medidas-1

2Precisão e Exatidão de Medidas I

2.1 Objetivos

Aqui neste capítulo o aprendiz deve se ater aosdetalhes referentes ao ato de medir1, resultadosde uma medição mal feita e suas causas. Assimcomo saber lidar matematicamente com resultadosde uma medição, a forma correta de expressar es-tes valores e a interpretação de um resultado obtidoquanto a sua qualidade numérica.

Mais claramente o aprendiz apenderá a efetuarmedições e registrar medidas considerando os er-ros ou desvios e incertezas envolvidas no processode medição. Saberá avaliar as precisões e exati-dões dos instrumentos de medição diante dos dadosapresentados pelo fabricante ou através das carac-terísticas dos intrumentos de trabalho.

2.2 Introdução

Apesar de se afirmar que a Física é uma ciênciaexata, não existe uma única medida em toda a Fí-sica que esteja isenta de algum erro ou desvio dovalor real da medida. Por mais que sejam sofistica-dos os equipamentos utilizados, os erros ou desviossão uma presença constante e o bom experimenta-dor deve aprender a conviver com eles, identificá-

1O ato de medir é denominado medição e o resultado deuma medição é uma medida.

los e minimizar suas influências nos resultados deuma medição.Ao se fazer a medição de uma grandeza física,

o valor encontrado não coincide com o valor realda mesma. Quando este resultado for aplicado, énecessário saber com que certeza a grandeza físicaé representada pelo número obtido. Deve-se, en-tão, poder expressar a incerteza de uma mediçãoem termos que sejam compreensíveis a outras pes-soas e para isto usa-se uma linguagem padronizadae métodos adequados para combinar incertezas dosdiversos fatores que influenciam no resultado.

2.3 Erros

Os erros são classificados em três grandes grupos:grosseiros, sistemáticos e aleatórios.

2.3.1 Erros Grosseiros

São aqueles que ocorrem por inabilidade do expe-rimentador e são provenientes de enganos, uso ina-dequado de instrumentos, técnicas deficientes, etc.

2.3.2 Erros Sistemáticos

São aqueles que ocorrem sempre do mesmo jeitoe são provenientes de: erros de calibração de ins-

6

ESTADO DE MATO GROSSOSECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOPDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

trumentos, erros do observador na leitura do instru-mento, instrumentos utilizados em condições ina-dequadas, etc. Os erros sistemáticos podem ser eli-minados ou compensados.

2.3.3 Erros Aleatórios ou Acidentais

Ocorrem quando, em uma série de medição, oraobtem-se um valor ora outro de forma imprevisí-vel. Com este tipo de erro é mais difícil de lidare pode-se apenas obter uma minimização de seusefeitos. Ele nunca é totalmente eliminado. Geral-mente estes errors são devidos a condições que flu-tuam como por exemplo, variações na rede de ener-gia elétrica, variações verificadas no comprimentode um objeto por irregularidades da superfície, etc.

2.4 Instrumentos de Medição

Para se determinar o valor de uma grandeza físicaé necessário uma comparação com um padrão pre-viamente estabelecido. Logo a qualidade da medi-ção dependerá do padrão utilizado. Os padrões degrande precisão (primários) são definidos de ma-neira bastante complexa e necessitam de tecnolo-gia avançada para serem reproduzidos. Em geralos padrões primários são regulados em institutos depesos e medidas, mantidos para este fim.Desta forma utilizam-se padrões mais simples

(secundários) aferidos a partir dos padrões primá-rios, porém menos precisos. A imprecisão dosinstrumentos utilizados como padrões secundáriosserá estimada pela incerteza instrumental, e carac-teriza uma faixa de valores dentro da qual se en-contra o valor verdadeiro da grandeza medida.Dentre as características dos instrumentos que

determinam sua precisão podem-se destacar:

Resolução: expressão quantitativa da aptidão deum instrumento em distinguir valores muitopróximos da grandeza medir. Esta é com-posta de diversas marcas e a diferença entre

os valores de duas marcas sucessivas, valor deuma divisão, caracteriza a resolução do instru-mento. A indicação, valor de uma grandezamedida fornecida pelo instrumento, pode, emmuitos casos, ser feita com interpolação da es-cala de medida.

Limiar: menor variação de um estímulo que pro-voca a variação perceptível na resposta de uminstrumento de medir. Ele pode depender dediversos fatores como o ruído, o atrito, o amor-tecimento ou a inércia. Exemplo: se uma ba-lança só acusa variação na sua indicação coma adição de 0,1 g ou mais na massa medida,seu limiar de mobilidade é de 0,1 g.

Estabilidade: aptidão de um instrumento de medirem conservar constantes seus parâmetros me-trológicos. O mais comum é considerar a es-tabilidade em função do tempo, embora tam-bém possa estar relacionada a outros parâme-tros como temperatura e umidade. Nesses ca-sos é preciso especificar a grandeza a qual aestabilidade está relacionada.

Justeza: aptidão de um instrumento de medir paradar indicações isentas de erros sistemáticos.

Fidelidade: aptidão de um instrumento de medirpara dar, sob condições de utilização defini-das, respostas próximas para aplicações repe-tidas de um mesmo estímulo. Além disso énecessário ainda satisfazer às condições de re-ferência, ou seja, condições de utilização deum instrumento prescritas para assegurar a va-lidade na comparação de resultados de medi-ções.

2.5 Algarismos Significativos

A exatidão de uma experiência deve ser evidenci-ada na forma pela qual o resultado é escrito. Oprimeiro cuidado a ser tomado, no registro de uma

Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT.Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680

E-mail: [email protected]

7 de 20



medição, é com relação ao significado dos algaris-mos que aparecem no registro. A leitura do valorda medição deve se prolongar até o algarismo cor-respondente ao da incerteza e ao instrumental. Porexemplo, se a incerteza na medida feita com umpaquímetro é de ±0,1mm, a leitura deve registraraté o décimo do milímetro, ou seja, um compri-mento L deve ser lido na forma L = 12,3mm.No caso de não se saber qual é a incerteza

da medida, esta dever ser assumida como sendoigual a metade do menor intervalo de medidado instrumento. Uma régua milimetrada deve, emprincípio, garantir a leitura do milímetro e, por con-venção, permitir mais um algarismo sobre o qualincide a incerteza instrumental de ±0,5mm. Porexemplo: o valor 514,0mm indica que se pode ob-servar o milímetro e que há uma dúvida sobre oalgarismo correspondente ao décimo de milímetro.Caso fosse possível observar este algarismo atravésde um instrumento mais exato, e este fosse zero, amedida seria escrita na forma 514,00mm, na qualo algarismo correspondente ao centésimo de milí-metro teria sido estimado.O número de algarismos significativos em um re-

sultado inclui todos aqueles lidos diretamente maiso estimado, quando for o caso. Esse número é de-finido por:

1. O algarismo mais a esquerda não-nulo é o al-garismo mais significativo.

Exemplo: 0,051 40m;

2. O algarismo mais a direita é o menos signifi-cativo, mesmo sendo zero.

Exemplo: 51,40mm;

3. Todos os algarismos entre o mais significativoe o menos significativo são contados comosignificativos.

Exemplo:

0,051 40m = 5,140 cm

= 51,40mm = 5,140× 104 µm

todos com 4 algarismos significativos e ex-pressando a mesma medida de um compri-mento.

A quantidade de algarismos significativos de umamedida não se altera mediante uma transforma-ção de unidades, como pode se ver nos exemplosacima. Mas, precisa-se ter cuidado ao efetuarem-se mudanças de unidade. Por exemplo:

3,50m = 350 cm

e3,5m

?= 350 cm.

Neste caso o procedimento correto é usar a notaçãode potência de dez (x× 10n) e escrevermos:

3,5m = 3,5× 102 cm.

Alguns autores estabelecem que, nos casos emque não há vírgula decimal, o algarismo menos sig-nificativo é o não-nulo mais a direita. Por exem-plo, quando dizemos que, no curso de Física, exis-tem 1000 alunos matriculados, estamos apenas in-formando o dígito 1. Os três zeros aparecem ape-nas para e indicar a ordem de grandeza. Essaforma de escrever é muito utilizada em textos não-científicos. Se quiséssemos aplicar o critério de-finido nos três itens anteriores, deveríamos escre-ver 1× 103 alunos, o que sobrecarregaria a reda-ção. Por isso, para se evitar ambigüidade, nos casosem que se deseja dar significado a todos os algaris-mos, deve-se escrever o valor na forma

1000 alunos = 1,000× 103 alunos.

Nestes, todos os quatro algarismos são significati-vos.

2.5.1 Trucamentos e Arredondamen-tos

Há pelo menos duas formas de se reescrever umnúmero de forma a diminuir a quantidade de alga-rismos significativos: o truncamento e o arredon-damento do número.



8 de 20



Freqüentemente ocorre que números devem sertruncados ou arredondados. Ao se processarem osresultados de medições, deve-se tomar o cuidado dese fazerem truncamentos ou arredondamentos naapresentação do resultado final, para que não sejamintroduzidos erros cumulativos durante as aproxi-mações intermediárias.

Tanto o truncamento como o arredondamentopodem ser aplicados para eliminação de algarismossignificativos excedentes ou para eliminação de al-garismos não significativos.

Truncamento é simplesmente ignorar os algaris-mos que estão à direita de uma determinadaposição no número e usar somente os algaris-mos que estão à esquerda desta posição, inclu-sive. Se queremos truncar o número expressona forma (a, bcdeXfgh...× 10m), cuja posi-ção de truncamento é definida pelo algarismoX , teremos simplesmente (a, bcdeX × 10m).

Arredondamento é um procedimento mais com-plexo e feito via comparação.

Ao abandonarmos algarismos em um número,o ultimo algarismo mantido será acrescido deuma unidade ou não conforme as regras a se-guir (X significa o a algarismo a ser arredon-dado):

• de (X000 . . .) a (X499 . . .), os algaris-mos excedentes são a simplesmente eli-minados (arredondamento para baixo);

• de (X500 . . . 1) a (X999 . . .), os alga-rismos excedentes são a eliminados e oalgarismo X aumenta de 1 (arredonda-mento para cima);

• No caso (X5000000 . . .), então o arre-dondamento a deve ser tal que o alga-rismo X depois do arredondamento deveser par.

NúmeroOriginal Truncamento Arredondamento

2,43 2,4 2,43,688 3,68 3,695,6499 5,6 5,65,6501 5,6 5,75,6500 5,6 5,65,7500 5,7 5,89,475 9,47 9,483,325 3,32 3,32

Tabela 2.1: Comparação entre procedimento detruncamento e arredondamento feitos em algunsnúmeros. Os algarismos menos significativos estãomarcados com uma sublinha

Numericamente o arredondamento insere menoserros do que o truncamento e é fortemente indi-cado que sejam feitos somente os arredondamentosquando for necessário expressar uma medida.

2.5.2 Operações com Algarismos Sig-nificativos

Já estamos conscientes que o resultado de uma me-dição direta possui uma incerteza. Todavia, em to-dos os trabalhos experiemtais, inúmeras vezes nãopode-se medir diretamente a grandeza de interesse.Somos então forçados a obter esse valor através deoutros, ou seja, necessitamos e realizar uma medi-ção indireta. Por exemplo, ao determinar a veloci-dade média de um móvel, necessitamos e o mediro tempo e o espaço percorrido.

Aqui se coloca o problema de como expressar oresultado desta medição indireta, pois as mediçõesdiretas feitas apresentam sempre alguma incerteza.

Os algarismos significativos obtidos por opera-ções aritméticas podem ser determinados atravésde algue e mas regras elementares de operação comalgarismos significativos.



9 de 20



2.5.2.1 Adição e Subtração

Para que o resultado da adição ou subtração con-tenha apenas algarismos significativos, você? de-verá, inicialmente, observar se todas das parcelasestão expressas a na mesma potência de dez e qualdas parcelas possui o e menor número de casas de-cimais, pois, o resultado deu verá ser expresso como mesmo número de casas decimais desta parcela.Os algarismos excedentes que porventura existiremno resultado devem ser abandonados por arredon-damento, isto também poderá ser feito nas parcelasantes de se efetuar a operação. Exemplos:

• 12,784 cm− 5,48 cm = 7,30 cm

• 0,0128m + 18,02m = 18,03m

• (12,784 − 5,48 )cm = 7,30 cm

• (0,0128 + 18,02 )m = 18,03m

2.5.2.2 Multiplicação e Divisão

Prevalece o número de algarismos significativos daparcela de menor número de algarismos. Exem-plos:

• 12,13N× 0,021m = 0,25N ·m

• 1,0 cm÷ 24,375 s = 0,041 cm/s

2.6 Incerteza

A importância do registro correto de uma mediçãoé porque, através dele, é possível informar tanto ovalor da medição quanto a incerteza instrumentalutilizada. Esta pode ser expressa de duas formas:incerteza absoluta e incerteza relativa. A palavraerro é muitas vezes empregada no lugar da incer-teza. Essa palavra, quando associada a incerteza damedida, não significa que a medida está errada dovalor erro, mas que a ela a está associado um erroprovável de até o valor erro.

2.6.1 Incerteza Absoluta

Representa diretamente a incerteza medida. As-sim se a dimensão de uma barra for medida comosendo L = 1,32m com uma incerteza absolutaδL = 0,01m, o registro dessa medição deve serfeito na forma L = (1,32± 0,01)m. Deve-se ob-servar que é sobre o algarismo menos significativodo valor medido para L que recai a incerteza. Emuma medição direta não há sentido em se registraroutros algarismos além do determinado pela incer-teza.

2.6.2 Incerteza Relativa

É uma forma mais significativa de se expressar aqualidade de uma medição. Uma medida com umaincerteza absoluta de 0,1m pode parecer muito me-nos exata que uma outra com uma incerteza ab-soluta de 0,1mm. Entretanto, se a primeira in-certeza for associada à medida da altura de umamontanha, por exemplo, o pico de Itatiaia comh = (2787,4± 0,1)m e a segunda, à largura deuma caneta, L = (8,3 ± 0,1)mm, a opinião seriaoutra sobre a qualidade dessas medidas.

Por isso, é importante associar uma incerteza aovalor que está sendo medido, ou seja, informar aincerteza relativa a uma medida.

A melhor forma de expressar esta relação é di-vidir a incerteza pelo valor medido, quociente essedenominado de incerteza relativa:

ir =δM

M

em que M é o valor medido e δM é a incerteza damedida. No caso da medição do pico de Itatiaia, aincerteza relativa é de ir = 3,6× 10−5, enquantoque, na largura da caneta, é de

ir = 1,2× 10−2.



10 de 20



2.6.3 Incerteza Relativa Percentual

É a incerteza relativa multiplicada por 100 acres-cida do símbolo % (porcento)

irp =δM

M× 100.

A vantagem de se escrever a incerteza relativa naforma percentual é que se evita escrever númerosmuito pequenos. Assim, a incerteza relativa asso-ciada a largura da caneta é expressa como

irp = 1,2× 10−2× 100 = 1,2%.

Mesmo assim, para algumas medidas, as incerte-zas relativas são tão pequenas, que mesmo escritasna forma percentual, ficam com números muito pe-quenos. É o caso da altura do pico de Itatiaia, emque a incerteza percentual é de

irp = 0,000 036× 100 = 0,003 6%.

Neste casos, utilizam-se outras relações como

• partes por milhão (ppm ≡ 1× 10−6),

• partes por bilhão (ppb ≡ 1× 10−9),

• parte por trilhão (ppt ≡ 1× 10−12),

por exemplo,

irp = 0,000 036 =36

1000000= 36× 10−6 = 36 ppm.

2.7 Questionário

1. Efetua-se uma medição de comprimento comuma régua de plástico e repete-se a mesmamedição com uma trena metálica. Em qualdas duas situações a o grau de confiança damedida é maior? Justifique sua resposta combase nos erros que podem ocorrer no procedi-mento e nas características dos instrumentosde medição.

2. Quantos algarismos significativos existem emcada um dos valores a seguir?

(a) 135,5 cm

(b) 0,010 kg

(c) 1,01× 103 s

(d) 4,123 g

(e) 11,342 g/cm3

(f) 2002,0 cm/s

(g) 978,7 cm/s2

(h) 6,02× 1023mol−1

(i) 3,141 59 rad

(j) 3× 108mol

(k) 60× 104 kg

(l) 3500 cm

(m) 0,0065 kg

3. Faça as mudanças de unidades:

(a) 20m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm

(b) 2005,4m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . km

(c) 44,5× 103 g = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg

(d) 44,5µg = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g

(e) 44,5µg = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg

(f) 0,0068m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mm

(g) 1000 L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m3

(h) 2,0mL = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m3

(i) 2,0mL = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm3

(j) 3,141 59 rad = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◦

(k) 11,342 g/cm3 = . . . . . . . . . . . . . . . kg/m3

4. Arredonde os valores abaixo, para apenas doisalgarismos significativos:

(a) 34,48µK

(b) 1,281m/s

(c) 8,563× 103 s

(d) 4,35 cm3

(e) 9,97× 106 g

(f) 0,0225N

(g) 2787min

(h) 0,040 95 km

(i) 143 768 900 horas

(j) 2,54mol

5. Escreva os resultados das operações matemá-tica a a seguir, respeitando o uso de algarismossignificativos:

(a) 1,02× 105 kg ÷ 3,1m3



11 de 20



(b) 345 J + 23,3 J + 1,053 J

(c) 390,5 g ÷ 22,4 cm3

(d) 1,89× 102mg − 2,32 kg

(e) 10,0m÷ 0,01 s

6. Um copo e seu conteúdo pesam (630,4 ±0,6)gf. O copo sozinho pesa (148,0 ± 0,4)gf.Qual o peso do conteúdo?

7. O raio de uma esfera de metal mede (4,30 ±0,5)cm. Determine o seu volume.



12 de 20

medidas-1

Documents

Transcript of medidas-1