PME 2100 Mecnica A Prova de Recuperao - Durao 100 minutos 5 de fevereiro de 2010 - GABARITO

1 (3 pontos) Considere uma barra rgida, de comprimento 3a e peso desprezvel, articulada sem atrito em A. Sobre esta barra apia-se um disco, de centro C, raio r e peso P, que est articulado sem atrito em B. Sabendo que o coeficiente de atrito entre a barra e o disco = 0,5, determine em funo de P os valores mximo e mnimo de Q compatveis com o equilbrio do sistema.

Soluo: Caso 1 Diagramas de corpo livre (0,5 pontos),

Equao de equilbrio, momento, Disco 00 =+= RPRFRNM atB

Equao de equilbrio, momento, Barra QNaNaQM A 3030 ===

(0,5 pontos) No limite:

23

2Q

FNFNF atatat === (0,5 pontos)

Substituindo: 00 =+= RPRFRNM atB

0290

233 ==+ PQRPRQRQ

92PQ =

(0,5 pontos)

Caso 2 Diagramas de corpo livre

Equao de equilbrio, momento, Disco 00 == RPRFRNM atB

Equao de equilbrio, momento, Barra QNaNaQM A 3030 ===

No limite:

23

2Q

FNFNF atatat ===

Substituindo: 00 == RPRFRNM atB

02

302

33 == PQQRPRQRQ

32PQ =

(1 ponto)

Portanto, para o equilbrio:

32

92 PQP

2 (3 pontos) - Na figura os discos concntricos so solidrios. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante rv . No h escorregamento em D. Um fio, flexvel e inextensvel, enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2rv como mostrado na figura. Adotando como referencial mvel a barra AB e utilizando os versores ( , , )r r ri j k determine: a) as velocidades relativa e absoluta do ponto D; b) o vetor de rotao absoluta ( r ) dos discos; c) o CIR (Centro Instantneo de Rotao) dos discos; d) as aceleraes relativa, de arrastamento, de Coriolis (complementar) e absoluta do ponto D do disco.

3rr

C

DA Bv

2vi

j E

Soluo: a) Velocidade relativa do ponto D: 0

,

rr=rDv .

Velocidade absoluta do ponto D: ivvDrr

= (0,5 pontos) b) A velocidade de E a mesma velocidade do ponto do disco em contato com o fio. Usando a

expresso de Poisson:

( ) kr

v

r

vjrkvivivv DErrrrrsrr

43

43422 ==+== (0,5 pontos)

c) A velocidade do CIR nula. Usando a expresso de Poisson:

( ) ( ) jCIRDkr

vivCIRDvv CIRDrrrrrr

=+=43

.

A soluo da equao vetorial resulta ( ) jrDCIR s34

= . (0,5 pontos)

d) Acelerao relativa do ponto D jra rDrr 2

,3= . (0,5 pontos)

Acelerao de arrastamento do ponto D 0,

rr=aDa . (0,5 pontos)

Acelerao complementar do ponto D 0,

sr=cDa . (0,5 pontos)

Acelerao absoluta do ponto D jraaaa cDaDrDDrrrrr 2

,,,3=++=

3 (4 pontos) - Um binrio de momento M aplicado a um cilindro de raio R e massa m. O coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfcie e acelerao da gravidade g. Considerando que o cilindro parte do repouso, determine a acelerao angular do cilindro & para os seguintes casos: a) O cilindro rola e escorrega. b) O cilindro rola sem escorregar. c) Considerando o caso do cilindro que rola sem escorregar, e sabendo que o momento M constante, calcule a energia cintica do cilindro e o trabalho do momento M, decorridos t segundos aps a partida, lembrando que o sistema parte do repouso.

Dado o momento de inrcia do cilindro com relao a um eixo de direo normal ao plano da figura e que passa por pelo seu baricentro G:

2

2mRJG =

.

Soluo:

Sendo F a fora de atrito e N a reao normal da superfcie. a) Rola e escorrega - Teorema do Momento Angular com plo em G

( )2

2mR

mgRMmgNFFRMJ

MH

G

ExtGG

=

==

=

=

&

&

r&r

(1,5 pontos) b) Rola sem escorregar Teorema do Momento Angular com plo em C

2

2

32

23

0

mRM

MmR

MH

v

ExtCC

c

=

=

=

=

&

&

r&r

rr

(1,0 pontos)

c) Do item anterior: 23

2mRM

=&

Como M constante, e o cilindro parte do repouso: ( ) t

mRM

t 232

= (0,5 pontos) Energia cintica:

( ) ( ) ( ) 2222

2

22

22

2222

62

32

23

21

23

21

221

21

21

21

mRtM

tEtmRMmRmRmRRmJmvtE GG =

==+=+= (0,5

pontos) Trabalho do momento M: como apenas o momento realiza trabalho e o sistema parte do repouso, pelo TEC:

( ) ( ) ( ) 222

0 62

mRtM

tEtEtW == (0,5 pontos)

g

R

C

G

M