MONOGRAFIA DE GEOMETRIA
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ GILSON TELES ROCHA CONTRIBUIÇÕES DA GEOMETRIA NO APRENDIZADO DA MATEMÁTICA
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1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
GILSON TELES ROCHA
CONTRIBUIÇÕES DA GEOMETRIA NO APRENDIZADO DA MATEMÁTICA
MORRINHOS – CEARÁ
2
2010
GILSON TELES ROCHA
CONTRIBUIÇÕES DA GEOMETRIA NO APRENDIZADO DA MATEMÁTICA
Monografia /TCC apresentada ao curso da faculdade de educação ciências e letras do
sertão central (FECLESC) de Quixadá de licenciatura plena em matemática da
Universidade Estadual do Ceará como requisito parcial para a obtenção do grau de
licenciado em matemática.(ISSO NÃO É FEITO DESTA FORMA – VEJA A DO
MARCELINO)
Conceito obtido ___________________
Orientador: Professor Dr. Genário Sobreira Santiago
.
3
MORRINHOS – CEARÁ
2010
GILSON TELES ROCHA
CONTRIBUIÇÕES DA GEOMETRIA NO APRENDIZADO DA MATEMÁTICA
Monografia /TCC apresentada ao curso da faculdade de educação ciências e letras do
sertão central (FECLESC) de Quixadá de licenciatura plena em matemática da
Universidade Estadual do Ceará como requisito parcial para a obtenção do grau de
licenciado em matemática.(IDEM ANTERIOR)
Conceito obtido ___________________
Nota obtida: ___________________
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________
Prof. Dr. Genário Sobreira Santiago
Universidade Estadual do Ceará
Orientador
______________________________________________
Prof. Ms. Francisco César Aires
Universidade Estadual do Ceará
4
Dedicatória
5
Dedico esta monografia a Deus que me deu a oportunidade maravilhosa, pois se não
fosse tanta força do Senhor Deus eu teria desistido do curso.
AGRADECIMENTOS
A Deus que me deu a oportunidade maravilhosa para perseverar nos estudos. A
força dos professores César Aires, Genário Sobreira, a minha tia Beti, a minha esposa
Raquel, que contribuíram muito comigo e acreditaram sempre na vitória e na conquista
desta batalha.
6
RESUMO
Neste trabalho procura-se investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos
do Ensino Médio com respeito à aprendizagem de Geometria. Como a Geometria faz
parte da Matemática, procurou-se inicialmente descobrir as concepções que os alunos
adolescentes formaram em relação a esta última, durante seu percurso escolar e os
fatores principais que permearam este processo. Em conseqüência, tem-se uma visão
de como metodologias aplicadas na construção do conhecimento, interferem no
desenvolvimento dos conteúdos da Matemática e de modo especial da Geometria.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................08
CAPÍTULO1. A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ...............................................................17
1.1 UMA MEDIDA PARA VIDA .....................................................................................17
1.1.1 O COPO COMO UNIDADE ...................................................................................18
1.1.2 ÂNGULOS E FIGURAS ........................................................................................18
1.1.3 PARA MEDIR SUPERFÍCIES ...............................................................................19
1.1.4 NOVAS FIGURAS .................................................................................................21
1.2 A GEOMETRIA CONTEXTUALIZADA ....................................................................23
1.3 A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA ........................................................................24
1.3.1 O ESTUDO DAS FORMAS: GEOMETRIA E NATUREZA ..................................28
1.3.2 A DOMINAÇÃO DA FORMA ................................................................................29
CAPÍTULO 2. O ENSINO DA GEOMETRIA NAS ÚLTIMAS DÉCADAS .....................31
2.1. POR QUE APRENDER GEOMETRIA? ..................................................................31
CONCLUSÃO ................................................................................................................34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................36
8
INTRODUÇÃO
Atualmente existe uma facilidade aparente de se tratar do universo matemático;
as situações cotidianas da sala de aula já não causam tanta surpresa, uma vez que
está mais fácil interagir a realidade com o conteúdo a ser ministrado.
A Matemática reveste-se de significado quando utiliza conceitos aplicáveis na
vida diária e ainda como suporte para as várias ciências: mesmo a alfabetização não se
efetua sem o domínio de conceitos matemáticos elementares.
As profundas mudanças sociais e tecnológicas como as que deram origem a
uma grande variedade de funções no mercado de trabalho, colocam a necessidade de
repensarmos as atitudes e estratégias ao aprendizado da Matemática.
Dessa forma é urgente recorrer a um ensino de Matemática, onde teoria e prática, conteúdo e forma integram-se para desenvolver o raciocínio lógico, a criatividade e o espírito critico, a partir do resgate da questão cultural, já que a Matemática é um bem cultural, constituído a partir das relações do homem com a natureza: ela é dinâmica e viva, fazendo parte da cultura dos povos. (SILVA, 1992)
O professor é convidado a inteirar-se quanto às inovações no ensino da
Educação Matemática, colaborando assim para uma nova visão dos seus alunos
perante esta disciplina.
O processo de formação do docente da matemática deve ser cada vez mais
contínuo e contextualizado com a realidade de seus alunos.
A matemática contextualizada vem ao encontro de uma melhor aprendizagem e
principalmente compreensão dos conteúdos estudados, ressaltando a necessidade
docente em capacitar-se e profissionalizar-se no campo no qual ele atua.
9
A sociedade necessita de indivíduos que sejam capazes de dominar as
tecnologias inovadoras e produzir outras, que estejam sempre preparados para as
contínuas mudanças, tendo como meta uma sociedade mais igualitária e o bem-estar
de seus membros.
Compreender a cidadania como participação social e política, assim como o exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando, no dia a dia, atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio as injustiças, respeitando o outro e exigindo para si mesmo respeito. (P2 MATEMÁTICA, 1999).
Assim como em uma expressão algébrica, onde os valores combinam-se entre si
por meio de operações matemáticas para se chegar a um total, uma série de variáveis
influi no ensino da Matemática em sala de aula. Os maiores desafios, no entanto são: o
embasamento teórico, o interesse, a compreensão da linguagem formal e as
metodologias aplicadas. Alia-se a isso o binômio indissociável em didática: “o que
ensinar?“ e “para que ensinar?”.
Portanto, a contextualização deve ir ao encontro das dificuldades dos
educandos, sanando seus problemas utilizando estratégias que conheceu ou
desenvolvendo outras. Cientes dessas dificuldades, educadores não medem esforços
no sentido de explorar a interdisciplinaridade e a possibilidade de contextualização
própria da Matemática. Revela-se uma Matemática de raciocínio encadeada, estruturas
abstratas e resultados incontestáveis, provocando atitudes de admiração em algumas
pessoas, mas assustando e afastando tantas outras.
A criatividade se faz indispensável na atuação docente, deve-se valorizar novas
estratégias diversificadas que vão de encontro às metodologias conservadoras
auxiliando assim a compreensão do aluno.
Para Galileu Galilei(COLOCAR ANOS DE NASCIMENTO E MORTE), a
Matemática era o alfabeto pelo qual Deus escreveu o universo, mas, para muita gente,
ela continua sendo um grande problema, no que diz respeito ao seu aprendizado (essa
incapacidade de lidar confortavelmente com as noções fundamentais de número
relacionadas ao estudo das formas e do espaço, de suas medidas e de suas
propriedades).
10
As necessidades cotidianas fazem com que os seres humanos desenvolvam
uma inteligência essencialmente prática, que permita reconhecer problemas, buscar e
selecionar informações, tomar decisões, e, portanto, desenvolver uma ampla
capacidade para lidar com situações do dia-a-dia.
Hoje se vive num mundo matematizado, sendo assim, é necessário que as
pessoas façam a sua experiência matemática e consigam incorporar este instrumento
na vivência cotidiana, percebendo a Matemática como uma linguagem de comunicação
de idéias que permite modelar a realidade e interpretá-la. O grande problema é que,
como inúmeros indicadores apontam as pessoas (os aprendizes) não estão
conseguindo fazer uma experiência minimamente satisfatória. Assim, as atenções se
voltam para a solução desta problemática.
Mas, se por um lado à problemática e as intenções são claras, uma questão
muito delicada são os caminhos a seguir para conduzir de forma equilibrada esse
processo, que apresenta aspectos conflitivos entre muitos elementos contrastantes,
como: o concreto e o abstrato, o particular e o geral, o formal e o informal, o útil e o
inútil, o prazer e o medo, o teórico e o prático, a mudança e a resistência, etc.
O homem não está só, está ligado a todos os homens e deve livremente projetar-
se para os outros, interagindo e construindo seu conhecimento tornando a matemática
apreciável pelo aluno que passa a relacioná-la com as situações práticas da vida.
Na Geometria, é possível conceber tarefas adequadas a diferentes níveis de
desenvolvimento e que requerem um número reduzido de pré-requisitos. No entanto, a
sua exploração pode contribuir para uma compreensão de fatos e relações geométricas
que vão muito além das simples memorizações e utilização de técnicas para resolver
exercícios tipo. Todos sentimos, no nosso dia-a-dia, que há mudanças profundas em
toda a sociedade: nas relações trabalhistas, sociais, éticas, religiosas e, como
conseqüência, na relação Escola- Sociedade. Para que esta transformação aconteça
de uma maneira humana, justa e democrática, precisamos formar cidadãos
conscientes, críticos e inovadores e não apenas de mão-de-obra qualificada.
11
O saber pensar matemático se tornará possível quando a matemática for
trabalhada de forma criativa, crítica e contextualizada. O quê e o como fazer precisam
ser repensados tendo-se em vista para que e o quando fazer educação matemática.
O fato de o conhecimento ter passado a ser recurso fundamental na sociedade
pós-industrial cria novas dinâmicas sociais, econômicas, políticas e traz também novos
desafios educacionais.
No campo específico da psicologia da educação, há regiões ainda inexploradas;
há, sobretudo, questões exigindo pesquisas, questões que anseiam por soluções,
normalmente ligadas à qualidade do ensino. Este é um motivo freqüentemente citado
para justificar o mau desempenho dos alunos em Matemática.
Apesar das metodologias existentes, o desinteresse e o baixo rendimento dos
alunos em relação ao estudo da Matemática continuam e constituem uma preocupação
latente. Tradicionalmente a Matemática situa-se entre as disciplinas que mais reprovam
ou provoca evasão escolar, o que costuma acontecer nos três níveis de ensino.
A matemática carrega o estigma de ser considerada uma disciplina chata, difícil e
abstrata.
Muitas pessoas têm orgulho em manifestar ignorância em matemática. Poucos adultos admitem que foram fracos estudantes de história, mas muitos pais de alunos enunciam o fato de que nunca entenderam matemática..(JOHNSON & RISING, 1972).
Devemos também como educadores tentar desvincular a matemática do estigma
de bicho de sete cabeças, pois esse problema é que leva a matemática a ser uma das
matérias mais problemáticas do histórico escolar.
Portanto, o objetivo geral será de: Verificar os motivos das dificuldades em
Geometria e testar uma metodologia de trabalho com características diferenciadas para
tornar o aprendizado significativo e Analisar se a contextualização dos conteúdos pode
contribuir para a aprendizagem da geometria.
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O presente trabalho de pesquisa tem seu fundamento nos seguintes objetivos
específicos:
a) Investigarmos e analisarmos as causas que refletem desinteresse e
desmotivação em Geometria. A lacuna criada pela dificuldade de abstração do aprendiz
das Matemáticas, nas séries iniciais, permanece no Ensino Médio.
b) Propormos metodologias diferenciadas para o ensino de Geometria no Ensino
Médio e, como conseqüência, o desenvolvimento de recursos didáticos.
c) Verificarmos se o conteúdo aplicado está sendo trabalhado de acordo com o
cotidiano e a realidade do aluno.
d) Identificarmos o uso de recursos didáticos incluindo-se alguns materiais
específicos no processo ensino-aprendizagem da geometria de forma contextualizada.
A Geometria, surgida na Antigüidade por necessidades da vida cotidiana,
converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as
demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o
conhecimento do mundo e domínio da natureza.
Assim, na forma de intervenção, o modelo intercultural implica uma dialética em constante contradição, assegurando a diferença sem a sustentar. Desse modo, o interculturalismo implica reconhecer as diferenças e, também, fazer com que seja origem de inovações e situações de enriquecimento recíproco pela troca. (VIEIRA, 1995)
Aprender uma disciplina é encontrar seu sentido. É chegar a entender quais as
questões que ela propõe a respeito do mundo; os seus métodos e como esta disciplina
ajuda o ser humano a compreender-se mais e a compreender melhor o meio em que
vive (DEVELAY, 1996)
Logo, considerando-se os objetivos deste trabalho, ressaltam-se as seguintes
premissas:
Os processos de construção de significados, vinculados a uma Geometria
elementar, e colocados nas séries iniciais, foram internalizados e se servem de âncora
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para a aquisição de novos significados, o que pode acarretar um melhor ou pior
desempenho por parte do aluno aprendiz. Esses processos são complexos e
demorados, o que coloca a necessidade de um trabalho didático organizado.
O aprendiz adolescente não apresenta, em Matemática, uma metodologia de
estudo compatível e voltada para uma aprendizagem contínua, salvo raras exceções.
Não se ensina o aluno a estudar, nem se aumenta seu grau de concentração.
O ensino elementar da Matemática é deficiente. A falta da compreensão da
linguagem formal indica um nível de instrução que fica além do desejado.
O espaço para se fazer e estudar Matemática contribui de forma significativa
para o seu aprendizado. Como espaço entende-se o lugar onde se ministram as aulas,
os recursos didáticos utilizados e o número de alunos em classe.
É importante lembrar que a matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
sensibilidade estética e de sua imaginação.
Isso só vem para confirmar que, quando o estudante é desafiado a refletir e
discutir com o grupo o seu conhecimento, o seu desenvolvimento é muito mais
satisfatório. O interesse está diretamente relacionado a fatores psicológicos oriundos
das séries iniciais do ensino Fundamental, o que vai, em longo prazo, contribuir para a
indisciplina no ensino médio. Se o aluno está “sintonizado”, então aprende depressa e o
assunto é fascinante.
As necessidades cotidianas fazem com que os seres humanos desenvolvam
uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e
selecionar informações, tomar decisões, e, portanto, desenvolver uma ampla
capacidade para lidar com situações do dia-a-dia. Daí ser interessante citar algumas
formas de trabalhar problemas do cotidiano escolar, observando os aspectos relevantes
que têm causado dificuldades nos alunos no ensino-aprendizagem de matemática.
No amplo universo de conceitos, fatos e procedimentos sobre figuras
tridimensionais e bidimensionais, composição e decomposição, semelhança e
congruência, perímetros, áreas e volumes, o caráter dedutivo da geometria fica muitas
14
vezes pouco explicitado até mesmo nos cursos de licenciatura. Tendo origem no Egito
e na antiga Babilônia, com destaque para regras empíricas, mas viáveis, foi apenas
com os gregos que tais fatos e regras passaram a ser deduzidos de apenas alguns
deles. Euclides, por exemplo, escolheu um conjunto axiomas e dele derivou o influente
corpo de teoremas conhecido como geometria euclidiana. A idéia desse percurso de
construção dos conhecimentos geométricos estará presente no desenvolvimento desta
disciplina, que tem como finalidade ampliar os conhecimentos dos professores
mestrandos relativamente à Geometria, focalizando o estudo das transformações
geométricas e o estudo de argumentação e prova de fatos geométricos da geometria
euclidiana, em especial daqueles que fundamentam os assuntos geralmente
apresentados aos alunos do ensino médio.
O aluno tem na mente que o aprender é para passar de ano ou saber, para
satisfação pessoal, o que não gera motivação. O começo da aprendizagem deve ser a
conscientização no aluno adolescente da crescente complexidade da rede de
informações disponíveis para o ser humano e da necessidade de utilizar determinados
conhecimentos para a sua vida profissional.
A forma de apresentação de uma resolução de problema não pode ser
apresentada de maneira isolada e sim no conjunto de idéias que possam enriquecer e
transformar essas idéias numa forma que ajude o aluno a desenvolver o seu raciocínio
lógico. Para tanto, devemos despertar o aluno, para que leia textos que tenham
desafios, atividades de pesquisas, etc. É importante também que os alunos
compreendam cálculos simples, domine os algoritmos, utilizando ferramentas que
proporcionem a criatividade utilizando técnicas variadas de cálculos e estimativa,
adequando os cálculos aos diferentes contextos matemáticos.
“Na educação, estamos vendo um crescente reconhecimento da importância das
relações interculturais. Mas lamentavelmente, ainda há relutância no reconhecimento
das relações interculturais” (D’AMBROSIO, 2001)
Os professores sabem que muitos alunos do ensino médio quase não têm
projeto e que é difícil propor-lhes um. É preciso trabalhar com a realidade da
escolarização em massa. Qualidade e quantidade são pratos opostos na balança da
15
educação, quando se pretende suscitar nos alunos o desejo de saber e a decisão de
aprender.
“Os cansativos exercícios com algoritmos devem dar lugar às explorações
matemáticas e resolução de problemas”. Com atividades apropriadas, pode-se
desenvolver a capacidade e a confiança dos alunos em seus conhecimentos
matemáticos.
A abstração geométrica revela-se no tratamento de relações quantitativas e de
formas espaciais, destacando-as das demais propriedades dos objetos. A Geometria se
move quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-
relações.
Para demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e
cálculos. O uso de práticas que favoreçam o aprendizado passam pela motivação um
aluno motivado memoriza mais os conteúdos e a motivação por sua vez está ligada à
emoção. A emoção produz alterações hormonais e o disparo de estruturas biológicas,
que aumenta os processos neurológicos da memória, reforçando o acontecimento
central. Sem chegar aos efeitos de uma motivação intensa que alcança a emoção, o
aumento do nível de atividade pela motivação, isto é, o esforço, será observado
igualmente no nível de persistência do comportamento.
Os problemas de matemática devem envolver muito mais aspectos do que a
simples aplicação de operação. A educação, como sabe, deve estar voltada para o
desenvolvimento integral do ser humano, tornando-o apto a analisar e criticar o grande
volume de informações que recebe, para que possa selecionar aqueles que serão úteis
em sua vida diária.
A Geometria é componente importante na construção da cidadania, na medida
em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos
tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.
O encontro de novas atitudes, mais informativas do que avaliativas, tanto para os
alunos como para os professores, a fim de que os resultados negativos sejam utilizados
como informações para melhorar a aprendizagem e não como aprovação e ataque à
competência percebida.
16
Sem dúvida, o sucesso de um trabalho baseado na resolução de problemas
depende do professor. Cabe a ele preparar os alunos para atividades, estar alerta para
situações novas que possam surgir no dia-a-dia da escola, conhecer os interesses dos
educandos, saber diagnosticar o nível de conhecimentos e as habilidades de seus
alunos, visando estimular o desenvolvimento da capacidade do raciocínio lógico,
através de situações-problema que instiguem a curiosidade, enfim que levem os alunos
a pensar e cheguem às suas próprias respostas, num processo de elaboração do
conhecimento matemático. No ensino da Geometria, destacam-se dois aspectos
básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações
(esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com
princípios e conceitos geométricos. Nesse processo, a comunicação tem grande
importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a "falar" e a "escrever" sobre
Geometria, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a
aprender como organizar e tratar dados. O significado da Matemática para o aluno
resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e
seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas
matemáticos.
17
CAPÍTULO 1. A HISTÓRIA DA GEOMETRIA
Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento
dos astros. Um compasso antigo. Um velho esquadro e, sob ele, a demonstração
figurada do teorema de Pitágoras. Uma grande erva com desenhos geométricos e o
busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria.
Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao
sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que
depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.
CAPÍTULO 1. 1. UMA MEDIDA PARA VIDA
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as
necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas,
observar e prever os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades
humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as
antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto,
geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes
matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e
Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito
por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C.,
18
refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação
do Egito.
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que
inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola
pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em
mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de
um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das
ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições
admitidos sem demonstração (postulados ou axiomas) para construir de maneira lógica
tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais como o ponto, a reta e o círculo e
cinco postulados a eles referentes servem de base para toda a Geometria euclidiana,
útil até hoje, apesar da existência de geometrias não euclidianas baseadas em
postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.
1.1.1 O CORPO COMO UNIDADE
As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo
humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. quando na
Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos, seus
projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a
longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas
medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as
primeiras medidas oficiais de comprimento.
1.1.2 ÂNGULOS E FIGURAS
Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham
forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os
arquitetos a construírem muitos ângulos retos. Embora de bagagem intelectual
19
reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por
meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em
seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois
arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam
perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos. O problema mais comum
para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O
processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está
determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três
cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas
tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de
Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos
catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52,
isto é, 9+16=25. Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação
definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de
esquadros.
1.1.3 PARA MEDIR SUPERFÍCIES
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra
provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples
golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos
quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para
conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número
tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo:
multiplicar a base pela altura. Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais
seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um
quadrado ou um retângulo e dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o
quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área
dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal,
20
aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do
quadrado.
Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem
triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido
como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os
demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em
porções triangulares, cujas áreas somadas davam à área total. Esse método - em uso
até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos
curvos.
Terreno Plano
Figura 1.1
De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E
construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se
apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um
círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma
superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes
ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um
ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da Figura 1.1. O comprimento
dessa corda conhecido hoje como raio tinha algo a ver com o comprimento da
circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para
ver quantas vezes cabia nela, puderam comprova que cabia um pouco mais de seis
21
vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo.
Assim tiraram algumas conclusões:
a) O comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior
que o de seu raio;
b) Para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o
comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28. E a área do círculo? A história da
Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um
escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual
havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura. Conta à
tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a
área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo.
Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como
lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no
círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo
(atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo,
basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva
área por 3,14. Verificar o cálculo da área do círculo.
O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no
um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo π ("pi") representa esse número
irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais.
Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra
peripheria, significando circunferência.
1.1.4 NOVAS FIGURAS
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia.
Tales e seu discípulo Pitágoras coligiu todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da
Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática,
22
navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito
procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o
novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do
Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra
era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e
perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa
"muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio
de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros
aparelhos. O que não é de estranhar, desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria
sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos.
Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o
cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma
construção.
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, à distância de um barco até a
costa, recorria se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira
que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e
o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam
exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos
mediam 45º cada um, e, portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância
entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.
Distância de dois observadores até o barco
23
A importância da Geometria
Figura 1.2
O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é
também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o
instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado
pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isóscele. Basta
medir a sombra para conhecer a altura.
1.2 A GEOMETRIA CONTEXTUALIZADA
A Geometria pode ter um papel decisivo no ensino e na aprendizagem da
Matemática, pois permite resolver problemas do cotidiano e interfere fortemente na
estruturação do pensamento, levando à construção do conhecimento. As pesquisas
revelam que a maior dificuldade encontrada pelos alunos está em relacionar a
aplicação de conceitos à resolução de problemas. Diante deste fato, há uma urgência
em reverter à situação, cabendo ao professor dar o primeiro passo. Esse trabalho
consiste em orientar o professor para mudar sua prática pedagógica, utilizando como
método o estudo contextualizado da geometria. Para isso o professor deve estar ciente
que o aluno não é uma máquina de pensar, arquivar na memória e, mecanicamente,
seguir passos. Mas, pode e deve desenvolver seu próprio raciocínio naturalmente e
adquirir habilidades para pensar com independência. Para isso, é necessário que o
professor traga para a sala de aula os fatos que ocorrem fora da escola, ou seja, fatos
que rodeiam a vida do aluno. A geometria deverá estar contextualizada nestes fatos. O
aluno deverá ver a escola como um lugar para solucionar problemas de sua vida diária.
Assim, o ensino da geometria deverá ser interativo e o aluno não poderá ficar passivo,
uma vez que o aluno constrói conhecimentos a partir do mundo interior e assim, a
geometria assume papel de verdadeiro estabelecedor de estratégias pedagógicas. Por
isso é contra-senso impor ao aluno atividades de fora para dentro. Compete ao
24
professor propiciar situações de aprendizagem através de experimentos, situações
rotineiras para que o aluno sinta que a aprendizagem requer esforço pessoal que vem
somente do seu interior. Porém há problemas a serem enfrentados: falta de informação
e habilidade por parte dos professores, formação precária dos professores, falta de
profissional qualificado e até mesmo falta de condições de trabalho adequado. Este
trabalho implica, imediatamente, um aumento da motivação dos educadores que,
assim, terão condições para educar os jovens dando-lhes segurança não só para
enfrentar o futuro como para construí-lo de forma responsável e com determinação.
1.3 A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA
As origens da Geometria remontam à necessidade de “medir a terra” (geo =
terra, metria = medir). Heródoto e Aristóteles não quiseram se arriscar a propor origens
mais antigas do que a civilização egípcia.
O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir
terras, porém seus desenhos e figuras sugerem uma preocupação com relações
espaciais, o que abriu caminho para a Geometria. Conceitos de verticalidade,
horizontalidade e paralelismo, entre outros, estão presentes quando o homem sai das
cavernas e enfrenta a necessidade de construir a sua morada. O desenvolvimento de
habilidade em engenharia com a utilização de uma Geometria prática corresponde às
antigas civilizações de beira-rio (Nilo, Tigre, Eufrates, Indo). A utilização de formas
geométricas com grande riqueza e variedade aparecem nas cerâmicas, cestarias
(objetos de decoração e utensílios) e pinturas (criação de desenhos) de diversas
culturas.
Percorrendo a história da humanidade, tem-se contato com diferentes culturas.
De certa maneira, a agricultura, a pecuária e o artesanato caracterizam esta
diversidade cultural. A forma encontra-se presente nas criações do homem para
aproveitar ou conviver com as peculiaridades de cada região, e manifesta-se na
25
maneira de trabalhar com a terra, de produzir utensílios e ornamentos. Se a Geometria
é entendida como estudo da forma, cada região tem um vasto campo a ser estudado.
Este estudo resgataria as raízes étnicas e culturais. O aprendiz envolvido neste
processo sente-se enraizado e aumenta a sua auto-estima.
Esta metodologia, chamada por uns de Modelagem Matemática, permite uma
livre interpretação, uma aprendizagem através do erro, uma observação de padrões e
posterior generalização e, ainda, um resgate da cultura na qual o aprendiz encontra-se
inserido.
Explorar a diversidade cultural do nosso país influi no fazer Geometria. Clubes, igrejas, escolas, museus, teatros, shoppings, bancos, empresas, ruas, casas comerciais e tantas outras fazem parte de uma extensa listagem de obras arquitetônicas que marcam no espaço o tempo que foram construídas, convidando pessoas a conhecerem sua história e geometria, de ontem e de agora, projetando um luminoso porvir.(LIÇÕES CURITIBANAS, 1994).
A habilidade cartográfica acompanha a evolução do pensamento humano em
Matemática, particularmente em Geometria. O mapa, hoje, como em qualquer cultura,
tem por objetivo representar pontos e acidentes da terra e a relação que se estabelece
entre esses pontos e acidentes e os homens. São muitas vezes confeccionados por
computadores, que captam imagens de satélites. A Geometria colabora na elaboração
de mapas. Conceitos como latitude, longitude, fusos horários são maneiras de
representar o espaço tridimensional. A confecção de plantas ou mapas é uma atividade
geométrica que envolve contextos matemáticos, como semelhança, números múltiplos,
razão e proporção, divisão, escalas, relações de área e perímetro, etc.
A Arquitetura é a arte de construir, de criar espaços organizados para abrigar
diferentes atividades humanas. Nas obras de Arquitetura pode-se observar muita
Geometria. As manifestações artísticas tendo a Geometria como tema motivante
também fazem parte do cotidiano. O exame e o estudo das obras e dos seus autores
constituem um excelente recurso para o despertar do pensamento geométrico.
Segundo Hans Freudenthal (um importante matemático do séc. XX) o ensino da
Geometria é fundamental nos quatro primeiros anos de escolaridade na medida em que
26
está naturalmente integrada no desenvolvimento da criança, favorecendo a relação
entre a matemática e o mundo real. Segundo vários estudos, as primeiras experiências
que as crianças vivem são de natureza geométrica, por exemplo, quando se deslocam
de um ponto para outro ou quando verificam que um dado objeto está mais próximo de
si e outro mais distante.
A Geometria permite o desenvolvimento da orientação espacial, o qual é
imprescindível para escrever, seguir uma determinada direção, localizar objetos e
localizar-se a si próprio e aos outros, entre outros. Assim, pode-se dizer que a
Geometria está presente na vida das crianças a partir do momento em que estas
começam a ver, sentir e movimentar-se no espaço que ocupam. A atividade física é
uma das bases do conhecimento e, para aprender eficazmente, a criança precisa de
participar em acontecimentos e não ser apenas uma espectadora. Para desenvolver os
seus conceitos de número e de espaço não basta olhar somente para os objetos,
precisa de tocar-lhes, manipulá-los e reuni-los. Neste contexto, são estes os objetivos
fundamentais da Geometria:
A exploração do espaço e das formas com a intenção de fazer apelo à
criatividade, ao sentido estético da criança, respondendo à sua natural e progressiva
procura de equilíbrio e de harmonia; a utilização de materiais e de instrumentos na
construção e desenho de modelos geométricos que permitirão muitas descobertas e
desenvolverão as capacidades de relacioná-las, classificar e transformar.
Desta forma, pode-se dizer que as linhas orientadoras do seu ensino devem
basear-se na observação dos objetos, na transformação e construção de materiais e no
diálogo questionado.
Para aprender Geometria, as crianças precisam de investigar, explorar e
experimentar podendo, para isso, utilizar tanto objetos do cotidiano como materiais
físicos e específicos da didática da Geometria. Conjuntamente com a visualização, o
desenho e a comparação, as atividades que suscitam este tipo de atitudes
desenvolvem na criança a capacidade de orientação espacial. Embora, a facilidade em
usar a linguagem geométrica seja importante, esta não deve constituir a incidência
27
principal do programa de Geometria, pois o seu processo de desenvolvimento deve
gerar-se em torno da exploração e da experiência.
O desenvolvimento das idéias geométricas progride uma hierarquia de níveis.
Primeiro, os alunos aprendem a conhecer globalmente as formas, procedendo depois à
sua particularização através da análise das propriedades relevantes de cada uma. O
desenvolvimento curricular e o processo de ensino-aprendizagem da Geometria devem
decorrer respeitando estes níveis. O Modelo de Van Hiele (elaborado pelo casal Peter
e Dina Van Hiele, em meados dos séculos XX, acerca do ensino e aprendizagem da
Geometria) descreve bem esta hierarquia, na medida em que distingue diversos níveis
que vão desde a possibilidade dos alunos reconhecerem figuras diferenciadas pelo seu
aspecto físico, até níveis mais complexos em que são capazes de compreender os
sistemas axiomáticos.
Através destes níveis, os alunos desenvolvem, numa primeira fase, a capacidade
de análise, de conhecimento das figuras e das suas propriedades básicas. Podem
ainda não ser capazes de explicitar relações entre as diferentes famílias de figuras, mas
conseguem fazê-lo de um modo experimental, desenhando, medindo e modelando.
Durante este processo, os alunos relacionam e classificam as figuras de um
modo lógico, podendo deduzir propriedades das figuras e reconhecer classes das
mesmas; são também capazes de desenvolver argumentações e de provar conjecturas.
Num nível mais complexo de raciocínio dedutivo, começam a organizar seqüências de
proposições para deduzir uma propriedade a partir da outra. As definições emergem
como organizadores lógicos e não como uma lista de propriedades.
No ensino básico, os primeiros níveis são fundamentais, requerendo que se
percorra uma fase inicial, prolongada, de abordagem intuitiva e experimental do
conhecimento do espaço e de desenvolvimento das formas mais elementares de
raciocínio geométrico, ligado ao conhecimento das propriedades fundamentais das
figuras e das relações entre elas.
A Geometria é uma área propícia ao desenvolvimento do pensamento
matemático, à realização de investigações e de outras atividades que envolvem
aspectos essenciais da natureza da matemática, como fazer conjecturas e validá-las.
28
Conjuntamente com a visualização espacial, esta área proporciona meios de
percepcionar o mundo físico e de interpretar, modificar e antecipar transformações
relativamente aos objetos.
Estabelecer e comunicar relações espaciais entre os objetos, fazer estimativas
relativamente à forma e à medida, descobrir propriedades das figuras e aplicá-las em
diversas situações são processos importantes do pensamento geométrico.
Todos estes aspectos são de total importância, já que é da maioria deles que
depende a nossa vida em sociedade. Isto porque a Geometria está presente em vários
campos da nossa sociedade atual, como: na produção industrial, no design, na
arquitetura, na topografia, nas artes plásticas, no estudo dos elementos da natureza e
na nossa comunicação com os outros, por exemplo, para dar e receber informações
relativas sobre o modo de se chegar a um determinado lugar.
O conhecimento básico das formas geométricas é ainda, importante na nossa
vida cotidiana porque é através dele que nos orientamos, estimamos forças e
distâncias, fazemos medições indiretas e apreciamos a ordem e a estética da natureza
e da arte.
A Geometria não só se apresenta como um elo de ligação entre as diversas
áreas da matemática, já que aborda inúmeros conceitos das mesmas o que facilitará
então o seu ensino, como desenvolve também o raciocínio matemático na medida em
que permite aos alunos descobrir como se resolve problemas.
Os professores que privam os seus alunos da aprendizagem da Geometria estão
a provocar danos irreversíveis no seu futuro matemático e no desenvolvimento das
suas competências matemáticas.
Um aluno nunca será bem sucedido se não tiver consolidado os fundamentos
básicos da Matemática, entre os quais se destacam muitos conceitos geométricos.
No entanto, o ensino da Geometria não poderá consistir numa mera transmissão
de conteúdos (por parte do professor) e respectiva memorização (por parte dos alunos),
mas sim numa experiência geométrica informal em que os alunos descobrem, através
29
da exploração, visualização, registros, comparações e discussões e onde ao professor
cabe um papel de orientador e facilitador da aprendizagem.
1.3.1 O ESTUDO DAS FORMAS: GEOMETRIA E NATUREZA
O homem difere e destaca-se dentre todos os outros animais pela inteligência
que possui. Num determinado estágio de seu desenvolvimento ele passou a observar a
natureza, especialmente o céu, e inspirado nele registrou, aquilo que examinava,
dependendo do seu grau cultural. A natureza exibe uma criação de formas e relações
matemáticas sob os mais variados aspectos: triângulos, quadrados, círculos,
hexágonos, espirais, polígonos estrelados, cubos, paralelepípedos, cilindros, helicóides,
cones, esferas, etc. A simples observação das formas regulares e perfeitas que muitos
corpos apresentam, como as flores e as folhas e incontáveis animais, revelam simetrias
admiráveis que deslumbram o espírito. Há infinita variedade de formas geométricas
espalhadas pela natureza. No disco do Sol, no arco-íris, na borboleta, no diamante, na
estrela-do-mar e até em plantas microscópicas.
As figuras criadas pela natureza revelam desde motivos geométricos simples até
formas mais arrojadas e complexas. Ver figura 1.3
a) Flor b) Poliedro Convexo
30
O homem transformou elementos da natureza para a sua sobrevivência e nessa
caminhada, levado pela curiosidade, compreendeu muitas coisas, criando suas
ferramentas e técnicas, construindo objetos e deslocando-os, modificando o espaço.
Portanto, necessidade e curiosidade aliam-se à percepção das semelhanças,
procurando relacionar geometria (forma) com a aritmética (número).
1.3.2 A DOMINAÇÃO DA FORMA
A princípio, as noções primitivas de número, grandeza e forma podiam estar
relacionadas com contrastes mais do que com semelhanças. Gradualmente deve ter
surgido da massa de experiências caóticas, a realização de que há analogias. Essa
percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em comum levou à idéia
de número. O número foi criado para que o homem pudesse dominar o movimento das
quantidades da natureza. Entretanto, as formas também estão ao nosso redor, fazendo
parte do nosso mundo e estão em permanente mudança. Aprender a manejar as
formas é a essência da Geometria. A compreensão do espaço, sua ocupação e
medida, as superfícies, suas formas, regularidades e medidas; as linhas, suas
propriedades e medidas; e as relações entre todas essas formas geométricas como
mostra a Figura 1.4.
Formas geométricas bi e tridimensionais
31
Destaca-se que há muitas áreas da Matemática em que a introdução de um
procedimento e uma terminologia geométrica simplifica muito, tanto a compreensão
como a apresentação de um determinado conceito ou desenvolvimento. A linguagem
da Geometria é muito mais simples e elegante do que a da álgebra e da análise. Às
vezes é possível levar a cabo linhas de raciocínio rigorosas em termos geométricos
sem traduzi-las para a álgebra e a análise. As imagens geométricas sugeridas
frequentemente levam a resultados e estudos adicionais. Como consequência, se
ganha instrumento poderoso de raciocínio indutivo e criativo. Na constituição do mundo,
da natureza em geral, têm-se componentes com suas formas nas quais dominam a
irregularidade e o caos; tentar simplificá-las empregando formas usuais da clássica
geometria euclidiana, seria inadequado.
CAPÍTULO 2. O ENSINO DA GEOMETRIA NAS ÚLTIMAS DÉCADAS
A Geometria é descrita como um corpo de conhecimentos fundamental para a
compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a
resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio
visual. Está presente no dia-a-dia como nas embalagens dos produtos, na arquitetura
das casas e edifícios, na planta de terrenos, no artesanato e na tecelagem, nos campos
de futebol e quadras de esportes, nas coreografias das danças e até na grafia das
32
letras. Em inúmeras ocasiões, precisamos observar o espaço tridimensional como, por
exemplo, na localização e na trajetória de objetos e na melhor ocupação de espaços.
Sobre a importância da Geometria, LORENZATO (1995) diz que esta tem função
essencial na formação dos indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa
do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada
da Matemática. Segundo FAINGUELERNT (1995), a Geometria desempenha um papel
fundamental no ensino porque ativa as estruturas mentais na passagem de dados
concretos e experimentais para os processos de abstração e generalização; é tema
integrador entre as diversas partes da Matemática, sendo a intuição, o formalismo, a
abstração e a dedução constituintes de sua essência.
Entretanto, apesar de sua reconhecida importância, pesquisadores brasileiros
como PAVANELLO (1989), LORENZATO (1995), PIROLA (2000), PASSOS (2000) E
PEREIRA (2001) apontam que a Geometria é pouco estudada nas escolas.
PAVANELLO (1989) em sua dissertação de mestrado faz uma análise histórica do
ensino da Matemática no Brasil e no mundo, objetivando responder a razão pela qual o
ensino da Geometria vem gradualmente desaparecendo do currículo das escolas
brasileiras.
2.1. POR QUE APRENDER GEOMETRIA?
Na verdade, para justificar a necessidade de se ter a Geometria na escola,
bastaria o argumento de que sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o
pensar geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente
conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não
poderão se utilizar da Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e
resolução de questões de outras áreas de conhecimento humano. Sem conhecer
Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das
idéias fica reduzida e a visão da matemática torna-se distorcida. "A Geometria está por
toda parte", desde antes de Cristo, mas é preciso conseguir enxergá-la... Mesmo não
querendo, lidamos em nosso cotidiano com as idéias de paralelismo,
33
perpendicularismo, congruência, semelhança, proporcionalidade, medição
(comprimento, área, volume), simetria: seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer,
na profissão, na comunicação oral, cotidianamente estamos envolvidos com a
Geometria. Pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é
necessária ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares
requerem percepção espacial, tanto em matemática (por exemplo: algoritmos,
medições, valor posicional, séries, sequências...) como na Leitura e Escrita.
A Geometria é um excelente apoio às outras disciplinas: como interpretar um
mapa, sem o auxílio da Geometria? E um gráfico estatístico? Como compreender
conceitos de medida sem idéias geométricas? A história das civilizações está repleta de
exemplos ilustrando o papel fundamental que a Geometria (que é carregada de
imagens) teve na conquista de conhecimentos artísticos, científicos e, em especial,
matemáticos. A imagem desempenha importante papel na aprendizagem e é por isso
que a reapresentação de tabelas, fórmulas, enunciados, etc, sempre recebe uma
interpretação mais fácil com o apoio geométrico. A Geometria pode esclarecer
situações abstratas, facilitando a comunicação da idéia matemática.
Einstein tinha o hábito de geometrizar suas idéias: dizia que facilitava a
comunicação delas e a evolução de seu pensamento; em 1921, ele escreveu "Atribuo
especial importância à visão que tenho da Geometria, porque sem ela eu não teria sido
capaz de formular a teoria da relatividade”. ' A Geometria é a mais eficiente conexão
didático-pedagógica que a Matemática possui: ela se interliga com a Aritmética e com a
Álgebra porque os objetos e relações dela correspondem aos das outras; assim sendo,
conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser classificados
pela Geometria, que realiza uma verdadeira tradução para o aprendiz.
34
CONCLUSÃO
FAÇA SUA PRÓPRIA CONCLUSÃO SEM COPIAR A DE OUTRO AUTOR!
A geometria é um instrumento que permite a percepção e a visualização do
espaço, é importante também para desenvolver habilidades em outras áreas do
conhecimento, têm muitas aplicações no mundo real, é rica em possibilidades para
fazer explorações, representações e construções, leva o aluno a investigar, descrever e
perceber propriedades, pré-requisitos estes importantes no desenvolvimento da atitude
35
científica e na elaboração de uma linguagem escrita clara e sucinta, envolvendo vários
conceitos aprendidos. Mesmo tendo presente toda a grandeza da geometria como
auxilio no desenvolvimento cognitivo e motor do nosso aluno, é tratada com indiferença
por muitos professores. Segundo Sérgio Lorenzato(NÃO SE USA REFERÊNCIAS NA
CONCLUSÂO, POIS ELA É SUA!)
“Pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em matemática (por exemplo: algoritmos, medições, valor posicional, séries, seqüências...) como na leitura e escrita”. Ela é uma das melhores oportunidades para aprender a matematizar a realidade, já que as descobertas feitas pelos próprios olhos e mãos são mais surpreendentes e convincentes. (Lorenzato, nº 4, 1º semestre de 1998)
A geometria permite este trabalho com material concreto, pois associa conceitos
matemáticos com a representação necessária para visualizar e manusear, condição
essencial para se entender a matemática.
A geometria tem origem provável na agrimensura ou medição de terrenos,
contudo, é certo que civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza
geométrica, da Babilônia à China, passando pelas civilizações Hindus. Em tempos
remotos, a geometria era uma ciência empírica, uma coleção de regras práticas para
obter resultados aproximados. Apesar disso, estes conhecimentos foram utilizados nas
construções das pirâmides e templos Babilônios e Egípcios. O antigo Egito é um dos
primórdios da geometria como ciência. Segundo Garbi, (2007) (NÃO SE USA
REFERÊNCIAS NA CONCLUSÂO, POIS ELA É SUA!), “alguns documentos que
chegam até nós mostram que no começo do segundo milênio a.C., o nível de
conhecimentos egípcios já era bastante elevado”. Muitos dos conhecimentos que temos
hoje se baseiam em tais documentos, os papiros, entre os quais podemos citar o papiro
de Rhind e o papiro de Moscou. Mas é, sem dúvida, com os gregos, baseados nos
conhecimentos anteriores, que a geometria é estabelecida como teoria dedutiva. Estes
procuraram encontrar demonstrações que pudessem representar o espaço, isso veio a
ser denominado de geometria (medida da terra). O inicio dessa teorização parece se
dar com Tales de Mileto e continuar com Pitágoras. Mais tarde, Platão interessa-se
36
muito pela matemática, em especial pela geometria, evidenciando a necessidade de
demonstrações rigorosas dedutivas. Por volta do Século III antes de Cristo, Euclides
produziu a memorável obra denominada “Elementos”, onde estão registrados os
princípios da geometria e o futuro desenvolvimento da mesma. Esta obra contribui a
mais de vinte séculos para o progresso das ciências, servindo de base para toda a
geometria chamada euclidiana.
Existem tantos outros nomes que poderíamos citar, de igual importância para o
estudo da matemática na Grécia antiga que é onde encontramos o manancial para o
estudo da geometria. O trabalho de Euclides, portanto, foi de fundamental importância
para o desenvolvimento da geometria dedutiva, por se configurar em um tratado teórico
sobre as práticas geométricas efetivadas social e historicamente.
Somente no século XIX é que a geometria passa pela maior reestruturação
desde seus estudos iniciais na Grécia antiga. Anteriormente, todos os raciocínios
realizados eram com base no postulado grego. A criação da geometria não euclidiana
foi um marco na história da matemática. Com a evolução da geometria euclidiana para
a geometria não euclidiana, novos conceitos, novas teorias foram descobertas e
apresentadas à sociedade, como exemplo podemos citar a teoria da relatividade de
Albert Einstein. Mais recentemente, ingressamos no estudo da geometria das formas
irregulares, ou seja, a geometria dos fractais. A seguir, para contextualizar, vamos
buscar nos textos oficiais como é tratada a geometria plana.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASTEM QUE SER TOTALMENTE REFEITA
AUTORES QUE FORAM CITADOS, MAS QUE NÃO FORAM REFERNCIADOS:
P2 MATEMÁTICAJOHNSON & RISING(1972)DEVELAY (1996)LIÇÕES CURITIBANAS (1994)LORENZATO(1995)
37
FAINGUELERNT (1995)PAVANELO (1989)PIROLA(2000)PASSOS (2000)PEREIRA (2201)
ALMEIDA, Ana Rita Silva. A emoção na sala de aula. São Paulo: Papirus, 1999.(NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
AUSUBEL, David P.; NOVAK, Joseph D.; HANESIAN, Helen. Psicologia Educacional. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
BANDLER, Richard. Usando sua Mente. São Paulo: Summus, 1987. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
BLACKERBY, Don A. Use a Programação Neurolingüística em Sala de Aula. RevistaProfissão Mestre. Curitiba: Humana Editorial, junho, 2001. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
BOLSTAD, Richard. PNL na Educação - Ensinando com a linguagem do cérebro. Revista O Golfinho. Internet, n. 30, abril, 1999. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
BRANCO, Filinto dos Anjos do S. “A persistência do senso comum no professor de ciências do 1° grau”. Niterói: Universidade Federal Fluminense. Dissertação (Mestrado em Educação), 1991. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
BROWNLEE, Shannon. Instabilidade de adolescente é determinada pelo cérebro. Jornal O Estado de S. Paulo, domingo, 15 de ago., p. A15, 1999. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática. 8.ed. São Paulo: Papirus, 2001.____. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1998.
DANTAS, Heloysa; OLIVEIRA, Marta K.; TAILLE, Yves de La. PIAGET, VYGOTSKY.WALLON - Teorias Psicogenéticas em Discussão. São Paulo: Summus, 1992. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
38
DEWEY, J. Como Pensamos. São Paulo: Pioneira, 1991. _____. Democracia e Educação. Trad. Godofredo Rangel e Anísio Teixeira. São Paulo: Editora Nacional, 1959. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
GADOTTI, M. Convite à Leitura de Paulo Freire: São Paulo, Ed. Scipione, 1991.JOHNSON, D.A.; RISING, G.R. Guidelines for Teaching Mathematics. Belmont(Califórnia): Wadsworth, 1972. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
MÜLLER, I. Tendências atuais de Educação Matemática. unopar Cient., Ciênc. Hum. Educ.,Londrina, v. 1, n. 1, p. 133-144, jun. 2000. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
OLIVEIRA, Marta Kohl. Vygotsky. Aprendizado e desenvolvimento: um processohistórico. São Paulo: Scipione, 1993. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
PAIS, Luís Carlos. Didática da Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. PARANÁ. Prefeitura Municipal de Curitiba, Secretaria Municipal da Educação. Lições Curitibanas: 4ª série. Curitiba: PMC/SME, 1994. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
PERRENOUD, Philippe. Pedagogia Diferenciada. Porto Alegre: Artmed, 2000. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
PIMENTA, Selma Garrido. O Papel do Estágio na Formação do Professor. São Paulo: Cortez, 1994. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
ROJAS, Henrique. O Homem Moderno - A luta contra o vazio. São Paulo: Mandarim, 1996. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
SILVA, Tomaz T. O que Produz e o que Reproduz em Educação. Porto Alegre: Artmed, 1992.
VIEIRA, R. Mentalidade, Escola e Pedagogia Intercultural, Educação Sociedade & Culturas: nº. 127 –147,1995.
VYGOTSKY, L. S. Pensamento e Linguagem. 2. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1987. (NÃO FOI CITADO NO TEXTO)
39
