UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇAO - CAMPUS VII SENHOR DO BONFIM

VALDENIRA EVANGELISTA DA SILVA

A AULA INVESTIGATIVA E A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS EM ALUNOS DE 6ª SÉRIE DO ENSINO

FUNDAMENTAL II

SENHOR DO BONFIM 2008

VALDENIRA EVANGELISTA DA SILVA

A AULA INVESTIGATIVA E A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS EM ALUNOS DE 6ª SERIE DO ENSINO FUNDAMENTAL II

Monografia apresentada à Universidade do Estado da Bahia – UNEB – CAMPUS VII, como requisito parcial para a conclusão do curso de Licenciatura em Matemática.

Orientadora: Profª Alayde Ferreira dos Santos

VALDENIRA EVANGELISTA DA SILVA

A AULA INVESTIGATIVA E A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS

MATEMÁTICOS EM ALUNOS DE 6ª SERIE DO ENSINO FUNDAMENTAL II

Monografia apresentada à Universidade do Estado da Bahia – UNEB – CAMPUS VII. como requisito parcial para a conclusão do curso de Licenciatura em Matemática

Aprovada em _______ de ______________ de 2008

____________________________ ________________________ Avaliador Avaliador

_____________________________________

Profª Alayde Ferreira dos Santos Orientadora

A certeza de que estamos sempre começando... A certeza de que precisamos continuar... A certeza de que seremos interrompidos antes de terminar... Portanto, precisamos: Fazer da interrupção um caminho novo... Da queda um passo de dança... Do medo, uma escada... Do sonho, uma ponte... Da procura, um encontro... Fernando Pessoa

DEDICATÓRIA

Aos meus pais por terem me incentivado; Aos que me apoiaram e estiveram sempre comigo dando-me força para o cumprimento de mais uma jornada.

AGRADECIMENTO A Deus por estar sempre me iluminando e por ter me dando saúde física, mental e

espiritual para desenvolver este trabalho.

Aos alunos que contribuíram para a realização desta pesquisa.

A professora Alayde, pela orientação, disponibilidade, paciência e sugestões que muito

contribuíram para a realização deste trabalho.

Aos meus amigos e irmão da Jufra, pela compreensão em muitos momentos de

ausência nas reuniões.

Aos meus colegas de curso pelas palavras de incentivo nos momentos difíceis. Em

especial a Diana pela amizade, pelas orientações e trocas de experiência e todos os

trabalhos que fizemos juntas.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização dessa pesquisa.

RESUMO Esta pesquisa aborda um estudo sobre a aula investigativa como instrumento

metodológico para o processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos dos alunos

do Ensino Fundamental, especificamente dos alunos de 6ª série, tendo como objetivo

refletir sobre a aula investigativa na construção do conhecimento matemático. As

atividades foram desenvolvidas nas escolas: Colégio Municipal José Telésphoro

Ferreira de Araújo, Grupo Escolar José da Silva Marques e Escola Professora Maria do

Carmo de Araújo Maia do Município de Campo Formoso – BA, no período de treze de

abril de dois mil e sete à quinze de maio de dois mil e oito. Na abordagem teórica foram

utilizados alguns autores para melhor fundamentar a pesquisa tais como: Ponte (2005),

Fiorentini (2006) Bicudo & Borba (2005) e Smole (2001). Para alcançar os objetivos foi

utilizada como procedimento metodológico a pesquisa qualitativa, pois segundo

Barbosa (2004) esse tipo de pesquisa viabiliza ao pesquisador explorar e trazer uma

série de possibilidades para a interpretação dos fenômenos estudados, tendo como

instrumentos de coleta de dados o questionários, registros e relatórios das discussões

geradas no processo e as atividades desenvolvidas pelos sujeitos da pesquisa. Os

resultados desta pesquisa mostram a receptividade dos alunos a atividades que os

desafiem, as aptidões que os mesmos podem desenvolver com atividades desse tipo e

as contribuições que a Aula Investigativa trás para a compreensão dos conceitos

matemáticos.

Palavras – chave: Matemática, Aprendizagem de Matemática e investigação matemática.

LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – resposta I.....................................................................................................37

Figura 02 – resposta II...................................................................................................38

Figuras 03 e – respostas à segunda questão...............................................................38

Figura 04 – resposta 02..................................................................................................39

Figura 05 – relato de outro aluno...................................................................................39

Figuras 06 e 07 – respostas sobre problemas matemáticos...........................................40

Figura 08 – resposta de outro aluno................................................................................41

Figura 09 – Analisando o erro coletivamente..................................................................44

Figura 10 – representação do trabalho da reta por um aluno.........................................45

Figura 11 – fazendo a manipulação das fichas...............................................................46

Figura 12 – manipulação das fichas................................................................................46

Figura 13 – representação das fichas.............................................................................47

Figura 14 – Representação do número (+1) por um aluno.............................................48

Figura 15 – resolução utilizando as fichas......................................................................51

Figura 16 – regra criada por um grupo............................................................................54

Figura 17 – esquema montado por um grupo para interpretar o problema.....................56

Figura 18 – resposta........................................................................................................56

Figura 19 – resolução da inequação...............................................................................57

Figura 20 – análise da tabela..........................................................................................59

Figura 21 – análises da atividade....................................................................................59

Figura 22 – análise 02.....................................................................................................60

Figura 23 – resposta apresentada por um grupo............................................................63

Figura 24 – construindo as regras...................................................................................64

Figura 25 – regras elaboradas por outro grupo...............................................................64

Figura 26 – observação feita por uma aluna ao responder a tabela...............................65

Figura 27 – regra sobre potenciação de números inteiros, elaborada por um grupo.....66

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO...............................................................................................................11.

CAPÍTULO I

1.1Motivação e Problemática......................................................................................13

CAPÍTULO II: APORTES TEÓRICOS

2.1 O Ensino da Matemática e sua trajetória no decorrer do tempo......................19

2.2 Aprendizagem em Matemática...............................................................................22

2.3 Investigação Matemática........................................................................................24

CAPITULO III: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

3.1 Metodologia adotada...............................................................................................29

3.2 Os instrumentos da coleta de dados.....................................................................30

3.2.1 Observação participante..................................................................................................30

3.2.2 Questionário......................................................................................................................31

3.2.3 Diário de campo................................................................................................................32

3.3 Lócus da Pesquisa..................................................................................................32

3.3.1 O Colégio Estadual José da Silva Marques....................................................................32

3.3.2 O Colégio Municipal José Telésphoro Ferreira de Araújo............................................33

3.3.3 A escola: Professora Maria do Carmo de Araújo Maia..................................................34

3.4 Os sujeitos da pesquisa.........................................................................................35

CAPÍTULO IV: IANALÍSE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

4.1 Analisando e interpretando o parecer dos alunos...............................................37

4.2 Vivenciando uma prática........................................................................................41

4.2.1 trabalhando os números inteiros sob um olhar investigativo.....................................42

4.2.2 construindo conceitos a partir de descobertas.............................................................52

4.2.3 dando significado às regras de potenciação.................................................................58

CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................68

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................70

APÊNDÍCE A

APÊNDÍCE B

APÊNDÍCE C

APÊNDÍCE D

11

INTRODUÇÃO

Não há dúvidas de que o homem do século XXI está cercado da mais alta tecnologia, o

que lhe exige respostas rápidas e precisas a desafios e situações problemas. No

entanto o processo de ensino e de aprendizagem da disciplina de Matemática nos

tempos atuais tem-se mostrado deficiente, pois os alunos não apresentam um bom

aproveitamento do que foi ensinado.

Na tentativa de superar as dificuldades de aprendizagem muito se tem produzido a

respeito da importância da Matemática, buscando propostas voltadas ao grande desafio

de levar um número cada vez maior de alunos à compreensão dos conceitos dessa

disciplina. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (1998) a

Matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o

desenvolvimento do seu raciocínio e da sua imaginação.

Em meio a esse cenário algumas estratégias de ensino têm surgido objetivando que os

alunos tenham um melhor aproveitamento nas aulas, a exemplo das atividades

investigativas, onde os mesmos são chamados a descobrir e explorar situações,

promovendo reflexões a cerca de suas descobertas. Tal proposta mostra que no âmbito

escolar não basta conhecer, é necessário criar.

Surge daí a intenção desta pesquisa, numa proposta metodológica que proporcione

uma aprendizagem significativa através de Aulas Investigativas

A estrutura deste trabalho está distribuída em quatro capítulos que segue:

O primeiro capítulo aborda os aspectos que motivaram a investigação, bem como a

problematização, a questão norteadora, os objetivos e a relevância social e científica da

pesquisa.

12

O segundo capítulo trás uma abordagem sobre o ensino da Matemática no decorrer do

tempo, uma síntese das teorias que fundamentam as práticas de ensino, e por fim a

apresentação e análise da metodologia de investigação matemática na sala de aula.

Dando embasamento aos conceitos-chave: Matemática, Aprendizagem de Matemática

e Investigação Matemática, fundamentamos nossa pesquisa reunindo autores como:

Ponte (2005), Fiorentini (2006), Miorim (1998), Beker (2001), Baraldi (1999) Bicudo &

Borba(2005) , Smole (2001) e outros, que através de suas pesquisas neste campo

enriqueceram as colocações expostas aqui.

O terceiro capítulo descreve a metodologia utilizada no desenvolvimento da pesquisa,

no qual aparece o tipo de pesquisa, os instrumentos utilizados para coleta de dados, os

sujeitos e o lócus.

O quarto capítulo apresenta a análise e interpretação dos dados, respondendo assim a

questão levantada, onde buscamos vivenciar o trabalho com atividades investigativas e

confrontar com as pesquisas dos especialistas, A proposta foi identificar as vantagens

da atividade investigativa para a aprendizagem dos alunos.

E por fim as considerações finais, onde retomando os nossos objetivos, apresentamos

as conclusões da pesquisa, as dificuldades de se trabalhar com esse tipo de atividade e

a importância da aula investigativa para o processo de ensino-aprendizagem.

A intenção não é avaliar que tipo de metodologia é mais eficaz para o ensino da

Matemática, mas despertar a atenção dos professores para a necessidade de uma

ação pedagógica reflexiva, visto que de acordo com os resultados obtidos, a

metodologia de aula investigativa constitui-se numa ferramenta relevante para melhorar

o ensino da Matemática, fazendo com que os alunos possam atuar não apenas como

executores de tarefas, mas adquirir habilidades de compreensão no que está

estudando.

13

CAPÍTULO I

MOTIVAÇÃO E PROBLEMÁTICA

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a Matemática. No

entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla

aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões).

Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar esses padrões

abstratos. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço,

na ciência e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.

A nível da comunidade cientifica a matemática é definida como uma ciência formal,

onde somente são aceitas provas por dedução. No entanto Schliemann (2003), defende

que a matemática não é apenas uma ciência, é também uma forma de atividade

humana, onde o aluno em sala de aula interage com a matemática formal e a

matemática como atividade humana. Sendo assim a matemática que se estuda na

escola aplica-se facilmente às necessidades quotidianas, e isso é obvio nas séries

iniciais, mas a partir do ensino fundamental, parece que ela não tem tanta utilidade.

Por outro lado, a sociedade evoluiu exigindo cada vez mais conhecimentos

matemáticos a todos os cidadãos. Um arquiteto dirá que a Matemática é útil para

auxiliar a percepção e a criação da beleza; um engenheiro dirá que é útil para reforçar e

aprovar experiências; um físico dirá que é útil por ser a linguagem da ciência; um

político dirá que a Matemática orienta-o na administração e na implementação de leis;

um matemático mostrará que um corpo matemático é útil quando for aplicável a outro

corpo. A matemática é um saber necessário a todas as disciplinas e ciências, devido ao

seu rigor, mostrando que as outras ciências não se desenvolveriam se a matemática

não existisse e não fosse estudada.

De certa forma todos somos matemáticos e fazemos matemática com regularidade,

pois quando despertamos pela manhã, é o relógio, é o calendário que orientam o nosso

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tempo; no trabalho doméstico começamos pela medida do café proporcional à

quantidade de água; saindo para a rua, inúmeras são as situações de pagamento,

recebimento, compras etc. Estamos assim imersos num mundo em que a quantificação

permeia o nosso cotidiano, no entanto, Rabelo (2002) afirma que muitas pessoas

temem, odeiam, ou têm aversão à matemática.

O problema da matemática como uma disciplina que tem um alto nível de retenção na

educação escolar atualmente tem ocupado um lugar de destaque nos estudos de

Educação Matemática. Teóricos como, Baraldi (1999), Rabelo (2002) e Luckesi (2005)

já se manifestaram à cerca do assunto, e percebe-se, nesses estudos que há uma

grande preocupação envolvendo metodologias de ensino que surgem com o objetivo de

melhorar o processo de ensino e assim diminuir as taxas de retenção que a disciplina

vem provocando historicamente.

Dentre as metodologias que vêm sendo difundida no contexto da Educação Matemática

destacamos Aulas Investigativas. A aula investigativa é uma proposta de trabalho que

possibilita ao aluno resolver situações-problema partir da discussão, problematização e

organização dos dados adquiridos. Esta metodologia é defendida por autores como

Ponte (2005), Cristovão (2006), Fiorentini (2006), entre outros, que trazem algumas

reflexões sobre a matemática, segundo esses autores, a matemática tem duas faces: é

a ciência rigorosa de Euclides mas é também uma matemática em construção, onde

aparece como uma ciência experimental e indutiva, fornecendo um amplo instrumento

para o pensamento. Assim, os autores destacam as aulas investigativas como uma

metodologia de relevância para construção de uma aprendizagem significativa.

A respeito dessa afirmação Popper apud (LAKATOS,1991) coloca que a ciência

consiste em doxai (opiniões e conjecturas) controladas pela discussão crítica assim

como pela techne experimental. No entanto o que observamos nas aulas de

matemáticas é o professor falando, explicando o assunto com exemplos no quadro e o

aluno apenas ouvindo, caracterizando assim a matemática como uma verdade

inquestionável, descontextualizada e abstrata. A essa visão da matemática se

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contrapõe aquela que considera o conhecimento em constante construção, onde o

indivíduo, no processo de interação com o mundo, reelabora e complementa seus

conhecimentos.

Com esse pensamento autores como: Ponte (2005), Brocardo (2005) e Oliveira (2005)

vêem desenvolvendo diversos trabalhos com a metodologia de aula investigativa,a qual

suscita a participação ativa do aluno levando-o a observar e manipular uma situação-

problema, explicando e justificando suas descobertas. Ponte sobre aula investigativa na

disciplina de matemática diz:

O conceito de investigação matemática como atividade de ensino aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade genuína, construindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e o professor.(PONTE, 2005, p. 23)

Como podemos perceber na literatura da Educação Matemática, muitos esforços foram

e continuam sendo feitos para tornar o ensino da matemática mais eficiente. Muitas

metodologias foram criadas e testadas, e outras continuam surgindo na busca de

melhores caminhos para o ensino-aprendizagem dessa área de conhecimento, todas

centradas no papel do aluno, como por exemplo a utilização de jogos, a

etnomatemática , a modelagem matemática, a utilização da história da matemática e

trabalho com situações- problema.

Apesar de a matemática estar presente desde cedo em nossa vida, e apesar de ser

considerada uma das principais matérias escolares, os alunos reclamam que a mesma

é muito abstrata e que não conseguem entendê-la. A respeito da aprendizagem

matemática, Braumann (2002) apud (PONTE, 2005, p.19) diz que: “Aprender

matemática não é simplesmente compreender a matemática já feita, mas ser capaz de

fazer investigação de natureza matemática... Só assim se pode dominar os

conhecimentos adquiridos”.

16

Durante o período de graduação, sempre que dizia que estava cursando matemática,

as pessoas se espantavam e relatavam que nunca gostaram de matemática e não

entendiam porque eu gostava. Esses comportamentos me faziam refletir sobre o ensino

da matemática e o que poderia fazer enquanto estudante e futura professora para

torná-lo mais prazeroso e significativo. Nas discussões de sala de aula sempre surgiam

relatos sobre as dificuldades dessa aprendizagem por parte dos alunos; e sempre

buscava-se um culpado, era o aluno que não tinha interesse,ou o professor que era mal

preparado, ou ainda a pouca remuneração dos professores. Mas em meio a isto tudo

algo me dizia que não precisamos encontrar os culpados e sim encontrar formas

eficientes de ensino e aprendizagem.

Realizando um trabalho da componente curricular Estagio II teve-se a oportunidade de

perceber que os alunos ainda sentem muita dificuldade em expor suas idéias nas aulas

de matemática, colocando-se apenas como ouvintes, certos de que nada podem fazer

para a construção do seu conhecimento a não ser se comportar passivamente

enquanto o professor explica, em conseqüência disso muitos conteúdos matemáticos

são aprendidos apenas por memorização de regras desprovidas de qualquer

significado, dificultando assim a aprendizagem. Contrapondo esta realidade Ponte

(2005) observa que na disciplina de matemática o envolvimento ativo do aluno é uma

condição fundamental da aprendizagem.

Ainda durante o estágio II desenvolvemos um mini-curso utilizando-se da metodologia

de aula investigativa, onde foi vivenciada a realidade de sala de aula, bem como os

processos que permeiam a aprendizagem dos alunos. Suscitando assim um anseio de

fazer um estudo mais aprofundado a respeito da investigação em sala de aula. Desde

então se começou recolher e analisar dados obtidos no trabalho com atividades

investigativas a partir desse mini-curso.

Acreditando que o principal objetivo da prática docente é a aprendizagem do aluno, e

que esta deve acontecer de forma significativa; defendemos o processo de construção

do conhecimento matemático a partir da mobilização e participação do aluno neste

17

processo. Assim através desta pesquisa monográfica, almejamos observar e intervir na

ação pedagógica do educador, em conseqüência, oportunizar ao educando ações de

observar, comparar, descrever e construir os conceitos matemáticos, refletindo assim

um novo método didático-pedagógico para se trabalhar nas aulas de matemática,

buscando respostas para o seguinte questionamento: Quais as contribuições que a

aula investigativa trás para o processo de aprendizagem da matemática?

É comum ouvirmos alunos reclamarem que a 6ª série é a mais difícil no que se refere

à aprendizagem pois são muitas informações novas, como por exemplo os números

inteiros, as regras de sinais e a utilização de algumas letras para representar números.

Nesta pesquisa desenvolvemos o trabalho na 6ª série do ensino fundamental, por

entender que a aprendizagem dos assuntos trabalhados nesta série são de

fundamental importância para as séries seguintes.

Por morar em Campo Formoso e conhecer, todas as escolas de ensino fundamental,

tornou-se mais viável para pesquisadora desenvolver a pesquisa neste Município.

Podendo assim contribuir com os educadores desta cidade, uma vez que é de grande

relevância nesta pesquisa uma proposta de reformulação da prática do professor.

Partindo dos pressupostos supracitados, e dispostos a contribuir com processo de

ensino-aprendizagem; nos propomos a desenvolver esta pesquisa-ação com alunos

de 6ª série do Município de Campo Formoso-BA, trabalhando os alguns conceitos

matemáticos através de aulas investigativas. Sendo o trabalho desenvolvido nos

seguintes colégios: Colégio Municipal José Telésphoro Ferreira de Araújo, Grupo

Escolar José da Silva Marques e Professora Maria do Carmo de Araújo Maia. Refletindo

o processo de ensino-aprendizagem desses alunos a partir da aula investigativa.

Objetivando assim refletir sobre a aula investigativa na construção do conhecimento

matemático.

Intencionamos ainda, a partir deste trabalho, identificar as contribuições da aula

investigativa para a aprendizagem da matemática e analisar através da aula

investigativa o avanço na aprendizagem dos alunos de 6ª serie.

18

Vale ressaltar que não estamos querendo aqui desconsiderar as características da

Matemática, reconhecemos o valor da matemática formal, organizada pelos cientistas,

ela pode e deve como sugere os PCN (1999, p. 225) “ser vista como ciência com suas

características e estruturas especificas”. Entretanto o que se pretende com este estudo

é tornar os conceitos matemáticos mais significativos para o aluno.

A importância social desse estudo encontra-se em tentar mostrar aos educadores

novos caminhos para o ensino da matemática , proporcionando-lhes uma proposta de

ensino voltada para a participação do aluno nas aulas de matemática.

Cientificamente esse trabalho poderá contribuir no processo de ensino-aprendizagem

dos conceitos matemáticos, visto que permite aos docentes rever suas práticas

pedagógicas no sentido de tornar as aulas de matemática mais atrativas para o aluno.

Caracterizando assim esse estudo como um relevante trabalho em Educação

Matemática. Espera-se, portanto estar contribuindo com a ciência, ainda que com

simples análises, na certeza de que toda prática requer uma reflexão, desencadeando

assim uma ação.

19

CAPÍTULO II

APORTES TEÓRICOS

Na realização desta pesquisa foram estudados três conceitos-chave: Matemática,

Aprendizagem de matemática e Investigação matemática, utilizando os autores: Ponte

(2005), Fiorentini (2006), Miorim (1998), Becker (2001), Baraldi (1999) e Smole (2001).

2.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA E SUA TRAJETÓRIA NO DECORRER DO TEMPO

Segundo Miorim (1998) as questões relativas ao ensino de matemática começaram a

serem discutidas no Brasil a partir da década de 50, quando impulsionados pelo

Movimento Internacional da Matemática Moderna foram realizados os primeiros

Congressos Nacionais de Ensino da Matemática, onde já se discutiam os problemas

relacionados ao ensino da matemática. Mesmo que até então estivessem baseados

apenas nas discussões da matemática moderna, que estava mais preocupada com a

introdução de novos conteúdos do que com e ensino - aprendizagem e as metodologias

de ensino. Como podemos evidenciar na citação a seguir:

O movimento reformador do início do século procurou na intuição e nas aplicações da matemática as outras áreas os elementos fundamentais para a elaboração de sua proposta e elegendo o conceito de função como seu elemento unificador. O movimento da matemática moderna, entretanto, apresentou uma proposta baseada exclusivamente na moderna matemática e em sua forma axiomática desenvolvida pelo grupo Bourbaki, na qual os elementos essenciais eram os conjuntos, as relações e as estruturas. (MIORIM, 1998.p,111)

Segundo Bicudo e Borba (2005) no início do século XX, o ensino da matemática foi

caracterizado pelo método da repetição. Anos depois surge a visão de que os alunos

deveriam aprender com compreensão daquilo que estava fazendo. Mas tais propostas

não tiveram grandes sucessos quanto à aprendizagem do aluno.

20

Apesar de as discussões e de todos os grupos que foram criados na busca de

melhorias no ensino da matemática que se iniciou no Brasil a partir da década de 30,

com as novas propostas da matemática moderna terem sido de grande importância

para a educação, os problemas da educação matemática continuaram, como podemos

perceber na citação de Miorim(1998, p.115):

... a matemática moderna não conseguiu resolver o problema do ensino da disciplina. Ao contrário, agravou ainda mais a situação. Já no início da movimentação alguns professores, como Carlos B. Lyra e Osmar Catunda alertaram para os riscos de um enfoque centralizado apenas na linguagem.

No entanto os anos 70 marcaram uma era de mudanças no currículo de matemática.

Bicudo & Borba (2005) nos coloca que na busca de melhores formas de ensinar e

aprender matemática, muitas discussões e documentos foram surgindo, buscando

adequar o trabalho escolar às novas tendências. Como por exemplo o NCTM – National

Council of Teachers of Mathematics.( Conselho Nacional de Professores de

Matemática) que é uma organização americana sem fins lucrativos a partir da qual

foram desenvolvidos vários projetos e documentos.

No Brasil, também impulsionados pelo movimento da matemática moderna surgiram os

primeiros congressos realizados por professores de matemática. Esses congressos

eram realizados anualmente e a participação dos professores foi crescendo

significativamente, o que segundo Miorim(1198) acabou propiciando condições para o

surgimento de outros fóruns de debates, bem como grupos de estudos como por

exemplo o GEEM – Grupo de Estudo do Ensino da Matemática – criado em 1961, e o

GEPEM – Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática do Rio de Janeiro, a

partir dos quais foram elaborados e aplicados vários projetos.

A partir da década de 1980, inicia-se, no Brasil, um movimento de educadores que teve

como um de seus pontos de culminância na fundação da Sociedade Brasileira de

Educação Matemática (SBEM). A esse movimento, associa-se a realização de

21

pesquisas acadêmicas cujo objeto eram as questões de natureza múltipla envolvidas no

ensino e aprendizagem da matemática, criando-se e reconhecendo-se

institucionalmente o campo de investigação da Educação Matemática.

Em 1997 apoiados em idéias estrangeiras foram criados os PCN – Parâmetros

Curriculares Nacionais, que apresentam objetivos específicos para o ensino e a

aprendizagem da matemática, como podemos perceber em Bicudo & Borba:

Esses objetivos têm como propósito fazer com que os alunos possam pensar matematicamente, levantar idéias matemáticas, estabelecer relações entre elas, saber se comunicar ao falar e escrever sobre elas, desenvolver formas de raciocínio, estabelecer conexões entre temas matemáticos e de fora da Matemática e desenvolver a capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles. ( BICUDO & BORBA, 2005, p.218):

Atualmente no Brasil, como em outros países, a história da matemática parece estar

vivendo um momento de sucesso em relação à recomendação de sua presença na

prática pedagógica na matemática da escola básica. Embora não possamos afirmar

que essa recomendação tenha se traduzido em mudanças na realidade das salas de

aula, também não podemos negar que, pelo menos no que diz respeito a propostas, os

autores de textos curriculares vêm se esforçando no sentido da inclusão dos aspectos

históricos no discurso sobre a educação matemática, pelo menos desde a publicação

dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) para o Ensino Fundamental

pelo Ministério da Educação em 1997.

Hoje as propostas pedagógicas evoluíram. Muitas metodologias estão surgindo, com o

objetivo de melhorar o processo de ensino-aprendizagem da matemática, todas

centradas no papel do aluno. Isto fica evidenciado na citação de Micotti apud Bicudo e

Borba (2005, p.199).

As atuais propostas pedagógicas, ao invés de transferência de conteúdos prontos, acentuam a interação do aluno com o objeto de estudo, a pesquisa, a

22

construção do conhecimento para o acesso ao saber. As aulas são consideradas como situações de aprendizagem, de mediação; nestas são valorizados o trabalho dos alunos (pessoal e coletivo) na apropriação do conhecimento e a orientação do professor para o acesso ao saber.

Mas para entender melhor essas metodologias torna-se necessário compreender os

vários processos envolvidos na aprendizagem dos conceitos matemáticos. Bem como

as teorias que definem o processo de ensino-aprendizagem. É o que abordaremos no

próximo item.

2.2 APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA

Como se origina a aprendizagem? Quais são seus limites e como ela se evolui? Tais

questões têm preocupado estudiosos de todos os tempos. E das respostas a essas

questões surgiram os modelos educacionais que norteiam ensino em nossas escolas,

dentre os quais podemos citar: a corrente empirista, o nativismo, a psicologia

construtivista, o interacionismo e o construtivismo, porém todos esses modelos se

cruzam no ponto de que a aprendizagem surge a partir da relação do sujeito com o

objeto.

Rabelo (2002) demonstra o pensamento de alguns teóricos a respeito da

aprendizagem:

O conhecimento não procede nem da experiência única dos objetos nem de uma programação inata pre-formada no sujeito, mas de construções sucessivas com elaborações constantes de estruturas novas.( PIAGET,1976 apud RABELO 2002 p. 43)

Ainda falando sobre a aprendizagem, apoiado nas contribuições de Vigotsky Rabelo

(2002, p, 49) afirma que:

Ao se desenvolver, o individuo utiliza marcas externas que vão se transformando em processo interno de mediação: processo de internalização e desenvolve sistemas simbólicos, que organizam os signos em estruturas complexas e articuladas. O processo de interação baseia-se na mediação semiótica em condições sociais concretas. Envolve o conhecimento já internalizado, ações e estratégias dos indivíduos numa interação.

23

E temos também a teoria da integração defendida por Ausubel (1980) que tem como

ponto central a aprendizagem significativa. Que Rabelo (2001, p.54,55) define como:

“um processo no qual uma nova informação é relacionada a um aspecto relevante, já

existente da estrutura do conhecimento de um individuo”.

Observando os espaços educativos percebemos que várias teorias fazem parte do

ambiente escolar. Mas apesar dos avanços, a escola se mantém no mundo

contemporâneo, sem sofrer grandes transformações. Isto quer dizer que ainda é um

estabelecimento de ensino que privilegia a reprodução de idéias e comportamentos

ensinados pelo professor na sala de aula, palco de exibição.

Quanto às práticas pedagógicas, vemos que as escolas brasileiras estão sustentadas

pela idéia de que o professor, agente do processo educativo, ensina, transmite aos

alunos seu conhecimento, que, passivamente, memorizam. Tal pressuposto leva a

escola a assumir um papel autoritário, acreditando que o professor ocupa o centro

desse processo e que, para se ter aprendizagem, basta que o aluno reproduza o que

lhe foi transmitido. Enfatizando este pensamento observemos as respostas de alguns

professores apresentadas por Becker(2001):

O conhecimento, diz um professor, “se dá à medida que as coisas vão aparecendo e sendo introduzidas por nós nas crianças” o conhecimento diz outro, “se dá pela reação das pessoas através de alguns estímulos, a partir de situações estimulantes... “. Um terceiro afirma que o aluno é como a anilina no papel em branco que a gente tinge”. (BECKER, 2001. p 74).

Para o ensino da matemática tais pensamentos ganham ainda mais ênfase. pois a

matemática na escola sempre foi apresentada de forma abstrata, inflexível e imutável,

sendo produto de mentes privilegiadas. Em conseqüência disso a matemática é tida

como uma disciplina de alto nível de reprovação e baixo desempenho. É certo que a

matemática apresenta dificuldades específicas, no entanto, tais dificuldades não

parecem suficientes para justificar a postura da escola que coloca o professor como

dono do saber diante da aprendizagem.

24

Por outro lado, percebe-se que mudanças começam a ocorrer no cenário educacional,

mesmo que ainda de forma tímida. Busca-se uma nova escola, onde professor/aluno e

aluno/aluno, num processo de interação constante, privilegiam o diálogo, o

questionamento, a crítica, a criatividade, o aprender a ser e o aprender a fazer.

Segundo Schneider (2007), o trabalho com a matemática em sala de aula representa

um desafio para o professor, pois exige que ele o conduza de forma significativa e

estimulante para o aluno. Cabe então descobrir novos jeitos de trabalhar com a

matemática, tornado assim o ensino da matemática mais dinâmico, divertido e

desafiador para o aluno, como propõe a metodologia de aula investigativa.

2.3 INVESTIGAÇAO MATEMÁTICA

O termo “investigação” pode ser usado numa variedade de contextos, temos por

exemplo uma investigação científica, investigação jornalística e investigação como

atividade que envolve uma procura de informações.

Para Fiorentini (2006) as aulas exploratório-investigativas são aquelas que

desencadeiam atividades de múltiplas possibilidades de alternativa de tratamento e

significação.

Embora tenha surgido apenas recentemente na literatura internacional, as aulas

investigativas vêm recebendo atenção e abordagem diferenciada em diversos países.

Particularmente, em Portugal, esta alternativa didático-pedagógica vem sendo

experimentada, desenvolvida e investigada de forma rica, sobretudo pelos educadores

matemáticos Ponte (2005); Abrantes (1999); Brocardo (2005) e Oliveira(1999).

Entretanto, no Brasil, essa forma de conceber o ensino da Matemática é ainda recente,

havendo uma literatura escassa, com raríssimas publicações. Tornando-se até mesmo

desconhecida para muitos profissionais da Educação Matemática.

Para que uma situação possa constituir uma investigação é essencial que seja

motivadora e desafiadora, não sendo imediatamente acessíveis, ao aluno o processo

25

de resolução e a solução ou soluções da questão. As atividades investigativas

diferenciam-se das tarefas de tipo fechado e estruturado, que são habitualmente

usadas no processo de ensino-aprendizagem, uma vez que apresentam situações

abertas, permitindo que o aluno estabeleça o caminho a seguir e coloque as suas

próprias questões. Transformando a sala de aula em um ambiente de debate e troca de

experiências, pois como nos coloca Smole (2001, p.16):

Em sala de aula, atividades que requeiram do aluno a comunicação, ajudam-no a esclarecer, reformar e organizar seus pensamentos, fazendo com que se apropriem tanto de conhecimentos específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo em qualquer tempo.

.

As investigações matemáticas caracterizam-se, igualmente, pelo estímulo que fornecem

ao aluno no sentido de este justificar e provar as suas afirmações, e de explicitar as

suas argumentações perante os colegas e o professor. Carvalho (1994, p.97) a respeito

da comunicação na sala de aula diz:

Os alunos só aprendem a pensar por si próprios se tiverem oportunidade de explicar os seus raciocínios em sala de aula ao professor a aos seus colegas. Os professores que afirmam não ter tempo para isso, devem repensar a sua atitude, pois só negociando soluções é que se aprende a respeitar sentimentos e idéias de outras pessoas.

Ao confrontarem as suas diferentes conjecturas e justificações, alunos e professor,

constituem-se como uma pequena comunidade matemática, na qual o conhecimento

matemático se desenvolve de forma significativa. Assim a Investigação Matemática, ou

a utilização de tarefas investigativas nas aulas de Matemática, é mais uma alternativa

didático-pedagógica que o professor pode optar para a realização de um ensino

significativo da Matemática.

A respeito da investigação Ponte (2005) afirma que para os matemáticos profissionais

investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos através de provas e

demonstrações munidas de propriedades. Mas no contexto de ensino-aprendizagem

26

investigar não significa lidar com problemas sofisticados. Nas situações voltadas para a

construção do saber matemático, o aluno é convidado a pensar, fazer inferência sobre

o que observa e formular hipóteses, mas não necessariamente encontrar uma resposta

correta.

Quanto à sua natureza, as investigações matemáticas são parte do que podemos

designar por ‘atividade matemática’, o que corresponde a identificar a aprendizagem da

Matemática com o fazer Matemática. Aqui Matemática é encarada como uma forma de

gerar conhecimento, como nos coloca Castro apud Fiorentini (2003,p.69):

Entender as investigações matemáticas em sala de aula como estratégias de ensino e de aprendizagem, para professores e alunos, foi importantíssimo. Fez-me perceber que as investigações não poderiam ser vistas e tratadas como uma atribuição extra ou um conteúdo a mais e sim como um modo alternativo e instigante de explorar alguns temas matemáticos.

A realização de uma atividade investigativa envolve três momentos principais que são:

Introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma; realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma; discussão dos resultados, em que o aluno relata aos colegas o trabalho realizado.( PONTE, 2005, p. 25)

Ainda segundo Ponte ( 2005) no currículo de muitos países já se percebe, mesmo

que lentamente uma preocupação na realização de atividades de investigação pelos

alunos nas aulas de matemática, a exemplo dos Estados Unidos, da Inglaterra, da

França,de Portugal e Brasil.

Nos Estados Unidos diversos documentos publicados nos últimos quinze anos pelo

National Council of Teacheres of Mathematics ( NCTM ) indicam a visão dessa

organização a cerca do que os alunos devem aprender na disciplina de matemática. O

documento defende que as boas tarefas são aquelas que apelam para a investigação e

a exploração de idéias.

27

Em Portugal o currículo nacional de ensino básico sublinha as atividades de

investigação como uma das experiências de aprendizagem que deve ser regularmente

proporcionada aos alunos.

No Brasil os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (1998) dão uma significativa

importância à realização de investigações e pesquisa no ensino e na aprendizagem da

matemática, salientando assim a importância dos alunos serem capazes de argumentar

nas aulas de matemática, questionando e analisando suas próprias respostas,

tornando-se desta forma parte fundamental no processo de ensino- aprendizagem.

Bernardo (1988 ) apud Baraldi(1999), afirma que não basta que o professor queira

ensinar para que o aluno aprenda; é necessário também que o aluno queira aprender

para que a aprendizagem se efetive. Portanto a realização de investigações

matemáticas pelo aluno, pode contribuir de modo significativo para a aprendizagem da

matemática.Braumann (2002) afirma que a investigação matemática é uma atividade

que qualquer aluno pode fazer.

Aprender matemática não é simplesmente compreender a matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática... Só assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos.(BRAUMANN apud PONTE 2005, p.19)

Autores como Rabelo (2002), Smole (2005) e Carvalho (2005), afirmam que os

estudantes devem aprender a se comunicar matematicamente, e que os professores

devem estimular o espírito de questionamento de seus alunos. Promovendo-lhes

momentos de discussões e reflexões a cerca do assunto estudado.

Se os alunos forem encorajados a se comunicar matematicamente com seus colegas, com os professores ou com os pais, eles terão oportunidade para explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto. (SMOLE, 2001.p.15).

Portanto é importante que o professor dê espaço para a escuta do aluno e ouça as

suas soluções numa dada situação. Dando-lhe a oportunidade de explorar e esclarecer

o seu pensamento. Fiorentini (2003) diz que segundo as Normas Profissionais para o

28

Ensino da Matemática (NCTM), existem alguns cuidados que o professor deve ter ao

propor uma tarefa de matemática, afirmando que segundo esse documento o professor

de matemática deve propor tarefas que:

Apelem à inteligência dos alunos; desenvolvam a compreensão e aptidões matemáticas dos alunos; promovam a comunicação sobre matemática estimulem alunos a estabelecer conexões e a desenvolver um enquadramento coerente para as idéias matemática e mostrem a matemática como atividade humana permanente. (NCTM,1191,apud FIORENTINI,2003, p.70)

Frente a estas afirmações e tendo em vista as necessidades de práticas metodológicas

para o ensino da matemática as aulas investigativas aparecem como uma alternativa

para oportunizar aprendizagem dos conceitos matemáticos, visto que as mesmas

apelam para a participação ativa do aluno fazendo com que este construa seu

conhecimento baseado num pensamento crítico, desenvolvendo também aptidões

sociais e culturais necessárias para a tomada de decisões na sua vida diária.

29

CAPITULO III

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

3.1 METODOLOGIA ADOTADA

A pesquisa aqui desenvolvida é de caráter qualitativo, visto que trata-se de uma

pesquisa em educação que buscou verificar o avanço na aprendizagem a partir de um

procedimento metodológico, por meio da observação, investigação e intervenção,

A pesquisa qualitativa ou naturalista, envolve a obtenção de dados descritivos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes. (BOGDAN & BIKLEN, 1982 apud LUDKE& ANDRE, 1986, p.13)

Atualmente a pesquisa qualitativa é a mais utilizada para investigações em educação

pois possibilita ao pesquisador explorar as diversas situações que envolvem o objeto de

estudo, de acordo com Barbosa (2004) sobre o que se pode conseguir com a pesquisa

qualitativa enfatiza:

Torna-se possível evidenciar diversas interações a que estão submetidos os objetos de investigação, permitindo aprofundar as variáveis em estudo, explorando e trazendo uma variedade de possibilidades para a interpretação dos fenômenos estudados. (BARBOSA, 2004, p. 15)

Assim quando trabalhamos com uma pesquisa qualitativa buscamos analisar e

interpretar os dados obtidos no ambiente de estudo, de forma a responder os

questionamentos da pesquisa.

Com base na perspectiva qualitativa realizamos nosso estudo através de uma

pesquisa-ação, a qual é definida por Fiorentini (2006) como uma modalidade de

30

atuação e observação centrada na reflexão e ação, onde a coleta de dados é realizada

diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece. Thiollent (1992) define

a pesquisa-ação como:

A pesquisa-ação é um tipo de pesquisa social com base empírica que é concebida e realizada em estrita associação com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo no qual os pesquisadores e os participantes da situação ou do problema estão envolvidos de modo cooperativo ou participativo. (THIOLLENT, 1992, p.14)

Consoante a esta definição Fiorentini afirma que a pesquisa ação é :

Um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo, mas sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes. ( FIORENTINI, 2006, p. 112)

Portanto essa pesquisa-ação teve como pretensão construir um conhecimento, através

da participação ativa dos educandos, verificando assim as vantagens das aulas

investigativas para o processe de construção dos conceitos matemáticos. A mesma foi

realizada com alunos de 6ª série de três escolas públicas do Município de Campo

Formoso-BA, no período de abril de dois mil e sete a maio de dois mil e oito.

3.2 OS INSTRUMENTOS DA COLETA DE DADOS

Para melhor amparar a pesquisa, foram utilizados na coleta dos dados, instrumentos

como: observação participante, questionários, e diário de bordo.

3.2.1 Observação participante

A observação é um tipo de instrumento que possibilita ao pesquisador colher dados

necessários para orientar e planejar o seu trabalho. Segundo Fiorentini (2006) podemos

31

coletar informações a partir do comportamento das pessoas quando essas estão

conversando, ouvindo, trabalhando, brincando e estudando em classe.

A observação direta permite também que o observador chegue mais perto da “perspectiva dos sujeitos”, um importante alvo nas abordagens qualitativas. Na medida em que o observador acompanha in loco as experiências diárias dos sujeitos, pode tentar aprender a sua visão de mundo, isto é o significado que eles atribuem à realidade que os cerca e à suas próprias ações. (LUDKE,1986, p. 26)

Na pesquisa foram realizados dois momentos de observação, no primeiro momento

observou-se a aula de matemática dos professores das três turmas escolhidas como

objeto de estudo, buscando conhecer os sujeitos da pesquisa e as suas dificuldades no

ensino da matemática. No segundo momento a observação caracterizou-se como

participante, pois passou-se a observar os alunos durante as atividades de exploração

e investigação, propostas pelo pesquisador, observando o comportamento, as

estratégias e discussões realizadas pelos alunos.

3.2.2 Questionários

O questionário é um instrumento de coleta de informações que consiste numa série de

questões que podem ser fechadas, abertas ou mistas. Sendo escolhido para essa

pesquisa o questionário de perguntas abertas, que Fiorentini (2006) define como:

“aqueles que não apresentam alternativas para respostas, podendo o pesquisador

captar alguma informação não prevista por ele”.

O questionário foi utilizado para a obtenção de dados sobre como os alunos enxergam

a matemática e o seu ensino, pois segundo Fiorentini (2006), “os questionários podem

servir como uma fonte complementar de informações, sobretudo na fase inicial da

pesquisa”. Parafraseando esse pensamento Thiollent (1992.), diz que “na pesquisa-

ação o questionário não é suficiente em si mesmo. Ele trás informações sobre o

universo considerado que serão analisadas posteriormente”. Portanto os questionários

aqui utilizados serviram para coletar informações a respeito de como são a as aulas de

matemática e qual a opinião dos alunos em relação a aprendizagem dos conceitos

32

matemáticos, podendo assim direcionar as atividades a serem desenvolvidas buscando

atingir nosso objetivo.

3.2.3 Diário de campo

Em uma pesquisa-ação é necessário que se registre todas as informações

apresentadas pelos sujeitos de estudo e o diário de bordo é de fundamental importância

nesse processo. A respeito do diário de campo, Fiorentini (2006) diz:

Um dos instrumentos mais ricos de coleta de informações durante o trabalho de campo é o diário de bordo. É nele que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios e retrata diálogos. Quanto mais próximo do momento da observação for feito o registro maior será a acuidade da informação. (FIORENTINI,2006,p.119)

Portanto, como propõe Ludke (1986), o diário de campo foi usado para fazer a

descrição dos sujeitos, dos locais, das atividades desenvolvidas e para fazer a

reconstrução de diálogos, anotando também as conversas e reflexões dos alunos e do

observador.

3.3 LOCUS DA PESQUISA

Como o estudo tinha por objetivo analisar a metodologia de aula investigativa,

buscando as suas vantagens para a aprendizagem dos conceitos matemáticos a partir

da mesma, com alunos de 6ª série das escolas públicas do Município de Campo

Formoso, foram escolhidas três escolas para compor o lócus dessa pesquisa.

3.3.1 O Colégio Estadual José da Silva Marques

Fica localizado na Praça Getulio Vargas, centro da cidade, atende alunos de classe

média oriundos dos bairros mais próximos da escola, o mesmo oferece ensino de 5ª a

33

8ª série nos turnos matutino, vespertino e noturno. É composto por 5 salas de aulas, 1

secretaria, uma diretoria, 3 banheiros 1 cantina e 1 quadra de esportes que quase não

é usada pelos alunos pois os mesmos preferem ficar na área interna da escola que é

relativamente pequena. Nas salas de aula as carteiras são organizadas dispostas em

filas, o que segundo Geraldi (2001) pode inibir a concretização de aulas diferenciadas

por conta do barulho no arrastar de cadeiras.

Como a escola não dispunha de salas vazias, foi feita a proposta a diretora e a

professora da turma, e posteriormente aos alunos, para desenvolver os trabalhos em

outro espaço. E com a permissão da escola e dos pais as aulas aconteceram em uma

sala providenciada pela pesquisadora num período de 13 de abril a 31 de maio de

2007, totalizando uma carga horária de 30 horas/aulas.

3.3.2 O Colégio Municipal José Telésphoro Ferreira de Araújo,

Localizado na Rua Otávio Mangabeira no Centro de Campo Formoso-Ba atende alunos

de 5ª a 8ª séries com funcionamento nos três turnos. No turno matutino funcionam 14

salas de aula, mais 3 salas em extensões. No vespertino, 12 salas de aula e no

Noturno, 6 salas de aula Atendendo 1.126 alunos. Atualmente a gestão da escola é

composta por um diretor, dois vice-diretores, e uma Coordenadora Pedagógica e

Professores da Rede Municipal. O Colégio encontra-se relativamente equipado,

contando com um laboratório de informática, biblioteca, retro-projetor e um data-show.

Porém não tem espaço para atividades esportivas.

Uma das críticas que Geraldi (2001) faz em relação às condições físicas da escola são

as salas improvisadas por conta da grande demanda de matriculados. E essa parece

ser uma realidade vivenciada por esse Colégio, pois como foi citado anteriormente

existem três salas que funcionam fora do ambiente escolar, porem as salas são

grandes e o total de alunos por sala é de vinte alunos aproximadamente. No entanto o

pátio da escola é pequeno em relação o número de alunos que a escola comporta. No

horário do intervalo fica um número muito grande de alunos aglomerados naquele

34

espaço pequeno, fazendo com que muitos utilizem também o espaço da área

administrativa da escola.

As atividades realizadas com o grupo dessa escola foram desenvolvidas nas aulas de

matemática da professora regente, não sendo necessário trabalhar em turno oposto, as

mesmas foram desenvolvidas no período de 22 de outubro a 18 de novembro de 2007

totalizando uma carga horária de 20 horas/aulas.

3.3.3 A escola: Professora Maria do Carmo de Araújo Maia

Localizada na Rua da Saudade, Bairro Santa Luzia, S/Nº, na periferia da cidade, a qual

atende alunos do mesmo bairro e bairros vizinhos. Ate 1999 a escola era estadual e

oferecia ensino de 1º a 4º serie. A partir de 2000 passou a ser municipal e oferecer

Ensino Fundamental no turno vespertino e matutino e EJA no noturno. A escola e

composta por 5 salas de aula, 1 biblioteca, 1 sala de Coordenação, 1 sala de

professores, 1 diretoria , 1depósito de material , 1 deposito de merenda, 2 banheiros

para professores, 1 pequena quadra de esportes. Neste colégio nota-se que o quadro

de professores é de professores novos que continuam estudando.

Segundo a diretora, o material didático como cartolina, cola, papel madeira que os

professores precisam tem na escola, servindo também para os alunos. No período da

tarde, durante dois dias da semana a escola disponibiliza uma sala para um projeto

federal, que desenvolve atividades esportivas, recreativas e de reforço escolar para os

alunos da própria escola.

Como no período da tarde tem salas vazias, os trabalhos do presente estudo foram

realizados no espaço da escola em turno oposto, com alunos do turno matutino num

período de 22 de abril a 15 de maio de 2008, totalizando carga horária de 16

horas/aulas.

35

3.4 OS SUJEITOS DA PESQUISA

O presente estudo foi desenvolvido com alunos de 6ª série do ensino fundamental de

três escolas públicas do Município de Campo Formoso. Como foi escolhido uma turma

de cada escola, para facilitar os trabalhos, convencionou-se em denominar as turmas

de G1 – a turma do Colégio Estadual Jose da Silva Marques; G2 – a turma do Colégio

Municipal Jose Telésphoro Ferreira de Araújo e G3 - a turma da Escola Professora

Maria do Carmo de Araújo Maia.

O G1 foi formado por dezesseis alunos moradores dos bairros mais próximos do centro

da cidade, com faixa etária de doze a dezesseis anos e dispunham de mais tempo para

o estudo visto que estudavam pela manhã e tinham a tarde livre. O G2 foi formado por

dezenove alunos da sede e do interior do município, com faixa etária de quatorze a

dezesseis anos, dentre os quais, três eram deficientes auditivos que contavam com a

ajuda de uma professora de libras. O G3 foi composto por quinze alunos de classe

média baixa, oriundos da periferia da cidade, com faixa etária de onze a dezesseis anos

os quais em sua grande maioria participavam de alguns projetos do governo, motivo

pelo qual alguns alunos da turma não participaram das atividades, pois não dispunham

de tempo.

A presente pesquisa demandou tempo para a coleta dos dados, pois foi realizada com

três grupos em momentos diferentes com assuntos diferentes, buscando assim uma

visão geral sobre os resultados da pesquisa para a aprendizagem dos conceitos

matemáticos.

36

CAPITULO IV

ANALÍSE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

A presente pesquisa teve como objetivo, identificar as vantagens da metodologia de

aulas investigativas na construção dos conhecimentos matemáticos de alunos de 6ª

série. Para isto fez-se necessário que o pesquisador organizasse atividades de

exploração e investigação e desenvolvesse com três grupos de alunos de escolas

públicas do Município de Campo Formoso Bahia, no período de treze de abril de dois

mil e sete à quinze de maio de dois mil e oito.

Para saber o que os alunos achavam das aulas de matemática, antes de começar as

atividades, aplicamos um questionário com três perguntas abertas que foram recolhidos

no dia seguinte. O quantitativo dos questionários devolvidos foi satisfatório para a

análise.

QUADRO 1

QUANTITATIVO DE QUESTIONÁRIOS

Objetos de estudo Número de questionários

entregue

Número de questionários

devolvidos

G 1 16 14

G 2 19 16

G 3 15 15

A quantidade de questionários devolvidos (Quadro 1 ) demonstrou que os alunos

tiveram interesse em colaborar com a pesquisa, visto que no G1 tivemos um percentual

de 87,5% de questionários respondidos, no G2 84,2% e no G3 100%, totalizando

assim um percentual de 90% de questionários devolvidos.

37

4.1 ANALISANDO E INTERPRETANDO O PARECER DOS ALUNOS

Os aluno responderam um questionário subjetivo composto por três perguntas, as quais

tiveram como objetivo, identificar a idéia que os alunos têm sobre a aula de matemática

e consequentemente sobre a disciplina. Com isso segue a transcrição do questionário

aplicado aos alunos com suas respectivas análises.

QUESTÃO 1: Na sua opinião o que é preciso para aprender matemática?

Com essa primeira questão pretendíamos identificar a concepção do aluno sobre o

ensino e aprendizagem da matemática.

Os resultados dessa questão mostraram-nos que os alunos entendem a matemática

como uma disciplina difícil, que necessita de uma atenção maior nas aulas e de prática

de exercícios como podemos perceber nas respostas que seguem:

Figura 01: resposta I

Nessas respostas o que chama a atenção é que os alunos respondem que para

aprender matemática é preciso prestar muita atenção na hora em que o professor

estiver explicando, colocando assim o professor como o ponto central da

aprendizagem, o que contrapõe às propostas da atividade investigativa onde a

participação do aluno é fundamental para o desenvolvimento da aula. A respeito do

papel do professor na atividade investigativa Ponte (2005, p.29) diz:

Tendo sido assegurada, mediante o momento inicial, a compreensão dos alunos a cerca da atividade que se irá realizar, o professor passa a desempenhar um papel mais de retaguarda. Cabe-lhe então procurar

38

compreender como o trabalho dos alunos se vai processando e prestar o apoio que for sendo necessário.

No entanto já se percebe um anseio em tornar a aula de matemática mais informal,

onde o aluno possa questionar matematicamente como podemos perceber na seguinte

resposta:

Figura 02: resposta II

Portanto verifica-se que a matemática continua sendo compreendida como uma ciência

pronta e acabada, caracterizando-se como uma disciplina de difícil compreensão para

os alunos.

QUESTÃO 2: Descreva o que acontece numa aula de matemática:

A segunda questão tinha por objetivo identificar a metodologia de ensino utilizada pelos

professores desses alunos. No entanto em uma das turmas o questionário foi entregue

após o primeiro encontro, o que acabou confundindo as respostas, pois alguns alunos

ao invés de descreverem a aula do professor fizeram a discrição do encontro realizado

por nós.

Com as respostas à essa questão conseguimos atingir o nosso objetivo, pois fica clara

a metodologia utilizada por esses professores:

39

Figuras 03 e 04: respostas à segunda questão

A esse tipo de aprendizagem realizada pelo processo de o professor repassar o

assunto para o aluno fornecendo-lhe exercício de fixação, Coria (1986) define como

aprendizagem passiva, a qual torna-se muito limitada. Caracterizando assim a

matemática como uma disciplina em que só o professor tem o conhecimento e que este

transfere para o aluno através de explicações e atividades. Portanto fica evidente que

apesar do avanço tecnológico dos últimos tempos a escola continua com o modelo

tradicional de ensino.

Um outro agravante citado pelos alunos é o desinteresse dos mesmos pelos assuntos

da escola, o que acaba dificultando a aprendizagem criando assim uma aversão à

disciplina.

Figura 05: relato de outro aluno

O desinteresse dos alunos envolve fatores que vão alem do ambiente escolar,

O desinteresse no decorrer da escolarização, parece estar se agravando com as mudanças decorrentes da reestruturação da rede pública paulista. Em 1997, ocorreu a cisão do nível de ensino das unidades escolares: de um lado as escolas com salas de 1ª a 4ª série, e de outro as escolas de 5ª a 8ª série. Isso fez com que muitos estudantes deixassem de estudar numa escola onde já tinham um certo convívio social e fossem deslocados para outras muitas vezes longe de suas residências. (GERALDI, 2001. p. 83)

Porém essa não é a realidade das escolas pesquisadas, pois como foi citado

anteriormente, os alunos moram próximo às escolas, o que nos leva a buscar novos

40

caminhos para despertar o interesse dos alunos com atividades que os desafiem a

participar, como propõe a atividade investigativa.

QUESTÃO 3: Você gosta de resolver problemas de matemática? Por quê?

O objetivo com a questão foi analisar qual o impacto que as atividades investigativas

iriam causar, visto que as mesmas seriam trabalhadas a partir de situações- problema.

Os resultados foram surpreendentes, pois 70% dos alunos disseram que gostam de

resolver problemas, como verifica-se nas seguintes respostas:

Figuras 06 e 07: respostas sobre problemas matemáticos

Tais respostas salientam que os alunos gostam de serem desafiados. Portanto

precisamos tornar as aulas de matemática mais estimulantes para o aluno. Ratificando

este pensamento Smole & Diniz (2001) afirmam que o professor precisa viabilizar os

trabalhos em sala de aula de forma que os alunos possam resolver problemas de

matemática de maneira prazerosa e autônoma explorando as situações apresentadas.

41

Um fato que chamou atenção foi que os alunos que disseram gostar de resolver

problemas também afirmam que gostam de matemática, enquanto aqueles que

responderam que não gostam de problemas também não gostam da disciplina.

Figura 08: resposta de outro aluno

Mostrando assim que a afinidade do aluno com a disciplina pode estar relacionada com

o grau de dificuldade do mesmo em relação a aprendizagem dos conceitos

matemáticos. Porém percebe-se também uma contradição entre a segunda e a terceira

questão apresentadas aqui, pois ao mesmo tempo em que os alunos descrevem as

aulas de matemática como sendo baseada na transmissão de conhecimento,

apresentam um interesse em aulas mais dinâmicas onde os mesmos possam ser

desafiados a exercitar mais a mente na busca de soluções. Frente a estas colocações a

aula investigativa aparece como uma ferramenta de relevância para a aprendizagem,

visto que a mesma envolve o aluno na busca de estratégias diante de uma situação

problema, onde as questões abertas possibilitam a esses um envolvimento maior na

atividade e conseqüentemente na construção dos conceitos matemáticos.

4.2 VIVENCIANDO UMA PRÁTICA

Após a analise dos questionários foram preparadas as atividades investigativas

envolvendo três assuntos da 6ª série do ensino fundamental, nas quais foram

trabalhadas operações com números inteiros no primeiro grupo (G1), inequações no

segundo grupo (G2), e potenciação com números inteiros no terceiro grupo (G3).

As atividades foram desenvolvidas em três momentos distintos num período de cinco

encontros para cada grupo, sendo trabalhadas três atividades com cada grupo,

totalizando assim nove atividades para a análise, todas elaboradas de forma a

42

proporcionar um ambiente desafiador e descontraído para os alunos, estimulando

assim a criatividade nas suas explorações.

4.2.1 TRABALHANDO OS NÚMEROS INTEIROS SOB UM OLHAR INVESTIGATIVO

As atividades sobre os números inteiros foram desenvolvidas com o G1 no período de

treze da abril à vinte e cinco de maio de dois mil e sete, sendo os encontros realizados

uma vez por semana.

Quando a proposta foi apresentada à turma a professora ainda não tinha iniciado o

estudo com números inteiros, porém durante o período de observação e elaboração

das atividades a professora iniciou o assunto, de modo que ao começarmos nossos

encontros os alunos já tinham uma pequena noção do número negativo, mas como já

tínhamos elaborado a atividade para a introdução dos números inteiros a partir de uma

tabela de futebol resolvemos dar seguimento à atividade mesmo assim.

Iniciamos com a apresentação de uma tabela de futebol (tabela de classificação do

campeonato brasileiro de 2006), buscando dos alunos, que foram divididos por duplas,

a exploração desta tabela solicitando deles que escrevesses tudo que lhes chamassem

atenção a fim de que descobrissem a existência do número negativo, identificassem

quais dos números dispostos no campo “saldo de gols” (onde tinham saldos positivos e

negativos), analisando seus resultados, descrevendo suas descobertas socializando-as

com o restante da turma. Bicudo (1999) se manifesta à cerca deste processo dizendo:

Para construir o saber, o aprendiz aplica os seus conhecimentos e modos de pensar ao objeto de estudo; age, observa, seleciona os aspectos que mais chamam a sua atenção, estabelece relações entre os vários aspectos deste. objeto e atribue significados a eles, chegando a uma interpretação própria.( BICUDO, 1999.p.158)

Os resultados foram interessantes, alguns alunos se envolveram mais com a atividade

explorando, de fato, a tabela, enquanto outros analisaram-na apenas de maneira

superficial:

43

“Nos chamou atenção o saldo de gols por ter números negativos: -4, -7, -6, -11, -10” .

“Nossa curiosidade foi sobre alguns times que ficaram no prejuízo como o flamengo.

Ele fez menos gols e sofreu mais, fez 44 gols e sofreu 48 e ficou com resultado

negativo: -4”.

Com essas respostas percebe-se que os alunos já tinham a idéia do numero negativo,

pois já utilizam essa nomenclatura em suas respostas, observa-se também que

conseguiram relacionar o número negativo a idéia de perda quando descreveram que

o flamengo ficou no prejuízo.

Outra descoberta, e que foi comum a muitos alunos, é a que se segue:

“O saldo do São Paulo estava errado porque ele fez 65 gols e levou 32 então o

resultado é 33.”

Com a realização desta atividade os alunos conseguiram identificar na tabela a

existência dos números inteiros a partir de suas próprias descobertas. Para Mizukami

(1986):

A descoberta garante ao sujeito uma compreensão da estrutura fundamental do conhecimento, assumindo assim, um papel importante nos processos pelos quais a aprendizagem se realizou.MIZUKAMI, 1986. p.76)

Após a exploração, as duplas apresentaram os resultados para a turma e foi feita a

análise coletiva das descobertas, despertando nos alunos a impotência de justificar as

suas conjecturas tanto pela escrita como verbalmente.

No segundo encontro, partimos para a operacionalização com números inteiros

iniciando com a adição e subtração. Para isto confeccionamos uma reta numérica de 08

(oito) metros em papel madeira contendo os números de +20 a -20 que foi estendida no

centro da sala. A turma foi dividida em trios, onde um membro do trio andou sobre a

44

reta sob o comando do segundo membro, exemplo: (ande menos três casas (-3),

avance duas casas pra esquerda (+2), parando na casa (-1) que é o resultado da

operação), e o terceiro ficou responsável por anotar os passos do colega na lousa.

Cada trio resolveu três operações. Ao final de cada apresentação foram discutidos os

resultados. Enquanto um trio se apresentava, o restante da turma observava as

operações que eram realizadas identificando os erros. Quando o aluno que estava

sobre a reta errava a operação, este permanecia sobre o número que foi identificado

como erro pela turma, vindo outro aluno para continuar a operação. Persistindo o erro,

outro aluno era indicado pela turma até que se concluísse a operação.

Figura 09: Analisando o erro coletivamente

Ponte (2005) a respeito da discussão na aula investigativa diz:

No final de uma investigação, o balanço do trabalho realizado constitui um momento importante de partilha de conhecimentos. Os alunos podem por em confronto as suas estratégias, conjecturas e justificações, cabendo ao professor desempenhar o papel de mediador. (PONTE,2005. p.41)

A utilização da reta numérica foi uma atividade que apresentou bons resultados por ter

sido descontraída e dotada de significado em que toda a turma participou se

envolvendo com a mesma, como podemos perceber nos relatos dos alunos A1 e A2.

“Brincamos com a reta numérica e aprendemos a somar números inteiros” (A 1)

“A gente aprende tudo brincando e é tudo muito divertido, com a brincadeira dos

números negativos e positivos usando a reta” (A 2)

45

Figura 10: representação do trabalho da reta por um aluno.

Por se tratar de um material concreto, a atividade da reta foi percebida pelos alunos

como uma brincadeira, porém uma brincadeira que resultou em aprendizagem. A

respeito dessa observação Aguiar (2004) diz:

As atividades lúdicas (o jogo, a brincadeira e o brinquedo) fornecem à criança um ambiente agradável, motivador, planejado e enriquecido, que possibilita a aprendizagem de várias habilidades, assim a criança pode adquirir a maior parte de seus repertórios cognitivos, emocionais, sociais e motores. (AGUIAR, 2004. p.25)

Com a atividade da reta percebemos que os alunos compreenderam o significado dos

números inteiros entendendo a existência do número negativo, podendo fazer

generalizações sobre o conhecimento adquirido com a atividade e o assunto.

No terceiro encontro, ainda trabalhando as operações, utilizamos o jogo de dominó, que

foi construído anteriormente com fichas de cartolina: fichas azuis (positivas), fichas

vermelhas (negativas). Aqui desenvolvemos as operações de adição e subtração,

levando os aluno a compreenderem as operações e construírem as regras de sinais.

Foi entregue para cada grupo uma quantidade de fichas e pediu-se para que os

mesmos explorassem-nas e descobrissem alguma relação com o conteúdo que estava

sendo estudado, que era a adição e subtração dos números inteiros.

46

De início alguns alunos começaram a manipular as fichas de maneira desordenada,

separando as fichas por cores sem fazer relação alguma com o assunto.

Figura 11: fazendo a manipulação das fichas

Já outros começaram juntando as fichas de cores diferentes, porém também não

identificaram a relação das fichas com as operações de números inteiros

Figura 12: manipulação das fichas

Então perguntamos o que tinha sido formado com a junção das duas fichas e os

mesmos responderam que tinha formado um círculo branco.

Percebemos aqui que os alunos precisavam de um direcionamento para continuar com

a exploração, então foram feitos alguns questionamentos, fazendo-os entender, que

47

aquele círculo branco representava o zero e que uma ficha azul anulava uma vermelha.

A respeito da intervenção do professor durante a atividade de investigação Ponte(2005)

diz:

Mesmo após o arranque da investigação o professor precisa continuar a desafiar os alunos no decorrer da atividade. Isso se torna particularmente importante quando os alunos chegam a um impasse. (PONTE,2005. p. 48)

Em seguida as duplas fizeram os relatos das descobertas, onde constatamos que o

nosso objetivo foi alcançado.

“O quadrado vermelho é negativo o quadrado azul é positivo, azul e vermelho juntos

formam zero” (A 4)1

Figura 13: representação das fichas

Com esses relatos percebe-se que o conceito de “criar zeros” teria sido compreendido

pelos alunos e os mesmos já relacionavam uma ficha vermelha com uma unidade

negativa e a azul com uma unidade positiva

Logo após solicitamos deles a representação de alguns números inteiros positivos e

negativos de várias maneiras. Exemplo, (+3) utilizando três fichas azuis ou seis fichas

azuis e três vermelhas, ou doze peças azuis e nove vermelhas, e assim por diante. (-3)

utilizando três fichas vermelhas, ou seis fichas vermelhas e três azuis, ou doze fichas

vermelhas e nove azuis, e assim por diante.

1 Quando o aluno menciona palavra quadrado ele se refere às fichas

48

Figura 14:Representação do número (+1) por um aluno

Depois que eles compreenderam que poderiam representar qualquer número com as

fichas e de diferentes formas, partimos para o trabalho com a adição e subtração dos

números inteiros. Inicialmente trabalhamos com a adição buscamos dos alunos o

significado da palavra adição, a idéia aqui utilizada foi de que adicionar significa “juntar”.

Solicitamos que os alunos resolvessem a seguintes situações:

(-3) + (+6)

Os mesmos juntaram 3 fichas vermelhas com 6 fichas azuis, seguindo o seguinte

raciocínio: como uma ficha vermelha com uma azul se anulam, 3 fichas vermelhas com

3 azuis vão se anular porque formam zeros, restando assim 3 fichas azuis, logo, (-3) +

(+6) = (+3).

Depois de resolvida a operação, conduzimos os alunos a refletirem sobre a seguinte

indagação:

Professor: Por que o resultado deu positivo?

Aluno 01: Porque tinha mais fichas azuis do que vermelhas, logo restaram fichas azuis

que são positivas.

(-3) + (-6)

Os alunos Juntaram 3 fichas vermelhas com 6 fichas vermelhas obtendo no total 9

fichas vermelhas, logo, (-3) + (-6) = -9.

Professor: deu que resultado?

Aluno 02: Porque todas as fichas são vermelhas, logo só poderia dá negativo.

49

Diante das análises dos alunos em torno dos resultados das operações podemos

verificamos que os mesmos estavam começando a construir as regra de sinais, partindo

da análise das descobertas feitas pelos grupos, o que mostra que a na aula

investigativa a discussão dos resultados apresentados pelos alunos torna-se necessária

para a organização dos dados e construção dos conceitos. De acordo com Smole &

Diniz(2001):

Trocando experiências em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas, ouvindo, lendo e analisando as idéias dos outros o aluno interioriza os conceitos e os significados envolvidos nessa linguagem e relaciona-os com suas próprias idéias. ( SMOLE & DINIZ,2001 . p 16)

Após a analise com a adição partimos para as operações com a subtração. Buscamos

dos alunos o significado da palavra subtrair, utilizamos idéia de que subtrair significa

“retirar”. E ainda utilizando as fichas solicitamos dos alunos subtrair (-2) de (-3), ou seja,

retirar 2 fichas vermelhas de 3 fichas vermelhas.

Cada dupla colocou sobre a mesa ou chão da sala 3 fichas vermelhas retirando duas,

restando assim, 1 ficha vermelha, logo (-3) – (-2) = -1.

Essa operação não apresentou dificuldades pois bestava trabalhar com as fichas

vermelhas e todas as duplas conseguiram resolver num espaço curto de tempo.

Propomos então a seguinte situação: Subtrair (+3) de (-2), isso significava retirar 3

fichas azuis de 2 fichas vermelhas. Cada dupla colocou sobre a mesa ou chão da sala 2

fichas vermelhas.

Nesse momento um aluno fez o seguinte questionamento:

Aluno 03: Professora, Como vou tirar 3 fichas azuis se só tenho fichas vermelhas?

Essa questão apresentava um grau maior de dificuldade, solicitamos então dos alunos

que criassem estratégias em busca da solução do problema. Pois segundo Paratelli

apud Fiorentini & Jiménez(2005) as estratégias mostram possibilidades de resolução e

desenvolvimento do pensamento, sendo importante o professor incentivar esse tipo de

estratégias.

50

Foram disponibilizados alguns minutos para a criação das estratégias nos grupos e em

seguida a discussão com a turma de onde surgiram algumas análises interessantes.

Aluno 07 – É só colocar 3 fichas azuis e depois retirá-las

Aluno 12 – Se a gente fizer isso o resultado vai dar errado, porque vamos continuar

com as mesmas 2 fichas negativas

Aluno 08 – Então professores, essas fichas não servem para a subtração!

Aqui percebemos que os alunos chegaram a um impasse e que para dar continuidade à

exploração era necessária a nossa intervenção. A respeito do papel do professor numa

aula investigativa Ponte(2005) diz:

O professor precisa estar atento a todo esse processo de formulação e teste de conjecturas para garantir que os alunos vão evoluindo na realização da investigação. Desse modo cabe-lhe colocar questões aos alunos que os estimulem a olha em outras direções e os façam refletir sobre aquilo que estão a fazer. (Ponte, 2005: 36)

Professor – Será mesmo que as fichas não servem para essa operação? A idéia de

acrescentar algo é um caminho desde que não altere a operação.

Aluno 12 – Então pra não mudar a operação eu só posso botar o zero

Professor – E como “bota” o zero?

Aluno 06 – Com uma ficha azul e uma ficha vermelha

Nesse momento foi introduzido na operação uma ficha azul e uma ficha vermelha

formando o zero.

Aluno 05 – Mas só temos uma ficha azul, e a gente tem que tirar três.

Aluno 09 – Então é só botar mais dois zeros!!

Para resolver a questão tivemos que criar fichas azuis, para isso foi necessário criar

“zeros”. Então inicialmente tínhamos 2 fichas vermelhas, em seguida, separadamente

criamos os “zeros” com 3 fichas azuis e 3 fichas vermelhas, agora que já tínhamos as

51

três fichas azuis, as retiramos restando então 5 fichas negativas (vermelhas). Logo, (-2)

– (+3) = -5.

Figura 15: resolução utilizando as fichas

Concluímos com a mesma reflexão: Por que o resultado deu negativo?

Aluno 10 – Por que tinha mais fichas vermelhas do que azuis, logo restaram fichas

vermelhas.

Portanto fica evidenciado que, de fato, os alunos conseguiam relacionar as operações

utilizando as fichas com as operações algébricas. Caracterizando assim a formação dos

conceitos estudados. Ratificando este pensamento Moreira (2001) diz: “A formação de

conceitos... consiste essencialmente, de um processo de abstração dos aspectos

comuns característicos de uma classe de objetos ou eventos que variam

contextualmente”. (MOREIRA, 2001p.20).

Em alguns momentos quando as operações eram um pouco mais complexas alguns

alunos queriam resolvê-las de forma direta (mentalmente ou no papel) o que nos levou

a todo o momento ressaltar o nosso objetivo de que importante não era apenas que

eles chegassem ao resultado, mas, principalmente, que entendessem o porque daquele

resultado. Por isso em cada uma das operações propostas era solicitado do aluno que

explicasse aos colegas como foi o processo para chegar ao seu resultado. Isso

possibilitou o sucesso do nosso trabalho.

E assim finalizamos a primeira parte do nosso trabalho,tendo como sujeitos do estudo

os alunos do Colégio Estadual José da Silva Marques. E dando continuidade partimos

para o desenvolvimento das atividades investigativas no segundo colégio pesquisado,

utilizando agora o conteúdo de inequação.

52

4.2.2 CONSTRUINDO CONCEITOS A PARTIR DE DESCOBERTAS

Na atividade de investigação o aluno é encorajado a expor suas próprias idéias, a

organizar seus pensamentos e a descobrir que algumas questões matemáticas podem

ser resolvidas de maneiras diferentes, e foi desta forma que foram desenvolvidas as

atividades exploratórias/investigativas com o G2 utilizando o conteúdo de inequação.

De início a turma foi dividida em trios, e cada trio recebeu uma cópia da atividade (01)2

onde foi solicitado aos alunos que a explorassem a partir das questões norteadoras. A

primeira questão não apresentou dificuldades, já na segunda questão alguns alunos

não sabiam como representar sete elevado ao quadrado. Nessa mesma atividade

existiam algumas sentenças falsas o que foi pouco percebido pelos grupos. Portanto

para dar continuidade às explorações fez-se necessário uma intervenção induzindo os

alunos a perceberem as sentenças falsas.

Percebe-se que os alunos sentem dificuldades de interpretação, e isso fica evidenciado

na atividade 01 nas respostas do grupo 02, quando ao invés de apenas observar as

sentenças o grupo começa respondendo com verdadeiro ou falso. Sobre a

interpretação nas aulas de matemática Rabelo (2002) diz:

Sempre notei que, diante de um problema, os alunos não conseguiam analisar, interpretar e acabei percebendo que isso ocorria porque os alunos têm dificuldades de leitura e, portanto de análise , devido principalmente à barreira da linguagem escrita...( RABELO 2002, p25)

A terceira questão da atividade foi a que gerou mais discussão, pois a mesma pedia

para representar uma sentença falsa e a maioria dos grupos respondeu que para

representar uma sentença falsa era só colocar o resultado errado. Outro grupo

respondeu da seguinte forma:

Grupo 4: falar ou escrever uma frase mas sem a pessoa entender o que a frase

representa.

2 A atividade aqui citada encontra-se em anexo III

53

Já o grupo 03 apresentou uma resposta interessante, exemplificando a sua resposta

como podemos verificar.

Grupo 03: É só trocar o sinal de (=). EX: 5=3, resultado falso então representamos

desta forma 5≠3.

Com esta resposta percebe-se que esse grupo compreendeu a diferença entre

igualdade e desigualdade. Porém no geral fica evidente que os alunos não conseguiam

resgatar alguns conceitos aprendidos nas séries anteriores para resolverem a questão.

Como essa atividade tinha por objetivo introduzir o conceito de desigualdade, após a

apresentação das respostas dos alunos foram feitas as discussões com a turma e

aproveitando a resposta citada acima foi feito o seguinte questionamento:

Professor – Se cinco é diferente de três então cinco é o que em relação a três?

Aluno 01 – cinco é maior

Professor – E como podemos representar essa sentença com símbolos matemáticos?

Aqui foi solicitado que alguém viesse registrar a resposta no quadro

aluno 01 – 5 é maior que 3

professor – certo, mas será que não tem algum símbolo para substituir a expressão

“maior que” ?

Nesse momento houve uma inquietação de alguns alunos pois queriam que o professor

desse logo a resposta, salientando que nas aulas de matemática o professor tem que

explicar logo o assunto e passar exercício. Então foi justificado que o objetivo da

metodologia era fazer com que o aluno estivesse construindo os conceitos a partir da

análise das questões. E tomando como exemplo a colocação do aluno 1 foi feita a

definição de desigualdade apresentando os sinais de (< e >)

Num segundo momento, quando os alunos já tinham compreendido a definição de

desigualdade, buscando trabalhar os princípios de equivalência, foi levada para a sala

54

uma balança com a qual estudou-se o princípio aditivo através da manipulação da

mesma. De início chamou-se um aluno para procurar dois objetos de pesos iguais e

colocá-los nos pratos da balança enquanto os demais observariam o resultado

verificando se a situação representava uma igualdade ou uma desigualdade e todos

responderam que se tratava de uma igualdade, então foi questionado aos alunos sobre

o que eles poderiam fazer para transformá-la em uma desigualdade. Esta atividade foi

um pouco longa pois todos os alunos tiveram a oportunidade de dar a sua opinião, pois

segundo Rabelo (2002) é importante que o professor dê espaço para ouvir as soluções

dos alunos numa dada situação. Após a discussão dos alunos chegou-se à conclusão

que para transformar a sentença em uma desigualdade uma parte da balança teria que

ficar mais baixa que a outra e para isto bastava adicionar um objeto em um dos pratos.

Em seguida foi solicitado que outro aluno viesse até a balança e adicionasse dois

objetos de pesos iguais em ambos os pratos, enquanto os demais anotavam qual o

lado que ficaria mais baixo. Este processo foi feito repetidas vezes até que os alunos

descobrissem que os pratos da balança não mudavam de posição e relacionasse esse

fato ao princípio aditivo, podendo assim criar uma regra a partir das observações.

Após a exploração com a balança foi entregue a atividade (02)3, a qual tinha por

objetivo criar uma regra para o princípio multiplicativo. Nesta atividade houve um

impasse pois os alunos seguiram os passos sugeridos e criaram a regra, no entanto ao

transcrevê-la não conseguiam estruturar seus pensamentos. Mostrando assim que os

alunos não estão acostumados a escrever nas aulas de matemática como é ratificado

por Smole & Diniz (2001) quando dizem que: “Há alunos que não estão acostumados a

escrever nas aulas de matemática e que inicialmente estranham a solicitação desse tipo

de atividade” (p.42). Mas mesmo com dificuldade para estruturar as regras alguns

alunos conseguiram criá-las de maneira lógica, como mostra essa resposta de um

aluno:

3 A atividade aqui citada encontra-se em anexo III

55

Figura 16: regra criada por um grupo

Os resultados desta atividade serviram para comprovar que a aprendizagem torna-se

mais significativa quando o aluno manipula as informações como foi colocado no nosso

problema de pesquisa.

Depois de ter definido todos os conceitos que envolvem a desigualdade, trabalhamos

com a atividade(04)4, buscando a definição de inequação. Com esta atividade pudemos

perceber que os alunos já estavam mais acostumados a escrever suas descobertas de

maneira estruturada pois os mesmos criaram estratégias para resolver a atividade.

Evidenciando assim um melhor desenvolvimento no processo de aprendizagem.

Parafraseando esse pensamento Ponte (2005) diz: “Ao requerer a participação do aluno

na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu

envolvimento na aprendizagem” (p. 23)

A atividade de inequação apresentava um problema que a partir das informações do

mesmo os alunos iriam montar a inequação, como veremos a seguir:

Um pote de sorvete, quando totalmente cheio, pode conter m bolas de sorvete. Se

retirarmos 2 bolas, a quantidade que resta é menor que 3/5 da capacidade total desse

pote.

a) Combine com um colega a análise dessa situação e descubram qual a sentença

matemática que expressa esse fato.

4 ver em anexo III

56

Figura 17: esquema montado por um grupo para interpretar o problema

Com essa resposta percebe-se que os alunos montaram um esquema para transcrever

a interpretação do problema, utilizando-se de desenhos e da idéia de fração. Porém ao

transformar a expressão 3/5 de m em uma sentença matemática não perceberam que

se tratava de uma multiplicação e acabaram colocando como uma subtração. Sobre a

utilização de conhecimentos adquiridos anteriormente na resolução de problemas,

Rabelo(2002) diz:

É importante enfatizar que, embora o aluno possa aprender conteúdos novos ao resolver problemas, é preciso que ele já tenha algum conhecimento matemático pertinente ao problema a ser resolvido. Por outro lado a minha prática mostra também que apenas possuir conhecimentos matemáticos não é suficiente. ( RABELO,2002. p.26)

b) O que há de diferente nessa sentença?

Figura 18: resposta

O termo “variável” já era conhecido pela turma pois já tinham trabalhado com equação e

apesar de geralmente trabalharem com a letra x para representar o termo

desconhecido, reconheceram a letra m como uma variável. Porém ao colocarem que a

57

fração também representa algo diferente, subentende-se que os mesmos não

costumavam trabalhar com fração.

Após a apresentação das descobertas dos alunos foi explicado que quando tínhamos

uma desigualdade com uma variável, esta se denominava inequação. Essa informação

foi dada por nós, pois era a primeira vez que os alunos tinham contato com termo

“inequação”, não sendo possível os mesmos chegarem ao termo através da atividade.

c) Determine os possíveis valores para m.

Figura 19: resolução da inequação

Como tinham montado um membro da inequação de forma equivocada, não

conseguiram chegar ao resultado correto, demonstrando também a pouca afinidade

com a fração pois ao tirarem o mmc trabalharam com apenas de um membro da

inequação. Mas mesmo com a resposta errada percebe-se que o conceito de

inequação foi entendido. Então para dar continuidade fizemos uma discussão sobre a

representação da expressão 3/5 de m reformulando a inequação recordando algumas

informações importantes para o desenvolvimento da aula. A respeito disso, Ponte(2005)

coloca:

Na condução da aula, o professor tem de estar atento a aspectos característicos do processo investigativo, bem como a outros de natureza mais geral. O apoio a conceder pelo professor assume varias formas: colocar questões mais ou menos diretas, fornecer ou recordar informações relevantes, fazer sínteses e promover a reflexão dos alunos. (PONTE, 2005. p.52)

58

Com esse grupo senti uma maior pressão, pois a atividade investigativa demanda

tempo e como as atividades foram desenvolvidas na aula da professora tinha que

seguir o planejamento da escola, surgindo assim a tensão entre o objetivo da pesquisa

e o cumprimento do calendário da escola. No entanto o nosso objetivo foi alcançado,

pois as atividades proporcionaram aos alunos uma maior participação nas aulas,

desenvolvendo atitudes como argumentar, interpretar e trabalhar em grupo, aptidões

estas que ajudam não só na construção dos conceitos matemáticos, mas também sua

vida social.

Após o desenvolvimento das atividades com o G2, como foi proposto no problema de

pesquisa, partiu-se o último momento do estudo, o qual foi desenvolvido na Escola

Professora Maria do Carmo de Araújo Maia, utilizando o conteúdo de potenciação.

4.2.3 DANDO SIGNIFICADO ÀS REGRAS DE POTENCIAÇÃO

A proposta para este grupo era trabalhar com potenciação de números inteiros, mas

inicialmente foram colocadas algumas questões para introduzir o assunto de

potenciação e diagnosticar o que eles lembravam do conteúdo. A mesma tinha uma

tabela onde foi solicitado aos alunos que a respondessem e junto com um colega

analisassem e anotassem os resultados. Porém os meninos não estavam acostumados

a trabalhar em grupo, eles sentiram dificuldades para fazer a análise e a maioria veio

até o professor perguntar o que era para fazer. A respeito disso, Ponte (2005) diz:

A situação mais familiar na aula de Matemática é a procura de respostas para a questão colocada pelo professor, o que pode levar os alunos a serem mais afirmativos do que interrogativos. (PONTE, 2005.p. 48)

A atividade mencionada acima é a que segue:

59

1º). Combine com um colega a realização desta atividade. Cada um deverá reproduzir em seu caderno a tabela e preenchê-la. Depois discutam os resultados.

x 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Das análises dos alunos temos:

Dupla 01:

Figura 20: análise da tabela

Essa observação lembra a definição de multiplicação, isto é, a soma de parcelas iguais.

A dupla 02 apresentou uma descoberta interessante quando coloca que a primeira

linha e a primeira coluna têm o mesmo resultado da coluna e da linha principal.

Dupla 02:

Figuras 21: análise da tabela

60

Já a terceira dupla como podemos verificar, apresenta respostas um pouco confusas

não ficando claro o que queriam dizer ao escrever “somatória”.

Dupla 03:

Figuras 22: análise II

Apesar de fazer diferenciação entre números ímpares e pares os mesmos não

perceberam que existiam colunas compostas somente com números ímpares e outras

com números pares, mostrando assim que a análise foi feita artificialmente. E isto fica

evidenciado nas respostas das outras duplas. As duas últimas questões tinham a

intenção de que os alunos descobrissem a relação com a potenciação,no entanto

nenhuma dupla fez alguma análise nesse sentido. Percebendo que as respostas

estavam um tanto soltas, partimos para uma análise da atividade com toda a turma

retomando principalmente às últimas questões onde foi solicitado aos alunos que

ditassem os números que estavam na diagonal desenvolvendo-se o seguinte diálogo:

Aluno 01 – os números são um, dois, quatro, nove, dezesseis e vinte e cinco;

Professor – E o que vocês fizeram para chegar a esse resultado?

Aluno 02 – No primeiro foi uma vezes um, no segundo dois vezes dois e assim por

diante;

Professor – Então os resultados são obtidos a partir da multiplicação de um numero por

ele mesmo?

Aluno 03 – Sim;

61

Professor: E como podemos representar essa operação? Alguém pode vir colocar aqui

no quadro?

Um aluno veio ao quadro e escreveu os seguintes exemplos:

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

Professor – Muito bem, mas será que só existe essa forma para trabalhar com números

iguais?

Aluno 02 – É professora, pois com outra operação não dá o mesmo resultado:

Professor – Será? Vamos tentar descobrir outra maneira?

Segundo Ponte (2005) numa aula investigativa quando os alunos se confrontam com

dúvidas é importante que o professor coloque algumas questões levando-os a pensar

melhor sobre o seu problema.

Nesse momento todas as duplas vieram ao quadro e foram feitas várias tentativas

como:

Dupla 01: m = 3 Dupla 02: 18/9 = 2

k = 9

m + k = 12

Dupla 03: √9 = 3

Professor – Muito bem, estamos no caminho certo, mas por que vocês sabem que raiz

quadrada de nove é três?

Dupla 03 – não sei.

Dupla 04 – Há! É porque três elevado ao quadrado da nove;

Após esta descoberta os alunos perceberam que se tratava de uma potenciação, e que

os números da diagonal poderiam ser obtidos com uma potência de expoente dois.

62

Então o aproveitou-se para explicar que esse seria o assunto trabalhado durante os

encontros.

Com a análise dessa atividade percebe-se que os alunos não estão acostumados a

refletir sobre o que estão fazendo e que para eles era mais cômodo uma atividade onde

pudessem utilizar uma regra e responder as questões. Por isso a nossa intervenção foi

importante para despertar nos alunos a criatividade e o espírito de questionamento,

aptidões necessárias para o bom andamento de uma atividade investigativa.

Como através da atividade anterior percebeu-se que os alunos não lembravam do

assunto de potenciação com números naturais, optou-se por trabalhar primeiro com as

propriedades de potenciação já que precisaríamos das mesmas para o estudo com os

números inteiros. Para isto foi elaborada a atividade (02)5, onde a turma foi dividida em

trios, processo no qual enfrentamos algumas dificuldades pois alguns alunos não

queriam trabalhar em grupo e quando questionados o por que da resistência, um aluno

respondeu: “a gente tem uma opinião o outro tem outra ai fica um impasse”. Então se

fez necessário explicar que no nosso dia -a- dia estamos sempre precisando de outras

pessoas e que o objetivo da atividade em equipe era exatamente para que todos

pudessem estar expondo suas opiniões e assim o grupo estruturar melhor a resposta

da atividade. Mas no final todos aceitaram o trabalho em grupo, exceto uma menina

que dentro de instantes respondeu a atividade sozinha sem pensar nas suas respostas.

A primeira questão da atividade 02 tinha por objetivo desfazer uma confusão que os

alunos costumam cometer quando estão estudando potenciação que é confundir a

potenciação com a multiplicação, ou seja: confundem b² com b x 2. Portanto foram

colocadas algumas questões desse tipo pedindo que os mesmos resolvessem,

observassem os resultados e anotassem as conclusões. E analisando a atividade

detectamos que a maioria dos grupos respondeu que os resultados eram iguais. Os

números utilizados na atividade eram os seguintes:

5 ver em anexo IV

63

1º) Vamos resolver as seguintes questões: a) 3 x 2 =

b) 3 ² =

c) 3 x 3 =

d) 3³ = Os resultados são iguais? Justifique.

Figura 23: resposta apresentada por um grupo

Essa resposta mostra que de fato, é comum os alunos multiplicarem a base pelo

expoente para encontrar o resultado, não percebendo assim que a potenciação trata-se

de uma multiplicação de fatores iguais.

Na segunda questão foram colocadas as situações com as respostas para que os

alunos pudessem observar a regularidade entre as mesmas e criar uma regra para

cada situação. Pois como nos coloca Rabelo (2002):

Quando a ação pedagógica possibilita ou facilita ao aprendiz relacionar as novas informações a conceitos que ele já possui, os novos elementos de conhecimento aprendidos poderão ser distribuídos de forma significativa e relacionados de maneira não arbitrária na sua estrutura de conhecimento. (RABELO, 2002.p.56).

Pelas respostas percebe-se que os grupos identificaram as regularidades, mas alguns

tiveram dificuldade na hora de escrever as regras como podemos ver na resposta que

segue:

64

Figura 24: construindo as regras

Outros estruturaram melhor suas respostas escrevendo assim as regras de maneira

mais lógica.

Figura 25: regras elaboradas por outro grupo

Apesar de cometerem alguns erros na hora de transcrever as suas conclusões, os

resultados dessa atividade foram interessantes ficando evidenciado que os alunos já

estavam mais familiarizados com a metodologia e que demonstravam prazer no que

estavam fazendo, pois ao invés de utilizarem a regra para encontrar o resultado, os

mesmos utilizavam as respostas para chegarem à descoberta dessas regras dando

assim significado no que estavam estudando.

65

A terceira atividade6 apresentava duas tabelas, uma com potências de base positivas e

outra de bases negativas onde foi solicitado aos alunos que resolvessem as tabelas e

em seguida respondessem as questões. Nesta atividade já se percebia um domínio

maior sobre o assunto e um pensamento lógico mais rápido na resolução da atividade.

Um fato que chamou a atenção foi a atitude de uma aluna que tinha feito a atividade

anterior de maneira artificial, pois a mesma demonstrou um empenho maior com essa

atividade e foi a primeira a perceber que se existisse um número par de sinais o

resultado seria positivo, utilizando essa informação para resolver a atividade. Como

podemos perceber com a observação que a mesma fez na parte inferior de sua

atividade depois de resolver as tabelas.

Figura 26: observação feita por uma aluna ao responder a tabela

Já os outros demoraram mais, pois foram multiplicando e fazendo o jogo do sinal,

apresentando assim um maior número de erros. E só conseguiram fazer a observação

que a aluna fez, depois de resolverem as primeiras questões da atividade que pedia

para se atentarem aos expoentes pares e impares respectivamente, o que facilitou na

construção da regra apresentada pelos mesmos como podemos verificar na resposta a

seguir:

6 ver em anexo IV

66

Figura 27: regra sobre potenciação de números inteiros, elaborada por um grupo.

Após a resolução da atividade foram apresentadas as conclusões de cada dupla

acompanhadas da análise conjunta das respostas, discutindo assim a relação entre o

sobrar um sinal, hipótese levantada por algumas duplas, e o expoente impar. De acordo

com as respostas dos alunos, para termos um resultado negativo bastava que o

expoente fosse impar, então fizemos o seguinte questionamento:

Professor – E se tiver 2³ o resultado vai ser negativo?

Aluno 13 – Não

Professor – Mais o expoente não é impar?

Aluno 01 – É mais a regra é para um número negativo;

Professor – Há ! então vamos organizar essa regra que vocês fizeram?

Aluno 02 – Não dá não professora;

Professora – Será ? Vamos analisar, + 2³ é igual a quanto?

Alunos – mais 8

Professora – E ( -2³) dá quanto?

Alunos – menos 8

Aluno 03 – Há! Então fica o sinal da base!

Professora – Isso, então como vai ficar a regra?

Nesse momento foram dadas várias sugestões e organizando as respostas a regra foi

formulada da seguinte forma:Todo número elevado a um expoente impar o sinal do

resultado é igual ao sinal da base.

Como podemos perceber os alunos ao responderem a atividade, criaram algumas

conjecturas, porém se atentaram ao fato de uma base negativa, esquecendo-se do que

67

aconteceria quando a base fosse positiva. A respeito de situações como esta na aula

investigativa Ponte (2005) diz:

O teste de conjecturas é um aspecto do trabalho investigativo que os alunos, em geral, interiorizam com facilidade... No entanto, existe uma tendência dos alunos para aceitarem as conjecturas depois de as terem verificado apenas num número reduzido de casos. Essa forma de encarar o teste de conjectura pode ser combatida pelo professor, quer no apoio que concede aos grupos, quer na fase da discussão em que os alunos são podem ser estimulados a procurar contra-exemplos. ( PONTE 2005 p. 33)

Com essa atividade percebe-se uma maior participação por parte dos alunos, bem

como uma melhor organização em suas respostas, facilitando assim a compreensão

dos conteúdos. Ficando portanto evidente um desenvolvimento processual das aptidões

que a aula investigativa proporciona aos alunos no decorrer das atividades.

Diante de toda a prática que foi desenvolvida verificamos que a aula investigativa no

ensino fundamental, especificamente na 6ª série, contribuiu positivamente para a

construção dos conceitos matemáticos, possibilitando uma aprendizagem significativa e

envolvente, visto que suscitou nos alunos o pensamento crítico e de questionamento

diante das aulas de matemática, desenvolvendo portanto atitudes como: explorar,

argumentar, justificar,organizar dados e pensar matematicamente. Portanto a aula

investigativa aparece como uma relevante ferramenta para o processo de ensino-

aprendizagem dos conceitos matemáticos.

68

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com as constantes transformações provocadas pela globalização, é cada vez mais

gritante a necessidade de que o indivíduo desenvolva posturas reflexivas e analíticas

no exercício da cidadania, e a escola é ainda um dos principais instrumentos para o

desenvolvimento do pensamento crítico tão necessário hoje em dia. Pois a todo

instante precisamos estar criando estratégias para resolver os problemas do nosso dia-

a-dia.

Nesta perspectiva, através dessa pesquisa, analisamos o uso da atividade investigativa

com alunos do ensino fundamental, mais especificamente com alunos de 6ª série, onde

procuramos resposta para a questão da pesquisa que era identificar, ou não, as

contribuições que a aula investigativa traz para o processo de aprendizagem da

Matemática. Para isto tínhamos como objetivos refletir sobre a aula investigativa na

construção dos conceitos matemáticos e analisar o avanço na aprendizagem dos

alunos através dessa metodologia, observando de que forma a mesma pode promover

uma aprendizagem significativa, bem como as aptidões desenvolvidas pelos alunos no

decorrer desse processo, construindo assim uma imagem da Matemática como algo

agradável e necessário no nosso dia-a-dia.

De acordo com os dados coletados e a experiência vivenciada pode-se notar que de

fato, como foi mencionado na problematização deste trabalho, os alunos não estão

acostumados a participar ativamente das aulas de matemática, o que em alguns

momentos dificultou o trabalho aqui desenvolvido, pois durante as atividades houve

uma inquietação por parte dos alunos na espera de respostas prontas. No entanto

confirmamos também que os alunos demonstram mais interesse com a aula e

conseqüentemente com os conteúdos quando são desafiados. Notou-se também que

os conceitos matemáticos são mais compreendidos quando ao invés de apenas

memorizar, o aluno tem a oportunidade de pensar critica e matematicamente sobre o

que está estudando.

69

Apesar das dificuldades verificamos que o aluno é capaz de desenvolver estratégias

diante de uma situação-problema, fazer descobertas, construir coletivamente os

conceitos matemáticos e argumentar com seus colegas e professor, fazendo, portanto,

a mudança do paradigma do exercício para o paradigma da investigação matemática.

Destacamos a metodologia de Aula Investigativa como um instrumento eficaz na

aquisição dos conceitos matemáticos. Pois após o envolvimento dos alunos com as

atividades desenvolvidas, percebemos que os mesmos começaram a externar suas

idéias, fazer e analisar descoberta e discutir coletivamente.

Então analisando e avaliando o presente estudo pudemos confirmar que os objetivos

foram alcançados, considerando que durante o trabalho os alunos desenvolveram

aptidões importantes não só para o estudo dos conceitos matemáticos, mas também

necessários para a sua vida cotidiana.

No entanto vale ressaltar que o trabalho com atividades investigativas exige do

professor dedicação e muita reflexão sobre o trabalho realizado em sala de aula,

atitudes essas que nem sempre são utilizadas pelos professores devido às condições

de trabalho as quais são submetidos, que segundo Geraldi (2001) para conseguir

equilíbrio econômico o professor amplia sua jornada de trabalho, trabalhando os três

períodos do dia e isso dificulta o desenvolvimento de atividades como esta. Porém

mesmo diante dos obstáculos torna-se fundamental repensar nossas atitudes para

conseguirmos melhores resultados diante do desafio de educar.

Diante de todo o exposto, esperamos contribuir significativamente para as estratégias

de ensino dos nossos docentes, incentivando-os a experimentarem na prática, o uso da

Aula Investigativa como ferramenta para oferecer aos alunos a possibilidade de

desenvolverem a criatividade e a comunicação na sala de aula de modo a

desenvolverem uma aprendizagem significativa.

70

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de cálculo diferencial e integral. Dissertação de Mestrado. Mestre em educação.

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medicas, 1995.

73

APÊNDÍCE A: Questionário utilizado com os três grupos

74

QUESTIONÁRIO Este questionário servirá de material de pesquisa para monografia, por isso solicitamos a sua colaboração. OBRIGADA! 1º) Na sua opinião o que é preciso para aprender matemática? ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ 2º) Descreva o que acontece na aula de matemática. ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ 3º) você gosta de resolver problemas de matemática? Porque? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

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APÊNDÍCE B: Atividades realizadas com o grupo 01 (G1)

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ATIVIDADE INVESTIGATIVA 01

DESCOBRINDO OS NÚMEROS INTEIROS EXPLORANDO UMA TABELA DE FUTEBOL

Campeonato Brasileiro - Classificação - Ano: 2006

Atualizado em 03/12/2006 - 20:07 Pos. Equipe PG J V E D GP GC SG 1º São Paulo-SP 78 38 22 12 4 65 32 33

2° Internacional-RS 69 38 20 9 9 52 36 16

3º Grêmio-RS 67 38 20 7 11 64 45 19

4º Santos-SP 64 38 18 10 10 58 36 22

5º Paraná-PR 60 38 18 6 14 56 46 10

6º Vasco da Gama-RJ 59 38 15 14 9 57 50 7

7º Figueirense-SC 57 38 15 12 11 52 43 9

8º Goiás-GO 55 38 15 10 13 63 49 14

9º Cruzeiro-MG 53 38 14 11 13 52 45 7

10º Flamengo-RJ 52 38 15 7 16 44 48 -4

11º Botafogo-RJ 51 38 13 12 13 50 50 0

12º Corinthians-SP 50 37 14 8 15 36 43 -7

13º Atlético-PR 48 38 13 9 16 58 62 -4

14º Juventude-RS 45 38 12 9 17 43 54 -6

15º Palmeiras-SP 45 38 12 9 17 58 69 -11

16º Fluminense-RJ 45 38 11 12 15 48 58 -10

SIGNIFICADO DAS SIGLAS: PG - Pontos Ganhos; J - Jogos; V - Vitórias; E - Empates;

D – Derrotas; GP - Gols pró; GC - Gols contra; SG - Saldo de gols.

EXPLORANDO A TABELA

1 – olhe a tabela, analise de acordo com sua curiosidade.

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2 – Escreva tudo que chamou a sua atenção.

ATIVIDADE INVESTIGATIVA 02

RETA NUMÉRICA

Trabalhar adição e subtração

1- Desenhar uma reta numérica em papel madeira e colocar no centro da sala.

2- Dividir a turma em trios, onde um membro do trio anda sobre a reta sob o

comando de um segundo membro (exemplo: ande mais três casas, volte duas

casas, etc.), e o terceiro anota os passos do colega;

3- Discutir as operações trabalhadas e o resultado final da apresentação de cada

trio;

4- Ao final de todas apresentações discutir todos os resultados.

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 03

DOMINÓ COLORIDO

As regras de sinais nas operações com número inteiros, em geral, causam dificuldades de aprendizagem aos alunos, ocasionando seqüelas no desenvolvimento futuro de conceitos, principalmente no que se refere à multiplicação de dois inteiros negativos. Com esta atividade, estas dificuldades podem ser trabalhadas, usando-se de materiais concretos, afim de que os alunos construam e dêem significado às regras de sinais. Utilizaremos, nesta atividade, um jogo de dominó que possui fichas positivas (azuis) e fichas negativas (vermelhas). Combina-se com o aluno que uma ficha de dominó vermelha anula uma ficha azul e vice-versa. REPRESENTAN DO OS NÚMEROS INTEIROS Como representar o número zero? Basta colocar 2 fichas de cores diferentes juntas. Isto pode ser feito repetidas vezes. Assim, colocando-se números iguais de fichas azuis e vermelhas, elas se anulam duas a duas, formando os “zeros”.

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Como representar o número (3)?

Podemos representar o número (+3) utilizando três fichas azuis, ou cinco fichas azuis e duas vermelhas, ou 10 fichas azuis e sete vermelhas e assim por diante. Como representar o número (–2)?

Podemos representar o número (-2) utilizando 2 fichas vermelhas, ou dez fichas vermelhas e oito azuis e assim por diante. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Adição Inicialmente o professor deve lembrar os vários significados para a palavra adição ou adicionar, inclusive a idéia de juntar, que será a idéia utilizada nesta etapa. Exemplo: (–3) + (+6)

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devemos juntar 3 fichas vermelhas com 6 fichas azuis. E agora? Lembre–se que ao juntarmos uma peça azul com uma vermelha, elas se anulam e podem ser separadas. Então ficaremos com 3 fichas da cor azul, ou seja, (+3). Teremos a seguinte situação:

Logo restarão 3 fichas azuis Questões: 1) Queremos adicionar (+ 3) com (+ 6), ou seja, devemos juntar 3 fichas azuis com 6 fichas azuis. No total, quantas fichas azuis teremos? Resposta: Teremos 9 fichas azuis (+9). 2) Queremos adicionar (-3) com (-6), ou seja, devemos juntar 3 fichas vermelhas com 6 fichas vermelhas. Ao todo, quantas fichas vermelhas teremos? Resposta: Teremos 9 fichas vermelhas (-9). 3) Qual o resultado da seguinte operação: (+3) + (-6)? Resposta: Devemos juntar 3 fichas azuis com 6 fichas vermelhas: E como uma ficha azul anula uma vermelha e vice-versa, temos como resultado da adição 3 fichas vermelhas ,ou seja, (-3). Subtração Discutir o significado da subtração, que é “retirar”. (–3) – (+2) E agora? De que forma iremos retirar 2 fichas azuis das 3 fichas vermelhas que temos?Usaremos o recurso de “colocar zeros”. Mas o que é colocar zeros? É acrescentar fichas azuis e vermelhas em quantidade igual! Veja a situação:

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Observe que temos que retirar duas fichas azuis, mas só temos 3 fichas vermelhas. Precisamos, portanto criar fichas azuis. Para isso, devemos criar “zeros”, acrescentando, por exemplo, 3 fichas vermelhas e 3 fichas azuis. Logo, como resultado, obtemos a seguinte situação: Temos agora, no total, 6 fichas vermelhas e 3 fichas azuis. Devemos retirar 2 fichas azuis. Fazendo esta retirada, obtemos: Veja que restam ainda um par (uma ficha vermelha e uma azul) e mais 5 fichas vermelhas. Essas 2 fichas do par se anulam, podendo ser retiradas, sobrando assim as outras 5 fichas vermelhas. Logo a resposta será (–5). Uma dúvida muito comum se dá quanto às quantidades de fichas usadas no momento de se determinar os zeros. O número de fichas pode variar de acordo com sua vontade, não se esquecendo de que para cada nova ficha azul devemos ter uma vermelha e vice-versa. Questões: 4) Queremos fazer: (+3) – (+2), ou seja, de 3 fichas azuis queremos tirar 2 fichas azuis. Com quantas fichas azuis ficaremos? Resposta: Ficaremos com 1 ficha azul (+1). 5) Queremos fazer agora: (–3) – (-2), ou seja, de 3 fichas vermelhas queremos retirar 2 fichas vermelhas. Com quantas fichas vermelhas ficaremos? Resposta: Ficaremos com 1 fichas vermelha (-1). 6) Qual o resultado de : (+3) – (-2)? Resposta: Observe que temos que retirar duas fichas vermelhas, mas só temos 3 fichas azuis: Precisamos criar fichas vermelhas, sem alterar a situação inicial. Para isso, devemos criar “zeros”:

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APÊNDÍCE C: Atividades realizadas com o grupo 02 (G2)

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 01

Analise as seguintes sentenças.

A) Salvador é a capital da Bahia.

B) Cinco mais sete é igual a doze

C) João é muito alto.

D) Duas vezes três é igual a oito.

E) Sete elevado ao quadrado é menor que vinte e cinco.

1_ Quais são sentenças matemáticas?

2_ Escreva as sentenças matemáticas usando algarismos.

.3_ como representar uma sentença falsa?

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 02

1_CONSIDERE A SEQUINTE DESIGUALDADE.

10 ---- 7

a) qual é o termo maior?

b) Pegue essa desigualdade e multiplique por um número positivo. Qual o maior

termo?

c) Se você multiplicar por um número negativo, muda alguma coisa? o que?

d) Agora multiplique a sentença: -10 < -7 também por um número negativo. Fica uma

sentença verdadeira ou falsa

e) Crie uma regra envolvendo as observações que você fez na questão anterior.

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 03

Um pote de sorvete, quando totalmente cheio, pode conter m bolas de sorvete. Se retirarmos 2 bolas, a quantidade que resta é menor que 3/5 da capacidade total desse pote. a) Combine com um colega a análise dessa situação e descubram qual a sentença

matemática que expressa esse fato.

c) O que há de diferente nessa sentença? e) Determine os possíveis valores para m.

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APÊNDÍCE D: Atividades realizadas com o grupo 03 (G3)

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 01 1º). Combine com um colega a realização desta atividade. Cada um deverá reproduzir em seu caderno a tabela e preenchê-la. Depois discutam os resultados.

x 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

2º) depois da discussão organizem os dados e registre-os no espaço abaixo: 3º) Observando as colunas você pode ver alguma relação entre esses números? 4º) O que acontece com os números que estão na diagonal? 5º) Existe outra operação que você pode fazer entre dois números iguais para dar esses mesmos resultados? qual?

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 02 1º) Vamos resolver as seguintes questões:

e) 3 x 2 =

f) 3 ² =

g) 3 x 3 =

h) 3³ =

Os resultados são iguais? Justifique. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) VAMOS FAZER MATEMATICA? Crie uma regra para cada situação. 16 = 1 . 1. 1 . 1 . 1 . 1 = 1 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 REGRA__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2º = 1 30 = 1 90 = 1 4º = 1 REGRA__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 41 = 4 . 1 = 4 61 = 6 . 1 = 6 81 = 8 . 1 = 8 REGRA_____________________________________________________________________________________________________________________________

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ATIVIDADE DE INVESTIGAÇAO 03

A potenciação é uma operação matemática que substitui a multiplicação de fatores iguais. 1º) Vamos resolver essas operações?

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a)Observe as bases com expoente par, o que acontece com os resultado? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b)Agora observe as bases com expoente impar, o que acontece com os resultados? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) O que podemos concluir dos resultados das letras a e b ? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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