Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente

Métodos de Decisão2010.01.27

Prova com consultaAlunos admitidos a exame com avaliação cont́ınua

Duração: 2h30

Quando o peixe não vem do mar

Diz-se que o peixe de aquacultura deixa um rasto de destruição nos ambientes marinhos. A produção de camarão nasFilipinas devastou 109 mil hectares de mangais pantanosos desde os anos 70, o equivalente a dois terços da área de mangaldo páıs. No entanto, num relatório de 2009, o IPIMAR coloca Portugal nos lugares cimeiros do ranking dos páıses que maisconsomem peixe de origem não sustentável. Isto quer dizer que a maioria dos supermercados portugueses não olha a meios paravender o peixe: muito vem das práticas ilegais de pesca. “A destruição do equivalente a dez campos de futebol no fundo dosoceanos só tem a duração de um suspiro”, afirmou fonte do IPIMAR.

Diz-se que o peixe de aquacultura tem um elevado ńıvel de antibióticos e hormonas. Que os peixes são as novas galinhasdo mar. Que as rações contêm demasiado peixe ou demasiada soja. Que, para não se dar peixe de comer ao peixe (apesarde, no mar, o peixe comer naturalmente outro peixe), se alteraram as dietas. Que o salmão, por exemplo, poderá ser, dentrode pouco tempo, vegetariano, o que poderá levar à sua alteração genética. Contudo, um estudo de 2007 encontrou vest́ıgioselevados de mercúrio em mais de 600 rios dos Estados Unidos e Canadá. E um estudo da revista “Science” em 2008 prova queesses vest́ıgios passam para a cadeia alimentar através de pássaros que se alimentam de seres na água contaminada. A nossafonte do IPIMAR afirma: “apesar de parecerem peixes, estes assemelham-se cada vez mais a porcos”.

adaptado da revista “Pública” de 24.01.2010

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1. (20/3 valores) O Ramalhete é a estação experimental do IPIMAR no Algarve. Os ńıveis de luz e atemperatura são cuidadosamente controlados uma vez que são variáveis determinantes nas experiênciaslá efectuadas. Nos tanques há desde larvas de dourada, com poucas dezenas de dias e que parecempequenos cavalos-marinhos quase inviśıveis no meio das bolhas de ar do tanque, até linguados jáadultos, planos e pouco dados à convivência com os humanos, escondendo-se do seu contacto. Mastambém podemos encontrar robalos e salmões, dado que são duas espécies muito populares junto dosaquacultores portugueses.

A estação recebeu uma oferta de novos lotes de ovos, larvas e peixes bebés, que vai ter que colocarnos três tanques dispońıveis. Para poder mais facilmente criar as condições de desenvolvimento quepretendem experimentar, os cientistas do IPIMAR já decidiram que cada lote ficará todo num mesmotanque, isto é, nenhum lote poderá ser repartido por dois ou mais tanques. Na tabela seguinteapresenta-se a informação sobre estes novos lotes:

Lote Tipo de peixe Quantidade Volume de água Valor comercialnecessário por unidade por unidade

1 Ovos de robalo 10000 0,000100 m3 0,1 e2 Larvas de dourada 8000 0,000200 m3 0,2 e3 Douradas bebés 5000 0,000920 m3 0,5 e4 Ovos de salmão 10000 0,000130 m3 0,1 e5 Larvas de linguado 8000 0,000500 m3 0,2 e6 Linguados bebés 5000 0,000900 m3 0,5 e7 Larvas de salmão 8000 0,000525 m3 0,2 e8 Ovos de linguado 10000 0,000150 m3 0,1 e

Como cada um dos três tanques dispońıveis tem uma capacidade de 6 m3 de água, tornou-se claroque o IPIMAR não poderá receber todos os lotes oferecidos. Pretende-se então seleccionar os lotes areceber, de forma a ocupar os três tanques o mais posśıvel.

(a) Decisões

i) Descreva por palavras quais são as variáveis de decisão para este problema.ii) Quantas são as variáveis de decisão para este problema? Como chegou a esse número?

iii) Represente matematicamente as variáveis de decisão para este problema.

(b) Restrições

i) Descreva por palavras as restrições para este problema.ii) Quantas são as restrições para este problema? Como chegou a esse número?

iii) Represente matematicamente restrições para este problema na forma linear.

(c) Objectivo

i) Descreva por palavras a função objectivo.ii) Represente matematicamente essa função objectivo na forma linear. Se necessário represente

as restrições e variáveis de decisão adicionais necessárias para que a função objectivo sejalinear.

(d) Restrições adicionaisMas a realidade é um pouco mais complexa... Há algumas questões de ordem biológica queé necessário incorporar no modelo. Represente então matematicamente, na forma linear, asseguintes restrições adicionais:

i) Os peixes bebés não podem ficar no mesmo tanque que ovos ou larvas porque... os comem.ii) Dada o importância da experiência cient́ıfica onde estes lotes serão usados, os ovos de lin-

guado, salmão e robalo têm que ter obrigatoriamente lugar num dos tanques, embora nãonecessariamente no mesmo tanque.

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2. (20/3 valores) A Professora Maria Teresa Dinis, Professora Catedrática da Universidade do Algarve éconsiderada a mãe da aquacultura em Portugal. Quase todos os aquacultores portugueses, sobretudodo sul da páıs, de uma forma ou outra foram formados por ela. Claro que actualmente, com a entradaem força em Portugal da multinacional espanhola Pescanova, as coisas estão um pouco diferentes, masa Professora Teresa Dinis ainda é chamada frequentemente como consultora externa, nomeadamentepela Acuinova.

A administração da Acuinova tem perante si um problema na sua estratégia de expansão do negóciopara a Europa. O norte de França tem sido um consumidor importante do peixe criado pela Acuinova,ao ponto de a empresa ter decidido abrir duas explorações em França, uma em Cayeux-sur-Mer eoutra em Varengeville-sur-Mer. Dadas as restrições da legislação ambiental francesa, em cada umadestas explorações apenas será posśıvel criar dois tipos de peixes em simultâneo, sendo que as opçõessão o salmão, a dourada, o robalo, o linguado, a abrótia e o pechelim (estes último são conhecidossubstitutos da pescada e do bacalhau). Por razões de ordem loǵıstica, não é posśıvel ter espécies depeixe repetidas nas duas explorações. Cada um destes tipo de peixe terá uma rentabilidade mensalesperada (em Me), conforme seja criado num dos dois viveiros, o que decorre das diferentes condiçõesnaturais dos locais:

Salmão Dourada Robalo Linguado Abrótia PechelimCayeux-sur-Mer 4 4 3 6 5 4Varengeville-sur-Mer 5 3 2 5 6 6

A Professora Teresa Dinis foi no entanto chamada porque é ainda necessário considerar as especificida-des de ı́ndole biológica de cada espécie. Após uma viagem aos locais e à recolha de dados ambientais, areputada cientista concluiu que não é posśıvel criar robalos em Cayeux-sur-Mer. Por outro lado, con-siderados os dados da procura de peixe pelos clientes do norte de França, e a sua dispersão geográfica,o pechelim, se for selecciondo para criação, terá que ser obrigatoriamente criado em Varengeville-sur-Mer. Finalmente, pelas mesmas razões, a dourada terá que ser uma das espécies escolhidas, ou emCayeux-sur-Mer ou em Varengeville-sur-Mer.

(a) Formule este problema como um problema de afectação, tendo como objectivo a maximização darentabilidade.

(b) Encontre a afectação óptima pelo método húngaro.

(c) Existem óptimos alternativos? Justifique.

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3. (20/3 valores) A empresa Pesca da Ria, empresa do grupo Mello dedicada à aquacultura, tem umaexploração de douradas na ria Formosa e outra em Mira. Cada uma destas explorações tem inúmerostanques (só as instalações da Ria Formosa têm 16 hectares de tanques), o que lhes permite ter douradasem diversas fases de crescimento e, desta forma, cada exploração é capaz de fornecer 400 quilogramasde dourada de hora a hora. Claro que este é apenas um valor médio, uma vez que diferentes velocidadesde maturação dos peixes fazem com realmente o tempo entre entregas de lotes de 400 quilogramas sejauma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1.

Por outro lado, aos escritórios da Pesca da Rio vão chegando as encomendas de douradas dos diversosgrupos de distribuição alimentar, desde os mais conhecidos Modelo-Continente e Pingo Doce, até à Ali-super – Exploração de Supermercados do Algarve. Para maximizar a eficiência das operações loǵısticasnas explorações, a Pesca do Rio apenas aceita encomendas de 400 quilogramas. As encomendas vãochegando de forma aleatória, segundo um processo de Poisson, a uma média de 1,5 encomendas porhora.

Tendo o departamento de CRM (“customer relationship management”) recebido algumas reclamaçõessobre o tempo excessivo entre a colocação de uma encomenda e a sáıda do camião das exploraçõespara o cliente, acompanhado por algumas queixas dos funcionários dos escritórios da própria empresasobre o número de encomendas que se acumula à espera de serem satisfeitas, calcule:

(a) O número médio de encomendas em cima da mesa dos funcionários do escritório.

(b) O tempo médio entre a chegada de uma encomenda e a sua satisfação.

(c) A probabilidade de não haver nenhuma encomenda à espera de ser satisfeita.

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Resolução

1. (a) i) Para que tanque é que irá cada lote.ii) 3 tanques x 8 lotes = 24 varáveis de decisão

iii) xij ∈ {0, 1} — igual a 1 se o lote j for alocado ao tanque i e igual a 0 se não for.(b) i) Em cada tanque não poderão ser colocados mais lotes do que a capacidade do tanque, que

não poderá portanto ser excedida (restrições tipo 1), e um lote pode estar, no máximo, numtanque (restrições tipo 2).

ii) Uma do primeiro tipo por cada tanque e uma do segundo tipo por cada lote, num total de11 restrições.

iii) Seja:qj – número de unidades do lote j;vj – Volume de água por unidade do lote j;ci – capacidade do tanque i.

Então:8∑j=1

qjvjxij ≤ ci, ∀i=1...3

3∑i=1

xij ≤ 1 ∀j=1...6

xij ∈ {0, 1},∀i=1...3,j=1...6

(c) i) Maximizar a ocupação dos tanques.ii)

max3∑i=1

8∑j=1

qjvjxij

(d) i)

xi3 + xi1 ≤ 1, ∀ixi3 + xi2 ≤ 1, ∀ixi3 + xi4 ≤ 1, ∀ixi3 + xi5 ≤ 1, ∀ixi3 + xi7 ≤ 1, ∀ixi3 + xi8 ≤ 1, ∀ixi6 + xi1 ≤ 1, ∀ixi6 + xi2 ≤ 1, ∀ixi6 + xi4 ≤ 1, ∀ixi6 + xi5 ≤ 1, ∀ixi6 + xi7 ≤ 1, ∀ixi6 + xi8 ≤ 1, ∀i

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ii)

3∑i=1

xi1 = 1

3∑i=1

xi4 = 1

3∑i=1

xi8 = 1

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2. (a) A formulação deste problema como um problema de afectação, ainda considerando que o objectivoé a maximização dos “lucros” (rentabilidade, neste caso): é a seguinte:

Salmão Dourada Robalo Linguado Abrótia PechelimCsM1 4 4 — 6 5 —CsM2 4 4 — 6 5 —VsM1 5 3 2 5 6 6VsM2 5 3 2 5 6 6

F1 0 — 0 0 0 0F2 0 — 0 0 0 0

Desdobrou-se cada uma das explorações em duas, de forma a modelizar a restrição de que cadaexploração pode criar no máximo dois tipos de peixes, e adicinaram-se duas linhas fict́ıcias, paratornar a matriz quadrada, sendo que as espécies de peixe que ficarem no fim atribúıdas a estaslinhas serão aquelas que não serão criadas. O śımbolo “—” significa que essa afectação não éposśıvel e, através da conjugação dos vários “—” garantem-se as restrições adicionais colocadas.

(b) Para resolver o problema pelo método húngaro terá que primeiro converter-se o problema numproblema de minimização, aplicando-se depois o algoritmo habitual. As linhas e colunas comnúmeros em itálico correspondem às linhas e colunas riscadas (os ∞ não surgem em itálico masdevem ser considerados como fazendo parte das linhas e colunas riscadas).

Salmão Dourada Robalo Linguado Abrótia PechelimCsM1 2 2 ∞ 0 1 ∞CsM2 2 2 ∞ 0 1 ∞VsM1 1 3 4 1 0 0VsM2 1 3 4 1 0 0

F1 6 ∞ 6 6 6 6F2 6 ∞ 6 6 6 6

Salmão Dourada Robalo Linguado Abrótia PechelimCsM1 2 2 ∞ 0 1 ∞CsM2 2 2 ∞ 0 1 ∞VsM1 1 3 4 1 0 0VsM2 1 3 4 1 0 0

F1 0 ∞ 0 0 0 0F2 0 ∞ 0 0 0 0

Salmão Dourada Robalo Linguado Abrótia PechelimCsM1 2 0 ∞ 0 1 ∞CsM2 2 0 ∞ 0 1 ∞VsM1 1 1 4 1 0 0VsM2 1 1 4 1 0 0

F1 0 ∞ 0 0 0 0F2 0 ∞ 0 0 0 0

Dado que fomos forçados a usar 6 riscos deverá ser posśıvel identificar um conjunto de 6 zerosindependentes:

Salmão Dourada Robalo Linguado Abrótia PechelimCsM1 2 0 ∞ 0 1 ∞CsM2 2 0 ∞ 0 1 ∞VsM1 1 1 4 1 0 0VsM2 1 1 4 1 0 0

F1 0 ∞ 0 0 0 0F2 0 ∞ 0 0 0 0

Esta solução indica-nos que o salmão e o robalo não deverão ser criados, sendo que a dourada eo linguado deverão ser criados em Cayeux-sur-Mer e a abrótia e o pechelim em Varengeville-sur-Mer. A rentabilidade total associada a esta solução será:

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4 + 6 + 6 + 6 = 22

(c) Há diferentes conjuntos de 6 zeros independentes que poderiam ser escolhidos, pelo que em teoriahá óptimos alternativos. No entanto, quando mapeamos essas soluções “diferentes” no problemaconcreto constatamos que as alternativas são entre CsM1 e CsM2 ou VsM1 e VsM2, isto é,correspondem de facto à mesma solução f́ısica. Asism, não há soluções reais óptimas alternativas.

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3. (a) Para modelizar este problema como um problema de filas de espera teremos que considerar queos escritórios são uma fila para dois servidores, que são as duas explorações. O atendimentocorresponderá ao tempo em que uma encomenda é já a próxima a receber os 400 quilogramas,como se as encomendas fizessem fila junto ao tanque à espera que os peixes acabassem de crescer:

Assim, e usando como unidade de medida a encomenda teremos como parâmetros do sistema:λ = 1, 5 encomendas/hora, µ = 1 encomenda/hora e (S = 2).

λ

µ=

1, 51

= 1, 5

ρ =λ

Sµ=

1, 52× 1

=1, 52

= 0, 75 < 1

pelo que estão reunidas as condições de convergência para podermos estudar este sistema de filade espera.A partir da tabela prática de P0 retira-se P0 = 0, 1438, fazendo uma interpolação entre os valorescorrespondentes a λµ = 1, 4 e

λµ = 1, 6, pelo que:

Lq =P0

(λµ

)Sρ

S!(1− ρ)2=

0, 1438× 1, 52 × 0, 752× (1− 0, 75)2

= 1, 9413 encomendas

L = Lq +λ

µ= 1, 9413 + 1, 5 = 3, 4413 encomendas

Assim, o número médio de encomendas em cima da mesa no escritório é de 3,44.

(b) Para responder a esta aĺınea iremos considerar que a satisfação da encomenda acontece quandoesta termina o atendimento, correspondendo à sáıda do encomenda das explorações, pelo que oparâmetro relevante a calcular é W (tempo médio no sistema):

Wq =Lqλ

=1, 9413

1, 5= 1, 2942 horas ⇒ W = Wq +

1µ

= 1, 2942 + 1 = 2, 2942 horas

(c) Para ser completamente coerente com a definição de satisfação de encomenda dada na aĺınea ante-rior, a probabilidade de não haver nenhuma encomenda à espera de ser satisfeita é a probabilidadede estarem 0 encomendas no sistema, isto é P0 = 0, 1438.No entanto, uma resposta alternativa posśıvel seria considerar que estamos a falar da probabili-dade de não haver nenhuma encomenda na fila de espera, isto é:

P0 + P1 + P2 = P0

1 + λµ

+λµ

2

2

= 0, 1438× (1 + 1, 5 + 1, 125) = 0, 5213

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