Metalurgia MecnicaGeorge E. DieterProfessor of Engineering Carnegie - Mellon University

Antonio Sergio de Sousa e Silva, M.Sc. Luiz Henrique de Almeida, M.Sc. Paulo Emlio Valado de Miranda, M.Sc.Professores do Programa de Engenharia Metalrgica e de Materiais da Coordenao dos Programas de Ps-Graduao em Engenharia e da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ-EE/UFRJ).

GUANABARA DOIS

Prefcio segunda edio

No"s doze anos que se sucederam primeira edio de Mechanical Metallurgy foram publicados pelo menos 25 livros-texto versando sobre os principais tpicos abordados neste liyro. Ao menos dez livros relacionados com a mecnica dos processos de conformao entraram no prelo durante este perodo, por exemplo. Nenhum deles, entretanto, cobriu todo o espectro da metalurgia mecnica, desde a compreenso da descrio contnua da tenso e da deformao atravs de mecanismos cristalinos e de falha de escoamento e fratura at consideraes sobre os principais testes de propriedades mecnicas e os processos bsicos de conformao mecnica. Neste perodo, desde a primeira edio, tm surgido processos importantes no que se refere interpretao do comportamento mecnico dos slidos. Excelentes verificaes experimentais conduziram comprovao de grande parte da teoria das discordncias para a deformao plstica, o que proporciona um entendimento melhor dos mecanismos de endurecimento dos materiais cristalinos. Desenvolvimentos em reas como a fratomecnica alcanaram elevados nveis de sofisticao tcnica, revelando-se de grande utilidade para aplicaes prticas na engenharia. Uma realizao importante durante este perodo foi o "movimento da cincia dos materiais", no qual slidos cristalinos, metais, crmicos e polmeros so considerados como um grupo cujas propriedades so controladas por defeitos estruturais bsicos, comuns a todas as classes de slidos cristalinos. Nesta reviso mantiveram-se os objetivos que motivaram a primeira edio deste livro, preparado de forma a atender alunos j no incio dos cursos de ps-graduao. Foram feitas muitas modificaes no sentido de atualizar, introduzir tpicos novos sobre reas importantes que surgiram e elucidar algumas sees que se mostraram mais difceis ao entendimento dos estudantes. Em algumas sees os assuntos de nvel mais elevado foram impressos em tipo menor, dirigidos especialmente aos estudantes de ps-graduao. Os problemas foram muito revisados e expandidos, tendo sido preparado um manual de solues. Foram adicionados dois captulos novos: um abrangendo propriedades mecnicas dos polmeros e outro sobre usinagem dos metais. Os captulos sobre mtodos estatsticos e tenses residuais foram eliminados. Na realidade, mais da metade do livro foi completamente reescrita.

Prfcio primeira edio

A metalurgia mecnica a rea do conhecimento que lida com o comportamento e a resposta dos metais s foras aplicadas. Como no uma rea definida precisamente, poder ter significados diferentes para pessoas diferentes. Alguns podem entend-Ia como as propriedades mecnicas dos metais ou testes mecnicos, outros podem consider-Ia como o campo restrito ao trabalho plstico e conformao dos metais, enquanto outros podem ainda relacion-Ia de acordo com seus interesses aos aspectos mais tericos do campo, como a fsica dos metais e a metalurgia fsica. Outro grupo pode ainda considerar a metalurgia mecnica ligada matemtica e mecnica aplicadas. Ao escrever este livro tentou-se cobrir de alguma forma esta grande diversidade de interesses. O objetivo foi o de incluir todo o escopo da metalurgia mecnica em um volume abrangente. O livro foi dividido em quatro partes. A Parte Um, Fundamentos de Mecnica, apresenta o tratamento matemtico necessrio compreenso de muitos dos captulos que se sucedem. Os conceitos de tenso e de deformao combinados foram revistos e expandidos terceira dimenso. Foram tambm forneci das consideraes detalhadas sobre a teoria do escoamento e sobre os conceitos de plasticidade. No se pretendeu, porm, desenvolver os tpicos da Parte Um de forma completa, o que necessrio para a resoluo de problemas originais. Em vez disto, o objetivo foi o de familiarizar pessoas de formao metalrgica com a linguagem matemtica encontrada em algumas reas da metalurgia mecnica. A Parte Dois, Fundamentos de Metalurgia, lida com os aspectos estruturais da deformao plstica e da fratura. D-se nfase atomstica do escoamento e fratura e forma pela qual a estrutura metalrgica afeta esses processos. O conceito de discordncia introduzido no incio da Parte Dois e utilizado sempre a partir da para fornecer explicaes qualitativas para fenmenos tais como o encruamento, o ponto limite de escoamento, o endurecimento por fase dispersa e a fratura. Um tratamento mais matemtico das propriedades das discordncias dado em um captulo separado. Os tpicos abordados na Parte Dois referem-se mais metalurgia fsica. Entretanto, a maioria deles discutida em maior detalhe e com uma nfase diferente do que quando so apresentados pela primeira vez em um curso normal de graduao sobre essa disciplina fsica. Alguns tpicos que so mais sobre metalurgia fsica do que mecnica so includos com o intuito de fornecer uma continuidade e a base necessria para leitores que no estudaram a metalurgia fsica moderna. A Parte Trs, Aplicaes em Ensaios de Materiais, aborda os aspectos de engenharia das tcnicas comuns de testes da falha mecnica dos metais. Alguns captulos ' so dirigidos aos ensaios de trao, toro, dureza, fadiga, fluncia e impacto. Outros so compostos por assuntos importantes, tais como tenses residuais e anlise estatstica dos dados de propriedades mecnicas. Na Parte Trs d-se nfase interpretao

dos testes e ao efeito de variveis metalrgicas no comportamento mecnico, em vez dos procedimentos para conduzir os testes. Admite-se que o desenvolvimento destes testes ser visto em um curso de laboratrio concomitante ou em separado. A Parte Quatro, Conformao Plstica dos Metais, aborda os processos mecnicos comuns para a produo de formas metlicas teis. D-se pouca nfase aos aspectos descritivos desta matria, uma vez que isto pode ser melhor visto atravs de visitas a instalaes industriais e palestras ilustradas. Por outro lado, a ateno principal dirigida aos fatores mecnicos e metalrgicos que controlam cada processo, tal como forjamento, laminao, extruso, estampagem e conformao de chapas metlicas finas. Este livro escrito para o estudante de ps-graduao em engenharia metalrgica ou mecnica, assim como para engenheiros envolvidos com problemas prticos na indstria. Embora a maioria das universidades tenha adotado cursos de metalurgia mecnica ou propriedades mecnicas, h uma diversidade muito grande na matria tratada e na formao bsica dos alunos que fazem esses cursos. Assim, atualmente no se pode definir algo como um livro-texto padro em metalurgia mecnica. Esperase que a amplitude e o escopo deste livro forneam material suficiente para estes requisitos to diversos. Espera-se, ainda, que a existncia de um tratamento detalhado do campo de metalurgia mecnica estimule o desenvolvimento de cursos que venham a cobrir toda a matria. Como este livro dirigido a alunos de ps-graduao e a engenheiros prticos das indstrias, espera-se que ele se torne parte de sua biblioteca profissional. Embora no se tenha objetivado fazer deste livro um manual, pensou-se em fornecer de forma abundante referncias para a literatura em metalurgia mecnica. Assim, foram includas mais referncias do que o normal em um livro-texto comum, todas apresentadas com o objetivo de ressaltar derivaes ou anlises alm do escopo do livro, para fornecer informaes adicionais a pontos detalhados ou em controvrsia, e para enfatizar trabalhos que meream ser mais estudados. Alm disto, ao fim de cada captulo encontra-se uma bibliografia de referncias gerais. No fim do volume incluiu-se uma coleo de problemas, principalmente para o uso do leitor que est envolvido com a indstria e que deseja verificar sua compreenso da matria. O trabalho envolvido na confeco deste livro foi mais o de examinar e classificar fatos e informaes da literatura e dos diversos excelentes livros-textos em aspectos especficos da matria. Para cobrir a amplitude do material encontrado neste livro necessitar-se-ia de partes de mais de 15 livros-texto padres e um sem-nmero de artigos de reviso e contribuies individuais. Foi feito um esforo consciencioso para dar crdito s fontes originais. O autor se desculpa pelas omisses que ocasionalmente possam ter ocorrido e agradece aos diversos autores e editores que consentiram na reproduo de ilustraes, todos mencionados nas respectivas legendas. Finalmente, o autor gostaria de agradecer aos diversos amigos que o orientaram na confeco deste trabalho. Em especial ao Professor A. W. Grosvenor, do Drexel Institute of Technology, ao Dr. G. T. Horne, do Carnegie Institute of Technology, aos Drs. T. C. Chilton, J. H. Faupel, W. L. Phillips, W. I. Pallock e J. T. Ranson, da Companhia du Pont, e ao Dr. A. S. Nemy, da Thompson-Ramo-Wooldridge Corpo

ndice

. Parte I 1 2 3 Parte 4 5 6 7 8

Fundamentos de Mecnica Introduo, 2 Relaes entre Tenso e Deformao para o Comportamento Princpios da Teoria da Plasticidade, 62 Deformao Plstica de Monocristais, 92 Teoria das Discordncias, 130 Mecanismos de Endurecimento, 166 Fratura, 213 Comportamento Mecnico de Materiais Polimricos, 251

Elstico, 14

n Fundamentos de Metalurgia

Parte lU Aplicaes em Ensaios de Materiais 9 Testes de Trao, 282 10 Testes de Toro, 322 11 Teste de Dureza, 332 12 Fadiga dos Metais, 344 13 Fluncia, 385 14 Fratura Frgil e Ensaio de Impacto, 419 Parte IV Conformao Plstica dos Metais 15 Fundamentos de Conformao, 452 16 Forjamento, 497 17 Laminao dos Metais, 518 18 Extruso, 544 19 Trefilao de Vergalhes, Arames e Tubos, 561 20 Conformao de Chapas Metlicas Finas, 573\ 21 Usinagem de Metais, 598 . Apndices A O sistema Internacional de Unidades, 623 B Problemas, 626 ndice Alfabtico, 646

Lista de smbolos

A=ao b= =

rea, amplitude Espaamento interatmico Constante; espessura do corpo de prova Largura ou amplitude Vetor de Burgers de uma discordncia Constante geral; calor especfico Coeficientes elsticos Comprimento da trinca de Griffith Dimetro de gro Mdulo de elasticidade para carregamento axial (mdu]o de Young) Deformao linear convencional ou de engenharia Base dos logaritmos neperianos (= 2,718) Fora por unidade de comprimento em uma linha de discordncia Mdulo de elasticidade em cizalhamento (mdulo de rigidez) Fora de extenso da trinca Energia de ativao Distncia, geralmente na direo da espessura ndices de Miller de um plano cristalogrfico Momento de inrcia 1nvariante da tenso desvio; momento de inrcia polar Coeficiente de resistncia Fator de entalhe de fadiga Fator de concentrao de tenses terico Tenacidade fratura Tenso limite de escoamento em cizalhamento puro Comprimento Co-senos diretores da normal a um plano Logaritmo neperiano Logaritmo na base 10 Momento f1etor Momento torsor, torque Sensibilidade taxa de deformao Nmero de ciclos de tenso ou vibrao Coeficiente de encruamento Constante geral em termo exponencial Carga ou fora externa

a = Distncia linear; comprimento de trinca

B=

cu

c==c =

b=

D=

E=e = exp =

F=G=Cf}= H= h = (h,k,l)= I = J =

K= Kf=Kt K1c

=

k L I, m, n ln = log = MB= M r= m=

N=M= M' =

p=

r = S =Sij

= s = = ==

T=Tm =I Ir

uoU, V,

u=lV

==

[uvw] v

v= w=z=a=

a, f3, O, ep = f=y=

.:l=0=E

= =

=E

s =71 =

0=K= '11.=

JL=

v=p =(J"= (J"o(J"~

=

==

(J"= (J"l, (J"2, (J"3

cr' =(T" (J"a (J'm (J"rali

===

= ==

(J"w

T=

1>= t/J=

Energia de ativao Presso Reduo em rea; fator de constrio plstica; ndice de sensibilidade ao entalhe em fadiga Raio de curvatura; razo de tenso em fadiga; constante dos gases Distncia radial Tenso total em um plano antes do rebatimento em componentes normal e cizalhante Complincia elstica Tenso de engenharia Temperatura Ponto de fuso Tempo; espessura Tempo de ruptura Energia de deformao elstica Energia de deformao elstica por unidade de volume Componentes de deslocamento nas direes x, y e z ndices de Miller para uma direo cristalogrfica Volume Velocidade Trabalho Parmetro de Zener-Halloman Coeficiente linear de expanso trmica; ngulo de fase ngulos em geral Tenso de linha de uma discordncia Deformao cizalhante Deformao volumtrica ou dilatao cbica; variao finita Deformao em elongao; defleco; decremento logartmico; delta de Kromeckes Smbolo geral para deformao; deformao natural ou verdadeira Deformao verdadeira significante ou efetiva Taxa de deformao verdadeira Taxa mnima de fluncia Eficincia; coeficiente de viscosidade Parmetro de tempo-temperatura de Dorn Mdulo volumtrico de elasticidade Constante de Lam; espao entre partculas Parmetro de tenso de Lode; coeficiente de atrito Coeficiente de Poisson; parmetro de deformao de Lode Densidade Tenso normal; tenso verdadeira Tenso limite de escoamento ou resistncia ao escoamento Tenso limite de escoamento em deformao plana Tenso verdadeira significante ou efetiva Tenses principais Tenso desvio Componente hidrosttico da tenso Tenso alternada ou varivel Tenso principal mdia; tenso mdia Faixa de tenses . Tenso de resistncia trao Tenso de trabalho Tenso cizalhante; tempo de relaxao Funo de tenso de Airy Capacidade de amortecimento especfica

Parte I

Fundamentos de Mecnica

Introduo

A metalurgia mecnica a rea da metalurgia que trata principalmente da resposta dos metais a foras ou cargas, que podem se manifestar durante a utilizao do metal como um componente ou parte de uma estrutura ou equipamento. Nestas condies, h necessidade de se conhecer os valores limites que podem ser suportados sem que ocorra um colapso. O objetivo pode ser tambm o de converter um lingote fundido em uma forma utilizvel, tal como uma chapa plana, para o que devem ser determinadas as condies de temperatura e variao de cargas que minimizem as foras necessrias realizao do trabalho. A metalurgia mecnica no uma matria que pode ser estudada isoladamente. Na realidade, uma combinao de diversas disciplinas e diferentes abordagens ao problema da interpretao da resposta dos metais a foras. , de outra forma, a iniciativa utilizada em resistncia e plasticidade, onde um metal considerado como um material homogneo, cujo comportamento mecnico pode ser descrito de maneira precisa com base apenas em poucas constantes caractersticas de cada metal. Esta abordagem a base para o projeto racional de componentes estruturais e peas de mquinas. Na Parte I deste livro, a resistncia dos materiais, a elasticidade e a plasticidade so tratadas sob um ponto de vista mais generalizado do que o usualmente apresentado em um primeiro curso de resistncia dos materiais. O assunto dos trs primeiros captulos pode ser considerado como o fundamento matemtico do qual depende todo o resto do livro. Os estudantes de engenharia que j tiveram um curso avanado em resistncia dos materiais ou projetos de mquinas podero possivelmente transpor com facilidade estes captulos. No entanto, para a maioria dos engenheiros metalrgicos e engenheiros atuantes na indstria, interessante despender o tempo necessrio para se familiarizar com a matemtica apresentada na Parte I. Quando a estrutura do metal se torna uma varivel importante e no pode mais ser considerada um meio homogneo, as teorias da resistncia dos materiais, elasticidade e plasticidade perdem consideravelmente seu poder. O comportamento dos metais a altas temperaturas, onde a estrutura metalrgica pode variar continuamente com o tempo, ou a transio dctil-frgil que ocorre nos aos-carbono exemplificam tal fato. A principal incumbncia do metalurgista mecnico consiste em determinar a relao entre o comportamento mecnico e a estrutura dos metais, sendo esta ltima revelada essencialmente por tcnicas de microscopia e raios X. Geralmente as propriedades mecnicas podem ser melhoradas ou ao menos controladas quando o comportamento

mecnico interpretado em termos da estrutura metalrgica. A Parte 2 deste livro apresenta os fundamentos metalrgicos do comportamento mecnico dos metais. J que a metalurgia mecnica parte do espectro mais amplo que compreende a metalurgia fsica, os estudantes de metalurgia. j tendo cursado esta matria anteriormente, devero ter um conhecimento bem sedimentado de alguns dos assuntos desenvolvidos na Parte 2. Entretanto. estes tpicos mostram-se bem mais detalhadamente do que num curso bsico de metalurgia fsica. Os estudantes de outras reas, que no cursaram esta cadeira, so auxiliados por tpicos adicionais que se referem mais metalurgia fsica do que mecnica, introduzidos com o intuito de proporcionar tambm uma melhor continuidade. Os trs ltimos captulos da Parte 2 abrangem principalmente os conceitos atomsticos do escoamento e da fratura dos metais. O trabalho conjunto de fsicos do estado slido e metalurgistas resulta em vrios desenvolvimentos nesta rea. que tem apresentado enorme progresso. Um fato de grande importncia prtica para a verificao da teoria e de uma anlise direcionada foi a introduo do microscpio eletrnico de transmisso. feita uma apresentao do contedo bsico da teoria das discordncias. o que indispensvel ao entendimento do comportamento mecnico dos slidos cristalinos. Os dados referentes resistncia dos metais e medidas para o controle rotineiro das propriedades mecnicas so obtidos de um nmero relativamente pequeno de testes mecnicos radronizados. A Parte 3 desta obra considera cada um dos ensaios mecnicos mais comuns. cujo enfoque no dirigido s tcnicas exrerimentais como usual. mas considerao do que estes testes fornecem sobre o desempenho de metais em servio e como variveis metalLlrgicas afetam seus resultados. Grande parte do material apresentado nas Partes I e 2 utilizada na Parte 3. Admite-se neste ponto que o leitor j possua um curso convencional sobre ensaios ,de materiais ou esteja paralelamente assistindo a aulas de laboratrio. onde roder familiarizar-se com as tcnicas de realizao de testes. A Parte 4 trata dos fatores metalrgico.s e mecnicos envolvidos na conformao de metais em formas utilizveis. Pretendia-se inicialmente apresentar as anlises matemticas dos principais processos de conformao dos metais; entretanto, em certos casos, isto no foi possvel devido necessidade de um tratamento muito detalhado ou por estarem estas anlises fora dos objetivos reais deste livro. No se procurou incluir a extensa tecnologia especializada associada com cada processo de conformao em particular, como laminadio ou extruso, embora tenhamos nos esforado no sentido de fornecer uma impresso geral sobre os equipamentos mecnicos necessrios e familiarizar o leitor com o vocabulrio especializado desta rea. Uma nfase maior foi dada na apresentao de ilustraes razoavelmente simplificadas das foras envolvidas em cada processo e como os fatores geomtricos e metalrgicos afetam as cargas de trabalho e o sucesso dos processos de conformao.

A resistncia dos materiais parte da cincia que lida com a relao entre as foras internas, a deformao e as cargas externas. O primeiro passo para o mtodo de anlise mais comum utilizado em resistncia dos materiais consiste em se admitir que o elemento est em equilbrio. As equaes do equilbrio esttico so aplicadas s foras que atuam em alguma parte do corpo para que se obtenha uma relao entre as foras externas atuando no elemento e as foras internas que resistem ao das externas. necessrio transformar as foras internas resistentes em externas, uma vez que as equaes de equilbrio devem ser expi-essas em termos de foras atuando externamente ao corpo. Isto pode ser conseguido passando-se um plano atravs do corpo. pelo ponto de interesse. A parte do corpo situada em um dos lados do plano secante removida e substituda pelas foras que ela exercia sobre a regio seccionada da outra

parte do corpo. J que as foras atuando no "corpo livre" o mantm em equilbrio, podem-se aplicar ao problema as equaes de equilbrio. As foras internas resistentes so geralmente expressas pela tenso I atuante sobre uma certa rea, de maneira que a fora interna a integral da tenso vezes a rea diferencial sobre a qual ela atua. Para que se possa calcular esta integral devese conhecer a distribuio da tenso sobre a rea do plano secante. A distribuio de tenso obtida observando-se e medindo-se a distribuio de deformao no elemento, visto que a tenso no pode ser fisicamente medida. Entretanto, j que para pequenas deformaes a tenso proporcional s deformaes envolvidas na maioria dos trabalhos, a determinao da distribuio de deformao fornece a distribuio de tenso. Substitui-se, ento. a expresso para tenso nas equaes de equilbrio e resolve-se para tenso em termos das cargas e dimenses do elemento. As hipteses importantes em resistncia dos materiais so que o corpo que est sendo analisado contnuo, homogneo e isotrpico. Um corpo contnuo aquele que no possui cavidades ou espaos vazios de qualquer espcie. Um corpo homogneo se possui propriedades idnticas em todos os pontos. considerado isotrpico com relao a alguma propriedade se esta no varia com a direo ou a orientao. Uma propriedade que varia com a orientao com relao a algum sistema de eixos denominada onisotrpica. Enquanto materiais comuns na engenharia como ao, ferro fundido e alumnio satisfazem aparentemente estas condies se observados macroscopicamente, no apresentam qualquer homogeneidade ou caractersticas isotrpicas quando vistos atravs de um microscpio. A maioria dos metais comuns na engenharia constituda de mais de uma fase com propriedades mecnicas variadas, apresentando-se heterogneos numa microescala. Alm disso, mesmo um metal monofsico possuir geralmente segregaes qumicas e, por conseguinte, as propriedades no sero idnticas a cada ponto. Os metais so constitudos de um agregado de gros cristalinos, possuindo propriedades variadas em direes cristalogrficas diferentes. A razo pela qual as equaes da resistncia dos materiais descrevem o comportamento de metais reais que geralmente os gros cristalinos so de tamanho to reduzido que em uma amostra. com um certo volume macroscpico, o material estatisticamente homogneo e isotrpico. As propriedades mecnicas podem, entretanto, tornar-se anisotrpicas em uma macroescala no caso de metais severamente deformados numa certa direo, como na laminao ou no forjamento. Os materiais compostos reforados com fibras e os monocristais constituem outros exemplos de propriedades anisotrpicas. Uma descontinuidade (estrutural) pode ser encontrada em peas fundidas porosas ou naquelas produzidas por metalurgia do p e, em nvel atmico. em defeitos tais como vazios e discordncias.

A experincia mostra que todos os materiais slidos podem ser deformados quando submetidos a uma carga externa e que. alm disto. at um certo limite de cargas. o slido recuperar suas dimenses originais quando a carga for retirada. Esta recuperao das dimenses originais de um corpo deformado quando se retira a carga aplicada denominada comportalllento I'lstico. Ao valor limite a partir do qual o material no se comporta mais elasticamente denomina-se limite elstico. Se excedido o limite elstico, o corpo apresentar uma deformao permanente aps a retirada da carga aplicada. Define-se, ento, como dl'forllwo plstica aquela presente em um corpo que est permanentemente deformado . .Para a maioria dos materiais a deformao proporcional carga. se esta no

Para as nossas finalidades. [ com o eixo." a interseo do plano que contm a normal e P com o plano A. A tenso normal dada por

e

a

=-

P

A

cos

8

( 1.7)

P r = -sen8 A Esta tenso cisalhante x e." do plano. pode ainda ser resolvida em componentes paralelas

(1.8) s direes

r =

A sen e sen 4>

P

T = -

P

sen ecos

A Desta forma, um plano pode ter. em geral, uma tenso tes atuando sobre ele.

4Jcisalhan-

normal e duas tenses

Na Seo 1.4, a deformao linear mdia foi definida como a razo entre a variao comprimento de uma certa dimenso e o seu comprimento inicial.

de

fJLo

e=-=-=---

t:..L L - Lo Lo Lo

onde e = deformao 8 = elongao

linear mdia

Por analogia com a definio de tenso em razo entre a elongao e o comprimento zero. Em vez de se referir a variao de costuma-se mais freqentemente definir a linear dividida pelo valor instantneo desta

um ponto. a deformao em um ponto a inicial, medida que este ltimo tende a comprimento pelo comprimento original deformao como a variao da dimenso dimenso.

A equao acima define a deJimllao /lall/m/ ou I'erdadeim. A deformao verdadeira, que til na abordagem de problemas sobre plasticidade e conformao dos metais, ser discutida mais detalhadamente no Capo 3. Para o momento deve-se ressaltar que as pequenas deformaes. para as quais as equaes de elasticidade so vlidas, as duas definies de deformao fornecem valores idnticos. A deformao elstica de um corpo ocasiona no apenas uma variao de comprimento de um elemento linear do corpo, mas pode tambm resultar numa mudana do ngulo inicial entre duas linhas. A variao angular em um ngulo reto conhecida como deformao cisa/ha/lle. A Fig. 1.7 ilustra a deformao produzida por um cisaIhamento puro de uma das faces de um cubo. Com a aplicao da tenso cisalhante o ngulo em A, que era originalmente de 90, decresce de uma pequena quantidade e. A deformao cisalhante y igual ao deslocamento a dividido pela distncia h entre os planos. A razo a/h tambm a tangente do ngulo atravs do qual o elemento sofreu rotao. A tangente do ngulo e o prprio ngulo (em radianos) so iguais. para os

f

Bk-, If

f

I I

I I

pequenos ngulos geralmente envolvidos. Assim, as deformaes cisalhantes so geralmente expressas como ngulos de rotao.')I

= - = tan

a h

(J

=

(J

Crandall, S. H., and N. C. Dahl (eds.): "An Introduction to the Mechanics of Solids," McGraw-Hill Book Company, New York, 1959. Drucker, D. C.: "Introduction to Mechanics of Deformable Solids," McGraw-Hill Book Company, New York, 1967. Freudenthal, A.: "Mechanics of Solids," John Wiley & Sons, Inc., New York, 1966. Gillam, E.: "MateriaIs Under Stress," Butterworths & Co. (Publishers), Ltd., London, 1969. Housner, G. W., and T. Vreeland: "The Analysis of Stress and Deformation," The Macmillan..Company, New York, 1966. Polakowski, N. H., and E. J. Ripling: "Strength and Structure of Engineering Materiais," Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1964.

Relaes entre Tenso e Deformao para o Comportamento Elstico

o intuito deste captulo apresentar as relaes matemticas que definem a tenso e a deformao em um ponto e as relaes entre a tenso e a deformao em um slido que obedece Lei de Hooke. Embora parte dos assuntos tratados neste captulo seja uma reviso das informaes abordadas em resistncia dos materiais, a matria se estende alm deste ponto, considerando a tenso e a deformao em trs dimenses e uma introduo teoria da elasticidade. A matria includa neste captulo importante para a compreensQ da maioria dos aspectos fenomenolgicos da metalurgia mecnica, merecendo especial ateno dos leitores no familiarizados com a disciplina. Devido s limitaes de espao no foi possvel desenvolver ". matria at o ponto em que se pudessem resolver problemas mais amplamente. Este material, entretanto, proporciona uma base para melhor compreenso da literatura matemtica da metalurgia mecnica. Ressalta-se o fato de que as equaes que descrevem o estado de tenses ou deformaes em um corpo so aplicveis a qualquer material contnuo, seja um slido elstico ou plstico, seja um fluido viscoso. Na realidade esta parte da cincia denominada mecnica do contnuo. As equaes que relacionam tenso e deformao denominam-se equaes constitutivas porque dependem do comportamento do material. Neste captulo s consideraremos as equaes constitutivas para um slido elstico.

Como foi descrito na Seo 1.8, em geral mais conveniente resolver as tenses atuantes em um ponto em componentes normais e cisalhantes. Freqentemente as componentes das tenses cisalhantes formam ngulos arbitrrios com os eixos coordenados, sendo conveniente, ento, rebat-Ias novamente em duas outras componentes. O caso geral mostrado na Fig. 2.1. As tenses atuando perpendicularmente s faces do cubo elementar so identificadas pelo subndice, que identifica tambm a direo na qual a tenso atua. Isto , (J x a tenso normal que atua na direo x. Por conveno, tenses normais de trao so aquelas cujos valores so maiores que zero, sendo compressivas as que possuem valores menores que zero. 1I0das as tenses normais da Fig. 2.1 so trativas.

ay

Fig. 2.1 Tenses atuantes em um cubo unitrio elementar.

Para descrever as tenses cisalhantes so necessrios dois subndices. O primeiro indica o plano e o segundo a direo na qual a tenso atua. Como um plano mais facilmente definido pela sua normal, o primeiro subndice se refere a esta normal. Por exemplo, T yz a tenso cisalhante no plano perpendicular ao eixo y, na direo do eixo Z, e TyX a tenso cisalhante no plano perpendicular ao eixo y, na direo do eixo x. Uma tenso cisalhante positiva se dirigida para o sentido positivo na face positiva de um cubo unitrio. (E tambm positiva se aponta para o sentido negativo na face negativa de um cubo unitrio.) Todas as tenses cisalhantes na Fig. 2.2a so positivas independentemente do tipo de tenses normais presentes. Uma tenso cisalhante negativa se dirigida para o sentido negativo de uma face positiva de um cubo unitrio, e vice-versa. As tenses cisalhantes mostradas na Fig. 2.2b so todas negativas. A notao para tenses acima apresentada a utilizada por Timoshenko' e a maioria dos autores americanos no campo da elasticidade. Entretanto vrias outras notaes tm sido utilizadas, algumas das quais esto relacionadas abaixo.(Jx (Jy (Jz 'xy 'yz 'zx (J 11 (J22 (J 33 (J 12 (J 23 (J 31 Xx

XX

~

Pxx Pyy pzz Pxy Pyz pzx

Yy yyZzXy

zzxy yzfi

YzZx

+y

+y

Fig.

2.2 Conveno de sinais para a tenso cisalhante. (a) Positiva; (b) negativa;

Pode ser visto, pela Fig. 2.1, que devem ser definidas nove quantidades para que se estabelea o estado de tenses em um ponto. Elas so U'x, U'v, U'z, TXY' Txz, Tvx, TyZ' Tzx e T 11' Entretanto, podem-se fazer algumas simplificaes. Se admitirmos que as reas das faces do cubo unitrio so pequenas o bastante para que a variao de tenses seja desprezada, pode-se ento mostrar que, tomando-se a soma dos momentos das foras em relao ao eixo z, TX)) = Tvx.Z

Assim, o estado de tenses em um ponto completamente nentes: trs tenses normais e trs tenses cisalhantes, U'x,

descrito por seis compoU' v' U'z, Txv, Txz, T yz'

Muitos problemas podem ser simplificados ao se considerar um estado de tenses bidimensional. Isto feito freqentemente na prtica quando uma das dimenses do corpo pequena em relao s demais. Por exemplo, ao se carregar uma chapa fina, no plano da chapa no existir tenso atuando na direo perpendicular superfcie da. chapa. O sistema de tenses ser constitudo por duas tenses normais U'x e U'v e uma tenso cisalhante Txv' Denomina-se tenso plana condio de se possuir tenses nulas em uma das direes principais do material. A Fig. 2.3 mostra uma placa fina cuja espessura normal ao plano do papel. Para que conheamos o estado de tenses no ponto O da placa, devemos ser capazes de descrever as componentes de tenso em O para qualquer orientao dos eixos coordenados passando atravs daquele ponto. Para tal, considera-se um plano oblquo, normal ao plano do papel, cuja normal faz um ngulo e com o eixo do x. Seja x ' a direo normal a este plano e y' uma direo pertencente ao plano oblquo. Admite-se que o plano mostrado na Fig. 2.3 est a uma distncia infinitesimal de O e que o elemento to pequeno que se desprezam as variaes de tenses ao longo dos lados do clemento. As tenses atuantes no plano oblquo so a tenso normal U' e a tenso cisalhante T. OS co-senos diretores entre x' e x e x' e y so, respectivamente, I em. Pela geometria da Fig. 2.3, I = cos e em = sen e. Se A a rea do plano oblquo, as reas dos lados do elemento perpendiculares a x e y so AI e Am.

Sejam Sx e Slj as componente nas direes x e y da tenso total atuando na face inclinada. Tomando-se o somatrio das foras nas direes x e y, obtm-se: S"A SyA Sx Sy

= O"xA1

+ 'xyArn = O"yArn + 'xyAI=

= O"xcos () + 'xy sen ()O"ysen + 'xy cos () ()

O" ' x

= Sx cos () + Sy sen ()()

O"x' = O"Xcos2

+ O"ysen2 () + 2,xy sen () cos ()

(2.2)

'x'Y''x'Y'

= Sy cos () - Sxsen

()()

=

'xiCOS

2

()

-sen

2

+

(O"y -

O"Jsen () cos ()

(2.3)

A tenso (J!J' pode ser encontrada substituindo-se O + 71'/2 por O na Eq. (2.2), uma vez que (J!J' ortogonal a (J x'. O"y' = O"Xcos2(()

+ n/2) +O"y sen2

(()

+ n/2) + 2,xy sen (() + n/2) cos (() + n/2) (() + n/2)

mas, sen (() + n/2)

= cos () ecos

= -sen ()

As Eqs. (2.2) a (2.4) so as transformadas das equaes de tenso que fornecem as tenses no sistema coordenado x'y' se so conhecidas as tenses no sistema coordenado xy e o ngulo O. Para auxiliar nos clculos conveniente expressar as equaes de (2.2) a (2.4) em termos do ngulo duplo 20. Isto pode ser feito atravs das seguintes identidades: cos 2()

= c_o_s_2_{)_+_12

sen

2 ()

= ------

1 - cos 2{) 2

2 sen () cos () = sen 2{) cos2 () sen2 ()

= cos 2{)

a .y

= --- 2

a,,+ay

- --- 2

a,,-ay

cos 28 -

't"

"y

sen 28

(2.6) (2.7)

't"".y.

= --2- sen 28 + 't""y cos 28

ay-a"

importante notar-se que Ux' + uy = Ux + Uy Assim, a soma das tenses normais em dois planos perpendiculares uma quantidade invariante, isto , ela independente da orientao ou do ngulo (J. As Eqs. (2.2) e (2.3) e suas equivalentes, Eqs. (2.5) e (2.7), descrevem as tenses normal e cisalhante em qualquer plano atravs de um ponto em um corpo sujeito a um estado plano de tenses. A Fig. 2.4 apresenta a variao das tenses normal e cisaIhante com (J para o estado plano de tenses biaxial mostrado no topo da figura. Os seguintes fatos importantes podem ser notados nesta figura: I. Os valores mximo e mnimo da tenso normal no plano oblquo atravs do ponto O ocorrem quando a tenso cisalhante nula. 2. Os valores mximo e mnimo para ambas as tenses normal e cisalhante ocorrem para ngulos defasados de 90. 3. A tenso cisalhante mxima ocorre em um ngulo a meio caminho entre as tenses normais mxima e mnima. 4. A variao das tenses normal e cisalhante ocorre na forma de uma onda senoidal, com perodo (J = 180. Estas relaes so vlidas para qualquer estado de tenses.

tC7j

u, = 2.000 Ib/pol'

TP----!-

1 I~

~ttO)-

u, .: ~6000 Ib/poL'U";ru-

----r--

2.000

Ib/poL'

"12.000 10.000

o .efl,:

8.000 6.000 4.000 2.000

.t:: Oi "

" c .,'" o " .., ~~I-

Oi E

o c:

o '~ c:

Oo : 0,

Hiograus

I-

" ,., ::l o. "E o()

I90

:1

r-45----+-45--jI_-6.000 - 8.000

Para qualquer estado de tenses sempre possvel definir um novo sistema coordenado cujos eixos so perpendiculares aos planos nos quais as tenses normais mximas atuam e no existem tenses cisalhantes atuando. Estes planos so denominados planos principais, e suas tenses normais tenses principais. Para a tenso plana bidimensional existiro duas tenses principais, (T, e (T2, que ocorrem em ngulos defasados de 90 (Fig. 2.4). Para o caso mais geral de uma tenso tridimensional, existiro trs tenses principais, (T" (T2 e (T3. Por conveno, (T, algebricamente a maior das tenses principais, enquanto que (T3 o valor algebricamente menor. As direes das tenses principais so os eixos principais I, 2 e 3. Embora geralmente os eixos principais 1, 2 e 3 no coincidam com os eixos cartesianos, para diversas situaes encontradas na prtica esta coincidncia pode existir, devido simetria de carga e deformao. A especificao das tenses principais e suas direes proporciona uma maneira conveniente de se descrever o estado de tenses em um ponto. Uma vez que, por definio, um plano principal no contm tenso cisalhante, suas relaes angulares com respeito aos eixos coordenados xy podem ser determinadas encontrando-se os valores de 8 atravs da Eq. (2.3), fazendo-se TX'y' = O. TxicoS2Txy