Introdução à Mecânica Estatística...
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Gás de elétrons livres
Introdução à Mecânica Estatística
29/10/2009
1
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Distribuição de Fermi-Dirac
Distribuição de Fermi-Dirac
ou
também chamada função de Fermi
( )
1( )
1f
e
1
Bk T
2
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Exemplo: elétrons em um metal
• Modelo do elétron livre:
“… os elétrons mais fracamente ligados aos átomos se movem
livremente através do volume do cristal ...”
C. Kittel, Introdução à Física do Estado Sólido”, Editora
Guanabara Dois, 1976, quinta edição, Capítulo 6, p. 153.
• Descrição boa para metais como:
• Be, Ag, Ca, Ba, Al, Ga, Pb
3
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Densidade de orbitais (densidade de
estados)
• Elétron de massa m confinado
em um volume V
• Energia de um elétron:
2
2
pH
m
2
2 2 2
2 2 22 k k km x y z
Equação de Schrödinger
p/ partícula livre
(. ) exp( . ) exp[ ( )x y zkr i k r i k x k x k z
p imomento
4
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Densidade de orbitais (densidade de estados)
• Volume Vetor de onda
. Condições periódicas de contorno:
2x xk n
L
2y yk n
L
2z zk n
L
, , 0, 1, 2,...x x xn n n
3V L ( , , )x y zk k k k
( , , ) exp[ ( ( ) )] exp[ ( )] ( , , )x y z x y zx L y z i k x L k x k z i k k x k z x y z
exp[ ( . ) ] 1xi k L
Analogamente: exp[ ( . ) ] 1yi k L exp[ ( . ) ] 1zi k L
5
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Densidade de orbitais (densidade de estados)
• Energia associada ao orbital com vetor de onda
6
( , , )x y zk k k k
2 22 2 2 2[ ]
2 2x y zk
k k k km m
2
2 2 2
2 2 22 k k km x y z
(. ) exp( . ) exp[ ( )x y zkr i k r i k x k x k z
Relação de dispersão
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Densidade de orbitais (densidade de estados)
Um orbital fica definido pelo vetor de onda e pela
variável de spin que para os elétrons pode assumir dois valores.
7
( , , )x y zk k k k
2 22 2 2 2[ ]
2 2x y zk
k k k km m
A cada correspondem dois orbitais
e
k
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Densidade de orbitais (densidade de estados)• Espaço em duas dimensões
8
xk
yk
k
2 / L
2 / L
Um vetor de onda permitido
para o elemento de
área= 2
2 / L
vértice
A
A
Observe que A
pertence a 1, 2, 3 e 4 e
deve ser contado
somente uma vez.
Então:
1
3
4
2
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Densidade de orbitais (densidade de estados)
9
xk
yk
zk
k
2 / L
2 / L
Um vetor de onda permitido
para o elemento de
volume=
3 32 / 8 /L V
vértice
2 / L
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10
2 22 2 2 2( )
2 2x y zk
k k k km m
Número de orbitais com energia entre 0 e ( )N
xk
yk
zk
Superfície esférica de raio
1/ 2
2
2mk
//
Superfície
esférica
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11
A cada correspondem dois orbitaisk
Número de orbitais com energia entre 0 e ( )N
( )N
31/ 2
2
3
4 2
32
8
m
V
Volume da esfera de raio
Volume elementar
no espaço k
1/ 2
2
2mk
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12
Número de orbitais com energia entre 0 e ( )N
( )N3 / 2
2 / 2
2 2
2
3
V m
Densidade de orbitais (densidade de estados)
( )( )
dND d
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13
Densidade de orbitais (densidade de estados)
( )( )
dND d
3 / 2
1/ 2
2 2
3 2
2 3
V m
( )D
Gás de elétrons livres / 3 dimensões
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14
Propriedades termodinâmicas de um gás de elétrons livres
Definições:
Número total de elétrons
Energia interna
( )
1( )
1f
e
0
( )N f
( )D d
0
( )U f
d( )D
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15
Gás de elétrons livres a T=0
( )
1( )
1f
e
À temperatura zero a função de Fermi
Se comporta da seguinte maneira:
( )f
1
0
( )f 1 se
se 0
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16
Gás de elétrons livres a T=0
( )
1( )
1f
e
De fato:
0T
se então ( ) 0e e ( ) 1f
se então ( )e e
( )
( )
0
f
e
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17
Gás de elétrons livres à T=0
Número total de elétrons
Energia interna
0
(1)N
( )D d
0
(1)U
d( )D
1
0
( )f
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18
3 / 2
1/ 2
2 2
3 2
2 3
V m
( )D
Gás de elétrons livres / 3 dimensões
Gás de elétrons livres / 3 dimensões à T=0
0
N
d
0
U
d
3 / 2
1/ 2
2 2
3 2
2 3
V m
3 / 2
3 / 2
2 2
3 2
2 3
V m
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19
Energia de Fermi
N 3 / 2
3 / 2
2 2
2
3F
V m
O potencial químico a T=0 é denominado Energia de Fermi
F
2 / 32 23
2F
N
m V
A energia de Fermi não muda com a temperatura! É uma constante para
cada material.
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20
Efetuando as integrais:
N
U
3 / 2
3 / 2
2 2
2
3
V m
3 / 2
5 / 2
2 2
2
5
V m
Gás de elétrons livres/ volume V/ T=0
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21
xk
yk
zk
Superfície esférica de raio
1/ 2
2
2F
mk
Fk
Superfície de Fermi
Gás de elétrons livres à T=0
À T=0 todos os estados com estão preenchidos e todos com
estão vazios.
A energia de Fermi é a energia do orbital com energia mais elevada a T=0
Fk k
Fk k
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22
Capacidade Térmica Eletrônica
F B Fk T
Limite de baixas temperaturas
Mostrar que no limite de baixas temperaturas a capacidade térmica
C se comporta como: / FC AN T T
Definição
Temperatura de Fermi
FT T
Em que A é uma constante. Isto é, C é diretamente proporcional
a temperatura T no limite de baixas temperaturas.
Para o cobre 48 10FT K
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23
( )
1( )
1f
e
0
( )
U f d3 / 2
3 / 2
2 2
3 2
2 3
V m
0
( )
N f d3 / 2
1/ 2
2 2
3 2
2 3
V m
A expressão para a energia interna é dada por:
A expressão para o número de elétrons é dada por:
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24
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
( )
1( )
1f
e
3 / 2
0
( )
f d3 / 2
2 2
2
2
V mU
Temos que avaliar no limite de baixas temperaturas as
seguintes integrais:
3 / 2
2 2
2
2
V mN
1/ 2
0
( )
f d
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25
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
( )
1( )
1f
e
21 2
0
( ) [1 ( 1) ]( 1) 6
Bk Tf d a
Mostraremos na próxima aula que:
Expressão válida para B Fk T
Expansão de Sommerfeld
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26
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
225 / 2 15
[1 ]24
Bk T
Para obtemos as seguintes expressões para
U e N:
Expressões válidas para B Fk T
3/ 2 1/ 2 e
3 / 2
2 2
2
5
V mU
223 / 2 3
[1 ]24
Bk T3 / 2
2 2
2
3
V mN
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27
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
223 / 2 3
[1 ]24
Bk T3 / 2
2 2
2
3
V mN
A partir da expressão para N:
podemos obter :
222 / 33
[1 ]24
F
Bk T
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28
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
aproximando por no lado direito da equação acima e
levando em conta que:
222 / 33
[1 ]24
F
Bk T
2 / 3 2(1 ) 1 1
3
a a para a
F
Temos:
22
[1 ]12
B
F
F
k T
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29
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
Substituindo:
22
[1 ]12
B
F
F
k T
Na última expressão para U obtemos:
2 22 2
5 / 2 5 / 2 15[1 ] [1 ]
12 24
B B
F
F F
k T k T3 / 2
2 2
2
5
V mU
Levando em conta que: 5 / 2 5(1 ) 1 1
2 a a para a
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30
Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas
Obtemos a seguinte expressão para válida até ordem :
A partir desta expressão obtemos finalmente:
223 5
[1 ]5 12
B
F
F
k TU N
2
2
B
N F
U TC N k
T T
Capacidade térmica eletrônica no limite
de baixas temperaturas é linear com a
temperatura.
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31
Capacidade térmica a baixas temperaturas
No regime de baixas temperaturas a capacidade térmica
eletrônica é maior do que a capacidade térmica da rede pois
nesse regime :
eletrônicoC T3fônonsC T
e
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32
Capacidade térmica a baixas temperaturas
/C T versus2T
Potássio
/C T
2T
Kittel,
Introdução à
Física do Estado
Sólido
Valores
experimentais
para o Potássio