UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC - UFABC

GABRIEL MORTENSEN

MODELAGEM MATEMÁTICA

SANTO ANDRÉ

2011

GABRIEL MORTENSEN

MODELAGEM MATEMÁTICA

Trabalho apresentado como parte dos requisitos da Disciplina Tendências em Educação Matemática da Universidade Federal do ABC

Orientador: Profa. Dra. Virgínia Cardia Cardoso

SANTO ANDRÉ 2011

RESUMO

O Presente trabalho trata do assunto de modelagem matemática, abordando sua

definição, a idéia de criar modelos matemáticos, a abordagem como ferramenta no ensino de

matemática, assim como um modo de aplicar a matemática para a solução de problemas de

outras áreas do conhecimento. O enfoque maior foi dado à área de ensino de matemática nos

diversos níveis escolares, iniciou-se pela contextualização histórica do assunto, a maneira

como surgiu, as deficiências notadas no passado quando não se ensinava matemática pela

técnica da modelagem, e posteriormente foram tratados alguns modelos simples com o

propósito de abordar o assunto de maneira mais fácil. Foram tratados alguns exemplos para o

ensino de matemática na escola básica, sendo que um deles foi trabalhado de maneira a

atender a determinado assunto do ensino médio e posteriormente ao ensino superior.

Palavras - Chave: educação matemática, modelagem matemática, modelamento matemático.

SUMÁRIO

Introdução ____________________________________________________ 1

1. Modelagem Matemática _______________________________________ 2

1.1. O que é? __________________________________________________ 2

1.2. A idéia de criar modelos _____________________________________ 2

1.3. Breve panorama histórico do ensino de matemática

e a presença da Modelagem Matemática ____________________________ 3

2. Discussão sobre o ensino da matemática no segundo grau ____________ 4

3. Aplicação da Modelagem Matemática ____________________________ 6

4. Modelagem Matemática para o Ensino de Cálculos de

Áreas e Volumes na Escola Básica _________________________________ 6

5.1. Aplicação de um Mesmo Modelo em Vários Níveis

Escolares – Escola Básica ________________________________________ 9

5.2. Aplicação de um Mesmo Modelo em Vários Níveis

Escolares – Ensino Médio ________________________________________ 10

5.3. Aplicação de um Mesmo Modelo em Vários Níveis

Escolares – Ensino Superior ______________________________________ 12

Conclusão ____________________________________________________ 15

Fontes Consultadas _____________________________________________ 16

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INTRODUÇÃO

A área de ensino assim como as demais áreas do conhecimento sofre evolução, com o

passar do tempo os indivíduos fazem suas colaborações e escrevem a história, a partir de

novos objetivos deixa-se de fazer o que se fazia antes, ou com um mesmo objetivo é alterada

a maneira de fazer buscando melhores resultados e maior eficiência. A matemática é uma

ciência completa por si só, no entanto está diretamente relaciona às demais ciências, muitos

de seus conceitos foram criados com base na solução de problemas reais, desde quando a

única preocupação era em determinar fronteiras às propriedades, até que físicos careciam de

ferramentas para seus problemas. O ensino da matemática é um assunto importantíssimo para

o desenvolvimento de um país, a boa formação de seus futuros profissionais ligados às áreas

de exatas depende da maneira como a matemática foi ensinada aos mesmos. Este assunto tem

sido há muito tempo motivo de pesquisas, e destes é que são lançadas as Tendências na área

de Educação Matemática, que trata de como será o ensino da matemática para as novas

gerações. A Modelagem Matemática é um dos temas de pesquisa neste assunto e propõe

maneiras de ensinar matemática com o uso de modelos, assim como a aplicação da

matemática em outras áreas do conhecimento.

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1. Modelagem Matemática

1.1. O que é?

Modelagem Matemática pode ser vista como uma técnica de ensino de matemática, ou

um modo de aplicá-la em outras áreas, ou ainda, ensinar matemática através de seu uso em

situações práticas, interdisciplinares e agradáveis. Para a aplicação da modelagem matemática

como técnica de ensino de matemática, pode-se notar que esta é uma poderosa ferramenta,

servindo ainda para chamar a atenção, cria curiosidade e tornar a matemática e seu

aprendizado uma atividade prazerosa.

Figura 1. Modelagem Matemática.

Texto e imagem elaborados com base na leitura de Jonei Cerqueira Barbosa e Rodney Carlos

Bassanezi.

1.2. A idéia de criar modelos

“A idéia de modelagem suscita a imagem de um escultor trabalhando com argila, produzindo um objeto. Esse objeto é um modelo. O escultor munido de material – argila, técnica, intuição e criatividade – faz seu modelo, que na certa representa alguma coisa, seja real ou imaginária. Segundo o Dicionário

da Língua portuguesa, o termo modelo designa “uma representação de alguma coisa (uma maquete, por exemplo), um padrão ou ideal a ser

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alcançado (uma pessoa), ou um tipo particular dentro de uma série (um modelo de carro)”.” (Biembengut e Hein, 2010). “Com o auxílio da matemática o homem utiliza representações que são capazes de explicar e interpretar fenômenos em estudo. A estas representações damos o nome de modelo.” (Ferruzzi ET all, 2004). Página 1. “O uso da matemática como linguagem simbólica conduz a uma representação da situação problema em termos matemáticos. Um modelo matemático pode ser entendido como um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representa uma situação, um fenômeno ou um objeto real a ser estudado. Os modelos matemáticos podem ser expressos através de gráficos, tabelas, equações, sistemas de equações, etc.” ((Ferruzzi ET all, 2004). Referenciando 2 e 4. Página 1.

A matemática pode ser estudada sem levar em conta outras áreas do conhecimento,

pois, por si só é completa. No entanto, levando-se em conta que ela serve de ferramenta para

outras áreas do conhecimento, as quais não existiriam de forma que conhecemos se não

existisse matemática, podemos então estudar seus princípios juntamente com situações de

outras áreas que necessitam de matemática. A técnica da modelagem matemática em sala de

aula serve para um novo modelo de educação, baseado na interdisciplinaridade e voltado para

a resolução de problemas reais.

1.3. Breve panorama histórico do ensino de matemática e a presença da Modelagem

Matemática

“Demanda grande esforço delinear um panorama histórico a respeito da Modelagem Matemática, esforço que talvez nem leve ao resultado esperado. As diferentes interpretações desse nome (ou sua ausência) dificultam o trabalho. Nosso propósito aqui é considerar elementos que tangem a Ciência de maneira geral e, em particular, a Matemática e a Educação Matemática, segundo escolhas pessoais, com base no tema desta pesquisa, admitindo, portanto, que outros tracem panoramas diferentes.” (Beltrão, 2009) “É imemorável a tentativa de compreender o Universo servindo-se da Matemática. Entre os trabalhos feitos por mesopotâmicos e egípcios, encontram-se anotações dirigidas aos escribas, como a elaboração de calendário; cálculos relacionados à astronomia; previsão de eclipse solar; construção de templos e muitos outros. A essas anotações somam-se as de textos hindus, chineses e árabes. Também no Ocidente, a partir do séc.XIII, acumulam-se exemplos de aplicações e modelagens relativas à arquitetura, arte com desenhos em perspectiva, ótica, balística, construção de fortes e muitos outros. A matemática como disciplina científica há muito está ligada à Física, Astronomia e Engenharia, até ser reconhecida no início do séc.XIX como uma Ciência natural que envolve muitas aplicações e atividades de modelagem. Contudo, a noção de aplicação e modelagem como a que

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consideramos hoje, dificilmente teria sido expressa, até mesmo pela dificuldade de separar os vários campos em que a Matemática estava envolvida.” (Beltrão, 2009)

Segundo Beltrão (2009), somente no final do séc.XIX o ensino de matemática foi

contemplado com a Matemática Aplicada em seu currículo, e houve um grande empenho de

Felix Klein para que isso ocorresse. A partir de então, a nova tendência era a valorização das

Aplicações da Matemática em todos os ramos das ciências naturais e técnicas, assim como na

vida real. No entanto, havia grupos que defendiam o ensino de matemática pura e outros que

defendiam o uso de matemática aplicada no ensino. O equilíbrio entre esses componentes

curriculares vem sendo tema de debate entre educadores matemáticos. As escolhas diferem

nas épocas conforme as tendências sociais. Um fato importante ocorreu no Reino Unido, os

industriais perceberam nos profissionais recém formados a incapacidade de resolver os

problemas reais com uso de matemática, o que estimulou a solicitação de uma instrução

matemática voltada às aplicações.

“A criação da Modelagem Matemática como técnica educativa, segundo Pollak, iniciou-se nos cursos de engenharia e espalhou-se para outras áreas nas décadas seguintes.” (Beltrão, 2009) “Há indícios na literatura da Engenharia de que a expressão Modelagem Matemática aparece antes de 1960 e, em Ciências Econômicas, seu uso remonta ao início do século XX (Biembengut, 2005).” (Beltrão, 2009)

Com base nas informações expostas podemos perceber que a boa aplicação da

matemática por um profissional não matemático está diretamente relacionada com a maneira

que o mesmo a aprendeu.

2. Discussão sobre o ensino da matemática no segundo grau

No ensino-médio a matemática é ensinada de maneira que, de longe, chega a dar a

impressão de não ter serventia alguma, exceto algumas operações básicas das quais o

estudante se utiliza em física, ou em química. Para os demais conceitos o argumento geral é

“cai no vestibular”. Essa idéia, vinculada à maneira de aprender algo sem que se possa situar

determinado conhecimento, causa em muitos alunos o desinteresse pelo assunto, sensação

ainda mais presentes para os que seguirão os estudos em cursos não pertencentes à área de

exatas, ou mesmo, àqueles que não prosseguirão com seus estudos.

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Com o propósito de aumentar o interesse pela matemática, assim como a sua

compreensão, é que se propõe o uso de modelagem matemática em seu ensino.

Ainda na questão do ensino de matemática e o uso de propostas de aplicação, podemos

observar as palavras de Bassanezi (2009), a seguir:

“Ao contrário dos que acreditam ser a matemática aplicada uma ferramenta inferior – onde os problemas são abordados com técnicas modestas ou métodos computacionais que desvalorizam esta ciência – pensamos que, para o desenvolvimento de um novo modelo de educação menos alienado e mais comprometido com as realidades dos indivíduos e sociedades, necessitamos lançar mão de instrumentos matemáticos inter-relacionados a outras áreas do conhecimento humano. É também nessa capacidade de estabelecer relações entre os campos da matemática e os outros, evitando reproduzir modos de pensar estanques fracionados, que, a nosso ver, está o futuro da formação de novos quadros de professores e pesquisadores, prontos a enfrentar o desafio de pensar a unidade na multiplicidade. Na própria atividade de ensino, elementar e médio, o porquê de se ensinar matemática deve ser questionado. Os conhecimentos básicos de cálculo, geometria e estruturas algébricas seriam meros “jogos” destinados a desenvolver habilidades intelectuais (como ocorre com freqüência em nossas escolas) ou deveriam ser instrumentos aplicáveis aos usos cotidianos? Está pergunta é ainda mais relevante se considerarmos que a grande maioria dos alunos, mais tarde, saberá utilizar ou se lembrará de apenas uma pequena parcela dos conhecimentos matemáticos ensinados nesse estágio de formação e que, mesmo no ambiente de sala de aula, nem todos se divertem com os “jogos” aprendidos. Não queremos com isso insinuar que a Matemática deva ser abolida do programa escolar ou que seja matéria curricular ensinada somente àqueles que pretendem utilizá-la num futuro. Ao contrário, acreditamos que os professores devem valorizar o que ensinam de modo que o conhecimento seja ao mesmo tempo interessante, por ser útil, e estimulante, por ser fonte de prazer. Assim, o que propomos é a busca da construção de uma prática de ensino-aprendizagem matemática que combine “jogos” e resultados práticos. A matemática não deve ser considerada importante simplesmente por alguma definição arbitrária ou porque mais tarde ela poderá ser aplicada. Sua importância deve residir no fato de poder ser tão agradável quanto interessante.”

Com suas palavras Bassanezi nos mostra que a matemática aplicada é tão importante

quanto a matemática pura, e que é fundamental para o desenvolvimento de um novo modelo

de educação. Desse modo sua aplicação é tão fundamental que deve ser implantada visando a

formação dos futuros professores e pesquisadores.

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Antes mesmo do ensino-médio é possível ensinar matemática através da modelagem,

ela propõe métodos para todos os níveis escolares, no entanto, o professor tem a liberdade de

criar seus próprios modelos.

O mau aprendizado do estudo de funções no ensino-médio dificulta o início dos

estudos de Cálculo no nível superior.

3. Aplicação da Modelagem Matemática

Segundo Biembengut e Hein (2010, página 31) as etapas fundamentais da modelagem

no ensino-modelação são: interação, matematização e modelo. Na etapa de interação

apresenta-se uma síntese do tema ou das informações essenciais que permitirão gerar a

questão norteadora. A síntese permite certa familiarização com o tema ou o assunto a ser

modelado. Depois da questão norteadora, segue-se para a matematização. Nessa etapa,

procura-se formular e resolver o problema para chegar a um modelo que permite interpretar a

solução e, possivelmente, valer para outras aplicações. O importante é ter em mente que tais

ferramentas devem ser aplicadas visando-se o ensino de determinado conteúdo, e em seus

exemplos, podem adicionar ou excluir tópicos matemáticos conforme o objetivo. As questões

devem ser elaboradas de modo que permita o desenvolvimento dos conteúdos curriculares,

que, serão usados para resolvê-las. Os autores ainda dão a dica de que os alunos possam

propor outras questões, desde que as propostas sejam pertinentes ao conteúdo matemático

ensinado no momento. Outra sugestão é que as atividades sejam iniciadas por uma conversa

com os alunos, de modo a mensurar o conhecimento dos alunos a cerca do conteúdo, o grau

de interesse dos mesmos pelo trabalho do professor, e estimular a participação dos alunos.

4. Modelagem Matemática para o Ensino de Cálculos de Áreas e Volumes na Escola

Básica

O desenvolvimento desse tópico está baseado no Capítulo 1. Embalagens, da parte II

do Livro: Modelagem Matemática no Ensino, de Maria Salett Biembengut e Nelson Hein

(2010), com algumas adaptações.

O ensino de formas geométricas planas a princípio é simples pelo fato de ser possível

a representação de figuras planas, no plano do livro, da lousa, ou do caderno. Já a

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representação de formatos tridimensionais por de imagens (planas) é feita através da

perspectiva, cabendo ao aluno um mínimo de noção espacial. Para que a criança entenda esses

conceitos, é importante que o professor não se limite à lousa ou às palavras, mas se utilize de

objetos do dia-a-dia, assim como de dobraduras, e atividades agradáveis para estimular o

aprendizado.

Considerando que antes dos cálculos de áreas e volumes deve-se ensinar as figuras

planas, os sólidos, os conceitos de vértice, aresta e face, os professores podem levar à sala de

aula (ou ainda sugerir que os alunos levem, como uma forma de trazê-los ao assunto,

aumentando o comprometimento dos alunos) embalagens de formatos variados.

Figura 2. Exemplos de Formatos Geométricos.

Para ensinar o conceito de face é ideal que mostre nas embalagens que esta pode estar

em várias formas, como quadrada, retangular, redonda, poligonal, ou mesmo em formatos

irregulares.

Figura 3. Exemplos de Faces com Diferentes Formatos.

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Ao ensino do conceito de aresta é ideal que se faça vinculando ao cálculo de área das

faces, e ao volume do sólido. Os vértices devem ser utilizados como exemplos para ensinar

sobre o ângulo reto, ângulo agudo, obtuso, complementares, suplementares, etc. É interessante

dobrar um papel e movimentar a dobra fazendo com que o ângulo varie de forma a dar

exemplos sobre os ângulos anteriores. Na falta de embalagens, ou como complementação

pode-se usar a própria sala de aula para ensinar esses conceitos.

Figura 4. Ilustração Aresta.

Obtido de http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10862 Data: 19/03/2011

Antes de prosseguir com a modelagem de embalagens, é interessante ensinar o

conceito do número π (Pi), e fazer com que os alunos encontrem seu valor. Com o uso de

objetos redondos, os alunos devem medir o perímetro (pode usar uma fita métrica, ou um

barbante e uma trena, por exemplo), e depois o diâmetro, desse modo podem perceber que o

valor não depende do tamanho, é constante. A própria medição do diâmetro, por exemplo, de

uma panela, serve para entender o que é diâmetro, percebendo ser este a maior corda da

circunferência, a que passa pelo centro.

Para o ensino do volume é interessante que os alunos entendam o conceito de

capacidade, se o professor levar várias garrafas com o mesmo volume, mas de diferentes

formatos, por exemplo, garrafas de azeite de oliva, que de algumas marcas aparentam ser

“grandes” em relação a outras, mas todas possuem a capacidade de 500 ml. Como

complemento é interessante usar um copo (do mesmo volume das garrafas) como referência

do volume, caso a noção ainda não exista.

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Figura 5. Diferentes Formatos de Garrafas com a Mesma Capacidade Volumétrica.

A proposta da modelagem é interar as pessoas no assunto, de modo que possa ser feita

a síntese do mesmo e ser gerada a questão norteadora. Posteriormente, passa-se para a

matematização, com o propósito de formular e resolver o problema para chegar ao modelo,

que, por sua vez permite interpretar a solução e, possivelmente, valer para outras aplicações.

O importante é ter em mente o conteúdo curricular a ser ensinado e não perder o foco, já que a

modelagem matemática é uma complementação, e não um modo de ensinar menos. Também

é importante que durante as etapas se saliente quais os modelos matemáticos serviram de

instrumento para a questão norteadora.

5.1. Aplicação de um Mesmo Modelo em Vários Níveis Escolares – Escola Básica

Para criar a noção de que diferentes áreas podem ser obtidas através da mesma

quantidade de material, existe um exemplo baseado na Palestra do Professor Aguinaldo

Prandini Ricieri cujo objetivo é a criação de um cercado a partir de uma corda de

comprimento de 80 unidades de comprimento, e a idéia é fazê-lo de forma que um dos lados

do retângulo seja o próprio muro, assim o comprimento da corda será utilizado para os outros

três lados, conforme a figura a seguir, elaborada pelo autor:

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Figura 6. Ilustração de Diferentes Áreas com uso de uma Mesma Corda.

Observando a figura é possível notar nitidamente que a soma dos lados é sempre a da

proposta, o próprio comprimento da corda, já a área varia de zero até 800 unidades de área.

Este exemplo em nível de escola básica serve para dar a noção da possibilidade de variação,

assim como para despertar o interesse dos alunos em relação à matemática.

5.2. Aplicação de um Mesmo Modelo em Vários Níveis Escolares – Ensino Médio

O exemplo anterior pode ser explorado e desenvolvido de modo a ter serventia no

ensino de alguns componentes curriculares no ensino médio. Partindo da interação, onde

apresentamos a síntese do tema, que é a possibilidade de obter diferentes áreas com o mesmo

material, podemos ter a questão norteadora que é a busca pela função da área em relação aos

valores associados aos lados do retângulo.

A matematização é a etapa onde o problema é formulado e resolvido. Nessa etapa para

que possamos formular o problema devemos ter em mente a maneira em que será organizada

a função que estamos buscando, podemos pensar em relacionar os lados com variáveis de

nomes conhecidos, a figura a seguir ilustra essa idéia.

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Figura 7. Nomenclaturas para os Lados da Figura.

Sabemos que a área (A) é o produto de “a” e “b”. Sabemos também que a soma de

ambos os lados de dimensão “a” com o lado de dimensão “b” resulta no tamanho da corda,

que é de 80 unidades. Dessa forma podemos organizar o seguinte:

Para que possamos gerar uma função para a área é interessante uma única variável

independente, portanto devemos escolher “a” ou “b”. Vamos escolher “a”. Fazendo uso da

equação 2, vamos obter “b” em relação a “a”, da seguinte forma:

Agora vamos substituir “b” na equação 1 e obter a função desejada.

Com a obtenção da função, podemos ainda no nível de ensino médio explorar os

conceitos de domínio e imagem e fazer o gráfico da função. O gráfico a seguir demonstra a

relação da área obtida em função do valor atribuído à variável independente “a”.

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Figura 8. Gráfico para a Função Obtida.

Neste caso podemos observar que o domínio da função é compreendido pelos valores

possíveis de se atribuir à variável “a”, sabemos que por tratar de uma dimensão seus valores

devem ser positivos, e dado o comprimento da corda de 80u, o domínio será o conjunto

fechado entre 0 e 40u. A imagem da função é representada pelos valores do conjunto fechado

entre 0 e 800 unidades de área.

5.3. Aplicação de um Mesmo Modelo em Vários Níveis Escolares – Ensino Superior

Este exemplo serve para o início dos estudos de Cálculo, disciplina a ser estudada no

nível superior para as áreas de exatas, para o ensino de derivadas, onde é possível descobrir

pontos de máximo e mínimo de funções. O presente exemplo, dada sua simplicidade, permite,

apenas olhando para o gráfico, que se visualize o ponto ideal da função, neste caso o valor de

20 para a variável independente “a”, que resulta no maior valor possível para a área. Mesmo

com a existência dessa percepção podemos ilustrar como proceder para descobrir o ponto

ideal fazendo uso das derivadas.

Partindo da função que determina a relação entre duas variáveis, podemos uma em

relação à outra. A seguir é demonstrada a função obtida anteriormente e sua derivada.

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A derivada de uma função nos fornece o valor da tangente do ângulo formado entre o

eixo “x” (neste caso “a”) e a reta que a tangencia. Para que possamos obter o valor máximo da

função é necessário que a reta que tangencia a função esteja na horizontal (paralela ao eixo

“x”), dessa forma ela estará localizada no “topo” da função e a tocará em um único ponto,

fazendo jus à idéia de tangenciar. Se a reta está paralela ao eixo “x”, significa que o ângulo

formado é zero, neste caso o valor da tangente deste ângulo é também zero.

Temos o conceito da derivada, e dispomos da derivada da função, sabendo que esta

fornece o valor da tangente do ângulo formado, e que este valor é zero, devemos montar a

equação da derivada da função com o valor de zero, e dessa forma obtemos o valor de “a” que

se relaciona ao máximo da função. As passagens descritas estão representadas a seguir.

Com a obtenção do valor ideal de “a” de modo a obter a maior área, podemos

substituir “a” na função da área e descobrir qual é a maior área possível de obter com a corda

sugerida nesta situação.

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Nota-se neste caso que o valor obtido é o mesmo que visualizamos anteriormente no

gráfico da função, no entanto foi feita a descrição de como obter tal valor com o uso de

derivadas. Sabemos também que neste caso o mínimo da função é a área zero, como se pode

perceber na Figura 6, mas caso se queira confirmar se o ponto obtido representa o máximo da

função, pode-se obter a resposta através da segunda derivada.

A segunda derivada é dada por:

O estudo de Cálculo nos mostra que se a derivada segunda de uma determinada função

for menor que zero, o ponto encontrado representa o máximo da função.

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CONCLUSÃO

Com base nas informações que serviram para a composição do presente texto, bem

como o seu desenvolvimento nos modelos apresentados podemos perceber que o ensino de

matemática pode ser muito amplo e não se limitar ao modo convencional e isolado. O uso de

Modelagem Matemática é de extrema serventia para o entendimento de seus conceitos, além

de permitir que o professor crie seus próprios modelos e torne sua aula mais interessante,

permite ao aluno perceber a ligação da matemática com a realidade, assim como sua

importância, ainda maior àqueles que se tornarão profissionais das exatas.

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Fontes Consultadas

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 3. Ed.

São Paulo: Contexto. 2009

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática no Ensino. Maria Salett

Biembengut, Nelson Hein. 5. Ed. São Paulo: Contexto. 2010

Ensino de Cálculo pela Modelagem Matemática e Aplicações – Teoria e Prática.

Doutorado em Educação Matemática. Maria Eli Puga Beltrão. 2009.

Disponível em:

http://www.pucsp.br/pos/edmat/do/tese/maria_eli_puga_beltrao.pdf

Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino e Aprendizagem nos Cursos

Superiores de Tecnologia. Elaine C. Ferruzzi; Mirian B. Gonçalves; Janete Hruschka;

Lourdes M. W. de Almeida. 2004

Disponível em:

http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/Modelagem_Mat_Eng.pdf

Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Jonei Cerqueira Barbosa. 2004

Disponível em:

http://www.uefs.br/nupemm/veritati.pdf

Modelagem Matemática Segundo Jonei Cerqueira Barbosa. Ângela M. Bertoli Lopes e

outros. Disponível em:

http://www.mat.feis.unesp.br/pos/trabalhos/MODELAGEM_MATEMATICA_-

_Angela_M._Bertoli_Lopes_e_outros.pdf

Sugestão de Leitura:

Projeto de integração das disciplinas de Física, Matemática e Robótica num curso de Tecnologia em Mecatrônica Industrial envolvendo noções de Cinemática, Dinâmica e Modelamento de Robôs em 2D. Cezar Cavanha Babichak; Maria Eli Puga Beltrão; Viviane Briccia do Nascimento e William Cezar Kruss. 2004 Disponível em: http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/cd/resumos/T0543-1.pdf