Mecanismos_01

MECANISMOS CAPÍTULO 1

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1. INTRODUÇÃO

1.1 Introdução ao Estudo de Mecanismos. O estudo de mecanismos é muito importante. Com o enorme avanço realizado no projeto de instrumentos, controles automáticos e equipamentos automatizados, o estudo de mecanismos tomou novo significado. Mecanismo pode ser definido como a parte de projeto de máquinas relacionadas com o projeto cinemático de sistemas articulados, cames, engrenagens e trens de engrenagens. O projeto cinemático se baseia nos requisitos relativos ao movimento, diferindo do projeto baseado em requisitos de resistência. Será apresentado um exemplo de cada mecanismo acima mencionado, a fim de proporcionar uma descrição compreensiva dos componentes a serem estudados.

A Fig. 1.1 representa o esboço de um mecanismo conhecido por mecanismo cursor-manivela. A peça 1 é o suporte e é estacionária, a peça 2 é a manivela, a peça 3 é a biela e a peça 4 o cursor. Uma aplicação comum deste mecanismo aparece no motor de combustão interna, onde a peça 4 é o pistão (Fig. 1.2a). Essa figura também demonstra quão difícil pode ser para discernir o dispositivo cinemático básico quando se olha para uma fotografia ou um desenho de uma máquina completa. A figura 1.2b mostra o diagrama cinemático do mecanismo cursor-manivela, correspondente ao conjunto manivela-biela-pistão do lado esquerdo da fotografia 1.2a. O diagrama cinemático facilita o trabalho e permite ao projetista separar as considerações cinemáticas do problema maior referente ao projeto da máquina.

Figura 1.1 Mecanismo cursor-manivela

Figura 1.2a Motor V-8 onde se vê o mecanismo biela-manivela

Figura 1.2b Diagrama cinemático do mecanismo do motor

A figura 1.3 mostra o esboço de uma came com seguidor. A came gira a uma velocidade angular constante e o seguidor se movimenta para cima e para baixo, em movimento alternativo. A elevação do seguidor é comandada pelo excêntrico e o retorno por ação da gravidade ou de uma mola. As cames são usadas em muitas máquinas e um dos empregos mais comuns aparece


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no motor de automóvel, onde são empregadas duas cames em cada cilindro para acionar as válvulas de admissão e de escapamento, também mostradas na Fig. 1.2a. Uma came tridimensional é apresentada na Fig. 1.4. Nesse mecanismo, o movimento do seguidor depende não somente da rotação da came, mas, também de seu movimento axial.

Figura 1.3 Came bidimensional Figura 1.4 Came tridimensional

As engrenagens são usadas em muitas aplicações para transmitir movimento entre eixos com uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 1.5 mostra algumas engrenagens comumente empregadas.

Figura 1.6

Figura 1.5

Em dispositivos tais como instrumentos e controles automáticos, a obtenção do movimento correto é de suma importância. A potência transmitida pelos elementos pode ser muito pequena, chegando a ser desprezível, o que permite que os componentes sejam dimensionados inicialmente apenas por seu aspecto cinemático, passando a ter importância secundária o problema da resistência das peças.

Há outras máquinas, entretanto, onde a análise cinemática é somente uma fase do projeto. Depois que for determinado como as diversas peças da máquina funcionarão para a realização do trabalho desejado, as forças que atuam nessas peças devem ser analisadas, permitindo em seguida o dimensionamento de seus elementos. Uma máquina operatriz é um bom exemplo: sua resistência e sua rigidez são mais problemáticas do que os movimentos desejados.

É importante, nesta altura, definir os termos empregados no estudo de mecanismos, o que será feito nos parágrafos seguintes.


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1.2 Mecanismo, Máquina. No estudo de mecanismos esses termos serão empregados repetidamente e são definidos da seguinte maneira:

Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo compostos e ligados que se movem entre si com movimento relativo definido.

Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna mostrado esquematicamente na Fig. 1.1.

Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de uma fonte de potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor de combustão interna.

1.3 Movimento. Tratando-se de estudo de mecanismos, é necessário definir os vários tipos de movimento produzidos por estes mecanismos.

Movimento plano. TRANSLAÇÃO. Um corpo tem movimento de translação quando uma reta, definida por dois pontos quaisquer desse corpo, fica constantemente paralela a si mesma.

1. Translação retilínea. Todos os pontos do corpo têm como trajetórias retas paralelas. Quando o corpo se move desta forma, de um lado para o outro, diz-se que tem movimento alternativo. Isto está ilustrado na Fig. 1.7, onde a peça 4 desliza alternadamente entre os limites B' e B".

Figura 1.7

2. Translação curvilínea. As trajetórias dos pontos são curvas idênticas, paralelas a um plano fixo.

A Fig. 1.8 mostra o mecanismo que era usado na ligação das rodas motrizes de uma locomotiva a vapor. Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea e todos os seus pontos determinam trajetórias cicIoidais durante o movimento de rolamento das rodas 2 e 4 sobre o trilho 1. A peça 5 se move em translação retilínea.

Figura 1.8

ROTAÇÃO. Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a uma distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento, diz-se que esse corpo tem movimento de rotação. Se o corpo gira de um lado para o outro dentro de um determinado ângulo, o movimento é de oscilação. Isto é mostrado na Fig. 1.9 onde a manivela 2 gira e a barra 4 oscila entre as posições B' e B".

Figura 1.9

ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Muitos corpos têm movimento que é uma combinação de rotação e translação. A biela 3 na Fig. 1.7, as rodas 2 e 4 na Fig. 1.8 e a barra 3 na Fig. 1.9 são exemplos deste tipo de movimento.


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Movimento helicoidal. Quando um corpo rígido se move de modo que seus pontos tenham movimento de rotação em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo possua uma translação paralela a esse eixo, diz-se que o corpo tem movimento helicoidal. Um exemplo deste movimento é o de uma porca sendo atarraxada a um parafuso.

Movimento esférico. Quando um corpo rígido se move de modo que todos os seus pontos girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante desse ponto, diz-se que o corpo tem movimento esférico.

Movimento espacial. Um corpo se movendo com rotação sobre três eixos não paralelos e translação em três direções independentes é dito como estando em movimento espacial geral.

1.4 Ciclo, Período e Fase do Movimento. Quando as peças de um mecanismo, partindo de uma posição inicial, tiverem passado por todas as posições intermediárias possíveis e retornarem à mesma posição inicial, essas peças terão completado um ciclo do movimento. O tempo necessário para completar um ciclo é chamado período. As posições relativas de um mecanismo em um determinado instante, durante um ciclo, constituem uma fase.

1.5 Pares de Elementos. São as formas geométricas pelas quais dois membros de um mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes dois membros seja coerente. Se o contato entre os dois membros for uma superfície tal como um eixo e um mancal, essa articulação é denominada de par inferior. Se o contato for realizado segundo um ponto ou ao longo de uma linha tal como em um rolamento de esferas ou entre dois dentes de engrenagens em contato, essa articulação é chamada de par superior. Um par que permite somente rotação relativa é chamado de par rotativo e o que permite somente deslizamento é um par deslizante. Um par rotativo pode ser inferior ou superior dependendo da articulação empregada, se um eixo e um mancal ou rolamento de esferas. Um exemplo de par deslizante inferior é o existente entre o pistão e as paredes do cilindro de um motor.

1.6 Peça, Cadeia Cinemática. Uma peça é um corpo rígido que tem dois ou mais pares de elementos pelos quais pode ser ligada a outros corpos para transmitir força ou movimento. Geralmente uma peça é um elemento rígido que pode ser ligada em cada extremidade a dois ou mais outros elementos. Isto pode ser estendido de modo a incluir três, quatro ou mais articulações. As Figuras 1.10a, b e c mostram esses arranjos. Talvez o caso extremo de uma peça com articulações múltiplas seja a biela mestra de um motor radial de nove cilindros apresentada na Fig. 1.10d.

Figura 1.10

Um exemplo bem conhecido de uma peça com três articulações é a alavanca mostrada nas Figuras 1.11a e b. Esta peça é usada geralmente para redução de movimento e pode ser dimensionada para uma determinada relação de deslocamentos com um mínimo de distorção desses movimentos.

Figura 1.11


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Quando um número de peças for ligado através de pares, o sistema resultante é chamado de cadeia cinemática. Se as peças forem ligadas de tal maneira que não seja possível haver movimento, esse sistema será denominado de estrutura. Obtém-se uma cadeia restrita quando as peças forem ligadas de modo que o movimento relativo entre as peças seja sempre o mesmo, independendo do número de ciclos realizados. É possível também a ligação de peças de modo a resultar uma cadeia livre, o que significa que o tipo de movimento irá variar dependendo do atrito existente nas articulações. Se fixarmos uma das peças de uma cadeia restrita, o resultado será um mecanismo.

1.7 Inversão. Em um mecanismo, se for liberada uma peça que originalmente era fixa e a outra peça passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido. A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças, entretanto modifica seus movimentos absolutos.

1.8 Transmissão de Movimento. No estudo de mecanismos é necessário investigar o método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) contato direto entre dois corpos, tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas engrenagens, (b) através de um elemento rígido intermediário ou uma biela e (c) por uma ligação flexível, como uma correia ou uma corrente.

Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos em contato. A Fig. 1.12 mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P, considerado como um ponto da peça 2, é representada pelo vetor PM2. A linha NN' é a normal às duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de ação. A tangente comum é representada por TT’. O vetor PM2 é decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o seguidor são corpos rígidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual à componente normal da velocidade de P, considerado como pertencente à peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente à peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio O3P, e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Fig. 1.12. A partir desse vetor, pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V = Rω, onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R.

Figura 1.12

Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar a velocidade de deslizamento. Da figura pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Essa diferença é dada pela distância t2t3 porque a componente Pt3 tem direção contrária à de Pt2. Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão, portanto, um movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros.


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Para o mecanismo da Fig. 1.12, o movimento entre a came e o seguidor será uma combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá ocorrer quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Entretanto, o contato nesse ponto poderá não ser possível devido às proporções do mecanismo. Também poderá não ocorrer deslizamento puro entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu curso, deverá entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra peça.

É possível determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum cruzando-a nos pontos e e f, respectivamente. As seguintes relações são obtidas da Fig. 1.12:

ω2 = PM2 / O2P e ω3 = PM3 / O3P

Logo,

ω3 / ω2 = ( PM3 / O3P ) x ( O2P/ PM2 )

Como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes,

PM2 / O2P = Pn / O2e

Também os triângulos PM3n e O3Pf são semelhantes; portanto,

PM3 / O3P = Pn / O3f

Assim,

ω3 / ω2 = ( Pn / O3f ) x ( O2e / Pn ) = O2e / O3f

Figura 1.13

Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos O2Ke e O3Kf são semelhantes também e, portanto,

ω3 / ω2 = O2e / O3f = O2K / O3K (1.1)

Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por sua intersecção com a normal comum. Conclui-se então que, para haver uma razão de velocidades angulares constante, a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo.

Figura 1.14

É possível também a obtenção das relações acima para a transmissão de movimento através de uma peça intermediária ou biela e para a transmissão de movimento por elemento flexível. As Figuras 1.13 e 1.14 mostram os dois casos, respectivamente, onde a velocidade é dada por:

ω4 / ω2 = O2K / O4K (1.2)

Na Fig. 1.14 a razão ω4/ω2 independe da distância entre centros O2O4.


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1.9 Mobilidade ou número de graus de liberdade. Mobilidade é um dos conceitos mais fundamentais para o estudo da cinemática. Por definição, a mobilidade de um mecanismo é o número de graus de liberdade que possui. Uma definição equivalente para mobilidade é o número mínimo de parâmetros dependentes requeridos para especificar a posição de qualquer peça em um mecanismo.

Figura 1.15

Uma peça simples limitada a se mover com movimento plano, como mostrado na Fig. 1.15a, possui três graus de liberdade. As coordenadas x e y do ponto P ao longo do ângulo θ formam um conjunto de três parâmetros independentes descrevendo sua posição. Duas peças desconectadas com movimento plano são mostradas na Fig. 1.15b. Desde que cada peça possui três graus de liberdade, essas duas peças possuem um total de seis graus de liberdade. Se as duas peças estão conectadas por um pino como uma junta de rotação, conforme mostrado na Fig. 1.15c, o sistema de duas peças possui quatro graus de liberdade. Quatro parâmetros independentes descrevendo a posição das duas peças poderiam, por exemplo, ser as coordenadas x e y do ponto P1, o ângulo θ1, e o ângulo θ2. Existem muitos outros parâmetros que poderiam ser utilizados para especificar a posição dessas peças, mas apenas quatro podem ser independentes. Desde que os valores dos parâmetros independentes sejam especificados, a posição de cada ponto em ambas as peças pode ser determinada.

No exemplo simples descrito acima, conectar duas peças com uma junta de rotação tem o efeito de remover dois graus de liberdade do sistema. Por outro lado, uma junta de rotação permite um grau de liberdade (rotação pura) entre duas peças conectadas. Usando esse tipo de lógica, é possível desenvolver uma equação geral que auxiliará a predizer a mobilidade de qualquer mecanismo plano.

Por exemplo, um mecanismo plano possuindo n peças deverá ser projetado. Antes de se fazer qualquer conexão, o sistema de n peças deverá ter o total de 3n graus de liberdade. O reconhecimento de que pelo menos uma peça de qualquer mecanismo deverá ser sempre considerada como fixada a uma base remove três graus de liberdade. Isso deixa o sistema com um total de 3n – 3, ou 3(n – 1), graus de liberdade. Cada junta com um grau de liberdade remove dois graus de liberdade do sistema. Similarmente, cada junta de dois graus de liberdade remove um grau de liberdade do sistema. A mobilidade total do sistema é dada pela equação de Grubler

M = 3(n – 1) – 2f1 – f2 (1.3)


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Onde M = mobilidade ou número de graus de liberdade n = número total de peças incluindo a base f1 = número de juntas com um grau de liberdade f2 = número de juntas com dois graus de liberdade

Deve ser tomado cuidado ao se utilizar essa equação porque existem algumas geometrias especiais de mecanismos onde ela não funciona. Embora não exista uma regra para predizer onde a equação de mobilidade fornecerá um resultado incorreto, casos especiais freqüentemente ocorrem quando muitas peças do mecanismo são paralelas. Por exemplo, ao ser aplicada a equação de Grubler no mecanismo da Fig. 1.16 o resultado será

M = 3(5 – 1) – 2(6) = 0

Figura 1.16

Entretanto, esse dispositivo pode se mover como resultado de uma geometria especial e possui três graus de liberdade. Deve também ser notado que uma junta conectando k peças em um único ponto deve ser contada como k – 1 juntas. Por exemplo, uma junta de rotação conectando três peças em um único ponto é contada como duas juntas.

Apenas quatro tipos de juntas são normalmente encontrados em mecanismos planos. Essas são as juntas de rotação, prismáticas, e de contato de rolamento (cada uma com um grau de liberdade), e as juntas de came ou engrenagens (com dois graus de liberdade). Essas juntas são mostradas na Fig. 1.17. As seguintes definições são aplicadas para a mobilidade de um dispositivo:

M ≥ 1: o dispositivo é um mecanismo de M graus de liberdade M = 0: o dispositivo é uma estrutura estaticamente determinada M ≤ –1: o dispositivo é uma estrutura estaticamente indeterminada

Tipo de Junta

(Símbolo)

Forma

Física

Representação

Esquemática

Graus de

Liberdade

Rotativa

(R)

1

(rotação pura)

Prismática

(P)

1

(escorregamento puro)

Came ou Engrenagem

2

(rolamento e escorregamento)

Contato de Rolamento

1

(rolamento sem escorregamento)

Figura 1.17


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Exemplo 1.1. Determine a mobilidade do mecanismo de quatro barras da Fig. 1.18.

Figura 1.18

São 4 peças e quatro juntas de rotação, cada qual com um grau de liberdade. A mobilidade é dada por

M = 3(4 – 1) – 2(4)

M = 1

Portanto esse é um mecanismo de um grau de liberdade.

Exemplo 1.2. Determine a mobilidade do dispositivo da Fig. 1.19.

Figura 1.19

São quatro peças conectadas por cinco juntas de um grau de liberdade (a junta que conecta três peças conta como duas). A mobilidade é dada por

M = 3(4 – 1) – 2(5)

M = – 1

Essa é uma estrutura estaticamente indeterminada.

Exemplo 1.3. Determine a mobilidade do dispositivo da Fig. 1.20.

Figura 1.20

Existem três ligações, duas juntas de rotação com um grau de liberdade e uma junta tipo par superior com dois graus de liberdade. Na junta tipo par superior, as duas peças de contato podem transladar ao longo da linha de tangência comum ou rotacionar sobre o ponto de contato, resultando em dois graus de liberdade. A mobilidade é dada por

M = 3(3 – 1) – 2(2) – 1(1)

M = 1

Esse é um mecanismo de um grau de liberdade.


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Problemas 1.1 Na Fig. 1.21, se ω2 = 20 rad/min, calcular a velocidade angular da peça 3 e os ângulos

máximo e mínimo entre o seguidor e a horizontal para os dois casos mostrados.

Figura 1.21

1.2 Determinar a velocidade de escorregamento entre as peças 2 e 3 do Problema 1.1.

1.3 Se ω2 = 20 rad/min para o mecanismo apresentado na Fig. 1.21, determinar as velocidades angulares da peça 3 para uma volta completa da came empregando acréscimos de 60° a partir da posição em que ω3 = 0. Calcular ω3 em função do ângulo de rotação θ da came.

1.4 Para mecanismo mostrado na Fig. 1.22, se ω2 = 1800 rad/s, calcular a velocidade angular da peça 3 e os ângulos mínimo e máximo do seguidor em relação a horizontal.

Figura 1.22


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1.5 Determinar ω4 e VB para o mecanismo mostrado na Fig. 1.23.

O2A = 100 mm

O2B = 130 mm

ω2 = 100 rad/s ah

Figura 1.23

1.6 Determinar ω4 e VB para o mecanismo mostrado na Fig. 1.24.

O2O4 = 4 pol

O2A = 2,828 pol

AB = 2 pol

O4B = 2 pol

ω2 = 14,14 rad/s ah

Figura 1.24

1.7 Provar que, para o mecanismo mostrado na Fig. 1.13, as velocidades angulares das peças conduzida e condutora são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por sua interseção com a linha de transmissão.

1.8 Provar que, para as polias e correia mostradas na Fig. 1.14, as velocidades angulares das polias são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por sua interseção com a linha de transmissão.

1.9 No mecanismo da Fig. 1.13, a manivela 2 tem 19 mm de comprimento e gira a uma velocidade angular constante de 15 rad/s. A barra 3 tem 38 mm de comprimento e a barra 4 tem 25 mm de comprimento. A distância entre os centros O2 e O4 é de 51 mm. Determinar a velocidade angular da peça 4 quando a manivela 2 tiver girado de 45° no sentido anti-horário, a partir da horizontal. Dizer se ω4 é constante ou não.

1.10 Uma polia de 100 mm de diâmetro aciona outra de 200 mm de diâmetro através de uma correia. Se a velocidade angular da polia condutora é de 65 rad/s e a distância entre os centros das polias é de 400 mm, determinar a velocidade angular da polia conduzida. Sua velocidade será constante?

1.11 Determinar a mobilidade (número de graus de liberdade) dos dispositivos mostrados nas Figuras 1.25 a 1.32.


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Figura 1.25

Figura 1.27

Figura 1.26

Figura 1.28 Figura 1.29

Figura 1.30

Figura 1.31 Figura 1.32

RESPOSTAS DE ALGUNS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1.1 (a) ω3 = 2,86 rad/min; (b) θmax = 30°, θmin = 9,6° 1.11 Fig. 1.25, M = 0; Fig. 1.26, M = 2; Fig. 1.27, M = -2; Fig. 1.28, M = 2; Fig. 1.29, M = 1; Fig. 1.30, M =3; Fig. 1.31, M = 1; Fig. 1.32, M=1.

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