UNIVERSIDADE POLITÉCNICA A POLITÉCNICA

AULA 2

MATEMÁTICA FINANCEIRA

REGRAS DE OURO x 1ª - Presença de capital, presença de tempo e ausência de juro é uma impossibilidade em

Matemática Financeira - ausência de capital, ausência de tempo e presença de juro é outra impossibilidade. Isto é: o juro zero pode ocorrer se e só se o capital for zero ou/e o prazo for zero.

x 2ª - Qualquer operação matemática sobre dois ou mais capitais requer a sua homogeneização no tempo. Isto é: dados os capitais C e C', ou C>C', ou C<C' ou C=C', se e só se estiverem referidos ao mesmo tempo.

x 3ª - O juro em cada período de capitalização é igual ao capital do início do período multiplicado pela taxa de juro. Isto é: sendo Jk o juro do período K, CK-1 o stock de capital no início do mesmo período, isto é, no momento K-1, rk a taxa de juro em vigor no mesmo período vem (*):

jk=rkCk-1 ; (k=1,2,3,…)

ESSÊNCIA DE CÁLCULO FINANCEIRO

Basicamente, a essência do Cálculo Financeiro assente naquilo que habitualmente se chama valor temporal do dinheiro (“Time Value of Money” – TVM – em inglês), que é um conceito intuitivo. Um Metical, seja investido, seja emprestado, seja hipotecado,etc, não tem para nós o mesmo valor consoante fique disponível (ou seja exigível) imediatamente ou apenas daqui a algum tempo. Imagine a seguinte situação:

1. Foi contemplado com um prémio de 1,000.00 Mt, podendo escolher entre recebê-los imediatamente ou apenas daqui a um ano;

2. Foi obrigado a pagar a multa de 1,000.00 Mt, podendo escolher entre paga-la imediatamente ou apenas daqui a um ano;

Estas situações, obrigam a um raciocício financeiro segundo a lógica dos factores (capitais) e seus rendimentos respectivos, atendendo a remuneração de cada opção dada. Qualquer que seja a opção tomada, assenta em três pilares intimamente ligados ao factor tempo: privação de liquidez, perda de poder de compra e risco.

EXERCÍCIOS

Capítulo I - Conceitos Fundamentais

1. Complete usando uma ou mais vezes as palavras seguintes: vencimento; juro; composta;

capital; capitalização; reembolso; diminui; mais; inicial; simples; misto; linear; nulo; exponencial; período.

a) No regime de capitalização____________, o juro periódico é pago no fim de cada período,

pelo que não há produção de_____________de___________dentro do próprio processo. b) No regime de capitalização_____________, o juro periódico é recapitalizado no fim de cada

período, pelo que há produção de________de_______, ou seja, é fenómeno da________ por excelência.

c) O stock de capital ______________de período para período num regime______________de capitalização em que haja reembolsos parciais do___________e o pagamento do_______em cada vencimento.

d) O stock de capital não varia quando os juros períodicos são_________________em cada ______________e o capital é________________no fim do último__________________.

e) O crescimento do stock de capital, de fim de período para fim de período, é____________no regime simples puro, é a ritmo_________________no regime composto puro e é a ritmo_________________no regime "dito simples".

f) À mesma taxa de juro, o regime composto gera___________________capital acumulado do que o regime "dito simples", porque no 2° só há_________sobre o capital________enquanto no 1° há estes e há ainda_______________de______________.

2. Verdadeiro ou falso? a) Em capitalização composta, a ordem cronológica das taxas de juro r1, r2,… não releva para

o valor do capital acumulado; só releva a sua ocorrência. b) Se o processo durar 1 único ano, com taxa de juro anual e capitalização anual, não há

distinção entre os regimes composto e simples. c) O stock de capital não varia quando a capitalização é composta. d) O stock de capital mantém-se constante se e só se não houver reembolsos do capital nem

novas entradas de capital. e) 30% ao ano no regime composto, durante 10 anos, é o mesmo que 127.86% ao ano no

regime "dito simples" f) No regime composto, a expressão do juro periódico, no caso de taxa fixa é Jk=rC0(1+r)k-1,

para k=1,2,… g) No regime composto, o cálculo que releva é o juro periódico, enquanto que no regime

simples é o do capital acumulado. 3. Faça um gráfico no qual represente os valores acumulado nos regimes: a) Composto. b) Simples. c) Dito simples. 4. Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações:

a) A condição necessária e suficiente para que haja juro é que haja capital e tempo; b) Na Matemática Financeira não há capital estéril. Sempre se considera haver formação de

juro. Mesmo quando o capital e dinheiro retido nas mãos do seu titular, há um rendimento cessante que não deixa, por isso, de ser juro;

c) Para um mesmo capital, maior juro, exige obrigatoriamente mais tempo; d) Para um mesmo capital maior juro pode ser obtido com mais tempo ou com maior taxa; e) Em cada período de capitalização, o juro depende apenas do capital inicial e da taxa de juro

referida a esse período; f) 5 mil contos produziram um juro de 15 mil em 1 ano; a taxa de juro foi de 30% anual; g) Período de capitalização e período de formação de juro são conceitos diferentes; h) O capital 100 vencível a 6 meses é sempre menor do que o capital 150 vencível a 3 anos; i) Andrea deve a Pops 1000 contos, a pagar no fim de um ano; ela entrega hoje 250 contos a

Pops ficando a dever 750 contos, conforme as regras da Matemática Finaceira ; j) A 2ª regra de ouro, enuciada, pode ser considerada corolário da 1ª regra. 5. Colocando-se no lugar de um devedor, indique justificando, qual dos regimes de

capitalização escolheria. E no lugar do credor? 6. Seja C o capital inicial, T o tempo de capitalização e J o juro. Complete: a) (C=O e T=O)→J=____ b) (C________e T>0) →J=0 c) (C>0 e T=0)→J=____ d) (C____ e T____)↔ J>0

7. O capital A deu, após um ano, o juro a. o capital A' triplo de A, colocado ao mesmo tempo

deu o mesmo juro a. a) Mostre que a taxa de juro r de A é tripla da taxa r' de A. b) Capital inicial 20 mil contos; juro em 1 semestre igual a 3 mil contos. Qual a taxa de juro? c) Depósito a prazo de 6 meses; taxa de juro 12% semestral; juro em 1 semestre igual a 240

contos. Qual é o capital inicial? 8. Complete, usando uma ou mais vezes, as seguintes expressões: menor do que; taxa de juro;

100; impossível; 1ª; 2ª; metade; 1 ano;; recapitalizado; 17,5. a) A taxa de juro 17% / ano significa que um capital igual a______, aplicado durante________,

produz um juro igual a_____________. b) Dois capitais, um duplo do outro, podem gerar o mesmo juro de 1 período, desde que a_____

para o primeiro seja______________da______________para o segundo. c) Taxa de juro igual a zero é____________, por força da __________regra de ouro referida; d) Juro vencido e não pago é juro____________, por força da_________regra de ouro referida. e) Capital 1000 vencível a prazo é____________capital 1000 imediatamente disponível, por

força das________________regras de ouro referidas.

CAPITALIZAÇÃO - Exercícios Regime simples 1. Um capital foi aplicado em regime de juros simples à taxa anual de 10% anual, obtendo no

fim de 1 ano 10 cts. Calcule o capital inicialmente aplicado.(S:100 cts) 2. 200 cts foram depositados em regime simples durante 5 anos à taxa anual de 10%. Sabendo

que os juros são pagos anualmente ao depositário, calcule os mesmos e o valor levantado no final do contrato (5° ano). (S: J1=J2=J3=J4=J5=20 cts; Valor levantado: 200+20 = 220 cts).

Regime "dito" simples 1. Calcule o valor de juro produzido por um capital de 1.500.000,00 Mt, investido à taxa de 5%

ao ano, durante 6 anos, sabendo que vigorou o regime de capitalização "dito" simples. (S: JT = 450.000,00 Mt)

2. Um capital aplicado em regime de juro "dito" simples à taxa anual de 20%, transformou-se ao fim de 3 anos no valor acumulado de 448 cts. Calcule o capital inicialmente aplicado. (S: C0 = 280 cts)

3. Determine o capital inicial que aplicado no regime "dito" simples à taxa de 8% ao ano, produziria uma diferença de 32.000,00 Mt, caso fosse aplicado à taxa de 10% ao ano, ao fim do 4° período. S: (C0=400.000 cts)

4. Emprestaram-se em regime de capitalização simples com acumulação, duas quantias iguais durante 1 ano, sendo a 1ª emprestada a uma taxa superior em 1%. Após receber o valor total dos dois empréstimos no valor de 4.320 cts, o mutuante adquiriu um lote de obrigações que renderam o juro de 432 cts no final de 1 ano. Sabendo que as obrigações vendiam juros a uma taxa inferior em 1%, relativamente à taxa da segunda quantia emprestada, determine as quantias emprestadas. (S: X=Y=1937,21973 cts)

5. O Urtigão colocou 1/3 do seu capital a 20% ao ano e o restante a 25%. Ao fim de 2 anos, os juros (simples) somaram 1.680 cts. Qual foi o capital aplicado? (S: X=3.600 cts)

6. Dois capitais foram colocados a juros de 2% e 2.5% ao mês respectivamente. Ao fim de 1 ano, 3 meses e 22 dias, os juros somaram 1.675 cts. Se o 1° capital tivesse sido colocado a taxa do 2° capital e vice-versa, oas juros somariam 1.830 cts. Calcule os dois capitais. (S: X=3460,41533 cts; Y=1490,11299 cts)

7. O Tio Patinhas dividiu o seu capital em partes iguais, uma para o seu sobrinho Huguinho e outra para o Luizinho respectivamente a 15% ao ano e a 1.5% ao mês. Ao fim de dois anos e 3 meses ops juros (simples) do Luizinho excederam os do Huguinho em 2.120 cts. Qual foi o cspital que o Tio Patinhas dividiu pelos seus sobrinhos? (S: X=2 x 31.407,40741 cts = 62.814,81481)

8. A Magali possui um capital o qual dividiu em três partes: a) A primeira colocou a taxa de 5% ao ano; b) A segunda a taxa de 4% ao ano; c) A terceira a taxa de 3% ao ano. No fim do primeiro ano, ela retirou as três partes do seu capital, aumentadas dos respectivos juros e recebeu a importância de 1.592.640,00 Mt. Calcule as três partes do capital sabendo que a primeira é igual a 3/5 da sugunda e a terceira é a soma das outras duas. (S: X=288.000 ; Y= 480.000 ; Z=768.000)

Regime composto 1. A que taxa de juros foi colocado um capital de 50.000.000,00 Mt pelo Sr. Urtigão,

proprietário de uma fazenda na Ilha do Ibo, durante 10 anos e que no fim desse prazo, elevou-se a 88.404.800,00 Mt? (S: R=5,86458%)

2. Determine o capital acumulado a juros compostos por um capital de 200.000,00 Mt posto a render durante 25 anos, à taxa anual de 7 3/8%. (S: 1.183.324,410 Mt)

3. Um determinado capital, investido à taxa de 6% ao ano, ao fim de 15 anos produziu um capital acumulado de 205.145,40 Mt. Determine o juro total composto. (S: JT=119.545,3922 Mt)

4. Calcule o capital que se deve colocar a juros compostos, a taxa de 5 3/8%, para se obter 9 anos depois um capital acumulado de 89.610,00 Mt. (S: C0=55.963,34396)

5. A que taxa devemos impregar o capital de 400.000,00 Mt para que triplique o seu valor no prazo de 2 anos? (S: r=73.20508%)

6. Calcule o juro total composto produzido por um capital de 20.000,00Mt investido durante 10 anos a taxa de 5% anual. (S: JT=56.016,90884 Mt)

7. Capital A aplicado a 2% annual, capital B aplicado a 3% annual. No fim de 20 anos o valor acumulado conjunto é de $ 1000. No fim de 10 anos o valor acumulado de A é de 50% do de B.

a) Qual o montante conjunto no fim do 5° ano? (S: $673,5) b) Capital inicial de $ 100. No fim de 20 anos, qual é o capital acumulado? A taxa de juro anual

é tal que um qualquer capital seja triplicado em 21 anos. (S: $ 284,7) 8. a) Qual o valor final no 24° ano de capitalização composta , a 18% anual, de aplicação de 16

mil contos no momento zero, mais 48 mil contos no fim do 5° anos e mais 66 mil contos no fim do 7° ano? (S: 3064,4 mil cts) b) E se as três aplicações referidas forem multiplicadas por uma constante A positiva? (S: 3064,4xA mil contos)

9. Um capital de 54.000 cts, colocado em regime composto durante 10 anos, converteu-se em 322.343 cts. Calcular a taxa anual nominal declarada pelas partes, admitindo que convencionaram que a capitalização se faria 12 vezes ao ano. (S:1,5%)

10. Dois capitais que somaram 130.000 cts são colocados a mesma taxa anual nominal de 12%, mas o 1° produz juro composto quadrimestral, enquanto o 2° produz juro composto bimestralmente. Sabendo que ao fim de 11 anos são iguais os capitais acumulados, determine os capitais iniciais. (A=65.449,90628 ; B=64.550,09372)

11. Um capital aplicado a juros simples, a uma determinada taxa anual nominal produziu até final do 2° ano de aplicação um juro total de 6.000 cts. Se o mesmo capital estivesse aplicado em regime composto à mesma taxa anual, o juro produzido durante o mesmo prazo seria superior em 600 cts. Calcule o capital e a taxa de juro a que foi aplicado. (r=20% ; C=15000)