Podemos notar, a partir da visualização da equação (9) que essa exibe simetria com relação à mudança x -x, o que nos sugere a existência de uma bifurcação de forquilha para algum valor do parâmetro K. Já definido o sistema de EDO adimensionais, encontramos a solução através do método de resolução de EDO de Runge-Kutta de 4º ordem (RK4), utilizando linguagem C, com passo de integração h=0,04. Em seguida, foi projetado a simulação do diagrama de espaço-fase (espaço versus velocidade) e a série temporal do sistema da conta.

Resultados Mudando os parâmetros da EDO definitiva conseguimos mostrar a evolução do sistema da conta com relação ao seu diagrama de espaço-fase e as respectivas séries temporais com relação a primeira e a segunda EDO definitiva.

1 – Diagrama de espaço-fase

2 – Séries Temporais

Fizemos os gráficos de séries temporais da posição e da velocidade com parâmetros muito próximos e notamos uma grande sensibilidade às condições iniciais, característica essa de um sistema caótico.

Fig. 04 - posição x tempo com posições iniciais Fig. 05 - velocidade x tempo com velocidades iniciais

1,224 (preto) e 1,225 (vermelho).. 1,23344 (preto) e 1,23345 (vermelho).

Conclusões Neste trabalho implementou-se através de um sistema não linear uma integração numérica para obter uma solução numérica, a qual nos deu um movimento completamente complexo e caótico ao longo da simulação entre posição e velocidade da massa m. Este sistema embora muito simples expressa uma interação do tipo dissipativa e não-linear, gerando assim uma dinâmica caótica no espaço-fase. Fisicamente este sistema de conta sofre ao passar de seu movimento uma dissipação proporcional a velocidade do sistema, porém antes de adicionarmos o forçamento cossenoidal seu gráfico espaço-fase era do tipo atrator ponto, ou seja, suas trajetórias simuladas decaiam rapidamente, o que não era interessante, por não caracterizar caos. Então, foi proposto adicionar uma força em função de cosseno, a qual permitiu o aparecimento dos ciclos limites e dos atratores caóticos do sistema da conta. Já as séries temporais, notou-se que mesmo alterando a terceira e a quinta casa decimais das condições iniciais, essas séries temporais divergem para sistemas muito distintos a longo prazo. Uma análise mais profunda dos atratores caóticos ficará para trabalhos posteriores.

Bibliografia[1] – Monteiro, Luiz Henrique Alves. “ Sistemas dinâmicos”, São Paulo, Ed. Livraria da Física, 2002.[2] – Fiedler-Ferrara N e Prado C.P.C. , “Caos – uma introdução”, Ed. Edgard Blücher, 1994.[3] – Santos, Elinei P. dos, “Introdução a Teoria do Caos” – II SEMANA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA DA UFPA, 2007.

Agradecimentos (OPICIONAL) Primeiramente a DEUS, pelo dom da vida e da sabedoria, e posteriormente, ao professor Dr. Elinei P. dos Santos pela paciência conosco e sua competência para nos ajudar a construir nosso conhecimento e ao apoio financeiro do SESU/ MEC.

Metodologia Neste trabalho foi utilizado o método das equações de Lagrange definidas por

sendo a função L, chamada lagrangeana, definida como

na qual T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema. Sendo assim, a Lagrangeana do sistema composto pela conta é

e a equação de movimento do sistema não-linear é

Utilizando propriedades trigonométricas podemos escrevê-la como

e modificando-a de modo a torná-la adimensional, primeiramente a dividindo por e

posteriormente, tomando e , temos

Onde e .

Podemos tornar a eq. (6) , uma equação diferencial ordinária (EDO) de 2º ordem, para duas EDO de 1º ordem:

Inserimos um forçamento do tipo cossenoidal, na forma

o que contribui para o surgimento do comportamento caótico do sistema da conta. Assim, temos nosso sistema de EDO de 1º ordem definitivo (o qual aproximadamente governa o movimento da conta):

ANÁLISE DA DINÂMICA DO SISTEMA NÃO LINEAR COMPOSTO POR UMAMASSA M PRESA A UM FIO CIRCULAR COM ATRITO ( )

IntroduçãoNa natureza a maioria dos fenômenos é descrito por equações não lineares cuja

dinâmica pode desenvolver comportamento complexo e errático ou até mesmo caótico. Estes sistemas não apresentam métodos analíticos que os resolvam algebricamente tendo assim que utilizarmos métodos numéricos para sua análise.

Objetivo Assim, para o presente trabalho propomos objetivamente entender e analisar a dinâmica de um sistema não linear composto por uma conta de massa m presa a um fio circular de raio constante a, e se movimentando livremente com velocidade angular ω também constante, com simetria no plano vertical, deslizando com atrito proporcional a sua velocidade angular. Tal sistema é representado por uma equação diferencial ordinária não linear de segunda ordem, e que para fins computacionais transformamos em um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem adimensionais.

1Primeiro autor (primeiroautor@email.com)2Segundo autor (segundoautor@email.com)

3Prof. Dr. Fulano de tal (professororientador@email.com)1Universidade Federal do Pará, Belém – PA – Graduando(a) do Curso de Física

2Universidade Federal do Pará – Faculdade de Física - Instituto de Ciências Exatas e Naturais, Belém –PA

(1)

(7)

0,5 2 ,

dxy

dtdy

By senx Ksen xdt

(3)

b

0,j j

d L L

dt q q

,L T V (2)

22

2cos 0,

d dma b mgsen ma sen

dt dt

20

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2

d b da gsen a sen

dt m dt

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K

(4)

(5)

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0,5 2

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(11)

(8)

(10)

(12)

2 2 2 2 2 21 1( ) cos

2 2L m a sen a mga b

(6)

Fig. 01 - A = 1,2 , ωd = 0,3 , K = 0,2701 , B = 0,00079

Fig. 02 - A = 1,21 , ωd = 0,27 ,K = 0,2701 , B = 0,008

Fig. 03 - A = 1,2 , ωd = 0,249 ,K = 0,27001 , B = 0,008

(9)