Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Mtodo do Big M Consiste em acrescentar funo objetivo do problema original as variveis artificiais com coeficientes (custos) negativos muito grandes Como se quer otimizar a funo objetivo, as variveis artificiais devero ter seus valores reduzidos a zero e sair da base Se ao final do processo de otimizao for encontrado um valor timo com todas as variveis artificiais iguais a zero ento a soluo do problema foi encontrada 7 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Mtodo do Big M O modelo no possui soluo bsica compatvel inicial para o Mtodo Simplex 10 = 21+32+03+04 56 21+32+ 3= 6 +1+224+5= 8 +1+2+6= 6

1, 2, 3, 4, 5, 6 0 = 21+32. .21+32+3= 6

1+22 4= 8

1+2= 6

1, 2 0 = 21+32. .21+32 6

1+22 8

1+2= 6

1, 2 0Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 O Mtodo das Duas Fases Em cada restrio ser introduzida uma varivel de excesso, com coeficiente -1 e uma varivel artificial com coeficiente +1 11 = 1+2 . . 51+22 20 212 2 31+52 15

1, 2 0 = 1+2 . . 51+22+3= 20 2124+1= 2 31+525+2= 15

1, 2 0 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 O Mtodo das Duas Fases De uma forma geral, se a varivel de excesso for positiva e a varivel artificial for nula, teremos um ponto de um dos semi-espaos do hiperplano separador Ao contrrio, se a varivel de excesso for nula e a varivel artificial positiva, teremos semi-espao oposto ao anterior 15 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 O Mtodo das Duas Fases No mtodo das duas fases construda uma Funo Objetivo formada pela soma das variveis artificiais, a qual conduzir, na primeira fase, o processo de pivoteamento Neste exemplo:17 Lembrete = 1+2. .51+22+3= 202124+1= 231+525+2= 15

1, 2 0 = 1+2 = 1+2. .51+22 20212 231+52 15

1, 2 0Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 O Mtodo das Duas Fases Assim, na primeira fase, o objetivo minimizar

1= 2 21+2+4

2= 15 3152+5 = 17 5142+4+ 5 22 24 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 O Mtodo das Duas Fases Sequncia de solues pelo mtodo das duas fases 26 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 O Mtodo das Duas Fases Soluo Eficiente Uma soluo mais eficiente acrescentar restrio

=

uma nica varivel artificial para garantir a obteno de uma base cannica inicial, fornecendo, assim, uma equao do tipo

+

=

Como as outras variveis artificiais advindas de restries da forma " ", ela tambm considerada para a construo da FOB usada na primeira fase Se o problema tem soluo possvel, a situao = 0 ser alcanada, e assim

= 0, garantindo dessa forma que

=

se verifique 28 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 10 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Problemas de Soluo Ilimitada Foi comentado que a escolha de uma varivel a deixar a base exige a existncia de pelo menos um valor de

> 0 A no existncia de

> 0 impede alguma das variveis de sair da base, caracterizando uma Soluo Ilimitada 29 Problemas de Soluo Impossvel Sempre que, durante a primeira fase de resoluo de um problema de PL, ocorre que atinge o timo, no sentido de que nenhuma troca na base possa diminuir ainda mais seu valor, porm o valor de permanece positivo, ento inexiste qualquer soluo compatvel ao problema de PLDisciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade Ela aplicada aps a soluo tima do problema j ter sido estabelecida Essa anlise permite determinar at que limites determinados coeficientes do problema podem variar sem que o vrtice da soluo tima tenha que ser trocado Para efetuar a anlise de sensibilidade suficiente apenas a ltima tabela do tableau Anlise de Sensibilidade Alterao na Funo Objetivo Suponha o problema de PL resolvido, mas que algum

correspondente a alguma das variveis estruturais (variveis de deciso) do problema mudou Seu novo ser considerado igual a

=

+

, onde

representa Finalmente vem que:

= +

Se a varivel est na base na soluo tima possvel colocar

em funo das variveis no bsicas e substitu-lo na equao abaixoDisciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade

= +

Da ltima linha, tem-se que = 6003 2006 +76.000 Da linha correspondente varivel bsica 1, tem-se que:

1 +3 6 = 20 De onde vem que 1 = 3 +6 +20 E ainda

= 6003 2006 +76.000 +13 +6 +20 Ou ainda

= 600 +1

3 200 1

6 +76.000 +201 Isso corresponde a modificar a ltima linha para a forma

0 0 +

0 0

. +

Anlise de Sensibilidade Para garantir a otimalidade da presente soluo, necessrio garantir que (condies de otimalidade do PL) 600 +1 0 200 1 0 Assim tem-se que 600 1 200 ou 0 1 800 Pode-se dizer ainda que 1 pode sofrer um permissvel decrscimo de 600 ou um permissvel acrscimo de 200 sem comprometer a otimalidade da presente soluo 15 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade Se, por exemplo, 1 fosse alterado para 400, estaria sofrendo um decrscimo de 200, dentro da faixa avaliada anteriormente, e o ponto extremo da soluo tima seria o mesmo 16 Apenas importante notar que o valor da Funo Objetivo seria alterado para

= +20200 = 76.000 4000 =72.000Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade 19 Anlise de Sensibilidade ii. A varivel

, em cujo coeficiente

, no bsica = 6001 1202 = 1202 6005 +36.000

= +2

2

= 1202 6005 +36.000 +2

2

= (120 2)2 6005 +36.000 Quer-se a anlise de sensibilidade de 2 Utilizando-se a mesma tcnica de anlise, vem queDisciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade A presente soluo mantm-se tima enquanto 120 2 0, a saber, 2 120, permitindo concluir um permissvel acrscimo igual a 120, sem limite permissvel decrscimo Assim, a generalizao permite concluir que existem apenas permissveis acrscimos

para os coeficientes

de variveis

no bsicas, iguais a

23 Alm disso, uma alterao

dentro desse limite permissvel acrscimo no altera o valor da funo objetivo, de forma que

= , pois

= 0Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade Alterao na mo direita Caso 1 26 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade Alterao na mo direita Caso 2 27 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 11 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Anlise de Sensibilidade Alterao na mo direita Caso 3 28 Dualidade Coloque o seguinte problema de PL na forma primal e na forma dual Interpretao Econmica Propriedades da DualidadeDisciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 12 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Propriedades da Dualidade Propriedades da Dualidade Exemplo 3 30 =

+

. .

+

+

=

+

+

=

+

=

+

=

,

,

,

,

,

Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 12 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Propriedades da Dualidade 34 Disciplina Mtodos de Otimizao ENE081 Aula Nmero: 12 PROF. JOO A. PASSOS FILHO PERODO: 2015/01 Interpretao Econmica Cdigo MatLab clc clear all format short % f = [ -600 ; -800 ]; % A = [ 11 32 10 01 ]; % b = [ 100 240 60 80 ]; % [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(f,A,b); disp('Vetor de soluo:') X disp('Valor da Funo Objetivo:') -FVAL disp('Multiplicadores Simplex:') LAMBDA.ineqlin =

+

. .

+

+

,

Optimization terminated.Vetor de soluo:X = 20.0000 80.0000Valor da Funo Objetivo:FVAL =-7.6000e+004Variveis Duais:ans =600.00000.00000.0000200.0000 O Mtodo Dual Simplex Observe-se que, caso ocorra em uma soluo bsica vivel do problema primal a condio

0, para todos os , ento a soluo ser tima Porm, no verdade o inverso: Nem toda soluo bsica com todos os

0 ser vivel Solues bsicas do ltimo tipo so chamadas de supertimas, e nelas > O Mtodo Dual Simplex manipula solues supertimas ao problema de PL, sempre mantendo todos

0, procurando alcanar a compatibilidade (viabilidade) O Mtodo Dual Simplex O Mtodo Dual Simplex

=