Mola Linear 37
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Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Civil
Método dos Elementos FinitosProf.Dr.Alfonso Pappalardo Jr.
2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2222 MÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETOMÉTODO DIRETO2222
2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D
Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Civil
Método dos Elementos FinitosProf.Dr.Alfonso Pappalardo Jr.
2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D2.2 ELEMENTO DE MOLA 1-D
u =1
x
kf
HIPÓTESES BÁSICAS Material elástico-linear
(Lei de Hooke: f=k.u);
Carregamento axial;
Massa desprezível.
kfukf =⇒⋅=1
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2.2.1 Conceito de rigidez2.2.1 Conceito de rigidez2.2.1 Conceito de rigidez2.2.1 Conceito de rigidez
UNIDADES CONSISTENTES (SI)f: força Newton (N)u: deslocamento metro (m)k: rigidez N/m
ukf ⋅= RIGIDEZ
é a força necessária para produzirum deslocamento unitário.
f
f
u
u
α
k=tg α=
comportamentoelástico-linear
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2.2.2 Matriz de rigidez2.2.2 Matriz de rigidez2.2.2 Matriz de rigidez2.2.2 Matriz de rigidezdo elemento de molado elemento de molado elemento de molado elemento de mola
u1 u2
k
2 GRAUS DELIBERDADE:
u , u1 2
k =
2x2
matriz de rigidez de umelemento de mola 1-D
mola
1-D
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2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez doelemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)
k
−k
1
2Forças necessárias para produzir um
eimpedir o deslocamento do ponto (2)deslocamento unitário no ponto (1)
u1=1 u2=0
x
f =k1 f =k2
1 2
Interpretação física dos
da matriz de rigidez doelemento de mola
coeficientes da 1 colunaa
k =mola
1-D
k
Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Civil
Método dos Elementos FinitosProf.Dr.Alfonso Pappalardo Jr.
2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez doelemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)
k
−k 1
2Forças necessárias para produzir um
eimpedir o deslocamento do ponto (1)deslocamento unitário no ponto (2)
u1=0 u2=1
x
f =k1 f =k2
1 2
Interpretação física dos
da matriz de rigidez doelemento de mola
coeficientes da 2 colunaa
k =mola
1-D
k
Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Civil
Método dos Elementos FinitosProf.Dr.Alfonso Pappalardo Jr.
2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez do2.2.2 Matriz de rigidez doelemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)elemento de mola (cont...)
k
−k 1
2
x
1 2
k =mola
1-D
k
−k
Características: Quadrada;
Simétrica;
Singular (det k=0);
Diagonal positiva.
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2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura2.2.3 Matriz de rigidez da estrutura
x
1 2 3 NN-1
k k k
1
1 2 3 N-1 N
3
N
2
N-1
k =
Características: Quadrada;
Simétrica;
Singular (det k=0);
Diagonal positiva;
Bandeada;
Esparsa.
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2.2.4 Exemplo didático2.2.4 Exemplo didático2.2.4 Exemplo didático2.2.4 Exemplo didático
1 2 3 4k=10000 N/m 2k k
f=450N
Três molas hookeanas ligadas em série, cujas constantes elásticassão apresentadas na ilustração abaixo. Uma força estática f=450Né aplicada no ponto (2), sendo que os pontos (1) e (4) estãoimpedidos de se deslocarem. Para este problema hiperestáticodeterminar as reações de apoio nos pontos (1) e (4) e osdeslocamentos dos pontos (2) e (3).
Ref: http://femur.wpi.edu/Learning-Modules/Stress-Analysis
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)
2k kk
f =450N2 f =03
k 2k k
k 2k k−k −2k −k
−k −2k −kk = k = k =
mola mola mola
A B C
mola A mola B mola C
u1=0 u4=0u2 u3
f =R1 1 f =R4 4
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2k kk
f =450N2 f =03mola A mola B mola C
u1=0 u4=0u2 u3
f =R1 1 f =R4 4
k =
k 0
0
0 0
0
0−k 3k
3k
−2k
−k
−2k
k−k
−k
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)
2k kk
f =450N2 f =03mola A mola B mola C
u1=0 u4=0u2 u3
f =R1 1 f =R4 4
f = u == =
f1 u1R1
f2 u2 u2450
f3 u3 u30
0
0
f4 u4R4
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)
ukf ⋅=
=
1
10000 .
R1
u2450
u30
0
0
R4
0
0
0 0
0
0−1 3
3
−2
−1
−2
1−1
−1
. incógnitasincógnitas
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2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)2.2.4 Exemplo didático (cont...)
Reorganizando-se o sistema de equações algébricas,chega-se a solução:
R1= 270 N −
R4= 180 N −
u2= 0,027 m +
u3= 0,018 m +
2k kk270N 180N
u2=0,027m u3=0,018m
Obs: De acordo com a convenção de sinais, as forçase deslocamentos são positivos se estiverem orientadossegundo o sentido positivo do eixo x.
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2.2.5 Exemplo de aplicação2.2.5 Exemplo de aplicação2.2.5 Exemplo de aplicação2.2.5 Exemplo de aplicação
Recalcular o problema didático considerando-se as rigidezesindicadas na ilustração abaixo.
2k kk=10000 N/m
f =450N2
Resposta:u2= 0,018 m +
u3= 0,009 m +
R1= 360 N −
R4= 90 N −