Métodos Estatísticos — Módulo 21o. Semestre de 2008

Exercício Programado 5 — Versão para o TutorProfa. Ana Maria Farias (UFF)

1. Um dado é viciado de tal forma que um número par é duas vezes mais provável que um númeroímpar. Calcule a probabilidade de que, em um lançamento:

(a) um número par ocorra;

(b) um número primo ocorra

(c) um número primo par ocorra.

2. Um número é escolhido, ao acaso, entre os números inteiros de 1 a 20. Considere os seguintes eventos

A = o número escolhido é múltiplo de 3

B = o número escolhido é par

Descreva os eventos A ∩B,A ∪B,A ∩B e calcule suas probabilidades.

3. Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Sabendo-se que Pr(A) = 0, 7 e Pr(B) = 0, 6,determine os valores máximo e mínimo de Pr(A ∩B).

4. Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω.Mostre que Pr(A∩B) = 1−Pr(A)−Pr(B)+Pr(A∩B).5. Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Mostre que, se Pr(A|B) ≥ Pr(A), então Pr(B|A) ≥Pr(B).

6. Um comitê é formado por quatro homens e duas mulheres. Dois membros do comitê são selecionadossucessivamente, ao acaso e sem reposição. Considere os eventos Hi = homem escolhido na i−ésimaseleção eMi = mulher é escolhida na i−ésima seleção, para i = 1, 2. Caclule a probabilidade de cadaum dos eventos: H1 ∩H2,H1 ∩M2,M1 ∩H2,M1 ∩M2.

7. Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base decarne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada e 30% das mulheres preferem carne.75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:

H = freguês é homem

M = freguês é mulher

S = freguês prefere salada

C = freguês prefere carne

Calcule:

(a) Pr(H), Pr(S|H),Pr(C|H)(b) Pr(S ∪H) e Pr(S ∩H)

8. Na tabela a seguir é dada a distribuição de 300 estudantes segundo o sexo e a área de estudo:

Biologia Exatas HumanasMasculino 52 40 58Feminino 38 32 80

Um estudante é sorteado ao acaso.

(a) Qual é a probabilidade de que seja do sexo feminino e da área de humanas?

1

(b) Qual é a probabilidade de que seja do sexo masculino e não seja da área de biológicas?

(c) Dado que foi sorteado um estudante da área de humanas, qual é a probabilidade de que sejado sexo masculino?

9. A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é 3/5. Em um chaveiro há 25chaves, das quais três abrem essa porta. Qual é a probabilidade de que um indivíduo entre na casa,se ele puder escolher, ao acaso, somente uma chave do chaveiro?

10. A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolhaé p. Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno nãosabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe ao acaso uma das m respostas possíveis. Qualé a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão?

2

Solução dos Exercícios

1. O espaço amostral deste experimento é Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Para determinar a probabilidade de cadaponto do espaço amostral, temos que usar o fato de que Pr(Ω) = 1 e a informação dada. Chamandode p a probabilidade de face ímpar, resulta que a probabilidade de face par é 2p.

Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(4) + Pr(5) + Pr(6) = 1 =⇒p+ 2p+ p+ 2p+ p+ 2p = 1 =⇒

9p = 1 =⇒p =

1

9

Logo,

Pr(1) = Pr(3) = Pr(5) =1

9

Pr(2) = Pr(4) = Pr(6) =2

9

Vamos denotar por P o evento “número par” e por R o evento “número primo”.

(a) Chame atenção para a propriedade utilizada: união de eventos mutuamente exclusivos

Pr(A) = Pr (2 ∪ 4 ∪ 6)= Pr(2) + Pr(4) + Pr(6)=

2

9+2

9+2

9=6

9=2

3

(b)

Pr(R) = Pr (1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 5)= Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(5)=

1

9+2

9+1

9+1

9=5

9

(c) O problema pede a probabilidade de P ∩R :P ∩R = 2

Logo,

Pr(P ∩R) = 2

9

2. O espaço amostral deste experimento é

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20e os eventos dados são

A = 3, 6, 9, 12, 15, 18B = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

LogoA ∩B = 6, 12, 18

A ∪B = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20A ∩B = 3, 9, 15

3

Como cada ponto é igualmente provável (sorteio ao acaso) resulta que cada ponto ou evento simplesdo espaço amostral tem probabilidade 1

20 . Usando a propriedade da união de eventos mutuamenteexclusivos, resulta que

Pr(A) =6

20

Pr(B) =10

20

Pr(A ∩B) =3

20

Pr(A ∪B) =13

20

Pr(A ∩B) =3

20

Note que as duas últimas probabilidades também podem ser obtidas usando as propriedades vistas:

Pr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B) = 6

20+10

20− 3

20=13

20

Pr(A ∩B) = Pr(A)− Pr(A ∩B) = 6

20− 3

20=3

20

3. Aqui temos que usar o fato de que, para qualquer evento A, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1 e também o fato de quePr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B). Como Pr(A ∪B) ≥ 0, resulta que

Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B) ≥ 0 =⇒ Pr(A ∩B) ≤ Pr(A) + Pr(B)Como Pr(A ∪B) ≤ 1, resulta que

Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B) ≤ 1 =⇒ Pr(A ∩B) ≥ Pr(A) + Pr(B)− 1Com os dados do exercício, temos que Pr(A) + Pr(B) = 1, 3; portanto, temos que ter:½

Pr(A ∩B) ≤ 1, 3Pr(A ∩B) ≤ 1

Logo, o valor máximo de Pr(A ∩B) é 1. Com relação ao valor mínimo, temos que ter

Pr(A ∩B) ≥ Pr(A) + Pr(B)− 1 =⇒ Pr(A ∩B) ≥ 1, 3− 1 =⇒ Pr(A ∩B) ≥ 0, 3Logo, os valores possíveis de Pr(A ∩B) estão no intervalo [0, 3; 1].

4. Pela lei de Morgan, sabemos quePr(A ∩B) = Pr(A ∪B)

e pela lei do complementar,Pr(A ∪B) = 1− Pr(A ∪B)

Logo, pela lei da união

Pr(A ∩B) = Pr(A ∪B) = 1− Pr(A ∪B) = 1− [Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B)] =⇒Pr(A ∩B) = 1− Pr(A)− Pr(B) + Pr(A ∩B)

5. Usando a definição e supondo que A e B sejam ambos eventos possíveis (isto é, com probabilidademaior que zero), temos que

Pr(A|B) ≥ Pr(A)⇐⇒ Pr(A ∩B)Pr(B)

≥ Pr(A)⇐⇒ Pr(A ∩B) ≥ Pr(A) Pr(B)⇐⇒Pr(A ∩B)Pr(A)

≥ Pr(B)⇐⇒ Pr(B|A) ≥ Pr(B)

4

6. Vamos usar a regra da multiplicação: Pr(A ∩B) = Pr(A|B) Pr(B)

Pr(H1 ∩H2) = Pr(H1) Pr(H2|H1) =4

6× 35=2

3× 35=6

15

Pr(H1 ∩M2) = Pr(H1) Pr(M2|H1) =4

6× 25=2

3× 25=4

15

Pr(M1 ∩H2) = Pr(M1) Pr(H2|M1) =2

6× 45=1

3× 45=4

15

Pr(M1 ∩M2) = Pr(M1) Pr(M2|M1) =2

6× 15=1

3× 15=1

15

Note que a união dos eventos dados é o espaço amostral e, coerentemente, a soma das probabilidadesé igual a 1: 6

15 +415 +

415 +

115 = 1.

7. Os dados do problemas nos dão que:

Pr(H) = 0, 75

Pr(S|H) = 0, 20

Pr(C|M) = 0, 30

Pela regra do complementar, resulta que

Pr(M) = Pr(H) = 1− 0, 75 = 0, 25Pr(C|H) = Pr(S|H) = 1− Pr(S|H) = 1− 0, 20 = 0, 80Pr(S|M) = Pr(C|M) = 1− Pr(C|M) = 1− 0, 30 = 0, 70

É muito importante salientar as propriedades sendo utilizadas! A figura a seguir também ajuda acompreender o problema:

Figura 1: Espaço amostral do Exercício 7

(a) Como visto,

Pr(H) = 0, 75

Pr(S|H) = 0, 20

Pr(C|H) = 0, 80

(b) Pela regra da multiplicação

Pr(S ∩H) = Pr(H) Pr(S|H) = 0, 75× 0, 20 = 0, 15

5

Pela lei da união:Pr(S ∪H) = Pr(S) + Pr(H)− Pr(S ∩H)

Para calcular Pr(S), veja, pela figura acima, que

Pr(S) = Pr(S ∩H) + Pr(S ∩M) = Pr(H) Pr(S|H) + Pr(M) Pr(S|M) == 0.75× 0, 20 + 0.25× 0.70 = 0.15 + 0.175 = 0, 325

Logo,Pr(S ∪H) = Pr(S) + Pr(H)− Pr(S ∩H) = 0.325 + 0.75− 0.15 = 0, 925

8. Complete a tabela, calculando as marginais:

Biologia Exatas Humanas TOTALMasculino 52 40 58 150Feminino 38 32 80 150TOTAL 90 72 138 300

Chame a atenção para o fato de que cada cela representa a interseção dos eventos representadospelas categorias da linha e da coluna correspondentes. Defina os seguintes eventos relevantes:

B = área de concentração: Biologia

H = área de concentração: Humanas

E = área de concentração: Exatas

M = estudante do sexo masculino

F = estudante do sexo feminino

(a)

Pr(F ∩H) = 80

300=4

15

(b)

Pr(M ∩B) = Pr(M)− Pr(M ∩B) = 150

300− 52

300=150− 52300

=98

300=49

150

(c)

Pr(M |H) = Pr(M ∩H)Pr(H)

=58300150300

=58

150=29

75

9. É importante definir os seguintes eventos, usando a notação de evento complementar:

T = porta trancada à chave

T = porta destrancada

C = chave abre a porta

C = chave não abre a porta

E = pessoa consegue entrar na casa

O diagrama de árvore a seguir também é importante para ilustrar a situação descrita no problema.

Cada galho do diagrama representa uma probabilidade condicional. Obviamente, se a porta estiverdestrancada, a pessoa não precisa usar qualquer chave. Por outro lado se a prota estiver trancada,ela tem que sortear uma chave e há 3 possibilidades em 25 de pegar uma chave que abre a porta.

Logo, Pr(C|T ) = 3

25e, pela regra do complementar, Pr(C|T ) =22

25.

6

Figura 2: Diagrama de árvore para o Exercício 9

O problema pede Pr(E). Note que a pessoa entra na casa se a porta estiver destrancada ou, no casode a porta estar trancada, escolher uma chave certa, ou seja:

Pr(E) = Pr(T ) + Pr(T ∩ C)= Pr(T ) + Pr(T ) Pr(C|T )=

2

5+3

5× 3

25=50

125+

9

125=59

125

10. É importante definir os seguintes eventos, usando a notação de evento complementar:

S = Aluno sabe a resposta

S = Aluno não sabe a resposta

C = Resposta certa

C = Resposta errada

A = aluno acerta a questão

O diagrama de árvore a seguir também é importante para ilustrar a situação descrita no problema.

Cada galho do diagrama representa uma probabilidade condicional. Obviamente, se o aluno sabe aresposta, ele escolhe a resposta certa. Logo, Pr(C|S) = 1 e Pr(C|S) = 0. Por outro lado, se ele nãosabe a resposta, ele “chuta” e tem 1 chance emm de acertar; logo, Pr(C|S) = 1

me Pr(C|S) = m− 1

m.

Ainda segundo dados do problema, Pr(S) = p e, portanto, Pr(S) = 1− p

O problema pede Pr(A). Note que o aluno pode acertar a questão sabendo, ou não, a resposta, ouseja:

Pr(A) = Pr(S ∩ C) + Pr(S ∩ C)= Pr(S) Pr(C|S) + Pr(S) Pr(C|S)= p× 1 + (1− p)× 1

m= p+

1− p

m

7

Figura 3: Diagrama de árvore para o espaço amostral do Exercício 10

8