes, através de uma lente

computacional, perceberemos que cada vez mais o arco tenderá a se confundir com

um segmento de reta, perdendo assim as suas características originais, o que não

acontece na geometria fractal.

Os fractais apresentam em sua estrutura infinitas réplicas de uma figura inicial

tomada como geradora do fractal. Deste modo, cada uma das partes possui as

mesmas propriedades geométricas da figura inicial sendo, portanto, auto semelhante

entre si. Como exemplo, tomemos uma importante figura do mundo fractal: o

Conjunto de Mandelbrot.

Figura 5: Conjunto de Mandelbrot

Fonte: Figuras geradas através do Programa Computacional Nfract 1.0 com 255 iterações

Notamos que existe uma semelhança entre as partes da figura, comuns a

todos os fractais. Existe, porém, também de acordo com Barbosa (2002), dois tipos

de auto semelhança: a exata e a aproximada. A auto semelhança exata é um

conceito artificial não vinculada a objetos reais da natureza, aceitável ou concebida

apenas em termos abstratos, através da aplicação de recursos externos. Já a auto

semelhança aproximada, encontra na natureza aspectos naturais que mantém um

22

determinado padrão de regularidade. Como exemplo dessa auto semelhança temos

uma cadeia de montanhas que registra cada parte formadora do conjunto com

semelhança no todo. Outro exemplo é o crescimento das plantas. Cada galho por

menor que seja tende a se assemelhar com a planta inteira. Vejamos abaixo um feto

fractal.

Figura 6: Feto fractal gerado por recursos computacionais

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm

Isso não significa, porém, que uma montanha ou uma planta seja um fractal,

já que não possuem a complexidade infinita dos fractais. No entanto, possuem

características fractais da auto semelhança aproximada.

Outra característica dos fractais, destacada por Barbosa (2002), é a

dimensão fracionária. Para este autor, o nosso convívio diário com objetos

unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, além do conhecimento intuitivo

herdado da geometria euclidiana, nos habituou a perceber e trabalhar apenas com

dimensões inteiras, de modo que ao nos depararmos com dimensões não inteiras,

como por exemplo, 2,3 ou 1,8, ficamos inseguros e até mesmo discordamos de tal

situação. Segundo Wegner (1993, apud FARIAS, 2003, p. 18):

A dimensão fractal de um objeto é a medida de seu grau de irregularidade

considerado em todas as escalas, podendo assumir um valor maior do que

a dimensão geométrica clássica do objeto. A dimensão fractal está

relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta

enquanto o instrumento de medição diminui.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm

23

Um exemplo disso, já trabalhado por Mandelbrot, é a medida do comprimento

de uma linha costeira como mostra a Figura 7. Tomando uma escala S, a cada nova

medida de S, teremos um comprimento L diferente, ou seja, se diminuirmos S

infinitamente, L irá aumentar também infinitamente.

Figura 7: Simulação de uma linha costeira

Fonte:http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%

20Caos.pdf

Isso acontece porque uma linha costeira é muito irregular. Assim, quanto

menor for o objeto de medição, maior será a sua eficácia em registrar as

reentrâncias rochosas que existem. Desse modo, o comprimento da costa de um

país tende para o infinito mesmo possuindo ele uma área finita delimitada por linhas

de fronteira.

Para a geometria euclidiana, segundo Guimarães (1927, p. 5):

[...] ponto é a extensão de dimensões inapreciáveis; linha é a extensão

cujas dimensões, largura e espessura são despresíveis; superficie é a

extensão cuja espessura não se considéra. [...] No entanto, podemos

estudar a linha considerando unicamente a sua dimensão apreciavel;

depois, a superficie, levando em conta duas; e, finalmente, o volume,

servindo-nos de todas ellas, considerando sempre tudo no espaço

collocado.

http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%20Caos.pdf


24

Diante desta afirmação é possível supor que um ponto tem dimensão zero,

uma linha tem dimensão um, uma superfície tem dimensão dois e um sólido possui

dimensão três.

Para melhor compreensão do conceito de dimensão, construímos a Tabela 2

para verificar o cálculo em algumas figuras conhecidas. Trabalharemos então com

algumas figuras de dimensão inteira, dividindo-as por um coeficiente de redução S,

ou seja, com uma mesma proporção para todas elas e calcularemos o número de

partes N que cada uma irá originar. Observemos então como isso é feito na tabela

abaixo (BATANETE et al, 2004).

Tabela 2: Relação entre a dimensão de uma figura, o coeficiente de redução e o número de

partes

Fonte: http:// www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/

Fica evidente, segundo os dados da tabela, que se aumentarmos ou

reduzirmos o valor de S, o valor de N também irá variar na proporção inversa. Para a

Dimensão

Figura

S

N

1

2

1

2 = 21

2

2

1

4 = 22

3

2

1

8 = 23

http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/

25

dimensão 1 obtivemos 1

1

2

1

12

, para a dimensão 2,

2

2

2

1

12

, para a dimensão

3, 3

3

2

1

12

. Generalizando, para uma dimensão d, teremos:

d

SN

1

Aplicando logaritmos a ambos os membros da equação, temos que

d

sN

1loglog

sdN

1loglog

s

Nd

1log

log

De acordo com Vivas (2000), esta fórmula, que leva o nome de Dimensão de

Hausdorff, foi apresentada em meados de 1919, pelo matemático alemão Félix

Hausdorff, como uma alternativa para calcular dimensões em conjuntos arbitrários

do Rn. Para Batanete e colaboradores (2004), esta fórmula é válida apenas para

objetos com auto semelhança exata. Para objetos com auto semelhança aproximada

se faz necessário o desenvolvimento de um algoritmo próprio.

26

2 DIMENSÃO E APLICAÇÃO DE FRACTAIS

A geometria fractal apresenta-se como uma maneira adequada para o estudo

de fenômenos imprevisíveis, caóticos e busca sempre um padrão para situações

que aparentemente se imagina como aleatórias. A título de exemplificação,

mostramos a seguir, a utilização da fórmula de Hausdorff para o cálculo da

dimensão de alguns fractais que ficaram historicamente famosos neste meio século

de existência desta geometria. Estes cálculos foram baseados nos estudos de

Eberson (2004).

2.1 TRIÂNGULO DE SIERPINSKI

O Triângulo de Sierpinski, conforme Figura 8, consiste em, a partir de um

triângulo eqüilátero, retirar-se do seu centro um outro triângulo eqüilátero cujos

vértices são o ponto médio de cada um dos seus lados, e assim, infinitamente:

Figura 8: Os cinco primeiros passos da construção do Triângulo de Sierspinski

Fonte: http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/


27

Observando a Figura 8 e tomando o segundo passo, vemos que na imagem

N=3 e 2

1S . Na geometria euclidiana, este triângulo teria dimensão 2, na

Dimensão de Hausdorff, porém, terá uma dimensão menor:

2log

3logd , logo, 58,1d

Vale lembrar que o valor será o mesmo em qualquer um dos passos

seguintes já que aumentando o valor de N, o valor de S diminui proporcionalmente.

Isso nos mostra que tal figura, é mais que uma linha (d = 1), contudo, menos que

uma superfície (d = 2) (EBERSON, 2004).

2.2 CURVA DE KOCH

A figura de van Koch tem como gerador um segmento de reta sobre a qual se

constrói um triângulo eqüilátero cujos lados medem a sua terça parte. Um dos lados

do triângulo é subtraído e procedendo-se de maneira análoga indefinidamente, como

mostra a figura, encontramos a repetição da primeira imagem em escala cada vez

menor (EBERSON, 2004).

28

Figura 9: Processo iterativo de construção da Curva de Koch

apresentado através dos 5 primeiros níveis

Fonte: www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/

Temos então, na geração 1, N = 4 e 3

1S . A dimensão será dada por

3log

4logd , sendo assim, 26,1d . Como no caso da figura anterior, a Curva de Koch

ocupa mais espaço que uma linha, mas não chega a preencher todo o plano

(EBERSON, 2004).

2.3 POEIRA DE CANTOR

Como os procedimentos da construção da Poeira de Cantor já foram antes

mencionados, calculemos aqui apenas a sua dimensão.


29

Figura 10: Poeira de Cantor

Fonte:http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%20Caos.pdf

Se analisarmos o terceiro passo gerador da Poeira, ele apresenta N = 4 e

9

1S em relação ao segmento inicial. Pela dimensão de Hausdorff:

9log

4logd , logo 63,0d .

Ou seja, tem dimensão maior que um ponto (d = 0), mas não chega a ser uma

linha.

Em todas estas figuras analisadas, observamos que a Dimensão de Hausdorff

é diferente da dimensão da figura inicial. Assim, Mandelbrot definiu fractal, como

sendo uma figura cuja dimensão de Hausdorff e euclidiana ou topológica, não são

iguais. Mais tarde viria a dizer que uma figura será considerada fractal se a

dimensão de Hausdorff é maior que a dimensão topológica. Conforme esta

definição, todas estas figuras, são fractais, entretanto, para o próprio Mandelbrot,

tais definições ainda não estavam bem elaboradas. Para ele seria necessário uma

análise mais profunda para uma definição mais elaborada dentro dos padrões

normais de racionalidade da matemática (BARBOSA, 2002).

Segundo Barbosa (2002), para completar as características de um fractal, é

necessário levar em conta a sua complexidade infinita. Esta complexidade resulta do


30

número infinito de iterações geradas de um algoritmo. Significa dizer então, que

seria impossível conseguirmos representá-los completamente, pois a quantidade de

detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.

Como conseqüência disso, um fractal sempre terá um perímetro infinito. Assim, no

Floco de Neve de Koch, por exemplo, temos uma área finita, já que esta delimitada

por curvas, no entanto, temos um perímetro infinito. É justamente essa

complexidade a responsável pelos diferentes fractais a que produz, gerando

inúmeras obras de arte com auxílio de recursos computacionais.

Figura 11: Construção do Floco de Neve de Koch

Fonte: http:// www.dgidc.min-edu.pt/.../noe/noe55/dossier06.htm

2.4 APLICAÇÕES DOS FRACTAIS

Com a formalização, a geometria fractal passou a ser utilizada em larga

escala pelos mais variados segmentos humanos. Por volta de 1975, estudiosos da

música, empolgados com a nova ciência, constataram que músicas de diferentes

períodos culturais seguiam o mesmo padrão: ).(1

frequênciaff

Músicas como estas, apresentam todas as principais características fractais.

Assim, muitos compositores da atualidade, como Phil Thompson, Paul Copeland e

http://www.dgidc.min-edu.pt/inovbasic/edicoes/noe/noe55/dossier06.htm

31

bandas musicais, utilizam-se de algoritmos matemáticos em busca da melodia

perfeita (FARIA et al, 1999). No final do século XX e com os modernos

desdobramentos da tecnologia, a busca pela música fractal tornou-se mais intensa.

Modernos computadores convertem fractais em músicas que se repetem

indefinidamente, produzindo som harmoniosos. Segundo Faria e colaboradores

(1999) só é possível "fabricar" música fractal com o auxílio de um computador

devidamente equipado com softwares específicos. Antes porém, será necessário

passar a imagem do fractal para um programa específico. Assim, este fractal pode

ter uma parte transferida para um quadrado no computador denominado de "pixel".

Em geral, cada "pixel" possui cores separadas, fornecendo uma nota musical e uma

escala musical distintas. De uso destas cores como guias e procurando ao longo da

imagem, linha por linha, obtém-se uma canção fractal.

Para Faria et al (1999), no entanto, não se deve ouvir música fractal por longo

período de tempo, uma vez que estudos comprovam a possibilidade de hipnotizar o

ouvinte ou mesmo, fazer com que a mente deste ouvinte ande à "deriva" numa

imagem fractal, o que poderia causar danos irreversíveis.

Por produzir muitas e variadas imagens, a geometria fractal ganha a cada dia,

novos adeptos e admiradores, não apenas pela utilidade prática delas, mas por sua

beleza singular. Para Kerry Mitchell (1999, p. 1):

Arte Fractal não é arte computadorizada, no sentido em que o computador faz todo o trabalho. A obra é feita em um computador, mas apenas sob a direção do artista. Não é aleatória, no sentido de estocástica, ou sem regras. Baseada na matemática, a renderização fractal é a quintessência do determinismo. [...]. A arte fractal, como qualquer nova atividade, terá aspectos desconhecido para o novato, mas familiares para o mestre. Através de experiência e da educação, as técnicas da arte fractal podem ser aprendidas. Como na pintura ou no xadrez, o essencial é rapidamente dominado, ainda que uma vida inteira seja necessária para um total entendimento e controle. Com o passar do tempo, a alegria de uma descoberta serendíptica é trocada pela alegria da criação autodeterminada.

A figura a seguir é um exemplo da arte fractal e também resultado de um

concurso que buscava a união entre fractal e arte computadorizada.

http://www.fractalus.com/kerry/

32

Figura 12: Fire Flower

Fonte: http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/

A criação de texturas é outra aplicação deste princípio e são utilizadas nos

softwares de edição de imagem, possibilitando a criação de paisagens que beiram a

realidade. Exemplos disto são os efeitos especiais utilizados no cinema e a

fabricação de desenhos animados que se aproximam cada vez mais da realidade

humana e marcam a indispensável necessidade da ferramenta computacional.

Figura 13: Galáxia Fractal

Fonte: OLIVEIRA, 1994

Também na economia a geometria fractal encontrou o seu lugar de destaque.

Segundo Gleick (1989), o primeiro trabalho de Benoit Mandelbrot sobre fractais, foi

justamente na área econômica. Naquela época Mandelbrot já achava que

fenômenos como a oscilação da bolsa de valores e o índice de preços obedeciam, a

médio e longo prazo, a algum padrão. Para por a sua intuição à prova, Mandelbrot,

analisou o preço do algodão de um século inteiro. Ás vezes pequenos aumentos ou

pequenas quedas de preços, às vezes uma variação mais brusca. Parecia na

verdade não existir sentido em falar de padrão naquele ambiente. Porém ao término

http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/

33

da análise, o gráfico mostrou que realmente existia um padrão. Olhando as

variações semanais e comparando-as com as variações mensais notava-se que elas

correspondiam-se perfeitamente. Existia um padrão nesta situação de aparente

aleatoriedade. Era possível a partir desse padrão, estabelecer determinadas

previsões com maior segurança e conseqüentemente criar estratégias de resolução

de problemas a médio e longo prazo.

Em 2002, Hai-Chin Yu e Ming-Chang Huang, professores da Universidade de

Chung-Yuan desenvolveu um estudo na área econômica usando as cotações do

Dow Jones Industrial Average (DJIA). Para o período entre 1 de janeiro de 1990 e 31

de dezembro de 2001. Este professores obtiveram o valor de 1,484 para a dimensão

fractal do Dow. O resultado da sua pesquisa está no gráfico abaixo.

Figura 14: Gráfico das cotações do DJIA no período de janeiro de 1990 a dezembro de 2001

Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php

Se observarmos atentamente o gráfico, veremos que ele é formado por

curvas que se assemelham ao todo, comprovando que os fractais permitem

quantificar a estrutura em todas as escalas associada em muitos sistemas

complexos. É possível também fazer previsões de mercado com uma margem de

erro mínima.

http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php

34

A medicina e a biologia também utilizam a geometria fractal como importante

ferramenta para fins de análise e estudos avançados em busca da cura de doenças

e para melhor entender certos comportamentos do reino animal ou vegetal. Na

biologia, por exemplo, a equação não linear xn+1 = k. xn. (1 – xn), é utilizada

amplamente na descrição populacional de vários tipos de animais para entender o

porquê de estes escolherem determinados habitats. Equação essa que a medicina

também utiliza para descobrir o melhor tipo de “transporte” para que determinado

medicamento chegue a atingir um vírus que se esconde nas mais variadas partes do

corpo humano, por exemplo. A geometria fractal auxilia também no estudo da visão

e das células cancerígenas, na procura por um padrão que leve a cura ou ao

tratamento destas doenças (FARIA et al, 1999).

De acordo com Costa e Bianchi (2002), o Grupo de Pesquisa em Visão

Cibernética do Instituto de Física de São Carlos (IFSC), da Universidade de São

Paulo (USP), estuda as propriedades e as aplicações dos fractais. Este estudo tem

permitido aos cientistas a caracterização da complexidade das células nervosas e

neurônios. O grupo também aplica os conceitos de dimensão fractal no estudo de

partículas de aerossol que é uma ”solução na qual partículas sólidas ou líquidas

estão dispersas em um gás” (p. 46). Ainda segundo os autores:

A complexidade de uma partícula de um aerossol determina suas características aerodinâmicas. Um aerossol constituído por partículas mais lisas apresentará menor viscosidade para escoamento dentro de tubulações. Já um aerossol composto por partículas mais rugosas apresentará fluxo mais errático, permitindo maior possibilidade de choque com as paredes nas quais é injetado. [...]. Assim, fica clara a importância de caracterizarmos de modo objetivo e efetivo a rugosidade dessas partículas, o que pode naturalmente ser feito utilizando-se a dimensão fractal (COSTA; BIANCHI, 2002, p. 23).

Na matemática os fractais são utilizados para o cálculo de áreas, perímetros e

volumes de formas irregulares encontradas na natureza, entre tantas outras coisas.

Mesmo sendo amplamente utilizada neste período contemporâneo, a

geometria dos fractais ainda está fora do currículo da maioria dos cursos de

licenciatura das universidades brasileiras, assim como a geometria de modo geral.

Dessa maneira, os futuros professores concluem o curso geralmente, sem qualquer

contato com essa geometria.

35

Mesmo não sendo este o nosso objeto de estudo, vale salientar que de

acordo com Santana (2008) as escolas apresentam um quadro bastante deficitário

no que se refere ao ensino de geometria. Apesar de pesquisas afirmarem a

necessidade da inclusão de seus conhecimentos desde a educação infantil,

conforme estudos da própria autora, o currículo praticado efetivamente não garante

isto. Ainda para a autora, este processo de desvalorização histórica dos conceitos

geométricos tem na prioridade de outros conteúdos da própria matemática, e na

precariedade da formação de professores, os principais fatores que contribuíram

para esta exclusão.

Neste sentido, acreditamos que por apresentar uma vasta área de aplicações,

e por apresentar-se como solução para vários problemas antes sem soluções, a

geometria fractal deve gerar futuramente estudos mais aprofundados. Deste modo,

entendemos que esta nova área de conhecimentos deve ser incluída nos conteúdos

de muitas das licenciaturas, contribuindo com a formação de futuros profissionais e,

quem sabe se diante deste novo momento, a geometria euclidiana seja também

resgatada como uma base para a compreensão desta nova geometria.

36

3 GEOMETRIA FRACTAL NA CAATINGA

3.1 CAMINHOS FRACTAIS

A geometria dos fractais embora recente apresenta-se como objeto de

curiosidade de muitos pesquisadores e simpatizantes pertencentes a diversos

segmentos da sociedade. Nosso primeiro contato com estes novos conhecimentos

se deu de modo informal ao pesquisar outros termos. Naquele período, a beleza dos

fractais e a associação deles com fórmulas matemáticas se constituíam em um

mistério. Anos depois, a curiosidade venceu o esquecimento tão natural a muitos,

quando se fez objeto de pesquisa neste momento de conclusão da Licenciatura em

Matemática.

Como estudante de geometria e morador do semi-árido baiano, buscamos a

presença da geometria como algo significativo para a nossa região. Esta

oportunidade se fez presente quando procuramos unir, tais quais faziam nossos

primórdios, a geometria à nossa própria existência. Fizemos esta união através de

diversas perspectivas: matemática, geométrica, biológica e sertaneja. Esta união em

busca de estudos voltados para a conexão entre a geometria fractal e o semi-árido

se concretizou a partir dos estudos de uma planta comumente encontrada na região

onde moramos: o “Cabeça-de-frade” ou Melocactus SP, da família cactaceae. Para

nós, se constituía uma verdadeira aventura saber se aquela planta natural do semi-

árido nordestino tinha características fractais ou não. E se isto de fato se

configurasse, como poderíamos estudar e analisar as suas características fractais.

Em busca de atingir nossos propósitos, efetuamos uma pesquisa bibliográfica

sobre o conceito e as propriedades da geometria fractal, bem como sobre as

características científicas das plantas nativas e conhecidas do semi-árido nordestino,

e ainda, sobre um software específico que se adaptasse às nossas necessidades.

37

Deste modo, optamos por investigar uma planta específica (estudo de caso)

através de uma abordagem qualitativa, utilizando fotografias que capturamos num

determinado local e período. Para o tratamento geométrico dado ao objeto escolhido

utilizamos o software japonês Fractal Analysis System sob licença gratuita

autorizada (Anexo 1) da National Agriculture and Food Research Organization

(NARO)3.

Para Ludke e André (1986), a pesquisa qualitativa supõe o contato direto do

pesquisador com o ambiente e a situação que está sendo investigada através do

trabalho intensivo de campo. Deve-se, portanto, atentar para o maior número

possível de elementos presentes nas situações analisadas para a melhor

compreensão do problema estudado, incluir fotografias, desenhos, citações e

documentos que ajudem a subsidiar as afirmações feitas e esclarecer diferentes

pontos de vista que se possa ter sobre o assunto discutido. Para as autoras, a

preocupação do pesquisador deve ser muito mais com o processo que com o

produto. As abstrações se consolidam a partir da inspeção dos dados, sem buscar

comprovar hipóteses feitas antes do início dos estudos e sem buscar a generalidade

de tais estudos.

Dentro dessa abordagem qualitativa, escolhemos para a realização da

pesquisa, um estudo de caso, ou seja, o estudo do “Cabeça-de-frade” ou Melocactus

SP. O estudo de caso, segundo Ludke e André (1986), visa sempre a descoberta e

permite um entendimento melhor sobre uma realidade específica. Para as autoras, o

investigador, mesmo partindo de pressupostos iniciais deve sempre estar atento

para novos elementos que podem surgir no decorrer do estudo. Assim, deve levar

em conta o contexto no qual o objeto de estudo está inserido para melhor

compreensão das interações e comportamentos do objeto com o meio.

Para a efetivação da pesquisa realizamos trabalhos de coleta de imagens no

período compreendido entre março e maio de 2008. Foram capturadas várias

3 O Fractal Analysis System é um software desenvolvido pela Intellectual Property Center, empresa

do governo Japão, através da National agriculture and Food Reseach Organization (NARO), órgão semelhante ao Ministério de Agricultura brasileiro. Para a utilização do software no período da pesquisa (março-junho 2008), recebemos autorização sob o registro n.º P6065-1, do professor pesquisador Hiroyuki Sasaki.

38

fotografias de cactáceas nas regiões da Serra da Garapa, Fazenda Gato e Povoado

de Adro de São Gonçalo. De todas as plantas fotografadas foram feitos registros

contendo altura, diâmetro e número de cladódios4. Diante destas informações,

escolhemos um tipo específico de cactácea e construímos uma análise detalhada,

utilizando o software Fractal Analysis System, que entre outras funções calcula a

área e a dimensão fractal.

3.2 O SOFTWARE: TRATAMENTO FRACTAL

A utilização de imagens como documento de pesquisa, segundo Loizos

(2002, apud BAUER; GASKELL, 2002. p. 137) “oferece um registro restrito mas

poderoso das ações temporais e dos acontecimentos reais - concretos, materiais”.

Quanto à utilização do Fractal Analysis System para análise dos dados, Klippel

(2004), afirma que:

a utilização deste tipo de software minimiza o esforço e tempo dedicado pelo usuário para tarefas mecânicas e operacionais que a máquina/computador pode desempenhar de maneira satisfatória e eficaz. A análise de dados torna-se muito mais sistemática, possibilitando que mesmo uma ampla base de dados possa ser estruturada e apresentada de maneira rápida e clara.

Para o estudo da cactácea, utilizamos o software Fractal Analysis System.

Este software, desenvolvido para o ambiente Windows, por possuir uma linguagem

acessível, permite que seja utilizado por quem possui um conhecimento mínimo de

informática e geometria fractal. Trabalha com imagens no formato bitmap e calcula

tudo com base nas cores e áreas destacadas.

O Fractal Analysis System é um software bastante relevante para o trabalho

na área agrícola, pois permite o cálculo da dimensão fractal de uma planta qualquer

4 Segundo Ferreira (1999, p. 482): “Cladódio – do latim cladodium – ramo achatado e verde,

freqüentemente muito parecido com a folha, que, em muitas plantas, desempenha as funções destas,

como por exemplo, nas cactáceas”.

39

mediante fotografia revelando padrões de seu crescimento. Estes dados permitem

mapear todo o ciclo da planta com antecedência e com percentual mínimo de erro.

Para nossa pesquisa, capturamos imagens de vários exemplares do

Melocactus SP. Após a captura de imagem em área aberta pertencente ao habitat

natural das cactáceas, esta é armazenada no computador. Depois esta imagem é

convertida para o formato Bitmap, carregada no programa Fractal Analysis System.

A seguir, seleciona-se a área a ser trabalhada para evitar que elementos não

necessários entrem em foco (grama, pedras, etc.), prejudicando assim a veracidade

dos dados. Deste modo, dentre as muitas plantas coletadas deixou-se de levar em

conta espécies que estavam fixas ao substrato rochoso. A utilização da planta

nestas condições acusa um erro, detectado pelo software, no cálculo da dimensão

porque este considera o substrato rochoso como parte da planta. Assim escolhemos

propositalmente plantas que não crescem sobre rochas.

Um outro aspecto que precisou ser observado com rigor foi o número de

cladódios existentes na planta. Todos os cactos utilizados para fins de análise

gráfica possuem no mínimo dois cladódios. Sem essa particularidade seria

impossível observar o seu padrão de crescimento e, automaticamente, a auto

semelhança existente entre eles. Dessa maneira, cactos com apenas um cladódio,

embora muitas vezes apresentassem um melhor ângulo fotográfico, foram

descartados no momento da análise.

Selecionada a área e atribuído um comando, o software então, recorta a

imagem da cactácea. Todas as outras partes existentes são automaticamente

eliminadas da imagem e o verde é convertido em preto. Por existir ainda brilho na

imagem, pontos pretos são dispostos ao longo de uma superfície branca (local onde

antes existiam as outras cores), desfocando totalmente a imagem. Após tratamento

desta imagem pelo programa Photoshop (aplicativo para edição de imagens), para

retirar o brilho, novamente a imagem é inserida no Fractal Analysis System. Nesse

instante, todos os pontos pretos formam um conjunto uniforme produzindo

novamente a forma da planta. Quando solicitado a trabalhar com a imagem, a cor

branca envolve a imagem em preto. A cor resultante neste momento – cinza, é

então, o extrato a ser calculado. Para finalizar, acionamos o comando do cálculo da

dimensão da escala fractal do programa. Assim, em instantes os dados pedidos

40

aparecem na tela com uma variedade imensa de detalhes, completando a análise do

fractal submetido a este processo através da imagem capturada.

3.3 LÓCUS DA PESQUISA

Para a captura das imagens, escolhemos o município de Itiúba, pela

proximidade com nossa residência e pela proximidade com a Universidade do

Estado da Bahia (UNEB), local que se concentra o curso de Licenciatura em

Matemática a qual pertencemos. Itiúba é um município brasileiro, localizado no

estado da Bahia, pertencente à Região do Piemonte da Diamantina, no semi-árido,

distante 380 km de Salvador (capital) e cuja vegetação predominante é a caatinga.

Segundo Ferreira (1999), Caatinga é um tipo de vegetação característico do

nordeste brasileiro, mas que alcança o norte de Minas Gerais e o Maranhão,

formado por pequenas árvores, comumente espinhosas, que perdem as folhas

durante a longa estação da seca. Nesta vegetação, verificam-se numerosas plantas

suculentas como as cactáceas. De acordo com Esteves (2007, p. 1),

Ao contrário do que prega o estereótipo comum no Sul-Sudeste, a paisagem da caatinga é heterogênea e não se restringe aos conhecidos mandacarus. [...]. Atualmente, são conhecidas na caatinga 510 espécies de aves, 240 de peixes, 154 de répteis e anfíbios e 143 de mamíferos. O levantamento de plantas é ainda mais completo: são mais de 900 espécies catalogadas.

Toda essa riqueza, no entanto, está seriamente ameaçada. De acordo com

Cosendey, (2007), em estudo recente, pesquisadores constataram que a caatinga é

o terceiro ecossistema brasileiro mais degradado. Metade da área que abrange a

caatinga foi modificada pela ação humana, sendo que 18% dessa aconteceu de

maneira grave. Em muitas partes o processo de desertificação encontra-se já em um

estágio avançado.

O município de Itiúba possui uma população estimada de acordo com o

Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2007), em 35 mil habitantes,

41

sob uma área territorial de 1.731 km2. Dos moradores existentes no município,

aproximadamente 20 mil residem em áreas rurais. A principal atividade econômica

do município sempre foi a agropecuária. Itiúba, no entanto, faz parte de uma região

com ciclo de chuvas irregular e cuja exploração do solo feitas no passado causaram

grande estrago na flora. Deste modo, as atividades relacionadas a agropecuária vêm

enfrentando grandes dificuldades, principalmente nos últimos anos. Nesses períodos

secos, a falta de planejamento e de programas que conscientizem o trabalhador

rural acaba por acarretar na diminuição, e em alguns casos mais extremos, até na

extinção da pastagem. Como conseqüência a perda de rebanhos faz com que a

economia local entre em colapso.

As cactáceas, já provaram o quanto podem ser aliadas do sertanejo como

formas alternativas de pastagem. O problema é que a maioria delas não é cultivada.

Aproveita-se apenas o que a natureza pode gentilmente oferecer. Mesmo quando

alguma espécie é cultivada, não se tem uma base científica sólida que garanta as

condições em que deve ser plantada nem o tempo mínimo para a colheita e

armazenamento.

Acreditamos, pois, que o estudo das características fractais dos cactos vem

justamente para dar respostas a tais questões. Sabendo que existe um padrão de

crescimento, pode-se determinar com antecedência qual o período de plantio para

que durante a estiagem a pastagem alternativa esteja pronta. Pode-se calcular, já no

momento do plantio, o volume aproximado que dará a colheita e assim preparar os

recipientes ou locais apropriados à armazenagem.

O município de Itiúba é um lugar propício ao crescimento de diversas

espécies de cactos, conforme pudemos comprovar em nossa coleta de dados.

Observemos abaixo na Figura 15, uma vista do município em voltas das serras que

formam a última porção de Serras da Chapada Diamantina.

42

Figura 15: Vista do município de Itiúba/BA

Fonte: http://www.ferias.tur.br/localidade/728/itiuba-ba.html

3.4 CACTÁCEA: VIDA NO NORDESTE SECO

Animais e plantas adaptam-se ao local em que vivem, pois de outra maneira

não conseguiriam sobreviver às adversidades que muitas vezes lhes são impostas.

Estudiosos a exemplo de Menezes e Souza (2001), acreditam que por um processo

chamado evolução, os seres vivos se diversificaram e assim puderam ocupar os

mais diversos ambientes terrestres. Algumas plantas, como os cactos,

especializaram-se em viver em locais secos. Mesmo em longos períodos sem chuva

eles conseguem manter-se verdes e bonitos.

Ainda para Menezes e Souza (2001), os cactos são encontrados em locais

geralmente secos e de temperaturas médias elevadas. No Brasil eles são

encontrados principalmente na região Nordeste. No município de Itiúba a

predominância de formações rochosas das serras garantem um local propício para o

desenvolvimento desta espécie. Muitos são os gêneros encontrados. Destacaremos

porém, a presença do Melocactus SP, também conhecido como Cabeça-de-frade ou

Coroa-de-frade.

http://www.ferias.tur.br/localidade/728/itiuba-ba.html

43

Da família cactaceae, o Melocactus SP ou Cabeça-de-frade como é

popularmente conhecido, é encontrado em grande quantidade nas encostas

rochosas e locais de difícil acesso, em geral, em solos formados por cascalho e

areia, onde a água escoa muito rapidamente. Esta planta é utilizada para a

fabricação de doces, para fins medicinais e, principalmente como planta ornamental

(MENEZES; SOUZA, 2001).

Os cactos analisados encontram-se na sua maioria em locais rochosos.

Locais esses em que o solo é formado basicamente por areia e cascalho. Muitas

vezes os cactus estão a pouquíssimos milímetros das pedras.

O Melocactus SP possui uma formato geométrico ligeiramente arredondado,

assemelhando-se infinitivamente ao formato de uma esfera. É formado por um

cladódio principal, fixo ao solo, sobre o qual crescem outros cladódios igualmente

globosos, sempre inclinados em relação ao primeiro. A sua superfície é formada por

várias costelas sobre as quais figuram os imponentes acúleos (espinhos) rígidos,

roliços e pontiagudos, encurvados para baixo, com uma haste central que aponta

para cima, dispostos linearmente, e mantendo quase sempre a mesma distância

entre si. As aréolas distam aproximadamente 2 cm uma da outra e contém um total

de 8 acúleos em cada uma. Conforme figura a seguir.

Figura 16: Melocactus SP ou Cabeça-de-frade

44

Na parte superior encontra-se uma estrutura cilíndrica em tom avermelhado

composta por pequenos espinhos e do interior desta saem as flores. Essa estrutura

é a responsável pelo nome popular, pois se assemelha a uma coroa (MENEZES;

SOUZA, 2001).

De acordo com Menezes e Souza (2001, p. 2):

Os espinhos são uma característica marcante dos cactos. Na verdade, eles representam folhas que se reduziram no processo de evolução dessa planta. Essa é uma das maneira de reduzir a perda de água, porque sem as folhas eles evitam ainda mais a transpiração. Os espinhos também protegem o cacto contra predadores e podem, ainda, ser importantes na dispersão das plantas.

Observamos a seguir um Melocactus SP quando interseccionado por um

plano paralelo à base a qual a planta esta acentada. Com esta secção, proveniente

de um corte feito com objeto reto, plano e fino (Figura 18), podemos obter uma

superfície de um poligono estrelado5.

Figura 17: Secção transversal de um cacto

Se isolarmos uma pequena parte deste polígono estrelado (Figura 19),

encontraremos um triângulo não euclidiano cuja soma dos ângulos internos é

diferente de 180º.

5 Um polígono, segundo Barison (2008, p. 2), “é estrelado quando seus ângulos são alternativamente

salientes e reentrantes, e seus lados pertencem a uma linha reentrante, contínua e fechada”.

45

Figura 18: Parte isolada do polígono estrelado, com aspecto que se assemelha a dois triângulos não euclidianos

Ainda nos referindo à cactácea seccionada e também conforme descrito em

Menezes e Souza (2001), o seu interior é macroscopicamente maciço, formado de

um tecido esponjoso e clorofilado que serve como reservatório de água para ser

utilizada quando de sua escassez. Suas raízes longas e ramificadas permitem um

maior aproveitamento da água. As raízes ficam geralmente cobertas por dois ou três

centímetros de solo, chegando algumas vezes a ficar quase que totalmente na

superfície. Dessa maneira podem captar a água diretamente da chuva que cai.

Segundo Menezes e Souza (2001, p. 2)

A pele, ou cutícula, dos cactos é espessa e apresenta uma cera que ajuda a evitar a perda de água por transpiração. A planta tem também estômatos - estruturas semelhantes aos nossos poros -, que durante o dia, sob sol forte, permanecem fechados para evitar a perda da água na forma de vapor.

O cacto em estudo, conforme Figura 19 abaixo, foi coletado na região da

Serra da Garapa, pertencente ao município de Itiúba, Bahia.

Figura 19: Melocactus com quatro cladódios

46

Observa-se que este é formado por um cladódio globoso no topo do qual

crescem outros cladódios que são miniaturas semelhantes ao primeiro. Segundo

Barreto (2008):

Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F', tal que X'Y' / XY = r, onde X e Y são pontos de F e X' e Y' pontos de F' e r constante (razão de semelhança).

O cladódio principal possui aproximadamente6 altura de 10 cm e no local que

apresenta círculo máximo (geodésica) registra um diâmetro em torno de 15 cm. A

geodésica, de acordo com Freitas (2008):

é a linha de menor distância entre dois pontos traçada sobre uma superfície. No plano euclidiano as geodésicas são linhas retas; já em uma esfera, as geodésicas são os arcos de grandes círculos, isto é, a geodésica unindo dois pontos P1 e P2 sobre uma esfera é o arco do círculo obtido como interseção da esfera com o plano determinado por três pontos: P1, P2 e C, centro da esfera.

Nas mesmas condições de análise, no segundo nível, o cladódio maior possui

altura e diâmetro aproximados de respectivamente 6 cm e 9 cm. O segundo, possui

altura aproximada de 4,8 cm e diâmetro 7 cm. O terceiro e último cladódio, possui

altura em torno de 7 cm e diâmetro de 10 cm.

Encontrando-se a razão entre o diâmetro e a altura de cada um dos casos

descritos, obtemos um valor próximo a 1,5 cm. Isso nos leva a crer, portanto, que os

cladódios crescem numa dada proporção, ou seja, crescem num padrão ou valor

constante. São auto semelhantes entre si, uma das características atribuídas aos

fractais. Segundo Barbosa (2002), podemos dizer que existe auto semelhança em

uma planta quando cada galho, analisado individualmente se assemelha à planta

como um todo.

Para efeitos de dimensão, o estudo fractal leva em conta apenas o espaço

ocupado literalmente pela figura estudada. Razão pela qual o Triângulo de

6 Utilizamos os termos “aproximadamente” e “em torno de” por entendermos que os instrumentos de

que dispomos não oferecem condições métricas tão precisas para garantir a exatidão da unidade de medida, mesmo porque se tratam de objetos produzidos e manipulados pela mão humana.

47

Sierpinski, por exemplo, não possui dimensão 2, como um triângulo normal da

geometria euclidiana teria.

Figura 20: Triângulo euclidiano e de Sierpinski

Fonte: http://haaguaemmat.blogs.sapo.pt/arquivo/Forma_triangulo_Sierpinski.JPG

Utilizando o software Fractal Analysis System, calculamos a dimensão fractal

que a cactácea ocupa no espaço. O resultado obtido foi aproximadamente 2,53 para

o volume de todas as plantas analisadas. Estes valores nos levam a supor que o

cacto estudado é mais que uma figura plana, entretanto, não chega, segundo a

geometria euclidiana, a ser um sólido, porque não atinge três dimensões. Essa é,

segundo Barbosa (2002), outra das características fractais. Entendemos que isso se

verifica porque a planta possui cladódios que crescem em sentido oblíquo ao

cladódio principal. Assim, não ocupa um espaço linear. Outro fator que nos

impulsiona a concluir isto são as irregularidades das costelas e acúleos que formam

a sua superfície.

48

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A geometria sempre fez parte das atividades realizadas pelos seres humanos.

No século III a.C. estes conhecimentos foram sistematizados pelo grego Euclides de

Alexandria. A solidificação desta geometria perdurou até final do século XVIII

quando outras geometrias puderam ser admitidas mediante contestação de um dos

seus Postulados. Os estudos destas novas geometrias, chamadas de geometrias

não euclidianas, associadas ao desenvolvimento da tecnologia computacional trouxe

novas perspectivas em relação a fenômenos da natureza. Deste modo, em meados

do século XX, Benoit Mandelbrot desenvolveu estudos que se concretizaram na

geometria fractal.

Num universo predominantemente irregular e de formas imperfeitas, a

geometria dos fractais se apresenta procurando padrões de organização onde se

imagina encontrar apenas desordem, caos.

Pensando nestes elementos e considerando a importância que os fractais

apresentam neste momento para a história da humanidade, buscamos numa

pesquisa qualitativa, através de um estudo de caso, observar o padrão de

crescimento existente entre algumas plantas nativas da caatinga, especificamente

na região do município de Itiúba, no estado da Bahia, localizado na Região Piemonte

da Diamantina. Particularmente nos instigava saber se as cactáceas apresentavam

características fractais e como se deveria estudar e analisar esta planta através da

geometria fractal.

O estudo realizado com as cactáceas, em especial com o Melocactus SP, nos

leva a crer que a geometria dos fractais é de útil e relevante importância não só para

a matemática, mas para outras áreas do conhecimento humano, bem como, nos

indica um caminho para trabalhar com objetos irregulares. Objetos estes que não

apresentam possibilidades de estudos com a utilização apenas de definições e

fórmulas euclidianas.

Na região nordeste com predominância de ciclos chuvosos irregulares e flora

mais devastada, a seca é ainda um problema a ser vencido. A falta de programas de

planejamento permite que o rebanho, principalmente bovino, cresça numa proporção

49

muito maior que a quantidade de terras disponível para pastagem. Assim, em longos

períodos de estiagem é muito comum nos depararmos com cemitérios de animais às

margens das rodovias. Nessa época muitos pecuaristas acabam perdendo todo o

rebanho, influenciando negativamente na economia da região.

O Melocactus SP ou Cabeça-de-frade é uma planta da família cactaceae

comumente encontrada no município. Assim, após a análise de algumas amostras,

pudemos observar que esta planta indicava uma característica fractal: a auto

semelhança. Então, a exemplo de pesquisas realizadas por estudiosos da área,

aplicamos a fórmula de Hausdorff para calcular a sua dimensão através do software

Fractal Analysis System e comprovar outra característica fractal: a dimensão.

Para ser um fractal, porém, segundo Barbosa (2002) é necessário que se

verifique a terceira propriedade, a infinita complexidade. Para nós, leigos, talvez seja

difícil imaginar uma planta infinita por estarmos vendo a sua limitação física e termos

consciência da limitação temporal a que estão sujeitos todos os seres vivos, sejam

eles animais ou vegetais.

Prigogine (2001) afirma que,

No que diz respeito as nossas próprias experiências ou aos fenômenos que nos cercam - na Química, na Geologia e na Biologia - o passado e o futuro desempenham papéis diferentes. [...] nenhum ensinamento tem afirmado a equivalência entre o que é e o que não é feito; entre uma planta que floresce e morre e uma planta que renasce mais jovem e retorna à semente original; entre um homem que envelhece e aprende, e outro que se torna mais criança, depois um embrião e depois uma célula.

Para Bernardo (2004), o ser só se define a partir de algo que não se pode

definir. Assim como não temos como nos definir, não podemos definir o tempo; o

tempo é um dilema tão indecifrável quanto a natureza do ser.

Dessa maneira, sendo o tempo uma convenção humana, podemos enxergar

cada planta como parte de uma planta anterior que se perpetua através das suas

características genéticas passadas às outras através da semente, e assim sendo

chegamos à infinita perplexidade.

Os resultados obtidos nesta pesquisa, diante dos dados coletados, confirmam

nossas suspeitas iniciais e indicam que o Melocactus SP é realmente um objeto

50

fractal. A partir desse estudo observamos que os cactos revelam em si um padrão

de crescimento ordenado.

Nesta perspectiva, entendemos que é possível desenvolver futuramente

outros estudos bem mais detalhados levando-se em conta aspectos aqui abordados

ou outros não considerados nesse momento. Nesta perspectiva, acreditamos que a

junção entre a geometria fractal e o semi-árido é de extrema importância para a

construção de novos caminhos que apontem soluções ou indiquem alternativas que

possam ser desenvolvidas para minimizar os problemas trazidos pela longa

estiagem no semi-árido do nordeste brasileiro.

.

51

REFERÊNCIAS

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal: para a sala de aula.. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

BARISON, Maria Bernadete. Desenho geométrico. Arquivo disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_11t.php#top>. Acesso em: 06 jun 2008.

BARRETO, Marina Menna; GRAVINA, Maria Alice. Como construir figuras semelhantes? Arquivo disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice2/sistems2.htm>. Acesso em: 16 jun 2008.

BATANETE, Ana et al. Natureza: caos ou ordem? Universidade de Coimbra. Departamento de Matemática. Fundamentos e Ensino da Álgebra. 2004. Arquivo disponível em: <www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2005/natureza.doc>. Acesso em: 19 mar, 2008.

BAUER, Martin W.; GASKELL, George. Pesquisa qualitativa com texto imagem e som. Petrópolis: Vozes, 2002.

BERNARDES, Antonio. Conexões matemáticas. Revista Noesis. n. 53, jul/set, 2002. Arquivo disponível em: <http://www.dgidc.min-edu.pt/inovbasic/edicoes/noe/noe55/dossier06.htm>. Acesso em: 14 mar 2008.

BERNARDO, Gustavo. A ficção cética. São Paulo: Annablume, 2004

BIANCHINI, Edvaldo; PACCOLA, Herval. Curso de matemática: volume único. 2 ed. São Paulo: Moderna, 1998.

BLENDER FOUNDATION FOR ORGANIZATIONAL OR PRESS RELATED ISSUES. Arquivo disponível em: <http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/>. Acesso em: 21 mar 2008.

BRASIL. Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Cidades@: Itiúba. Arquivo disponível em: <http://www.ibge.gov.br/cidadesat/topwindow.htm?1> Acesso em: 07 abr 2008.

CARREIRA, Ana Sofia Nunes; ANDRADE, Carlos Antonio Dias de. Geometria a várias dimensões: exemplo de fractais. Faculdade de Ciências. Universidade de Lisboa. Arquivo disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm>. Acesso em: 05 maio 2008.

CONROY, Matthew. Weierstrass functions. Department of Mathematics. University of Washington. Arquivo disponível em: <http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm>. Acesso em: 05 mar 2008.

http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_11t.php#top

http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2005/natureza.doc

http://blenderartists.org/cms/content/view/15/34/

http://www.ibge.gov.br/cidadesat/topwindow.htm?1

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm

http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm

52

CORRÊA, Roger Willians. Teoria do caos. 2007. Arquivo disponível em: <http://www.geocities.com/inthechaos/fract.htm>. Acesso em: 10 fev 2008.

COSENDEY, Leonardo. A caatinga degradada. Revista Ciência Hoje On-line. Notícias: Ecologia e meio ambiente. SBPC, 2000. Arquivo disponível em: <http://cienciahoje.uol.com.br/2474>. Acesso em: 22 maio 2008.

COSTA, Luciano da Fontoura; BIANCHI, Andrea Gomes Campos. A outra dimensão da dimensão fractal. Revista Ciência Hoje. Rio de Janeiro: Instituto Ciência Hoje, 2002, v. 31, n. 183, jun, 2002.

EBERSON, Ricardo Ronald. Um estudo sobre a construção de fractais em ambientes computacionais e suas relações com transformações geométricas no plano. 2004. Monografia PUC/SP. Arquivo disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_ricardo_ronald_eberson.pdf>. Acesso em: 15 mar 2008.

ESTEVES, Bernardo. Um bioma a ser conhecido. Revista Ciência Hoje On-line. Especiais: Reunião anual do SBPC 2005, jul de 2005. Arquivo disponível em: <http://cienciahoje.uol.com.br/3454>. Acesso em: 18 de maio de 2008.

FARIA, Paula Cristina Rodrigues et al. A cronologia dos fractais. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1999. Arquivo disponível em: <www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/nos.htm>. Acesso em: 06 mar 2008.

FARIAS, Elisângela Silva. Avaliação breve da compreensão do caos através da teoria dos fractais. Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências exatas e Tecnológicas. Ilhéus: UESC, 2003.

FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Aurélio século XXI: O dicionário da língua portuguesa. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira, 1999.

FRACTAL ANALYSIS SYSTEM. Intellectual Property Center. National Agriculture and Food Research Organization (NARO). Hiroyuki Sasaki. Japão, 2008.

FREITAS, Sílvio Rogério Correia de. As ciências geodésicas na atualidade. Arquivo disponível em: <http://www.cartografica.ufpr.br/docs/geodesia/introducao.pdf>. Acesso em: 16 jun 2008.

GLEICK, James. Caos, a criação de uma nova ciência. Tradução de Waltensir Dutra. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1989.

GLERIA, Iram; MATSUSHITA, Raul; SILVA, Sergio da. Complex systems, criticality, and power laws. Rev. Bras. Ens. Fis., São Paulo, v. 26, n. 2, 2004. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-47442004000200004&lng=en&nrm=iso>. Acesso em: 05 mar 2008. doi: 10.1590/S0102-47442004000200004.

GUIMARÃES, Solon. Geometrias não euclidianas. Salvador: Economia, 1927.

http://www.geocities.com/inthechaos/fract.htm

http://cienciahoje.uol.com.br/2474

http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_ricardo_ronald_eberson.pdf

http://cienciahoje.uol.com.br/3454

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/nos.htm

http://www.cartografica.ufpr.br/docs/geodesia/introducao.pdf

53

KLIPPEL, Marcelo, et al. A pesquisa em administração com o uso de softwares QDA (Qualitative Data Analysis). In: Simpósio sobre Excelência em Gestão e Tecnologia, 2004, Rio de Janeiro. Arquivo disponível em <http://www.gpi.ufrj.br/pdfs/artigos/Lacerda,Klippel,Koetz,Teixeira,Antunes%20-%20A%20Pesquisa%20em%20Administracao%20Com%20o%20Uso%20de%Softwares%20QDA%20-%20SEGT%20-%202004.pdf>. Acesso em: 18 de maio de 2008.

KUBRUSLY, Ricardo. 2004. Geometrias não euclidianas: Uma introdução à geometria hiperbólica. Arquivo disponível em: <http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/diversos/gne.html>. Acesso em: 13 abr 2008.

LIMA FILHO, Delson, AGUIAR, Adriano M. de. Um traçado paralelo entre as geometrias euclidiana, riemaniana e lobachevskyana. In: GRAPHICA. II Congresso Internacional de Engenharia Gráfica nas Artes e no Desenho. 13º Simpósio Nacional de Geometria Descritiva e Desenho Técnico. 1998, Feira de Santana. Anais... UEFS, 1998, p. 604-606.

LORENZ, N. E. A essência do chaos. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1996.

LUDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.

MANDELBROT, B, B. The fractal geometry of nature. Rev. ed. of: Fractals, 1977. San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1982.

MANDELBROT, Benoit. Fractais: forma, acaso e dimensão. Lisboa: Gradiva Editora, 1991.

MANDELBROT, Benoit. Objectos fractais. Colecção Ciência Aberta. Lisboa: Gradiva Editora, 1992.

MARQUES, Hugo. As tentativas de demonstração do quinto postulado de Euclides. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. 2004. Arquivo disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/postulado1.htm>. Acesso em: 12 abr 2008.

MELLO E SOUZA, Júlio Cesar. O escândalo da geometria. Rio de Janeiro: Editora Aurora, [1947].

MENEZES, Luiz Fernando Tavares; SOUZA, Marcelo da Costa. Especialistas em driblar a sede. Revista Ciência Hoje das Crianças. Rio de janeiro: Instituto Ciência Hoje, n.113, maio, 2001.

MITCHELL, Kerry. The fractal art manifesto. 1999. Arquivo disponível em <http://www.fractalus.com/kerry/articles/manifesto/fa-manifesto.html>. Acesso em: 20 mar 2008

http://www.gpi.ufrj.br/pdfs/artigos/Lacerda,Klippel,Koetz,Teixeira,Antunes%20-%20A%20Pesquisa%20em%20Administracao%20Com%20o%20Uso%20de%25Softwares%20QDA%20-%20SEGT%20-%202004.pdf



http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/diversos/gne.html

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/postulado1.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/postulado1.htm

http://www.fractalus.com/kerry/articles/manifesto/fa-manifesto.html

54

MONTEIRO, Marta S. O que é cálculo? Universidade de São Paulo, 2004. Arquivo disponível em: <http://www.ime.usp.br/~martha/mat111-2004/apresentacao.pdf>. Acesso em: 13 abr 2008.

NIEMEYER, Oscar. Revista Aprende Brasil. Curitiba: Editora Positivo, a. 3, n. 17, p. 50, jun/jul, 2008.

NUNES, Ana, et al. Caos e fractais: fractais e a geometria da natureza.. Centro de Física Teórica e Computacional. Arquivo disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php>. Acesso em: 6 mar 2008.

OLIVEIRA, Lúcia Helena. A matemática do delírio. Revista Superinteressante. São Paulo: Editora Abril, a. 8, n. 10, out 1994, p. 22-27.

PENICK, Nigel. Geometria sagrada. Tradução de Alberto Feltre. São Paulo: Editora Pensamento, 1980.

PRIGOGINE, Ilya. Ciência, Razão e Paixão. Revista Parcerias Estratégicas. Brasília: Ministério de Ciência e Tecnologia, a. 2, n. 3, vol. 1, jun 1997. Arquivo disponível em < http://ftp.mct.gov.br/CEE/revista/Parcerias3/ci_raz.htm>. Acesso em: 27 dez 2008.

RESENDE, Ana Isabel, et al. Geometria fractal e teoria do caos: fundamentos e ensino da álgebra. Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, 2004. Arquivo disponível em: <http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal%20e%20Teoria%20do%20Caos.pdf>. Acesso em: 17 dez 2006.

SANTANA, Mirian Brito de. Geometria e educação infantil: uma relação possível e necessária. 2008. 66 f. Projeto de Mestrado (Mestrado em Educação e Contemporaneidade)– Universidade do Estado da Bahia, Salvador, 2008.

SIQUEIRA, Rodrigo. Introdução aos fractais. Grupo Fractarte. São Paulo: Janelas para o infinito, 2005. Arquivo disponível em: <http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php>. Acesso em: 17 jun 2008.

STEWART, Ian. Os números da natureza: a realidade irreal da imaginação matemática. Tradução de Alexandre Tort; Rio de Janeiro: Rocco, 1996.

TENÓRIO, Robinson Moreira, (org.) et al. Aprendendo geometria pelas raízes. Salvador: Centro Editorial e Didático da UFBA, 1995.

VISTA DE ITIÚBA. Arquivo disponível em: <http://www.ferias.tur.br/localidade/728/itiuba-ba.html>. Acesso em: 17 mai 2008.

VIVAS, José Garcia Miranda. Análisis fractal del microrrelieve del suelo. Tese de doctorado. 2000. (Universidad de A Coruña Facultad de Ciencias - Departamento de Ciencias de la Navegación Y De La Tierra). 2000.

http://www.ime.usp.br/~martha/mat111-2004/apresentacao.pdf

http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php

http://ftp.mct.gov.br/CEE/revista/Parcerias3/ci_raz.htm



http://www.ferias.tur.br/localidade/728/itiuba-ba.html

55

WANGENHEIM, Aldo von. Algumas técnicas de análise de imagens utilizando fractais. Arquivo disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/> Acesso em: 23 jan 2008.


56

ANEXO

Monografia Gilberto Matemática 2008

Documents

Transcript of Monografia Gilberto Matemática 2008