Física I 2003/2004 Laboratório de Física

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Medição de Grandezas Base da Mecânica

e determinação de Grandezas Derivadas

Objectivos - Medição de grandezas fundamentais da mecânica: comprimento, massa e tempo

- Determinação de grandezas derivadas: volume, área, densidade, aceleração

- Utilização da craveira e do palmer

- Avaliação de incertezas em medições

Material Disponível - objectos de materiais e formas diferentes

- craveira (paquímetro)

- palmer (micrómetro)

- régua

- fita métrica

- balança

- cronómetro

Introdução Nas medições propostas para este trabalho manuseiam-se instrumentos simples para

medir diversas grandezas base da mecânica. Com estas grandezas, determinam-se

diversas grandezas derivadas, através de cálculo. Os resultados apresentados devem ser

baseados em diversas medições, afectados da respectiva incerteza e expressos em

unidades do sistema internacional (SI).

Antes de preparar este trabalho deve ler cuidadosamente o Guia para Análise de

Dados e Cálculo de Incertezas (disponível na reprografia).

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Instrumentos de medição de comprimento Régua Graduada e Fita Métrica

Estes instrumentos encontram-se graduados em centímetros e milímetros. Como a menor

graduação é o milímetro a sua incerteza de leitura é:

leit1 mm 0.5 mm

2L∆ = =

Note-se que nem sempre temos condições para fazer leituras com uma incerteza tão

baixa. Se não conseguirmos alinhar a escala suficientemente perto do objecto pode não

ser possível fazer medições com a incerteza referida. Por exemplo, se se quiser

determinar a altura da bancada com uma fita métrica, dificilmente se consegue garantir

uma incerteza de leitura de 0.5 mm . Nessas situações, em que as condições de medição

não permitem usar todas as potencialidades do instrumento, deve ser o experimentador a

fazer uma estimativa razoável da incerteza de leitura. Alternativamente, pode verificar

com uma série de medições independentes que a incerteza de observação é superior à

incerteza de leitura.

Supúnhamos que queremos medir, por exemplo, a distância entre os pontos A e B (fig.1),

marcados no papel. Se assentarmos uma das faces da régua sobre o papel, o plano da

escala fica a uma certa altura sobre o plano em que estão os pontos, em virtude da

grossura do bordo da régua. Se quisermos fazer uma leitura correcta teremos de olhar de

forma que o raio visual seja perpendicular à superfície da régua onde está a escala;

porque, se olharmos obliquamente, o número que lemos é maior ou menor do que aquele

que indica a sua verdadeira posição – erro de paralaxe.

Figura 1

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O probabilidade de se cometerem erros de paralaxe diminui se se colocar a escala tão

perto quanto possível do objecto a alinhar com ela. Uma régua ou uma fita métrica devem

sempre ser colocadas com as suas marcações junto do objecto a medir, de forma a

eliminar este tipo de erros. Ainda assim, podem ser cometidos erros deste tipo. Uma

forma de os evitar com a régua é inclinarmos esta de forma que os traços das divisões

fiquem perpendiculares à superfície do papel.

Quando se ajusta um dos pontos com o zero, ou com qualquer outro traço, o segundo

ponto pode ficar entre dois traços da escala, não coincidindo com nenhum deles. Neste

caso avalia-se com a vista, isto é, por estimativa, que o ponto se situa entre as duas

divisões. No caso de uma régua graduada em milímetros esse valor corresponde a metade

da menor divisão da escala, cinco décimas de milímetro. Então podemos dizer que o

comprimento L do segmento AB é dezanove milímetros mais cinco décimas de

milímetro, aproximadamente. O comprimento deve então apresentar-se como:

( )19.5 0.5 mmL = ±

Craveira

A craveira (ou paquímetro) é usada para medir diâmetros externos, diâmetros internos e

profundidades. Para esse efeito, a craveira dispõe de três anteparos ABC rigidamente

ligados à escala principal e que servem de referência. Os anteparos móveis A B'C' devem

coincidir perfeitamente com os fixos, na leitura do zero da escala.

Figura 2

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Para que estes bordos não se desgastem com o tempo, o material da craveira deve ser um

metal duro. Para medir diâmetros externos (a) usa-se a parte inferior dos anteparos AA' e

para os internos (b) a parte superior BB'. Para medir profundidades (c) faz-se deslizar o

espigão C'.

Figura 3

Para fazer medições com uma incerteza inferior a meia divisão da escala principal,

associa-se a esta uma escala deslizante, o nónio, na qual estão marcadas n divisões

( 20n = , no exemplo da fig. 2; 10n = , no exemplo da fig. 3). A menor divisão da escala

do instrumento passa (explicamos adiante porquê) a ser igual à menor divisão da escala

principal dividida por n , o mesmo acontecendo à incerteza de leitura.

No exemplo da fig. 3, a escala principal, está graduada em milímetros e o nónio tem 10

divisões. Assim, a menor divisão da escala é

1 mm 0.1 mm10

=

e a incerteza de leitura

leit0.1 mm 0.05 mm

2L∆ = = .

O traço mais à esquerda da escala móvel, correspondente ao 0 , permite ler na escala

principal o número de milímetros. O traço na escala móvel alinhado com um dos traços

na escala fixa, permite ler os décimos de milímetro. Assim, a expressão correcta das

leituras efectuadas com e sem nónio é, respectivamente

( )51.70 ±0.05 mmL = e ( )52.0 ±0.5 mmL =

(com o nónio a “precisão” é dez vezes superior1).

1 Maior “precisão” quer dizer, neste contexto, menor incerteza relativa.

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Se dois traços adjacentes na escala do nónio parecerem igualmente alinhados com dois

traços da escala fixa, a leitura corresponde ao valor intermédio dos traços. No exemplo de

cima, se os traços de 7 e 8 na escala móvel estivessem igualmente alinhados com traços

da escala fixa, a leitura seria

( )51.75 ±0.05 mmL =

As craveiras disponíveis no laboratório têm uma gama de medição de 0 a 150 mm e

nónio de 20 divisões, logo a menor divisão da escala é

1 mm 0.05 mm20

=

e a incerteza de leitura é

leit0.05 mm 0.025 mm

2L∆ = = .

Caso não esteja familiarizado com a utilização deste instrumento, deve praticar as

leituras com a “craveira virtual” disponível em:

http://www.estig.ipbeja.pt/~eidf1/interno/praticas/f1_craveiravirtual.html.

Princípio de funcionamento do nónio O nónio tem marcadas n divisões cujo comprimento é equivalente ao de 1n − divisões da escala

principal. Assim, cada divisão do nónio, y , é menor que o comprimento de uma unidade a da

escala principal, e o seu valor é dado por (fig. 3):

1( 1) ou nny n a y an−= − =

Quando se mede um comprimento que não coincide exactamente com uma divisão da régua, o valor

da grandeza será igual ao número inteiro de divisões da escala principal, dado pela marca zero do

nónio (linha de fé), mais uma fracção de divisão, x , a determinar. O ponto em que uma divisão do

nónio coincide com uma divisão da escala ocorre para a divisão l ( 7 , no exemplo da fig. 3) do

nónio; nesse ponto tem-se

la ly x= +

de onde vem

ax ln

=

( 0.07 no exemplo da fig. 3)

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Assim, tudo se passa como se o nónio amplificasse a escala principal, dividindo a unidade a em n

subdivisões, mas evitando o incómodo da leitura de um tão grande número de traços numa escala

(alguns sistemas de medida possuem por exemplo uma lupa). Deve-se no entanto salientar que o

nónio não permite obter uma incerteza inferior superior àquela com que os próprios traços das

escalas são marcados. Por isso os nónios mais vulgares têm 10 ou 20 divisões, encontrando-se

ainda nónios de 50 divisões.)

A razão an

designa-se natureza do nónio e é o menor comprimento que se pode medir exactamente

com o nónio adaptado à régua.

O erro de leitura com um nónio é metade da divisão da escala principal dividido pelo número de

divisões do nónio,

leit 2aLn

∆ =

No exemplo da figura a unidade da escala principal é o milímetro e o nónio é de décimas, pelo que o

erro vale leit 0.05 mmL∆ = .

Micrómetro

Figura 4

Um micrómetro (ou palmer) é um instrumento mecânico que permite medidas “precisas"

de pequenos comprimentos ou espessuras. Os micrómetros disponíveis no laboratório

têm uma gama de medição de 0 a 25 mm. A escala principal gravada num cilindro tem

associada uma manga com 50 divisões, que se desloca ao longo da escala principal por

rotação.

Manga Cilindro

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Figura 5

Este sistema de escalas está solidário com duas esperas (A e B na fig. 4). Uma rotação

completa da manga corresponde a uma abertura (ou fecho) das esperas de 0.5 mm, e

portanto cada divisão desta manga vale 0.01 mm. O comprimento a medir é colocado

entre as esperas e à leitura da escala principal deve adicionar-se o número de divisões da

manga que passem o zero. Neste tipo de instrumento devemos ter em atenção se o zero

do tambor coincide com o zero da escala principal quando as esperas estão em contacto.

No caso de isto não suceder temos um erro sistemático na medida, conhecido por erro no

zero. Este erro não afectará o resultado final desde que seja adicionada a correcção

respectiva.

Os comprimentos medidos com este aparelho possuem baixa incerteza. O erro de leitura

no caso do palmer exemplificado é de 0.005 mm (5 µm !). Com uma régua normal

graduada em milímetros o erro de leitura é 0.5 mm. Assim, com o palmer a medida tem

uma incerteza 100 vezes menor.

Balança Digital

As balanças que se encontram no laboratório são digitais. As suas incertezas são iguais ao

menor valor que por eles pode ser medido.

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Existem balanças de dois tipos: modelo CS-200 e modelo CS-2000. As primeiras têm

uma gama de medição de 0 a 200 g, com uma resolução de 0.1 g; as segundas têm uma

gama de medição de 0 a 2000 g, com uma resolução de 1 g. Quando a leitura atinge um

valor estável aparece a indicação ▼ na parte inferior esquerda do mostrador.

Cronómetro Digital

Os cronómetros que se encontram no laboratório são de centésimos de segundo, digitais.

As suas incertezas são iguais ao menor valor que por eles pode ser medido.

Utilização dos instrumentos de medição Tenha cuidado com o manuseamento dos instrumentos. Os instrumentos mecânicos de precisão, em particular o palmer e a craveira, danificam-se facilmente se forem forçados ou sujeitos a quedas. Assim, a sua manipulação deve ser muito cuidadosa. Para medir o comprimento de um objecto com a craveira, feche suavemente sobre este as suas anteparas. Não force; a craveira não é um alicate!! Para medir o comprimento de um objecto com o palmer feche suavemente sobre este as esperas do palmer, utilizando o botão exterior. Para evitar forçar o palmer, use sempre o botão exterior para o fechar ou abrir. Não force; quando o botão começar a “clicar” é porque as esperas já estão suficientemente apertadas sobre o objecto. O palmer não é um grampo!! Quando utilizar a balança, coloque suavemente as objectos em cima do seu prato. Não os deixe cair! Registe as incertezas associadas a cada instrumento de medição que utilizar. Verifique em cada tipo de medição que efectuar se o método de medição lhe permite considerar como incerteza de leitura apenas a incerteza associada à escala do instrumento ou se tem que considerar uma incerteza de leitura superior. Neste caso, faça uma estimativa dessa incerteza. Para cada medição que efectuar utilize sempre o instrumento com menor incerteza de leitura. Dependendo das flutuações estatísticas que verifique em cada parâmetro, faça diversas medições desse parâmetro, de acordo com as tabelas de que dispõe, variando alternadamente o operador do instrumento de medida de forma a diminuir algum possível erro sistemático introduzido por este.

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Preparação do trabalho Esta parte do trabalho deve ser feita impreterivelmente antes da aula de laboratório.

Destaque as folhas 9 a 14 do protocolo e entregue-as (um exemplar por grupo)

preenchidas e agrafadas no início da aula de laboratório.

Rubrica Nº Curso (ec, ei1d, ei1n, ei4/5)

Rubrica do Docente:________________________________Nota:____________ Medição de espessuras: a) Tendo em conta a informação fornecida sobre os instrumentos de medição de

comprimento de que dispõe, preencha o quadro seguinte:

Instrumento leit (mm)x∆ Comprimento máximo (mm)

Régua 600

Craveira

Micrómetro

b) Quais são os comprimentos mínimos que consegue medir com cada um deles?

Régua: ______________________

Craveira: ______________________

Micrómetro: ______________________

c) Pretende-se medir o diâmetro de um fio de cabelo. Faça uma estimativa da ordem de

grandeza para o seu valor:

0.01 mm∼ , 0.1 mm∼ ou 1 mm∼ ?

Qual é o instrumento de medição que recomenda? Porquê?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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d) Pretende-se medir a espessura de uma folha de papel de fotocópia. Faça uma

estimativa da ordem de grandeza para o seu valor (cf. exercício 16 da 1ª série):

0.01 mm∼ , 0.1 mm∼ ou 1 mm∼ ?

Qual é o instrumento de medição que recomenda? Porquê?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Determinação de áreas e volumes e) Pretende-se determinar a área ( A ) e o volume (V ) da folha de papel, a partir das

determinações do seu comprimento ( c ), largura ( l ) e espessura ( e ).

Escreva as expressões para calcular A e V em função de c , l e e :

A =

V =

A partir dessas expressões, da fórmula de propagação de incertezas (Guia para

Análise de Dados e Cálculo de Incertezas, pág. 20), e da incerteza associada às

determinações de c , l e e , escreva as expressões para a incerteza associada a A e

V :

A∆ =

V∆ =

Cálculos:

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f) Pretende-se determinar a o volume (V ) de um objecto com a forma de um cubo, a

partir das determinações do seu lado ( l ). Escreva as expressões para calcular V e a

sua incerteza, em função de l e da sua incerteza:

V =

V∆ =

Cálculos:

g) Pretende-se determinar a o volume (V ) de um objecto com a forma de um cilindro, a

partir das determinações do seu diâmetro (e não raio!) ( d ) e altura ( h ). Escreva as

expressões para calcular V e a sua incerteza, em função de d e h e das suas

incertezas:

V =

V∆ =

Cálculos:

Determinação de densidades h) A partir da definição de densidade, em que m é a massa e V o volume do objecto,

mV

ρ =

obtenha a expressão que lhe permite calcular a incerteza da densidade, ρ∆ , como função dos valores experimentais de m e V :

ρ∆ =

Cálculos:

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i) Tendo em conta a informação fornecida sobre as balanças de que dispõe, preencha o

quadro seguinte:

Balança leit (g)m∆ Massa máxima (g)

CS-200

CS-2000

j) Faça uma estimativa da massa da folha de papel a partir dos seguintes dados:

- as dimensões das folhas A4 são: 297 mmc = , 210 mml = ;

- 21 m de papel de fotocópia tem uma massa de 80 g (é o que significa “papel de

80 g ”!);

_________ gm =

Cálculos:

k) Qual é a incerteza relativa com que pode medir a folha de papel com cada uma das

balanças?

CS-200: leit _________ %mm

∆ =

CS-2000: leit _________ %mm

∆ =

Cálculos:

l) Tendo ao seu dispor várias folhas de papel iguais, como é que pode diminuir a

incerteza na determinação da massa da folha de papel para cerca de 0.5% ? Justifique.

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Medição de intervalos de tempo m) Faça o “download” do programa “Cronómetro para PC” (stopwatch.exe) disponível

em: http://www.estig.ipbeja.pt/~eidf1/interno/praticas/stopwatch.exe e use-o para

fazer a determinação experimental do tempo de reacção de cada membro do grupo

(use a funcionalidade “reaction time”; faça 10 determinações para cada pessoa; pode

fazer “copy-paste/copiar-colar” dos tempos medidos para uma folha de cálculo).

1 (s)it 2 (s)it 3 (s)it 4 (s)it

1 leit (s)it∆ 2 leit (s)it∆ 3 leit (s)it∆ 4 leit (s)it∆

1 (s)t 2 (s)t 3 (s)t 4 (s)t

1 obs (s)t∆ 2 obs (s)t∆ 3 obs (s)t∆ 4 obs (s)t∆

( )1 exp st = ± 1

1

______ %t

t∆

=

( )2 exp st = ± 2

2

______ %t

t∆

=

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( )3 exp st = ± 3

3

______ %t

t∆

=

( )4 exp st = ± 4

4

______ %t

t∆

=

Determinação da aceleração gravítica

n) Mostre que se um objecto cai de uma altura h durante um intervalo de tempo quedat ,

então a aceleração gravítica verifica

2queda

2hgt

=

o) Obtenha a expressão que lhe permite calcular a incerteza da aceleração gravítica , g∆ ,

como função dos valores experimentais da altura h e do tempo quedat :

g∆ =

Cálculos:

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Registo e Análise de Dados Destaque estas folhas do protocolo e entregue-as (um exemplar por grupo) preenchidas e

agrafadas, juntamente com as folhas de preparação do trabalho, no fim da aula de

laboratório.

Rubrica Nº Curso (ec, ei1d, ei1n, ei4/5)

Rubrica do Docente:________________________________Nota:____________ Medição de espessuras: a) Determine o diâmetro de um fio de cabelo:

(mm)id zero (mm)ε (2)

zero (mm)ε∆

corrigido(mm)d

leit (mm)id∆

(mm)d

obs (mm)d∆

( ) ( ) ___exp mm 10 md = ± = ± × ______ %d

d∆ =

2 Erro no zero.

Observações sobre a parte (a):

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b) Faça agora a medição com a craveira:

(mm)id

leit (mm)id∆

(mm)d

obs (mm)d∆

( ) ( ) ___exp mm 10 md = ± = ± × ______ %d

d∆ =

O que conclui?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Observações sobre a parte (b):

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c) Determine a espessura de uma folha de papel de fotocópia:

(mm)ie zero (mm)ε

zero (mm)ε∆

corrigido(mm)d

leit (mm)ie∆

(mm)e

obs (mm)e∆

( ) ( ) ___exp mm 10 me = ± = ± ×

______ %ee

∆ =

Observações sobre a parte (c):

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Determinação de áreas e volumes d) Determine o comprimento e a largura da folha de papel de fotocópia. Meça em 3

pontos distintos (nas extremidades e ao centro):

(mm)ic (mm)il

leit (mm)ic∆ leit (mm)il∆

(mm)c (mm)l

obs (mm)c∆ obs (mm)l∆

( ) ( ) ___exp mm 10 mc = ± = ± × ______ %c

c∆ =

( ) ( ) ___exp mm 10 ml = ± = ± × ______ %l

l∆ =

e) Com os dados que dispõe, e as fórmulas que deduziu na preparação do trabalho,

determine os valores experimentais da área e do volume da folha de papel:

( ) ( )2 ___ 2exp mm 10 mA = ± = ± × ______ %A

A∆ =

( ) ( )3 ___ 3exp mm 10 mV = ± = ± × ______ %V

V∆ =

Observações sobre a parte (d):

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f) Compare as incertezas obtidas para a área e o volume com as incertezas das

dimensões lineares (comprimento, largura e espessura) que usou para os determinar e

comente:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

g) Determine o diâmetro e a altura do cilindro que foi fornecido:

(mm)id (mm)ih

leit (mm)id∆ leit (mm)ih∆

(mm)d (mm)h

obs (mm)d∆ obs (mm)h∆

( ) ( ) ___exp mm 10 md = ± = ± × ______ %d

d∆ =

( ) ( ) ___exp mm 10 mh = ± = ± × ______ %h

h∆ =

Observações sobre a parte (g):

Física I 2003/2004 Laboratório de Física

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h) Com os dados que dispõe, e as fórmulas que deduziu na preparação do trabalho,

determine o valor experimental do volume do cilindro:

( ) ( )3 ___ 3exp mm 10 mV = ± = ± × ______ %V

V∆ =

i) Compare a incerteza obtida para o volume com as incertezas das dimensões lineares

(diâmetro e altura) que usou para os determinar e comente:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

j) Determine o lado do cubo que lhe foi fornecido:

(mm)il leit (mm)il∆

(mm)l

obs (mm)l∆

zero (mm)ε

zero (mm)ε∆

corrigido(mm)l

Observações sobre a parte (j):

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- 21 -

( ) ( ) ___exp mm 10 ml = ± = ± × ______ %l

l∆ =

k) Com os dados que dispõe, e as fórmulas que deduziu na preparação do trabalho,

determine o valor experimental do volume do cubo:

( ) ( )3 ___ 3exp mm 10 mV = ± = ± × ______ %V

V∆ =

Determinação de densidades l) Determine a massa da folha de papel, do cilindro e do cubo, utilizando a balança mais

adequada em cada caso:

f (g)im ci (g)im cu (g)im

f leit (g)im∆ ci leit (g)im∆ cu leit (g)im∆

f (g)m ci (g)m cu (g)m

f obs (g)m∆ ci obs (g)m∆ cu obs (g)m∆

( ) ( ) ___f exp g 10 kgm = ± = ± × f

f

______ %mm

∆ =

( ) ( ) ___ci exp g 10 kgm = ± = ± × ci

ci

______ %mm

∆ =

( ) ( ) ___cu exp g 10 kgm = ± = ± × cu

cu

______ %mm

∆ =

Observações sobre a parte (l):

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- 22 -

m) A partir dos dados experimentais de que dispõe sobre a folha de papel, o cilindro e o

cubo, determine o valor da sua densidade, com a respectiva incerteza:

( ) ___ -3papel exp 10 kg mρ = ± × papel

papel

______ %ρ

ρ∆

=

( ) ___ -3x exp 10 kg mρ = ± × x

x

______ %ρρ

∆ =

( ) ___ -3y exp 10 kg mρ = ± × y

y

______ %ρ

ρ∆

=

n) Compare com valores tabelados (tem uma tabela de densidades na página da

disciplina) e comente os resultados:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

o) Relativamente à folha de papel determine o valor da massa por unidade de superfície:

-2 -2_______ kg m _______ g mmA

= =

Comente o resultado obtido:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Física I 2003/2004 Laboratório de Física

- 23 -

Medição de intervalos de tempo p) Escolha um ponto no laboratório a cerca de 2 m de altura em relação ao chão

(prateleira da bancada, cimo do armário...) de onde possa comodamente largar uma

esfera. Determine os valores experimentais da altura desse ponto e do tempo de queda

da esfera:

queda (s)it (m)ih

leit (m)ih∆

(m)h

obs (s)h∆

queda leit (s)it∆

queda (s)t

queda obs (s)t∆

( )queda exp st = ± queda

queda

______ %t

t∆

=

( )exp mh = ± ______ %hh

∆ =

Observações sobre a parte (p):

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- 24 -

Determinação da aceleração gravítica

q) Com os dados que dispõe, e as fórmulas que deduziu na preparação do trabalho,

determine o valor experimental da aceleração gravítica:

( ) -2exp msg = ± ______ %g

g∆ =

Cálculos:

Comente o resultado obtido: