Modelagem Ambiental com Equacoes DiferenciaisOrdinarias, Parciais e Equacoes de Diferencas

Cesar de Oliveiracesaroliveira.f.silva@gmail.com

Docente: Dro. Raphael de Oliveira Garciagr.gubim@gmail.com

27 de novembro de 2015

1 Equacoes Diferenciais Ordinarias

Envolve uma funcao incognita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x ou t e a variavelindependente, y e a variavel dependente e o sımbolo y(n) denota a derivada de ordem n da funcao.

A ordem da equacao diferencial e a ordem da mais alta derivada da funcao incognita que ocorrena equacao. Grau e o valor do expoente para a derivada mais alta da equacao, quando a equacaotem a “forma” de um polinomio na funcao incognita e em suas derivadas. Podemos classificar asequacoes de primeira ordem em varios tipos, porem os mais importantes sao: equacoes lineares,separaveis e exatas.

A solucao de uma equacao diferencial e uma funcao que satisfaz a equacao diferencial sobre algumintervalo aberto. Uma equacao y = F (t) somente e uma solucao da funcao se ela e diferencavelate a ordem da maior derivada citada na funcao e se esta satisfizer a mesma. A solucao maisgeral possıvel que admite uma equacao diferencial e denominada solucao geral, enquanto que outrasolucao e chamada uma solucao particular.

As equacoes diferenciais ordinarias tem varias solucoes e para se escolher uma unica solucao, saonecessarias informacoes adicionais. Se as condicoes adicionais forem especificadas para um mesmovalor de x, por exemplo, x0, temos um Problema de Valor Inicial (PVI). Caso estas condicoesadicionais sejam dadas para mais de um valor de x, temos um Problema de Valor de Contorno(PVC).

Uma grande quantidade de problemas praticos pode ser resolvida com a resolucao deste tipode equacoes, como por exemplo: o decaimento radioativo (muito util quando se trata de um solocontaminado com algum componente como uranio), o crescimento populacional (que pode estarligado a tentativa muitas vezes falhas de engenheiros ambientais tentarem reestabelecer a faunanativa de um ambiente anteriormente degradado porem sem considerarem danos externos e o tempode procriacao da mesma), problemas de misturas (que podem ser efluentes lıquidos e seus devidosoxidantes ), comparacao entre taxas de entradas e saıdas ( que podem ser utilizadas para a analisar

1

se a demanda bioquımica de oxigenio de um rio suportara a vazao de produtos quımicos que econstantemente despejado nele), modelagem das variacoes de temperaturas (calculo muito utilizadoatualmente uma vez que se pretende tentar controlar o agravamento do efeito estufa) e ate mesmocontrolar a exploracao de recursos naturais.

1.1 Exemplos de Modelos com Equacoes Diferenciais

1.1.1 Modelo de Malthus para Crescimento Populacional

O metodo de Malthus e a equacao diferencial ordinaria expressa na equacao 1

P ′(t) = kP (t) (1)

Podemos interpretar que a variacao da populacao P em relacao ao tempo t varia de acordo coma populacao ja existente a menos de uma constante k.

Qual tipo de funcao satisfaz essa equacao diferencial? Uma funcao exponencial, pois sua derivadae ela mesma a menos de uma constante (ligada a potencia da exponencial), vamos verificar entaoque a solucao seja P (t) = C.ekt.

d

dtC.ekt = kCekt → Ckekt = Ckekt

Caso haja uma solucao inicial podemos encontrar o valor de k. Sendo P (0) = 1.

P (0) = 1 = kek×0 → k = 1

1.1.2 Sistema Massa Mola

1.2 Equacoes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Uma equacao diferencial linear e da forma:

a1y′(t) + a0y(t) = g(t) (2)

Dividindo toda a equacao pela constante a1 a colocamos na forma padrao.

y′(t) + P (t)︸ ︷︷ ︸a0/a1

y(t) = f(t)︸︷︷︸g(t)/a1

(3)

E a partir das equacoes nessa forma padrao que iremos trabalhar a partir de agora.

1.2.1 Caso 1 - P(t) = 0

Quando o P (t) da equacao diferencial na forma padrao e nulo, ou seja, a equacao se torna y′(t) =f(t), trata-se entao, obviamente, de uma integracao, que tera sua dificuldade dependendo somentedas formas de integracao possıveis de serem aplicadas a f(t), portanto, quando P (t) = 0:

2

y′(t) = f(t)→ y(t) =∫f(t) dt (4)

1.2.2 Caso 2 - f(t) = 0

Neste caso a equacao diferencial tera a mesma forma do Modelo de Malthus, visto anteriormente,a ver:

a1y′(t) + a0y(t) = 0→ a1y

′(t) = −a0y(t) (5)

Sendo assim, como foi visto, a solucao desse tipo de equacao diferencial e uma funcao exponen-cial, logo:

y(t) = Ce−kt (6)

1.2.3 Caso 3 - P(t) = a

Neste caso, a equacao na forma padrao esta completa, porem a funcao P (t) e uma constante. Sefomos bons observadores em matematica, perceberemos que:

y′(t) + ay(t)︸ ︷︷ ︸regra do produto

= f(t)

Ou seja, a parte da equacao que e dependente de y e sua derivada poderiam ser ”comprimi-das”dentro da derivada de um produto, entao, se multiplicassemos toda equacao por uma funcao,o lado esquerdo poderia ser ”comprimido”dentro de uma derivada de produto, isso pode parecerestranho inicialmente, porem sera incrivelmente util!

A funcao que sera utilizada para gerar um produto e a exponencial eat. Assim, fazemos:

eaty′(t) + aeaty(t) = eatf(t)→ eat(y′(t) + ay(t)) = eatf(t) (7)

Perceba que:

d

dt(eaty(t)) = eaty′(t) + aeaty(t)

Logo, podemos substituir o lado esquerdo da equacao 7 por essa derivada:

d

dt(eaty(t)) = eatf(t)

Agora conseguimos uma facilidade gigantesca, pois, se integrarmos os dois lados, um deles euma derivada, e, segundo o Teorema Fundamental do Calculo, a operacao de integracao ”cancela”aderivacao, portanto, a solucao e:

∫ d

dt(eaty(t)) =

∫eatf(t)→ y(t) = e−at

∫eatf(t)

3

1.2.4 Caso 4 - y’(t) + P(t)y(t) = f(t) - Fator Integrante

O termo ”fator integrante”quer nos dizer que ha um fator que ira tornar a equacao diferencialintegravel.

E veja so: ja utilizamos esse fator no caso anterior, pois multiplicamos toda a equacao por eat,que foi o fator integrante nesse caso, agora vamos formalizar esse conceito.

Seja µ(t) o fator integrante, entao:

d

dt[µ(t)y(t)] = µ′(t)y(t) + µy′(t)

Queremos que, utilizando µ(t), tenhamos a equacao diferencial da seguinte forma:

µ′(t)y(t) + µy′(t) = µ(t)f(t)

Note que, se dividirmos toda a equacao pelo fator integrante:

µ′(t)y(t)µ(t) + µy′(t)

µ(t) = µ(t)f(t)µ(t) → y′(t) + P (t)︸ ︷︷ ︸

µ′(t)/µ(t)

y(t) = f(t)

Bem, ainda nao descobrimos a funcao µ(t), porem, descobrimos sua relacao com a funcao dadaP (t) e a derivada da propria µ(t), com isso, utilizando integracao, podemos fazer:

∫P (t) dt =

∫ µ(t)µ(t) dt→ ln µ(t) =

∫P (t) dt→ µ(t) = e

∫P (t) dt

Portanto, o fator integrante e:

µ(t) = e

∫P (t) dt

(8)

1.2.5 Equacao Separavel

Neste caso, a equacao deve ser da forma:

y′(x) = g(x)h(y(x)) (9)

Desse tipo de equacao, temos que:

∫h(y(x))y′(x) dx =

∫g(x) dx

De outra forma, podemos dizer que:

∫h(y(x))dy

dxdx =

∫g(x) dx→

∫h(y) dy =

∫g(x) dx

4

1.2.6 Metodos de Substituicao

Os metodos de substituicao baseiam-se em transformar as equacoes diferenciais em equacao passıveisda aplicacao do metodo de equacoes separaveis. Neste caso, a forma da equacao deve ser:

y′(x) = F (ax+ by + c)

Parte daı que a substituicao sera feita com a funcao V (x):

V (x) = ax+ by + c→ V ′(x) = a+ by′(x)→ y′(x) = V ′ − ab

Realizando a susbtituicao obtemos uma equacao separavel!

V ′ − ab

= F (ax+ by + c) (10)

1.2.7 Equacao Homogenea

Neste caso, a forma da equacao deve ser:

y′(x) = f(y(x)x

) x

y= 1y/x

Sendo V (x) = y(x)x

teremos:

xV (x) = y(x)→ y′(x) = V (x) + xV ′(x)

Assim:

y′(x) = f(V )→ V (x) + xV ′(x) = f(V )→ xV ′(x) = f(V )− V (x)

Por fim, tambem temos uma equacao separavel, assim:

∫ dV

f(V )− V =∫ dx

x

1.2.8 Equacao de Bernoulli

Neste caso, a forma da equacao deve ser:

y′(x) + P (x)y(x) = f(x)yn

Utilizaremos tambem substituicao, assim:

V = y1−n → V ′ = (1− n)y−ny′

Assim:

5

y−ny′(x) + P (x)y(x)y−n = f(x)→ 11− nV

′ + P (x)V = f(x)

Por fim, a equacao e transformada em uma que podemos resolver, no caso, a equacao se tornara:

V ′ + (1− n)P (x)V = (1− n)f(x) (11)

2 Series de Fourier

Definicao 1. f(t) e periodica de perıodo p se f(t+p) e igual a f(t).

Exemplo 1. cos nt tem perıodo 2π.

Esse exemplo e calculado a seguir:

cos(n(t+ 2πn

)) = cos(nt+ 2π) = cosnt (12)

O que queremos e representar uma funcao periodica pela sua serie de Fourier.

Para isso, iremos supor a seguinte igualdade (sendo f(t) contınua por partes e de perıodo p =2π). Entao:

f(t)” = ”a0

2 +∞∑i=1

ancos(nt) +∞∑i=1

bnsen(nt) (13)

Essa e uma serie de Fourier.

Agora a questao e determinar os coeficientes a0, an e bn.

Para isso necessitamos relembrar algumas integrais elementares, que no caso sao:

∫ π

−πcos(mt) cos(nt)dt =

0, se m 6= n,

π, se m = n.(14)

∫ π

−πsen(mt) sen(nt)dt =

0, se m 6= n,

π, se m = n.(15)

∫ π

−πsen(mt) cos(nt)dt = 0 (16)

Para demonstrar que esses valores das integrais das equacoes 14, 15 e 16 sao verdadeiras,precisamos utilizar algumas identidades trigonometricas.

6

cos(A−B) + cos(A+B) =

cosAcosB + senAsenB + cosAcosB − senAsenB = 2cosAcosB →

cosAcosB = 12[cos(A−B) + cos(A+B)] (17)

cos(A−B)− cos(A+B) =

cosAcosB + senAsenB − cosAcosB + senAsenB = 2senAsenB →

senAsenB = 12[cos(A−B)− cos(A+B)] (18)

sen(A−B) + sen(A+B) =

senAcosB + senBcosA+ senAcosB + sen(−B)cosA = 2senAcosB →

senAcosB = 12[sen(A−B) + sen(A+B)] (19)

Agora, com essas identidades demonstradas, podemos calcular as integrais 14, 15 e 16:

∫ π

−πcos(mt) cos(nt)dt =

12[∫ π

−πcos(m− n)tdt+

∫ π

−πcos(m+ n)tdt] =

12[sen(m− n)t

m− n

∣∣∣∣∣∣π

−π

+ sen(m+ n)tm+ n

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = 0,m 6= n (20)

∫ π

−πcos(mt) cos(nt)dt =

∫ π

−πcos2(mt)dt

12[∫ π

−π(1 + cos(2mt))dt] = 1

2[t+ sen(2mt)2m

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = π,m = n

(21)

∫ π

−πsen(mt) sen(nt)dt =

∫ π

−πsen2(mt)dt

12[∫ π

−π(1 + cos(2m))tdt] = 1

2[t+ sen(2mt)2m

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = π,m = n

(22)

7

∫ π

−πsen(mt) cos(nt)dt =

12[∫ π

−πsen(m− n)tdt+

∫ π

−πsen(m+ n)tdt] =

12[−cos(m− n)t

m− n

∣∣∣∣∣∣π

−π

− cos(m+ n)tm+ n

∣∣∣∣∣∣π

−π

] = 0,m 6= n (23)

Agora podemos retornar ao problema das Series de Fourier e encontrar os seus coeficientes:

∫ π

−πf(t)dt =

∫ π

−π

a0

2 +∞∑i=1

an

∫ π

−πcos(mt)dt+

∞∑i=1

bn

∫ π

−πsen(mt)dt→ a0 = 1

π

∫ π

−πf(t)dt (24)

Para encontrar an vamos multiplicar a equacao por cos mt:

∫ π

−πf(t)cos(mt)dt =

∫ π

−π

a0

2 cos(mt)dt+∞∑i=1

an

∫ π

−πcos(mt) cos(mt)dt+

∞∑i=1

bn

∫ π

−πsen(mt) cos(mt)dt→∫ π

−πf(t)cos(mt)dt = amπ → am = 1

π

∫ π

−πf(t)cos(mt)dt

(25)

E para encontrar o bn vamos multiplicar a equacao por sen mt:

∫ π

−πf(t)sen(mt)dt =

∫ π

−π

a0

2 sen(mt)dt+∞∑i=1

an

∫ π

−πcos(mt) sen(mt)dt+

∞∑i=1

bn

∫ π

−πsen(mt) sen(mt)dt→∫ π

−πf(t)sen(mt)dt = bmπ → bm = 1

π

∫ π

−πf(t)sen(mt)dt

(26)

Essa exemplificacao do calculo dos coeficientes das Series de Fourier, podemos expandir parauma definicao mais abrangente, como exposto na literatura especializada1.

Assim, podemos definir mais detalhadamente a Serie de Fourier:

Definicao 2. Uma funcao perıodica f(x) de perıodo 2L tem uma serie de Fourier associada naforma:

f(x) = a0

2 +∞∑i=1

ancos(nxπ

L

)+∞∑i=1

bnsen(nxπ

L

)(27)

1BOYCE, W.E, DIPRIMA, R.C, Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, Rio deJaneiro, LTC, 2002.

8

onde:

a0 = 1L

∫ L

−Lf(x)dtx (28)

an = 1L

∫ L

−Lf(t)cos

(nxπ

L

)dx (29)

bn = 1L

∫ L

−Lf(t)sen

(nxπ

L

)dx (30)

E complementando, por ser uma serie, necessita de uma explanacao sobre suas condicoes deconvergencia.

Teorema 1. Convergencia da Serie de Fourier: se f(x) e diferenciavel por partes e tem perıodo2L, entao a Serie de Fourier converge para f(x) em todos os pontos onde f e contınua e paraf(a+) + f(a−)

2 onde f e descontınua.

3 Funcoes Pares e Impares e Extensoes Perıodicas

3.1 Funcoes Pares e Impares

Definicao 3. f(x) e par se f(−x) = f(x).

Definicao 4. f(x) e ımpar se f(−x) = −f(x).

Propriedade 1. Se f e g sao pares → f.g(x) = f(−x).g(−x) = f.g(−x) = f.g(x) → f.g e par.

Propriedade 2. Se f e g sao pares → f.g(−x) = f(−x).g(−x) = (−f(x)).(−g(x) = f.g(x) →f.g e par.

Propriedade 3. Se f e par e g e ımpar → f.g(x) = f(−x).g(−x) = (f(x)).(−g(x)) = −f.g(x)→ f.g e ımpar.

4 Equacao do Calor

Suponha, em um problema 1-dimensional, uma barra uniforme isolada termicamente na superfıcielateral e com secao transversal pequena (queremos considerar essa secao transversal praticamentedesprezıvel, em comparacao ao grande comprimento).

Se as duas secoes transversais de mesma area e temperatura diferentes T1 e T2, separadas poruma distancia d, uma quantidade de calor passa da secao mais quente para a mais fria de formadiretamente proporcional a area e inversamente proporcional a distancia d.

A equacao 31 define uma quantidade de calor por unidade de tempo (onde K e a condutividadetermica).

9

Figura 1: Barra

fluxo = Q = KA|T1||T2|d

(31)

Vamos definir algumas variaveis para o problema da conducao de calor em uma barra comodescrita acima.

• u(x, t) = temperatura em x no tempo t

• c(x) = calor especıfico

• ϕ(x, t) = fluxo de calor

• ρ(x) = densidade de massa

• Q(x, t) = energia de calor gerada (fonte, se Q ¿ 0 ou sumidouro, se Q ¡ 0)

Temos, pela equacao 31 que:

ϕ(x, t) = −K(x)∂u∂x

(32)

A equacao original do calor e:

c(x)ρ(x)∂u∂t

= −∂ϕ∂x

+Q(x, t) (33)

Vamos assumir que ϕ(x, t) e positivo quando o fluxo e da esquerda (ponto mais frio) para adireita (ponto mais quente), como o que ocorre e o contrario, ϕ(x, t) assume valor negativo e faz∂u

∂xser positivo, ja que a temperatura aumenta da esquerda para a direita.Agora e necessario simplificar essa equacao pois nao conhecemos u(x, t) nem ϕ(x, t), ou seja,

ha incognitas demais.Para isso assumimos u(x, t), ρ(x) e K(x) sao constantes e Q(x, t) e nulo. Assim:

c(x)ρ(x)∂u∂t

= − ∂

∂x(−K(x)∂u

∂x) +Q(x, t)→ ∂u

∂t= K

cρ

∂u2

∂2x= k

∂u2

∂2x(34)

Onde k = K

cρe a difusividade termica.

Portanto, a equacao do calor que utilizaremos e:

10

∂u

∂t= k

∂u2

∂2x(35)

Agora, sao necessarias as condicoes iniciais e de contorno para resolver o problema.A temperatura inicial sera u(x, 0) = f(x). As condicoes de contorno (ou de fronteira) iremos

utilizar as condicoes de Dirichlet, no caso: u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t). Note que f(x) dizrespeito a temperatura inicial pelo eixo x e g(x) diz respeito as extremidades da barra com o decorrerdo tempo.

5 Metodo da Separacao de Variaveis

5.1 Equacao do Calor com Condicoes de Dirichlet

Reescrevendo a equacao de calor com as condicoes inicial e de fronteira (Condicoes de Dirichlet):

ut = kuxx

u(0, t) = u(L, t) = 0 (36)

u(x, 0) = f(x)

Agora, para entender como esse metodo funciona, vamos supor que podemos escrever da seguintemaneira:

u(x, t) = X(x)T (t) (37)

Note que realmente fizemos uma separacao de variaveis como um produto, agora vamos derivare substituir na equacao.

ux(x, t) = X ′(x)T (t)

uxx(x, t) = X ′′(x)T (t)

ut(x, t) = X(x)T ′(t) (38)

Assim, substintuindo as equacao que contem uxx e ut de 38 na equacao 37 temos:

X(x)T ′(t) = k X ′′(x)T (t)→ X ′′(x)X(x) = T ′(t)

k T (t) (39)

Note que agora, estamos dizendo que uma funcao que depende de x e igual a uma funcao quedepende de t. Como que isso e possıvel, se x e t variam a vontade? A unica explicacao e que asduas funcoes sao constantes, portanto:

X ′′(x)X(x) = T ′(t)

k T (t) = λ (40)

11

Manipulando a equacao, podemos ter que X ′′(x) + λX(x) = 0 e T ′(t) + λkT (t) = 0. Quantoa condicao inicial, u(0, t) = X(0)T (t) = 0 so e valido se T (t) nao for nulo (senao anula a equacao37, assim, sobra que X(0) = 0, que e a uma das nossas condicoes de contorno. Assim comou(L, t) = X(L)T (t) = 0 → X(L) = 0. Como a condicao inicial nao e homogenea, iremos tratardela mais tarde.

Portanto, o sistema que iremos resolver e:X ′′(x) + λX(x) = 0

T ′(t) + λkT (t) = 0

X(0) = X(L) = 0

Para vamos considerar os casos onde o λ pode ser nulo, negativo ou positivo.

Caso 1 - λ = 0Com λ = 0 temos que X ′′(x) = 0→ X ′(x) = c→ X(x) = cx+ d.Substituindo as condicoes de contorno nessa equacao de X(x) teremos X(0) = 0 = c.0 + d =

d → d = 0 e X(L) = 0 = c.L = 0 → c = 0. Assim, X(x) sendo nulo, de acordo com a primeiraequacao do sistema que estamos estudando, u(x, t) tambem seria nulo, logo essa e uma solucaotrivial, que nao nos interessa.

Caso 2 - λ < 0Esse λ pode ser expresso como um −α2. Assim, X ′′(x) − α2X(x) = 0. Pela equacao carac-

terıstica r2 − α2 = 0 temos que r = ±α. Portanto a solucao seria X(x) = d1eαx + d2e

−αx. Todavez que tenho uma solucao com exponenciais com potencias de sinal trocados, podemos escreve-loscomo senos e cossenos hiperbolicos, assim X(x) = c1cosh(αx) + c2senh(−αx).

Substituindo as condicoes de contorno nessa equacao de X(x) teremos X(0) = 0 = c1cosh(α0)+c2senh(−α0) → c1 = 0, ja na outra extremidade, com X(L) = 0 = c2senh(−αL), percebemosque o seno hiperbolico pode ser zero somente se αL for nulo, porem, nem L nem α podem sernulos, o primeiro pois ele e a extremidade oposta ao comeco da barra e a segunda pois no caso queestamos estudando λ e estritamente negativo; nesse interım, como o seno hiperbolico nao pode sernulo quem o sera e o c2. Assim, X(x) sendo nulo, de acordo com a primeira equacao do sistema queestamos estudando, u(x, t) tambem seria nulo, logo essa e uma solucao trivial, que nao nos interessa.

Caso 3 - λ > 0Esse λ pode ser expresso como um α2. Assim, X ′′(x)+α2X(x) = 0. Pela equacao caracterıstica

r2 + α2 = 0 temos que produz raızes complexas, r = ±αi.Portanto a solucao seria X(x) = c1cos(αx) + c2sen(αx) (imaginario puro, por isso nao tem

componente exponencial).Substituindo as condicoes de contorno nessa equacao de X(x) teremos X(0) = 0 = c1cos(0) +

c2sen(0) → c1 = 0. Ja X(L) = 0 = c2sen(αL), o seno e nulo quando o argumento e zero,

12

porem, como ja vimos, αL nao pode ser nulo, porem, o seno se anula em outros valores, no caso, osmultiplos de π, ou seja, a condicao de contorno pode ser satisfeita se αL = nπ → α = nπ

L, assim,

temos agora uma famılia de solucoes.SolucaoXn(x) = Cnsen

(nπ

L

)λ = α2 = n2π2

L2

Encontrar essa famılia de solucoes facilita nosso trabalho, pois agora, para trabalhar com asegunda parte do sistema da equacao do calor, iremos apenas trabalhar com o sistema onde olambda e da famılia de solucoes, assim, reescrevemos da seguinte maneira nosso sistema:

X ′′(x) + n2π2

L2 X(x) = 0

T ′(t) + n2π2

L2 kT (t) = 0

Como ja encontramos X(x), precisamos agora encontrar T (t), que e facil de resolver, ja que euma equacao de primeira ordem, que tem como solucao a funcao exponencial.

T ′n(t) = −n2π2

L2 kTn(t)→ T ′n(t) = Bne−n

2π2

L2 t

Assim, temos as solucoes:Xn(x) = Cnsen

(nπ

L

)

T ′n(t) = Bne−n

2π2

L2 t

Daı, faz-se a superposicao de solucoes para encontrar un(x, t) (que e o produto de Xn(x) eTn(t):

u(x, t) =∞∑n=1

Ansen(nπ

L

).e−n2π2

L2 t(41)

Note que ainda ha a constante An (que e o produto de Cn e Bn), ela pode ser encontradautilizando-se a condicao inicial.

f(x) = u(x, 0) =∞∑n=1

Ansen(nπ

L

).e−n2π2

L2 0=∞∑n=1

Ansen(nπ

L

).e0 →

f(x) =∞∑n=1

Ansen(nπ

L

)(42)

Perceba que, nesse formato, f(x) e muito parecida com uma serie de Fourier, porem, nao sepode aplicar esse tipo de serie em funcoes que nao sao periodicas; para remediar isso e possivelrealizar uma extensao periodica.

Como queremos uma serie de Fourier apenas com senos, fazemos uma extensao periodica ımparde periodo 2L. Assim podemos calcular An usando a formula do coeficiente de Fourier do seno:

13

An = 1L

∫ L

−Lfext impar(x)︸ ︷︷ ︸

impar

sen(nπ

L

)︸ ︷︷ ︸

impar︸ ︷︷ ︸par

dx→ An = 2L

∫ L

0f(x) sen

(nπ

L

)dx

Portanto, finalmente, podemos dizer que a solucao da equacao do calor (com Condicoes deDirichlet) e:

u(x, t) =

∞∑n=1

Ansen(nπ

L

).e−n2π2

L2 t

An = 2L

∫ L

0f(x) sen

(nπ

L

)dx

5.2 Equacao do Calor com Condicoes de Neumann

Reescrevendo a equacao de calor com as condicoes inicial e de fronteira (Condicoes de Neumann):

ut = kuxx

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 (43)

u(x, 0) = f(x)

Como feito anteriormente, supomos que:

6 Equacao da Onda

7 Equacao de Laplace

8 Equacoes de Diferencas

Equacoes de diferencas expressam modelos discretos, que tem como resultado uma sequencia denumeros e, portanto, tem uma formula de recorrencia.

Equacoes de diferencas de primeira ordem tem a seguinte forma:yn+1 − yn = f(yn, n)

y0 dado

8.1 Exemplo de relacao de recorrencia direta

No caso do exemplo:

14

Pn+1 − Pn = 6

P0 = 3

Se obtivermos a sequencia desse modelo discreto, porem, prestarmos atencao especial as operacoesmatematicas que a equacao de diferenca realizada para seguidos valores de n vamos notar a existenciada formula de recorrencia:

P0 = 3P1 = 6 + P0 = 6 + 3 = 9

P2 = 6 + P1 = 6 + (6 + 3) = 15P3 = 6 + P2 = 6 + (6 + 6 + 3) = 21

P4 = 6 + P3 = 6 + (6 + 6 + 6 + 3) = 27

Percebemos, empiricamente, que a formula de recorrencia para esse exemplo e Pn = 3+6(n−1).O objetivo dos metodos especıficos de resolucao de equacoes de diferencas e evitar a realizacao

desse tipo de trabalho desgastante, utilizando as propriedades desses tipos de equacoes para obter-se solucoes dessas equacoes, onde entende-se por ”solucoes”, encontrar uma forma de obter umafuncao que relaciona os valores de n (numeros naturais, com o zero) aos valores da sequenciaformada pela equacao de diferencas.

9 Metodo de Euler

10 Modelos Ambientais com Equacoes de Diferencas

10.1 Escoamento de Poluicao em trecho de rio que passa por 3 cidades

Temos um rio que passa por tres cidades (A,B e C), na primeira, a cidade A, temos uma situacaoinicial de taxa de despejo de efluente An (onde n e uma unidade de tempo, por exemplo, semanas)com uma fonte nova de poluicao qA, porem, alem do efluente acrescentado, ha uma porcentagemdA da taxa de despejo An que e degradada e uma porcentagem fAB da taxa de despejo An que irasair da cidade A e ir para cidade B.

Dessa maneira, podemos modelar An+1 da seguinte maneira:

An+1 = An + qA − dAAn − fABAn (44)

De maneira parecida, a cidade B tera uma uma situacao inicial de taxa de despejo de efluente Bn,com uma fonte nova de poluicao qB, porem, alem do efluente acrescentado, ha uma porcentagemdB da taxa de despejo Bn que e degradada, uma porcentagem fBC da taxa de despejo Bn que irasair da cidade B e ir para cidade C e aquela porcentagem fAB da taxa de despejo An da cidade Asera somada a Bn+1, assim:

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Bn+1 = Bn + qB − dBBn − fBCBn + fABAn (45)

Analogamente, para cidade C:

Cn+1 = Cn + qC − dCCn − fCDCn + fBCBn (46)

O sistema formado e:An+1 = An + qA − dAAn − fABAn

Bn+1 = Bn + qB − dBBn − fBCBn + fABAn

Cn+1 = Cn + qC − dCCn − fCDCn + fBCBn

Com esse sistema, podemos fazer alguns ajustes para obter a forma matricial:An+1 = (1− dA − fAB)An + qA

Bn+1 = fABAn + (1− dB − fBC)Bn + qB

Cn+1 = fBCBn + (1− dC − fCD)Cn + qC

Colocando em forma matricial:

An+1

Bn+1

Cn+1

=

(1− dA − fAB) 0 0

fAB (1− dB − fBC) 00 fBC (1− dC − fCD)

An

Bn

Cn

+

qA

qB

qC

10.1.1 Exemplo Numerico - Poluicao entre 3 cidades

Condicao inicial → rio sem poluicao, logo

A0

B0

C0

=

000

A cidade A despeja 1 ton/semana de esgoto (qA = 1 ton/semana), degrada 50% do poluente

(dA = 0, 5) e apenas 40% da poluicao passa para a cidade B (fAB = 0, 4). A cidade B despeja3 ton/semana de esgoto (qB = 3 ton/semana), degrada 20% do poluente (dB = 0, 2) e 50%da poluicao passa para a cidade B (fBC = 0, 5). A cidade C despeja 8 ton/semana de esgoto(qC = 8 ton/semana), degrada 70% do poluente (dC = 0, 7) e 30% da poluicao passa para acidade D (fCD = 0, 3).

Substituindo esses valores na forma matricial do problema, temos:

An+1

Bn+1

Cn+1

=

(1− 0, 5− 0, 4) 0 0

0, 4 (1− 0, 2− 0, 5) 00 0, 5 (1− 0, 7− 0, 3)

An

Bn

Cn

+

138

→

16

→

An+1

Bn+1

Cn+1

=

0, 1 0 00, 4 0, 3 00 0, 5 0

An

Bn

Cn

+

138

Primeira Iteracao/Semana

→

A1

B1

C1

=

0, 1 0 00, 4 0, 3 00 0, 5 0

000

+

138

→A1

B1

C1

=

138

Segunda Iteracao/Semana

→

A2

B2

C2

=

0, 1 0 00, 4 0, 3 00 0, 5 0

138

+

138

→A2

B2

C2

=

1, 14, 39, 5

Terceira Iteracao/Semana

→

A3

B3

C3

=

0, 1 0 00, 4 0, 3 00 0, 5 0

1, 14, 39, 5

+

138

→A2

B2

C2

=

1, 116, 0110, 15

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11 Modelos Ambientais com Equacoes Diferenciais

11.1 Modelo Parasita-Hospedeiro (Nicholson-Bailey, 1978)

O modelo de Nicholson e Bailey (1978) e aplicado particularmente as relacoes de insetos entomofagoscom seus hospedeiros. Alguns postulados sao admitidos para realizar a modelagem:

• Hospedeiro infectado transmite o parasita para a proxima geracao;

• Hospedeiro nao infectado gera o proprio hospedeiro para a proxima geracao;

• A fracao de hospedeiro infectado depende da taxa de encontro entre as especies.

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