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PMR 2420 – Mecânica Computacional

1

MEF Aplicado à Análise Estrutural Mecânica

A aplicação mais tradicional de MEF (na verdade, onde se iniciou) é a simulação de estruturas mecânicas. Dessa forma os próximos ítens abordam esse assunto, o qual é extremamente importante para o engenheiro atualmente devendo fazer parte de seus conheimentos básicos em simulação independentemente de sua formação.

Sem dúvida nenhuma os elementos mais simples e mais usados na análise

estrutural mecânica são os elementos de treliça, os elementos de viga e os elementos sólidos (bi e tridimensionais). Com relação aos elementos sólidos, nesse curso serão discutidos apenas os elementos sólidos bidimensionais (triangular e quadrilátero).

Várias estruturas podem ser modeladas como treliças ou vigas. Estruturas de

treliças e vigas já foram estudadas no curso de mecânica e resistência dos materiais, e nesse curso será mostrado como modelar essas estruturas usando um método poderoso como o MEF. Trata-se de uma formulação de MEF simples e muito bem conhecida, possibilitando ao engenheiro, se desejar, implementar facilmente um algoritmo próprio para esse fim usando o SCILAB ou o MATLAB.

No entanto, esses elementos não permitem somente modelar estruturas de viga e

treliça em si, mas permitem também inclusive modelar de forma preliminar estruturas contínuas. Para isso basta construir uma malha com elementos de treliça ou viga conectando os nós de forma entrelaçada como mostrado na figura abaixo. Isso fornece um resultado razoável do meio contínuo a um custo computacional baixo para o engenheiro. Trata-se portanto de mais um exemplo do potencial desses elementos na simulação estrutural.


2

MEF Aplicado a Estruturas de Treliças

A treliça é uma estrutura em que os seus elementos estão sujeitos somente à tração ou compressão como mostrado abaixo.

Considerando o deslocamento u na direção da barra de treliça, como mostrado na

figura abaixo a equaçao diferencial que descreve o comportamento de uma barra de treliça é dada por:

��

��

�

∂∂

∂∂=

∂∂

x

uEA

xt

uA

2

2

ρ

onde A é a área da seção da treliça, ρ a densidade e E o módulo de elasticidade do material da treliça.

Além disso, temos:

x

uE

A

P

∂∂=== εεσ e

onde P é a força normal na treliça, σ a tensão mecânica, e ε a deformação. Como função interpoladora para o deslocamento u é adotado um polinômio de

primeira ordem, assim temos:

2211 uNuNu += e: L

xN

L

xLN =−= 21 ;

onde L é o comprimento do elemento, N1, N2 são as funções de forma e u1, u2 são os deslocamentos nodais do elemento de treliça.

Definida a função interpoladora podemos aplicar a formulação de MEF (Método

de Galerkin) discutida em aula na equação acima. Para um único elemento temos:

00

2

2

=��

�

��

��

�

∂∂

∂∂−

∂∂

dxwx

uEA

xt

uA i

L

ρ onde i=1, 2 (2 graus de liberdade)


3

após realizar a integração por partes,obtém-se:

0][00

2

2

=��

�

�

∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂

L

ii

L

i x

uEAwdx

x

u

x

wEA

t

uAwρ

Para i=, wi=N1, e substituindo a função interpoladora de u, temos:

01

00

1221 =�

�

�

�

∂∂��

��

� −−��

�

��

�

��

��

� −−+��

�

� +��

��

� −��

��

� −

LL

x

u

L

xLEAdx

L

uu

LEAu

L

xu

L

xL

L

xLA ��ρ

Para i=2, wi=N2, temos:

01

00

1221 =�

�

�

�

∂∂��

��

�−��

�

��

�

��

��

� −+��

�

� +��

��

� −��

��

�

LL

x

u

L

xEAdx

L

uu

LEAu

L

xu

L

xL

L

xA ��ρ

onde 21 e uu �� são as acelerações nodais. Após calcular as integrais (faça como exercício!) e agrupar na forma matricial ambas as equações obtém-se:

[ ]{ } [ ]{ } { }eeeee

Lx

x

N

N

x

ux

u

EAu

u

L

EA

u

uAL

CUKUM =+�

��

��−

=

��

��

�

��

��

�

∂∂∂∂−

=��

��

�

�

−−

+��

��

�

�

=

=

��

��

��

2

10

2

1

2

1

11

11

21

12

6

ρ

onde [M e], [K e],{ Ue} , { }eU�� e { Ce} são denominados matriz de massa, matriz de rigidez, vetor de deslocamentos nodais, vetor de aceleração nodais e vetor de carregamento nodal, respectivamente, do elemento. N1 e N2 são as forças de compressão ou tração na treliça. Note que no caso de treliças não temos em geral o vetor correspondente a forças distribuídas e portanto N1 = N2. Para modelar a estrutura de treliças devemos montar o sistema global composto dos vários elementos de treliça de cada elemento descrito acima.

A matriz de massa [M ] apresentada acima é chamada matriz de massa consistente. Pode-se usar também uma formulação mais intuitiva de matriz de massa chamada matriz de massa concentrada (“ lumped” em inglês) dada por:

��

�

�=

10

01

2][

ALe

ρM

Essa matriz é obtida aproximando-se o elemento de treliça por um sistema massa-

mola como mostrado na figura abaixo. No entanto trata-se de uma aproximação que é usada somente quando se deseja reduzir o custo computacional da análise.


4

No entanto, apesar do elemento de treliça sofrer apenas deformação axial, seus nós podem deslocar nas dureções X e Y. Dessa forma o vetor u de deslocamento, como mostrado na figura abaixo, fica:

{ } { }Te vuvu 2211=U

A matriz de rigidez fica:

[ ]��

�

�

�

−

−

=

0000

0101

0000

0101

L

EAeK

Além disso, a formulação apresentada acima supõe que o elemento de treliça está alinhado com um dos eixos coordenados. No entanto, as barras de treliça se apresentam dispostas formando ângulos com um sistema cartesiano global XY, como mostrado na figura abaixo.


5

Nesse caso os deslocamentos u e v são decompostos em componentes U e V na

direção dos eixos globais (ver figura). No entanto, as matrizes de rigidez e massa expressas em função de u e v devem ser transformadas de forma a serem expressas em função de U e V. Para isso devemos escrever a transformação de coordenadas entre o sistema local e o global.

{ } [ ]{ }ee

V

U

V

U

sen

sen

sen

sen

v

u

v

u

UTU =�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

�

�

−

−=

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

2

2

1

1

2

2

1

1

cos00

cos00

00cos

00cos

θθθθ

θθθθ

onde a matriz [T] é chamada matriz transformação de coordenadas e θ é o ângulo de orientação do elemento. Para obter a nova matriz de rigidez podemos usar o conceito de energia elástica do elemento expressa por:

{ } [ ]{ }eeeelE UKU T

21=

Substituindo a transformação de coordenadas:

{ } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ]TKTKUKUUTKTU eT

eeeeeeT

eelE =�== TT

21

21

ou seja:

[ ]��

�

�

�

−−−−

−−−−

=

θθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθ

22

22

22

22

coscos

coscoscoscos

coscos

coscoscoscos

sensensensen

sensen

sensensensen

sensen

L

EAeK

A matriz de massa [M e] fica: [ ] [ ] [ ][ ]TMTM eT

e =

Além disso, a expressão da deformação fica:

{ }��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−−=−−+=−=∂∂=

+=+=

2

2

1

1

112212

222111

coscos1coscos

cos e cos

V

U

V

U

sensenLL

senVUsenVU

L

uu

x

u

senVUusenVUu

θθθθθθθθε

θθθθ

Para o caso em que a área do elemento varia com x (A(x)), as fórmulas anteriores devem ser rededuzidas. Exercício resolvido: Considere a treliça da figura abaixo. Calcule os deslocamentos dos nós e reações usando o MEF.


6

Solução: A tabela abaixo mostra a numeração dos nós de cada elemento e o ângulo que ele forma com a horizontal.

As matrizes para os elementos 1, 3 e 6 ficam:

A matriz do elemento 1 na matriz do sistema global fica:


7



A matriz para o elemento 4 fica:


8




9




Montando o sistema global obtemos:


10

e simplificando:

Aplicando as condições de contorno U1X=0, U1Y=o, U3X=0 e U3Y=0, e o carregamento F4Y=-500, F5Y=-500, e reduzindo o sistema:


11

Com relação a montagem do vetor de forças globais, note que a soma das forças

internas das treliças em cada grau de liberdade, corresponderão às equações de equilíbrio nos nós, e portanto ou serão nulas ou serão iguais às forças externas (reações e forças aplicadas). Resolvendo obtém-se:

As reações podem ser obtidas da seguinte forma:

resultando em:


12

MEF Aplicado a Estruturas de Vigas

O elemento de viga está sujeito a esforços de flexão. Considerando o deslocamento w na direção perpendicular ao elemento de viga e a rotação φ=v , como mostrado na figura abaixo a equaçao diferencial que descreve o comportamento de uma viga é dada por:

),(2

2

2

2

2

2

txqx

wEI

xt

wA =��

�

��

�

∂∂

∂∂+

∂∂ρ

onde I é o momento de inércia da viga, q é uma carga distribuída e as demais quantidades já foram definidas anteriormente.

Além disso, temos:

2

2

3

3

; ;x

wEIM

x

wEIV

x

w

∂∂=

∂∂=

∂∂=φ

onde V é a força cortante e M o momento fletor. A formulação de elemento de viga que será apresentada é denominada viga de Euler-Bernoulli, onde se supõe que o plano da seção permanece sempre normal à linha neutra da viga, ou seja, desprezam-se os efeitos de tensões de cisalhamento na seção da viga, o que permite escrever a rotação φ como derivada do deslocamento w.

Como função interpoladora para o deslocamento w é adotado um polinômio de terceira ordem, assim temos:

2321

33

2210 )()( xcxccxxcxcxccxw ++=�+++= φ

Podemos escrever os coeficientes c's como função dos deslocamentos e rotações nodais w1, w2, φ1e φ2:

22

321

23

32

210

11

10

32)(

)(

)0(

)0(

φφ

φφ

=++=

=+++=

====

LcLccL

wLcLcLccLw

c

wcw

e L é o comprimento do elemento. Resolvendo o sistema anterior para c0, c1, c2 e c3, obtém-se:


13

24231211 )()()()()( θθ xHwxHxHwxHxw +++=

onde:

2

32

4

3

3

2

2

3

2

32

2

3

3

2

2

1

)(

23)(

2)(

231)(

L

x

L

xxH

L

x

L

xxH

L

x

L

xxxH

L

x

L

xxH

+−=

−=

+−=

+−=

Essas funções de forma são chamadas funções de forma de Hermite e garantem que tanto o deslocamento w como a rotação φ sejam contínuos entre os elementos vizinhos. A figura abaixo ilustra uma plotagem dessas funções de forma.

Definida a função interpoladora podemos aplicar a formulação de MEF (Método

de Galerkin) discutida em aula na equação da viga. Para um único elemento temos:

0),(0

2

2

2

2

2

2

=��

�

�−��

��

�

∂∂

∂∂+

∂∂

dxHtxqx

wEI

xt

wA i

L

ρ onde i=1, 2, 3 e 4 (4 graus de

liberdade) Após realizar a integração por partes duas vezes,obtém-se:

0),(00

2

2

2

2

2

2

=��

�

�

∂∂−+�

�

�

�−

∂∂

∂∂+

∂∂

L

ii

L

ii

i x

HMVHdxHtxq

x

H

x

wEIH

t

wAρ

onde V é a força cortante e M o momento fletor definidos anteriormente. Substituindo a função interpoladora de w(x) e as funções Hi(x) na equação acima, teremos:


14

{ }

0)0(

)0()(

)(

),(

21

43

0

2

2

1

1

24

2

23

2

22

2

21

2

2

2

2

2

1

1

4321

=∂

∂+−

∂∂

−+

+

��

�

�

�

−

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

��

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

x

HMVH

x

LHMLVH

dxHtxqw

w

x

H

x

H

x

H

x

H

x

HEI

w

w

HHHHAHL

ii

i

θ

θ

θ

θρ

��

��

��

��

Variando i de 1 à 4, teremos quatro equações de integrais, que podem ser condensadas na

notação matricial abaixo e sendo H3(L)=H1(0)= x

LH

∂∂ )(4 =

x

H

∂∂ )0(2 =1, temos:

{ }

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−−

=

=

��

�

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

��

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂

+

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

2

2

1

1

0

4

3

2

1

2

2

1

1

2

42

2

32

2

22

2

12

24

2

2

32

2

22

21

2

2

2

1

1

4321

4

3

2

1

),(

M

V

M

V

dx

H

H

H

H

txqw

w

x

H

x

H

x

H

x

H

x

Hx

Hx

Hx

H

EIw

w

HHHH

H

H

H

H

AL

θ

θ

θ

θρ

��

��

��

��

onde os sinais de V1, M1, V2 e M2 se referem aos sentidos dos deslocamentos w1, θ1, w2 e θ2 indicados na figura acima. Portanto:


15

dx

H

H

H

H

txq

M

V

M

V

w

w

dxx

Hsimétrica

dxx

H

x

Hdx

x

H

dxx

H

x

Hdx

x

H

x

Hdx

x

H

dxx

H

x

Hdx

x

H

x

Hdx

x

H

x

Hdx

x

H

EI

w

w

dxHsimétrica

dxHHdxH

dxHHdxHHdxH

dxHHdxHHdxHHdxH

A

L

L

LL

LLL

LLLL

L

LL

LLL

LLLL

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

+

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−−

=

=

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

�

�

��

��

�

∂∂

∂∂

∂∂

��

��

�

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

��

��

�

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

��

��

�

∂∂

+

+

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

�

�

0

4

3

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

0

2

2

42

0 24

2

23

2

0

2

23

2

0 24

2

22

2

0 2

32

22

2

0

2

22

2

0 24

2

21

2

0 2

32

21

2

0 22

2

21

2

0

2

21

2

2

2

1

1

0

24

0 430

23

0 420 320

22

0 410 310 210

21

),(

θ

θ

θ

θρ

��

��

��

��

Após calcular as integrais, e agrupar as equações na forma matricial, obtém-se:

[ ]{ } [ ]{ } { } { }eeeeee FCUKUM +=+�� onde:

[ ] [ ]��

�

�

�

−−−−

−−

=

��

�

�

�

−−−−−−

=

22

22

3

22

22

4626

612612

2646

612612

;

422313

221561354

313422

135422156

420

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

LLLL

LL

LLLL

LL

ALee KM

ρ

A matriz de massa acima é a chamada matriz de massa consistente. Assim como

no caso da treliça podemos utilizar uma aproximação da matriz de massa chamada matriz de massa concentrada (“ lumped” ). Existem algumas formas de obter a matriz de massa concentrada para o elemento de viga que resultam nas matrizes descritas abaixo:

[ ] [ ]��

�

�

�

=

��

�

�

�

=

2

2

000

03900

000

00039

78 ;

0000

0100

0000

0001

2

L

LALALee

ρρMM

Note que são matrizes diagonais, sendo computacionalmente mais fáceis de

manipular do que a matriz de massa consistente que é uma matriz cheia.


16

Com relação ao vetor de carga { } ��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

=L

e dx

H

H

H

H

txq0

4

3

2

1

),(F , considerando uma pressão

uniforme q0 aplicada sobre o elemento obtém-se:

{ }��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−

=

2

20

6

6

12

L

L

L

L

qeF

Já no caso de uma carga concentrada ( )00 xxPq −= δ onde δ é a função Delta

Dirac, P0 é carga concentrada aplicada em x=x0, obtém-se:

{ }��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

=

)(

)(

)(

)(

04

03

02

01

0

xH

xH

xH

xH

PeF

A figura abaixo ilustra outros tipos de carregamentos possíveis no elemento de

viga.

Exemplo: Como exemplo, consideremos uma viga engastada como mostrado na figura abaixo sujeita a uma carga concentrada na sua extremidade (x0=L).


17

Queremos calcular o deslocamento na sua extremidade (ponto de aplicação da carga) usando o MEF. Considerando a discretização de apenas um elemento temos:

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−=

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

�

�

�

−−−−

−−

04626

612612

2646

612612

1

1

2

2

1

1

22

22

3 P

M

V

v

v

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

θ

θ

mas 011 == θv , portanto obtém-se: EI

PLv

3

3

2 −= .

Ou seja, o mesmo resultado analítico obtido no curso de resistência dos materiais. Isso ocorreu porque o perfil exato de deslocamentos de uma viga engastada segue um polinômio cúbico. Como as funções interpoladoras são cúbicas, obtemos a solução exata, mesmo usando um único elemento na discretização. Já considerando uma carga distribuída na viga não obtemos a solução exata, pois a mesma segue um polinômio de ordem maior do que 3.

Assim como o elemento de treliça, o elemento de viga também pode se apresentar inclinado em relação aos eixos coordenados o que exige que seja feita uma transformação de coordenadas que dará origem a novas matrizes, análogo ao deduzido para o elemento de treliça. A dedução dessa transformação para o elemento de viga pode ser encontrada nos livros indicados na referência bibliográfica do curso.

Na verdade, embora os elementos de treliça e viga tenham formulação relativamente simples em MEF, a modelagem em si de estruturas usando esses elementos nem sempre é uma tarefa fácil. O principal problema é que estruturas de treliça e viga são modelos extremos de estruturas. Por exemplo, raramente se vê uma junção entre duas barras usando uma articulação perfeita (treliça), ou eventualmente uma união contínua perfeita (viga). Em geral, as barras são unidas através de parafusos, o que resulta numa rigidez de junção das barras que está entre o modelo de articulação perfeita (treliça) ou “solda” perfeita (vigas). O correto seria modelar a estrutura usando molas nas junções das barras, no entanto o valor correto dessas molas é difícil de ser estimado, tornando difícil em alguns casos obter resultados realísticos na simulação de estruturas desse tipo.

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