Momentos de Dipolo Magnético e Spin - …...2 Consideremos uma carga elétrica (e) que se move numa...

Momentos de Dipolo Magnético e Spin

Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr.

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2

Consideremos uma carga elétrica (e) que se move numa órbita circular de raio r com

velocidade v, como vemos na figura abaixo.

Momento de Dipolo Magnético Orbital

A carga gera uma corrente elétrica (I) dada pela seguinte equação,

onde T é o período orbital do elétron cuja a carga vale e em módulo.

𝐼 =𝑒

𝑇

𝑣 𝑟

-e

(Equação 1)

3

Considerando-se o período T e a expressão vista para a corrente elétrica, temos:


𝐼 =𝑒

𝑇

𝑇 =2𝜋𝑟

𝑣

𝐼 =𝑒

𝑇→ 𝐼 =

𝑒𝑣

2𝜋𝑟

𝑣 𝑟

-e

(Equação 2)

4

A corrente I produz um campo magnético equivalente, a grandes distâncias da órbita,

a um campo produzido por um dipolo magnético (𝜇ℓ) localizado em seu centro e

orientado perpendicularmente ao seu plano. Para uma corrente elétrica (I) numa

órbita de área (A) o módulo do momento de dipolo magnético orbital (𝜇ℓ) é dado pela

equação abaixo.


𝜇ℓ = 𝐼𝐴

𝐵

𝐵

𝑣 𝑟

𝐿

𝜇ℓ

-e

A direção do momento de dipolo magnético (𝜇ℓ) é perpendicular ao plano da órbita.

(Equação 3)

5

Como a carga do elétron é negativa, seu momento de dipolo magnético (𝜇ℓ ) é

antiparalelo ao seu momento angular, cujo o módulo é dado pela expressão abaixo.


L = 𝑚𝑣𝑟

𝐵

𝐵

𝑣 𝑟

𝐿

𝜇ℓ

-e

A direção do momento angular é indicada na figura acima.

(Equação 4)

6

Combinando-se as equações 3 e 2, temos os resultados abaixo.


𝜇ℓ = 𝐼𝐴

𝐼 =𝑒𝑣

2𝜋𝑟

𝜇ℓ =𝑒𝑣

2𝜋𝑟𝐴 =

𝑒𝑣

2𝜋𝑟𝜋𝑟2 → 𝜇ℓ =

𝑒𝑣

2𝑟 (Equação 5)

7

Considerando-se a expressão do momento angular, temos os resultados abaixo.


𝜇ℓ = 𝐼𝐴

L = 𝑚𝑣𝑟

𝐼 =𝑒𝑣

2𝜋𝑟

𝜇ℓ =𝑒𝑣

2𝑟

𝜇ℓ =𝑒𝑣𝑚

2𝑚𝑟 → 𝜇ℓ =

𝑒

2𝑚𝐿

(Equação 6)

8

Abaixo temos a relação entre o módulo do momento de dipolo magnético orbital e

o módulo do momento angular orbital do elétron.

A relação indica uma combinação de constantes universais. Assim podemos colocar a

razão 𝜇ℓ/𝐿 como indicado acima.


𝜇ℓ = 𝐼𝐴

L = 𝑚𝑣𝑟

𝐼 =𝑒𝑣

2𝜋𝑟

𝜇ℓ =𝑒𝑣

2𝑟

𝜇ℓ =𝑒𝑣𝑚

2𝑚𝑟 → 𝜇ℓ =

𝑒

2𝑚𝐿

𝜇ℓ𝐿=

𝑒

2𝑚

(Equação 7)

9

Descrevemos a razão 𝜇ℓ/𝐿 como mostrado na equação a seguir.


𝜇ℓ𝐿=

𝑒

2𝑚→𝜇ℓ𝐿=𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔ℓ = 1

Magnéton de Bohr

Fator g orbital

(Equação 8)

10

Na forma vetorial temos a equação abaixo.


𝜇ℓ = −𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔ℓ = 1

Magnéton de Bohr

Fator g orbital

𝐵

𝐵

𝑣 𝑟

𝐿

𝜇ℓ

-e

(Equação 9)

11

Ex. 1. Determine o valor do magnéton de Bohr.

Exemplo 1

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚Magnéton de Bohr

Dados

ℏ = 1,05457168.10−34 𝐽. 𝑠

𝑒 = 1,60217653. 10−19𝐶

𝑚 = 9,1093826. 10−31𝑘𝑔

12


Exemplo 1 (Solução)

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

=1,60217653. 10−19𝐶. 1,05457168.10−34 𝐽. 𝑠

2.9,1093826. 10−31𝑘𝑔

Dados

ℏ = 1,05457168.10−34 𝐽. 𝑠

𝑒 = 1,60217653. 10−19𝐶

𝑚 = 9,1093826. 10−31𝑘𝑔

13



𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚= 0,092740094. 10−22𝐽. 𝑠. 𝐶/𝑘𝑔

Dados

ℏ = 1,05457168.10−34 𝐽. 𝑠

𝑒 = 1,60217653. 10−19𝐶

𝑚 = 9,1093826. 10−31𝑘𝑔

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚= 9,2740094. 10−24𝐽. 𝑠.

𝐶

𝑘𝑔= 9,2740094. 10−24𝐴.𝑚2

14

Ex. 2. Determine o valor do magnéton de Bohr nas seguintes unidades. a) A.m2 b) J/T

c) eV/T.

Exemplo 2

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚Magnéton de Bohr

Dados

ℏ = 1,05457168.10−34 𝐽. 𝑠

𝑒 = 1,60217653. 10−19𝐶

𝑚 = 9,1093826. 10−31𝑘𝑔

15

Ex. 2. Determine o valor do magnéton de Bohr nas seguintes unidades. a) A.m2 b) J/T

c) eV/T.


𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚= 9,2740094. 10−24𝐽. 𝑠.

𝐶

𝑘𝑔= 9,2740094. 10−24𝐴.𝑚2

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚= 9,2740094. 10−24𝐽/𝑇

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚= 5,79. 10−5𝑒𝑉/𝑇

16

Considerando-se a quantização do momento angular, chegamos às seguintes

equações.


𝜇ℓ𝐿=

𝑒

2𝑚𝐿 → 𝜇ℓ=

𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔ℓ = 1

Magnéton de Bohr

Fator g orbital

𝐿 = ℓ ℓ + 1 ℏ

𝜇ℓ=𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿 =𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

ℓ ℓ + 1 ℏ = 𝑔ℓ𝜇𝑏 ℓ ℓ + 1

𝜇ℓ= 𝑔ℓ𝜇𝑏 ℓ ℓ + 1

(Equação 10)

17

De forma análoga, considerando-se a projeção ao longo do eixo z, temos a seguinte

equação.


𝜇ℓ𝐿=

𝑒

2𝑚𝐿 → 𝜇ℓ𝑧= −

𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿𝑧

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔ℓ = 1

Magnéton de Bohr

Fator g orbital

𝐿𝑧 = 𝑚ℓℏ

𝜇ℓ𝑧= −𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿𝑧 = −𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝑚ℓℏ = −𝑚ℓ𝑔ℓ𝜇𝑏

𝜇ℓ𝑧= −𝑚ℓ𝑔ℓ𝜇𝑏

(Equação 11)

18

Do eletromagnetismo clássico, sabemos que para um dipolo magnético ( 𝜇ℓ )

submetido a um campo magnético 𝐵 este ficará submetido a um torque 𝜏, conforme

indicado abaixo.


𝜏 = 𝜇ℓ × 𝐵

O torque tenderá a alinhar o dipolo com o campo. No sistema temos uma energia (E)

potencial de orientação dada pela equação abaixo.

Δ𝐸 = − 𝜇ℓ ∙ 𝐵

(Equação 12)

(Equação 13)

19

Ex. 3. Suponha que um dipolo magnético, de intensidade 𝜇ℓ , está alinhado

paralelamente com um campo magnético B = 1 T. Calcule a energia necessária para

girar o dipolo magnético de modo a colocá-lo antiparalelo ao campo magnético.

Exemplo 3

20

Ex. 3. Suponha que um dipolo magnético, de intensidade 𝜇ℓ , está alinhado

paralelamente com um campo magnético B = 1 T. Calcule a energia necessária para

girar o dipolo magnético de modo a colocá-lo antiparalelo ao campo magnético.

Segundo a equação 13, a energia potencial vale -𝜇ℓ𝐵 , quando o dipolo é paralelo ao

campo magnético e 𝜇ℓ𝐵 quando é antiparalelo ao campo magnético. Assim temos

uma variação de 2𝜇ℓ𝐵. Desenvolvendo-se os cálculos temos os resultados abaixo.


2𝜇ℓ𝐵 = 2.9,2740094. 10−24𝐽

2𝜇ℓ𝐵 = 1,85. 10−23𝐽

2𝜇ℓ𝐵 = 1,16. 10−4𝑒𝑉

21

Consideremos um sistema onde não há dissipação de energia. Assim, não teremos a

orientação de 𝜇ℓ na direção do campo magnético 𝐵. Ao invés disso, teremos que 𝜇ℓapresentará movimento de precessão em torno do campo magnético 𝐵, de forma que

o ângulo entre os dois vetores permaneça constante, como indicado na figura abaixo.

Precessão de Larmor

𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

22

Um torque aparece quando o momento de dipolo magnético de um átomo 𝜇ℓ interage

com o campo magnético 𝐵. Esse torque dá origem a uma variação 𝑑𝐿 do momento

angular durante um tempo dt. Considerando-se a 2a lei de Newton temos𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝜏. A

variação 𝑑𝐿 faz com que 𝐿 precessione de um ângulo 𝜔𝑑𝑡, onde 𝜔 é a velocidade

angular de precessão.


𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

23

A partir da análise do sistema abaixo, temos o desenvolvimento indicado a seguir.


𝑑𝐿 = 𝐿 sin 𝜃 𝜔𝑑𝑡 →𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝐿 sin 𝜃 𝜔

𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝜏 = 𝐿 sin 𝜃 𝜔 (Equação 14)

𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

24

Vamos considerar as equações 9, 12 e 14.


𝑑𝐿



𝐿 (Equação 9)

(Equação 12) 𝜏 = 𝜇ℓ × 𝐵

𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

25

Combinando-se as equações 9 e 12, temos os seguintes resultados.


𝑑𝐿



𝐿


𝜏 = −𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿 × 𝐵 → 𝜏 =𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿𝐵 sin 𝜃 (Equação 15)

𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

26

Comparando-se as equações 14 e 15, chegamos a uma expressão para .


𝑑𝐿



𝐿


𝜔 =𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐵 (Equação 16)

(Equação 15) 𝜏 = −𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿 × 𝐵 → 𝜏 =𝑔ℓ𝜇𝑏ℏ

𝐿𝐵 sin 𝜃

27

Se o campo magnético for uniforme espacialmente, não haverá força resultante de

translação agindo sobre o dipolo magnético. Se o campo magnético não for uniforme,

teremos uma força de translação (além do torque).


𝜏

𝜇ℓ𝜃

𝜃

28

O que ocorre nesse caso aparece ilustrado na figura abaixo. Na figura temos um

elétron descrevendo um órbita circular com velocidade 𝑣, numa região do espaço

onde o campo magnético 𝐵 é convergente. O elétron sofre a ação de uma força

proporcional ao produto vetorial − 𝑣 × 𝐵, força esta que tem sempre uma componente

na direção onde o campo torna-se mais intenso.


𝑣

𝑣

𝑣

𝑣

𝐵

𝐵 𝐹 ∝ − 𝑣 × 𝐵

29

Numa região onde o campo aplicado 𝐵 converge, um elétron se move numa órbita de

Bohr com velocidade 𝑣, e o campo exerce uma força 𝐹 sobre o elétron. Como a carga

do elétron é negativa, 𝐹 ∝ − 𝑣 × 𝐵. Independente da posição do elétron na órbita, essa

força tem uma componente radial, dirigida para fora, e uma componente na direção

onde 𝐵 é mais intenso. Numa média feita sobre uma órbita, a componente radial se

cancela e a força média tem essa direção para cima.


𝑣

𝑣

𝑣

𝑣

𝐵

𝐵 𝐹 ∝ − 𝑣 × 𝐵

30

A força média que age sobre um dipolo magnético é dado pela equação abaixo,


𝑣

𝑣

𝑣

𝑣

𝐵

𝐵 𝐹 ∝ − 𝑣 × 𝐵

onde z é a direção do aumento da intensidade do campo magnético e 𝜕𝐵𝑧

𝜕𝑧é a rapidez

com a qual ele cresce.

𝐹𝑧 =𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧

𝜇ℓ𝑧 (Equação 17)

31

Em resumo, um dipolo magnético num campo não uniforme sofre um torque, que

produz uma precessão, e sofre uma força que produz deslocamento.


𝑣

𝑣

𝑣

𝑣

𝐵

𝐵 𝐹 ∝ − 𝑣 × 𝐵

32

A previsão da mecânica quântica é que a componente do momento magnético ao

longo do eixo z ( 𝜇ℓ𝑧) só poderá ter os valores indicados abaixo (equação 11).

Experiência de Stern-Gerlach

𝜇ℓ𝑧= −𝑚ℓ𝑔ℓ𝜇𝑏

𝑚ℓ = −ℓ,−ℓ + 1,−ℓ + 2,… , 0, … , ℓ − 2, ℓ − 1, ℓ

33

A partir dos resultados da experiência de Stern-Gerlach, teve-se evidência do

momento de dipolo magnético intrínseco do elétron (s), consequência da

existência de um momento angular intrínseco S, denominado spin. Esses

momentos apresentam condições de quantização análogas ao momento angular

orbital do elétron (L e Lz). Assim temos a intensidade S e a componente Sz do

momento angular de spin que estão associadas aos números quânticos s e ms

através das seguintes condições de quantização.

𝑆 = 𝑠 𝑠 + 1 ℏ

𝑆𝑧 = 𝑚𝑧ℏ

(Momento angular de spin)

Spin do Elétron

(Equação 18)

(Equação 19)

34

Vamos admitir que a relação entre o momento de dipolo magnético de spin e o

momento angular de spin tem a mesma forma no caso orbital, como mostrado abaixo.

𝜇𝑠 = −𝑔𝑠𝜇𝑏ℏ

𝑆

𝜇𝑠𝑧 = −𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠

(Momento dipolo magnético de spin)

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔𝑠

Magnéton de Bohr

Fator g de spin

Spin do Elétron

(Equação 20)

(Equação 21)

35

Da observação experimental que o feixe de átomos de hidrogênio se separa em duas

componentes defletidas simetricamente, é claro que 𝜇𝑠𝑧 só pode admitir dois valores.

Iguais em valor absoluto e de sinais opostos. Fazendo a suposição final de que os

valores possíveis de ms diferem de uma unidade e variam entre –s a +s, como ocorre

com números quânticos 𝑚ℓ e ℓ do momento angular orbital, podemos concluir que os

dois valores possíveis de ms são os seguintes.

Spin do Elétron

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔𝑠 = 2

Magnéton de Bohr

Fator g de spin

𝑚𝑠 = −1

2, +

1

2

𝑠 =1

2

(Equação 22)

(Equação 23)

36

Devido ao spin do elétron, mesmo o estado fundamental apresenta desdobramento,

devido ao campo magnético aplicado. Esse desdobramento do nível de energia reflete

os dois valores possíveis para a energia potencial orientacional, como segue.

Spin do Elétron

onde

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝑔𝑠 = 2

Magnéton de Bohr

Fator g de spin

Δ𝐸 = − 𝜇𝑠 ∙ 𝐵 = −𝜇𝑠𝑧𝐵

Δ𝐸 = 𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠𝐵

Δ𝐸 = ±𝑔𝑠𝜇𝑏𝐵/2

𝑚𝑠 = −1

2,+

1

2

(Equação 24)

(Equação 25)

(Equação 26)

37

Ex. 4. Um feixe de átomos de hidrogênio, emitido por um forno funcionando à

temperatura T = 400 K, é enviado através de um ímã de Stern-Gerlach de

comprimento X = 1 m. Os átomos estão sujeitos a um campo magnético de gradiente

de 10 T/m. Calcule a deflexão transversa de um átomo típico em cada uma das duas

componentes do feixe, devido à força exercida sobre seu momento de dipolo

magnético de spin, no ponto onde o feixe sai do ímã.

Exemplo 4

Átomos de Hidrogênio

x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m


x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

38

Nessa temperatura, os átomos estão no estado fundamental e não têm momento

angular orbital (ℓ = 0) ou momento de dipolo magnético orbital. Eles têm, tipicamente,

energia cinética (3/2)kT, onde k é constante de Boltzmann. Eles são submetidos a

uma força transversa.


𝐹𝑧 =𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧

𝜇𝑠𝑧

𝜇𝑠𝑧 = −𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠

𝐹𝑧 = −𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧

𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠

39

A velocidade longitudinal (𝑣𝑥) pode ser determinada como indicado abaixo.


1

2𝑀𝑣𝑥

2 =3

2𝑘𝑇 → 𝑣𝑥 =

3𝑘𝑇

𝑀


x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

40

O tempo t durante o qual o átomo está sujeito à força transversa ao atravessar o imã

de comprimento X será dado pela expressão abaixo.



x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

𝑡 =𝑋

𝑣𝑥

𝑣𝑥 =3𝑘𝑇

𝑀

𝑡 =𝑋

3𝑘𝑇𝑀

→ 𝑡 = 𝑋𝑀

3𝑘𝑇

41

Devido à força os átomos adquirem uma aceleração transversal az = Fz/M e sofrem

portanto uma deflexão Z, como indicado abaixo.



x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

𝑍 =1

2𝑎𝑧𝑡

2

𝑡 = 𝑋𝑀

3𝑘𝑇

𝑍 =1

2𝑎𝑧𝑋

2𝑀

3𝑘𝑇=1

2

𝐹𝑧𝑀𝑋2

𝑀

3𝑘𝑇→ 𝑍 =

𝐹𝑧𝑋2

6𝑘𝑇

42

Após algumas passagens chegamos à expressão para deflexão Z.



x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

𝑍 =𝐹𝑧𝑋

2

6𝑘𝑇

𝐹𝑧 = −𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧

𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠

𝑍 = −

𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧

𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠𝑋2

6𝑘𝑇

𝑔𝑠𝑚𝑠 = ±1𝑍 = ±


𝜇𝑏𝑋2

6𝑘𝑇

43

Considerando-se a expressão para o magnéton do Bohr, temos as expressões

abaixo.



x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

𝑍 = ±


𝜇𝑏𝑋2

6𝑘𝑇

𝜇𝑏 =𝑒ℏ

2𝑚

𝜇𝑏 = 0,927. 10−23.𝐽

𝑇

𝑘 = 1,38. 10−23𝐽

𝐾

Dados:


= 10 𝑇/𝑚

44

Após as substituições, temos a deflexão em Z.



x

z

Forno

funcionando

à temperatura

T = 400 K

Campo magnético de

gradiente de 10 T/m

𝑍 = ±


𝜇𝑏𝑋2

6𝑘𝑇→ 𝑍 = ±

10𝑇𝑚0,927.

10−23𝐽𝑇

. 1𝑚2

6.1,38.10−23𝐽𝐾

. 400𝐾→ 𝑍 = ±2,8. 10−3𝑚

45

Quando uma carga elétrica q move-se no espaço com velocidade 𝑣, ela produz um

campo magnético 𝐵 no espaço dado pela seguinte equação.

Campo Magnético de Carga Puntiforme

𝐵 =𝜇04𝜋

𝑞 𝑣 × 𝑟

𝑟2

Onde:

𝜇0 = 4𝜋.10−7𝑇𝑚

𝐴= 4𝜋. 10−7𝑁/𝐴2

Constante magnética (permeabilidade do espaço livre)

46

Considere um elemento de fio de comprimento de 𝑑ℓ que tem uma corrente elétrica I,

como indicado no sistema abaixo. Temos um campo magnético (𝑑𝐵) gerado pela

corrente que é dado pela seguinte equação.

Lei de Biot-Savart

𝑑𝐵 =𝜇04𝜋

𝐼𝑑ℓ × 𝑟

𝑟2

Onde:

𝜇0 = 4𝜋.10−7𝑇𝑚

𝐴= 4𝜋. 10−7𝑁/𝐴2

Constante magnética (permeabilidade do espaço livre)

47

Calcule o campo magnético produzido por um anel circular de corrente num ponto

situado sobre o eixo de simetria do anel longe deste. Calcule em seguida o campo

magnético produzido no mesmo ponto por um dipolo formado a partir de dois

monopolos magnéticos separados e situados no centro do anel e ao longo do eixo de

simetria deste. Mostre que os campos são os mesmos se a corrente do anel (I) e sua

área (A) estiverem relacionadas ao momento magnético do dipolo () segundo a

seguinte equação:

= IA.

Lista 6 (Exercício 1)

48







seguinte equação:

= IA.


Estratégia para resolução do problema

1) Calcular o campo de uma espira (Biot-Savart)

2) Calcular o campo de um dipolo magnético

3) Substituir a expressão do momento magnético do dipolo (𝜇 = 𝐼𝐴) no campo

de um dipolo (item 2)

4) Comparar os campos

49







seguinte equação:

= IA.


Estratégia para resolução do problema

1) Calcular o campo de uma espira (Biot-Savart)

2) Calcular o campo de um dipolo magnético

3) Substituir a expressão do momento magnético do dipolo (𝜇 = 𝐼𝐴) no campo

de um dipolo (item 2)

4) Comparar os campos

𝑑𝐵 =𝜇04𝜋

𝐼𝑑ℓ × 𝑟

𝑟2

𝐵 =𝜇04𝜋

2 𝜇

𝑟3

50

Determine o gradiente de campo de um ímã de Stern-Gerlach (Figura 1) de 50 cm de

comprimento que produzirá uma separação de 1 mm na extremidade do ímã, entre as

duas componentes de um feixe de átomos de prata emitidos com uma energia

cinética típica de um forno a 960oC. O momento de dipolo magnético da prata é

devido a um único elétron ℓ = 0.


Átomos de Prata

x

z

Forno

funcionando

à temperatura

de 960oC

Figura 1. Diagrama esquemático de um dispositivo de Stern-Gerlach.

51

Sabemos que a deflexão em Z é expressa em função do gradiente do campo

magnético, como indicado abaixo.

Lista 6 (Exercício 2)(Solução)

𝑍 = ±


𝜇𝑏𝑋2

6𝑘𝑇

Átomos de Prata

x

z

Forno

funcionando

à temperatura

de 960oC


52

Isolando-se o gradiente, temos a seguinte expressão.


𝑍 = ±


𝜇𝑏𝑋2

6𝑘𝑇→𝜕𝐵𝑧𝜕𝑧

= ±6𝑘𝑇𝑍

𝜇𝑏𝑋2

Átomos de Prata

x

z

Forno

funcionando

à temperatura

de 960oC


53

Fazendo-se as substituições, chegamos ao gradiente.



= ±6𝑘𝑇𝑍

𝜇𝑏𝑋2= ±

6.1,3810−23𝐽𝐾

. 960 + 273.15 𝐾. 10−3𝑚

9,27410−24𝐽/𝑇 0,5𝑚 2= ±44,0𝑇/𝑚

Átomos de Prata

x

z

Forno

funcionando

à temperatura

de 960oC


54

Se um átomo de hidrogênio for colocado num campo magnético muito forte

comparado com seu campo interno, seus momentos de dipolo magnéticos de spin e

orbital precessionarão independentemente em torno do campo externo e sua energia

dependerá dos números quânticos 𝑚ℓ e 𝑚𝑠 que especificam suas componentes ao

longo da direção do campo externo. (a) Determine o desdobramento dos níveis de

energia segundo os valores de 𝑚ℓ e 𝑚𝑠. (b) Desenhe a configuração dos níveis

desdobrados provenientes do nível n = 2, explicitando os número quânticos de cada

componente da configuração. (c) Calcule a intensidade do campo magnético externo

que produziria uma diferença de energia entre os níveis mais separados provenientes

do nível n = 2 que seria igual à diferença entre os níveis n = 1 e n = 2 na ausência de

campo.


55

Consideremos o desdobramento dos níveis de energia segundo os valores de 𝑚ℓ e

𝑚𝑠 como resultado da soma dos termos dos momentos angular e de spin, como

indicado abaixo.

Lista 6 (Exercício 3(a)) (Solução)

Δ𝐸 = −𝜇𝑠𝑧𝐵𝑧 −𝜇ℓ𝑧 𝐵𝑧

𝜇𝑠𝑧 = −𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠 Δ𝐸 = 𝑔𝑠𝜇𝑏𝑚𝑠𝐵𝑧 + 𝑔ℓ𝜇𝑏𝑚ℓ𝐵𝑧

Δ𝐸 = − 𝜇𝑠 ∙ 𝐵 − 𝜇ℓ ∙ 𝐵

𝜇ℓ𝑧 = −𝑔ℓ𝜇𝑏𝑚ℓ𝑔𝑠 = 2 𝑔ℓ = 1

Δ𝐸 = 𝜇𝑏𝐵𝑧 2𝑚𝑠 +𝑚ℓ

56

b) Desenhe a configuração dos níveis desdobrados provenientes do nível n = 2,

explicitando os número quânticos de cada componente da configuração.

Lista 6 (Exercício 3(b)) (Solução)

𝑛 = 2; ℓ = 0, 1

ℓ = 0 → 𝑚ℓ = 0; 𝑚𝑠 = ±1/2

ℓ = 1 → 𝑚ℓ = −1,0,1; 𝑚𝑠 = ±1/2

𝑛 = 2

ℓ = 1

ℓ = 0

𝑚ℓ = 1

𝑚ℓ = 0

𝑚ℓ = −1

𝑚𝑠 = +1/2𝑚𝑠 = −1/2𝑚𝑠 = +1/2𝑚𝑠 = −1/2𝑚𝑠 = +1/2𝑚𝑠 = −1/2

𝑚𝑠 = +1/2𝑚𝑠 = −1/2

𝑚ℓ = 0

57

(c) Calcule a intensidade do campo magnético externo que produziria uma diferença

de energia entre os níveis mais separados provenientes do nível n = 2 que seria igual

à diferença entre os níveis n = 1 e n = 2 na ausência de campo.

Lista 6 (Exercício 3(c)) (Solução)

Δ𝐸 = −10,2 𝑒𝑉

Δ𝐸 = 𝜇𝑏𝐵𝑧 2𝑚𝑠 +𝑚ℓ → 𝐵𝑧 =Δ𝐸

𝜇𝑏 2𝑚𝑠 +𝑚ℓ

𝑚𝑠 = 1/2

𝑚ℓ = 1

58

(c) Calcule a intensidade do campo magnético externo que produziria uma diferença

de energia entre os níveis mais separados provenientes do nível n = 2 que seria igual

à diferença entre os níveis n = 1 e n = 2 na ausência de campo.

Lista 6 (Exercício 3(c)) (Solução)

Δ𝐸 = 10,2 𝑒𝑉

𝐵𝑧 =Δ𝐸

𝜇𝑏 2𝑚𝑠 +𝑚ℓ=

10,2𝑒𝑉

5,788. 10−5𝑒𝑉/𝑇 2.1/2 + 1= 0,88. 105𝑇

𝑚𝑠 = +1/2𝑚𝑠 = −1/2 𝐵𝑧 = 0,44. 105𝑇

EISBERG, R., RESNICK, R. Física Quântica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos e

partículas. 4ª ed. ou anteriores. Rio de Janeiro: Campus, 1986.

GRIFFITHS, David - Mecânica Quântica. 2ª. ed. São Paulo: Pearson Education.

2011. ebook

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Referências Bibliográficas

Momentos de Dipolo Magnético e Spin - …...2 Consideremos uma carga elétrica (e) que se move numa...

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