2-metodo de lagrange

5/12/2018 2-metodo de lagrange - slidepdf.com

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Método de lagrange em Matlab

1

Introdução

O objectivo do trabalho proposto é aplicar o método de lagrange a um software de

análise numérica para determinar uma função que aproxime os dados de um dado

gráfico.

O gráfico analisado indicado pela docente, foi-nos fornecido no site da Agencia

Internacional de Energia[1]

, onde foi escolhido o gráfico de Fornecimento de energia

primária na Espanha ao longo de alguns anos.

Convém dizer que entende-se por energia primária as fontes energéticas providas pela

natureza na sua forma directa, como petróleo, gás natural, xisto, carvão mineral,

enxofre, resíduos vegetais e animais, energia solar, eólica e os produtos da cana-de-

açúcar, como o caldo de cana, o melaço e o bagaço. Estas energias primárias são

provenientes de Centrais Hidrelétricas, Centrais Eólicas, Centrais Termonucleares,

Centrais Termoeléctricas, Centrais Termoeléctricas á base de Biomassa e Centrais

Solares.

Do gráfico em estudo[2]

,neste trabalho, apenas foram usados os dados referentes três

fontes de energia primária, Combinado de Energias Renováveis e Desperdícios, Energia

Hidroelectrica e Energia Nuclear das quais foram retirados 13 pontos a ³olho´ de cada

uma das 3 curvas em questão.

Deu-se então inicio á procura de um software de análise numérica que aplicasse o

método lagrange e me desse resposta ao objectivo inicial deste trabalho, a determinação

de uma função que aproximasse os dados do gráfico.

O software escolhido para resolver o meu problema foi o Matlab, no qual foi

desenvolvido um código encontrado na internet [3] com pequenas alterações.




2

Modelação do Problema

Do gráfico da Agencia Internacional de Energia, referente ao Fornecimento de Energia

Primária na Espanha,

Grafico I. Fornecimento de Energia Primária na Espanha

Foram retirados 13 pontos das curvas relativas a Combinado de Energias Renováveis

e Desperdícios, Energia Hidroelectrica e Energia Nuclear, apresentados nas tabelas a

seguir:




3

C ombinado de Energias Renováveis e

Desperdícios

Ano

Milhoes de toneladas

equivalentes de petróleo

(Mtoe)

1988 80

1990 91

1992 95

1993 90

1994 96

1995 100,6

1996 100

1998 111

1999 115

2001 125

2002 1292005 140

2008 135Tabela I: C ombinado de energias renováveis e desperdícios

Tabela II: Energia Hidroeléctrica

Energia Hidroeléctrica

Ano



(Mtoe)

1972 45

1975 57

1978 65,5

1981 69

1984 70

1987 75

1990 86

1993 86,5

1996 95

1999 111

2002 1242005 131

2008 127




4

Energia Nuclear

Ano



(Mtoe)

1972 41

1975 55

1978 61

1981 66

1984 66

1987 71

1990 85

1993 86

1996 93

1999 110

2002 122,5

2005 1302008 126

Tabela III: Energia Nuclear

Procedeu-se á escrita de uma função que construísse um polinómio interpolador de

Lagrange para determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o

comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do

tipo (x,f(x)).

Ou seja:

através dos pontos:

(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos)

Quer aproximar-se f (x) por um polinomio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que:

f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n

Onde:

pn(x) = a0 + a1x + a2x2

+ ... + anxn

isto é quer-se um valor de f(x), sem conhecer a forma analít ica de f(x) e ajustar umafunção analítica aos dados

Ou seja, interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por

todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)}

tal que:




5

p(x0) = f(x0)

p(x1) = f(x1)

p(xn) = f(xn)

o índice inicia-se em zero portanto temos n+1 pontos.[4]

Neste trabalho foi considerado um polinómio de índice 12 já que temos 13 pontos

Método Numérico

O método numérico utlizado foi Lagrange[5]

, em análise numérica, o polinómio de

Lagrange de Joseph-Louis de Lagrange é o polinómio de interpolação de um conjunto

de pontos na forma de Lagrange.

Dados os valores f(xk ) = f k de alguma função contínua f(x) em n +1 pontos distintos

xk , k = 0, 1, 2, ..., n

Pode-se mostrar que esta ³Interpolação Polinomial´ existe e é única.

A forma de Lagrange da Interpolação Polinomial tem a forma geral

Pn(x) = L0(x)f 0 + L1(x)f 1 + L2(x)f 2 + « + Ln(x)f n = §!

n

i

ii f x L0

)(

em que os termos Li(x) i = 0, 1, 2, .., n são polinómios individuais de grau n em x

chamados os coeficientes de interpolação de Lagrange

Para assegurar que Pn(x) satisfaz o critério acima, os coeficientes de interpolação de

Lagrange são construídos tal que eles satisfaçam a condição

Li(x j) = i,j = ±°

±

¯

®

{

!

ji se

ji se

0

1

Pode verificar-se que a seguinte definição de Li(x) satisfaz a exigência




6

Li(x) =))...()()...()((

))...()()...()((

1110

1110

niiiiiii

nii

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

Com esta definição de coeficientes de interpolação de Lagrange podemos verificar acondição na interpolação polinomial, para

Pn(x j) = §§!!

!!

n

i

jii j

n

i

j ji f f f x L00

)( H ; j = 0, 1, 2, ..., n




7

Resultados C omputacionais

Polinómio de Lagrange - C ombinado de energias Renováveis e Desperdícios

Gráfico.II.Função de aproximação de dados do Combinado de Energias Renováveis e Desperdícios




8

Polinómio de Lagrange ± Energia Hidroelectrica

Grafico III.Função de aproximação de dados da Energia Hidroelectrica




9

Polinómio de Lagrange ± Energia Nuclear

Grafico VI.Função de aproximação de dados da Energia Nuclear




10

C onclusão

Este trabalho permitiu construir uma função aproximada ao utilizar o método de

Lagrange, que a partir das suas abscissas e respectivas ordenadas encontrou uma função

que aproximou os dados.

A interpolação é um método que permite construir um novo conjunto de dados a partir

de um conjunto discreto de dados pontuais conhecidos.

Em engenharia é uma mais valia, pois geralmente tem-se um conjunto de dados

provenientes de amostras ou experiencias feitas e através da interpolação pode

construir-se uma função que encaixe nesses dados.

O Matlab é uma óptima ferramenta para desenvolver o polinómio de Lagrange devido

á sua alta performance voltado para o cálculo numérico, é um sistema interativo cujo

elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento. Esse

sistema permite a resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração do

tempo que se gastaria para desenvolver manualmente, além disso, as soluções dos

problemas são expressas quase exactamente como elas são escritas matematicamente.




11

Bibliografia

[1]Agencia internacional de Energia, 2011, http://www.iea.org/stats/

[2] Agencia internacional de Energia, 2011,

http://www.iea.org/stats/pdf_graphs/ESTPES.pdf

[3] Métodos Númericos e Estatisticos , 2011,

http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mne/Documentos/Interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf

[4] CE 341/441 - Lecture 6 - Fall 2004, http://nd.edu/~jjwteach/441/PdfNotes/lecture6.pdf

[5] sebenta de métodos Numéricos, 2011,.ipb.pt/~balsa/teaching/MN08/Inter_Pol.pdf

Anexos

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