MICHELE RIBEIRO MINAS GERAIS - BRASIL 2013. MICHELE RIBEIRO FIDELIS TEOREMA DE MORITA PARA CATEGORIA

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  • MICHELE RIBEIRO FIDÉLIS

    TEOREMA DE MORITA PARA CATEGORIA DERIVADA

    Dissertação apresentada à Universi- dade Federal de Viçosa, como parte das exigências do Programa de Pós Graduação em Matemática, para obtenção do t́ıtulo de Magister Scien- tiae.

    VIÇOSA MINAS GERAIS - BRASIL

    2013

  • MICHELE RIBEIRO FIDÉLIS

    TEOREMA DE MORITA PARA CATEGORIA DERIVADA

    Dissertação apresentada à Universi- dade Federal de Viçosa, como parte das exigências do Programa de Pós Graduação em Matemática, para obtenção do t́ıtulo de Magister Scien- tiae.

    APROVADA: 26 de julho de 2013.

    Flávio Ulhoa Coelho Ab́ılio Lemos Cardoso Júnior

    Rogério Carvalho Picanço Sônia Maria Fernandes (Coorientador) (Orientadora)

  • AGRADECIMENTOS

    Agradeço a Deus pelas bençãos derramadas em todos os momentos.

    Aos meus pais, José Márcio e Neusa, pelo apoio incondicional e paciência infinita.

    As minhas irmãs, Marcela e Meilene, pelo carinho e incentivo.

    Ao Cacado, pelo companherismo e paciência nos momentos de inquietação e cansaço.

    Aos professores e funcionários do Departamento de Matemática, com os quais muito aprendi e recebi apoio.

    A minha orientadora, professora Sônia, pela orientação desde a graduação, apoio, aprendizado incauculável e amizade.

    Ao professor Rogério, pela coorientação, sugestões e incentivos constantes.

    Aos membros da banca, por aceitarem o convite, pelas sugestões e comentários.

    Aos colegas do mestrado, as meninas da república e aos amigos que fiz em Viçosa pelos momentos vividos juntos.

    À CAPES, pelo apoio financeiro.

    ii

  • SUMÁRIO

    RESUMO 1

    ABSTRACT 2

    INTRODUÇÃO 3

    1 Conceitos Básicos 6 1.1 Categorias e Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.1.1 A categoria dos Λ-módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.2 A categoria dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 A categoria dos Bicomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.2 Localização de categorias aditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Limite Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Álgebras e Quivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2 Categorias trianguladas 30 2.1 Categorias Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Localização de categorias trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Exemplo: Categoria Homotópica K(A) . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3 Categoria Derivada 58 3.1 Categoria Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Complexos de objetos projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4 Teorema de Morita para categoria derivada 81 4.1 Construção do funtor F entre K−(Proj-Γ) e K−(Proj-Λ) . . . . 82 4.2 O funtor F é fiel e pleno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Um adjunto à direita do funtor F . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4 A prova do Teorema de Morita para categoria derivada . . . . . . 108

    5 Aplicação 115

    Referências Bibliográficas 120

    iii

  • RESUMO

    FIDÉLIS, Michele Ribeiro, M. Sc., Universidade Federal de Viçosa, julho de

    2013. Teorema de Morita para categoria derivada. Orientadora: Sônia

    Maria Fernandes. Coorientador: Rogério Carvalho Picanço.

    Neste trabalho apresentamos conceitos e resultados de categorias trianguladas e

    derivadas. O principal objetivo é demonstrar o Teorema de Rickard, também

    conhecido como Teorema de Morita para categorias derivadas. Como aplicação

    deste resultado mostramos que a dimensão finit́ıstica é preservada por equivalência

    derivada, conforme o artigo “Finiteness of finitistic dimension is invariant under

    derived equivalences”de Shengyong Pan e Changchang Xi.

    1

  • ABSTRACT

    FIDÉLIS, Michele Ribeiro, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, july, 2013.

    Morita theorem for category derived. Adviser: Sônia Maria Fernandes.

    Co-advisers: Rogério Carvalho Picanço.

    In this work we present concepts and results of triangulated and derived cate-

    gories. The main objective is to prove Rickard’s theorem, also known as Morita’s

    theorem for derived categories. As an application of this result we show that

    finiteness of finitistic dimension is invariant under derived equivalences, as it is

    proved in “Finiteness of finitistic dimension is invariant under derived equiva-

    lences”by Shengyong Pan and Changchang Xi.

    2

  • INTRODUÇÃO

    Para se estudar uma Álgebra Λ com frequência procura-se os invariantes as-

    sociados, como por exemplo seu centro Z(Λ), o seu grupo de Grothendick K0(Λ),

    seus grupos de cohomologia de Hochschild HH i(Λ), · · · . Ao final da década de 50, uma condição necessária e suficiente para a equivalência entre as categorias

    de módulos foi estabelecida pelo Teorema de Morita [12]. Duas categorias de

    módulos Mod-Λ e Mod-Γ são equivalentes se, e somente se, existe um Λ-módulo

    finitamente gerado projetivo e gerador PΛ tal que Γ ' End(PΛ). Este teorema é bastante importante quando procuramos os invariantes de uma álgebra pois se

    duas álgebras Λ e Γ são Morita equivalentes, ou seja, suas respectivas categorias

    de módulos são equivalentes, então seus respectivos invariantes são isomorfos.

    Categorias derivadas de categorias abelianas foram introduzidas no ińıcio dos

    anos 60 por Grothendieck e Verdier no âmbito da Geometria Algébrica e da

    Álgebra Homológica. Rapidamente suas aplicações se estenderam a outras áreas

    da Matemática tais como Equações Diferenciais Parciais e Topologia (veja [1]).

    Happel em [3] introduziu o conceito de categorias trianguladas e, mais especi-

    ficamente, de categorias derivadas da categoria de módulos de uma álgebra, na

    Teoria de Representações. O passo determinante nesta direção foi a prova obtida

    pelo próprio Happel de que categorias derivadas são invariantes na teoria da in-

    clinação, mais especificamente: Se Λ é uma álgebra de dimensão finita sobre um

    corpo algebricamente fechado e T é um Λ-módulo inclinante, então as categorias

    derivadas Db(Λ) e Db(EndΛ(T )) são equivalentes como categorias trianguladas (veja [1]).

    Generalizando a noção de módulo inclinante para complexo inclinante, Rickard

    generalizou o teorema de Happel. Uma condição necessária e suficiente para a

    equivalência derivada Db(Λ) e Db(Γ) de duas álgebras Λ e Γ foi provada por Rickard em [11]. Neste caso existe um complexo limitado T • de Λ-módulos pro-

    jetivos finitamente gerados, chamado complexo inclinante, tal que: para todo

    n 6= 0, HomDb(Λ)(T •, T •[n]) = 0 , add-T • gera Kb(proj-Λ) com categoria triangu- lar e EndDb(Λ)(T

    •) ' Γ. Pela semelhança com o Teorema de Morita costuma-se dizer que Rickard desenvolveu uma teoria de Morita para categorias derivadas.

    Como existe um “mergulho”da categoria mod-Λ na categoria D(Λ), a cate- goria derivada aparece como um “lugar” maior onde Z(Λ), K0(Λ), HH

    i(Λ), · · · são invariantes possuindo um importante papel em problemas de classificação.

    Informações homológicas de uma álgebra também são fornecidas pela categoria

    derivada D(Λ) de sua categoria de Λ-módulos. Por exemplo temos o isomorfismo entre ExtiΛ(X, Y ) e HomD(Λ)(X,T

    iY ), onde T i é o funtor translação.

    Se TΛ é um módulo inclinante para Λ, então a equivalência de categorias

    3

  • derivadas é dada pelo funtor derivado à direita Hom(T,−); no caso de com- plexo inclinante, no entanto, Γ age no complexo a menos de homotopia mas não

    em cada componente separadamente, assim este funtor não envia um complexo

    de Λ-módulos em um complexo de Γ-módulos. No artigo [10], Rickard provou,

    pelo menos para “álgebras suficientemente boas”(por exemplo, álgebras sobre um

    corpo), que ainda podemos descrever a equivalência de categorias derivadas como

    um funtor derivado. No entanto, para esta demonstração utiliza a construção feita

    em [11] (veja [10]). O principal resultado deste trabalho é o Teorema de Rickard.

    Para sua demonstração, optamos em estudar o artigo [11] com o intuito de escre-

    ver seus resultados com maiores detalhes. Além disso, com este artigo é posśıvel

    provar que Z(Λ), K0(Λ), HH i(Λ) são invariantes por equivalência derivada.

    Dado uma álgebra Λ, a dimensão finit́ıstica de Λ denotada por fin.dim Λ é o

    supremo da dimensão projetiva dos Λ-módulos finitamente gerados de dimensão

    projetiva finita. A conjectura da dimensão finit́ıstica da década de 60, o qual ainda

    está em aberto, afirma que toda álgebra de dimensão finita sobre um corpo deve

    ter dimensão finit́ıstica finita. Essa conjectura está intimamente relacionada com

    várias outras conjecturas homológicas na Teoria de Representações de Álgebras.

    Com o propósito de caminhar na direção da sua demonstração vários conceitos e

    técnic