7 Resultados de Medições Indiretas

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7 Resultados de Medições Indiretas. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial. b. ± u(b). ± u(c). c. Motivação. Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas?. A = b . c. u(A) = ?. - PowerPoint PPT Presentation

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77 Resultados de Medições Resultados de Medições

IndiretasIndiretas

Fundamentos da Metrologia Fundamentos da Metrologia Científica e IndustrialCientífica e Industrial

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52)

MotivaçãoMotivação

Como estimar a Como estimar a incerteza do valor de incerteza do valor de uma grandeza que é uma grandeza que é calculada a partir de calculada a partir de operações operações matemáticas com os matemáticas com os resultados de outras resultados de outras grandezas medidas?grandezas medidas?

b

c

A = b . c

u(A) = ?

± u(b)

± u(

c)

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7.17.1

Considerações PreliminaresConsiderações Preliminares

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52)

Medições indiretasMedições indiretas

O valor do mensurando é determinado a O valor do mensurando é determinado a partir de partir de operações matemáticasoperações matemáticas envolvendo resultados de envolvendo resultados de duas ou mais duas ou mais grandezas de entrada medidas grandezas de entrada medidas separadamenteseparadamente..

Exemplos:Exemplos: A área de um terreno calculada através do A área de um terreno calculada através do

produtoproduto entre sua entre sua larguralargura pelo seu pelo seu comprimentocomprimento..

Determinação da corrente elétrica Determinação da corrente elétrica dividindodividindo a queda de a queda de tensãotensão sobre um resistor pelo sobre um resistor pelo valor da sua valor da sua resistênciaresistência..

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52)

O Modelo MatemáticoO Modelo Matemático

É necessário um modelo matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando.entrada com o valor do mensurando.

Exemplos:Exemplos: A = l . hA = l . h V = d / tV = d / t

212

212

212 )()()( zzyyxxd

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52)

Dependência estatística & Dependência estatística & correlaçãocorrelação

Duas variáveis aleatórias são Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente consideradas estatisticamente independentesindependentes ou ou não correlacionadasnão correlacionadas se as variações aleatórias da primeira se as variações aleatórias da primeira nãonão guardam nenhum tipo de guardam nenhum tipo de sincronismosincronismo com as da segunda. com as da segunda.

Exemplo:Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da a temperatura da água do mar na praia da

Joaquina e a cotação do dólar.Joaquina e a cotação do dólar.

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52)

Dependência estatísticaDependência estatística

Duas variáveis aleatórias são consideradas Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente estatisticamente dependentesdependentes ou ou correlacionadascorrelacionadas se as variações aleatórias se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma da primeira ocorrem de forma sincronizadasincronizada com as variações aleatórias da segunda.com as variações aleatórias da segunda.

Exemplos:Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Os valores em Real da cotação do Euro e do

Dólar (na verdade quem mais muda é o Real).Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias A temperatura da água do mar em duas praias

próximas.próximas.

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52)

Correlação diretaCorrelação direta

Na correlação Na correlação diretadireta as variações as variações estão sincronizadas de tal forma que:estão sincronizadas de tal forma que: (a) o (a) o aumentoaumento aleatório do valor da aleatório do valor da

primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de um acompanhado de um aumentoaumento proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

(b) a (b) a reduçãoredução aleatória do valor da aleatória do valor da primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de uma acompanhado de uma reduçãoredução proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 9/52)

Correlação inversaCorrelação inversa

Na correlação Na correlação inversainversa as variações as variações estão sincronizadas de tal forma que:estão sincronizadas de tal forma que: (a) o (a) o aumentoaumento aleatório do valor da aleatório do valor da

primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de uma acompanhado de uma reduçãoredução proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

(b) a (b) a reduçãoredução aleatória do valor da aleatória do valor da primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de um acompanhado de um aumentoaumento proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52)

Analogia da Gangorra ...Analogia da Gangorra ...

AB

CAB

C

A e B possuem correlação direta

A e C possuem correlação inversa

B e C possuem correlação inversa

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52)

Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação

YX

YXYX

.

),cov(),(

sendo(X,Y) o coeficiente de correlação entre X e Ycov(X, Y) a covariância entre X e YX o desvio padrão da variável aleatória XY o desvio padrão da variável aleatória Y

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52)

Estimativa do Coeficiente de Estimativa do Coeficiente de CorrelaçãoCorrelação

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxxYXr

1

2

1

2

1

)(.)(

))((),(

sendor(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Yxi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y

yex valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de pontos das variáveis X e Y

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52)

Correlação direta e inversaCorrelação direta e inversa

Correlação direta perfeita:Correlação direta perfeita:

ρρ(X, Y) = +1,00(X, Y) = +1,00 Correlação inversa perfeita:Correlação inversa perfeita:

ρρ(X, Y) = -1,00(X, Y) = -1,00 Ausência total de correlaçãoAusência total de correlação

ρρ(X, Y) = 0,00(X, Y) = 0,00

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52)

Correlação entre múltiplas Correlação entre múltiplas variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias

AB

CD

AB

CD

AA BB CC DD

AA +1+1 +1+1 -1-1 -1-1

BB +1+1 +1+1 -1-1 -1-1

CC -1-1 -1-1 +1+1 +1+1

DD -1-1 -1-1 +1+1 +1+1

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52)

Nas medições indiretas há boas Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando:chances de correlação quando:

Há erros sistemáticos consideráveis e não Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas compensados nas medições de ambas grandezas;grandezas;

Uma mesma grandeza de influência age Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de fortemente em ambos processos de medição;medição;

Ambas grandezas são medidas pelo Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.calibração ter sido realizada.

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52)

Nas medições indiretas há boas Nas medições indiretas há boas chances de chances de nãonão haver correlação se: haver correlação se:

Ambos os sistemas de medição foram Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas;estão sendo aplicadas;

Distintos sistemas de medição são Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar presente que possa afetar significativamente ambos os processos de significativamente ambos os processos de medição.medição.

Page 17: 7  Resultados de Medições Indiretas

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7.27.2

Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Combinada em Medições não

Correlacionadas (MNC)Correlacionadas (MNC)

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52)

Adição e subtração de MNCAdição e subtração de MNC

O quadrado da incerteza combinada O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo:das incertezas padrão de cada termo:

2n

22

21

2n21 )][u(X...)][u(X)][u(X)]X X [u(X

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52)

Exemplo: Adição de MNCExemplo: Adição de MNC

11 22

mT = m1 + m2

m1 = (1000 ± 6) g

m2 = (2000 ± 8) g

[u(mT)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2

[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25

u(mT) = 5 g

MNC

mT = (3000 ± 10) gu(m1) = 6/2,0 = 3 g

u(m2) = 8/2,0 = 4 g

U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52)

Exemplo: Subtração de MNCExemplo: Subtração de MNC

mC = m2 – m1

m1 = (1000 ± 6) g

m2 = (2000 ± 8) g

[u(mc)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2

[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25

u(mT) = 5 g

MNC

mC = (1000 ± 10) g

11 22

mC + m1 = m2

U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g

Page 21: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52)

Multiplicação de MNCMultiplicação de MNC

Na multiplicação de MNC o quadrado da Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator:padrão relativas de cada fator:

2

2

2

2

1

1

2

21

21

X

)u(X

X

)u(X

.XX

).Xu(X

)(Xu)(Xu).X(Xu 22R1

2R21

2R

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52)

Divisão de MNCDivisão de MNC

Na divisão de MNC o quadrado da Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo:padrão relativas do divisor e do dividendo:

2

2

2

2

1

1

2

21

21

X

)u(X

X

)u(X

/XX

)/Xu(X

)(Xu)(Xu)/X(Xu 22R1

2R21

2R

Page 23: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52)

Generalizando: Multiplicação Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNCe Divisão de MNC

Na multiplicação e/ou divisão de qualquer Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por:cada termo por:

)(Xu)(Xu)(Xu)X.X(Xu n2R2

2R1

2R

1n

112R 21

Page 24: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52)

Exemplo: Divisão de MNCExemplo: Divisão de MNC

V

R I

Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V.

R

VI u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω

u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

Page 25: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52)

GEI - Divisão - ExemploGEI - Divisão - Exemplo

V

R I

A0,300500

150

R

VI

V = (150,0 ± 2*1,5) V

R = (500,0 ± 2*0,5)

222

R

u(R)

V

u(V)

I

u(I)

222

500

0,5

150

1,5

0,300

u(I)

000001,00001,00,300

u(I)2

u(I) = 0,0030 A

I = (300 ±6) mA

Page 26: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52)

Caso Geral de MNCCaso Geral de MNC

),,,( 21 nXXXfG

22

22

2

11

2 )()()()(

n

n

XuX

fXu

X

fXu

X

f= Gu

iX

f

= coeficiente de sensibilidade

Podem ser calculados analitica ou numericamente

Page 27: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52)

Na determinação da massa específica Na determinação da massa específica ((ρρ) de um material usou-se um processo ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:cada grandeza de entrada:

Exemplo: Caso Geral de MNCExemplo: Caso Geral de MNC

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52)

Medições RealizadasMedições Realizadas

D

h

Para a massa: Para a massa: m = (1580 m = (1580 ±± 22) g 22) gννm = 14m = 14

Para o diâmetro:Para o diâmetro:D = (25,423 D = (25,423 ±± 0,006) 0,006)

mmmmννD = ∞D = ∞

Para a altura:Para a altura:h = (77,35 h = (77,35 ±± 0,11) mm 0,11) mm

ννh = 14h = 14

Page 29: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52)

Massa EspecíficaMassa Específica

D

h

),,( hDmf =

Vol

m =

hD

4m =

2

Page 30: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 30/52)

Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas.

A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student:

u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 gu(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mmu(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm

Page 31: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 31/52)

Cálculo da incerteza combinadaCálculo da incerteza combinada

222

2 )()()()(

hu

h

fDu

D

fmu

m

f= u

2

22

2

3

2

22 )(

4)(

8)(

4)(

hu

hD

mDu

hD

mmu

hD= u

2222)()(

2)()(

h

hu

D

Du

m

mu=

u

Page 32: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 32/52)

Cálculo da incerteza combinadaCálculo da incerteza combinada

2222

35,77

050,0

423,25

0030,02

1580

10)(

=

u

88

2

2 10.2,405310.8,4157,58,4005)(

)(

=

uu R

2222)()(

2)()(

h

hu

D

Du

m

mu=

u

Page 33: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 33/52)

Cálculo da incerteza combinadaCálculo da incerteza combinada

mmg/ 0,040239 .77,35 )423(25. 1413

1580 4

.h D.

.m = 3

22

,59,

.4

38 g/mm0.000256210.2,4053.040239,0)(.)( Ruu

Page 34: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 34/52)

Cálculo do número de graus de Cálculo do número de graus de liberdade efetivosliberdade efetivos

h

R

D

R

m

R

ef

R huDumuu

)()()()( 4444

1435,77

050,0

423,25

0030,0

141580

10040239,0

0002562,04444

ef

143,14 ef 20,2t

Page 35: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 35/52)

Valor da massa específica:Valor da massa específica:

U() = 2,20 . u()

U() = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3

= (0,04024 0,00056) g/mm3

Page 36: 7  Resultados de Medições Indiretas

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7.37.3

Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Combinada de Medições

Correlacionadas (MC)Correlacionadas (MC)

Page 37: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 37/52)

Adição de MCAdição de MC

Com correlação direta perfeita:Com correlação direta perfeita:

)u(x)u(x) xu(x 2121 1 2

Com correlação inversa perfeita:Com correlação inversa perfeita:

)u(x)u(x) xu(x 2121 1

2

Page 38: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 38/52)

Adição de MCAdição de MC

Soma de múltiplos termos:Soma de múltiplos termos:A C

B D

Z = A + B + C + D

E = A + C

F = B + D

Z = E + F

u(E) = u(A) + u(C)

u(F) = u(B) + u(D)

u(Z) = |u(E) – u(F)|

u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)|

E

F

Page 39: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 39/52)

Subtração de MCSubtração de MC

Com correlação direta perfeita:Com correlação direta perfeita:

)u(x)u(x) xu(x 2121

1 2

Com correlação inversa perfeita:Com correlação inversa perfeita:

)u(x)u(x) xu(x 2121

1

2

Page 40: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 40/52)

Subtração de MCSubtração de MC

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A C

B D

Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D)

G = A - C

H = B + D

Z = G - H

u(G) = |u(A) - u(C)|

u(H) = u(B) + u(D)

u(Z) = u(G) + u(H)

u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D)

G

H

Page 41: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 41/52)

Multiplicação de MCMultiplicação de MC

Com correlação direta perfeita:Com correlação direta perfeita:

2

2

1

1

21

21

x

)u(x

x

)u(x

x.x

) x.u(x 1 2

Com correlação inversa perfeita:Com correlação inversa perfeita:

)(xu)(xu) x.(xu 2R1R21R 1

2

)(xu)(xu) x.(xu 2R1R21R

Page 42: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 42/52)

Multiplicação de MCMultiplicação de MC

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A C

B D

Z = A . B . C . D

K = A . C

L = B . D

Z = K . L

uR(K) = uR(A) + uR(C)

uR(F) = uR(B) + uR(D)

uR(Z) = |uR(K) – uR(L)|

uR(Z) = |uR(A) – uR(B) + uR(C) – uR(D)|

K

L

Page 43: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 43/52)

Divisão de MCDivisão de MC

Com correlação direta perfeita:Com correlação direta perfeita:

)(xu)(xu)x/(xu 2R1R21R

1 2

Com correlação inversa perfeita:Com correlação inversa perfeita:

2

2

1

1

21

21

x

)u(x

x

)u(x

x/x

)x/u(x

1

2

)(xu)(xu)x/(xu 2R1R21R

Page 44: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 44/52)

Divisão de MCDivisão de MC

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A C

B D

Z = A . B / (C . D) = (A/C) . (B/D)

M = A/C

N = B/D

Z = M . N

uR(M) = |uR(A) - uR(C)|

uR(N) = |uR(B) - uR(D)|

uR(Z) = |uR(M) – uR(N)|

uR(Z) = ||uR(A) – uR(C)| - |uR(B) - uR(D)||

M

N

Page 45: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 45/52)

Caso Geral de MCCaso Geral de MCIncerteza máxima possívelIncerteza máxima possível

),...,,( 21 nXXXfG

iX

f

= coeficiente de sensibilidade

Pode ser calculado analitica ou numericamente

)(...)()()( 22

11

nn

XuX

fXu

X

fXu

X

f= Gu

Page 46: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 46/52)

Caso Geral de MCCaso Geral de MCIncerteza máxima possívelIncerteza máxima possível

BABAfG ),( u(A) = 3 e u(B) = 4

(a) Não correlacionadas:

52543)()()( 2222 BuAuGu

(b) Correlação direta:u(G) = u(A) + u(B) = 3 + 4 = 7

(c) Correlação inversa:u(G) = |u(A) - u(B)| = |3 – 4| = 1

743)(.1)(.1)()()(

BuAuBuB

fAu

A

fGu

(d) Máxima possível:

Page 47: 7  Resultados de Medições Indiretas

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7.47.4

Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza Combinada Quando o Combinada Quando o

Coeficiente de Correlação é Coeficiente de Correlação é ConhecidoConhecido

Page 48: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 48/52)

Caso GeralCaso Geral

),...,,( 21 nXXXfG

iX

f

= coeficiente de sensibilidade

Pode ser calculado analitica ou numericamente

n

i

n

i

n

ijjiji

jii

i

XXrXuXuX

f

X

fXu

X

fGu

1

1

1 1

2

2

2 ),().().(2)()(

jiji XeXentrecorrelaçãodeecoeficientXXr ),(

Page 49: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 49/52)

Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A B

CD

G = A + B + C + D

rr AA BB CC DD

AA +1+1 -1-1 00

BB +1+1 -1-1 00

CC -1-1 -1-1 00

DD 00 00 00

Page 50: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 50/52)

Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

),().().(2),().().(2),().().(2

),().().(2),().().(2),().().(2

)()()()()( 22

22

22

22

2

DCrDuCuD

f

C

fDBrDuBu

D

f

B

fCBrCuBu

C

f

B

f

DArDuAuD

f

A

fCArCuAu

C

f

A

fBArBuAu

B

f

A

f

DuD

fCu

C

fBu

B

fAu

A

fGu

Page 51: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 51/52)

Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

0).().(20).().(2)1).(().(2

0).().(2)1).(().(21).().(2

)()()()()( 22222

DuCuDuBuCuBu

DuAuCuAuBuAu

DuCuBuAuGu

)().(2)().(2)().(2)()()()()( 22222 CuBuCuAuBuAuDuCuBuAuGu

)()()()()( 222 DuCuBuAuGu

Page 52: 7  Resultados de Medições Indiretas

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 52/52)

Correlação parcialCorrelação parcial

)(2),( sinhhfG

com r(h, α) = -0,5

),().().(2)()()( 22

2

2

2

hruhuf

h

fu

fhu

h

fGu

)5,0).(().())cos(2))((2(2)()cos(2)()(2)( 22222 uhuhsinuhhusinGu

)().(.)cos()sin()(.)(cos)(.)(sin4)( 222222 uhuhuhhuGu