Modelos Geométricos Transformações - Autenticação · Rotação (4/4) Propriedades Preserva...

Modelos GeométricosTransformações

Instituto Superior Técnico

Edward Angel, Cap. 4

Instituto Superior Técnico Computação Gráfica

2009/2010

1

Aulas teóricas 11/03

Quinta-feira, dia 11 de Março

Não vão ser leccionadas aula teóricas.

©2010, CG&M/IST e Figuras Addison Wesley

Não há necessidade de aula de compensação.

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Indiquem o campus a que pertencem!


Alameda ou Tagus

Objectivos

� Aprender diferenças entre � CG vectorial e raster (quadrículas)

� Conhecer evolução nos últimos 40 anos de� conceitos, sistemas, equipamentos, normas, aplicações


� conceitos, sistemas, equipamentos, normas, aplicações

� Saber quais as entidades necessárias para criar a imagem de uma cena e saber justificar

� Conhecer o pipeline de visualização

� Saber quais os andares de um pipeline

4

Sumário

� Modelos Geométricos

� Transformações Geométricas


� Transformações Geométricas

Computação Gráfica

Modelos GeométricosModelos Geométricos

Modelos Geométricos (1/8)

� Permitem modelar objectos complexos� Modularmente� Usando conjunto limitado de primitivas


� Usando conjunto limitado de primitivas� Recorrendo a composição hierárquica


� Descrevem objectos geométricos� Para produção de representação gráfica...

Mas não só!


� Mas não só!� Podem servir uma grande variedade de áreas


Simulação



CAM


Modelos Geométricos (6/8)� Descrevem

� Forma dos compontentes (geometria)� Outros atributos gráficos dos componentes

� Cor � Textura

...


� ...

� Ocupação espacial dos elementos� Conectividade dos componentes (topologia)� Informação específica da aplicação

� Características dos elementos� Tipo de material� Propriedades magnéticas� ...

Modelos Geométricos (7/8)Principais Vantagens

� Hierarquia modular� Organização em árvore ou DAG

� Construção ascendente (bottom-up)

Permitem construir modelos geométricos


� Permitem construir modelos geométricos� A partir de primitivas básicas

� Propagação de actualizações� Alteração num componente reflecte-se no modelo

� Ex.: aumentar comprimento de braço do robot


� Geometria e ocupação espacial


14

� Definidas com Transformações Geométricas

Computação GráficaTransformações GeométricasTransformações Geométricas

Mover Objectos (1/3)

Objectivo: Mover a seta de aqui para ali


(aqui)

(ali)


� Problema� Quantificar “aqui” e “ali”

Objectivo: Mover a seta de aqui para ali


(aqui)

(ali)


� Solução� Utilizar Sistema de Coordenadas

� Descreve espaço numericamente� Fornece métrica para descrever distância entre pontos


� Fornece métrica para descrever distância entre pontos

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Exemplo: linha de -2 a 3 tem comprimento 5

Espaços Cartesianos

Exemplos: 1D, 2D e 3D

R1

R30 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

ponto em 2Y


R2

R

ponto em (2, 2)

ponto em (2, -3, 3)X

Y

X

Z

Espaço ortonormado

Mover Objectos num Sistema de Coordenadas

� Permite especificar a deslocação� Quantitativamente� De forma clara

Y


Solução:

?aqui = (2, 3)

ali = (8, 5)

Solução:somar 6 a xsomar 2 a y

Y

X

Espaços Vectoriais (1/3)

� Sistemas de coordenadas quantificam distâncias� Mas não descrevem relações entre objectos

� Vectores indicam direcção além de distância


21

� Vectores indicam direcção além de distância

� Todas as coordenadas referenciadas à origem


Y


(2, 3)

(8, 5)

X(0, 0)


� Vectores usados extensivamente em CG� Para representar

� Posições � Orientação de superfícies no espaço


� Orientação de superfícies no espaço� Normal à superfície

� Interacções entre fontes de luz e objectos� Cor� Transformações Geométricas

• Sugestão:– Revejam Álgebra Linear

• Operações com Matrizes

Transformações Geométricas em Computação Gráfica

� Um dos mais importantes conceitos de CG� Compreensão é fundamental

� Transformações essenciais em CG


� Transformações essenciais em CG

� Utilizadas nas aplicações e nas bibliotecas

Transformações GeométricasPlanas Elementares

� Operações sobre vectores (matrizes)� Soma� Multiplicação


� Suficientes para a maioria das aplicações� Translação� Rotação� Escala

Mover Objectos num Espaço Vectorial

Y

Solução:


aqui = [2, 3]T

ali = [8, 5]T

X[0, 0]T

Solução:Somar a6

223

Transformações Geométricas

Translação (1/3)

Soma de vectores

dxx x´


P´= T + P com T = dxdy

P = P´ = xy

x´y´

onde x´ = x + dx, y´ = y + dy


Translação (2/3)

� Para deslocar polígonos� aplicar a transformação a cada um dos vértices

Y

P (x´,y´)

©2010, CG&M/IST e Figuras Addison WesleyX

P(x,y)

P (x´,y´)

x

x’

y y’


Translação (3/3)

� Propriedades� Preserva comprimentos

� ISOMÉTRICA


� ISOMÉTRICA

� Preserva ângulos� CONFORME


Escala (1/3)

Multiplicação matricial

P = P´ = xy

x´y´

x´ = Sx . x , y´ = Sy . y


Sx 00 Sy

xy

x´y´

Sx 00 Sy

= .

P´= S · P com S =


Escala (2/3)

Y

Sx = Sy = 2 (Ampliação)

YUniforme Não - Uniforme


X

P(x,y)

P´(x´,y´)

X

Y

X

Y

Sx = 2; Sy = 1

Sx = 1; Sy = -1

XSx = 1; Sy = 2


Escala (3/3)

� Propriedades� Não preserva comprimentos


� Não preserva ângulos� Excepto escala uniforme

� Escala uniforme é CONFORME


Rotação (1/4)

Y

P (x´,y´)y´


X

P (x,y)

P (x´,y´)

αβ

xx´

y

y´


Rotação (2/4)

Rotação de vectores por um ângulo β

P = P´ = xy

x´y´


P’ = R β . P

x´= x . cos β - y . sin βy´= x . sin β + y . cos β

onde


Rotação (3/4)

Y

P (x´,y´)y´


X

P (x,y)

P (x´,y´)

αβ

xx´

y

y´

P´= Rβ . P com Rβ = cos β -sin βsin β cos β

Rotação (3/4)Demonstração

x = r . cos α y = r . sin αx´= r . cos (α + β) y´= r. sin (α + β)

sin (α + β) = cos α . sin β + sin α . cos βcos (α + β) = cos α . cos β - sin α . sin β

X

Y

P (x,y)

P´(x´,y´)

αβ

y

y´


x´ = r. cos αααα . cos β - r. sin αααα . sin βy´ = r. cos αααα . sin β + r. sin αααα . cos β

x´ = x . cos β - y . sin βy´ = x . sin β + y . cos β

Matricialmente,

xy

x´y´

cos β -sin βsin β cos β

= .

Xαxx´

Rotação (4/4)

� Propriedades� Preserva comprimentos

� ISOMÉTRICA


� Preserva ângulos� CONFORME

Computação GráficaCoordenadas HomogéneasCoordenadas Homogéneas


Classificação

Projectivas ⊃⊃⊃⊃ Afins ⊃⊃⊃⊃ Lineares

� Projectivas� Podem não preservar o paralelismo das linhas� A imagem de uma linha é um ponto ou uma linha

� Nunca uma curva


� Nunca uma curva

� Afins� Mantêm paralelismo de linhas� A imagem do vector (0,0) pode não ser (0,0)

� Lineares� Transformam linhas em linhas ou em pontos� A imagem do vector (0,0) é sempre (0,0)


Transformações Lineares

� Escala e Rotação� Transformações Lineares

� Expressas pelas matrizes:


41

cos β -sin βsin β cos β

Sx 00 Sy


Transformações Lineares

� Translação� Não é transformação Linear

� Não se pode representar na forma:


� É uma transformação afim.� Porquê?

42

x’ = ax + by y’ = cx + dy

Sistema de equações lineares e matrizes

� Problema� Modelo apresentado não é uniforme

� Translação - Soma de vectores� Escala e Rotação - Produto de matrizes


43

Escala e Rotação - Produto de matrizes

� Gostaríamos de ter� Transformações como sistemas de equações

x´ = a x + b yy´ = c x + d y

Coordenadas Homogéneas (1/5)

� Transformações são multiplicações� Espaço 2D representado num espaço 3D

� Ponto (x,y) transformado num ponto (x,y,W)

P2d(x, y) → Ph(Wx, Wy, W), W ≠ 0


x

y

w

Ph (x·W, y·W, W)

P2d(x, y)


(x, y, W) =2d (x’ , y’, W’) se múltiplos

� Em coordenadas homogéneas� Cada ponto 2D tem inúmeras representações


x

y

wPh (x·W, y·W, W)

P2d(x, y)


� Dois pontos no espaço homogéneo� Podem representar o mesmo ponto em 2D

(x, y, W) =2d (x’ , y’, W’) se (x/W, y/W) = (x’/W’, y’/ W’)


x

y

wPh (x’, y’, W’)

P2d(u, v)

Ph (x, y, W)

Coordenadas Homogéneas (4/5)� Infinitos pontos no espaço homogéneo

� Correspondem a um ponto 2D

� Ponto 2D� Representa uma recta no espaço homogéneo

(tx, ty, tW), com t ≠ 0


x

y

wPh (x’, y’, w’)

P2d(u, v)

Ph (x, y, w)

Ph (x”, y”, w”)


(x, y, W) =2d (x/W , y/W, 1)

x/We y/W: coordenadas Cartesianas do ponto homogéneo


x

y

wPh (x, y, w)

P2d(x/w, y/w, 1)

W=1

Transformações no Espaço Homogéneo (1/4)

� Pontos 2D� Escrevem-se como vectores de 1x3

P = [x y 1]T


• Transformações geométricas 2D– Escrevem-se como matrizes de 3x3

• No espaço homogéneo considera-se– W=1 para transformações afins em 2D

Translação


P´= MT · P com MT = 1 0 dx0 1 dy0 0 1


x´ 1 0 dx xy´ 0 1 dy y

1 0 0 1 1=

.

0 0 1


Escala

P´= MT · P com MT = SX 0 00 SY 00 0 1


0 0 1

x´ Sx 0 0 xy´ 0 Sy 0 y

1 0 0 1 1=

.


Rotação

P´= MT · P com MT = cos(β) -sin(β) 0sin(β) cos(β) 0 0 0 1


0 0 1

x´ cos(β) -sin(β) 0 xy´ sin(β) cos(β) 0 y1 0 0 1 1

=.

Matrizes de Transformação

MT = T(dx,dy) =1 0 dx0 1 dy0 0 1

Translação Escala

ME = S(SX,SY) = SX 0 00 SY 00 0 1


Rotação

MR = R(β) =cos(β) -sin(β) 0sin(β) cos(β) 0 0 0 1

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