Modelo Advectivo-Dispersivo de Transporte de Solutos em...

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELO ADVECTIVO-DISPERSIVO DE TRANSPORTE DE

SOLUTOS EM SOLO NÃO-SATURADO UTILIZANDO OS

MÉTODOS DAS CARACTERÍSTICAS E DOS ELEMENTOS

FINITOS

RUBENS MACIEL WANDERLEY

ORIENTADOR: SERGIO KOIDE

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM TECNOLOGIA

AMBIENTAL E RECURSOS HÍDRICOS

PUBLICAÇÃO: MTARH.DM-021A/2000

BRASÍLIA / DF: FEVEREIRO – 2000

ii

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELO ADVECTIVO-DISPERSIVO DE TRANSPORTE DE

SOLUTOS EM SOLO NÃO-SATURADO UTILIZANDO OS

MÉTODOS DAS CARACTERÍSTICAS E DOS ELEMENTOS

FINITOS

RUBENS MACIEL WANDERLEY

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE.

APROVADA POR:

________________________________

SERGIO KOIDE, PhD (ENC-UnB)

(ORIENTADOR)

________________________________

NÉSTOR ALDO CAMPANA, DSc (ENC-UnB)

(EXAMINADOR INTERNO)

________________________________

JOSÉ ALMIR CIRILO, DSc (UFPE)

(EXAMINADOR EXTERNO)

DATA: BRASÍLIA/DF, 28 DE FEVEREIRO DE 2000

iii

FICHA CATALOGRÁFICA

WANDERLEY, RUBENS MACIEL

Modelo Advectivo-Dispersivo de Transporte de Solutos em Solo Não-Saturado

Utilizando os Métodos das Características e dos Elementos Finitos

[Distrito Federal] 2000.

xvi, 126 p., 297mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Tecnologia Ambiental e Recursos

Hídricos, 2000).

Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia.

Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.

1. Transporte de solutos 2. Solo não-saturado

3. Método das características 4. Método dos elementos finitos

I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

WANDERLEY, R.M. (2000). Modelo Advectivo-Dispersivo de Transporte de Solutos em

Solo Não-Saturado Utilizando os Métodos das Características e dos Elementos Finitos.

Dissertação de Mestrado, Publicação MTARH.DM-021A/2000, Departamento de Engenharia

Civil, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 126 p.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Rubens Maciel Wanderley

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Modelo Advectivo-Dispersivo de

Transporte de Solutos em Solo Não-Saturado Utilizando os Métodos das Características e dos

Elementos Finitos.

GRAU / ANO: Mestre / 2000

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de

mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de

mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

________________________________

Rubens Maciel Wanderley

SHCES 609, Bloco C, Apto. 104, Cruzeiro Novo

CEP 70655-693 – Brasília/DF – Brasil

iv

DEDICATÓRIA

Ao meu pai, Ezequiel Luis Vanderlei, e à minha mãe, Eulina Maciel Wanderley, que, com coragem,

esperança, sabedoria, simplicidade, paciência e, principalmente, amor, souberam conduzir

corretamente os meus passos, ensinando-me a viver e compartilhar a vida.

A todos os meus irmãos, Eder, Claudia, Claudio, Carmen, Lany e Leda, que foram sempre um

complemento em minha vida.

À minha namorada, Marcia, que foi sempre amorosa, paciente e compreensiva em todos os momentos

que estivemos juntos.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por estar sempre presente em minha vida.

Ao professor Sergio Koide que, por mais de cinco anos, tem sido mais que um orientador, tem

sido um amigo paciente e dedicado, acreditando em meu potencial e dando-me o apoio

necessário em todo esse tempo.

Aos professores do MTARH: Cristina Celia Silveira Brandão, Marco Antônio de Souza,

Ricardo Silveira Bernardes, Oscar de Moraes Cordeiro Netto, Néstor Aldo Campana e Nabil

Joseph Eid, pelos conhecimentos transmitidos e pelo incentivo durante o período do curso.

Em especial, à professora Cristina Celia Silveira Brandão, pela amizade e pelo constante e

enorme incentivo.

A todos os amigos do mestrado, em especial, aos amigos Waldemir, Jamaci, Luzideth,

Patrícia, Antônio Carlos e Carramaschi, da turma de 97, por terem trilhado junto comigo esse

árduo caminho, sempre com apoio, respeito e grande amizade.

Aos funcionários “Boy”, André e João, pela alegria.

À CAPES pelo apoio financeiro e à UnB pela oportunidade oferecida.

Aos meus pais, Ezequiel Luiz Vanderlei e Eulina Maciel Wanderley, meus irmãos, Eder,

Claudia, Claudio, Carmen, Lany e Leda, meus sobrinhos, Jacqueline, Raphael, Thayná,

Lucas, Nayara, Marcos, Matheus, Milena e Larissa, e todos os outros familiares, pelo apoio,

pelo respeito, pela amizade, pelo carinho e pelo amor que nunca deixaram faltar em minha

vida.

À minha namorada, Marcia, pelo amor, pela paciência e pelo enorme apoio que me deu

durante todo o transcorrer de nosso tempo de união.

A todos aqueles que não foram citados, mas que fizeram parte deste trabalho.

Muito Obrigado a Todos!

vi

RESUMO

Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um modelo numérico bidimensional

para a simulação do transporte de solutos em solo não-saturado, com consideração dos

processos de produção e decaimento e de sorção de solutos. O modelo foi implementado em

linguagem FORTRAN 77, a partir de um modelo de simulação de fluxo não-saturado,

desenvolvido por Koide (1990) e modificado por Campos (1998).

A equação diferencial que rege o transporte de solutos é resolvida pelo modelo com a

combinação de dois métodos numéricos: o método das características e o método dos

elementos finitos. O processo geral de transporte é numericamente dividido em dois

processos: a advecção e a dispersão. Os processos de produção e decaimento e de sorção de

solutos são incluídos na dispersão. O método das características é utilizado para a simulação

da advecção enquanto a dispersão é simulada em seguida pelo método dos elementos finitos.

O modelo permite, para controle do modo de cálculo da advecção, a seleção do padrão

de distribuição de partículas pelo domínio e também do tipo de controle de reposicionamento

dessas partículas durante a simulação.

O modelo foi testado para cinco problemas apresentados na literatura, cujas soluções

analíticas são conhecidas. Nesses testes, foram verificados a precisão e o comportamento do

modelo em relação aos modos de cálculo e em relação ao regime de transporte, que pode ser

predominantemente advectivo ou dispersivo.

Os testes mostraram que o modelo tem, em geral, boa precisão, em especial, para os

casos de regime de fluxo permanente. Em relação aos modos de cálculo, não há grandes

diferenças entre os padrões de distribuição de partículas e um reposicionamento menos

freqüente é recomendável para melhorar a precisão do modelo, reduzindo-se o tempo de

processamento, podendo-se inclusive utilizar um menor número de partículas, diminuindo a

necessidade de uso de memória computacional.

vii

ABSTRACT

This work presents the development of a two-dimensional numerical model for the

simulation of solute transport in unsaturated soil, including the processes of production and

decay and of sorption of solute. The model was implemented in FORTRAN 77 structured

language, based on a model for the simulation of unsaturated flux, developed by Koide (1990)

and modified by Campos (1998).

The diferential equation of the solute transport is solved by the model with a

combination of two numerical methods: the method of characteristics and the finite element

method. The overall process of transport is divided in two processes: the advection and the

dispersion. The minor processes of production and decay and of sorption of solute are

included in the dispersion. The method of characteristics is used for the simulation of

advection while the finite element method is used in sequence for the simulation of the

dispersion and minor processes.

The model allows, for control of the mode of advection calculation, the selection of

the particle distribution patterns over the domain and also the type of reposicioning control of

these particles during simulation.

The model was tested for five problems presented in the literature, to wich analytical

solutions are known. In these tests, the precision and the behaviour of the model in relation to

the mode of advection calculation and the transport regim, that can be predominantly

advective or dispersive, were verified.

The tests showed that the model presented, in general, good precision, especially for

steady state flux. In terms of mode of advection calculation, there are no significative

differences between the particle distribution paterns and a less frequent reposicioning is

suggested to improve the precision and reduce processing time, allowing, in adiction, the use

of a smaller number of particles, reducing the computational memory requirement.

viii

ÍNDICE

1- INTRODUÇÃO ............................................................................................................1

1.1- CONTEXTO GERAL ...................................................................................................1

1.2- OBJETIVOS ...............................................................................................................2

1.3- ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO..................................................................................2

2- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................4

2.1- DISTRIBUIÇÃO DA ÁGUA NA SUBSUPERFÍCIE .............................................................4

2.2- O SOLO E SUAS CARACTERÍSTICAS ...........................................................................6

2.2.1- Características dos Solos Relacionadas à Água ....................................................8

2.2.1.1- Porosidade ..................................................................................................8

2.2.1.2- Fração Volumétrica de Água .......................................................................9

2.2.1.3- Ponto de Murchamento e Capacidade de Campo ........................................9

2.2.1.4- Condutividade Hidráulica ......................................................................... 10

2.3- DESCRIÇÃO DO FLUXO EM SOLO NÃO-SATURADO .................................................. 10

2.3.1- Interações Entre a Água e o Solo ....................................................................... 10

2.3.2- Estado Energético da Água do Solo ................................................................... 12

2.3.3- Curva Característica do Solo: a Relação .................................................... 14

2.3.3.1- Efeitos de Histerese ................................................................................... 16

2.3.4- Equacionamento do Fluxo Não-Saturado ........................................................... 18

2.3.5- A Condutividade Hidráulica do Solo Não-Saturado ........................................... 20

2.4- DESCRIÇÃO DO TRANSPORTE DE SOLUTOS EM SOLO NÃO-SATURADO ..................... 22

2.4.1- Descrição da Advecção ..................................................................................... 22

2.4.2- Descrição da Difusão......................................................................................... 23

2.4.3- Descrição da Dispersão ..................................................................................... 24

2.4.4- Dispersão Hidrodinâmica .................................................................................. 25

2.4.5- Descrição da Sorção .......................................................................................... 26

2.4.5.1- Modelos de Sorção em Equilíbrio .............................................................. 27

2.4.6- Equacionamento do Transporte de Solutos em Solo Não-Saturado .................... 31

3- MODELAGEM ........................................................................................................... 36

3.1- MODELOS FÍSICOS ................................................................................................. 36

3.2- MODELOS ANALÓGICOS ......................................................................................... 37

ix

3.3- MODELOS MATEMÁTICOS ...................................................................................... 37

3.3.1- Modelos Determinísticos e Estocásticos ............................................................ 38

3.3.2- Modelos de Parâmetros Distribuídos e Agregados ............................................. 38

3.3.3- Modelos Conceituais e Empíricos ...................................................................... 39

3.3.4- Modelos Analíticos e Numéricos ....................................................................... 39

3.4- IMPORTÂNCIA DOS MODELOS MATEMÁTICOS ......................................................... 40

4- A MODELAGEM MATEMÁTICA .......................................................................... 42

4.1- O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS .................................................................... 44

4.2- O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ..................................................................... 48

4.2.1- Método dos Resíduos Ponderados ..................................................................... 51

4.2.2- O Método de Galerkin e as Funções de Base ..................................................... 52

4.3- COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS E DOS ELEMENTOS

FINITOS ................................................................................................................. 53

4.4- OUTROS MÉTODOS APLICÁVEIS À SIMULAÇÃO DO TRANSPORTE DE SOLUTOS ......... 54

4.4.1- O Método das Características ............................................................................ 54

4.4.2- O Método de Caminhamento Aleatório (Random Walk).................................... 56

5- ESTUDOS RECENTES EM MODELAGEM NUMÉRICA DO TRANSPORTE DE

CONTAMINANTES EM SOLOS ............................................................................ 57

5.1- A ESCOLHA DO MÉTODO A SER EMPREGADO .......................................................... 62

6- FORMULAÇÃO DO MODELO................................................................................ 64

6.1- APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS .................................................... 64

6.1.1- Geração e Distribuição das Partículas Sobre o Domínio .................................... 65

6.1.2- Movimentação e Acompanhamento de Partículas .............................................. 67

6.2- APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................. 68

6.2.1- Funções de Base ................................................................................................ 72

6.3- INTEGRAÇÃO NO TEMPO ......................................................................................... 73

6.4- DETERMINAÇÃO DAS VELOCIDADES DE ESCOAMENTO ............................................ 75

6.5- DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE DISPERSÃO .................................................... 78

6.6- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ................................................................................... 80

6.7- EVENTOS PARTICULARES ....................................................................................... 81

7- ESTRUTURA DO PROGRAMA E TESTES DO MODELO .................................. 83

x

7.1- ESTRUTURA DO PROGRAMA SSTRANS .................................................................. 83

7.1.1- Entrada de Dados .............................................................................................. 84

7.1.2- Montagem de Matrizes e Vetores Auxiliares ..................................................... 85

7.1.3- Determinação do Menor Comprimento Representativo do Domínio .................. 86

7.1.4- Determinação da Velocidade de Escoamento ..................................................... 86

7.1.5- Geração e Distribuição de Partículas ................................................................. 87

7.1.6- Movimentação das Partículas – Advecção ......................................................... 87

7.1.7- Cálculo da Dispersão ......................................................................................... 89

7.2- TESTES DE VERIFICAÇÃO DO MODELO .................................................................... 89

7.2.1- Teste 1 – Injeção Contínua de Fluido com Soluto no Topo de uma Coluna

Vertical de Solo ............................................................................................... 90

7.2.2- Teste 2 – Concentração Constante no Topo de uma Coluna Vertical de Solo ..... 93

7.2.3- Teste 3 – Transporte de Soluto em uma Coluna Vertical de Solo com Fluxo

Transiente ........................................................................................................ 94

7.2.4- Teste 4 – Concentração Constante no Topo de um Perfil Vertical de Solo ......... 96

7.2.5- Teste 5 – Transporte com Produção/Decaimento e Sorção de Soluto em uma

Coluna Vertical de Solo ................................................................................... 98

8- RESULTADOS ......................................................................................................... 101

8.1- RESULTADOS DO TESTE 1 ..................................................................................... 101





8.6- COMENTÁRIOS FINAIS .......................................................................................... 119

9- CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ................................................................ 121

9.1- CONCLUSÕES ....................................................................................................... 121

9.2- RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ...................................................... 122

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................. 124

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1- Seção vertical de um terreno, mostrando as regiões da subsuperfície ....................5

Figura 2.2- Possíveis situações que um solo não-saturado pode apresentar ..............................7

Figura 2.3- Efeito das forças capilares e de adsorção ............................................................ 12

Figura 2.4- Perfil do potencial total da água do solo ( ) com a posição (z), mostrando os

potenciais gravitacional ( g) e de pressão ( p) ................................................... 14

Figura 2.5- Curva característica de um solo genérico ............................................................ 15

Figura 2.6- Histerese na relação , mostrando as curvas intermediárias ........................... 17

Figura 2.7- Volume elementar representativo do solo, mostrando o balanço de massa da água

do solo ............................................................................................................... 19

Figura 2.8- Efeito da presença de ar sobre a condutividade de um poro ................................. 21

Figura 2.9- Volume elementar representativo do solo, mostrando o balanço de massa do

soluto ................................................................................................................. 32

Figura 4.1- Malhas de elementos finitos ilustrando os tipos de grade .................................... 46

Figura 4.2- Grade de malha centrada ilustrando a numeração dos nós ................................... 47

Figura 4.3- Grade de elementos finitos com elementos triangulares ...................................... 49

Figura 4.4- Plano descrito por uma função de base linear para um elemento triangular ......... 50

Figura 4.5- Comportamento da função de base linear para um elemento triangular ilustrando o

plano formado .................................................................................................... 52

Figura 5.1- Efeitos da oscilação e dispersão numéricas em uma frente de passagem de

contaminante ...................................................................................................... 59

Figura 6.1- Padrões de distribuição de partículas .................................................................. 66

Figura 6.2- Elemento típico .................................................................................................. 72

Figura 6.3- Erro de aproximação na movimentação das partículas ........................................ 80

Figura 7.1- Estrutura do programa SSTRANS ...................................................................... 84

Figura 7.2- Fluxograma do subprograma MOVEM ............................................................... 88

Figura 7.3- Diagrama esquemático/hierárquico do programa SSTRANS .............................. 90

Figura 7.4- Malha de elementos finitos para o teste 1 (caso unidimensional) ......................... 92

Figura 7.5- Malha de elementos finitos para o teste 4 (caso bidimensional)........................... 98

Figura 8.1- Influência do padrão de geração e distribuição das partículas para o teste 1 ...... 102

Figura 8.2- Resultados para o teste 1, com alto valor para o número de Peclet .................... 103

Figura 8.3- Resultados para o teste 1, com baixo valor para o número de Peclet.................. 104

xii

Figura 8.4- Resultados para o teste 1, com controle de reposicionamento do tipo 1 ............. 105


Figura 8.6- Influência do padrão de geração e distribuição de partículas para o teste 2 ........ 106

Figura 8.7- Resultados para o teste 2, com alto valor para o número de Peclet .................... 107

Figura 8.8- Resultados para o teste 2, com baixo valor para o número de Peclet.................. 108


Figura 8.10- Resultados para o teste 2, com controle de reposicionamento do tipo 2 ........... 109

Figura 8.11- Resultados para o fluxo, no teste3 ................................................................... 110

Figura 8.12- Resultados para o teste 3, mostrando a influência dos padrões de geração e

distribuição de partículas, com controle de reposicionamento do tipo 1 ............ 111


distribuição de partículas, com controle de reposicionamento do tipo 2 ............ 113





xiii

LISTA DE SÍMBOLOS

Ae ................................................. área do elemento ...................................................... [L

2]

[Ai] ......... matriz de coeficientes do sistema de equações para o cálculo de vi

B ......................................................... largura ................................................................ [L]

{Bi} .......... vetor de constantes do sistema de equações para o cálculo de vi

Bd ........................................... massa específica do solo ............................................ [ML-3

]

C ............................... concentração de massa do soluto na água ................................ [ML-3

]

{C} ..................................... vetor de concentrações nodais

C .......................................... solução aproximada de C ............................................ [ML-3

]

C* .............................. concentração específica de soluto sorvido ................... [adimensional]

C*max ................... máxima concentração específica de soluto sorvido ............. [adimensional]

C0 ............................................ concentração conhecida ............................................. [ML-3

]

{Ci} .......... vetor de constantes do sistema de equações para o cálculo de vi

Cc .......................................... coeficiente de capacidade ............................................... [L-1

]

D ........... coeficiente de dispersão hidrodinâmica ou coeficiente de dispersão ............ [L2T

-1]

D ............................................... aproximação de D ................................................ [L2T

-1]

Dmn ........ componente do coeficiente de dispersão na direção mn (m, n = x, z) ........... [L2T

-1]

mnD .......................................... aproximação de Dmn ............................................... [L2T

-1]

dD ............................ coeficiente de dispersão mecânica do solo ............................... [L2T

-1]

Dd,ij ... componente do coeficiente de dispersão mecânica na direção ij (i, j = x, y) ...... [L2T

-1]

Dm ............................ coeficiente de difusão molecular do soluto ............................... [L2T

-1]

Ds* ...................................... coeficiente de difusão do solo ........................................ [L

2T

-1]

DL .................................. coeficiente de dispersão longitudinal ................................... [L2T

-1]

DT ................................... coeficiente de dispersão transversal .................................... [L2T

-1]

F1, F2 .......................... variáveis auxiliares de solução analítica

[G] ............................................ matriz de condutância

H ........................................................... altura ................................................................. [L]

J

........................................ fluxo de massa total de soluto .................................... [ML-2

T-1

]

Ji ........................... fluxo de massa de soluto na direção i (i = x, y, z) ...................... [ML-2

T-1

]

aJ

.................................. fluxo de massa advectivo de soluto ................................ [ML-2

T-1

]

dJ

................................... fluxo de massa difusivo de soluto ................................. [ML-2

T-1

]

xiv

hJ

................. fluxo de massa hidrodinamicamente dispersivo de soluto ................ [ML-2

T-1

]

mJ

..................... fluxo de massa mecanicamente dispersivo de soluto ................... [ML-2

T-1

]

K ............................................ condutividade hidráulica ............................................. [LT-1

]

Ki .............. componente da condutividade hidráulica na direção i (i = x, z) ................ [LT-1

]

iK .............................................. aproximação de Ki .................................................. [LT-1

]

Kd .......................................... coeficiente de distribuição .......................................... [L3M

-1]

Kf .................................... constante de sorção de Freundlich ................................... [L3M

-1]

d

Kl ..................................... constante de sorção de Langmuir ..................................... [L3M

-1]

Kp ............................................. coeficiente de partição ............................................. [L3M

-1]

Ksat ............................ condutividade hidráulica do solo saturado ................................ [LT-1

]

Lm .......................... menor comprimento representativo do domínio ................................. [L]

[M] ........................................ matriz de armazenamento

{N} ............................ vetor de produção/decaimento de massa

NN ............................................. número total de nós

O ............................................... operador diferencial

Pe ................................................. número de Peclet ...................................... [adimensional]

R ................................................ fator de retardação ..................................... [adimensional]

S .................................................. grau de saturação ...................................... [adimensional]

Vt ........................................ volume total da matriz sólida ............................................. [L3]

Vv ................................................. volume de vazios ...................................................... [L3]

Vw ............................................ volume da fase líquida .................................................. [L3]

W .................................. área do domínio (região do sistema)

ai, bi, ci .............................. coeficientes das funções de base

b .......................................................... largura ................................................................ [L]

d .............................................. expoente de Freundlich ................................. [adimensional]

dp ........................................... deslocamento da partícula ................................................. [L]

f(x) ................................................ função genérica

g ............................................. aceleração da gravidade .............................................. [LT-2

]

h ............................................................ altura ................................................................. [L]

hb ..................... pressão de borbulhamento ou pressão de entrada de ar ............................ [L]

mt .............................................. massa total de soluto .................................................... [M]

q

.............................................. fluxo de água do solo ........................... [L3L

-2T

-1] ou [LT

-1]

xv

qi .................................. fluxo de água na direção i (i = x, y, z) .............. [L3L

-2T

-1] ou [LT

-1]

bq

..................................... fluxo dispersivo pelo contorno .................................... [ML-2

T-1

]

t ............................................................ tempo ................................................................ [T]

v

......................................... velocidade linear média real .......................................... [LT-1

]

v .................................. módulo da velocidade linear média real .................................. [LT-1

]

vi ......................... velocidade linear média real na direção i (i = x, z) .......................... [LT-1

]

iv ................................................ aproximação de vi .................................................. [LT-1

]

{vi} ...................................... vetor de valores nodais de vi

cv

................................... velocidade linear média corrigida ...................................... [LT-1

]

vic .................... velocidade linear média corrigida na direção i (i = x, z) ...................... [LT-1

]

x, y, z ............... direções, coordenadas cartesianas (z = profundidade) ............................. [L]

i ................................... intervalo na direção i (i = x, y, z, t) ................................ [L] ou [T]

V .................................... volume elementar representativo .......................................... [L3]

............................... contorno do domínio (contorno do sistema)

ijkl ................................. dispersividade geométrica do meio .......................................... [L]

L ......................................... dispersividade longitudinal ................................................ [L]

T .......................................... dispersividade transversal ................................................. [L]

1, 2 .................. constantes de generalização dos modelos de sorção

ij ........................................... função delta de Kronecker

........................................ potencial total da água do solo .............................. [JM-1

] ou [L]

i .................................... fontes e retiradas de massa de soluto ............................... [ML-3

T-1

]

........................................................ porosidade ........................................... [adimensional]

............................................ permeabilidade intrínseca ............................................... [L2]

r .............................................. condutividade relativa .................................. [adimensional]

.................... parâmetro de ponderação de tempo do esquema numérico

' .............. fator geral de primeira ordem de decaimento de massa de soluto .......... [ML-3

T-1

]

l ... constante de primeira ordem de decaimento de massa de soluto na fase líquida ....... [T-1

]

s ... constante de primeira ordem de decaimento de massa de soluto na fase sólida ........ [T-1

]

w ....................................... viscosidade dinâmica da água .................................... [ML-1

T-1

]

................................. fração volumétrica ou conteúdo de água .................... [adimensional]

xvi

ˆ ................................................. aproximação de ...................................... [adimensional]

res ......................................... conteúdo residual de água ............................... [adimensional]

sat ..................................... conteúdo de água na saturação ............................ [adimensional]

w ........................................... massa específica da água ............................................ [ML-3

]

' ................... fator geral de ordem zero de produção de massa de soluto ............... [ML-3

T-1

]

l .......... termo de ordem zero de produção de massa de soluto na fase líquida ....... [ML-3

T-1

]

s ........... termo de ordem zero de produção de massa de soluto na fase sólida ............... [T-1

]

.......................................... fator de tortuosidade do solo ............................. [adimensional]

i ................................. função de ponderação relativa ao nó i

i ...................................... função de base associada ao nó i

........................................... potencial mátrico do solo ................................. [L2T

-2] ou [L]

ˆ ............................................... aproximação de ...................................... [L2T

-2] ou [L]

e ............................................ potencial eletroquímico .................................. [L2T

-2] ou [L]

g ............................................ potencial gravitacional ................................... [L2T

-2] ou [L]

o ............................................... potencial osmótico ...................................... [L2T

-2] ou [L]

p .............................................. potencial de pressão ..................................... [L2T

-2] ou [L]

t ................................................. potencial térmico ....................................... [L2T

-2] ou [L]

1

1- INTRODUÇÃO

1.1- CONTEXTO GERAL

A água subterrânea vem se tornando uma das principais fontes de água potável para a

humanidade. A deterioração de nossos rios e lagos e a crescente demanda de água pelas

populações vem exigindo cada vez mais o seu uso, especialmente em zonas rurais. Segundo

Solley et al. (1988), apud Fetter (1993), mais da metade da população dos Estados Unidos é

abastecida com água subterrânea. No Brasil não existe confirmação em números, mas estima-

se que cerca de 51% da população é abastecida com água de poços subterrâneos (Foster e

Hirata, 1993).

A água subterrânea é aquela água que se armazena em formações geológicas no

subsolo, conhecidas como aqüíferos. Comumente, a água é ali encontrada com melhor

qualidade em relação às águas superficiais. Por isso, o seu aproveitamento, isto é, a sua

potabilização, apresenta custos muito menores, necessitando muitas vezes apenas de algum

processo corretivo e de algum tipo de desinfecção. A manutenção dessa qualidade exige

esforços no sentido de se evitar possíveis contaminações.

A maior parte dos incidentes de contaminação envolvem substâncias líquidas liberadas

sobre ou logo abaixo da superfície dos terrenos. Essas substâncias infiltram-se no solo,

atravessando-o, de modo que normalmente afetam primeiramente a água menos profunda,

localizada na região do solo logo acima da superfície da água acumulada, denominada zona

não-saturada, dirigindo-se então para o aqüífero. Como a água no subsolo está em constante

movimentação, essa contaminação pode se propagar por todo o aqüífero.

Dessa forma, a zona não-saturada apresenta-se como uma primeira barreira à

passagem de contaminantes da superfície para os aqüíferos, formando uma camada de

atenuação dos efeitos danosos da contaminação (Foster e Hirata, 1993). Neste contexto, é de

extrema importância que sejam conhecidos os processos de fluxo de água e de transporte e

armazenamento de contaminantes nessa zona. Para isso, faz-se necessário o uso de

ferramentas que possibilitem, em tempo hábil, o conhecimento e a previsão dos processos

envolvidos nessa zona. Uma dessas ferramentas é a modelagem matemática dos processos

físicos envolvidos. Um bom modelo matemático pode ajudar a prever situações de risco e,

muitas vezes, indicar soluções capazes de resolver problemas graves, desde que o modelo seja

bem manipulado e tenha sido bem calibrado e suficientemente testado.

2

1.2- OBJETIVO

O objetivo deste trabalho foi o desenvolvimento de um modelo matemático para a

simulação do transporte de contaminantes solúveis dentro da zona não-saturada do solo. Esse

modelo foi concebido a partir de um modelo de simulação de fluxo não-saturado já existente,

desenvolvido por Koide (1990) e modificado por Campos (1998). Para isso, numericamente,

o processo de transporte foi dividido em uma parte advectiva e uma dispersiva. O modelo

emprega o Método das Características para a simulação da parte advectiva e o Método dos

Elementos Finitos para a simulação da parte dispersiva.

Os testes de verificação do modelo foram feitos com base em problemas apresentados

na literatura, cujas soluções analíticas são conhecidas, e buscam avaliar o desempenho do

modelo sob diversas situações aplicáveis.

1.3- ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação foi estruturada em capítulos que tratam especificamente de assuntos

relativos ao tema.

O capítulo 2 descreve os princípios físicos envolvidos na movimentação da água no

subsolo e sua interação com os solos, descrevendo também os princípios físicos do transporte

de contaminantes solúveis. Nesse capítulo, são desenvolvidas as equações básicas que regem

o problema.

O capítulo 3 apresenta de forma resumida alguns conceitos relativos à modelagem de

sistemas físicos e a classificação dos diversos tipos de modelos.

No capítulo 4, são apresentados alguns conceitos envolvendo a modelagem

matemática e descritos alguns métodos numéricos aplicáveis.

O capítulo 5 discute alguns dos mais recentes desenvolvimentos na área da

modelagem matemática do transporte de contaminantes em solos, buscando dar uma maior

ênfase ao transporte na zona não-saturada. Ao final, é explicada a seleção do método

numérico empregado no trabalho.

No capítulo 6, é apresentada, de forma detalhada, a formulação do modelo

desenvolvido.

3

No capítulo 7, é discutida a estrutura do programa, escrito em linguagem FORTRAN

77, e são apresentados os problemas para teste do modelo. Os testes procuram cobrir diversas

situações simuláveis pelo modelo.

O capítulo 8 traz os resultados obtidos com os testes do modelo, analisando-os

separadamente para cada teste. Ao final, é feita uma análise geral.

Finalmente, as conclusões são apresentadas no capítulo 9, onde também são feitas

recomendações para pesquisas futuras.

4

2- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Existem diversas fontes de contaminação que colocam em risco a qualidade das águas

subterrâneas. Podem ser das mais variadas formas, tanto projetadas quanto acidentais. Além

disso, existe uma grande variedade de substâncias contaminantes para a água subterrânea.

Fetter (1993) fornece uma extensa lista dessas substâncias. O comportamento desses

contaminantes no subsolo depende, em boa parte, da sua interação com a água. Cada material

dissolve-se na água em um certo grau, podendo ser completamente, parcialmente ou não se

dissolver. Normalmente, os contaminantes são classificados em solúveis e não solúveis. Os

materiais solúveis, também conhecidos como solutos, misturam-se completamente com a

água, passando a fazer parte da sua massa, sendo por isso denominados de Fase Líquida

Aquosa (APL – Aqueous Phase Liquid). Os materiais líquidos não solúveis ou parcialmente

solúveis não se dissolvem completamente e não se misturam a ela. Por isso, são denominados

de Fase Líquida Não-Aquosa (NAPL – Non-Aqueous Phase Liquid). Normalmente, os

NAPL’s possuem massa específica diferente da água e, por isso, são divididos em duas

categorias: os mais leves, cuja massa específica é menor que a da água, sendo denominados

de Fase Líquida Não-Aquosa Leve (LNAPL – Light Non-Aqueous Phase Liquid), e os

mais pesados, de massa específica maior que a da água, denominados de Fase Liquida Não-

Aquosa Densa (DNAPL – Dense Non-Aqueous Phase Liquid). Neste trabalho, o modelo

desenvolvido considera somente o transporte de solutos, cujo enfoque será dado nos itens

seguintes.

O maior problema da contaminação da água subterrânea é o fato de ser um processo

de longa duração (Fetter, 1993), devido à baixa velocidade com que a água se move no

subsolo. Assim, quando alguma contaminação é detectada, a sua remediação pode ser

extremamente lenta e bastante dispendiosa. Fetter (1993) lista uma série de casos que

evidenciam isso. Por outro lado, porém, o fato de ser lento beneficia o controle, se o problema

for detectado a tempo.

2.1- DISTRIBUIÇÃO DA ÁGUA NA SUBSUPERFÍCIE

A Figura 2.1 mostra esquematicamente uma seção vertical de um terreno. De acordo

com a proporção de água dentro dos vazios do solo, a subsuperfície pode ser dividida em duas

regiões: uma zona saturada, onde a água presente ocupa todos os vazios da matriz sólida, e

5

uma zona não-saturada, onde se considera que a água não preenche todos os vazios e, por

isso, há a presença de gases. No entanto, o principal fator de distinção entre as duas zonas está

relacionado com a pressão da água no interior dos poros. Na zona saturada, a água encontra-se

sob uma pressão igual ou superior à pressão atmosférica (pressão relativa nula ou positiva)

enquanto que na zona não-saturada a pressão da água é inferior à atmosférica (pressão relativa

negativa). Com isso, inclui-se nessa última zona a região onde os poros podem estar cheios de

água, porém com pressão relativa negativa, como é o caso da região conhecida como franja

capilar.

Zona das raízes

Zona intermediária

Franja capilar

Zona saturada

pressão > 0

Zona não-saturada

pressão < 0

Nível freático

pressão = 0

Figura 2.1- Seção vertical de um terreno, mostrando as regiões da subsuperfície

A zona não-saturada é geralmente subdividida em três zonas:

a) zona das raízes ou zona do solo: compreende a região do terreno até a profundidade

normal de crescimento do sistema radicular das plantas. Normalmente, é considerada

tendo espessura de 1m, muito embora não tenha profundidade definida;

b) zona intermediária: é considerada desde o limite inferior da zona das raízes até o limite

superior da franja capilar; e

c) zona ou franja capilar: compreende a região logo acima da zona saturada. Nela os poros

estão saturados com água, porém com pressão negativa devido a efeitos de

capilaridade. A sua espessura depende da estrutura e da textura do solo.

O fluxo subsuperficial é um importante componente do ciclo hidrológico. A água que

atinge a superfície do terreno através de chuvas, irrigações etc., pode infiltrar-se, espalhando-

se pelo terreno. Uma parte pode evaporar, outra percolar para baixo. Essa água que percola

pode atingir camadas mais profundas e menos permeáveis de solo e acumular-se, criando

assim a zona saturada, constituída principalmente por aqüíferos. A superfície contínua dessa

zona possui pressão nula (igual à atmosférica) e é denominada superfície freática. É essa

6

superfície que separa a zona saturada da não-saturada. Portanto, de um modo menos formal, a

zona não-saturada é a região do subsolo que se estende da superfície do terreno até a

superfície freática (Nielsen et al., 1986; Ward e Robinson, 1990; Fetter, 1993).

2.2- O SOLO E SUAS CARACTERÍSTICAS

O solo é um material poroso, bastante complexo, que normalmente é resultante das

ações de intemperismo sobre rochas. Comumente, apresenta-se como um sistema constituído

por três fases:

• fase sólida: também chamada de matriz sólida ou matriz porosa (Bear, 1972; Voss, 1984),

compreende as partículas sólidas do solo;

• fase líquida: compreende a água e os materiais dissolvidos que se encontram nos poros

entre as partículas. Também é denominada de solução de solo (Ward e Robinson,

1990); e

• fase gasosa: constituída pelo ar, pelo vapor de água e por outros gases que eventualmente

podem estar presentes nos poros.

Como essas três fases não estão em constante equilíbrio, as proporções de cada uma

dentro do solo varia com o tempo. Para um solo completamente saturado, a fase gasosa

inexiste por completo, de modo que os poros da matriz sólida estão preenchidos pela fase

líquida. Para um solo não-saturado, podem existir 4 possíveis situações (Santos Neto, 1990),

que podem ser visualizadas na Figura 2.2:

i) solo com baixo grau de saturação com gás contínuo e água descontínua. A fase líquida

apresenta pequeno volume relativamente à fase gasosa, de modo que se formam

meniscos em torno das partículas sólidas;

ii) solo com grau de saturação intermediário onde as fases líquida e gasosa possuem

volumes relativamente semelhantes e apresentam-se ambas em forma contínua;

iii) solo com elevado grau de saturação onde o volume da fase líquida é amplamente

superior ao da fase gasosa, de modo que a primeira apresenta-se contínua e a

segunda, descontínua, aparece como bolhas dispersas na fase líquida; e

iv) solo com grandes vazios de gás, dispersos numa matriz sólida saturada. Nesse caso, as

bolhas da fase gasosa são muito maiores que as partículas da matriz sólida que

encontram-se unidas pelas forças de adesão da fase líquida.

7

i) gás contínuo, água

descontínua

água

partícula sólida

gás

ii) gás contínuo, água

contínua

água

partícula sólida

gás

iii) gás descontínuo,

água contínua

água

partícula sólida

gás

iv) grandes bolhas de

gás dispersas numa

matriz saturada

gás

partícula sólida

água

Figura 2.2- Possíveis situações que um solo não-saturado pode apresentar

Fonte: Santos Neto (1990), modificado

Os volumes das fases líquida e gasosa armazenáveis em um solo dependem de duas

características básicas do mesmo: a sua textura e a sua estrutura. A textura de um solo é

definida a partir da sua distribuição granulométrica, isto é, a distribuição dos tamanhos dos

grãos sólidos. Esses grãos podem agrupar-se formando unidades maiores, chamadas

agregados, que estão separadas entre si por planos de fraqueza (Ward e Robinson, 1990). A

estrutura do solo resulta do arranjo desses agregados. A fase líquida presente no solo pode

ocupar tanto os vazios entre os grãos (vazios texturais) quanto entre os agregados (vazios

estruturais).

As partículas da matriz sólida podem ser de variados tamanhos, dependendo do tipo de

material primário, isto é, da rocha originária, e do tipo de intemperismo atuante, podendo ser

8

distribuídas em quatro classes predominantes: argilas, siltes, areias e pedregulhos. Não existe

um consenso geral em relação aos tamanhos dos grãos em cada classe. Bear (1972) apresenta

um conjunto de classificações normalmente usadas em estudos de solo.

Algumas das principais características do solo são determinadas pela fração de argila

presente. Geralmente, essa fração é considerada como sendo formada por partículas com

diâmetros efetivos menores que 2 m (Bear, 1972; Yong et al., 1996; Hillel, 1998) e consiste

de partículas minerais conhecidas como minerais de argila. Uma descrição detalhada desses

minerais é fornecida por Yong et al. (1996).

Os minerais de argila possuem uma alta superfície específica, isto é, alta relação área

superficial por volume unitário. Além disso, possuem uma carga elétrica negativa não

balanceada na sua superfície. Essa carga superficial pode afetar a estrutura do solo. O

principal efeito da carga superficial das argilas é a criação de um campo elétrico que atrai

cátions para as proximidades, criando a conhecida dupla camada eletrostática. Mais

detalhes podem ser encontrados em Nielsen et al. (1986) e Foster e Hirata (1993).

2.2.1- Características dos Solos Relacionadas à Água

2.2.1.1- Porosidade

A matriz sólida é composta de grãos sólidos e de poros ocupados por líquidos e gases.

A determinação do volume absoluto desses últimos poderia ser um fator conclusivo para a

caracterização do solo. Porém, sua proporção em relação ao volume total é muito mais útil.

A porosidade é definida como a relação entre o volume de vazios e o volume total da

matriz sólida

t

v

V

V (2.1)

onde = porosidade [adimensional],

Vv = volume de vazios [L3] e

Vt = volume total da matriz sólida [L3], isto é, o volume de vazios mais o volume

dos grãos sólidos.

9

2.2.1.2- Fração Volumétrica de Água

O volume que a fração líquida ocupa dentro da matriz sólida é caracterizado pela

fração volumétrica de água, também chamada conteúdo de umidade ou conteúdo de água.

É expresso como a relação entre o volume da fase líquida e o volume total da matriz sólida

t

w

V

V (2.2)

onde = conteúdo de água [adimensional] e

Vw = volume da fase líquida presente [L3].

Também pode ser definido o grau de saturação (S) [adimensional], que expressa, em

porcentagem, a relação entre o volume de água e o volume de vazios, ou seja,

100V

VS

v

w (2.3)

2.2.1.3- Ponto de Murchamento e Capacidade de Campo

Como já descrito, a água num solo não-saturado encontra-se sob uma pressão relativa

negativa (sucção) que depende do conteúdo de água ( ). Assim, para uma planta conseguir

extrair água do solo, ela precisa produzir, através de suas raízes, uma sucção sobre a água

maior que a do solo. O ponto de murchamento de um solo é definido como o conteúdo

mínimo de água presente no solo em que as plantas conseguem extrair água, ou seja, quando a

sucção máxima produzida pela planta iguala-se à sucção do solo. Embora a sucção máxima

que se consegue produzir dependa do tipo de planta e do seu estado de crescimento, em geral,

diferenças pouco significativas entre diferentes plantas são obtidas em um mesmo solo (Ward

e Robinson, 1990), de modo que o valor do ponto de murchamento é usualmente considerado

constante para o solo.

Se uma amostra de solo saturado é posta em repouso, a água que inicialmente está

presente nos poros tende a movimentar-se para baixo, por efeito da gravidade, drenando o

10

solo. Após um certo período de tempo, verifica-se que uma certa quantidade de água continua

retida entre os grãos. Esse conteúdo de água remanescente é definido como a capacidade de

campo do solo. O tempo necessário para a drenagem não é estabelecido quantitativamente,

mas, para situações de campo, é normalmente tomado como sendo 48 horas após o término da

chuva que levou o solo à saturação (Ward e Robinson, 1990).

2.2.1.4- Condutividade Hidráulica

A condutividade hidráulica é uma medida da capacidade de um meio poroso de

permitir a passagem de um fluido (Fetter, 1993). Expressa a velocidade média com que o

fluido pode atravessar os poros da matriz sólida quando está sujeito a um gradiente hidráulico

unitário, podendo ter um valor diferente para cada direção. É uma função do tamanho,

continuidade e forma dos vazios, isto é, da estrutura e textura do solo, e das características do

fluido. Com isso, o seu valor em geral é mais alto para solos de granulometria grosseira e

mais baixo para solos de granulometria fina.

Na zona saturada, o valor da condutividade hidráulica, para uma dada direção, pode

ser considerado invariável, qualquer que seja o tipo de solo, mas para a zona não-saturada o

seu valor varia consideravelmente com o conteúdo de água. No Item 2.3.5, será feita uma

descrição mais detalhada do assunto.

2.3- DESCRIÇÃO DO FLUXO EM SOLO NÃO-SATURADO

A presença de ar nos poros de um solo não-saturado afeta fortemente as suas

características hidráulicas, de modo que a descrição do fluxo nessa zona torna-se amplamente

complexa.

2.3.1- Interações Entre a Água e o Solo

A água presente em um solo tende a movimentar-se para baixo por ação da força

gravitacional. No entanto, quando o seu conteúdo está abaixo da capacidade de campo do

solo, não ocorre essa drenagem e a água fica retida nos poros da matriz sólida, devido a forças

11

características da interação entre a água e o solo. As principais forças de retenção atuantes são

as de capilaridade, adsorção e osmose (Ward e Robinson, 1990).

As forças capilares são resultantes da tensão superficial na interface entre a água e o

ar. A atração entre as moléculas de água no líquido é maior que a das moléculas de vapor.

Com isso, a superfície livre da água líquida tende a se contrair formando uma película. No

entanto, quando a água encontra uma face sólida, ela pode aderir-se a essa face com uma

força maior ou menor que a atração entre suas moléculas. No caso dos solos, é comum que a

adesão seja maior, de modo que, nos contatos das faces sólidas com a água, essa sofra uma

elevação e, fora desses contatos, sofra um abaixamento. A força capilar é o resultado da

combinação dessas duas forças. Assim, a superfície livre da água fica encurvada, formando

um menisco, e a intensidade da força capilar dependerá dessa curvatura. Por isso, a água é

retida mais fortemente em poros menores, como os dos solos de textura fina, onde os

meniscos possuem uma curvatura mais acentuada.

As forças de adsorção são resultantes principalmente da atração eletrostática entre as

moléculas de água e as superfícies das partículas sólidas. Como as forças eletrostáticas só são

efetivas em pequenas distâncias, as moléculas de água formam finíssimos filmes sobre as

partículas do solo, quando sujeitas somente a essas forças. A quantidade de água adsorvida

eletrostaticamente depende fundamentalmente da área superficial das partículas, de modo que

aquelas com maior área específica retém mais água. Isto ajuda a explicar porque as argilas

retém mais a água do que outros tipos de solo (Ward e Robinson, 1990).

Quando a água possui solutos dissolvidos, surge então a força osmótica. Ela é o efeito

resultante da diferença de concentração de soluto através de uma membrana permeável. Nos

solos, essa membrana permeável pode ser uma barreira tal como uma bolha de ar que ocupe

um poro e que permite que moléculas de água, sob a forma de vapor, a atravessem no sentido

da solução menos concentrada para a mais concentrada. Com isso, há uma pequena atração

entre as soluções em ambos lados da bolha (Hillel, 1998).

A combinação das forças capilares e de adsorção resulta numa sucção denominada

sucção mátrica ou matricial, pois os seus efeitos geralmente atuam conjuntamente no

sentido de reter a água sobre as partículas da matriz sólida. O seu efeito pode ser visualizado

na Figura 2.3.

A combinação de todas as forças de retenção resulta numa sucção denominada sucção

total, que varia com a textura e a estrutura do solo, bem como com o seu conteúdo de água.

12

partículas

água adsorvidaágua capilar

Figura 2.3- Efeito das forças capilares e de adsorção

Fonte: Ward e Robinson (1990), modificado

2.3.2- Estado Energético da Água do Solo

O movimento da água num solo não-saturado é dirigido principalmente pelas suas

energias potenciais. Logicamente, a água deslocando-se num solo possui velocidade e,

portanto, possui também energia cinética. No entanto, devido às baixas velocidades com que

se processa o movimento, essa energia é desprezível, de modo que consideram-se apenas as

energias potenciais. Por isso, o estado energético da água no solo é normalmente denominado

de potencial da água do solo.

Conceitualmente, esse potencial expressa a energia potencial total da água do solo em

relação a um referencial padrão. A energia potencial de qualquer corpo é resultante da ação de

forças que possibilitem ou restrinjam o seu movimento. No caso da água do solo, as principais

forças atuantes são as forças capilares, de adsorção, osmótica e eletroquímicas, além da força

gravitacional.

Portanto, o potencial total da água do solo é dado por

teopg (2.4)

onde = potencial total da água do solo,

g = potencial gravitacional,

p = potencial de pressão,

o = potencial osmótico,

e = potencial eletroquímico e

t = potencial térmico.

13

Cada um desses potenciais pode ser expresso em unidades de energia por unidade de

massa da água [L2T

-2]. Porém, é muito mais usual que sejam usadas dimensões de

comprimento [L], sendo conhecidos, dessa forma, como cargas, expressando a energia da

água por unidade de peso.

No estudo de potenciais, deve ser levado em consideração um nível de referência. Em

geral, para os potenciais de pressão, considera-se como referência a pressão atmosférica.

Dessa forma, uma carga nula equivale ao potencial produzido por uma pressão igual à pressão

atmosférica.

Assim, para solos não-saturados, o potencial de pressão, que engloba as forças

capilares e de adsorção, representa a sucção produzida pelo solo, sendo denominado de

potencial mátrico, de valores negativos. Em solos saturados, o potencial de pressão engloba

as forças devidas à pressão hidrostática, representando o potencial piezométrico, com valores

positivos. Em solos não-saturados, o potencial gravitacional aumenta com a elevação e tende

a drenar o solo, caso as forças de retenção não sejam suficientes (Ward e Robinson, 1990).

O potencial osmótico e o potencial eletroquímico são provocados pela presença de

solutos e podem ser desprezados em estudos de fluxo, por conseqüência de seu baixo valor

em comparação com os outros potenciais. O potencial térmico é importante somente quando o

problema trata de fluidos aquecidos em condições não isotérmicas (Santos, 1996), sendo que

pode ser desprezado na maioria dos casos, inclusive neste trabalho.

Assim, neste estudo, o potencial total pode ser descrito como a soma dos potenciais

gravitacional e de pressão, ou seja,

pg (2.5)

Para os potenciais gravitacionais, adota-se, em geral, um datum ou nível no terreno

como referência. Pode ser tomado qualquer nível. Na prática, é usual, em solos não-saturados,

usar como datum a superfície do terreno. Assim, em termos de carga, o potencial

gravitacional é tomado como a posição do ponto em consideração medida em um eixo vertical

com sentido para cima, isto é,

z (2.6)

onde = potencial mátrico [L] e

14

z = profundidade da água do solo [L].

A Figura 2.4 ilustra o comportamento do potencial total, em relação ao eixo vertical z.

g p

Nível freático

p g

Plano de

fluxo zero

z

Superfície do terreno

Figura 2.4- Perfil do potencial total da água do solo ( ) com a posição (z), mostrando os

potenciais gravitacional ( g) e de pressão ( p)

Fonte: Ward e Robinson (1990), modificado

Fisicamente, a água move-se de um ponto de potencial total mais alto para um de

potencial total mais baixo, não importando os valores e sim a diferença entre os pontos. De

modo mais específico, o que rege o movimento da água do solo são os gradientes do potencial

total ( ). Podem existir locais onde esses gradientes são nulos, de modo que a água, nesses

locais, não possui movimento. Na Figura 2.4, o plano de fluxo zero é o conjunto desses

pontos e representa um plano de máximo potencial ( = 0). Acima desse plano, o fluxo se dá

com sentido à superfície, com o contrário ocorrendo abaixo.

2.3.3- Curva Característica do Solo: a Relação

O potencial mátrico ( ), que representa a sucção do solo, está intrinsecamente

relacionado com o conteúdo de água ( ). Normalmente, diz-se que é uma função de . Com

15

isso, essa relação pode ser expressa por um gráfico, denominado curva característica do solo

ou curva de retenção de umidade. A Figura 2.5 mostra uma curva característica para um

solo genérico.

Quando o solo está saturado, o potencial mátrico é nulo. Se então lhe é aplicada uma

sucção gradualmente crescente, verifica-se que, no início, praticamente nenhuma água é

retirada, de modo que o seu conteúdo permanece inalterado e igual ao conteúdo de água na

saturação ( sat). A sucção aumenta até que se atinja uma sucção limite na qual os poros

começam a drenar e permitem a entrada de ar no solo. Essa sucção é conhecida como pressão

de borbulhamento ou pressão de entrada de ar (hb). A partir daí, uma certa quantidade de

água é perdida para cada aumento na sucção aplicada, fazendo com que o conteúdo de água

diminua consideravelmente. Com o aumento da sucção, chega-se a um ponto onde não mais

se consegue retirar água do solo. Daí em diante, o conteúdo de água torna-se novamente

constante para qualquer aumento na sucção. Esse último conteúdo de água é denominado

conteúdo residual de água ( res). Esse comportamento é muito comum para a maioria dos

solos, porém alguns têm comportamento diferente, não sendo tratados aqui.

0,5 0,60,40,30,10 0,2

-100

-102

-104

-106

hb

res = 0,1

sat = 0,5

Conteúdo de água

Pote

nci

al m

átri

co

(cm

)

Figura 2.5- Curva característica de um solo genérico

Fonte: Fetter (1993), modificado

16

A forma da curva característica depende, basicamente, do tipo de solo, com sua textura

e estrutura. Como a curva é uma resposta à entrada de ar nos poros, especialmente na pressão

de borbulhamento, ela tem uma curvatura mais acentuada para solos arenosos do que para

solos argilosos. Quando um solo está sendo drenado, os poros maiores, que suportam uma

menor força de retenção, permitem mais rapidamente a entrada de ar. Os poros menores

somente permitem a entrada de ar a sucções mais altas. Como, nos solos arenosos, a maioria

dos poros é relativamente grande, eles drenam quase todos ao mesmo tempo, com uma queda

do conteúdo de água mais acentuado. Por isso, o efeito da pressão de borbulhamento é mais

visível nesses tipos de solo. Nos solos argilosos, os poros são menores e a entrada de ar ocorre

lentamente, de modo que a curva característica tem curvatura bem menos acentuada.

2.3.3.1- Efeitos de Histerese

A principal dificuldade na obtenção e utilização de curvas características é

determinada pelos efeitos de histerese. De uma maneira geral, o processo de secagem de um

solo apresenta a relação do potencial mátrico com o conteúdo de água diferente da obtida no

umedecimento. Com isso, o potencial mátrico não vai depender somente do conteúdo de água

presente, mas também de o solo estar sendo umedecido ou secado. A Figura 2.6 ilustra os

efeitos da histerese.

Os poros esvaziam-se a um potencial mátrico normalmente maior do que quando são

preenchidos. Isto ocorre, principalmente, devido a três efeitos (Nielsen et al., 1986; Ward e

Robinson, 1990; Hillel, 1998):

i) efeito de gargalo: esse efeito é provocado principalmente pela geometria do poro. O poro

em um trecho mais estreito necessita de maior sucção para drenar do que em trecho

mais largo, pois a curvatura do menisco no seu interior é mais acentuada;

ii) efeito ângulo de contato: o ângulo de contato entre o fluido e as partículas da matriz

sólida é maior quando o solo está sendo umedecido do que quando ele está secando.

Isso acontece porque a água em contato com as partículas tende a manter a posição

inicial do contato, movimentando-se assim com uma defasagem em relação à água

no centro do poro. Com isso, o menisco tem maior curvatura durante a secagem do

que durante o umedecimento, o que produz uma maior sucção na secagem; e

iii) efeito do ar aprisionado: para uma mesma sucção mátrica, o conteúdo de água tende a

ser menor no umedecimento do que na secagem, pois alguma quantidade de ar pode

17

eventualmente ficar aprisionada nos poros. Esse efeito é mais evidente quando o solo

está sob sucção nula, pois a saturação não chega a ser total quando é umedecido. O ar

aprisionado, com o tempo, pode se dissolver, permitindo a saturação completa do

solo.

0,60,50,40,30,10 0,2-100

-102

-104

-106

Conteúdo de água

Pote

nci

al m

átri

co

(cm

) Secagem

Umedecimento

Figura 2.6- Histerese na relação , mostrando as curvas intermediárias

Nos solos argilosos, os efeitos de histerese podem ser acentuados pelos efeitos de

inchamento e encolhimento dos minerais de argila. Quando ocorre umedecimento, a matriz

porosa incha, aumentando o volume dos poros e, portanto, o seu volume total. O contrário

ocorre na secagem. Isso porque os minerais de argila podem absorver grandes quantidades de

água e íons entre suas partículas (Fetter, 1993; Hillel, 1998).

Quando o processo de secagem (ou umedecimento) não é completo e o processo

inverso é iniciado, o solo seguirá um caminho intermediário, a partir do ponto onde parou, até

atingir a curva característica novamente, como mostrado na Figura 2.6.

A dificuldade de se obter e/ou modelar precisamente a histerese em solos é muito

grande, de modo que, na prática, ela é geralmente ignorada, sendo usada somente a curva de

secagem ou a de umedecimento, pois os erros inerentes a essa aproximação em geral são

pequenos em termos globais.

18

2.3.4- Equacionamento do Fluxo Não-Saturado

Segundo Fetter (1993), o primeiro a reconhecer as leis básicas do fluxo não-saturado

foi Buckingham. No seu trabalho, publicado em 1907, ele descrevia que o potencial mátrico

( ) do solo era dependente do seu conteúdo de água ( ), da temperatura e da massa específica

do solo. Descrevia também que o fluxo de água através de uma seção era proporcional ao

gradiente do potencial mátrico do solo. A proporcionalidade entre o fluxo e o gradiente é dada

por um fator K( ) denominado de condutividade hidráulica, que é uma função do potencial

mátrico do solo. Como o potencial mátrico do solo depende do seu conteúdo de água, alguns

autores preferem expressar a condutividade hidráulica como uma função do conteúdo de água,

ou seja, K( ).

No entanto, somente em 1928, Richards formalizou as idéias de Buckingham e

estendeu o conceito ao gradiente do potencial total. A lei de fluxo de Buckingham é então

dada vetorialmente por

Kq

(2.7)

onde q

= fluxo de água do solo [LT-1

],

K( ) = condutividade hidráulica do solo não-saturado para um dado potencial

mátrico [LT-1

] e

= gradiente do potencial total de água do solo [adimensional].

Deve ser notada a semelhança dessa equação com a equação de Darcy para o fluxo

saturado, podendo ser considerada, então, como uma extensão.

O fluxo de água do solo ( q

) é um vetor que atua na direção do gradiente. Representa a

velocidade média com que a água atravessa uma seção de área unitária do solo, tendo por isso

dimensões de velocidade.

Para o volume elementar representativo de um solo não-saturado, mostrado na Figura

2.7, cujos lados tem comprimentos x, y e z, o volume é dado por V = x y z. A lei de

conservação de massa ou equação de continuidade para esse volume pode ser estabelecida

pelo princípio: a massa de água que entra no volume menos a que sai é igual à taxa de

variação de água nesse volume. A descarga de água através de uma face i é o produto do fluxo

qi pela área daquela face. A variação do fluxo dentro do volume elementar ao longo da

direção i é dada por ( qi/ i) i. Portanto, a equação da continuidade será

19

t

Vyxz

z

qq

zxyy

qqzyx

x

qqyxqzxqzyq

zz

y

yx

xzyx

(2.8)

qy + qy / y y

qzqx + qx / x x

qx

qz + qz / z z

qy

x

z

y

yx

z

Figura 2.7- Volume elementar representativo do solo, mostrando o balanço de massa da água

do solo

Reorganizando a equação e considerando que não há variação de volume da matriz

sólida, a equação da continuidade se reduz a

z

q

y

q

x

q

t

zyx (2.9)

Em notação vetorial

qt

(2.10)

Combinando as Equações (2.7) e (2.10), chega-se à equação geral do fluxo não-

saturado, conhecida como equação de Richards (Richards, 1931, apud Fetter, 1993).

Kt

(2.11)

20

Substituindo o valor de da Equação (2.6), vem

zKKt

zKt

(2.12)

Como z = 1, a Equação (2.12) se torna a equação geral de fluxo em solos não-

saturados

KKt

(2.13)

A obtenção da Equação (2.13) leva em consideração várias hipóteses simplificadoras:

matriz sólida indeformável, temperatura e pressão do ar constantes, água incompressível,

densidade da água independente da concentração de solutos e invariante sobre o domínio.

Também assume que a presença de ar pode ser ignorada, exceto quando afeta o valor de K

(Fetter, 1993). Nielsen et al. (1986) descrevem as implicações práticas que essas hipóteses

podem ter.

2.3.5- A Condutividade Hidráulica do Solo Não-Saturado

A condutividade hidráulica é uma medida da capacidade de um meio poroso de

permitir a passagem de um fluido. Em um sistema solo-água-ar, quando o solo está saturado,

todos os poros estão preenchidos por água, de modo que a grande maioria consiste em

conexões que permitem a passagem dessa. A condutividade, nesse caso, é máxima e, como os

poros teoricamente não perdem volume, a capacidade desse solo de transmitir água é

praticamente invariável e pode ser considerada constante.

No entanto, em solos não-saturados, a presença de ar complica consideravelmente o

comportamento da água. Como o fluxo de água se dá por dentro de conexões, quanto menor

essa conexão menor a capacidade do poro de transmitir água. Assim, se uma bolha de ar

ocupa um poro parcialmente, a pequena conexão formada permite a passagem de uma

pequena quantidade de água. Se ocupar o poro inteiramente, a conexão é quebrada e a água

não tem condições de passar por aquele poro. Dessa forma, fica evidente a forte influência

que o conteúdo de água tem sobre o valor da condutividade hidráulica, ou seja, a

21

condutividade é realmente uma função do conteúdo de água e, conseqüentemente, do

potencial mátrico do solo. Como se vê, não é necessário apenas que haja água disponível ao

fluxo, mas também que essa água esteja interconectada entre os poros. Esse efeito pode ser

visualizado na Figura 2.8.

partícula

arágua

(a)

A bolha de ar impede o fluxo

(b)

Sem a bolha o fluxo é livre

água

partícula

Figura 2.8- Efeito da presença de ar sobre a condutividade de um poro

Devido ao fato de ser dependente do conteúdo de água do solo, que é histerético em

relação ao potencial mátrico, a condutividade hidráulica também apresenta comportamento

histerético, o que a torna um fator complicador na resolução das equações de fluxo. Segundo

Nielsen et al. (1986), apesar de ser pouco pronunciada, a histerese de K não deve ser

desconsiderada. No modelo de fluxo utilizado neste trabalho (Koide, 1990; Campos, 1998), o

efeito da histerese é desconsiderado.

A condutividade também é influenciada pela temperatura. Constantz (1982), apud

Nielsen et al. (1986) e Fetter (1993), obteve a seguinte relação

w

wr gK (2.14)

onde r( ) = condutividade relativa [adimensional],

= permeabilidade intrínseca [L2],

w = massa específica da água [ML-3

],

g = aceleração da gravidade [LT-2

] e

w = viscosidade dinâmica da água [ML-1

T-1

].

Nessa equação, a permeabilidade intrínseca ( ) é uma medida da facilidade que a água

tem de atravessar a matriz sólida, quando essa encontra-se saturada. Tecnicamente, é esse

termo que define o valor máximo da condutividade hidráulica. A condutividade relativa ( r) é

22

um número que varia de 0 a 1 e expressa a fração da permeabilidade intrínseca que permanece

quando o solo não encontra-se saturado. Por isso, é quem determina a dependência de K em

relação a . Os dois outros parâmetros, ou seja, a densidade e a viscosidade dinâmica, são

características da água. O efeito da temperatura ocorre sobre os seus valores. Porém, como a

densidade é muito pouco afetada, o efeito principal da temperatura está sobretudo na

viscosidade dinâmica.

A condutividade hidráulica também pode ser afetada pela presença de íons em

solução. Nielsen et al. (1986) descrevem com detalhes esse processo. Geralmente, um

aumento na concentração de íons produz uma redução na condutividade do solo. Esse

processo é parcialmente reversível se a solução for levada pelo fluxo e substituída por outra

menos concentrada. Yong et al. (1996) descrevem os principais efeitos da salinidade sobre a

condutividade hidráulica em solos argilosos. A maioria dos modelos de fluxo de água em

solos, desconsideram esses efeitos. Porém, Nielsen et al. (1986) recomendam que, devido à

sua significância, os efeitos da salinidade devam ser incluídos nos modelos de fluxo e

transporte, embora a dificuldade para isso seja imensa. Este trabalho desconsidera os efeitos

da temperatura e da presença de íons.

2.4- DESCRIÇÃO DO TRANSPORTE DE SOLUTOS EM SOLO NÃO-SATURADO

Os materiais dissolvidos na água do solo são transportados pelo fluxo dessa, porém,

em geral, com uma velocidade diferente. O transporte de solutos em um solo é o resultado de

três processos principalmente: advecção, dispersão e difusão. Além disso, uma substância

dissolvida pode sofrer reações químicas tanto com as partículas da matriz sólida quanto com

outras substâncias ou ainda aderir-se às partículas sólidas, em um processo conhecido como

sorção.

2.4.1- Descrição da Advecção

O transporte advectivo, ou simplesmente advecção, ocorre quando o soluto é

carreado pelo fluxo de água. Portanto, na ausência de um outro processo, ele ocorreria à

mesma velocidade do fluxo. A velocidade real com que o fluido se move por dentro dos poros

da matriz sólida é maior que a velocidade descrita pelo fluxo q

. Isso porque nem toda a área

23

transversal está disponível para o fluxo, devido à presença dos grãos sólidos e de bolhas de ar.

A velocidade média real do fluxo relaciona-se com o fluxo q

por

q

v

(2.15)

onde v

= velocidade linear média real da água [LT-1

].

A massa de soluto transportada por advecção é dependente da sua concentração na

água e do fluxo de água. Pode ser expresso como

CvCqJa

(2.16)

onde aJ

= fluxo de massa advectivo de soluto [ML-2

T-1

] e

C = concentração de massa de soluto na água [ML-3

].

A advecção também recebe o nome de convecção. No entanto, o termo advecção é

considerado mais adequado, porque o termo convecção sugere a idéia de movimentação

devida a diferenças de temperatura (Wang e Anderson, 1982).

O resultado do transporte advectivo puro é que, praticamente, não há espalhamento do

soluto na água. Assim, se a entrada do soluto no solo for em forma de um pulso, esse será

transportado como um bloco, não alterando o seu perfil. Essa característica é muito útil em

testes de modelos.

2.4.2- Descrição da Difusão

Normalmente, uma massa de soluto se move de uma região mais concentrada para

uma menos concentrada. Esse movimento é natural e espontâneo, sendo denominado difusão

molecular ou, simplesmente, difusão. Resulta dos movimentos aleatórios das moléculas do

soluto na água e independe da ocorrência de movimentação da água. Basta que exista um

gradiente de concentração. O fluxo de massa difusivo é expresso pela primeira lei de Fick

CDJ*

sd

(2.17)

24

onde dJ

= fluxo de massa difusivo de soluto [ML-2

T-1

],

Ds* = coeficiente de difusão do solo [L

2T

-1] e

C = gradiente de concentração de soluto na massa de água [ML-4

].

O sinal negativo indica que o transporte ocorre na direção decrescente da

concentração.

O coeficiente de difusão está associado com a tortuosidade do meio poroso por (Bear,

1972; Nielsen et al., 1986)

m*

s DD (2.18)

onde Dm = coeficiente de difusão molecular do soluto [L2T

-1] e

( ) = fator de tortuosidade do solo [adimensional].

A tortuosidade do solo é uma medida do efeito da forma dos poros sobre o fluxo da

água (Fetter, 1993). No caso do solo não-saturado, o conteúdo de água terá efeito significativo

sobre o fator , pois a presença de ar aumenta a tortuosidade do solo. Este trabalho

desconsidera essa variação, sendo a tortuosidade considerada constante.

2.4.3- Descrição da Dispersão

Também chamada de dispersão mecânica, tem o mesmo efeito da difusão, ou seja, o

espalhamento do soluto de uma região de alta concentração para uma de baixa concentração.

Quando a água se move dentro dos poros, a sua velocidade varia em torno da velocidade

linear média. Pode ser maior em poros grandes e menor em poros pequenos. Além disso, no

centro do poro a velocidade é maior que junto às paredes. Assim, como a massa de soluto é

conduzida pela massa de água, essa variação microscópica da velocidade faz com que a massa

de soluto se disperse pelos poros da matriz sólida, tomando rumos diferentes. Por isso, Voss

(1984) considera a dispersão como um processo de pseudo-transporte, já que representa

apenas desvios do processo advectivo, ou seja, em cada poro ocorre um transporte advectivo

que globalmente conduz ao efeito da dispersão. A tortuosidade do solo também é

determinante nesse processo.

Quando o espalhamento da massa de soluto ocorre na direção do fluxo, o processo é

denominado dispersão longitudinal. Como a massa de soluto se dispersa também devido à

25

tortuosidade, há espalhamento em direções normais ao fluxo. Esse é denominado de

dispersão transversal.

A dispersão mecânica pode ser descrita também pela primeira lei de Fick como

CvDJ dm

(2.19)

onde mJ

= fluxo de massa mecanicamente dispersivo de soluto [ML-2

T-1

] e

vDd

= coeficiente de dispersão mecânica do solo [L2T

-1].

Matematicamente, o coeficiente de dispersão vDd

é representado por um tensor. A

determinação do valor cada termo do tensor é função da velocidade linear média e

caracterizado por um fator, denominado dispersividade empírica, que possui dois termos:

um representando a dispersão longitudinal e o outro representando a dispersão transversal.

2.4.4- Dispersão Hidrodinâmica

Macroscopicamente, a difusão molecular e a dispersão mecânica produzem o mesmo

efeito: o espalhamento da massa de soluto proporcional à diferença de concentração. Portanto,

os dois processos atuam juntos num fluxo de água. A sua combinação resulta na dispersão

hidrodinâmica.

Assim, a dispersão hidrodinâmica pode ser considerada como a soma dos dois

processos. Daí,

mdh JJJ

(2.20)

e

CvDDJ d*

sh

(2.21)

onde hJ

= fluxo de massa hidrodinamicamente dispersivo de soluto [ML-2

T-1

] e

Define-se então o coeficiente de dispersão hidrodinâmica ou, simplesmente,

coeficiente de dispersão ( D ) [L2T

-1] como

26

vDDD d*

s

(2.22)

O coeficiente de dispersão ( D ) também é representado matematicamente por um

tensor. A determinação do valor de cada termo desse tensor será discutida mais adiante, no

Item 7.5.

Nielsen et al. (1986) questionam a validade da união dos processos porque, apesar de

macroscopicamente semelhantes, microscopicamente a difusão é um processo ativo que age

em resposta direta a um gradiente de concentração, indiferente ao fluxo, enquanto a dispersão

mecânica é um processo passivo que age somente quando há fluxo. No entanto, Bear (1972)

considera que a separação dos processos é artificial, embora o efeito global da difusão seja

significante somente quando o transporte ocorre em velocidades muito baixas. Este trabalho

considera a atuação conjunta dos processos no transporte dispersivo.

2.4.5- Descrição da Sorção

O soluto transportado pelo fluxo de água no solo está sujeito a inúmeros processos que

tendem a retirar ou introduzir uma certa quantidade de massa desse soluto na água. Alguns

desses processos são normalmente agrupados num processo mais geral, conhecido como

sorção.

A sorção é uma combinação, de pelo menos, quatro processos que atuam

conjuntamente: a adsorção, a absorção, a quimiosorção e a troca iônica. A sorção é,

portanto, um processo geral, onde a massa de soluto dissolvida na fase líquida é atraída pelas

partículas da matriz sólida. O principal efeito da sorção é que o soluto se move mais

lentamente que a água. Esse efeito é conhecido como retardação.

A adsorção ocorre para os solutos da mesma forma que para a água, como descrito no

Item 2.3.1. A força eletrostática resultante da atração entre a superfície carregada das

partículas sólidas e os íons dissolvidos do soluto faz com que ocorra a adesão desses últimos

sobre as primeiras. Como essa força tem significância apenas a uma pequena distância,

somente uma fina película de solutos será adsorvida. Essa força atrativa é, no entanto,

suficientemente fraca para permitir que alguns íons adsorvidos sejam trocados por outros em

solução ou simplesmente retirados pelo fluxo da água. Esse processo é denominado troca

iônica e é um processo que ocorre continuamente na fase líquida. Se os íons trocados tiverem

27

carga positiva, como no caso das argilas que possuem uma carga negativa na superfície das

suas partículas, atraindo e adsorvendo íons positivos, o processo é denominado troca

catiônica. No caso de íons negativos serem atraídos e adsorvidos, o processo é denominado

troca aniônica. A dimensão desses dois processos depende da abundância de íons em solução

e da capacidade de troca iônica das partículas da matriz sólida. Com isso, uma espécie iônica

pode tanto ter sua concentração diminuída ou aumentada na solução, de acordo com o

processo em andamento.

A quimiosorção ocorre através de alguma reação química que faz com que uma parte

da massa de soluto seja incorporada à matriz sólida. A absorção ocorre quando as partículas

da matriz sólida são suficientemente porosas a ponto de permitir que os solutos se difundam

para o seu interior. Esse é o caso de algumas partículas de argila, que possuem espaços entre

os seus minerais.

O resultado global do processo de sorção é a remoção de alguma quantidade de massa

de soluto da água. Se o processo sortivo é relativamente rápido em relação à velocidade do

fluxo, o soluto alcança uma condição de equilíbrio entre as fases líquida e sólida, sendo

denominado de modelo de sorção em equilíbrio. Caso contrário, não há equilíbrio entre as

fases e o processo é denominado de modelo de sorção cinético.

Como normalmente a velocidade de fluxo da água no solo é baixa, os processos de

sorção, num ambiente subterrâneo, conseguem alcançar uma condição de equilíbrio. Assim,

neste estudo serão considerados, para descrever o processo, apenas os modelos de sorção em

equilíbrio.

Devido à sorção ser conseqüência da adesão de soluto sobre os grãos sólidos, a

capacidade de um solo de promovê-la está diretamente associada à área superficial dos seus

grãos. À medida em que ocorre o processo, essa área vai sendo ocupada pela massa de soluto

e o solo vai perdendo o poder de sorver, até que não haja mais áreas livres. Dessa forma, vê-se

que o solo possui uma capacidade limitada para processar a sorção.

2.4.5.1- Modelos de Sorção em Equilíbrio

Matematicamente, a sorção é descrita por uma relação entre a massa de soluto sorvida

sobre a matriz sólida e a massa de soluto em solução, o que, graficamente, determina uma

curva denominada isoterma de sorção. Existem vários modelos de sorção, sendo que três se

28

destacam pela sua aplicabilidade e razoável aproximação ao problema em estudo: sorção

linear, de Freundlich e de Langmuir.

Os modelos de sorção são incorporados ao modelo de transporte baseados na

determinação de um coeficiente geral Kp, denominado coeficiente de partição, através da

relação

t

CK

t

Cp

*

(2.23)

em que C* = concentração específica de soluto sorvido sobre a matriz sólida [MM

-1] e

Kp = coeficiente de partição [L3M

-1].

O termo C* é uma relação entre a massa de soluto sorvida e a massa da matriz sólida,

sendo, portanto, adimensional.

• Modelo de sorção linear

Quando a concentração do soluto é baixa (menor que 10-5

Molar ou menor que metade

da solubilidade do soluto (Johnson et al., 1989)), a relação entre o soluto sorvido e o soluto

dissolvido pode ser considerada linear. Essa relação é então descrita pela equação

CKC d* (2.24)

onde Kd = coeficiente de distribuição [L3M

-1].

O coeficiente de distribuição (Kd) é um valor constante e depende basicamente do tipo

de solo e do tipo de soluto, ou seja, depende da interação entre a matriz sólida e o soluto.

Para incorporar esse modelo de sorção ao modelo de transporte faz-se

t

CK

t

Cd

*

(2.25)

Assim, para o modelo de sorção linear, o coeficiente geral é Kp = Kd.

Devido à sua simplicidade, a isoterma de sorção linear é a mais utilizada em

simulações de transporte de solutos (Healy, 1990). Fetter (1993), no entanto, adverte que a

29

principal limitação desse modelo é que ele não estabelece um limite máximo para a

quantidade de soluto sorvido. Por isso, o modelo é limitado a baixas concentrações.

• Modelo de sorção de Freundlich

Esse é um modelo de sorção mais geral. É descrito pela equação

df

* CKC (2.26)

onde Kf = constante de sorção de Freundlich e

d = expoente de Freundlich [adimensional].

As dimensões da constante Kf dependem do valor do expoente d, ou seja, [L3M

-1]

d.

Novamente, esse modelo é utilizado quando a concentração de soluto é baixa, já que

sofre do mesmo problema da isoterma linear, ou seja, não há um limite para a quantidade de

soluto sorvido. Aliás, observa-se que o modelo linear é apenas um caso especial do modelo de

Freundlich, quando d = 1.

Para incorporar esse modelo ao modelo de transporte, faz-se

t

CCdK

t

C 1df

*

(2.27)

Assim, o coeficiente de partição para o modelo de Freundlich fica 1-dfp CKd K .

• Modelo de sorção de Langmuir

A isoterma de sorção de Langmuir baseia-se na idéia de que a matriz sólida possui

uma área finita disponível para a sorção. Com isso, existe um valor máximo para a massa de

soluto possível de ser sorvida (Johnson et al., 1989; Fetter, 1993).

O modelo de Langmuir é descrito pela equação

CK1

CKCC

l

lmax

** (2.28)

30

onde C*max = máxima concentração específica de soluto sorvido [adimensional] e

Kl = constante de sorção de Langmuir [L3M

-1].

Para incorporar o modelo de Langmuir ao modelo de transporte, faz-se

t

C

CK1

KC

t

C2

l

lmax

**

(2.29)

Assim, o coeficiente de partição fica 2

l

lmax

*p

CK1

KCK .

• Generalização dos modelos de sorção

Como visto acima, os três modelos podem ser incorporados ao modelo de transporte

de acordo com as Equações (2.23), (2.25), (2.27) e (2.29). Observa-se que essas equações são

semelhantes em termos de forma, apresentando uma ou duas constantes, de modo que podem

ser generalizadas.

Para as isotermas linear e de Freundlich, pode-se fazer então

2CC 1* (2.30a)

t

CC

t

C 121

*

2 (2.30b)

sendo 1 = Kf, para a isoterma de Freundlich, ou Kd, para a isoterma linear, e

2 = d, para a isoterma de Freundlich, ou 1, para a isoterma linear.

Para a isoterma de Langmuir, faz-se

C1

CC

2

21

* (2.31a)

t

C

C1t

C2

2

21*

(2.31b)

31

sendo 1 = C*max e

2 = Kl.

Essas duas expressões são utilizadas no modelo de transporte, objeto deste estudo.

2.4.6- Equacionamento do Transporte de Solutos em Solo Não-Saturado

O fluxo de massa total é a combinação dos efeitos da advecção e da dispersão

hidrodinâmica. Pode ser expresso como a soma das Equações (2.16) e (2.21)

CDCvJ

(2.32)

onde J

= fluxo de massa total de soluto [ML-2

T-1

].

A massa de soluto total (mt) em um volume de solo é a soma da sua massa dissolvida

mais a massa sorvida sobre a matriz sólida. A massa de soluto dissolvida é o produto do

conteúdo de água ( ) pela concentração de soluto (C) pelo volume total da matriz sólida (Vt).

A massa de soluto sorvida é o produto da massa específica do solo (Bd) [ML-3

] pela massa de

soluto sorvida (C*) pelo volume Vt. Assim, a massa de soluto total num volume de solo é

t*

dtt VCBCVm (2.33)

Da mesma forma que foi feito para o fluxo, a continuidade para o soluto no volume

elementar da Figura 2.9 diz que a massa de soluto que entra menos a que sai é igual à taxa de

armazenamento no volume. A descarga de massa de soluto numa direção i é o produto do

fluxo Ji pela área da face i. Assim, a continuidade será

t

VCB

t

VCyxz

z

JJ

zxyy

JJzyx

x

JJyxJzxJzyJ

*dz

z

y

yx

xzyx

(2.34)

32

Jy + Jy / y y

JzJx + Jx / x x

Jx

Jz + Jz / z z

Jy

x

z

y

yx

z

Figura 2.9- Volume elementar representativo do solo, mostrando o balanço de massa do

soluto

Reorganizando a equação e considerando que não há mudança de volume da matriz

sólida, a equação da continuidade se reduz a

z

J

y

J

x

J

t

CB

t

C zyx*

d (2.35)

Vetorialmente,

Jt

CB

t

C*

d

(2.36)

Substituindo a Equação (2.32) em (2.36), resulta

CDCvt

CB

t

C*

d (2.37)

Na equação acima podem ainda ser consideradas fontes e retiradas de massa de soluto.

Daí, obtém-se a equação fundamental do transporte de solutos para solos não-saturados

i

*d CDCvt

CB

t

C (2.38)

onde i = fontes e retiradas de massa de soluto [ML-3

T-1

].

33

Essas fontes e retiradas de soluto são, talvez, os processos mais difíceis de se modelar,

devido às várias causas que podem ter. Decaimento radioativo, precipitação e dissolução

químicas, absorção de solutos por raízes de plantas, utilização e transformação de solutos por

microorganismos etc. são alguns dos processos mais modelados (Nielsen et al., 1986). Devido

a isso, muitas combinações de elementos, tais como as espécies químicas modeladas e as

várias condições de contorno, tornam a resolução da Equação (2.38) muito difícil.

Nesse estudo, esse termo será aproximado por reações de decaimento e produção de

primeira ordem e ordem zero, respectivamente. Assim, tem-se

ds*

dslli BCBC (2.39)

onde l = constante de primeira ordem de decaimento de massa de soluto na fase líquida

[T-1

],

s = constante de primeira ordem de decaimento de massa de soluto na fase sólida

[T-1

],

l = termo de ordem zero de produção de massa de soluto na fase líquida [ML-3

T-1

]

e

s = termo de ordem zero de produção de massa de soluto na fase sólida [T-1

].

Os valores de l e l dependem somente do tipo de soluto enquanto que s e s

dependem da interação entre o soluto e a matriz sólida.

Substituindo a equação acima na Equação (2.38) e reorganizando os termos, tem-se

dsl*

dsl

*d BCBCCDCvt

CB

t

C (2.40)

Expandindo os termos do lado esquerdo e a primeira parcela do lado direito da

Equação (2.40) tem-se

dsl*

dsl

d**

d

BCBC

CDCvvCt

BC

t

CB

tC

t

C

(2.41)

34

Voss (1984) mostra que o valor de Bd/ t é desprezível, de modo que pode-se

considerar Bd constante. Também, da continuidade do fluxo de água, Equação (2.10), sabe-se

que

vqt

(2.42)

Substituindo e reorganizando a Equação (2.41), chega-se a

dsl*

dsl

*

d BCBCCDCvt

CB

t

C (2.43)

Substituindo a Equação (2.23) para incorporar a sorção, reorganizando e dividindo por

, chega-se a

dsl

*ds

l

pd BCBCCD

1Cv

t

CKB1

(2.44)

O termo adimensional pdKB

1 é conhecido como fator de retardação (R).

Dividindo a equação por R tem-se

R

'

R

'CD

R

1C

R

v

t

C

(2.45)

sendo que

*

dsl

CBC' (2.46a)

dsl

B' (2.46b)

35

A Equação (2.45) mostra que a velocidade de movimentação do soluto é menor que a

velocidade do fluxo v

, quando o fator de retardação é maior que 1. Então, a velocidade do

soluto é uma velocidade corrigida ( cv

) [LT-1

], dada por

R

vvc

(2.47)

e a equação do transporte chega finalmente a

R

'

R

'CD

R

1Cv

t

Cc

(2.48)

Essa é a equação final a ser implementada no modelo de transporte de solutos, objeto

deste estudo.

36

3- MODELAGEM

No estudo do transporte de solutos pelas águas do subsolo, o principal objetivo é a

observação das concentrações, a movimentação e o destino desses solutos. Para isso, o

procedimento mais confiável seria a realização de testes de campo para observação do

comportamento do sistema solo-água para uma dada modificação no ambiente, por exemplo,

a introdução de um aterro sanitário. No entanto, esses testes são normalmente extremamente

onerosos e muito lentos, devido à baixa velocidade com que a água se move no solo,

fornecendo, dessa forma, pouca informação sobre o comportamento futuro do sistema. Assim,

em geral, é inviável a condução de testes de campo para a avaliação de situações diversas e a

previsão de seus efeitos. Por isso, a forma mais utilizada para essas verificações é a tentativa

de simular os efeitos de fenômenos naturais com o auxílio de modelos.

Um modelo é uma representação simplificada dos sistemas ou processos reais (Wang e

Anderson, 1982; Keely, 1989). Segundo Mercer e Faust (1980a) e Keely (1989), os modelos

para simulação de água subterrânea podem ser divididos em três categorias: físicos,

analógicos e matemáticos. Cada categoria possui vantagens e desvantagens em relação às

outras.

3.1- MODELOS FÍSICOS

Os modelos físicos são aqueles que representam fisicamente o sistema estudado a

partir da utilização de um protótipo, construído em escala reduzida e podendo ser do mesmo

material do sistema, reproduzindo tanto quanto possível as mesmas condições do caso real.

Possui a grande vantagem de possibilitar um conhecimento intuitivo do comportamento do

sistema. No entanto, exigem um grande espaço e bastante tempo para a geração de um

conjunto de dados significante. Quando o protótipo é constituído do mesmo material do

sistema, exigem também um enorme cuidado na obtenção e na manipulação das amostras de

campo, para que não ocorram distúrbios consideráveis sobre a sua condição natural (Keely,

1989). Além disso, o efeito de escala deve ser sempre considerado na interpretação dos

resultados, pois os fenômenos medidos em escala de laboratório podem ser significantemente

diferentes dos ocorridos nas condições de campo. Normalmente, esse tipo de modelo é

construído para um conjunto de situações específicas e essa falta de flexibilidade o torna

37

pouco utilizado na prática. Para estudo de água subterrânea, os principais modelos físicos são

os tanques de areia e as colunas de solo.

3.2- MODELOS ANALÓGICOS

Os modelos analógicos também representam o sistema fisicamente, mas seu princípio

de funcionamento é a semelhança física ou analogia. Para estudar um fenômeno complexo,

estuda-se o comportamento de um outro mais simples, análogo em termos físicos, ambos

relacionados pelas suas equações básicas. Este tipo de modelo é geralmente construído para

uma situação específica, não permitindo mudanças experimentais. Além disso, a obtenção de

dados é, de certa forma, lenta. Por isso, é pouco utilizado atualmente. Para o estudo de água

subterrânea em solo saturado, o fluxo de água é simulado por circuitos elétricos, numa

analogia entre a lei de Darcy e a lei de Ohm. Para o solo não-saturado, não se usa este tipo de

modelo, devido à dificuldade de se obter sistemas análogos (Campos, 1998).

3.3- MODELOS MATEMÁTICOS

Os modelos matemáticos são modelos não físicos que procuram representar os

fenômenos naturais por meio de equações matemáticas, quantificando as relações entre

parâmetros específicos e as variáveis em estudo. Normalmente, consistem de um conjunto de

equações diferenciais com apropriadas condições iniciais e de contorno que descrevem o

processo estudado. Quando o processo é muito complexo para ser simulado com exatidão,

algumas hipóteses simplificadoras podem ser adotadas. A utilidade de um modelo matemático

para determinada situação depende da quantidade e das características das simplificações

adotadas. No estudo de água subterrânea, esses são os modelos mais aplicados atualmente.

A sua principal vantagem é poder simular diferentes cenários rapidamente e ser

flexível, possibilitando modificações, tornando possível o estudo de diferentes problemas

locais com o mesmo modelo. Isso permite que sejam feitas previsões mais rápidas, objetivo

da modelagem. Outra vantagem desses modelos é que podem facilitar a compreensão

funcional entre causa e efeito dos processos naturais sem, no entanto, fornecer uma visão

intuitiva do processo (Keely, 1989).

Suas principais desvantagens são a necessidade de uma enorme quantidade de dados

de boa qualidade, muitas vezes descrevendo a história do sistema, e a dificuldade de

38

formulação teórica das equações de alguns processos. Além disso, ficam limitados, em termos

de cálculos, à precisão do simulador utilizado, que na maioria dos casos é um computador.

Os modelos matemáticos podem ser subdivididos em determinísticos ou estocásticos,

podendo ser analíticos ou numéricos. Podem, ainda, ser classificados como de parâmetros

distribuídos ou agregados e como conceituais ou empíricos. Cada categoria será brevemente

discutida aqui. O relatório EPA/625/R-94/001 (EPA, 1994) e Ambrose et al. (1996) fornecem

detalhes dos diversos tipos de modelos já desenvolvidos, bem como a forma de aquisição dos

mesmos.

3.3.1- Modelos Determinísticos e Estocásticos

Modelos determinísticos são os que trabalham com relações causa-efeito exatas, isto

é, definem uma resposta única a uma determinada excitação. Normalmente, assumem que o

sistema atua de forma que um dado conjunto de eventos conduz a uma situação única,

indiferente às incertezas contidas nos dados. Os modelos estocásticos atuam com base na

incerteza inerente aos parâmetros e aos processos atuantes no sistema. Por isso, não fornecem

uma resposta única mas um conjunto de respostas possíveis. Esses modelos calculam a

probabilidade, dentro de um intervalo de confiança desejado, do valor da variável em um

determinado ponto.

Os modelos determinísticos são muito usados nos problemas de previsão, pois

permitem que uma maior classe de problemas seja considerada com um mesmo modelo. Os

modelos estocásticos são muito úteis na classificação de dados e na descrição de sistemas

fracamente compreendidos (Mercer e Faust, 1980a).

3.3.2- Modelos de Parâmetros Distribuídos e Agregados

As características espaciais dos parâmetros de um modelo podem ser distribuídas ou

agregadas. Os modelos de parâmetros distribuídos funcionam com base na caracterização

espacial do sistema, de modo que, em cada ponto ou área, os parâmetros assumem valores

espeíficos. Os modelos de parâmetros agregados podem ser usados quando o sistema total

pode ser representado por características em um ponto, não levando em conta a variabilidade

espacial do sistema.

39

3.3.3- Modelos Conceituais e Empíricos

O tipo de equação ou função utilizada por um modelo matemático pode defini-lo como

conceitual ou empírico. Os modelos conceituais, também conhecidos como modelos de base

física, são aqueles cujas funções utilizadas são baseadas na física do sistema, isto é, os

processos físicos são conhecidos e representados por equações que os descrevem. Os modelos

empíricos utilizam funções empíricas para representar o sistema, procurando ajustar os

valores calculados aos dados observados, sem necessidade de conhecimento da física do

sistema.

Considerando que os modelos conceituais em grande parte utilizam-se de funções

empíricas, mas que estão relacionadas com os processos físicos, alguns autores ainda

subdividem os modelos conceituais em físicos e semiconceituais. Os semiconceituais

caracterizam os processos mas os parâmetros das equações utilizadas são definidos

basicamente de forma empírica, como no caso da equação de Richards (valores de K( ))

(Tucci, 1998).

3.3.4- Modelos Analíticos e Numéricos

Os modelos analíticos são aqueles que usam soluções exatas das equações

governantes do sistema. Estas soluções são geralmente apresentadas como expressões

matemáticas de forma fechada, com as variáveis contínuas no espaço e no tempo. No entanto,

são resultado de um grande número de simplificações, incluindo a geometria do sistema e

suas condições de contorno. Por isso, só podem ser aplicadas a situações muito restritas e,

normalmente, são usadas na verificação dos modelos numéricos.

Os modelos numéricos apresentam soluções aproximadas para as equações

governantes. Essas soluções são pontuais, ou seja, as variáveis não são contínuas no espaço e

no tempo, mas discretizadas sobre a região do sistema. No entanto, as hipóteses

simplificadoras são em número muito menor e, por isso, menos restritivas, permitindo a

aplicação do modelo a várias situações.

Existem ainda modelos semi-analíticos que empregam técnicas numéricas para

aproximar soluções analíticas complexas. Com isso, produzem valores aproximados não

contínuos das variáveis procuradas. Estes modelos apresentam uma maior flexibilidade na

40

incorporação de situações diversas, se comparado com modelos analíticos, sem aumento

significativo da necessidade de dados (EPA, 1994).

3.4- IMPORTÂNCIA DOS MODELOS MATEMÁTICOS

Uma das principais funções de um modelo é fornecer previsões sobre o estado e a

condição de um sistema no futuro. Com isso, os modelos podem ser usados para o teste de

hipóteses e verificação de seus efeitos. Às vezes, modelos preditivos podem ser combinados

com rotinas de otimização, podendo ser utilizados no gerenciamento de recursos (Keely,

1989). Outra função dos modelos é a determinação de esquemas de monitoramento,

especialmente em recursos hídricos. Com resultados de previsões, pontos de monitoramento

podem ser locados em posições estratégicas, fornecendo informações importantes para os

trabalhos de campo. Outro uso importante é a identificação de parâmetros, também chamado

de problema inverso ao problema de previsão. Nesse caso, os modelos são usados para

estimar características importantes do sistema estudado.

Quando se aplica um modelo a uma dada situação, deve-se levar em conta a validade

dos resultados obtidos. Essa validade dependerá de quanto o modelo se aproxima do

comportamento global real do sistema. Para isso, é necessário um conjunto de dados de boa

qualidade, com boa distribuição espacial. Devido à incerteza inerente a esses dados, previsões

absolutas são praticamente impossíveis de serem obtidas. Segundo O’Connell e Todini (1996)

e Sun (1996), a quantificação das incertezas nos dados, na estrutura dos modelos e,

conseqüentemente, nas previsões, constitui um importante problema na modelagem numérica.

A confiança nos resultados de um modelo depende, em boa parte, de três propriedades

do mesmo: a consistência, a convergência e a estabilidade. A consistência é conseguida

quando o modelo representa de forma discreta e com boa aproximação a solução exata das

equações do sistema contínuo. No geral, uma melhor consistência é obtida com o aumento do

número de pontos discretos no sistema. A convergência é conseguida quando, diminuindo-se

os intervalos de tempo e espaço, os erros na aproximação diminuem e a solução do modelo

tende a alcançar a solução exata da equação do sistema. A estabilidade está relacionada

basicamente com a característica temporal do modelo, sendo, portanto, própria de modelos

transientes. É conseguida quando os erros produzidos pelo modelo diminuem á medida em

que o processo de cálculo avança no tempo e, portanto, qualquer perturbação tende a

desaparecer com a evolução do processo.

41

Assim, os modelos numéricos podem ser ferramentas poderosas quando usadas

apropriadamente. As principais situações possíveis podem ser analisadas e os estados

resultantes podem ser observados, permitindo que, no caso de gerenciamento, a melhor

decisão possa ser tomada.

42

4- A MODELAGEM MATEMÁTICA

Segundo definição adotada no relatório EPA/625/R-94/001 (EPA, 1994), um modelo

matemático pode ser considerado como um conjunto de equações que expressam o sistema

físico e incluem hipóteses simplificadoras ou ainda a representação de um sistema físico por

meio de expressões matemáticas com as quais o comportamento do sistema pode ser deduzido

com conhecida precisão.

Normalmente, um modelo matemático para a hidrologia subterrânea, além das

equações de descrição do sistema (também chamadas equações governantes), inclui também

especificações em relação ao domínio do problema. Essas especificações definem a geometria

da região do sistema, as condições do contorno dessa região e, para os problemas transientes,

as condições iniciais.

No caso do transporte de solutos, as condições de contorno podem ser de três tipos:

a) de Dirichlet, onde os valores da concentração do soluto no sistema são conhecidos;

b) de Neumann, onde a taxa de entrada de massa de soluto é conhecida, sendo um valor

constante ou uma função do tempo; e

c) de Cauchy, onde a taxa de entrada do soluto é dependente do valor da sua concentração.

Um detalhamento matemático desses termos pode ser encontrado em Mercer e Faust

(1980b) e Sun (1996).

O tratamento matemático dessas condições de contorno é relativamente simples. No

entanto, o tratamento físico necessita de uma atenção especial. As condições de campo para

uma simulação necessitam de um conjunto de observações considerável. Mesmo assim,

podem conter erros de modo a conduzir a uma interpretação errônea da realidade. Além disso,

os dados podem não descrever a situação completamente. Assim, as condições de contorno no

campo podem ser apenas aproximadas e a confiabilidade disso depende muito da experiência

de quem está realizando o estudo, que deve fazer o julgamento adequado.

As condições iniciais devem descrever a situação do sistema no início da simulação,

em relação à variável estudada. No caso do transporte de solutos, devem definir, para cada

ponto, o valor da concentração do soluto. Essas condições são usadas somente em problemas

transientes, isto é, que variam com o tempo. O seu tratamento físico também é complicado

pelo fato de que os dados de campo devem ser suficientemente abrangentes para fornecer uma

cobertura total da região do sistema.

43

Os modelos matemáticos têm sido desenvolvidos há muito tempo. Inicialmente,

devido à dificuldade dos cálculos, os modelos eram praticamente todos analíticos e, por isso,

muito simplificados e restritos. Após a década de 60, com o avanço tecnológico dos

computadores digitais e das técnicas de programação, os modelos numéricos passaram a ser

amplamente utilizados (Wang e Anderson, 1982).

Existem atualmente numerosos métodos numéricos para a resolução da equação

governante do transporte de solutos. Eles podem ser divididos em três grandes categorias:

Eulerianos, Lagrangeanos e Lagrangeano-Eulerianos. Os métodos Eulerianos procuram

resolver a equação governante para um conjunto de pontos fixos sobre um sistema de

referência fixo no espaço. São mais simples no seu princípio e no tratamento da equação

governante. Os métodos Lagrangeanos tomam como referência o movimento natural da massa

do sistema, utilizando uma grade de pontos deformável ou uma grade fixa de pontos sobre um

sistema de coordenadas móveis, que acompanha o movimento do sistema. Os métodos mistos

Lagrangeano-Eulerianos utilizam uma grade fixa juntamente com um conjunto de pontos

móveis para a resolução da equação governante, sendo os cálculos realizados em duas fases.

Na primeira, é utilizada uma visão Lagrangeana do processo para a resolução da advecção,

promovendo a movimentação de pontos ou partículas que representam a massa do sistema. A

segunda fase é utilizada para verificar o posicionamento desses pontos, ligá-los à grade fixa e

resolver a dispersão por algum método Euleriano (Cheng et al., 1984; Yeh, 1990; Sun, 1996).

Segundo o relatório EPA/625/R-94/001 (EPA, 1994), as técnicas de solução numéricas

mais utilizadas na hidrologia subterrânea para o transporte de solutos são:

1) método das diferenças finitas;

2) método das diferenças finitas integradas;

3) método dos elementos finitos, de Galerkin e variacional;

4) método da colocação;

5) método dos elementos de contorno;

6) métodos de acompanhamento de partículas (particle tracking); e

7) método das características.

Os métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos são os mais utilizados na

prática. Podem ser caracterizados como métodos Eulerianos, pois utilizam uma grade de

pontos fixa sobre um sistema de coordenadas também fixo. Atualmente, os métodos

Lagrangeanos e mistos Lagrangeano-Eulerianos têm sido freqüentemente utilizados,

apresentando um grande avanço em termos teóricos, como, por exemplo, o método das

44

características. A discussão a seguir enfoca os aspectos básicos de alguns dos métodos

mencionados acima.

4.1- O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é o resultado da aplicação da aproximação por séries

de Taylor a uma função. Esse método é normalmente usado quando as equações governantes

são equações diferenciais de, no máximo, segunda ordem. A série de Taylor consiste em

expandir uma função em uma série infinita de parcelas para a determinação do valor

aproximado dessa função na vizinhança de um ponto de valor conhecido.

Assim, considerando x0 como o ponto conhecido e x0+ x o ponto para o qual se deseja

conhecer o valor da função f(x) e realizando a expansão de Taylor tem-se

3

033

2

022

000

dx

xfd

!3

x

dx

xfd

!2

x

dx

xdfxxfxxf (4.1)

Considerando os termos de segunda ordem e superior como desprezíveis e rearranjando

convenientemente a Equação (4.1) tem-se

x

xfxxf

dx

xdf 000 (4.2)

donde se tira uma expressão aproximada para a derivada de primeira ordem. Essa expressão é

conhecida como diferença progressiva.

Da mesma forma, se x0- x é o ponto da vizinhança para o qual deseja-se conhecer o

valor da função f(x), a série de Taylor fica

3

033

2

022

000

dx

xfd

!3

x

dx

xfd

!2

x

dx

xdfxxfxxf (4.3)

Novamente, desprezam-se os termos de segunda ordem e superior e chega-se a

45

x

xxfxf

dx

xdf 000 (4.4)

Essa expressão é conhecida como diferença regressiva.

A subtração da Equação (4.1) pela (4.3) resulta em

5

055

3

033

000

dx

xfd

!5

x2

dx

xfd

!3

x2

dx

xdfx2xxfxxf (4.5)

onde desconsideram-se os termos de terceira ordem e superior e chega-se a

x2

xxfxxf

dx

xdf 000 (4.6)

expressão conhecida como diferença central.

Somando-se as Equações (4.1) e (4.3) tem-se

4

044

2

022

000dx

xfd

!4

x2

dx

xfd

!2

x2xf2xxfxxf (4.7)

e, desconsiderando-se os termos de quarta ordem e superior, chega-se a

2

000

2

02

x

xxfxf2xxf

dx

xfd (4.8)

com a qual obtém-se uma aproximação para a segunda derivada da função.

As derivadas cruzadas podem ser aproximadas por (Sun, 1996)

yx4

yy,xxfyy,xxf

yx4

yy,xxfyy,xxf

yx

y,xf

0000

0000002

(4.9)

46

No procedimento acima e da teoria da aproximação por séries de Taylor, as expressões

são tão mais precisas quanto menor for o espaçamento x e, também, quanto mais linear a

função. Essas expressões podem ser obtidas para qualquer variação na direção e no tempo.

Para a aplicação do método das diferenças finitas, deve-se considerar a região do

sistema como um conjunto de pontos discretos, formando uma malha. Com isso, uma grade é

definida. Existem dois tipos de grade, mostrados na Figura 4.1. Na grade de malha centrada,

os pontos do sistema, chamados de pontos nodais, são locados na interseção das linhas de

grade, enquanto que, na malha de bloco centrado, os pontos nodais são locados nos

centróides da região delimitada pelas linhas de grade. Na prática, não há grande diferença

entre o uso das duas, exceto em casos específicos, que dependem das condições de contorno

(Faust e Mercer, 1980a).

pontos

nodais

x

y

(a) malha centrada

x

y

(b) bloco centrado

Figura 4.1- Malhas de elementos finitos ilustrando os tipos de grade

A grande maioria dos modelos que utilizam o método das diferenças finitas trabalham

com grades retangulares de espaçamentos regulares, como as da Figura 4.1. No entanto, essa

não é uma condição necessária, muito embora facilite a aplicação do método. Grades com

espaçamentos irregulares podem ser usadas em problemas que possuam áreas que necessitem

de um maior detalhamento, tais como as vizinhanças da superfície freática e proximidades de

poços.

Os pontos nodais, ou nós, da malha são geralmente designados por um par ordenado

de números inteiros, na forma genérica (i, j). A Figura 4.2 ilustra parte de uma grade de malha

centrada.

47

(i, j)

(i-1, j-1) (i, j-1) (i+1, j-1)

(i+1, j)(i-1, j)

(i+1, j+1)(i, j+1)(i-1, j+1)

x

y

Figura 4.2- Grade de malha centrada ilustrando a numeração dos nós

A título de exemplo de aplicação, considere a Equação (2.37) no plano vertical com

e v

homogêneos e constantes, com D homogêneo e anisotrópico e sem o termo de massa

sorvida C*. Com isso, a equação se reduz a

2

2

zz

2

xz2

2

xxzxz

CD

zx

CD2

x

CD

z

Cv

x

Cv

t

C (4.10)

onde vm = componente do vetor velocidade na direção m [LT-1

] e

Dmn = componente do tensor do coeficiente de dispersão na direção mn [L2T

-1].

Para a grade da Figura 4.2, pode-se aplicar, à Equação (4.10), diferença progressiva

para a derivada no tempo e diferença central para as derivadas de primeira ordem no espaço.

Obtém-se, então,

2

m1j,i

mj,i

m1j,i

zz

m1j,1i

m1j,1i

m1j,1i

m1j,1i

xz2

mj,1i

mj,i

mj,1i

xx

m1j,i

m1j,im

j,i,z

mj,1i

mj,1im

j,i,x

mj,i

1mj,i

z

CC2CD

zx4

CCCCD2

x

CC2CD

z2

CCv

x2

CCv

t

CC

(4.11)

onde o índice m indica a posição da variável no tempo. No esquema acima vê-se que somente

uma concentração é calculada para um passo de tempo futuro m+1 enquanto todas as outras

48

são conhecidas no passo atual m. Existe, portanto, somente uma incógnita e o esquema é

considerado na forma explícita. A vantagem desse esquema é a facilidade de programação,

mas sua solução só é estável para incrementos de tempo suficientemente pequenos (Wang e

Anderson, 1982; Sun, 1996).

Se todas as concentrações do lado direito da Equação (4.11) forem tomadas no passo

de tempo m+1, haverá então várias incógnitas para cada passo de tempo e o esquema assim

formado é considerado na forma implícita. Assim, para cada passo de tempo, ocorre a

montagem de um sistema de equações para o cálculo das concentrações. Esse esquema é mais

estável que o anterior, de mais difícil solução.

Pode-se melhorar a aproximação usando um esquema misto, que empregue uma

mistura dos esquemas implícito e explícito. Para isso, as derivadas de espaço são avaliadas em

um passo de tempo intermediário, isto é, entre m e m+1. Isso é feito utilizando-se um

parâmetro de ponderação para cada um dos esquemas, por exemplo, com para o esquema

explícito, no passo de tempo m, e 1- para o implícito, no passo de tempo m+1. Esse esquema

também gera um sistema de equações que deve ser resolvido a cada passo de tempo. Se for

tomado = 1/2, a aproximação é feita na metade do intervalo de tempo e o esquema é

conhecido como método de Crank-Nicholson. A grande vantagem dos esquemas implícitos

e mistos sobre o explícito é a sua estabilidade incondicional e um número menor de iterações

necessário para a resolução do sistema de equações gerado.

4.2- O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O método dos elementos finitos consiste, basicamente, na transformação da equação

diferencial governante num conjunto de equações integrais. Para a sua aplicação, a área do

domínio do sistema é dividida em áreas menores, denominadas elementos, que discretizam o

sistema. A forma e o posicionamento desses elementos são definidos por um conjunto de

pontos nodais, para os quais serão encontrados os valores das variáveis procuradas. Esses

pontos nodais podem ser localizados nos vértices ou nas laterais desses elementos. A posição

dos vértices e a área dos elementos não precisam ter nenhuma distribuição rígida, de modo

que o método é bastante flexível na representação da geometria do sistema. No entanto,

quanto maior o número de nós e elementos, maior será a precisão dos cálculos.

A forma dos elementos e o número de nós de cada elemento podem ser variados de

acordo com a formulação do método. Normalmente, os mais empregados são os elementos

49

triangulares com três nós ou quadrangulares com quatro nós. Porém, podem ser utilizados

elementos triangulares com seis nós, quadrangulares com oito nós etc. (Cirilo e Cabral, 1989).

Para trabalhos no plano bidimensional, os elementos triangulares são preferidos, por

possibilitarem uma melhor representação da geometria do sistema e um maior refinamento da

malha e por possuírem formulação mais simples. A Figura 4.3 ilustra uma grade de nós para o

método dos elementos finitos.

elementocontorno

Figura 4.3- Grade de elementos finitos com elementos triangulares

O primeiro passo na formulação do método é definir uma solução aproximada para a

variável incógnita do problema. No caso do transporte de solutos, a variável desejada é a

concentração C. Essa solução é, normalmente, uma combinação linear de C, expressa como o

somatório do produto do valor da concentração em cada nó e de uma função de base

associada a cada nó, na forma

NN

1i

ii tCz,xt,z,xC (4.12)

onde C (x, z, t) = solução aproximada de C(x, z, t),

i(x, z) = função de base associada ao nó i,

Ci(t) = valor da concentração no nó i no tempo t e

NN = número total de nós.

Uma exigência imposta pelo método é que as funções de base sejam contínuas e

tenham derivadas contínuas em todo o domínio. Normalmente, também devem satisfazer a

todas as condições de contorno do problema.

As funções de base ( i) podem ser de qualquer ordem (linear, quadrática, cúbica etc.) e

devem ser linearmente independentes. De um modo geral, quanto maior for a ordem de i,

50

melhor será a aproximação C (Cirilo e Cabral, 1989). As funções de base lineares são as mais

usadas em formulações com elementos triangulares, por serem mais facilmente integradas e

diferenciadas (Faust e Mercer, 1980a) e a discussão a seguir enfoca, justamente, a aplicação

do método para esses elementos.

Como o domínio é subdividido em elementos, é usual que a aproximação seja feita

sobre eles, ou seja,

3

1i

ie

ie tCz,xt,z,xC (4.13)

Utilizando-se funções de base lineares, a Equação (4.13) conduz à formação de um

plano, que representa o comportamento da variável no interior do elemento, interligando os

seus valores nos nós, como mostrado na Figura 4.4.

x

zC

Cj

Ck

Ci

Figura 4.4- Plano descrito por uma função de base linear para um elemento triangular

O segundo passo é a obtenção de uma representação integral da equação governante.

Os dois métodos mais utilizados para isso são o método variacional e o método dos resíduos

ponderados. A principal diferença entre os dois é que, no método dos resíduos ponderados,

trabalha-se diretamente com a equação diferencial enquanto que, no método variacional, usa-

se um funcional relacionado à equação diferencial e às condições de contorno (Faust e

Mercer, 1980a). O método variacional não será discutido aqui. Wang e Anderson (1982)

abordam o método.

51

4.2.1- Método dos Resíduos Ponderados

Nesse método, a equação governante é designada por um operador diferencial O(u),

sendo u a variável do problema. No caso da Equação (4.10), o operador diferencial seria

0z

CD

zx

CD2

x

CD

z

Cv

x

Cv

t

CCO

2

2

zz

2

xz2

2

xxzx (4.14)

Como C é um valor aproximado, a aplicação do operador diferencial resultará num

valor não nulo, denominado de resíduo.

0síduoReCO (4.15)

Naturalmente, quanto melhor for a aproximação C , menor será o resíduo.

A idéia do método é diminuir os resíduos tanto quanto possível. Para isso, os erros são

distribuídos dentro da região do domínio, o que é feito ponderando-se os resíduos sobre cada

nó do sistema. Daí então, impõe-se que o erro médio ao longo de todo o domínio seja nulo,

fazendo

0dWCOW

i (4.16)

onde i = função de ponderação relativa ao nó i e

W = área do domínio (região do sistema).

A Equação (4.16) é uma expressão do erro médio, ponderado pelas funções de

ponderação ( i). Essas funções devem ser contínuas e linearmente independentes, de modo a

gerar um sistema de equações algébricas passível de solução.

Existem vários métodos de resíduos ponderados, cada um relacionado com o tipo de

função de ponderação adotado, dentre os quais merece destaque especial, pela sua

aplicabilidade, o método de Galerkin. Outros métodos podem ser encontrados em Wrobel

(1989) e Sun (1996).

52

4.2.2- O Método de Galerkin e as Funções de Base

Esse método pode ser considerado um caso especial do método dos resíduos

ponderados, no qual as funções de ponderação são as próprias funções de base, isto é,

ii (4.17)

O método de Galerkin é o mais comum na aplicação de elementos finitos. Também

muito comum é a utilização de funções de base lineares no método.

As funções de base são usualmente relacionadas com as áreas dos elementos e as

coordenadas dos seus nós. Por isso, são definidas separadamente para cada um deles. No caso

de funções de base lineares, em geral, adotam-se as seguintes características dentro do seu

elemento:

a) i é igual a 1 no nó i e 0 nos outros nós;

b) i varia linearmente com a distância ao longo dos lados; e

c) i é igual a zero ao longo do lado oposto ao nó i, isto é, do lado não conectado ao nó i.

No caso de elementos triangulares, outra característica importante é que, no centróide

do elemento, i possui valor de 1/3. A Figura 4.5 mostra o seu comportamento para um

elemento triangular.

(a) para um elemento conectado ao nó i

x

z

i

1

(b) para vários elementos conectados ao nó i

x

z

i

1

Figura 4.5- Comportamento da função de base linear para um elemento triangular ilustrando o

plano formado

53

4.3- COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS E DOS ELEMENTOS

FINITOS

De acordo com o teorema fundamental do cálculo, a diferenciação e a integração são

operações essencialmente inversas. Por isso, os dois métodos descritos anteriormente podem

ser considerados como equivalentes. O método das diferenças finitas aproxima a solução da

equação diferencial governante ao usar uma diferenciação aproximada pela série de Taylor

enquanto que o método dos elementos finitos resolve a equação diferencial governante usando

uma aproximação integral (Faust e Mercer, 1980a; EPA, 1994).

Vários estudos já foram feitos avaliando os prós e contras de cada método. Faust e

Mercer (1980a) apresentam uma breve discussão dessa comparação, que é sumarizada na

Tabela 4.1.

Tabela 4.1- Vantagens e desvantagens dos métodos das diferenças finitas e dos elementos

finitos

Vantagens Desvantagens

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Base intuitiva

Fácil entrada de dados

Eficientes técnicas de matriz

Fáceis mudanças no programa

Baixa precisão para alguns problemas

Grades regulares

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Geometria flexível

Melhor precisão

Avalia melhor termos de produto cruzado

Base matemática avançada

Difícil entrada de dados

Programação difícil

Fonte: Faust e Mercer (1980a), adaptado

Uma desvantagem comumente associada a esses dois métodos é a ocorrência de

problemas numéricos de oscilação e dispersão quando o problema inclui a passagem de

frentes de concentração de solutos, ou seja, grandes variações no valor da concentração num

curto intervalo de tempo. Isso ocorre principalmente se o problema for predominantemente

advectivo. Para tentar contornar esses problemas, outros métodos foram propostos.

54

4.4- OUTROS MÉTODOS APLICÁVEIS À SIMULAÇÃO DO TRANSPORTE DE SOLUTOS

Atualmente, a maior parte dos métodos numéricos aplicados para a simulação do

transporte de solutos enquadram-se na categoria dos métodos mistos Lagrangeano-Eulerianos.

Esses métodos têm como característica principal o isolamento dos processos de transporte,

simulando a advecção separadamente, o que implica num melhor tratamento dos problemas

numéricos de oscilação e dispersão. Dentre esses métodos, merecem destaque especial os

métodos das Características e do Caminhamento Aleatório.

4.4.1- O Método das Características

O método das características é uma técnica bastante utilizada na resolução da equação

do transporte de solutos para evitar os problemas numéricos de dispersão e oscilação. É um

tipo de método de acompanhamento de partículas e o seu conceito é razoavelmente simples.

Um conjunto de partículas de fluído é transportada pelo campo de fluxo e mudanças na

concentração do soluto nessas partículas é observada (Konikow e Bredehoeft, 1978).

Considere a Equação (4.10) rearranjada para

2

2

zz

2

xz2

2

xxzxz

CD

zx

CD2

x

CD

z

Cv

x

Cv

t

C (4.18)

No lado esquerdo dessa equação estão os dois termos advectivos, com vx e vz, e no

lado direito estão os termos dispersivos.

Se for observado o movimento de uma partícula ao longo da sua linha de fluxo, a sua

posição num tempo t qualquer é dada por suas coordenadas xp(t) e zp(t) e a sua velocidade tem

componentes

xvdt

dx (4.19a)

zvdt

dz (4.19b)

55

Uma curva que satisfaça às Equações (4.19) é denominada característica, que é uma

linha de fluxo. Para uma partícula que percorre uma característica, a derivada total da

concentração em relação ao tempo é dada por

z

Cv

x

Cv

t

C

dt

dz

z

C

dt

dx

x

C

t

C

dt

dCzx (4.20)

Com isso, a Equação (4.18) pode ser rescrita como

2

2

zz

2

xz2

2

xxz

CD

zx

CD2

x

CD

dt

dC (4.21)

Essa equação representa o transporte de solutos ao longo de uma característica. Nota-

se aqui que os termos de advecção não aparecem e, com isso, a resolução da equação pode ser

realizada pelas técnicas usuais dos elementos finitos e das diferenças finitas.

A Equação (4.21) pode ser explicada da seguinte forma: quando se acompanha o

movimento de uma partícula ao longo de uma característica, isto é, usando a partícula como

ponto de referência, qualquer mudança da concentração da partícula é resultado somente do

processo de dispersão. A sua resolução deve ser feita simultaneamente à das Equações (4.19),

isto é, no mesmo passo de tempo. Assim, o método consiste de duas partes básicas: uma para

o processo de advecção e outra para o de dispersão. No processo de advecção, a resolução das

Equações (4.19) é feita pela movimentação de partículas sobre as características. De um modo

geral, essas partículas são geradas sobre todo o domínio ou sobre uma região de interesse e

movidas de acordo com o campo de velocidades, que descrevem as características. A

movimentação é acompanhada sobre uma malha de pontos nodais fixos. Cada partícula

carrega uma concentração de soluto, relativa à concentração de um ponto nodal. Após

finalizada a movimentação, as concentrações dos pontos nodais mudam devido às novas

posições das partículas, sendo determinadas de acordo com a quantidade e as concentrações

das partículas próximas ao ponto. Finalizada a advecção, o processo de dispersão é finalmente

simulado pela resolução da Equação (4.21) por algum método de malha fixa, como o método

das diferenças finitas. Detalhes do método das Características podem ser encontrados em

Konikow e Bredehoeft (1978) e Sun (1996).

Apesar de eliminar os erros provocados pela dispersão e oscilação numéricas, o

método das características tem a grande desvantagem de exigir uma enorme quantidade de

56

memória computacional, em especial para um grande número de partículas, e, sob certas

circunstâncias, produzir elevados erros no balanço de massa (Zheng, 1993).

4.4.2- O Método de Caminhamento Aleatório (Random Walk)

O método de caminhamento aleatório é um método de acompanhamento de partículas,

semelhante ao método das características, que utiliza o movimento de partículas para

descrever o transporte de solutos no solo. Porém, aqui o transporte dispersivo é simulado

como um movimento aleatório das partículas, de modo que a nova posição é determinada sem

a necessidade de resolver a equação de dispersão, o que facilita bastante os cálculos (Prickett

et al., 1981).

A base do método é a característica estatística do fenômeno da dispersão, que produz

um espalhamento do soluto como uma distribuição normal ao redor de uma posição média.

No método, cada partícula de fluido se move ao longo de sua linha de fluxo, isto é, a sua

característica, simulando o processo de advecção, numa distância igual a v t. O movimento

aleatório das partículas é então calculado como duas parcelas de dispersão, uma longitudinal e

uma transversal, ambas relacionadas com o deslocamento advectivo. Com isso, a nova

posição de uma partícula é numericamente igual à soma da posição anterior, do deslocamento

provocado pela advecção, do deslocamento provocado pela dispersão longitudinal e do

deslocamento provocado pela dispersão transversal.

O método elimina os problemas de dispersão e oscilação numéricas, porém os seus

resultados mostram somente qual a concentração mais provável e não a absoluta, de modo que

é possível que duas simulações de um mesmo problema conduzam a resultados próximos, não

iguais. Além disso, a sua maior desvantagem é a necessidade de um enorme número de

partículas para garantir resultados mais precisos, o que aumenta a área de armazenamento de

dados computacionais.

Prickett et al. (1981) desenvolveram o método inicialmente para o caso

unidimensional. Walton (1991) e Sun (1996) fornecem mais detalhes sobre o assunto,

apresentando a formulação para o caso bidimensional.

57

5- ESTUDOS RECENTES EM MODELAGEM NUMÉRICA DO TRANSPORTE DE

CONTAMINANTES EM SOLOS

A modelagem numérica do fluxo e do transporte de contaminantes na subsuperfície é

um estudo relativamente recente, dentro da hidrologia. Somente nas três últimas décadas é

que sofreu um avanço considerável, acompanhando o avanço dos computadores digitais, que

permitiram, em especial, a evolução da modelagem numérica. A situação é mais complicada

ainda quando o estudo se refere à zona não-saturada do solo. Até a década de 70, os estudos

dentro dessa zona limitavam-se aos primeiros metros de profundidade do solo, abrangendo

somente a zona das raízes. Tais estudos eram realizados com finalidades principalmente

agrícolas. Somente nos últimos 20 anos, os hidrólogos passaram a preocupar-se com a zona

não-saturada como um todo, devido à sua grande importância em problemas de contaminação

de aqüíferos (Yeh et al., 1993), e vários modelos foram desenvolvidos, entre os quais SUTRA

(Voss, 1984), CHEMFLO (Nofziger et al., 1989), VS2DT (Healy, 1990) e 3DLEWASTE

(Yeh et al., 1992). No entanto, poucos desses modelos simulam o transporte bi e

tridimensional (SUTRA, VS2DT, 3DLEWASTE).

Na aplicação de modelos para o transporte bidimensional, Faust e Mercer (1980b)

apontam dois processos que representam grandes problemas para a modelagem: a dispersão e

a sorção. A dispersão surge como um problema devido à sua característica de tensor. Em

geral, os tensores funcionam com produtos cruzados (Dxz e Dzx) que exigem um pouco mais

de esforço no tratamento matemático das equações. Com isso, a aproximação por diferenças

finitas convencional não trabalha muito bem com problemas que envolvem dispersão,

principalmente devido à fraca ligação diagonal entre os nós adjacentes. A utilização de um

modelo modificado de diferenças finitas, que inclua tais ligações, pode resolver esse

problema, muito embora exija um maior esforço no tratamento matemático (Faust e Mercer,

1980a). Por essa razão, poucos trabalhos têm sido desenvolvidos nesta linha. Como no

método dos elementos finitos a ligação diagonal é muito comum, este problema é

minimizado.

O outro grande problema é a sorção. Este processo, apesar de já ter sido muito

estudado, é pouco conhecido com relação aos mecanismos atuantes. Além disso, existem

vários tipos de contaminantes e cada um desses possui um comportamento diferente no

subsolo. No caso de solo parcialmente saturado, outra complicação que surge é o fato de que,

devido à presença de bolhas de ar, nem toda a superfície dos grãos da matriz sólida é capaz de

58

realizar a sorção. Com isso, ela se torna um processo dependente do conteúdo de água, o que

se reflete no coeficiente de partição (Kp), da Equação (2.23). Para manter esse coeficiente

inalterado, Yeh e Ward (1979), apud Faust e Mercer (1980b), sugerem a substituição da

massa específica do solo (Bd) por uma massa específica “efetiva” que é obtida simplesmente

dividindo o valor de Bd por no fator de retardação. Essa dependência é normalmente

desprezada nos estudos, por acreditar-se ter pouca influência global, sendo o coeficiente de

partição considerado independente de .

Na resolução da equação de advecção-dispersão, surge um grande problema que é a

ocorrência de problemas numéricos de dispersão e oscilação, próximo a frentes de passagem

de contaminantes. Uma frente é uma grande variação de valores da variável em um pequeno

intervalo de espaço. A dispersão numérica provoca um espalhamento indesejado dessa frente,

alterando a precisão dos cálculos, e a oscilação numérica produz uma seqüência de valores

que oscilam em torno do valor correto da frente. Esses efeitos podem ser visualizados na

Figura 5.1. Sun (1996) explica que a dispersão numérica ocorre mais para problemas

dominados por advecção, quando a velocidade do fluxo é relativamente grande. Isso é

refletido pelo número de Peclet (Pe), que é dado por

LD

xvPe (5.1)

onde Pe = número de Peclet [adimensional],

v = 2

z2

x vv = módulo da velocidade linear média [LT-1

] e

DL = coeficiente de dispersão longitudinal [L2T

-1].

Quando este número é alto, o problema é basicamente advectivo e, quando é baixo, o

problema passa a ser basicamente dispersivo.

Sun (1996) analisa o efeito da dispersão numérica no método das diferenças finitas,

mostrando que é provocado pelo truncamento da expansão de Taylor. Yeh et al. (1993)

fornecem uma visão mais acurada matematicamente, afirmando que, quando o problema se

torna predominantemente advectivo, a equação do transporte passa de parabólica para quase

hiperbólica e que os métodos numéricos comuns geralmente produzem, por isso, dispersão

numérica e oscilação perto de frentes.

Segundo Rao e Hathaway (1989), a dispersão numérica tem efeito similar à dispersão

física. Por isso, apresentam um modelo de transporte utilizando o conceito de célula de

59

mistura onde a dispersão física é substituída pela dispersão numérica (também denominada de

dispersão artificial). Nesse modelo, o sistema é dividido em células e cada uma atua como um

reator de mistura completa, baseado no princípio de conservação de massa. O modelo atua

relativamente bem quando o problema não é predominantemente dispersivo.

x

C

Oscilação numérica

Espalhamento provocado

pela dispersão numérica

Solução exata

Solução numérica

Figura 5.1- Efeitos da oscilação e dispersão numéricas em uma frente de passagem de

contaminante

Yu e Singh (1995) apontam que a maioria dos modelos de transporte de contaminantes

baseados no método de Galerkin estão sujeitos à oscilação e dispersão numéricas devido a um

erro na continuidade do fluxo de contaminantes nos contornos dominados por advecção, pois

a formulação usual não aplica o teorema de Green para os termos advectivos da equação.

Além disso, durante a aplicação dos modelos, outros fatores são preponderantemente

causadores desses efeitos. Tais fatores incluem principalmente uma má escolha da malha de

elementos finitos e do tamanho do passo de tempo adotado. Por isso, sugerem cinco

modificações na formulação do método. Os efeitos dessas modificações foram testados e

mostraram resultados melhores que os do método convencional, em relação aos problemas

numéricos de dispersão e oscilação.

Hossain e Yonge (1997) estudaram o método dos elementos finitos por três técnicas

diferentes e procuraram avaliar os efeitos de dispersão e oscilação. Trabalhando com a

equação do transporte para um meio saturado, as técnicas utilizadas foram o método de

Galerkin comum, o método de Galerkin-Petrov e o método de Galerkin característico. O

60

método de Galerkin-Petrov apresentou resultados livres de oscilações, mas com maior

dispersão numérica em todas as simulações realizadas. Os métodos de Galerkin comum e

característico apresentaram dispersão e oscilação numéricas semelhantes entre si, mas, em

relação ao método anterior, a dispersão numérica foi menor e as oscilações maiores, quando

as simulações eram advectivas. No entanto, quando o coeficiente de dispersão usado era

grande, maior que um dado valor, os resultados destes dois métodos foram praticamente livres

de oscilações.

As formulações baseadas nos métodos de acompanhamento de partículas são as que

apresentam melhores resultados em termos de diminuição da dispersão numérica. Por isso, é

comum a combinação de métodos usuais com os de acompanhamento de partículas.

Yeh et al. (1993) combinaram o método dos elementos finitos de Galerkin com o

método das características modificado para tentar obter resultados numéricos livres destes

erros numéricos. O método das características modificado foi utilizado para resolver a parte

advectiva da equação de transporte enquanto que o método dos elementos finitos foi utilizado

para a parte dispersiva. Comparando os resultados do modelo desenvolvido com soluções

analíticas, foi verificado que o modelo apresentou bons resultados e que a oscilação numérica

praticamente foi eliminada, embora o problema de dispersão numérica ainda tenha se

mantido, mesmo em baixo nível. Além disso, erros no balanço de massa foram encontrados,

atingindo um máximo de cerca de 5% para uma dada simulação. Essa é uma formulação

interessante que pode incorporar alguns outros elementos de modo a eliminar a dispersão e o

erro no balanço de massa.

Li (1996) desenvolveu um modelo para solo não-saturado unidimensional a partir de

uma formulação que denominou “esquema de características de quarta ordem de seis pontos”

(6P4O), baseado no método das diferenças finitas e no método das características com o uso

de uma combinação ótima de três polinômios cúbicos para a solução da parte advectiva. Essa

formulação, apesar de ter boa precisão, provoca problemas de oscilação numérica. Tais

problemas foram resolvidos usando um limitador de fluxo. O modelo apresentou, por isso,

resultados livres de oscilações mas com alguma dispersão numérica.

Outros métodos de acompanhamento de partículas foram desenvolvidos recentemente.

Ewen (1996b) desenvolveu um modelo para o transporte de contaminantes em solos não-

saturados baseado numa nova formulação, descrita em Ewen (1996a). O modelo, denominado

SAMP (Subsystems and Moving Packets), simula o movimento unidimensional de água em

uma coluna vertical de solo. A massa de água é considerada como pequenos pacotes que

61

podem conter alguma concentração de contaminantes. A formulação do modelo é bastante

complexa, mas pode servir de base para o desenvolvimento de uma formulação eficaz.

Algumas modificações dos métodos usuais são encontradas na literatura. Delay et al.

(1993) modificaram o método de caminhamento aleatório basicamente trocando a forma de

gerenciar as partículas móveis. No método usual, as partículas são tratadas individualmente

enquanto que Delay et al. (1993) propuseram tratá-las na forma de variáveis inteiras

representando a massa total de contaminante contida em cada célula, num espaço discretizado

unidimensional. Posteriormente, Delay et al. (1996) estenderam o modelo para o caso

bidimensional.

Outra modificação do método de caminhamento aleatório é apresentada por Banton et

al. (1997). Considerando um sistema unidimensional, a modificação consiste na mudança do

domínio do problema. Enquanto os métodos usuais trabalham com o domínio espacial, o

método proposto por Banton et al. (1997) trabalha com o domínio temporal, de modo que as

derivadas espaciais da equação de transporte são transformadas para derivadas no tempo,

avaliando o avanço da concentração através do tempo de um ponto a outro.

Zheng (1993) propõe algumas mudanças no método das características para tentar

solucionar alguns problemas inerentes ao método, citados no Item 4.4.1. As mudanças

consistem basicamente em alocar dinamicamente as partículas, a fim de diminuir a

necessidade de memória computacional, e em um esquema de interpolação das velocidades

eficiente, a fim de reduzir os erros no balanço de massa. Com as mudanças, o método é

estendido para o caso tridimensional.

Considerando que a dispersão numérica pode ser reduzida com o emprego de uma

malha mais detalhada, com espaçamentos menores entre os pontos nodais, e que essa

dispersão tem como causa principal as frentes de contaminantes, Yeh (1990) propôs um

método de acompanhamento de partículas que utiliza uma técnica de adaptação automática da

malha. Em cada elemento, existe um certo número de “nós escondidos”. Quando a frente é

detectada sobre algum elemento, os seus nós escondidos aparecem e se tornam nós comuns,

subdividindo o elemento e detalhando melhor a malha naquela região. Após a passagem da

frente, os nós voltam a se “esconder”. Com isso, não é necessário utilizar uma malha

detalhada em todo o domínio, pois o detalhamento é automático e ocorre somente nas regiões

de interesse. O método, denominado por Yeh (1990) como LEZOOM (Lagrangian-Eulerian

Method with Zoomable Hidden Fine-Grid), reduz significativamente a necessidade de

memória computacional e praticamente elimina a dispersão e a oscilação numéricas.

62

Poucos estudos de transporte têm sido realizados com técnicas de diferenças finitas.

No entanto, Amokrane e Villeneuve (1996) desenvolveram um procedimento de diferenças

finitas, baseado no método de MacCormack, para a resolução da equação de fluxo de água em

solo não-saturado unidimensional, que pode ser estendido para a resolução da equação de

transporte. O método de MacCormack é um esquema explícito previsor-corretor que utiliza

alternância entre diferenças progressivas e regressivas. No estudo de Amokrane e Villeneuve

(1996), no passo previsor, é usada diferença progressiva para o cálculo das derivadas de

primeira ordem no espaço e, no passo corretor, é usada diferença regressiva. As derivadas de

segunda ordem são aproximadas normalmente. Apesar de não levar em conta a histerese da

condutividade hidráulica, o método tem precisão de segunda ordem e estabilidade

condicionada.

Hayworth e Burris (1996) também utilizam o método de diferenças finitas, porém,

com esquema de Crank-Nicholson, para estudar o transporte e o comportamento de

contaminantes num solo saturado homogêneo unidimensional. O modelo considera o processo

de sorção para atenuar a concentração de um surfactante catiônico. Os resultados apresentados

pelo modelo não foram comparados com resultados analíticos pela falta destes, porém

mostram algumas vantagens no uso de alguns processos de sorção em relação a outros.

5.1- A ESCOLHA DO MÉTODO A SER EMPREGADO

O modelo de transporte de solutos a ser implementado neste estudo será desenvolvido

com base num modelo de simulação do fluxo em meio não-saturado já existente. Tal modelo

foi desenvolvido por Koide (1990) e modificado por Campos (1998). O modelo utiliza o

método dos elementos finitos com elementos triangulares para a discretização do domínio e

diferenças finitas para o tempo. O trabalho de Campos (1998) analisou a eficiência de alguns

métodos de resolução da equação de fluxo, apresentando uma discussão sobre as

potencialidades e as deficiências de cada um. A melhor combinação dos métodos, para cada

caso a ser modelado, é apresentada. Apesar de terem sido feitos poucos testes (Campos,

1998), o modelo se mostrou bastante eficiente no cálculo do fluxo, o que encorajou a sua

utilização neste estudo.

Para a escolha do método a empregar na implementação do modelo de transporte,

objeto deste estudo, o fato do modelo de fluxo ser em elementos finitos foi levado em

consideração. Devido a isto, o uso do método das diferenças finitas ficou, portanto,

63

prejudicado, pois haveria a necessidade de forçar que a malha de pontos do sistema fosse

retangular ou então de realizar um processo de interpolação dos valores das variáveis e

parâmetros relevantes à solução da equação de transporte. O método dos elementos finitos,

neste caso, torna-se uma continuação do processo de modelagem, pois já permitiria o uso da

malha utilizada para a solução do fluxo, sem maiores problemas. No entanto, tanto no método

das diferenças finitas como no método dos elementos finitos, ocorrem os problemas de

dispersão e oscilação numéricos. Os métodos de acompanhamento de partículas, tais como os

métodos das Características e de Caminhamento Aleatório, minimizam esses problemas e

podem ser acoplados a malhas diversas.

A solução encontrada foi então utilizar um misto de método dos elementos finitos e

algum método de acompanhamento de partículas. Com isso, uma proposta interessante é a

utilização do método das características em conjunção com o método dos elementos finitos,

baseado principalmente nas idéias apresentadas nos trabalhos de Yeh et al. (1993) e Zheng

(1993), seguindo as formulações apresentadas no Item 4.

64

6- FORMULAÇÃO DO MODELO

A equação de transporte de solutos nesse modelo, Equação (2.48), será resolvida com

a combinação de dois métodos: o método das características e o método dos elementos

finitos. Para isso, o processo geral de transporte é dividido em dois processos: a advecção e a

dispersão, que inclui também os processos de produção, decaimento e sorção de solutos. O

método das características é utilizado para a resolução do processo de advecção. O método

dos elementos finitos é utilizado para a resolução da dispersão. Neste estudo, são utilizados

elementos triangulares com funções de base lineares. A formulação adotada tem por base os

trabalhos apresentados por Yeh et al. (1993) e Zheng (1993).

6.1- APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS

Rearranjando-se a Equação (2.48), tem-se:

RR

CDR

1Cv

t

Cc

(6.1)

Como foi mostrado no Item 4.4.1, o lado esquerdo dessa equação representa a

derivada total da concentração de soluto em relação ao tempo, ao longo de uma linha

característica, conforme a Equação (4.21). Com isso, a equação do transporte é rescrita como

RR

CDR

1

dt

dC (6.2)

que agora representa o processo de dispersão e produção/decaimento de solutos ao longo de

uma característica, que é uma linha de fluxo.

A resolução da Equação (6.1) é então realizada em duas partes: uma simulando o

processo advectivo e a outra simulando o processo dispersivo. Isso é feito com a resolução

simultânea das Equações (4.19), aplicadas a cv

, que simulam a advecção, e da Equação (6.2),

que simula a dispersão.

Para a aplicação do Método das Características na simulação do processo advectivo,

de um modo geral, várias partículas são geradas e distribuídas sobre o domínio e movidas de

65

acordo com o campo de velocidades corrigidas ( cv

). Essa movimentação segue as linhas

características e é acompanhada sobre uma malha de pontos nodais fixos, a malha de

elementos finitos, resolvendo, dessa forma, as Equações (4.19). Com isso, as partículas são

conduzidas de um tempo k para um tempo k*. Nesse processo, cada partícula carrega uma

determinada concentração, relacionada com a concentração Cik de um dos nós. Quando todas

as partículas são movimentadas e as suas posições finais conhecidas, as suas concentrações

são repassadas para os nós, determinando, assim, as concentrações Cik*

dos nós, finalizando a

advecção.

O passo de tempo k* não é um tempo físico, pois representa um passo de tempo

intermediário entre os passos k e k+1, relacionado com o fim do processo de advecção e o

início do processo de dispersão. Dessa forma, o tempo k* torna-se um limite numérico entre

os processos e a advecção é simulada antes da dispersão.

Com a advecção finalizada, a dispersão pode então ser simulada, o que é feito pela

resolução da Equação (6.2). Para isso, a derivada total da Equação (6.2), que é definida sobre

as características, é passada para os nós da malha de elementos finitos, aplicando, para cada

nó i, uma aproximação na forma de diferenças finitas

t

CC

t

C

dt

dC*k

i1k

iii (6.3)

onde Cik+1

= concentração do nó i num passo de tempo k+1 e

Cik*

= concentração do nó i num passo de tempo k*.

A resolução da Equação (6.2) é então resolvida pelo método dos elementos finitos,

simulando o processo de dispersão.

6.1.1- Geração e Distribuição das Partículas Sobre o Domínio

O primeiro passo a ser tomado no método das características é a geração e a

distribuição de partículas sobre o domínio. Essa distribuição pode ser feita de duas formas:

uniformemente sobre o domínio ou uniformemente sobre o elemento.

A primeira forma gera uma densidade uniforme de partículas sobre o domínio. Sua

principal vantagem é a criação de um padrão de resolução, em termos de partículas, sobre a

região simulada. Porém, regiões de maior interesse dentro do domínio, que necessitem um

66

maior detalhamento, como as frentes de contaminação e as proximidades do lençol freático,

onde normalmente existe um número maior de nós, passam a ter o mesmo padrão de

resolução que regiões de menor interesse. Já a segunda forma gera uma distribuição irregular

de partículas sobre o domínio, mas, no entanto, produz um padrão geométrico de distribuição

em torno dos nós, que faz com que regiões de maior interesse, que possuem um número maior

de nós e elementos, possuam, também, um número maior de partículas. No entanto, as duas

formas não resolvem o problema do detalhamento das frentes.

Assim, para promover um melhor detalhamento da malha, o modelo desenvolvido

neste trabalho incorpora a distribuição uniforme sobre o elemento.

Para o modelo, também foram implementados dois padrões de distribuição: com 3 ou

6 partículas por elemento, podendo o usuário utilizar um deles. Com 3 partículas, cada uma é

associada a um nó e posicionada sobre a mediana que parte daquele nó, a 1/3 do seu

comprimento, como mostra a Figura 6.1.a. Com 6 partículas, cada nó passa a ter associadas

duas partículas. O elemento é subdividido por suas medianas em seis subelementos e cada

partícula é colocada no centróide de um desses subelementos, como mostrado na Figura 6.1.b.

É importante notar que, para elementos muito pequenos, não haverá grande diferença, em

termos físicos, entre os dois padrões, podendo haver um aumento desnecessário do número de

partículas para a simulação.

b) com 6 partículas (2 por nó)a) com 3 partículas (1 por nó)

Figura 6.1- Padrões de distribuição de partículas

Como as partículas são utilizadas para o carregamento de concentrações, pode ser

interessante gerar partículas somente sobre os nós contaminados, isto é, que já tenham alguma

massa de soluto, ou que sejam fonte de massa de soluto, o que reduz bastante o número de

partículas necessárias à simulação. Por isso, o modelo também incorpora a possibilidade de

geração de partículas sobre todo o domínio ou somente sobre os nós contaminados, também a

critério do usuário.

67

6.1.2- Movimentação e Acompanhamento de Partículas

Cada partícula no domínio está associada a três valores – as suas coordenadas xp(t) e

zp(t) e sua concentração Cp(t) – e a duas entidades do domínio discretizado – o nó e o

elemento. O acompanhamento das partículas é feito pela determinação dessas cinco

características a cada passo de tempo.

A movimentação de cada partícula depende da velocidade do fluxo no ponto onde ela

se encontra. Sendo conhecida a posição da partícula num passo de tempo k, o seu

deslocamento e, conseqüentemente, a sua posição no passo k+1 são proporcionais ao

intervalo de tempo t entre esses passos e à velocidade cv

da posição onde a partícula se

encontra inicialmente. Assim, a movimentação é simulada como um movimento retilíneo

uniforme em cada passo, isto é, as coordenadas da nova posição são calculadas por uma

aproximação por diferenças finitas das Equações (4.19), na forma:

tvxx p,xck

p1k

p (6.4a)

tvzz p,zck

p1k

p (6.4b)

em que (xpk, zp

k) e (xp

k+1, zp

k+1) = coordenadas da partícula p nos passos de tempo k e k+1,

respectivamente, e

vxc,p e vzc,p = componentes da velocidade corrigida na coordenada (xpk, zp

k).

A velocidade p,cv

da partícula é calculada por uma interpolação linear das velocidades

dos nós, como a função de aproximação por elementos descrita no Item 4.2. Por essa

interpolação, os valores da velocidade p,cv

em cada nó formarão um plano dentro do

elemento, da mesma forma que aquele apresentado na Figura 4.4, e as velocidades na posição

da partícula serão dadas por

3

1i

i,xck

pk

pe

ip,xc )t(v)z,x(v (6.5a)

3

1i

i,zck

pk

pe

ip,zc )t(v)z,x(v (6.5b)

68

Antes da movimentação, cada partícula está associada a um nó e a um elemento. O

elemento associado é aquele em cuja área a partícula se encontra e o nó associado é o mais

próximo da partícula, dentre os três nós do elemento. A concentração que a partícula carrega

está relacionada com a concentração desse nó. Após a movimentação, com a mudança de

posição, essas associações são refeitas e a concentração da partícula é passada para o novo nó

associado.

A concentração Cik*

para cada nó i é a média aritmética das concentrações de todas as

partículas associadas ao nó. Dessa forma, a advecção é resolvida e a dispersão pode então ser

simulada.

A Figura 6.2 apresenta os procedimentos básicos na aplicação do Método das

Características.

6.2- APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Neste modelo, são utilizados elementos triangulares com funções de base lineares. Os

vértices dos triângulos são os nós da malha. Assim, para a aplicação do método dos elementos

finitos, uma solução aproximada para a concentração, na forma da Equação (4.13).

Da mesma forma, também é adotada uma aproximação similar para os componentes

do tensor de dispersão

3

1i

i,mne

ie

mn )t(D)z,x()t,z,x(D (6.6)

onde m e n podem representar tanto x quanto z,

)t,z,x(Dmn = solução aproximada de Dmn(x, z, t) e

Dmn,j(t) = componente do tensor de dispersão do nó j no tempo t.

A Equação (6.2) pode ser convenientemente rearranjada, fornecendo o operador

diferencial na forma

0dt

dCR''CD

1)C(O (6.7)

69

tempo t = 0

a) no início da simulação, várias partículas são

geradas e distribuídas sobre o domínio

tempo t = 0

b) as partículas são associadas aos nós e aos

elementos

tempo t = k

c) num tempo k qualquer, as concentrações Ck,

conhecidas nos nós, são passadas para as partículas

tempo t = k

d) determinado o campo de velocidades, as

características são conhecidas

tempo t = k*

e) as partículas são movidas, seguindo as

características, e as suas posições finais, no tempo

k*, são conhecidas

tempo t = k*

f) as associações são refeitas

tempo t = k*

g) as concentrações das partículas são passadas para

os nós associados e as concentrações Ck* são

calculadas para os nós (média aritmética)

Figura 6.2- Procedimento básico do Método das Características

70

Pelo método dos resíduos ponderados, descrito no Item 4.2.1, esse operador, quando

aplicado às aproximações de C e Dmn, gera um resíduo que é ponderado sobre cada nó no

domínio, na forma integral da Equação (4.16). Utilizando a técnica de Galerkin, essa integral

fica

0dWdt

CdR''CD

1j

W (6.8)

para j = 1 até NN.

A Equação (6.8) pode ser escrita na forma de diferenciais

0dWdt

CdR''

z

CD

x

CD

zz

CD

x

CD

x

1j

Wzzzxxzxx (6.9)

Além disso, como o domínio é discretizado em elementos e em função da forma como

as funções de base são definidas, a Equação (6.9) pode ser integrada sobre as áreas desses

elementos. Com isso, a integração total é substituída por uma soma de integrações

0dxdzdt

CdR''

z

CD

x

CD

zz

CD

x

CD

x

1

ej

e

ee

ee

zz

ee

zx

ee

xz

ee

xx

(6.10)

Integrando-se as derivadas de segunda ordem por partes, desenvolvendo e

reorganizando, chega-se a

ee

ej

ejb

e

ej

e

ee

ej

ee

zz

ee

zx

ej

ee

xz

ee

xx

dxdz''dqdxdzdt

CdR

dxdzxz

CD

x

CD

zxz

CD

x

CD

(6.11)

71

onde bq

= fluxo dispersivo de soluto no contorno [ML-2

T-1

].

Neste estudo, somente será considerado fluxo advectivo através do contorno, de modo

que bq

será assumido como nulo.

Substituindo (4.13) e (6.6) em (6.11), gera-se um sistema de equações lineares que

pode ser colocado sob a forma matricial

Ndt

dCMCG (6.12)

onde os termos das matrizes e vetores são dados por:

zdxdzD

zdxdzD

x

xdxdzD

zdxdzD

xG

ej

3

1ke

ekk,zz

ei

3

1ke

ekk,zx

ei

e

ej

3

1ke

ekk,xz

ei

3

1ke

ekk,xx

ei

ij

(6.13a)

e

e

ej

eiij dxdzRM (6.13b)

e

e

ejj dxdz''N (6.13c)

A matriz [M] da Equação (6.13b) pode ser diagonalizada se, ao invés de se substituir a

aproximação eC na Equação (6.11), for feita a substituição do valor de Ci por nó. Com isso,

tem-se que

e

e

ejjj dxdzRM (6.14)

Essa forma de apresentação da matriz [M] é conhecida como matriz aglutinada e, quando se

trata de fluxo de água, o seu emprego resulta numa convergência mais rápida, como apontado

por Neuman (1973) e Campos (1998).

72

6.2.1- Funções de Base

Neste modelo, são utilizadas funções de base lineares. As equações dessas funções são

descritas com maiores detalhes em Zienkiewicz (1977), Wang e Anderson (1982) e Cirilo e

Cabral (1989).

No elemento triangular da Figura 6.3, os nós são numerados globalmente, em relação

ao domínio, por r, s e t. Localmente, dentro do elemento, são numerados por 1, 2 e 3. Assim,

para um elemento, as funções de base podem ser definidas por

zcxbaA2

1)z,x( iiie

ei (6.15)

com i = 1, 2, 3 e (x, z) Ae e onde

23132123321 xxczzbzxzxa (6.16a)

31213231132 xxczzbzxzxa (6.16b)

12321312213 xxczzbzxzxa (6.16c)

A área do elemento é dada por

1221e cbcb

2

1A (6.17)

t

r

s

e

1

2

3z

x

Figura 6.3- Elemento típico

Para essas funções, obtém-se as seguintes derivadas:

73

e

ie

i

e

ie

i

A2

c

ze

A2

b

x (6.18)

Também, pode-se obter a forma geral para integração:

!2nml

!n!m!lA2dxdz e

e

nek

mej

lei (6.19)

que define para as integrais das Equações (6.13) e (6.14),

3

Adxdz

e

e

ei (6.20)

Assim, os termos das matrizes e vetores do sistema de equações podem ser rescritos

como

e

jzzizxijxzixxieij cDcDbbDcDbA4

1G (6.21a)

e

e

ij3

ARM (6.21b)

e

e

j3

A''N (6.21c)

onde mnD = média dos valores de Dmn calculados nos nós do elemento.

6.3- INTEGRAÇÃO NO TEMPO

De acordo com as Equações (6.2) e (6.3), a variação temporal da concentração devida

à dispersão pode ser calculada fazendo

t

C

dt

dC ii (6.22)

74

onde Ci = variação na concentração no nó i devida à dispersão.

Segundo Konikow e Bredehoeft (1978), devido aos processos de advecção e dispersão

ocorrerem simultaneamente, sendo simulados por métodos distintos, e devido às mudanças de

concentração ocorridas em um nó-fonte serem proporcionais ao gradiente de concentração

entre o fluido da fonte e o nó no domínio, o valor de Ci para um passo de tempo k+1 deve

ser calculado como um valor médio da dispersão de C nos passos de tempo k e k*. Com isso,

o sistema de equações passa a ser colocado na forma

*kk

1k*kk*k*kkk

NN2

1

t

CMM

2

1CGCG

2

1 (6.23)

gerando um esquema explícito para o cálculo de Cik+1

*kk*k*kkk1k*kk

NNCGCGtCMM (6.24)

Com o valor de Cik+1

calculado, a concentração no passo de tempo k+1 para cada nó

é finalmente calculada pela aplicação de Equação (6.3)

1k

i*k

i1k

i CCC (6.25)

Agora, a variação Cik+1

deve ser passada também para as partículas para refletir sobre

essas as mudanças ocorridas devido à dispersão. Se essa variação for positiva, ela é

diretamente acrescentada à partícula, isto é,

1k

ik

p1k

p CCC (6.26)

Por outro lado, se for negativa, é acrescentada à partícula como um valor percentual em

relação ao valor de Cik*

, ou seja,

*k

i

1kik

p1k

pC

C1CC (6.27)

75

Isso é feito com o intuito de evitar que partículas com baixa concentração passem a carregar

valores negativos de C (Konikow e Bredehoeft, 1978; Zheng, 1993).

Note-se que, nesta formulação, os valores de , R e ' foram considerados uniformes

dentro de cada elemento e que, apesar de R e ' dependerem direta ou indiretamente do valor

de C, são tomados como valores médios dos valores nos nós. Os erros numéricos decorrentes

dessas aproximações não foram verificados, mas acredita-se que tenham pouca influência

sobre o resultado global.

6.4- DETERMINAÇÃO DAS VELOCIDADES DE ESCOAMENTO

Para realizar a simulação do transporte de solutos, é necessário o conhecimento das

velocidades de fluxo da água sobre todo o domínio. É esse campo de velocidades que

determina a extensão e a direção do movimentos dos solutos na água. A velocidade é o

principal mecanismo atuante no processo de advecção e tem importância fundamental no

processo de dispersão, já que o valor do coeficiente de dispersão depende basicamente da sua

magnitude. Com isso, a precisão do modelo de transporte é diretamente afetada pela precisão

nos cálculos da velocidade.

Como a região do fluxo é discretizada em elementos finitos, a velocidade poderia ser

calculada com base na declividade do plano formado pelo potencial mátrico calculado no

elemento. Dessa forma simples, cada elemento possuirá uma velocidade única em todos os

pontos de sua área. No entanto, o campo de velocidades resultante dessa aproximação sofre

uma descontinuidade nos pontos nodais e nas fronteiras entre elementos, já que podem

pertencer a mais de um elemento, o que leva a uma violação na conservação da massa (Yeh,

1981). Para evitar esse problema, uma formulação baseada no método dos elementos finitos é

adotada (Yeh, 1981; Yeh et al., 1993).

De acordo com a lei de fluxo de Buckingham, Equação (2.7), o fluxo de água, ou

descarga específica, na direção do eixo x, é dado por:

x

Kq xx (6.28)

Esse fluxo é, no entanto, a velocidade aparente ou macroscópica, equivalente à

velocidade de Darcy. A velocidade real no poro, Equação (2.15), para o eixo x, é dada por:

76

xxx

x vqq

v

Daí,

x

Kv xx (6.29)

Para a aplicação do método dos elementos finitos, adotam-se as aproximações

3

1i

i,xe

ix )t(v)z,x()t,z,x(v (6.30a)

3

1m

me

m )t()z,x()t,z,x(ˆ (6.30b)

3

1n

n,xe

nx )t(K)z,x()t,z,x(K (6.30c)

3

1k

ke

k )t()z,x()t,z,x(ˆ (6.30d)

Aplicando a técnica de Galerkin e integrando por elementos, tem-se

ee

ej

3

1k

ke

k

3

1n

n,xe

n

ee

ej

3

1m

me

m

3

1i

i,xe

i dxdzx

Kdxdzv (6.31)

que resulta num sistema de equações lineares que matricialmente é escrito como

xx

x BvA (6.32)

onde os elementos das matrizes são dados por

e

e

ej

em

ei

3

1m

mx

ij dxdzA (6.33a)

77

e

e

ej

en

3

1k

n,x

3

1k

ek

kx

j dxdzKx

B (6.33b)

Os valores das integrais são dados pela Equação (6.19).

Na direção z, o fluxo de água é dado por

zzzz Kz

Kz

zKq (6.34)

e a velocidade no poro

zzz Kz

Kv (6.35)

Similarmente, a equação final para a direção z fica

zzz

z CBvA (6.36)

onde

e

e

ej

em

ei

3

1m

mz

ij dxdzA (6.37a)

e

e

ej

en

3

1n

n,z

3

1k

ek

kz

j dxdzKz

B (6.37b)

e

e

ej

en

3

1n

n,zz

j dxdzKC (6.37c)

Como a velocidade de escoamento depende fortemente dos valores do potencial

mátrico calculados pelo modelo de fluxo, os seus resultados estão intimamente ligados à

precisão do cálculo dos potenciais. Então, para que o campo de velocidades gerado seja

coerente, é necessário que o campo de potenciais seja coerente. Com isso, qualquer falha no

modelo de fluxo reflete-se automaticamente no modelo de transporte.

78

6.5- DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE DISPERSÃO

Segundo Sun (1996), muitos estudos estatísticos foram feitos tentando descrever

características e valores para o coeficiente de dispersão mecânica da Equação (2.19), porém,

no geral, são incapazes de dar uma formulação ou uma explicação generalizada para esse

coeficiente. Dessa forma, para se trabalhar com as equações de transporte de solutos, modelos

teóricos tem sido utilizados.

Bear (1972) estabelece que os componentes do coeficiente de dispersão mecânica,

utilizando soma implícita, podem ser expressos por

v

vvD lk

ijklij,d (6.38)

onde i, j, k e l podem representar tanto x quanto z,

Dd,ij = componente do tensor do coeficiente de dispersão mecânica na direção ij

[L2T

-1] e

ijkl = dispersividade (geométrica) do meio [L].

A dispersividade do meio ( ijkl) representa a influência da geometria e da distribuição

dos poros sobre o transporte dispersivo. Portanto, está diretamente relacionada à tortuosidade

do meio (Bear, 1972), o que implica que, para um solo não-saturado, sofre influência do

conteúdo de água ( ). Neste estudo, porém, essa influência será desconsiderada, sendo que a

dispersividade terá valor constante.

A dispersividade é um tensor de quarta ordem e, para um domínio bidimensional,

possui 16 componentes, dos quais apenas aqueles com quatro índices iguais ou com dois

pares de índices iguais são não nulos (Bear, 1972). Por isso, somente 8 desses componentes

são não nulos.

Para um meio isotrópico, os componentes não nulos da dispersividade estão

relacionados com duas constantes: a dispersividade longitudinal ( L) e a dispersividade

transversal ( T), ambas com dimensões de comprimento [L]. Scheidegger (1961), apud Bear

(1972), considerando as propriedades de simetria do tensor de dispersividade para um meio

isotrópico, propõe a seguinte expressão:

79

jkiljlikTL

klijTijkl2

(6.39)

onde mn é a função delta de Kronecker, definida por

nmpara1

nmpara0mn (6.40)

onde m e n podem representar i, j, k ou l.

Substituindo (6.39) em (6.38), chega-se a

v

vvvD

ji

TLijTij,d (6.41)

que determina uma forma geral para a determinação dos componentes do coeficiente de

dispersão mecânica.

Mas a dispersão hidrodinâmica, como descrito no Item 2.4.4, é a união dos

processos de dispersão mecânica e difusão molecular. Assim, o coeficiente de dispersão,

Equação (2.22), tem seus componentes determinados por

m

ji

TLijTij Dv

vvvD (6.42)

Com isso, para o caso bidimensional, a Equação (6.42) determina quatro componentes

para o coeficiente de dispersão como

m

2zT

2xL

xx Dv

vvD (6.43a)

m

2zL

2xT

zz Dv

vvD (6.43b)

mzxLT

zxxz Dv

vvDD (6.43c)

80

onde Dxx e Dzz = componentes do tensor do coeficiente de dispersão nas direções dos

eixos x e z, respectivamente, [L2T

-1] e

Dxz e Dzx = componentes do tensor do coeficiente de dispersão nas direções

cruzadas xz e zx, respectivamente [L2T

-1].

6.6- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

A solução explícita montada pela Equação (6.24) está sujeita a problemas de

instabilidade, devidos, principalmente, ao esquema de integração no tempo. Para garantir a

estabilidade, alguns critérios devem ser adotados. Normalmente, esses critérios dependem de

relações entre entidades geométricas do domínio e o intervalo de tempo. Como o domínio é

fixo, na maioria das vezes, a forma mais fácil de garantir a estabilidade requer que sejam

feitas mudanças no passo de tempo, subdividindo o intervalo t em intervalos menores.

Para este trabalho, a formulação não foi formalmente analisada para se verificar o

melhor critério de estabilidade. O único critério analisado faz referência principalmente ao

movimento de solutos por advecção. Com isso, basicamente, analisa-se o movimento das

partículas no domínio.

O movimento das partículas é simulado por um movimento retilíneo uniforme entre

dois passos de tempo, descrito pela Equação (6.4). Logicamente, em regiões onde as linhas de

fluxo são curvas, haverá erro nessa aproximação, proporcional ao intervalo de tempo t,

como mostrado na Figura 6.4. Esse erro produz algum erro na solução numérica, sendo,

portanto, razoável procurar limitar a movimentação das partículas.

Linha de fluxo

Posição real

Posição inicial

Posição calculada

Figura 6.4- Erro de aproximação na movimentação das partículas

81

Essa limitação está relacionada com a geometria da malha. Não é conveniente que

uma partícula em movimento passe sobre um elemento sem que esse possa “senti-la” em sua

área. Por isso, o domínio deve ter um comprimento característico relativo aos seus elementos,

o qual seria considerado o menor comprimento representativo do domínio (Lm).

Considerando então a partícula de maior velocidade em movimento retilíneo, essa limitação

traz, da Equação (6.4) em forma vetorial,

mp Ltvd (6.44)

onde dp = deslocamento da partícula [L] e

Lm = menor comprimento representativo do domínio [L].

Isolando-se t, tem-se o critério de estabilidade adotado

v

Lt m (6.45)

Esse critério é conhecido como condição de Courant e é muito utilizado em estudos

de advecção pura e propagação de ondas (Abbott e Basco, 1989; Sun, 1996).

Esse critério é aplicado para a velocidade máxima do domínio. Neste estudo, como a

velocidade das partículas é sempre calculada como uma interpolação linear entre as

velocidades dos nós da malha, a máxima velocidade do domínio sempre ocorre sobre um nó.

Com isso, é mais conveniente e mais prático utilizar a máxima velocidade dos nós do que das

partículas. Dessa forma, o critério adotado torna-se mais restritivo que o critério de Courant,

já que o nó de velocidade máxima nem sempre faz parte do elemento correspondente ao

comprimento Lm.

6.7- EVENTOS PARTICULARES

Durante a movimentação das partículas, podem ocorrer alguns eventos particulares

que conduzam a problemas na resolução das equações do modelo, afetando a sua precisão.

São dois problemas básicos, ambos relacionados com a discretização adotada na formulação

do modelo.

82

Sabe-se que em contornos onde o domínio é fechado para o fluxo, água e soluto não

atravessam os limites. Porém, devido ao movimento retilíneo adotado para as partículas, pode

ocorrer o caso de o contorno ser atravessado e a partícula cair fora do domínio, trazendo o

primeiro problema para o modelo. Então, torna-se necessário alocá-la numa posição próxima

da que a sua trajetória a levaria. Isso é feito por meio de um rebatimento da posição da

partícula em relação ao contorno atravessado, resolvendo assim o problema.

O segundo problema surge quando algum elemento que originalmente gerou partículas

fica sem nenhuma partícula em sua área, o que ocorre em regiões de fluxo divergente, onde as

linhas de fluxo se afastam, e as partículas conduzidas não abrangem toda a região, não

penetrando no elemento ali colocado. Isso pode fazer com que o elemento passe a não receber

contribuição da advecção, gerando um maior erro para a dispersão. Esse problema é resolvido

ao se realizar o reposicionamento das partículas, de modo que o elemento volte a participar

novamente da advecção, reiniciando, assim, o processo. Para isso, foram implementados, no

modelo, dois tipos de controle para esse reposicionamento:

• tipo 1 – sempre que o número de partículas que tiveram mudança no seu nó associado

ultrapassa 10% do total de partículas dentro do domínio, todas as partículas são

retiradas e há um novo reposicionamento; e

• tipo 2 – sempre que pelo menos um elemento que originalmente gerou partículas fica vazio,

há um novo reposicionamento.

O controle do tipo 1 está relacionado, unicamente, com o número de partículas

presentes no domínio, no tempo em que for feita a verificação, enquanto que o tipo 2

relaciona-se com a situação dos elementos no domínio. O percentual escolhido para o controle

do tipo 1 (10%) foi selecionado arbitrariamente. Logicamente, nesse tipo existe um

reposicionamento de partículas mais rápido que para o tipo 2. Os efeitos desses controles

serão testados no modelo.

83

7- ESTRUTURA DO PROGRAMA E TESTES DO MODELO

O programa SSTRANS foi desenvolvido tomando como base o programa SSFLO,

desenvolvido por Koide (1990) e modificado por Campos (1998), o qual é utilizado para o

cálculo do fluxo em solos não-saturados, ou seja, para a determinação dos valores de e ,

em regime transiente. O programa SSTRANS utiliza então esses valores para a resolução da

equação do transporte de solutos, Equação (2.48), empregando para isso as técnicas numéricas

dos métodos dos elementos finitos, com elementos triangulares e funções de base lineares, e

das características, ambos descritos no Item 6.

O programa é escrito em linguagem de programação estruturada FORTRAN 77.

O programa SSTRANS não exigiu mudanças na estrutura do programa SSFLO, a

qual foi mantida, modificando-se, apenas quando necessário, as funções de solo C( ), K( ) e

( ).

Para a análise do modelo, foram verificados alguns modos de cálculo baseados no

padrão de geração e distribuição de partículas e no tipo de reposicionamento. Foram

implementados quatro padrões de geração e distribuição de partículas e dois tipos de

reposicionamento, descritos nos Itens 6.1.1 e 6.7, respectivamente. Os padrões de geração e

distribuição de partículas são controlados por duas variáveis no programa – NPPD, que

controla a distribuição pelo domínio, e NPPN, que controla o número de partículas por

elemento – que podem assumir os valores 0 e 1. Por isso, foram denominados de opções,

sendo assim chamados nos capítulos posteriores:

• opção 00 – partículas geradas sobre todo o domínio, com 3 por elemento;


• opção 10 – partículas geradas somente nos nós contaminados, com 3 por elemento; e

• opção 11 – partículas geradas somente nos nós contaminados, com 6 por elemento.

7.1- ESTRUTURA DO PROGRAMA SSTRANS

O programa SSTRANS é estruturado em subprogramas que realizam funções gerais

ou específicas. O propósito deste item é fornecer uma visão global da estrutura em que foi

montado o programa, com seus subprogramas. A Figura 7.1 representa essa estrutura, onde é

indicada, entre parênteses, a atuação do programa SSFLO.

84

INÍCIO

ENTRADA DE DADOS (SSFLO)

CÁLCULOS INICIAIS (SSFLO)

MONTAGEM DE MATRIZES E VETORES AUXILIARES

MOVIMENTAÇÃO DAS PARTÍCULAS - ADVECÇÃO

GERAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DE PARTÍCULAS

CÁLCULO DO MENOR COMPRIMENTO REPRESENTATIVO DO DOMÍNIO

FIM DO

TRANSPORTE?

FIM DA

SIMULAÇÃO?

CÁLCULO DA DISPERSÃO

DETERMINAÇÃO DO FLUXO - , (SSFLO)

FIM

NÃO

NÃO

SIM

SIM

Figura 7.1- Estrutura do programa SSTRANS

7.1.1- Entrada de Dados

Os dados para a simulação de um problema no programa SSFLO/SSTRANS são

entrados diretamente pela rotina de leitura do programa SSFLO, através de um arquivo

específico. Esses dados podem ser de dois tipos:

a) dados de descrição do problema: caracterizam o problema físico a ser simulado. São

dados da geometria do domínio, posição e número dos nós, elementos e suas

85

conectividades com os nós, fluxos de água e soluto no contorno e nós onde ocorrem,

nós de carga e/ou concentração conhecidas, condições iniciais, características dos

solos e solutos etc.; e

b) dados de descrição da simulação numérica: caracterizam a forma de resolução do

problema e a precisão desejada. São dados sobre os modos da resolução das

equações, a duração dos passos de tempo, as tolerâncias etc.

Outras características importantes de descrição do problema fazem parte do próprio

corpo do programa SSFLO, inseridas nele como subprogramas. São as funções de solo, que,

por serem específicas para cada problema, devem ser modificadas. Os subprogramas que as

representam e calculam são:

• FNCPT – calcula o conteúdo de água em função do potencial mátrico, ( );

• FNCPK – calcula a condutividade hidráulica em função do potencial mátrico, K( ); e

• FNCPC – calcula o coeficiente de capacidade, descrito em Campos (1998), em função do

potencial mátrico, Cc( ).

Além disso, como o programa trabalha por alocação de memória computacional, o

número máximo de nós, elementos, partículas, nós de carga conhecida etc. também devem ser

modificados, se necessário, para garantir a simulação. Essas modificações exigem sempre

uma recompilação do programa.

7.1.2- Montagem de Matrizes e Vetores Auxiliares

Para realizar a movimentação das partículas de uma forma correta, são montadas

algumas matrizes e vetores auxiliares que armazenam informações sobre o domínio e suas

entidades, os nós e elementos. Isso é realizado pelo subprograma INITLC2, que analisa os

dados do domínio e monta as seguintes matrizes e vetores:

• matriz de conectividade elemento-elemento (IELEL): informa, para cada elemento, quais

outros elementos possuem pelo menos um nó comum, determinando a área à sua

volta;

• matriz de conectividade nó-elemento (NOEL): informa, para cada nó, quais elementos a

ele conectados, determinando também a área à sua volta;

• vetor de nós do contorno (NOCONT): informa os pares de nós que fazem parte do

contorno; e

86

• vetores das coordenadas dos centróides dos elementos (XC e ZC): armazena, para cada

elemento, as coordenadas dos seus centróides.

7.1.3- Determinação do Menor Comprimento Representativo do Domínio

De acordo com o Item 6.6, o critério de estabilidade de Courant, Equação (6.45), é

utilizado para determinar o menor passo de tempo necessário à estabilidade da solução

numérica, baseado na relação entre a velocidade e a distância percorrida pelo soluto. Para

garantir que esse critério fosse relacionado à malha de elementos de uma forma geral, essa

distância foi escolhida como sendo o menor comprimento representativo do domínio (Lm).

Esse comprimento é calculado pelo subprograma DETHMIN.

O domínio é composto por elementos triangulares. Então, para cada elemento, um

comprimento representativo é o que ocorre entre um vértice e o seu lado oposto, obtido pelo

dobro da relação entre a sua área e o comprimento do lado oposto em questão, sendo adotado,

por segurança, a sua metade. O menor comprimento representativo do domínio é então o

mínimo entre todos aqueles encontrados para os elementos.

7.1.4- Determinação da Velocidade de Escoamento

Após cada passo de tempo para o cálculo do fluxo, um conjunto de valores de é

fornecido e, com isso, pode-se calcular a velocidade de escoamento em cada nó, para esse

passo de tempo. O cálculo da velocidade é realizado pelo subprograma VELOC, conforme

formulação descrita no Item 6.4. Para a obtenção dos valores da ( ) e K( ), são feitas

chamadas aos subprogramas FNCPT e FNCPK. Os sistemas de equações lineares para vx e vz

são montados e então resolvidos pelo subprograma SONAG2.

Calculadas as velocidades nos nós, o subprograma VELOC faz ainda uma varredura

nos valores das velocidades (v) e seleciona o maior valor. Essa velocidade máxima passa a ser

a velocidade representativa do domínio, a qual é utilizada juntamente com o menor

comprimento representativo do domínio para calcular o valor de t que satisfaça a condição

de Courant, mesmo que ocorram em nós distintos. Isso, a princípio, garante que essa condição

seja satisfeita para todo o domínio.

87

7.1.5- Geração e Distribuição de Partículas

Antes do início da simulação, no arquivo de dados, são pré-definidos os modos de

geração e distribuição de partículas sobre o domínio. Com base nessa escolha, o subprograma

POSIC gera e posiciona as partículas.

No primeiro passo de tempo, as partículas são geradas e posicionadas nos seus locais

originais. A partir daí, a cada vez que o subprograma é chamado, é verificada a necessidade

de se reposicionar as partículas. Se for necessário, as antigas partículas são desativadas e

novas partículas são geradas e distribuídas.

7.1.6- Movimentação das Partículas – Advecção

Para o cálculo do processo de advecção, as partículas devem ser movimentadas de

acordo com o campo de velocidades gerado. A movimentação de cada uma é feita pelo

subprograma MOVEM, seguindo o descrito no Item 6.1.2. No entanto, devido aos problemas

específicos que ocorrem com as partículas, esse é o mais longo e mais complexo subprograma

do programa, pois inclui o tratamento das partículas nos vários contornos, o gerenciamento

eficiente das partículas, etc. Como a velocidade adquirida pelas partículas é a velocidade

corrigida ( cv

), é necessário sempre calcular o fator de retardação (R), o que é feito pelo

subprograma CALCD, que chama os subprogramas FNCPT e FNCDK para o cálculo de

( ) e do coeficiente de partição (Kp), respectivamente.

Cada partícula movimentada tem sua nova posição analisada, verificando se pertence a

algum elemento. Se pertencer, é verificado a qual nó está associada. Se este nó for um nó de

descarga, a partícula é desativada. Também é verificado se houve mudança do nó associado.

Se houve, é verificado se o nó anterior é um nó fonte, pois nesse caso outra partícula deve ser

gerada e posicionada na posição original da anterior. Se a nova posição da partícula não

pertencer a nenhum elemento, então a partícula saiu do domínio e deve ser reposicionada para

dentro, por meio de rebatimento. Para isso, é determinado o contorno que ela atravessou.

Todos esses procedimentos utilizam as matrizes auxiliares, construídas com o subprograma

INITL2.

Para ilustrar melhor o procedimento empregado pelo subprograma MOVEM, a Figura

7.2 apresenta o seu fluxograma.

88

INÍCIO - MOVEM

CALCULA O INTERVALO DE

TEMPO PARA O TRANSPORTE

INICIA A MOVIMENTAÇÃO

SELECIONA A PRÓXIMA PARTÍCULA

A PARTÍCULA

ESTÁ ATIVA?

MOVE A PARTÍCULA;

CALCULA AS NOVAS COORDENADAS

CALCULA A VELOCIDADE DA PARTÍCULA

POR INTERPOLAÇÃO ENTRE OS NÓS DO

ELEMENTO ASSOCIADO

RECONHECE O NÓ E O

ELEMENTO ASSOCIADOS

A PARTÍCULA

ESTÁ DENTRO

DO DOMÍNIO?

REPOSICIONA A PARTÍCULA POR

REBATIMENTO EM RELAÇÃO AO

CONTORNO ATRAVESSADO

DETERMINA O ELEMENTO E

O NÓ ASSOCIADOS À

PARTÍCULA

PARA O NÓ ASSOCIADO, SOMA A

CONCENTRAÇÃO DA PARTÍCULA E

CONTA MAIS UMA;

PARA O ELEMENTO ASSOCIADO,

CONTA MAIS UMA PARTÍCULA

O NÓ ASSOCIADO

DA PARTÍCULA

MUDOU?

O NOVO NÓ

ASSOCIADO É UM

NÓ DE DESCARGA?

DESATIVA A

PARTÍCULA

O NÓ ASSOCIADO

ANTERIOR É UMA

FONTE DE SOLUTO?

A PARTÍCULA FOI

CRIADA NESSE

NÓ?

GERA UMA NOVA PARTÍCULA OU

REATIVA ALGUMA DESATIVADA NA

POSIÇÃO ORIGINAL DA ANTERIOR

ÚLTIMA

PARTÍCULA?

DETERMINA A

CONCENTRAÇÃODOS NÓS, DEVIDA À

ADVECÇÃO

CALCULA A

DISPERSÃO

REPASSA A VARIAÇÃO DE

CONCENTRAÇÃO NOS NÓS, DEVIDA À

DISPERSÃO, PARA AS PARTÍCULAS

ÚLTIMO

MOVIMENTO?

FIM - MOVEM

NÃO

SIM

NÃO

SIM

SIM

NÃO

SIM

NÃO

NÃO

SIM

NÃO

SIM

SIM

NÃO

SIM

NÃO

Figura 7.2- Fluxograma do subprograma MOVEM

89

É nesse subprograma que é aplicada a condição de Courant. O valor de t é calculado.

Esse valor é então comparado com a metade do intervalo de tempo utilizado no cálculo do

fluxo, não podendo ser maior. Com isso, o menor intervalo é utilizado. Isso é feito para

garantir maior segurança quanto à estabilidade, forçando ainda que a cada iteração no tempo

do fluxo sejam feitas, no mínimo, duas iterações para o transporte.

7.1.7- Cálculo da Dispersão

Após a advecção, com as concentrações Ck*

determinadas, é chamado o subprograma

DISPERSION, que calcula o processo da dispersão. O objetivo desse subprograma é,

basicamente, calcular as variações de C devidas à dispersão. Para isso, é necessária a

montagem das matrizes globais [M]k, [M]

k*, [G]

k e [G]

k* e dos vetores globais {N}

k e {N}

k*,

o que é realizado por uma chamada ao subprograma ASSEMBCON. Esse utiliza o

subprograma CALCD para o cálculo dos termos do tensor de dispersão, aplicando-os ao

subprograma MATLOC para determinar a contribuição de cada elemento às matrizes globais,

montadas finalmente pelo subprograma MATGLB.

Assim, as variações de C devidas à dispersão são calculadas explicitamente e

repassadas para os nós.

A Figura 7.3 esquematiza a organização dos subprogramas que compõem o programa

SSTRANS.

7.2- TESTES DE VERIFICAÇÃO DO MODELO

Para verificar a capacidade do modelo e a sua precisão e eficiência, foram realizados

cinco testes utilizando problemas apresentados na literatura, cujas soluções são conhecidas.

Cada teste tem um propósito específico, visando analisar os principais aspectos do modelo

desenvolvido.

90

SSTRANS

INITLC2

DETHMIN

FNCPK

FNCPT

TRANSP

VELOC

SONAG2

POSIC

MOVEM

CALCD

FNCPT

FNCDK

DISPERSION

ASSEMBCON

MATLOC

MATGLB

CALCD

FNCPT

FNCDK

Figura 7.3- Diagrama esquemático/hierárquico do programa SSTRANS

7.2.1- Teste 1 – Injeção Contínua de Fluido com Soluto no Topo de uma Coluna

Vertical de Solo

Este primeiro teste foi realizado com o propósito de verificar o comportamento do

modelo para uma situação de fluxo permanente e uniforme em uma coluna vertical de solo

com transporte de soluto transiente, obedecendo uma condição de contorno do tipo de

Cauchy, isto é, com taxa de entrada de massa de soluto conhecida e dependente da

concentração. Neste teste, os resultados do modelo são comparados com resultados analíticos.

91

O teste envolve uma coluna vertical de solo para a qual existe, no seu topo, uma

injeção contínua de água com uma determinada concentração de soluto. O solo é homogêneo

e isotrópico e o fluxo de água em seu interior é mantido constante e unidimensional por meio

da vazão de água constante no topo e o estabelecimento de uma carga constante na base da

coluna. A vazão é tal que o solo permanece não-saturado em toda a sua extensão, por toda a

simulação, garantindo uma distribuição permanente e uniforme do conteúdo de água e,

conseqüentemente, do potencial mátrico. No início da simulação, a coluna está livre de

qualquer concentração de soluto e a única fonte de soluto é a água injetada no topo, a qual é

mantida com uma concentração constante durante toda a simulação. Não são considerados os

processos de produção e decaimento e de sorção de solutos.

A solução analítica utilizada para esse teste foi apresentada por van Genuchten (1981)

e trata do transporte de solutos unidimensional com fluxo permanente e uniforme em uma

coluna vertical semi-infinita de solo. A equação diferencial que rege o problema é dada por

z

Cv

z

CD

t

CR z2

2

L (7.1)

onde 0 z .

Originalmente desenvolvida para considerar os termos de produção de soluto de

ordem zero e a sorção, a Equação (7.1) foi adaptada ao teste ao se fazer R = 1 e = 0.

As condições iniciais e de contorno do sistema são

0zpara00,zC (7.2a)

0tparaCvCvz

CD 0z

0z

zL (7.2b)

0tparafinitoz

C

z

(7.2c)

A condição de contorno (7.2b) estabelece que qualquer entrada de massa de soluto no sistema

pode ser considerada como uma advecção pelo contorno, estando de acordo com a

consideração feita no Item 6.2 de que o fluxo dispersivo pelo contorno pode ser desprezado. A

condição de contorno (7.2c) estabelece que quando z tende para o infinito, o gradiente de

92

concentração permanece com um valor finito em qualquer tempo, o que, segundo van

Genuchten (1981), descreve mais corretamente o sistema semi-infinito.

Com isso, a solução do problema descrito é dada por:

tD2

tvzerfc

D

zvexp

D

tv

D

zv1

2

1

tD4

tvzexp

D

tv

tD2

tvzerfc

2

1Ct,zC

L

z

L

z

L

2z

L

z

L

2z

2

1

L

2z

L

z0

(7.3)

onde o valor de z representa a profundidade na coluna e erfc é a função erro complementar.

Como o modelo é bidimensional, para a realização do teste, que é unidimensional, fo i

adotada uma malha regular e simétrica, com a configuração apresentada na Figura 7.4,

suficientemente longa, de modo a suprimir ao máximo possível os efeitos transversais.

h

h

b b

Contorno com fluxo de água com

soluto conhecido

Contorno de carga constante

Figura 7.4- Malha de elementos finitos para o teste 1 (caso unidimensional)

93

O teste foi realizado para uma coluna de solo com altura total de 200cm em que todos

os elementos são idênticos em forma, possuindo altura h = 2cm e largura b = 1cm, sendo no

total 303 nós com 400 elementos.

Para procurar assemelhar o teste com uma situação real, as características hidráulicas

do solo adotadas foram as apresentadas por Vauclin et al. (1979), que realizou experimentos

com areia fina de granulometria uniforme. Tais características variam com o potencial

mátrico, sendo dadas por

040000

400009,2sat (7.4)

onde sat = 0,30 e

02990000

2990000KK

0,5sat (7.5)

onde Ksat = 35cm/h.

7.2.2- Teste 2 – Concentração Constante no Topo de uma Coluna Vertical de Solo

Este teste foi realizado com o objetivo de verificar o comportamento do modelo para

uma situação de fluxo permanente e uniforme em uma coluna vertical de solo com transporte

de soluto transiente, obedecendo uma condição de contorno do tipo de Dirichlet, isto é,

concentração conhecida no contorno. Novamente, os resultados do modelo são comparados

com resultados analíticos.

A situação é semelhante à do teste 1, exceto que a única fonte de massa de soluto para

o sistema é a presença de uma faixa de solo com concentração constante no topo, ao invés do

fluxo conhecido.

Este teste é um dos cinco problemas de referência adotados pelo Fórum de Advecção-

Difusão em conjunção com a 7ª Conferência Internacional em Recursos Hídricos, realizado

em 1988 no Massachussets Institute of Technology (Yeh, 1990), somente com algumas

modificações nas condições iniciais.

94

O problema é descrito pela equação

z

Cv

z

CD

t

Cz2

2

L (7.6)

com 0 z , que rege o transporte unidimensional de solutos com fluxo permanente e

uniforme e sem consideração dos processos de produção/decaimento e de sorção de soluto,

em uma coluna vertical semi-infinita.


0zpara00,zC (7.7a)

0tparaCt,0C 0 (7.7b)

0tpara0t,C (7.7c)

A solução analítica para esse problema foi obtida por Ogata e Banks (1961), apud

Fetter (1993), sendo dada por

tD2

tvzerfc

D

zvexp

tD2

tvzerfc

2

C)t,z(C

L

z

L

z

L

z0 (7.8)

A obtenção dessa solução é desenvolvida por Sun (1996), considerando o decaimento de

soluto.

Como a situação é semelhante à do teste 1, a mesma malha de elementos finitos foi

adotada, tendo sido modificada somente nos nós do topo da coluna, que passaram ser nós de

concentração constante. Também foram utilizadas as mesmas características hidráulicas para

o solo.

7.2.3- Teste 3 – Transporte de Soluto em uma Coluna Vertical de Solo com Fluxo

Transiente

Este terceiro teste foi realizado com o intuito de verificar o comportamento do modelo

para uma situação onde o fluxo de água é transiente e em forma de frente de umidade. Os

95

resultados do teste são comparados com resultados numéricos (van Genuchten, 1982; Voss,

1984; Healy, 1990), obtidos com base em um experimento de campo (Warrick et al., 1971).

Uma coluna vertical de solo, inicialmente não-saturada, passa a receber água pelo seu

topo, o qual é mantido saturado, com carga constante durante toda a simulação. A água se

infiltra no solo produzindo uma frente de umidade que se desloca, com o tempo, para a base

da coluna, que é mantida não-saturada por toda a simulação, devido ao estabelecimento de

uma carga constante, inferior à carga relativa à saturação. A simulação é conduzida em duas

partes. No início da primeira, a distribuição da carga pela coluna é conhecida e a coluna está

livre de qualquer concentração de soluto. A fonte de soluto do sistema é o topo, mantido

também com uma concentração constante durante essa parte, produzindo assim também uma

frente de contaminação. Na segunda parte, a água que flui pelo topo da coluna tem a sua

concentração anulada, de modo que a água sem soluto passa agora a alimentar o sistema. O

soluto é conservativo e, por isso, não são considerados os processos de produção e

decaimento e de sorção.

Devido à semelhança, a mesma malha de elementos utilizada nos testes 1 e 2 é

utilizada aqui, sendo que a única modificação são os nós no topo da coluna que agora

possuem carga constante.

As propriedades hidráulicas do solo variam com a carga e são dadas por

cm495,14484,29para672,13K

cm484,29para51164KK

97814,0sat

4095,3sat

(7.9)

cm495,14484,29paraln02732,04531,0

cm484,29paraln09524,06829,0 (7.10)

Os outros parâmetros hidráulicos do solo são Ksat = 1,574cm/h e L = 1,026cm.

As condições iniciais do sistema são

cm60zparacm23,159

cm60z0para288,114

zexp169,269

z0,z 0 (7.11)

e as condições de contorno são

96

cm495,14t,0 (7.12a)

cm23,159t,200 (7.12b)

h8,2tpara0

h8,2tparal/meq209Ct,0C 0 (7.12c)

A simulação é realizada para um período total de 9 horas e, como mostra a Equação

(7.12c), a primeira parte compreende as 2,8 horas iniciais, quando há entrada de soluto no

sistema, e a segunda compreende as 6,2 horas finais.

7.2.4- Teste 4 – Concentração Constante no Topo de um Perfil Vertical de Solo

O objetivo deste teste foi verificar o comportamento do modelo quando o domínio de

fluxo é bidimensional, onde tem efeito o processo de dispersão transversal, com os resultados

sendo comparados com uma solução analítica.

Um perfil vertical de solo recebe, no seu topo, uma injeção contínua de água. Essa

injeção é tal que mantém o fluxo de água constante e unidirecional, mantida pelo

estabelecimento de uma carga constante no topo e no pé do perfil, permanecendo o solo não-

saturado por toda a simulação. Com isso, o conteúdo de água e o potencial mátrico nos poros

são mantidos com uma distribuição uniforme e permanente no perfil. A concentração de

soluto em todo o perfil é nula no início e a fonte de soluto se encontra somente na água

injetada na metade esquerda do topo, mantida com uma concentração constante por toda a

simulação. Os processos de produção/decaimento e de sorção de soluto são desprezados.

A equação diferencial que descreve o problema é dada por

z

Cv

x

CD

z

CD

t

Cz2

2

T2

2

L (7.13)

O domínio de fluxo é um semi-plano com z 0, sendo o eixo orientado para baixo, e os

outros contornos no infinito.


97

xe0zpara00,z,xC (7.14a)

0x

Ce0

z

C

xz

(7.14b)

0xpara0

0xpara2

C

0xparaC

t,0,xC 0

0

(7.14c)

A Equação (7.14c) determina que só há entrada de soluto pela metade esquerda do

topo do perfil.

A solução analítica para esse problema foi encontrada por Leij e Dane (1990) e é dada

por

t

0

2

L

z

T

2

3

L

0 dD2

vzexp

D2

xerfc

D4

Czt,z,xC (7.15)

A integral em (7.15) não tem solução analítica e precisa ser calculada numericamente

(Leij e Dane, 1990). Para este estudo, foi utilizada a integração numérica pelo método do

trapézio, com pequenos intervalos.

Para esse teste foi adotada a malha mostrada na Figura 7.5 que apresenta simetria em

relação ao eixo central e entre cada duas colunas. Nas colunas centrais foi adotada uma

largura menor que nas outras, buscando com isso aumentar a densidade de nós naquela região,

por ser uma região de interesse, pois é o limite físico entre a região que recebe a massa de

soluto e a que não recebe, onde terão influência significativa os efeitos da dispersão

transversal.

O perfil de solo foi simulado com altura e largura totais de 20cm cada. Assim, cada

elemento teve altura h = 2cm em toda a malha e a largura foi de b = 1cm para os elementos

centrais e, conseqüentemente, de 2cm para os outros, num total de 143 nós e 240 elementos.

As características hidráulicas do solo são as mesmas utilizadas para os testes 1 e 2,

porém adotando-se sat = 0,5 e Ksat = 72,71cm/h.

98

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

b b2b 2b 2b 2b 2b 2b 2b 2bb b

Contorno de carga e concentração (nula) constantes

Contorno de carga constante

Contorno de carga e concentração (não nula) constantes – fonte de soluto

Figura 7.5- Malha de elementos finitos para o teste 4 (caso bidimensional)

7.2.5- Teste 5 – Transporte com Produção/Decaimento e Sorção de Soluto em uma

Coluna Vertical de Solo

Este último teste foi realizado para verificar o comportamento do modelo quando são

considerados os processos de produção e decaimento e de sorção de soluto. Novamente, os

resultados obtidos com o modelo são comparados com uma solução analítica.

A situação é semelhante à do teste 1, acrescentando somente a consideração dos

processos de produção/decaimento e de sorção do soluto. No caso, foi utilizado o modelo de

sorção linear.

Nessas condições, a equação que rege o problema é

99

'C'z

Cv

z

CD

t

CR z2

2

L (7.16)

sendo

ddsl

KB' (7.17a)

dsl

B' (7.17b)

que trata do transporte de solutos em regime de fluxo unidimensional, uniforme e permanente.

As condições de contorno e iniciais do sistema são

0zpara00,zC (7.18a)

0z

0z

zL CvCvz

CD (7.18b)

0tpara0z

C

z

(7.18c)

A solução analítica desse problema foi apresentada por van Genuchten (1981) e é dada

por

t,zFt,zF'

'Ct,zC 210 (7.19)

onde

RtD2

tvRzerfc

R

ut

D

zvexp

D'2

v

RtD2

utRzerfc

D2

zuvexp

uv

v

RtD2

utRzerfc

D2

zuvexp

uv

vt,zF

L

z

L

z

L

2z

LL

z

z

z

LL

z

z

z1

(7.20a)

100

R

t'exp

'

'

'

'

RtD2

tvRzerfc

D

zvexp

RD

tv

D

zv1

2

1

RtD4

tvRzexp

RD

tv

RtD2

tvRzerfc

2

1

R

t'exp

'

't,zF

L

z

L

z

L

2z

L

z

L

2z

2

1

L

2z

L

z2

(7.20b)

2

1

2z

Lz

v

D'41vu (7.20c)

Devido à semelhança, a mesma malha de elementos utilizada nos testes 1 e 2 é

utilizada aqui, sendo que a única modificação são os nós no topo da coluna que agora

possuem carga constante.

As características hidráulicas do solo são as mesmas adotadas para o teste 4.

101

8- RESULTADOS

Para avaliar o desempenho do modelo quanto à sua precisão e eficiência, foram

realizados cinco testes baseados em problemas com soluções conhecidas, descritos no Item

7.2. Essa avaliação foi feita principalmente em relação aos modos de cálculo, baseados nos

padrões de geração e distribuição de partículas e nos tipos de controle utilizados para o

reposicionamento das partículas.

Os quatro tipos de padrão de geração e distribuição de partículas são:



• opção 10 – partículas geradas somente nos nós contaminados, com 3 por elemento; e

• opção 11 – partículas geradas somente nos nós contaminados, com 6 por elemento.

Os dois tipos de controle de reposicionamento são:

• tipo 1 – quando o número de partículas que trocam o nó associado ultrapassa 10% do total; e

• tipo 2 – quando pelo menos um elemento que originalmente gerou partículas fica vazio.

Também foi verificado o comportamento do modelo quando se altera o número de

Peclet, modificando-se o valor do coeficiente de dispersão. Com isso, altera-se o tipo de

regime de transporte entre predominante advectivo e predominante dispersivo.

Para cada teste realizado, os resultados são analisados separadamente. Ao final, é feita

uma análise geral dos resultados.

8.1- RESULTADOS DO TESTE 1

A configuração geral do teste é descrita no Item 7.2.1.

Foram utilizados os seguintes valores na simulação:

altura da coluna: H = 2m;

taxa de entrada de água: qz = 15cm/h; e

concentração de soluto na entrada: C0 = 200mg/l.

Para a simulação, foram utilizados como parâmetros numéricos:

tempo total de simulação: t = 5h;

incremento de tempo padrão: t = 0,05h; e

opção de cálculo para o fluxo: RA Distribuída (Campos, 1998).

102

O tempo total de simulação adotado foi suficiente para que toda a coluna recebesse

massa de soluto da fonte, adquirindo a concentração máxima de 200mg/l. Como o regime de

fluxo é permanente, a opção adotada para este cálculo não teve influência nos valores obtidos.

Os principais resultados para o fluxo obtidos com os valores acima foram:

conteúdo de água: = 0,257, em toda a coluna; e

velocidade de escoamento: vz = 58,42cm/h, em toda a coluna.

Esses resultados são empregados na solução analítica, Equação (7.3).

Para verificar a influência dos padrões de geração e distribuição de partículas, o

problema foi simulado para as quatro opções. Foi utilizada uma dispersividade L = 0,3cm,

com o controle de reposicionamento do tipo 1. Os resultados são mostrados na Figura 8.1.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traç

ão (

mg

/l)

Opção 00 Opção 01 Opção 10 Opção 11

1 hora 2 horas 3 horas

Figura 8.1- Influência do padrão de geração e distribuição das partículas para o teste 1

Como pode-se observar, existe uma grande semelhança entre as curvas obtidas,

mostrando que a mudança de opção não teve influência significativa para este teste. O mesmo

teste foi aplicado para o controle de reposicionamento do tipo 2 e, novamente, não houve

diferença significativa entre as curvas obtidas. Devido a isso, os próximos resultados são

apresentados apenas para opção 00.

Para avaliar a precisão do modelo, os resultados obtidos para o fluxo no teste foram

aplicados à solução analítica do problema, Equação (7.3). Assim, os resultados analíticos

foram comparados com os do modelo. Essa comparação foi feita para dois valores de L,

103

sendo possível, assim, avaliar o efeito do número de Peclet e, conseqüentemente, do tipo de

regime de transporte sobre o comportamento do modelo, observando a ocorrência de

oscilação e dispersão numéricas. Os resultados foram obtidos com controle de

reposicionamento do tipo 1.

Aplicando um valor de L = 0,1cm, o valor do coeficiente de dispersão calculado pelo

modelo foi de DL = 5,84cm2/h, fornecendo um número de Peclet Pe = 20. Com esse valor, o

regime de transporte é predominantemente advectivo e os resultados obtidos são mostrados na

Figura 8.2. O erro relativo máximo obtido foi de 31,4%, calculado em relação à concentração

analítica máxima.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traç

ão (

mg/l

)

Numérico Analítico

1,5 hora

Figura 8.2- Resultados para o teste 1, com alto valor para o número de Peclet

Com o valor de L = 2cm, o coeficiente de dispersão calculado pelo modelo foi

DL = 116,84cm2/h, sendo o número de Peclet Pe = 1, caracterizando um regime de transporte

predominantemente dispersivo. Para essa situação, os resultados são mostrados na Figura 8.3

e o erro relativo máximo obtido foi de 9,0%.

Como se vê, em ambos os casos, inclusive nos resultados da Figura 8.1, não houve o

aparecimento de nenhuma oscilação numérica próximo à frente de contaminação e os

resultados numéricos se aproximam suficientemente bem dos resultados analíticos. Isso

mostra que, a princípio, o modelo não sofre influência sensível do tipo de regime de

transporte. No entanto, percebe-se a ocorrência de um pequeno avanço da solução numérica

104

em relação à analítica e uma pequena dispersão numérica, mais perceptível nos pontos de

baixa concentração, o que não inviabiliza os resultados.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traç

ão (

mg/l

)


1,5 hora

Figura 8.3- Resultados para o teste 1, com baixo valor para o número de Peclet

Foi avaliado também o efeito do tipo de controle de reposicionamento das partículas

sobre a precisão do modelo. Para isso, o problema foi simulado para os dois tipos de controle

e os resultados do modelo foram comparados aos da solução analítica. Foi utilizado um valor

de L = 0,3cm, o que fornece DL = 17,53cm2/h. Para os dois tipos de controle, foram obtidos

os resultados mostrados nas Figuras 8.4 e 8.5. Nos tempos de 1, 2 e 3 horas, os erros relativos

máximos, obtidos para o controle do tipo 1, foram, respectivamente, de 18,8%, 20,4% e

22,2% e, para o controle do tipo 2, foram, respectivamente, de 8,1%, 6,2% e 4,6%.

Os resultados mostram uma diferença sensível entre os dois tipos controle de

reposicionamento. Percebe-se que o controle do tipo 1 provoca um pequeno adiantamento da

solução numérica em relação à analítica e uma também pequena, mas sensível, dispersão

numérica. Para o tipo 2, no entanto, ocorre uma concordância quase perfeita da solução

numérica com a analítica, não ocorrendo efetivamente dispersão numérica. Isso mostra que o

tipo de controle de reposicionamento das partículas tem efeito significativo na precisão do

modelo. A causa provável disso é que, quando se usa o controle do tipo1, o freqüente

reposicionamento das partículas pode fazer com que, a cada reposicionamento, a massa de

soluto seja passada diretamente de uma partícula a jusante de um nó para outra posicionada a

105

montante do mesmo. Isso não acontece no controle do tipo 2, pois o reposicionamento das

partículas não é tão freqüente.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traç

ão (

mg/l

)



Figura 8.4- Resultados para o teste 1, com controle de reposicionamento do tipo 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traçã

o (

mg/l

)




106



Os valores utilizados na simulação foram:



concentração constante na fonte: C0 = 200mg/l.

Os parâmetros numéricos utilizados foram os mesmos do teste 1.

Os principais resultados obtidos para o fluxo foram:


velocidade de escoamento: vz = 58,42cm/h, em toda a coluna.

O problema foi simulado para as quatro opções de geração e distribuição, com

L = 0,3cm e controle de reposicionamento do tipo 1. Os resultados obtidos estão mostrados

na Figura 8.6.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traç

ão (

mg

/l)

Opção 00 Opção 01 Opção 10 Opção 11


Figura 8.6- Influência do padrão de geração e distribuição de partículas para o teste 2

Assim como no teste 1, observa-se que não há influência significativa sobre o

comportamento do modelo, proporcionada pela opção adotada. A semelhança nas curvas

denota isso. Assim, considerando também os resultados do teste 1, pode-se dizer que, a

107

princípio, não há grandes vantagens em utilizar um número elevado de partículas e a

utilização da opção 10 gera uma economia de tempo, em termos de execução do programa, e

de utilização de memória computacional, já que o número de partículas pode ser

extremamente reduzido, sem perda de precisão dos resultados.

A solução do modelo foi, novamente, comparada com a solução analítica, para dois

valores do número de Peclet, para verificar a sua precisão em regimes de transporte

diferentes. Para um valor de L = 0,1cm, o coeficiente de dispersão calculado foi

DL = 5,84cm2/h e o número de Peclet Pe = 20. Para esse regime de transporte

predominantemente advectivo, os resultados estão mostrados na Figura 8.7. O erro relativo

máximo nesse caso foi de 31,6%.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Co

nce

ntr

ação

(m

g/l

)


1,5 hora

Figura 8.7- Resultados para o teste 2, com alto valor para o número de Peclet

Para L = 2cm, os resultados são mostrados na Figura 8.8. Nessa situação, o

coeficiente de dispersão foi DL = 116,84cm2/h, com número de Peclet Pe = 1, em regime de

transporte predominantemente dispersivo. O erro relativo máximo obtido foi de 6,4%.

Pelas Figuras 8.7 e 8.8, percebe-se novamente que não ocorreu o problema da

oscilação numérica próximo à frente da contaminação. O que se vê é apenas um pequeno

adiantamento da frente calculada pelo modelo e uma pequena dispersão numérica em pontos

de baixa concentração, resultado provavelmente do tipo de reposicionamento adotado, o tipo

1. No entanto, os resultados numéricos se aproximam bastante dos analíticos, mostrando uma

108

boa precisão do modelo para o teste, o que evidencia novamente que o modelo não sofre

muito a influência do regime de transporte.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Con

cen

traç

ão (

mg/l

)


1,5 hora

Figura 8.8- Resultados para o teste 2, com baixo valor para o número de Peclet

Foi avaliado o efeito do tipo de controle de reposicionamento das partículas sobre a

precisão do modelo, simulando o problema para os dois tipos de controle, com L = 0,3cm

(DL = 17,53cm2/h). Para os dois tipos de controle, foram obtidos os resultados das Figuras 8.9

e 8.10. Nos tempos de 1, 2 e 3 horas, os erros relativos máximos obtidos para o controle do

tipo 1, foram, respectivamente, de 17,8%, 19,7% e 21,6% e, para o controle do tipo 2, foram,

respectivamente, de 6,9%, 5,3% e 3,9%.

Novamente, existe uma diferença sensível entre os tipos de controle adotados,

mostrando que o reposicionamento das partículas é bastante influente sobre a precisão do

modelo. No controle do tipo 1, existe um avanço da frente de contaminação calculada pelo

modelo e uma dispersão numérica, ambos pequenos, mas sensíveis. No controle do tipo 2,

essa dispersão numérica diminui bastante e os resultados numéricos praticamente se igualam

aos analíticos. Esses resultados permitem afirmar, em primeira análise, que o modelo é

bastante preciso.

109

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Co

ncen

traç

ão

(m

g/l

)




0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Co

nce

ntr

ação

(m

g/l

)






110

Os valores utilizados na simulação foram apresentados no Item 7.2.3.

Os parâmetros numéricos utilizados foram:

tempo total de simulação: t = 9h, sendo 2,8h para a primeira parte e 6,2h para a segunda; e

incremento de tempo padrão: t = 0,025h.

Segundo Campos (1998), a melhor alternativa para o cálculo do fluxo em solos

bastante secos é a opção Neuman Aglutinada (QG). No entanto, para encontrar a melhor

alternativa, procurando minimizar os efeitos do cálculo do fluxo sobre os do transporte, foram

analisadas todas as opções de cálculo, descritas em Campos (1998). As melhores em termos

de precisão em relação à frente de umidade real foram Solução Mista Aglutinada e Solução

Mista Distribuída, apresentando praticamente os mesmos resultados. Optou-se então por

utilizar para este teste a Solução Mista Aglutinada, cujos resultados para o fluxo são

mostrados na Figura 8.11.

0,14

0,16

0,18

0,2

0,22

0,24

0,26

0,28

0,3

0,32

0,34

0,36

0,38

0,4

0 20 40 60 80 100 120

Profundidade (cm)

Conte

údo d

e ág

ua

Numérico Real

2 horas 9 horas

Figura 8.11- Resultados para o fluxo, no teste3

Nessa figura pode-se verificar a boa proximidade entre as curvas numérica e real, nos

tempos de 2 e 9 horas, sendo que os erros relativos máximos foram de 3,4%, para 2 horas, e

1,3%, para 9 horas, em relação ao conteúdo de água máximo. Isso indica que, aparentemente,

o cálculo do fluxo foi realizado com boa precisão durante toda a simulação. No entanto, o

comportamento do fluxo em tempos intermediários não pôde ser aferido, já que não se dispõe

111

dos dados reais, de forma que qualquer problema surgido entre esses tempos não pôde ser

verificado.

Para testar o transporte, foram, então, verificadas as quatro opções de cálculo, para os

dois tipos de controle de reposicionamento de partículas. Para o controle do tipo 1, foram

obtidos os resultados mostrados na Figura 8.12. No tempo de 2 horas, os erros relativos

máximos foram de 9,0%, para a opção 00, de 4,3%, para a opção 01, de 4,8%, para a opção

10, e de 20,6%, para a opção 11. No tempo de 9 horas, os erros relativos máximos foram de

54,9%, para a opção 00, de 41,8%, para a opção 01, de 53,7%, para a opção 10, e de 27,4%,

para a opção 11.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 20 40 60 80 100 120

Profundidade (cm)

Conce

ntr

ação

(m

g/l

)

Opção 00 Opção 01 Opção 10 Opção 11 Real

2 horas

9 horas


distribuição de partículas, com controle de reposicionamento do tipo 1

Observando os resultados, percebe-se que o padrão de geração e distribuição de

partículas teve forte influência sobre os resultados. Para todas as opções, em 2 horas, os

resultados são muito semelhantes, de modo que se sobrepõem e se confundem e ocorre um

pequeno adiantamento da solução numérica e uma também pequena dispersão numérica.

Para o tempo de 9 horas, no entanto, as opções diferenciam-se bastante. A opção 00

provoca um adiantamento da solução com o pico de concentração bastante semelhante ao real.

112

Para essa opção, foi verificada a menor dispersão numérica, com o formato da solução

numérica em boa concordância com a real. Para a opção 01, verifica-se que, além do avanço

ocorrido, o pico de concentração é menor que o real, com uma dispersão maior que a anterior.

A opção 10 provoca um atraso considerável e uma maior dispersão numérica, inclusive

mantendo ainda uma pequena concentração próxima ao topo da coluna. O seu pico de

concentração, no entanto, praticamente iguala-se ao real. A opção 11 é a que apresentou os

melhores resultados gerais, com a solução numérica alcançando a real, em termos de

profundidade, e com o pico de concentração quase com mesmo valor. A dispersão, no

entanto, é considerável, fazendo com que, também, ainda permaneça uma pequena

concentração próxima ao topo da coluna.

O motivo dessa grande diferença nos resultados pode ser o regime transiente de fluxo.

Com as condições de umidade sendo modificadas constantemente, o cálculo das velocidades

de fluxo pode não ter uma precisão muito boa. Como esse procedimento cálculo não foi

verificado, essa é uma hipótese a se considerar. Outro motivo para essa diferença pode estar

no próprio cálculo do fluxo, que não pôde ser comparado em tempos intermediários. No

entanto, como os cálculos realizados são os mesmos, era de se esperar que os mesmos

problemas ocorressem em todas as opções. Porém, a forma de distribuição e, naturalmente, a

movimentação das partículas sofrem forte influência do fluxo, tanto que as opções que usam

um número menor de partículas, mantiveram uma pequena concentração próxima do topo e as

duas com número maior de partículas levaram a um avanço da solução numérica.

Para o controle do tipo 2, os resultados obtidos são mostrados na Figura 8.13. Nesse

caso, no tempo de 2 horas, os erros relativos máximos foram de 6,4%, para a opção 00, de

6,2%, para a opção 01, de 23,7%, para a opção 10, e de 23,3%, para a opção 11. No tempo de

9 horas, os erros relativos máximos foram de 16,2%, para a opção 00, de 15,2%, para a opção

01, de 96,4%, para a opção 10, e de 94,7%, para a opção 11.

Novamente, os padrões de geração e distribuição de partículas tiveram efeitos

significativos nos resultados calculados pelo modelo. Na Figura 8.13, pode-se distinguir que

as opções com distribuição sobre todo o domínio foram praticamente idênticas, o mesmo

ocorrendo para as opções com distribuição somente nos nós contaminados. Para o tempo de 2

horas, em todas as opções, a solução numérica teve dispersão inferior à real, de modo que a

frente de contaminação numérica foi mais acentuada.

Para o tempo de 9 horas, verifica-se que as opções 00 e 01 geraram uma solução

numérica que praticamente alcançou a real, em termos de profundidade, com um pico mais

acentuado e um espalhamento menor, mostrando que, apesar do alcance, o processo numérico

113

atenua em parte o processo dispersivo. Para as opções 10 e 11, ocorre o mesmo problema do

controle do tipo 1, porém de forma mais acentuada, que é a concentração mantida nas

proximidades do topo.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 20 40 60 80 100 120

Profundidade (cm)

Conce

ntr

ação

(m

g/l

)

Opção 00 Opção 01 Opção 10 Opção 11 Real

2 horas

9 horas


distribuição de partículas, com controle de reposicionamento do tipo 2

Este teste mostrou que, para situações de fluxo transiente, o modelo não tem boa

precisão, de modo que apresenta resultados razoáveis qualitativamente mas não muito bons

quantitativamente, necessitando uma melhor análise e modificação do programa.



Os valores utilizados na simulação foram:

largura total do perfil: B = 20cm;

altura total do perfil: H = 20cm;

carga constante no topo e no pé do perfil: = -23,95cm;

concentração de soluto na entrada pelo lado direito (x > 0): C0 = 0;

114

concentração de soluto na entrada pelo lado esquerdo (x < 0): C0 = 1mg/l; e

concentração de soluto na entrada no centro (x = 0): C0 = 0,5mg/l.

Os parâmetros numéricos utilizados foram:



opção de cálculo para o fluxo: RA Distribuída.

Com esses valores e esses parâmetros, foram obtidos para o fluxo os resultados:

conteúdo de água: = 0,4, em todo o perfil; e

velocidade de escoamento: vz = 50cm/h em todo o perfil.

Com uma dispersividade longitudinal L = 1cm, que fornece DL = 50cm2/h, e uma

dispersividade transversal T = 0,5cm, que fornece DT = 25cm2/h, o problema foi simulado

para os quatro padrões de geração e distribuição de partículas, gerando basicamente os

mesmos resultados, assim como nos testes 1 e 2. Por isso, os próximos resultados são

apresentados apenas para a opção 00.

Para avaliar o efeito do tipo de controle de reposicionamento sobre a precisão do

modelo, o problema foi então simulado para os dois tipos de controle e os resultados foram

comparados com a solução analítica da Equação (7.15).

Os resultados são mostrados nas Figuras 8.14 e 8.15. Nos tempos de 0,25 e 0,5 hora,

os erros relativos máximos, obtidos para o controle do tipo 1, foram, respectivamente, de

13,3% e 14,8% e, para o controle do tipo 2, foram, respectivamente, de 9,5% e 13,0%.

Os resultados mostram que os dois tipos de controle tiveram precisões razoáveis e

similares, com boa aproximação dos resultados numéricos aos analíticos, ao contrário dos

testes anteriores. Observando as figuras, fica evidente que o modelo sofreu influência

consideravelmente forte da forma da malha de elementos. Essa influência ocorreu no tipo 1

com uma intensidade um pouco maior que no tipo 2. Um dos motivos da influência da malha

pode ser o esquema numérico adotado, e o fato de ser mais forte sobre o tipo 1 pode ser por

causa do número maior de reposicionamentos. Além disso, o cálculo do fluxo pode ter

resultado num campo de velocidades convergentes em algumas localidades, provocando o

avanço irregular. Nesse caso, o fluxo também estaria sofrendo o efeito da forma da malha.

Esse efeito, no entanto, não foi verificado, levantando-se, apenas, essa hipótese. Fica evidente,

portanto, a necessidade de uma melhor análise do problema com uma malha mais refinada.

115

-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

x (cm)

-20.00

-18.00

-16.00

-14.00

-12.00

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

z (c

m)

a) para 0,25 hora

-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

x (cm)

-20.00

-18.00

-16.00

-14.00

-12.00

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

z (

cm)

b) para 0,5 hora

Analítico Numérico


116

-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

x (cm)

-20.00

-18.00

-16.00

-14.00

-12.00

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

z (

cm)

a) para 0,25 hora

-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

x (cm)

-20.00

-18.00

-16.00

-14.00

-12.00

-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

z (

cm

)

b) para 0,5 hora



117

Quanto aos efeitos da dispersão longitudinal, as Figuras 8.14 e 8.15 mostram que o

modelo simula muito bem esses efeitos, o que pode ser comprovado pelo espalhamento lateral

da contaminação e principalmente pela Figura 8.15a, onde o espalhamento calculado pelo

modelo tem concordância muito boa com a solução analítica.



Foram utilizados os seguintes valores na simulação:



concentração de soluto na entrada: C0 = 1000mg/l.

Para a simulação, foram utilizados como parâmetros numéricos:



opção de cálculo para o fluxo: RA Distribuída.

Os principais resultados para o fluxo obtidos com os valores acima foram:


velocidade de escoamento: vz = 50cm/h, em toda a coluna.

Considerando que, em todos os testes anteriores, realizados para uma condição

permanente de fluxo, o padrão de geração e distribuição de partículas não teve influência

significativa sobre os resultados, este teste foi realizado somente para a opção 00.

O efeito do tipo de controle de reposicionamento das partículas sobre a precisão do

modelo foi então avaliado. Para isso, foram utilizados os seguintes valores para considerar os

processos de produção e decaimento e de sorção de soluto:

constante de primeira ordem de decaimento de soluto na fase líquida: l = 0,15h-1

;

constante de primeira ordem de decaimento de soluto na fase sólida: s = 0,05h-1

;

termo de ordem zero de produção de soluto na fase líquida: l = 0,1mg/cm3

h;

termo de ordem zero de produção de soluto na fase sólida: s = 0,003h-1

;

massa específica do solo: Bd = 2500mg/cm3;

118

coeficiente de distribuição: Kd = 0,0003cm3/mg; e

dispersividade longitudinal: L = 1,5cm (DL = 75cm2/h).

Com esses valores, foram obtidos os resultados mostrados na Figura 8.16, para o

controle de reposicionamento do tipo 1. Nos tempos de 2, 4 e 6 horas, os erros relativos

máximos obtidos para esse caso foram, respectivamente, de 24,1%, 24,5% e 24,0%.

Esses resultados mostram que o modelo se adequa muito bem à situação, calculando

de forma efetiva os processos considerados de produção, decaimento e sorção de soluto, pois

as formas das curvas analíticas se apresentam semelhantes à distribuição dos pontos

numéricos. Nota-se que nos pontos mais profundos, que não foram atingidos pelo transporte,

ocorre uma produção de soluto maior que o decaimento, com um aumento da concentração.

Nos pontos atingidos, por outro lado, verifica-se o decaimento maior. Ainda assim, ocorre um

avanço considerável da solução numérica, provocado pelo tipo de controle adotado.

Para o controle do tipo 2, os resultados obtidos são mostrados na Figura 8.17. Os erros

relativos máximos obtidos, nos tempos de 2, 4 e 6 horas, foram, respectivamente, de 3,5%,

2,3% e 2,0%.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Conce

ntr

ação

(m

g/l

)


6 horas4 horas2 horas


119

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Profundidade (cm)

Conce

ntr

ação

(m

g/l

)Analítico Numérico

6 horas4 horas2 horas


Novamente, os resultados do tipo 2 mostram uma precisão apreciável do modelo, com

os resultados numéricos em concordância quase exata com os analíticos.

8.6- COMENTÁRIOS FINAIS

Os problemas simulados nos cinco testes apresentados permitiram avaliar a precisão e

a eficiência do modelo para diversas situações. O desempenho geral do modelo foi avaliado

pelos diversos modos de cálculo propostos para o programa.

Quanto aos padrões de geração e distribuição de partículas, os resultados apontam que,

para um regime de fluxo permanente, a opção escolhida é indiferente para a precisão, já que

não há uma variação efetiva entre os resultados. No entanto, para fluxo transiente, ocorrem

divergências apreciáveis entre os resultados, não tendo sido possível, portanto, fazer uma

análise que permitisse selecionar qual a melhor opção para o cálculo do transporte.

Quanto ao tipo de controle de reposicionamento das partículas, nos casos de regime de

fluxo permanente, os testes mostraram que há uma melhora significativa quando se usa o

controle do tipo 2, pois o controle do tipo 1 provoca sempre um avanço indesejável da frente

de contaminação numérica. Para o caso de fluxo transiente, os resultados são completamente

inconsistentes, impedindo também que seja apontado o melhor tipo de controle.

120

Quanto ao efeito do número de Peclet, os testes realizados mostram que a mudança no

regime de transporte, caracterizada pela grande variação no valor de Peclet, tem pouca ou

nenhuma influência sobre os resultados, que não sofreram muito os problemas de oscilação e

dispersão numéricas. No entanto, essa análise só foi feita nos casos de regime de fluxo

permanente. Mas, devido ao comportamento do modelo, acredita-se que o mesmo ocorra nos

casos de fluxo transiente.

Analisando de uma forma geral, para os casos de fluxo permanente, o modelo

mostrou-se bastante efetivo e com uma boa precisão no cálculo de frentes de passagem de

soluto, especialmente para o controle de reposicionamento do tipo 2. Os resultados são

amplamente satisfatórios, possibilitando o uso do modelo para diversas situações. Já para o

caso de fluxo transiente, os resultados não foram satisfatórios, sendo inclusive bastante

divergentes, impedindo uma melhor análise e necessitando mais testes.

121

9- CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

O objetivo deste trabalho foi desenvolver um modelo matemático para a simulação do

transporte de solutos em solos não-saturados. Foi então desenvolvido um modelo numérico,

denominado SSTRANS, baseado numa combinação de dois métodos numéricos: o método

dos elementos finitos e o método das características. O modelo foi implementado a partir de

um outro modelo, de simulação do fluxo em zona não-saturada, já existente, o modelo

SSFLO, desenvolvido por Koide (1990) e modificado por Campos (1998), podendo ser

considerado como uma extensão.

O desempenho do modelo foi verificado quanto à sua precisão e eficiência, utilizando

como base os padrões de geração e distribuição de partículas e os tipos de controle de

reposicionamento das mesmas. Essa verificação foi feita a partir de cinco testes realizados,

que descrevem cinco problemas apresentados na literatura, cujas soluções analíticas são

conhecidas. A precisão do modelo foi avaliada ao se comparar os resultados numéricos

produzidos pelo modelo com as soluções analíticas dos problemas. O modelo também foi

testado para avaliar o seu comportamento em relação aos problemas de oscilação e dispersão

numéricas, o que foi feito provocando-se uma variação no regime de transporte entre

predominantemente advectivo e dispersivo.

9.1- CONCLUSÕES

Embora os cinco casos testados na análise do modelo sejam problemas relativamente

simples, eles envolveram diversas situações simuláveis pelo modelo que permitiram tecer

importantes conclusões. Tais conclusões podem ser discutidas sob um aspecto considerado

preponderante, relativo ao regime de fluxo.

Para o fluxo em regime permanente, o modelo apresentou em geral uma boa precisão.

O uso dos diferentes padrões de geração e distribuição de partículas não apresentou diferenças

significativas. Com isso, pode-se afirmar que o uso de um padrão com um número menor de

partículas traz um ganho de tempo de processamento sem perda de precisão nos resultados. O

reposicionamento de partículas durante a simulação, no entanto, mostrou que um

reposicionamento freqüente é prejudicial para os resultados do modelo, provocando, na

maioria dos casos testados, um avanço considerável da frente de contaminação. Com um

reposicionamento menos freqüente, a precisão do modelo foi muito melhorada, com os

122

resultados tornando-se quase exatos. Com isso, pode-se reduzir ainda mais o tempo de

processamento ao promover um número menor de reposicionamentos, inclusive melhorando

consideravelmente a precisão nos resultados. O problema de oscilação numérica não foi

detectado e a dispersão praticamente não ocorreu, independentemente do tipo de regime de

transporte que estiver ocorrendo.

Para o regime de fluxo transiente, no entanto, o modelo não teve um comportamento

satisfatório. Os resultados para os padrões de geração e distribuição de partículas, associados

com os tipos de controle de reposicionamento, foram bastante inconsistentes, de forma que

não se pode tirar uma conclusão definitiva acerca do melhor modo de cálculo. Por isso, esse

tipo de situação exige um número maior de testes e verificações e, eventualmente,

modificações no programa do modelo. Apesar disso, mostraram que o problema da oscilação

numérica não ocorreu e que os resultados mantiveram-se razoavelmente próximos dos

esperados.

Portanto, o modelo desenvolvido produziu resultados qualitativamente bons, mas que,

quantitativamente, dependem do tipo de regime de fluxo em análise. A precisão é melhor para

um número menor de reposicionamentos das partículas, reduzindo-se o tempo de

processamento, e podendo-se inclusive utilizar o menor número possível de partículas.

9.2- RECOMENDAÇÕES PARA PESQUISAS FUTURAS

Para dar continuidade ao trabalho aqui desenvolvido ou apenas como preceitos a

serem seguidos em outros trabalhos, algumas sugestões são colocadas a seguir.

Em nenhum momento, foi verificado o balanço de massa de soluto para o transporte.

Como esse é um critério normalmente útil para estabelecer a eficiência de um modelo, alguns

testes podem ser feitos com o intuito de se verificar esse balanço. Contudo, deve ser

implementada uma rotina no programa para esse fim, seguindo, por exemplo, as formulações

apresentadas por Konikow e Bredehoeft (1978).

Somente um teste para verificar o comportamento do modelo para problemas de fluxo

transiente não foi suficiente para permitir uma análise conclusiva. Por isso, apesar das

dificuldades de se encontrar na literatura dados disponíveis, sugere-se que outros testes sejam

realizados, fornecendo uma maior base para análise. Se necessário, mudanças no programa

deverão ser feitas.

123

Deve ser ainda avaliada a precisão no cálculo do campo das velocidades de fluxo.

Como essa não foi avaliada, não foi possível determinar se os problemas ocorridos com o

fluxo transiente são resultado do cálculo do fluxo ou do cálculo das velocidades.

Com relação ao controle de reposicionamento de partículas do tipo 1, é importante que

sejam realizados testes com outros percentuais, já que o valor adotado (10%), aparentemente,

leva a reposicionamentos excessivamente freqüentes, provocando erros na precisão dos

cálculos.

Outras formas de cálculo para o transporte podem ser tentadas. A resolução da

equação de transporte pelo método explícito pode estar sujeita a erros não controláveis pelo

critério de estabilidade adotado. Pode-se experimentar o método implícito, cuja estabilidade é

incondicional ou adotar mais algum critério de estabilidade.

Alguns autores sugerem que o cálculo da movimentação das partículas tem

considerável importância na precisão dos resultados. Por isso, assim como em Yeh et al.

(1993) e Zheng (1993), essa movimentação pode ser calculada utilizando o algoritmo de

Runge-Kutta de quarta ordem. Como esse algoritmo exige um maior esforço computacional, é

mais conveniente que seja utilizado somente em regiões de onde as linhas de fluxo são curvas.

Por fim, há ainda a necessidade de se realizar testes do modelo com problemas reais,

observando o que ocorre em tais situações. Como os dados reais disponíveis na literatura não

são muitos, devem ser realizados mais experimentos em escala real para a coleta desses

dados, melhorando, com isso, a base de dados para análise deste e de outros modelos.

124

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