MODELOS MATEMATICOS

Gustavo Elias Romo Delgado

gustavo-romo@hotmail.com

“Ingeniería Electromecánica Decimo Semestre, Universidad Antonio Nariño, Buga – Colombia”

Resumen: Este artículo consiste en la descripción y el análisis de las funciones y su relación con los modelos matemáticos, así como la importancia de sus aplicaciones en diversos aspectos de la vida real.

Aquí buscamos transmitir la importancia que tienen las funciones en la interpretación, construcción y resolución de un modelo matemático.

Palabras Claves: Funciones reales, modelo matemático, solución de problemas, razonamiento inductivo, modelización matemática, sistema, sistema mecánico, sistema eléctrico, sistema hidráulico.

1 Introducción: Para el estudio de los sistemas de control es necesario conocer el comportamiento de los elementos que eventualmente pueden formar parte de un sistema a controlar y del sistema de control. Este comportamiento se puede expresar en forma de un modelo matemático.

Se conoce como modelo matemático a las expresiones que representan el comportamiento dinámico de un sistema.

El estudio dinámico consiste entonces en determinar analíticamente la respuesta (salida)

cuando la entrada experimenta una variación en el tiempo (excitación). Dicho de otra manera poder representar la respuesta transitoria del sistema.

Los modelos matemáticos de los sistemas físicos son ecuaciones diferenciales, que pueden ser ordinarias para los sistemas a parámetros concentrados o parciales para los sistemas distribuidos. Estas ecuaciones diferenciales pueden ser lineales o no lineales según el rango de funcionamiento en el cual se quiere estudiare al sistema.

Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere:

Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.

A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.

Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

2. Sistemas mecánicos:

Como puede resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda

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ley de Newton, la cual es aplicable a cualquier sistema mecánico. Un método sistemático para obtener ecuaciones de arreglos como los presentes es el siguiente:

1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema.

2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las fuerzas que actúan sobre ellas en términos de posiciones de masa

Ejemplos importantes:

Sistemas mecánicos traslacionales. Considérese un sistema de masa-resorte-amortiguador, montado en un carro como se muestra en la figura. Obtendremos su modelo matemático suponiendo que el sistema está en reposo para un tiempo t < 0. En este sistema u(t) es el desplazamiento del carro y se considera como nuestra entrada. En t = 0, el carro se desplaza a velocidad constante y u es constante también. La salida es el desplazamiento de la masa m que está montada en el carro, y este desplazamiento se representa y(t), medido con respecto al suelo.

Además de la masa m, consideraremos otras constantes como k, que es la constante del resorte; y B que es el coeficiente de viscosidad. Al suponer que el resorte es lineal, la fuerza del mismo es proporcional a y – u.

La segunda ley de Newton establece que ma = Σ=Fma = Sum F, que aplicada al sistema presenta nos da

Esta última ecuación es el modelo matemático buscado.

Sin embargo, en control nos interesa representar nuestros modelados mediante una función de transferencia. Si tomamos dtd como D en la ecuación anterior, tenemos

mD2y +bD(y – u) +(y – u) = 0

En la ecuación anterior, aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación nos queda

L (mD2y +bD(y – u) +(y – u) = 0 )

De la definición de función de transferencia, hemos eliminado las derivadas de las funciones en t = 0, puesto que son nulas. Finalmente se toma la relación de Y(s) con respecto a U(s), para obtener

(ms2 + bs k)Y(s) = (bs + k)U(s)

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El modelado anterior es uno de los más frecuentes en el estudio de ingeniería de control, por sus muchas aplicaciones. Sin embargo se debe hacer notar que los modelos en que se usa la función de transferencia tienen aplicación únicamente en sistemas lineales invariantes en el tiempo, puesto que la función de transferencia sólo está definida para dichos sistemas.

3. Sistema Eléctrico

Tal vez ya se esté familiarizado con el estudio de los componentes eléctricos básicos, como son la resistencia, el capacitor y el inductor; y tal vez en menor grado, con los amplificadores operacionales. Para el modelado de estos sistemas se debe echar mano del análisis de circuitos, que se basa fundamentalmente en la aplicación de las leyes de Kirchhoff. La primera de ellas se conoce como ley de corrientes (ley de nodos), establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es nula; la misma ley se puede enunciar de esta manera: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.

La segunda ley de Kirchhoff se conoce como ley de voltajes (ley de mallas o lazos), y nos indica que la suma de los voltajes en una malla del circuito eléctrico el cero; también es usual representar la segunda ley de este modo: La suma de las caídas de

tensión a lo largo de una malla del circuito, es igual a la suma de las elevaciones de tensión en la misma malla. El sistema para encontrar las ecuaciones diferenciales es muy sencillo, pues basta con encontrar las ecuaciones de malla o de nodos, del circuito de que se trate. Las corrientes y voltajes de cada elemento se escriben según su definición en cada caso.

Circuito simple LCR. Considérese un circuito serie LCR, como el mostrado en la figura, en donde se indica una corriente de malla, y el voltaje de salida es el voltaje del capacitor

Las unidades de resistencia, capacitancia e inductancia están dadas en Ohmios, henrys y faradios, respectivamente; la corriente y los voltajes, están en amperios y voltios, respectivamente. Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) a la malla donde circula la corriente i, encontraremos las siguientes ecuaciones:

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De nuevo, nos interesa más obtener la función de transferencia, y para ello aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación anterior, sin olvidar que las derivadas obtenidas se eliminan por ser iguales a cero, esto tomado de la definición de Función de Transferencia. Para ello tomamos como entrada el voltaje de la fuente vi

y como salida el voltaje vo y despejamos las dos ecuaciones. De esta manera nos quedan las ecuaciones así

4. Sitemas Hidraulicos:

Para simplificar el análisis de sistemas de nivel de líquido, haremos uso de los conceptos eléctricos de resistencia y capacitancia – obviamente con su respectiva analogía – para poder describir las características dinámicas de esos sistemas en forma simple. Esto nos

hará ver otra similitud entre un sistema hidráulico y uno eléctrico.

Resistencia y capacitancia en sistemas de nivel de líquidos.

Supóngase que se tienen dos tanques con determinados niveles de agua, y que dichos tanques están conectados por una tubería corta. Se define resistencia como la relación entre la diferencia de nivel de agua entre los tanques, necesaria para producir una variación unitaria en el gasto; o sea

R = (cambio en la diferencia de niveles, en metros, m) / (cambio en el gasto, en m3/s)

Si consideramos el siguiente dibujo de un tanque con dos válvulas. Si tenemos un flujo laminar, la relación entre el gasto en estado estacionario y la presión hidrostática en el mismo estado estacionario al nivel de la restricción laminar, es

Donde:

Q = gasto en el estado estacionario K = coeficiente, en m2/sH = presión hidrostática, en estado estacionario.

Esta ley que rige el flujo laminar es análoga a la ley de Coulomb, que establece que la corriente es

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directamente proporcional a la diferencia de potencial, por lo que la resistencia se define también como sigue

La resistencia al flujo laminar es análoga a la resistencia eléctrica. Si el flujo es turbulento, el gasto estacionario se da por

Donde:

Q = gasto en el estado estacionario K = coeficiente, en m2/s H = presión hidrostática, en estado estacionario. La resistencia Rt (resistencia de flujo turbulento), se obtiene de

Como se hizo con anterioridad, tenemos

y también

por lo que la resistencia de flujo turbulento queda finalmente

El valor de la resistencia de flujo turbulento depende del gasto y de la presión hidrostática. Sin embargo, su valor se puede considerar constante si las variaciones de la presión y del gasto son pequeñas, respecto al estado estacionario

Hay que hacer notar que en la práctica casi nunca se conoce el valor del coeficiente K, el cual depende del coeficiente del flujo y del área de restricción. En esos casos, la resistencia se obtiene trazando la representación hidrostática de la presión hidrostática en función del gasto, basándose en valores experimentales, y midiendo la pendiente de la curva en la condición de operación.

La capacitancia se define como la variación en la cantidad del líquido acumulado, necesaria para producir una variación unitaria en el potencial (presión hidrostática). El potencial es la magnitud que indica el nivel de energía del sistema. Esta relación queda

Se notará que la capacitancia (m2) es diferente a la capacidad (m3), ya que la primera representa el área de la sección de corte. Si ésta es constante, la capacitancia es constante para cualquier carga hidrostática.

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Función de transferencia en sistemas de nivel. De la misma figura usada para deducir la capacitancia y resistencia hidrostáticas, consideraremos las otras magnitudes que aparecen allí, a saber

Q = gasto en el estado estacionario (antes de haber algún cambio), en m3/s

qi = pequeña desviación en el gasto de entrada, respecto al valor del estado estacionario, en m3/s

qo = pequeña desviación en el gasto de salida, respecto al estado estacionario (m3/s)

H = nivel de carga en el estado estacionario, en m

H = pequeña desviación de la carga con respecto al nivel del estado estacionario.

Si el flujo se considera lineal, el sistema se considera lineal, de otro modo, tendría que linealizarse. Sin embargo, la ecuación diferencial se puede obtener del siguiente modo. El gasto de entrada menos el gasto de salida durante el intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad de liquido acumulada en el tanque, lo que nos produce que

Por la definición de resistencia, la relación entre qo y h está dada por

Y la ecuación diferencial del sistema es, para un valor constante de R,

Donde RC es la constante del sistema. Tomando la transformada de Laplace de toda la ecuación, con sus condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene

Si se toma a qi como entrada y a h como la salida, la función de transferencia queda como

Por otro lado, si consideramos a qo

como la salida, la función de transferencia queda así

Referencias Bibliográficas:

ING. QUIRINO JIMENEZ D. CAPITULO II. MODELOS MATEMÁTICOS DINÁMICOS

http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/djean/index_archivos/Documentos/Teoria_Control.pdf

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