MECA 1 2006 finalspn/pdf/MECA 1 2006 final... · 2009. 10. 8. · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ

«Η φιλοσοφία της φύσης είναι γραµµένη σε εκείνο το µεγάλο βιβλίο που βρίσκεται συνεχώς µπροστά στα µάτια µας, εννοώ το Σύµπαν. ∆εν µπορούµε όµως να το κατανοήσουµε χωρίς να µάθουµε πρώτα τη γλώσσα του και να αντιληφθούµε το νόηµα των συµβόλων της. Το βιβλίο είναι γραµµένο στη γλώσσα των Μαθηµατικών…».

Γαλιλαίος (16ος αιώνας)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ

12

Galileo Galilei (1564-1642)

1.1. ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟΥ

13

“Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” 1632


14


«Τίποτε δεν θεωρώ µεγαλύτερο αίνιγµα από το χρόνο και το χώρο. Εντούτοις, τίποτε δεν µε απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτοµαι».

Charles Lamb (19ος αιώνας)

«Κάθε βάσιµη επιστηµονική θεωρία, είτε αναφέρεται στο χρόνο και στο χώρο, είτε σε οποιαδήποτε άλλη έννοια, οφείλει να στηρίζεται στην πλέον αποτελεσµατική φιλοσο-φία της επιστήµης: τη θετικιστική προσέγγιση. Σύµφωνα µε το συγκεκριµένο τρόπο σκέψης, µια επιστηµονική θεωρία συνιστά ένα µαθηµατικό πρότυπο που περιγράφει και κωδικοποιεί τις παρατηρήσεις µας. Αν κάποιος ακολουθεί τη θετικιστική προσέγ-γιση τότε δεν µπορεί να πει τι είναι στην πραγµατικότητα ο χρόνος, όµως µπορεί να περιγράψει αυτό το οποίο θεωρείται ως ένα καλό µαθηµατικό πρότυπο του χρόνου και να αναφέρει τις προβλέψεις αυτού του προτύπου. Ο Ισαάκ Νεύτων, στο έργο του Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), παρουσίασε το πρώτο µαθη-µατικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο. Στο πρότυπο αυτό, ο χρόνος και ο χώρος συνιστούν ένα υπόβαθρο όπου διαδραµατίζονται τα γεγονότα, το οποίο όµως δεν επη-ρεάζεται από αυτά. Ο χρόνος είναι διαχωρισµένος από το χώρο και θεωρείται ως µια ανεξάρτητη γραµµή, κάτι σαν σιδηροδροµική γραµµή, που εκτείνεται επ’άπειρο προς τις δυο κατευθύνσεις. Θεωρείται επίσης παντοτινός, υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπάρχει για πάντα».

Stephen Hawking* (20ος αιώνας)

Χωρο-χρόνος του Νεύτωνα Χωρόχρονος του Αϊνστάιν

* Από το βιβλίο του Stephen Hawking: «The Universe in a Nutshell».


15

Ο χώρος και ο χρόνος δεν έχουν αρχή συνεπώς, στο µαθηµατικό πρότυπό τους, κανένα σηµείο και καµία χρονική στιγµή δεν πρέπει να ξεχωρίζουν ώστε να θεωρηθούν ως αρχή. Στην Κλασική Μηχανική, ο χωρο-χρόνος ορί-ζεται γεωµετρικά ως τετραδιάστατος αφινικός χώρος και τα σηµεία του καλούνται γεγονότα. Η µετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο πραγµατοποιεί-ται µε µεταφορά και οι µεταφορές αυτές σχηµατίζουν ένα διανυσµατικό χώρο ισόµορφο προς τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο 4 . Ο χρόνος ορίζεται ως προβολή του χώρου των µεταφορών στο χρονικό άξονα:

4: →τ .

Το χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε δύο γεγονότα a και b προσµετράται µε τον πραγµατικό αριθµό ( )− ∈τ b a και όταν ( ) 0− =τ b a τότε τα γεγονότα λέγονται ταυτόχρονα. Ο πυρήνας της προβολής αυτής αποτελείται από τις µεταφορές που µεταφέρουν οποιοδήποτε γεγονός σε ταυτόχρονό του. Τα ταυτόχρονα γεγονότα ορίζουν ένα 3-διάστατο αφινικό χώρο προσαρτηµένο στον ευκλείδειο χώρο 3 . Το καρτεσιανό γινόµενο του ευκλείδειου χώρου

3 µε τον χρονικό άξονα αποτελεί τον αριθµητικό χωρο-χρόνο 3 × . Στον αριθµητικό χωρο-χρόνο, η χωρική απόσταση δύο ταυτόχρονων γεγο-νότων ( , )=a ox t και ( , )=b oy t προσµετράται µε την ευκλείδεια µετρική:*

3 3d : × , d( , ) || ||x y x y→ = − .

Τα τρία χαρακτηριστικά του χωρο-χρόνου, δηλαδή, ο αφινικός χαρακτήρας του, η γραµµικότητα του χρόνου και ο ευκλείδειος χαρακτήρας του χώρου ορίζουν την γαλιλαϊκή δοµή του.

Μετάβαση από το γεγονός a στο γεγονός b του χωρο-χρόνου 3 × .

* Στην Κλασική Μηχανική δεν υπάρχει φυσική µετρική που να προσµετρά συγχρόνως χωρικές αποστά-σεις και χρονικά διαστήµατα γιατί σε αυτό το πλαίσιο δεν υφίσταται παγκόσµια σταθερά µε διαστάσεις ταχύτητας όπως συµβαίνει µε την ταχύτητα του φωτός στη Θεωρία Σχετικότητας.


16

1.2. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

Οι µετασχηµατισµοί του χωρο-χρόνου 3 × που διατηρούν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δοµή του καλούνται γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί.* Πρόκειται για τους µετασχηµατισµούς

3 3: × → ×g

που διατηρούν τις χρονικές αποστάσεις των γεγονότων και τις χωρικές από-στάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων, καθώς και τον προσανατολισµό του χώρου. Οι µετασχηµατισµοί αυτοί προκύπτουν από τη σύνθεση χωρικών και χρονικών µεταφορών, χωρικών στροφών και µετασχηµατισµών αδρανειακής κίνησης:

• Χωρο-χρονική µεταφορά: 3 3× → ×

( , ) ( , )→ + +o ox t x x t t , 3∈ox , ∈ot .

• Χωρική στροφή: 3 3× → ×

( , ) (S , )→x t x t , S (3)∈SO .

• Αδρανειακή κίνηση: 3 3× → ×

( , ) ( , )→ + ox t x v t t , 3∈ov .

Οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί, εφοδιασµένοι µε την πράξη της σύνθεσης, σχηµατίζουν µια µη αντιµεταθετική οµάδα που καλείται οµάδα Γαλιλαίου και συµβολίζεται 3( )×G . Κάθε στοιχείο αυτής της οµάδας καθορίζεται από τις τιµές 10 παραµέτρων:

∈ot , 31 2, 3( , , )= ∈o o o ox x x x , 3

1 2, 3( , , )= ∈o o o ov v v v , S (3)∈SO ,

και δρα στο χωρο-χρόνο µετασχηµατίζοντας κάθε γεγονός σε άλλο γεγονός ως εξής:

3 3: × → ×g , ( , ) (S , )= + + +g o o ox t x v t x t t .

H δράση αυτή αναπαρίσταται µε πίνακες ως εξής: * Από φυσική άποψη οι µετασχηµατισµοί του χωρο-χρόνου οφείλουν να διασφαλίζουν τη χωρική και χρονική οµογένεια, τη χωρική ισοτροπία και την αδρανειακή συµπεριφορά.


17

11 1 1

22 2 2

33 3 3

.

. . .

. S .

. . .0 0 0 1

′ ′ + = ′ ′

oo

oo

oo

o

xv x xxv x xxv x xtt t

Η οµάδα του Γαλιλαίου µπορεί να ταυτιστεί ισοµορφικά µε µια υποοµάδα της γραµµικής οµάδας 5GL( ) και έτσι η δράση της να εκφραστεί ως εξής:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

.

. . .

. S .

. . .0 0 0 10 0 0 0 1 1 1

′ ′ ′= ′

o o

o o

o o

o

v x x xv x x xv x x x

t t t

Τα στοιχεία της οµάδας του Γαλιλαίου µε χρονική παράµετρο o 0=t είναι ακριβώς αυτά που µετασχηµατίζουν τα γεγονότα σε ταυτόχρονά τους γεγο-νότα. Στον 3-διάστατο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων ο επαγόµενος µε-τασχηµατισµός ορίζει χωρική ισοµετρία που διατηρεί τον προσανατολισµό του προσαρτηµένου ευκλείδειου χώρου 3 , συνεπώς* πρόκειται για χωρική στροφή ακολουθούµενη από µεταφορά:

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03

. . .

. S .

. . .

′ + ′ = + + ′ +

x x v t xx x v t xx x v t x

και σε κατάλληλη ορθοκανονική βάση προκύπτει η έκφραση:

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

′ θ − θ + ′ = θ θ + + ′ +


Η στροφή πραγµατοποιείται γύρω από τον ιδιοάξονά της και η γωνία της προσδιορίζεται λαµβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος του µετασχηµατισµού δια-τηρείται αναλλοίωτο κατά την αλλαγή βάσης, συνεπώς:

2cos 1 TrSθ + = . * Στον ευκλείδειο χώρο 3 κάθε ισοµετρία αποσυντίθεται µονοσήµαντα σε ένα ορθογώνιο µετασχηµα-τισµό ακολουθούµενο από µια µεταφορά. Οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί διατηρούν την ορθοκανονικό-τητα των βάσεων και εκείνοι που επιπλέον διατηρούν τον προσανατολισµό τους είναι ακριβώς οι χωρικές στροφές δηλαδή τα στοιχεία της οµάδας (3)SO .


18

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. Μετασχηµατισµοί στο χωρο-χρόνο.

Στον αριθµητικό χωρο-χρόνο 3 × θεωρούµε το µετασχηµατισµό: 3 3: × → ×g , ( , ) (S , )= + + +g o o ox t x v t x t t ,

όπου 0=ot , 3∈ox , 3∈ov και S γραµµικός µετασχηµατισµός του ευκλείδειου χώρου 3 που στην κανονική βάση εκφράζεται µε τον πίνακα:

.

2 1 21S 2 2 13

1 2 2

− = − −

Πρόκειται για χωρο-χρονικό µετασχηµατισµό που ανήκει στην οµάδα του Γαλιλαί-ου, αφού TSS I= και detS 1= άρα S (3)∈SO . Αποσυνθέτοντας στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου 3 τα διανύσµατα

1 2 3( , , )=o o o ox x x x και 1 2 3( , , )=o o o ov v v v

ο γαλιλαϊκός αυτός µετασχηµατισµός εκφράζεται ως εξής:

11 1 1

22 2 2

33 3 3

.

2 / 3 1/ 3 2 / 32 / 3 2 / 3 1/ 31/ 3 2 / 3 2 / 30 0 0 1 0

o o

o o

o o

vx x xvx x xvx x x

t t

′ − ′ − = + ′ −

Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων 3 , εφοδιασµένο µε την κανονική βάση, ο µετασχηµατισµός αυτός διατυπώνεται ως εξής:

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03

2 1 21 2 2 13

1 2 2

′ − + ′ = − + + ′ − +


και σε κατάλληλη θετικά προσανατολισµένη* ορθοκανονική βάση , , ′ζ ζ ξ προκύ-πτει:

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

′ θ − θ + ′ = θ θ + + ′ +


* Το ότι µια ορθοκανονική βάση , , ′ζ ζ ξ του ευκλείδειου χώρου 3 είναι θετικά προσανατολισµένη δηλώνεται διαµέσου του εξωτερικού γινοµένου των διανυσµάτων ως εξής:

′ζ ×ζ = ξ .


19

Η ορθοκανονική αυτή βάση συγκροτείται από το µοναδιαίο ιδιοδιάνυσµα

( 3 / 3, 3 /3, 3 / 3)ξ =

του µετασχηµατισµού S (3)∈SO το οποίο ορίζει τον άξονα στροφής και δυο ορθο-γώνια µοναδιαία διανύσµατα ζ και ′ζ που ανήκουν στο ορθογώνιο επίπεδο:

31 2 3 1 2 3( , , ) / 0Π = ∈ + + =x x x x x x

και διατάσσονται έτσι ώστε να διασφαλίζεται ο θετικός προσανατολισµός της. Επειδή το ίχνος ενός πίνακα δεν επηρεάζεται από την αλλαγή βάσης προκύπτει ότι:

2cos 1 2 / 3θ+ = ⇒ θ = ±π

και λαµβάνοντας υπόψη τον προσανατολισµό του ιδιοάξοανα και τον θετικό προσα-νατολισµό της ορθοκανονικής βάσης, καθορίζεται η προσανατολισµένη* γωνία στροφής / 3θ = π γύρω από τον ιδιοάξονα στον ευκλείδειο χώρο 3 .

Στροφή στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων.

Σχόλιο. Στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου 3 , αν 1 2 3= ( , , )ξ ξ ξ ξ είναι το µοναδιαίο ιδιοδιάνυσµα που ορίζει τον άξονα της στροφής, τότε ο µετασχηµατισµός της χωρικής στροφής εκφράζεται µε τον πίνακα:

1 2 3

21 1 2 3 1 3 2

2(e ,e ,e ) 1 2 3 2 2 3 1

21 3 2 2 3 1 3 .

(1 cos ) cos (1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin )(1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos (1 cos ) (sin )(1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos

S =

− θ ξ + θ − θ ξ ξ − θ ξ − θ ξ ξ + θ ξ

− θ ξ ξ + θ ξ − θ ξ + θ − θ ξ ξ − θ ξ − θ ξ ξ − θ ξ − θ ξ ξ + θ ξ − θ ξ + θ

* Ο προσανατολισµός της γωνίας στροφής γύρω από τον άξονα του µοναδιαίου ιδιοδιανύσµατος ξ κα-

θορίζεται απευθείας λαµβάνοντας υπόψη ότι για κάθε µοναδιαίο διάνυσµα ζ∈Π ισχύει:

sin det ,S , θ = ζ ζ ξ .


20

1.3. ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

Μια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο 3 εκφράζεται ως συνεχής απεικόνιση ορισµένη στο χρονικό άξονα ή σε ένα διάστηµά του:

3: I →x .

Η τροχιά της κίνησης εκφράζεται µε την προσανατολισµένη καµπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον ευκλείδειο χώρο 3 και το γράφηµά της ορίζει την εξέλιξη της κίνησης στο χωρο-χρόνο 3 × .

Το γράφηµα της απεικόνισης που εκφράζει µια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο 3 ορίζει την εξέλιξη της κίνησης στο χωρο-χρόνο 3 × .

Ο όρος υλικό σηµείο δηλώνει ένα σηµειακό γεωµετρικό πρότυπο που διανύει την τροχιά µιας κίνησης στον ευκλείδειο χώρο 3 . Σε κάθε χρονική στιγµή η θέση του εντοπίζεται µε τις ευκλείδειες συντεταγµένες:

( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )=x t x t x t x t

όπου οι συνιστώσες συναρτήσεις:

i : I →x , i 1,2,3= ,

υποτίθενται τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιµες µε συνεχείς παραγώγους. Η ταχύτητα µε την οποία διανύεται η τροχιά ορίζεται τη στιγµή I∈t ως το εφαπτόµενό της διάνυσµα στο σηµείο ( )x t :

31 2

( )

( ) ( ), ( ), ( ) = x t

dxdx dxx t t t tdt dt dt


21

και η επιτάχυνση την ίδια στιγµή ορίζεται ως το διάνυσµα: 22 2

31 22 2 2

( )

( ) ( ), ( ), ( )

= x t

d xd x d xx t t t tdt dt dt

.

Σε κάθε χρονική στιγµή η επιτάχυνση αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντροµόλο συνιστώσα της:

( ) ( ) ( )= γ + γx t t tε κ όπου

( ) // ( )γ t x tε και ( ) ( )γ ⊥t x tκ .

Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντροµόλο συνιστώσα της.

Στην περίπτωση 0γ ≡κ η τροχιά είναι ευθύγραµµη και αν επιπλέον 0γ ≡ε τότε πρόκειται για ευθύγραµµη οµαλή κίνηση:

1 1 2 2 3 3( ) ( , , )= + = + + +o o o o o o o ox t x v t x v t x v t x v t , 3, ∈o ox v .

Η ύπαρξη κεντροµόλου επιτάχυνσης προκαλεί καµπύλωση της τροχιάς και η καµπυλότητα καθορίζεται σε κάθε χρονική στιγµή από την τιµή της συνάρ-τησης:

: I +κ → , 3

|| ( ) ( ) ||( )|| ( ) ||

×κ =

x t x ttx t

,

µε την προϋπόθεση µη µηδενισµού της ταχύτητας. Προφανώς, η συνάρτηση καµπυλότητας είναι µηδενική αν και µόνο αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη, ενώ όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της τόσο εντονότερη είναι η καµπύλωση.


22

Η στρέψη της τροχιάς υποδεικνύει την ανέλιξή της στον ευκλείδειο χώρο 3 και καθορίζεται σε κάθε χρονική στιγµή από την τιµή της συνάρτησης:

: I +τ → , 2

| ( ) ( ) , ( ) |( )|| ( ) ( ) ||

< × >τ =

×x t x t x tt

x t x t,

µε την προϋπόθεση µη µηδενισµού της καµπυλότητας. Προφανώς, η συνάρ-τηση στρέψης είναι µηδενική αν και µόνο αν η κίνηση είναι επίπεδη, ενώ όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της τόσο εντονότερη είναι η ανέλιξη. Όταν η κεντροµόλος επιτάχυνση δεν µηδενίζεται τότε σε κάθε σηµείο της τροχιάς προσαρτάται ένα τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων στο οποίο εµπεριέχονται τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της όπως η καµπυλότητα και η στρέψη της. Πρόκειται για το καλούµενο τρίεδρο Frenet που σε κάθε χρονική στιγµή ορίζεται από τα µοναδιαία διανύσµατα:*

( )T( )|| ( ) ||

=x ttx t

, T( )N( )|| T( ) ||

=ttt

, B( )=T( ) N( )×t t t .

Σχόλιο. Επαναχρονισµός της κίνησης.

Ο επαναχρονισµός µιας κίνησης 3: I →x , ( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )=x t x t x t x t ,

επιτυγχάνεται µε µια αντιστρέψιµη αµφιδιαφορίσιµη συνάρτηση

: I Is ′→ ⊂ , ( )s t t′= ,

διαµέσου της οποίας προκύπτει η επαναχρονισµένη κίνηση 3s : Ix x −1′ ′≡ → , ( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′=x t x t x t x t .

Προφανώς, ο επαναχρονισµός έχει επίπτωση στην ταχύτητα της κίνησης:

i i i( s ) s, i 1, 2,3.

dx d x dx ddt dt dt dt

−1 −1′= = =

′ ′ ′

Ο συνήθης επαναχρονισµός καθορίζεται λαµβάνοντας υπόψη το µήκος της τροχιάς από µια αρχική στιγµή ot έως µια οποιαδήποτε στιγµή t :

( ) || ( ) ||o

t

tt x u dus = ∫ .

* Βλ. Στοιχειώδης ∆ιαφορική Γεωµετρία, B. O’Neil, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2002.


23

Η αµφιδιαφορισιµότητα της συνάρτησης ( )′t = s t διασφαλίζεται µε την προϋπόθεση µη µηδενισµού της ταχύτητας και προκύπτει η επαναχρονισµένη κίνηση:

3: I′ ′ →x , ( ) ( ( ))′ ′ =x t x t s , της οποίας η ταχύτητα

( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )x t x t x t x t′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′=

έχει σταθερό µοναδιαίο µέτρο:

|| ( ) || || ( ) || | / | 1x t x t dt ds′ ′ = = αφού

|| ( ) || || ( ) ||= =∫o

t

t

ds d x u du x tdt dt

.

Ο επαναχρονισµός αυτός, σταθεροποιώντας το µέτρο της ταχύτητας, µηδενίζει την επιτρόχια επιτάχυνση, οπότε:

( ) ( ), Ix t x t t′ ′ ′ ′ ′ ′⊥ ∀ ∈ ,

και κατά συνέπεια η συνάρτηση καµπυλότητας εκφράζεται ως εξής:

: I +′κ → , ( ) || ( ) ||t x t′ ′ ′κ = .

Με την προϋπόθεση µη µηδενισµού της καµπυλότητας, σε κάθε χρονική στιγµή, καθορίζεται το τρίεδρο Frenet:

T( ) ( )t x t′ ′ ′= , 1N( ) ( )( )

t x tt

′ ′ ′=′κ

, B( ) T( ) N( )t t t′ ′ ′= × .

Η συγγραµµικότητα N( ) B( )t t′ ′ οδηγεί στον καθορισµό της συνάρτησης στρέψης:

: I +′τ → , B( ) ( ) N( )t t t′ ′ ′= −τ , και προκύπτει ότι:

T N, N T B, B N= κ = −κ + τ = −τ .

Αποσυνθέτοντας την επιτάχυνση στο τρίεδρο Frenet και εισάγοντας το διορθωτικό συντελεστή υ , µέτρο της ταχύτητας µε την οποία διανύεται η τροχιά, προκύπτουν οι εκφράσεις:

T N, N T B, B N= κυ = −κυ + τυ = −τυ , και

( ) ( ) T( )x t t t= υ , 2( ) ( ) T( ) ( ) ( ) N( )dx t t t t t tdtυ

= + κ υ .


24

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. Κυκλική ελικοειδής κίνηση.

Η κυκλική ελικοειδής κίνηση ορίζεται ως εξής:

( )3: , ( ) cos , sin , , 0, 0→ = > ≠x x t a t a t bt a b .

Η ταχύτητά της έχει σταθερό µέτρο:

( ) ( )( ) sin , cos ,= − x tx t a t a t b , 2 2|| ( ) || ox t a b v= + = ,

και η επιτάχυνσή της είναι κάθετη στην ταχύτητα:

( ) ( )( ) cos , sin , 0= − − x tx t a t a t .

Η καµπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς είναι σταθερές:

2 2( )κ =+at

a b, 2 2( )τ =

+bt

a b,

και το τρίεδρο Frenet, σε κάθε χρονική στιγµή, προσδιορίζεται ως εξής:

( )o

1T( ) sin , cos ,= −t a t a t bv

,

( )N( ) cos , sin ,0= − −t a t a t ,

( )o

1B( ) sin , cos ,= −t b t b t av

.

Κυκλική ελικοειδής κίνηση στον ευκλείδειο χώρο 3 .

Ο επαναχρονισµός της κίνησης καθορίζεται από το µήκος της διανυόµενης τροχιάς:

0( )

t

o os t v dt v t= =∫

και προκύπτει η επαναχρονισµένη κίνηση:


25

3:′ →x , ( )( ) ( / ) cos( / ), sin( / ), /′ = =o o o ox s x s v a s v a s v bs v

µε ταχύτητα µοναδιαίου µέτρου:

( )1( ) sin( / ), cos( / ),′ = − o oo

x s a s v a s v bv

και επιτάχυνση:

( )2

1( ) cos( / ), sin( / ), 0′ = − −o oo

x s a s v a s vv

το µέτρο της οποίας ορίζει απευθείας τη συνάρτηση καµπυλότητας:

2 2( ) || ( ) ||′κ = =+as x s

a b.

Ξαναβρίσκουµε έτσι το τρίεδρο Frenet:

( )1T( ) sin( / ), cos( / ),= − o oo

s a s v a s v bv

, ( )N( ) cos( / ), sin( / ), 0= − −o os s v s v ,

( )1B( ) T( ) N( ) sin( / ), cos( / ),= × = −o oo

s s s b s v b s v av

,

και λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση B N= −τ προκύπτει η συνάρτηση στρέψης:

2 2( )τ =+bs

a b.

Αν 0b = τότε η στρέψη είναι µηδενική και η καµπυλότητα σταθερή 1/ aκ = άρα πρόκειται για κυκλική τροχιά ακτίνας a . Οι τροχιές σταθερής µη µηδενικής καµπυ-λότητας και στρέψης είναι κυκλικές ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο 3 .

Εξέλιξη στο χωρο-χρόνο της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης.


26

1.4. ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

Ο Αριστοτέλης αναζητώντας το αίτιο της κίνησης εισήγαγε την έννοια της δύναµης. Από την εποχή εκείνη έως τον 17ο αιώνα ήταν αποδεκτό ότι η κίνηση ενός σώµατος διατηρείται αν και µόνο αν προωθείται διαρκώς από µια δύναµη. Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που τόλµησε να δηλώσει ότι καµιά εξωτερική δύναµη δεν απαιτείται για τη διατήρηση της ταχύτητας ενός σώµατος παρά µόνο για τη µεταβολή της. Το σύγ-γραµµά του “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”, που δηµοσιεύτηκε το 1632, σηµατοδοτεί κατά γενική οµολογία την απαρχή της σύγχρονης φυσικής και πέρα από την επιστηµονική του σπουδαιότητα θεωρείται ως εξαιρετικό λογοτεχνικό έργο. Στις σελίδες του ξετυλίγεται ένας σπουδαίος φιλοσοφικός και επιστηµονικός διάλογος µεταξύ τριών προσώπων, του Salviati που εκφράζει τις απόψεις του συγ-γραφέα, του Simplicio οπαδού της αριστοτελικής παράδοσης και του Sagredo που εκπροσωπεί τον µη προκατειληµµένο συζητητή. Από αυτόν το διάλογο αναδύονται οι θεµελιακές αντιλήψεις που διαµόρφωσαν τη βάση της Κλασικής Μηχανικής. Στις σελίδες αυτού του βιβλίου ο Γαλιλαίος αποκαλύπτει µε απλοϊκό τρόπο την αρχή της σχετικότητας που αποτελεί θεµελιακό αξίωµα της Κλασικής Μηχανικής: «Κλειστείτε µαζί µε φίλους σας στο αµπάρι ενός πλοίου εκεί όπου δεν έχετε δυνατότη-τα εξωτερικής αντίληψης και αφήστε να πετούν ολόγυρά σας πεταλούδες και άλλα πε-τούµενα, βάλτε µικρά ψάρια σε ένα ενυδρείο και στην οροφή ένα δοχείο από όπου να πέφουν στάλες νερού σε ένα µπουκάλι τοποθετηµένο στο πάτωµα. Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατηρείστε προσεκτικά πώς πετούν τα µικρά ζώα εξίσου άνετα προς όλες τις κατευθύνσεις, πώς κινούνται τα ψάρια εξίσου άνετα προς κάθε πλευρά, πώς όλες οι στάλες πέφτουν στο µπουκάλι. Και εσείς δεν θα χρειαστεί να καταβάλετε µεγαλύτε-ρη ή µικρότερη προσπάθεια για να ρίξετε ένα αντικείµενο στον ένα ή τον άλλο φίλο σας που βρίσκονται ολόγυρά σας και απέχουν εξίσου από σας. Όταν το πλοίο αρχίσει να κινείται, όσο γρήγορα θελήσετε, αρκεί η κίνηση να είναι οµαλή χωρίς ταλαντώσεις, δεν θα διακρίνετε την παραµικρή αλλαγή στις παρατηρήσεις σας ώστε να µπορέσετε να συµπεράνετε ότι πράγµατι κινείται. Ο λόγος βρίσκεται στο ότι η κίνηση είναι κοινή για το πλοίο και ότι άλλο υπάρχει σε αυτό συµπεριλαµβανοµένου του αέρα.…». Ο Νεύτωνας εµπνευσµένος από τα κείµενα του Γαλιλαίου συνέγραψε το µνηµειώ-δες επιστηµονικό σύγγραµµα “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” που δηµοσιεύτηκε το 1687. Εκεί διατύπωσε την αρχή της σχετικότητας η οποία δηλώνει την ανυπαρξία απόλυτου κριτηρίου που επιτρέπει να αποφανθούµε για το αν ένα σώµα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας ή όχι. Απλά, µπορούµε να αποφανθούµε για το αν ένα σώµα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας σε σχέση µε κάποιο άλλο. Έτσι διαµορφώθηκε η αρχή της αδράνειας µε την οποία εισάγεται αξιωµατικά η ύπαρξη των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς. Κατόπιν, εισήγαγε τη θεµελιώδη εξίσωση της κίνησης που αποτελεί τη βάση του επιστηµονικού ντετερµινισµού και από την οποία απορρέει ότι αν, σε µια χρονική στιγµή, είναι γνωστή η θέση και η ταχύτητα ενός φυσικού συστήµατος τότε είµαστε σε θέση να προβλέψουµε την εξελικτική του πορεία στο µέλλον. Οι δυο αυτές αρχές έδωσαν το έναυσµα στη διαµόρφωση σηµα-ντικών επιστηµονικών και φιλοσοφικών αντιλήψεων της σύγχρονης εποχής.

1.4. ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 27

Η Κλασική Μηχανική στηρίζεται σε δυο θεµελιώδη αξιώµατα, την αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου και την αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα.

• Η αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα δηλώνει ότι η θέση και η ταχύ-τητα ενός υλικού σηµείου σε µια χρονική στιγµή ορίζουν µονοσήµαντα τη χρο-νική εξέλιξή του. Συγκεκριµένα, υπάρχει συνάρτηση*

3 3 3:f × × →

που ορίζει την κίνηση ως λύση της θεµελιώδους εξίσωσης: 2

2 ( , , )=d x f x x tdt

, 3( )x t ∈ ,

για δεδοµένες αρχικές συνθήκες 3( )ox t ∈ και 3( )ox t ∈ .

• Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου δηλώνει την ύπαρξη µιας κλάσης προνοµιούχων συστηµάτων αναφοράς στα οποία η θεµελιώδης εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού διατηρείται αναλλοίωτη. Συγκε-κριµένα, πρόκειται για τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς στα οποία οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου µετατρέπουν την εξέλιξη ενός συστήµατος υλικών σηµείων σε εξέλιξη του ίδιου συστήµατος µε άλλες αρχικές συνθή-κες. Η ανάγκη αξιωµατικής εισαγωγής των αδρανειακών συστηµάτων ανα-φοράς οφείλεται στην αδυναµία πειραµατικής απόδειξης της ύπαρξής τους.

Συνέπεια 1. Αδρανειακή κίνηση: Κάθε σύστηµα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ανήκει και αυτό στην κλάση των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς. Συνέπεια 2. Χρονική οµογένεια: Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου που εκφράζουν χρονική µεταφορά υποδεικνύουν ότι, αν ( )= φx t είναι λύση της θεµελιώδους εξίσωσης, τότε ( )= φ + ox t t είναι επίσης λύση για κάθε ot ∈ , που σηµαίνει ότι οι νόµοι της φύσης παραµένουν αναλλοίωτοι στο πέρασµα του χρόνου. Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση δεν εξαρτάται άµε-σα από το χρόνο, συνεπώς εκφράζεται ως εξής:

2

2 ( , )=d x f x xdt

.

* Η συνάρτηση αυτή καθορίζεται από τα φυσικά δεδοµένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος ύπαρξης και µοναδικότητας της λύσης των διαφορικών εξισώσεων ορίζει µονοσήµαντα την κίνηση, τουλάχιστο σε ένα διάστηµα του χρονικού άξονα, για δεδοµένη αρχική θέση και ταχύτητα.


28

Συνέπεια 3. Χωρική οµογένεια: Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου που εκφράζουν χωρική µεταφορά υποδεικνύουν ότι, αν ( )= φx t είναι λύση της θεµελιώδους εξίσωσης τότε ( )= φ + ox t x είναι επίσης λύση για κάθε 3k

ox ∈ , που σηµαίνει ότι ο χώρος είναι οµογενής, δηλαδή έχει παντού ίδιες φυσικές ιδιότητες. Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση δεν εξαρτάται παρά από τις σχετικές θέσεις µεταξύ των υλικών σηµείων που απαρτίζουν το σύστηµα. Το ανάλογο συµπέρασµα ως προς τις ταχύτητες προκύπτει από τους µετασχηµατισµούς αδρανειακής κίνησης. Συνέπεια 4. Χωρική ισοτροπία: Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου που εκφράζουν χωρική στροφή υποδεικνύουν ότι, αν

( )1( ) ( ),..., ( )= φ = φ φkx t t t

είναι λύση της θεµελιώδους εξίσωσης τότε

( )1S ( ) S ( ),...,S ( )φ = φ φkt t t

είναι επίσης λύση για κάθε S (3)∈SO , που σηµαίνει ότι ο χώρος είναι ισό-τροπος, δηλαδή δεν διαθέτει προνοµιούχο διεύθυνση. Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση πληροί τη σχέση:

(S ,S ) S ( , )=f x x f x x , S (3)∈SO .

Σχόλιο. Η θεµελιώδης εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού και ορίζεται από τη συνάρτηση*:

3 3 3: × →f , ( )1 2 3( , ) ( , ), ( , ), ( , )=f x x f x x f x x f x x ,

αποσυντίθεται σε σύστηµα τριών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης:

2

ii2 ( , )d x f x x

dt= , i 1,2,3= ,

και, θέτοντας i iy x= , ανάγεται σε σύστηµα διπλάσιου πλήθους διαφορικών εξισώ-σεων 1ης τάξης ορισµένο στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων 3 3× :

ii=

dxy

dt, i

i ( , )=dy

f x ydt

, i 1,2,3= .

* Όταν ένα σύστηµα υλικών σηµείων επηρεάζεται από ένα άλλο εξωτερικό σύστηµα τότε η επίδραση αυτή µπορεί να υποκατασταθεί από µια χρονική µεταβολή των παραµέτρων που υπεισέρχονται στη θεµελιώδη εξίσωση του αρχικού συστήµατος και έτσι να εµφανιστεί ο χρόνος ως ανεξάρτητη µεταβλητή.

1.4. ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 29

• Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Ο όρος σύστηµα αναφοράς δηλώνει ένα σύστηµα αξόνων ορισµένο από µια προσανατολισµένη ορθοκανονική βάση τοποθετηµένο σε ένα οποιοδήποτε σηµείο του ευκλείδειου χώρου 3 . Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου εισάγει την κλάση των αδρανεια-κών συστηµάτων αναφοράς όπου ακριβώς σε αυτά η θεµελιώδης εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα διατηρείται αναλλοίωτη:

2

2 ( , )=d x f x xdt

.

Ο αδρανειακός χαρακτήρας των συστηµάτων αναφοράς διατηρείται κατά τους γαλιλαϊκούς µετασχηµατισµούς αδρανειακής κίνησης:

3 3 , ( , ) ( , )× → × → + ox t x v t t , 3∈ov .

Σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ℜ , σε κάθε χρονική στιγµή, η θέση ενός υλικού σηµείου προσδιορίζεται µε τις συντεταγµένες:

( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )=x t x t x t x t

και σε ένα σύστηµα αναφοράς ′ℜ που προκύπτει από τέτοιο µετασχηµατι-σµό, λαµβάνοντας υπόψη ότι ′ =t t , προσδιορίζονται οι συντεταγµένες:

( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )′ ′ ′ ′=x t x t x t x t όπου

i i i( ) ( )′ = + ox t x t v t ⇒ i i i( ) = ( ) +′ ox t x t v ⇒ i i( ) = ( )′x t x t , i 1, 2,3= .

Συνεπώς, η θεµελιώδης εξίσωση διατηρείται αναλλοίωτη στο σύστηµα ανα-φοράς ′ℜ . Το συµπέρασµα αυτό προφανώς δεν ισχύει όταν το ′ℜ επιταχύ-νεται ως προς το ℜ , γεγονός που σηµαίνει ότι στην περίπτωση αυτή το ′ℜ δεν ανήκει στην κλάση των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς.


30

1.5. ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Ο Νεύτωνας διατύπωσε τους θεµελιώδεις νόµους της Κλασικής Μηχανικής στηριζόµενος στην έννοια της δύναµης η οποία από φυσική άποψη εισάγε-ται ως θεµελιακή έννοια και από µαθηµατική άποψη εκφράζεται ως διανυ-σµατική συνάρτηση της θέσης και της ταχύτητας:

3 3 3F : × → .

1ος Νόµος: Αρχή αδράνειας. Κάθε υλικό σηµείο στο οποίο δεν ασκείται δύναµη εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση:

F 0≡ ⇒ =x σταθερά.

Σχόλιο. Ο 1ος νόµος του Νεύτωνα αποτελεί ουσιαστικά την πρόταση εισαγωγής των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς. ∆ηλώνει ότι όταν σε ένα υλικό σηµείο δεν ασκείται δύναµη τότε στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς η καταγραφόµενη ταχύτητά του είναι σταθερή, χωρίς να γίνεται διάκριση από την κατάσταση ηρεµίας. Όταν σε ένα σύστηµα αναφοράς ένας παρατηρητής βρίσκει ότι ένα σώµα ηρεµεί, τότε, σε άλλο σύστηµα αναφοράς που κινείται ευθύγραµµα οµαλά ως προς το πρώ-το, ο άλλος παρατηρητής βρίσκει ότι το ίδιο σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα, άρα, και οι δυο βρίσκουν ότι το σώµα δεν επιταχύνεται και βασιζόµενοι σε αυτόν το νόµο συµπεραίνουν ότι δεν ασκείται επάνω του δύναµη.

2ος Νόµος: Εξίσωση της κίνησης. Η δύναµη που ασκείται σε ένα υλικό σηµείο προκαλεί ανάλογη προς αυτήν επιτάχυνση:

2

2 F( , )=d xm x xdt

.

Σχόλιο. Ο 2ος νόµος του Νεύτωνα εισάγει την εξίσωση της κίνησης των υλικών ση-µείων στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Επιπλέον, υποδεικνύει το διανυσµατι-κό χαρακτήρα της δύναµης και καθορίζει τη µάζα* ως συντελεστή αναλογίας της δύναµης προς την επιτάχυνση. Η εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου αποσυ-ντίθεται στις συνιστώσες διαφορικές εξισώσεις:

21

12 F ( , )=d xm x xdt

, 2

222 F ( , )=

d xm x xdt

, 2

332 F ( , )=

d xm x x

dt .

* Έως την εποχή του Νεύτωνα, η έννοια της µάζας ως ποσότητα της ύλης (quantitas materiae) που περι-έχεται σε ένα σώµα παρέµενε ασαφής τουλάχιστο σε ότι αφορά τη µετρησιµότητά της. Πάντως, ήταν αντιληπτό ότι η µάζα αποτελεί µέτρο της αδράνειας της ύλης και για το λόγο αυτό ονοµάστηκε αδρα-νειακή µάζα. Στην Κλασική Μηχανική, σε αντίθεση µε τη Θεωρία Σχετικότητας, η µάζα παραµένει σταθερή και ανεξάρτητη από την ταχύτητα του σώµατος.


31

3ος Νόµος: Αρχή δράσης-αντίδρασης. Τα υλικά σηµεία ενός συστήµατος αλ-ληλεπιδρούν ανά δύο µε αµοιβαίες αντίρροπες δυνάµεις ίδιου µέτρου. Σχόλιο. Ο 3ος νόµος του Νεύτωνα εισάγει τις δυνάµεις αλληλεπίδρασης υποδει-κνύοντας ότι αν ijf δηλώνει την ασκούµενη δύναµη στο i -οστό υλικό σηµείο από το j -οστό υλικό σηµείο του συστήµατος τότε ισχύει:

ij jif f 0+ = .

Συνεπώς, η συνολικά ασκούµενη δύναµη στο i -οστό υλικό σηµείο από τα υπόλοιπα

1k − υλικά σηµεία του συστήµατος καθορίζεται ως εξής:

i ij ij ijj 1 j 1j i j i

f f f e= =≠ ≠

= =∑ ∑k k

όπου ij jif f= δηλώνει το µέτρο της δύναµης αλληλεπίδρασης ijf και ije το µοναδιαίο διάνυσµα του προσανατολισµένου άξονα που ορίζεται από το i -οστό και το j -οστό υλικό σηµείο. Αν επιπλέον ασκείται στο υλικό αυτό σηµείο µια συνισταµένη εξωτερική δύναµη iF′ τότε η συνολικά ασκούµενη δύναµη καθορίζεται ως εξής:

'i ij i

j 1j i

F f F=≠

= +∑k

.

Αν στα υλικά σηµεία ενός συστήµατος ασκούνται µόνο δυνάµεις αλληλεπίδρασης λέµε ότι πρόκειται για κλειστό σύστηµα* και προκύπτει η προφανής άθροιση:

i iji 1 i 1 j 1

j i

f f 0= = =

≠

= =∑ ∑∑k k k

.

* Στην πραγµατικότητα δεν υφίστανται κλειστά συστήµατα, αλλά η θεώρηση εξωτερικών δυνάµεων προσφέρει τη δυνατότητα διαχωρισµού του συστήµατος υλικών σηµείων από το υπόλοιπο περιβάλλον. Στα συστήµατα που αποτελούνται µόνο από ένα υλικό σηµείο προφανώς δεν υφίστανται παρά µόνο εξωτερικές δυνάµεις.


32

• Αδρανειακές δυνάµεις. Στον ευκλείδειο χώρο 3 , θεωρούµε ένα αδρανεια-κό σύστηµα αναφοράς ℜ και ένα σύστηµα αναφοράς ′ℜ που την αρχική στιγµή ταυτίζεται µε το ℜ και µε την πάροδο του χρόνου περιστρέφεται διατηρώντας την αρχή του ταυτισµένη µε την αρχή του ℜ . Στα δυο αυτά συστήµατα αναφοράς ο τελεστής παραγώγισης δεν είναι ταυτόσηµος και υπεισέρχεται το διάνυσµα γωνιακής ταχύτητας του συστήµατος ′ℜ ως προς το σύστηµα ℜ :

( )1 2 3( ) ( ), ( ), ( )ω =t t t tω ω ω

που καθορίζει το συσχετισµό:

( )′ℜ ℜ= + ω ×d d tdt dt

.

Συγκεκριµένα, ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σύστηµα ℜ βλέπει την ορθοκανονική βάση 1 2 3( ), ( ), ( )e t e t e t′ ′ ′ του συστήµατος ′ℜ να περιστρέφεται και καταγράφει την αποσύνθεση:

11 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ℜ ′′ ′ ′= + +

d e t a t e t a t e t a t e tdt

21 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ℜ ′′ ′ ′= + +

d e t b t e t b t e t b t e tdt

31 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ℜ ′′ ′ ′= + +

d e t c t e t c t e t c t e tdt

οπότε, µε έναν απλό υπολογισµό*, καταλήγει στην έκφραση: * Λαµβάνοντας υπόψη ότι:

i ii i i i

( ) ( )( ), ( ) 1 2 ( ), 0 ( )d e t d e te t e t e t e tdt dt

ℜ ℜ⇒ ⇒′ ′

′ ′ ′ ′< >= < >= ⊥ , i 1, 2,3= .


33

11 3 2 2 3

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ℜ ′′ ′ ′= + −

d e t e t t e t t e tdt

ω ω

23 1 2 1 3

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )ℜ ′′ ′ ′= − + +

d e t t e t e t t e tdt

ω ω

32 1 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )ℜ ′′ ′ ′= − +

d e t t e t t e t e tdt

ω ω .

Το συµπέρασµα συνοψίζεται ως εξής:

ii

( ) ( ) ( )d e t t e tdt

ℜ ′′= ω × , i 1, 2,3= ,

από όπου καθορίζεται το διάνυσµα γωνιακής ταχύτητας του συστήµατος ′ℜ ως προς το σύστηµα ℜ . Επίσης, προκύπτει ο αντισυµµετρικός πίνακας του τελεστή γωνιακής ταχύτητας:

3 2

3 1

2 1

0 ( ) ( )( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) 0ω

− = − −

L

ω ωω ωω ω

t tt t t

t t

που πληροί την κλασική διανυσµατική σχέση:

( )ω ξ = ω ×ξtL , 3∀ξ∈ .

Όταν ένα υλικό σηµείο κινείται στον ευκλείδειο χώρο 3 , η θέση και η ταχύτητά του καταγράφονται διαφορετικά στα δυο συστήµατα αναφοράς. Σε κάθε χρονική στιγµή, αποσυνθέτοντας το διάνυσµα θέσης στην ορθοκανονι-κή βάση του συστήµατος ′ℜ :

3

i ii 1

( ) ( ) ( )=

′=∑x t c t e t

προκύπτει: 3 3

i ii i

i 1 i 1

( ) ( ) ( )( ) ( )

d x t d c t d e te t c t

dt dt dtℜ ℜ ℜ

= =

′′= +∑ ∑

άρα

( ) ( ) ( ) ( )′ℜ ℜ= + ω ×d x t d x t t x t

dt dt.*

* Όταν το υλικό σηµείο είναι ακίνητο στο σύστηµα ′ℜ τότε στο σύστηµα ℜ καταγράφεται η σχέση:

( ) ( ) ( )= ω ×x t t x t .


34

Λαµβάνοντας υπόψη ότι η γωνιακή επιτάχυνση δεν εξαρτάται από το σύ-στηµα αναφοράς:

( ) ( ) ( )( ) ( )d t d t d tt tdt dt dt

′ ′ℜ ℜ ℜω ω ω= + ω ×ω =

προκύπτει ο συσχετισµός καταγραφής των επιταχύνσεων στα δύο συστήµα-τα αναφοράς:

( )2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )′ ′ℜ ℜ ℜ ω= + ω × ω × + ω × + ×

d x t d x t d x t d tt t x t t x tdt dtdt dt

.

Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό σύστηµα ℜ αντιλαµβάνεται ως µόνο αίτιο της κίνησης του υλικού σηµείου τη δύναµη που καθορίζει την εξίσωση του Νεύτωνα:

2

2

( ) F( , )ℜ =d x tm x x

dt.

Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σύστηµα ′ℜ αντιλαµβάνεται ότι επενερ-γούν τρεις επιπλέον δυνάµεις οφειλόµενες στη µη αδρανειακή φύση του συστήµατός του:*

( )2

2

( ) ( ) ( )F( , ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )d x t d x t d tm x x m t t x t m t m x tdt dtdt

′ ′ℜ ℜ ω= − ω × ω × − ω × − ×

Πρόκειται για τις καλούµενες αδρανειακές δυνάµεις και συγκεκριµένα για τη φυγόκεντρο δύναµη (κεντροµόλο δύναµη όταν τεθεί θετικό πρόσηµο), τη δύναµη Coriolis και µια επιπρόσθετη αδρανειακή δύναµη που εµφανίζε-ται µόνο όταν η γωνιακή ταχύτητα δεν είναι σταθερή, οι οποίες εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής:

( )( ) ( ) ( )φ = − ω × ω ×m t t x tF , C

( )2 ( ) ′ℜ= − ω ×d x tm t

dtF , ( ) ( )α

ω= − ×

d tm x tdt

F .

* Πράγµατι:

2

2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t d d x t d d x t d x tm m t x t m t x t m t t x tdt dt dt dt dt dt

′ ′ ′ ′ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ ℜ = + ω × = +ω × + ω × +ω × =

( )2

2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t d x t d t d x tm m t m x t m t m t t x tdt dt dt dt′ ′ ′ ′ℜ ℜ ℜ ℜω

= + ω × + × + ω × + ω × ω × =

( )2

2( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t d x t d tm m t m x t m t t x t

dt dt dt′ ′ℜ ℜ ω

= + ω × + × + ω × ω × .


35

Κίνηση όπως την αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής τοποθετηµένος στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ℜ

και ένας παρατηρητής τοποθετηµένος στο µη αδρανειακό περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς ′ℜ . Σχόλιο. Αν, επιπλέον, η αρχή O′ του συστήµατος ′ℜ κινείται αναφορικά προς την αρχή O του αδρανειακού συστήµατος ℜ , η θέση του υλικού σηµείου εντοπίζεται στο σύστηµα ′ℜ µε το διάνυσµα:

( ) O O( ) ( )′ ′= +x t t x t

και προκύπτει ο συσχετισµός καταγραφής των ταχυτήτων στα δυο συστήµατα ανα-φοράς:

( ) OO ( ) ( )( ) ( )

d x t d t d x tt x t

dt dt dt′ℜ ℜ ℜ′ ′

′= + +ω ×

και ο συσχετισµός καταγραφής των επιταχύνσεων:

( )2 2 2

2 2 2

( ) OO ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )d x t d t d x t d x t d tt t x t t x t

dt dtdt dt dt′ ′ℜ ℜ ℜ ℜ′ ′ ′ ω′ ′= + +ω × ω × + ω × + × .

Όταν η αρχή του περιστρεφόµενου συστήµατος αναφοράς ′ℜ κινείται σε σχέση µε την αρχή του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς ℜ πρέπει επιπλέον να ληφθεί υπόψη και αυτή η κίνηση.


36

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. Συστήµατα αναφοράς στην επιφάνεια της γης.

Ένα σταθερό σύστηµα αναφοράς ℜ τοποθετηµένο στο κέντρο της γης θεωρείται πρακτικά* αδρανειακό, ενώ ένα σύστηµα αναφοράς ′ℜ τοποθετηµένο στο κέντρο της γης αλλά ενσωµατωµένο σε αυτή, συνεπώς περιστρεφόµενο µαζί της, είναι µη αδρανειακό. Η γη πραγµατοποιεί κάθε περιστροφή γύρω από τον άξονά της σε χρονικό διάστηµα 86.164 sec και µπορούµε να θεωρήσουµε σταθερή τη γωνιακή ταχύτητά της ως προς το αδρανειακό σύστηµα ℜ . Επιλέγοντας ως 3ο άξονα των συστηµάτων αναφοράς τον άξονα περιστροφής της γης, καθορίζεται το διάνυσµα γωνιακής ταχύτητας (0,0, )ω = ω µε αριθµητική τιµή 2 /86164 /ω = rad sπ . Με αυτά τα δεδοµένα η εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m εκφράζεται στο µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ′ℜ ως εξής:

( )2

2( ) ( )F( , ) ( ) 2d x t d x tm x x m x t m

dtdt′ ′ℜ ℜ= − ω× ω× − ω× .

Καταγραφή της κίνησης ενός υλικού σηµείου σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς τοποθετηµένο στο κέντρο της γης και ένα µη αδρανειακό τοποθετηµένο στην επιφάνειά της.

Αν το σύστηµα ′ℜ τοποθετηθεί σε ένα σηµείο O′ της επιφάνειας της γης, θέτοντας R( ) OO ( )t t′= και θεωρώντας το διάνυσµα θέσης: ( ) = ( ) R( )x t x t t′ − προκύπτει:

( ) (R( ) ( )) R( ) ( )( )′ℜ ℜ ℜ ℜ′ ′+ ′= = + +ω×

d x t d t x t d t d x tx t

dt dt dt dt

συνεπώς

( )2 2 2

2 2 2( ) R( ) ( ) ( )( ) 2d x t d t d x t d x tx t

dtdt dt dt′ ′ℜ ℜ ℜ ℜ′ ′

′= + +ω× ω× + ω× .

* Στην πραγµατικότητα το σύστηµα αναφοράς ℜ είναι κατά προσέγγιση αδρανειακό αφού η γη περιφέ-ρεται γύρω από τον ήλιο, ενώ ένα σύστηµα αναφοράς τοποθετηµένο στο κέντρο του ήλιου ή ενός αστέρα είναι αδρανειακό µε καλύτερη προσέγγιση.


37

Η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται τώρα στο σύστηµα αναφοράς ′ℜ ως εξής:

( )2 2

2 2

( ) R( ) ( )F( , ) ( ) 2′ ′ℜ ℜ ℜ′ ′

′= − − ω× ω× − ω×d x t d t d x t

m x x m x t mdtdt dt

.

Λαµβάνοντας υπόψη την έκφραση της κεντροµόλου επιτάχυνσης:

( )2

2R( ) R( )d t t

dtℜ = ω× ω×

προκύπτει:

( ) ( )2

2

( ) ( )F( , ) R( ) ( ) 2′ ′ℜ ℜ′ ′

′= − ω× ω× − ω× ω× − ω×d x t d x t

m x x m t m x t mdtdt

.*

Φυγόκεντρος δύναµη ασκούµενη σε µια µάζα στην επιφάνεια της γης.

Σχόλιο. Αν ένα σώµα είναι τοποθετηµένο στην επιφάνεια της γης τότε η ασκούµενη φυγόκεντρος δύναµη:

( )F R( )m tφ = − ω× ω×

είναι κάθετη στο διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης µε φορά εξωτερική και αν συγκεκριµένα βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος γωνίας ϕ τότε το µέτρο της ασκούµενης φυγόκεντρης δύναµης είναι:

2| F | R sinmφ = ω ϕ .

* Κατά την περιστροφή της γης, το σηµείο O ( )t′ διαγράφει περιφέρεια µε κέντρο την προβολή του στον άξονα περιστροφής της γης και παρατηρούµε ότι:

( ) ( ) ( ) ( )R( ) (OK K O ( )) K O ( ) R ( )t t t t′ ′ ′ ′ ′ ′ω× ω× = ω× ω× + = ω× ω× = ω× ω× .


38

1.6. ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

Όταν οι µαθηµατικοί του 18ου και 19ου επιχείρησαν να αναδιατυπώσουν το θεωρη-τικο υπόβαθρο της Κλασικής Μηχανικής, η έννοια της δύναµης σκιάστηκε από τις έννοιες της ορµής και της ενέργειας. Ο παραµερισµός της από την κεντρική εννοιο-λογική της θέση έγινε εντονότερος µε τα επιτεύγµατα της φυσικής του 20ου αιώνα. Αυτό δεν σηµαίνει απόρριψη του θεµελιακού ρόλου της, όµως όπως έγινε αντιληπτό η έννοια της ορµής προσφέρει σαφέστερες και ευρύτερες δυνατότητες κατανόησης των φαινοµένων. Η δύναµη αντιµετώπισε µια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών όπως αυτή που αφορά στη δράση της από απόσταση. Αφού οι δυνάµεις δεν δρουν ακαριαία στο χώρο, οφείλουµε να αναρωτηθούµε για το τι συµβαίνει στο ενδιάµεσο χρονικό διάστηµα έως ότου ένα σωµατίδιο αντιδράσει στην παρουσία ενός άλλου υπακούοντας στο νόµο δράσης-αντίδρασης. Χρειάστηκε λοιπόν να επανεξετάσουµε τον 3ο νόµο του Νεύτωνα και να προβληµατιστούµε για το ενδεχόµενο αντικατά-στασής του από την αρχή διατήρησης της ορµής η οποία δεν επηρεάζεται από τη χρονική υστέρηση της διάδοσης της δύναµης. Στην ουσία, ο λόγος που οδηγεί στο να θεωρήσουµε την αρχή διατήρησης της ορµής ως θεµελιώδη νόµο είναι το ότι σε αυτήν αντικατοπτρίζεται η οµογένεια του χώρου, ενώ παράλληλα η ισοτροπία του χώρου αντικατοπτρίζεται στην αρχή διατήρησης της στροφορµής και η οµογένεια του χρόνου στην αρχή διατήρησης της ενέργειας. Οι νόµοι της φύσης, από ότι τουλάχιστο γνωρίζουµε, είναι ίδιοι σε όλα τα σηµεία του χώρου σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Συνεπώς, η χρονική και χωρική οµογένεια και η χωρική ισοτροπία ίσως είναι οι βαθύτεροι λόγοι που οδηγούν αντίστοιχα στις αρχές διατήρησης της ενέργειας, της ορµής και της στροφορµής, καθιστώντας τις τρεις αυτές έννοιες ως εξέχουσες και θεµελιώδεις για την Κλασική Μηχανική.

• Αδρανειακό κέντρο. Ο όρος αδρανειακό κέντρο ενός συστήµατος υλικών σηµείων µε αντίστοιχες µάζες im , i 1,...,= k , δηλώνει το σηµείο του ευκλεί-δειου χώρου 3 που σε κάθε χρονική στιγµή ορίζεται µε το διάνυσµα:

i ii 1

1r( ) r ( )=

= ∑k

t m tm

όπου ir ( )t συµβολίζει το διάνυσµα θέσης του υλικού σηµείου µάζας im και m τη συνολική µάζα του συστήµατος, δηλαδή το άθροισµα των µαζών των υλικών του σηµείων. Το αδρανειακό κέντρο δεν εξαρτάται από την επιλογή της αρχής του χώρου ως προς την οποία ορίζονται τα διανύσµατα θέσης, δη-λαδή πρόκειται για έννοια ενδογενή του συστήµατος και, θεωρώντας το ως υλικό σηµείο µάζας m , προκύπτει η ταχύτητά του και η επιτάχυνσή του:

i ii 1

1r( ) r ( )=

= ∑k

t m tm

και i ii 1

1r( ) r ( )=

= ∑k

t m tm

.

1.6. ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 39

Στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα:

ii 1

r( ) F=

=∑k

tm

όπου iF δηλώνει την ασκούµενη εξωτερική δύναµη στο υλικό σηµείο µάζας

im , i 1,...,= k .* Συνεπώς, όταν η συνισταµένη των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων στο σύστηµα υλικών σηµείων είναι µηδέν τότε το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τοποθετώντας ένα σύστηµα ανα-φοράς στο αδρανειακό κέντρο και θεωρώντας τα προσαρτηµένα στο αδρα-νειακό κέντρο διανύσµατα θέσης των υλικών σηµείων:

i ir ( ) r ( ) r( )′ = −t t t , i 1,...,= k , προκύπτει:

i ii=1

r ( ) 0′ =∑k

m t και i ii=1

r ( ) 0′ =∑k

m t .

∆ιάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου ως προς το αδρανειακό κέντρο του συστήµατος.

• Η ορµή ενός υλικού σηµείου ορίζεται ως το γινόµενο της µάζας του επί την

ταχύτητά του και η ορµή ενός συστήµατος k υλικών σηµείων ορίζεται ως το άθροισµα των ορµών των υλικών σηµείων του:

i1

p( ) p ( )=

=∑k

it t όπου i i ip ( ) r ( )=t m t , i 1,...,= k .

* Πράγµατι, λαµβάνοντας υπόψη την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάµεων προκύπτει ότι:

( ) ( )i i i i ij i ii 1 i 1 i 1 j 1 i 1 i 1

j i

r( ) r ( ) f F f F F F= = = = = =

≠

= = + = + = =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑k k k k k k

t m tm .


40

Η ορµή κάθε συστήµατος υλικών σηµείων ταυτίζεται µε την ορµή του αδρα-νειακού του κέντρου στο οποίο θεωρούµε συµπυκνωµένη όλη τη µάζα του συστήµατος:*

p( ) r( )=t tm .

Στο πλαίσιο της ισχύος του νόµου δράσης-αντίδρασης, λαµβάνοντας υπόψη την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάµεων, η εξίσωση του Νεύτωνα που διέπει την κίνηση του αδρανειακού κέντρου στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς εκφράζεται ως εξής:

ii 1

p( ) F=

= ∑k

t

όπου iF δηλώνει την ασκούµενη εξωτερική δύναµη στο υλικό σηµείο µάζας

im , i 1,...,= k . Αν η συνισταµένη των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδενική τότε το σύστηµα κατά την εξέλιξή του διατηρεί σταθερή την ορµή του παρότι η ορµές των υλικών σηµείων του ενδεχοµένως δεν είναι σταθερές. Αυτή ακριβώς είναι η καλούµενη αρχή διατήρησης της ορµής:

ii 1

F 0 p( )=

= ⇒∑k

t σταθερή.

Όταν η συνισταµένη εξωτερική δύναµη δεν είναι µηδενική τότε η µεταβολή της ορµής ανάµεσα σε δυο χρονικές στιγµές ορίζει την αντίστοιχη ώση του συστήµατος:

2 2

1 12 1F p( ) p( ) p( )= = −∫ ∫

t t

t tdt t dt t t .

Στροβοσκοπική φωτογραφία της κίνησης συγκρουόµενων µαζών.

Η µια µάζα είναι περίπου διπλάσια της άλλης και οι ορµές τους µεταβάλλονται κατά τη κρούση αλλά το άθροισµά τους διατηρείται σταθερό και το αδρανειακό τους κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση.

* Πράγµατι:

( )i i i i i1 i 1 i 1

p( ) p ( ) r ( ) r ( ) r( ) r( )= = =

= = = = =

∑ ∑ ∑

k k k

i

d dt t m t m t t tdt dt

m m .


• Η στροφορµή ενός συστήµατος k υλικών σηµείων ορίζεται ως άθροισµα των στροφορµών των υλικών σηµείων ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 :

i i ii 1 i 1

( ) ( ) r ( ) p ( )k k

t t t t= =

Ω = Ω = ×∑ ∑ .

Θεωρώντας τις εξωτερικές δυνάµεις iF , i 1,..., k= , που ασκούνται αντίστοιχα στα υλικά σηµεία του συστήµατος ορίζεται η ολική ροπή τους ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου:

i i ii 1 i 1

( ) ( ) r ( ) F ( )k k

t t t t= =

Λ = Λ = ×∑ ∑ .

Η αρχή δράσης-αντίδρασης υποδεικνύει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάµεων και έτσι προσδιορίζεται ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής:*

( ) ( )d t tdtΩ

= Λ .

Η αρχή διατήρησης της στροφορµής δηλώνει ότι αν η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σύστηµα υλικών σηµείων είναι µηδενική τότε το σύστηµα διατηρεί σταθερή στροφορµή κατά την εξέλιξή του, παρότι οι στροφορµές των υλικών σηµείων του ενδεχοµένως µεταβάλ-λονται:

( ) 0 ( )t tΛ = ⇒ Ω σταθερή.

Όταν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύ-στηµα δεν είναι µηδενική τότε η µεταβολή της στροφορµής του ανάµεσα σε δυο χρονικές στιγµές ορίζει τη στροφική ώση:

2 2

1 12 1( ) ( ) ( ) ( )

t t

t tt dt d t t tΛ = Ω = Ω −Ω∫ ∫ .

* Πράγµατι:

( ) ( ) ( )i i i i i i i ij ii 1 i 1 i 1 i 1 j 1

j

( ) r ( ) p ( ) r ( ) p ( ) r ( ) p ( ) r ( ) ( f F )k k k k k

i

d t d t t t t t t tdt dt = = = = =

≠

Ω = × = × + × = × + =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )i ij i i i i ii 1 j 1 i 1 i 1 i 1

j

r ( ) f r ( ) F r ( ) F ( ) ( )k k k k k

i

t t t t t= = = = =

≠

= × + × = × = Λ = Λ

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .


42

• Η ιδιοστροφορµή (spin) ενός συστήµατος k υλικών σηµείων ορίζεται ως εξής:

i i ii 1 i 1

( ) ( ) r ( ) p ( )k k

t t t t= =

′ ′ ′ ′Ω = Ω = ×∑ ∑ .

Η διαφορά της ιδιοστροφορµής από τη στροφορµή του συστήµατος εκφρά-ζει τη στροφορµή του αδρανειακού κέντρου ως προς την αρχή του ευκλεί-δειου χώρου 3 :*

( ) ( ) r( ) p( )t t t t′Ω −Ω = × .

Όταν το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση σε άξονα διερχόµε-νο από την αρχή του ευκλείδειου χώρου τότε, προφανώς, ιδιοστροφορµή και στροφορµή ταυτίζονται:

( ) ( )′Ω = Ωt t .

Η διαφορά του ρυθµού µεταβολής της ιδιοστροφορµής από το ρυθµό µετα-βολής της στροφορµής του συστήµατος εκφράζει τη ροπή της συνισταµένης δύναµης ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 :

( ) ( ) r( ) F( )t t t tdt dt

′Ω Ω− = ×

όπου

i ii=1 i=1

F = F pk k

=∑ ∑ .

Η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα ως προς το αδρανειακό του κέντρο:

i i ii 1 i 1

( ) ( ) r ( ) F ( )k k

t t t t= =

′ ′ ′Λ = Λ = ×∑ ∑

εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της ιδιοστροφορµής:

( ) ( )d t tdt′Ω ′= Λ .

* Πράγµατι:

( ) ( ) ( )( )i i i i i ii 1 i 1

( ) r ( ) r ( ) r( ) r ( ) r( ) r ( )= =

′ ′Ω = × = + × + =∑ ∑k k

t t m t t t m t t

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

r( ) r( ) r ( ) r( ) r( ) r ( ) r ( ) r ( )= = = =

′ ′ ′ ′= × + × + × + × =∑ ∑ ∑ ∑k k k k

t m t t m t t m t t m t

( ) ( ) ( )i i i i i ii 1 i 1 i 1

r( ) r( ) r ( ) r( ) r( ) r ( ) r ( ) p ( ) r( ) p( ) ( )= = =

′ ′ ′ ′ ′= × + × + × + × = × +Ω∑ ∑ ∑k k k

t t m t t t m t t t t t tm .


Συνεπώς* ( ) 0 ( )t t′ ′Λ = ⇒ Ω σταθερή

που σηµαίνει ότι όταν η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκού-νται στο σύστηµα ως προς το αδρανειακό του κέντρο είναι µηδενική τότε η ιδιοστροφορµή διατηρείται σταθερή. Άρα, η αρχή διατήρησης της στροφορ-µής ισχύει όχι µόνο στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς αλλά και σε συ-στήµατα αναφοράς που ακολουθούν την κίνηση του αδρανειακού κέντρου.

Σχόλιο. Η αρχή διατήρησης της στροφορµής ενός συστήµατος υλικών σηµείων, η θέση των οποίων σε κάθε χρονική στιγµή καθορίζεται στον ευκλείδειο χώρο 3 µε τα διανύσµατα:

( )i i i i( ) ( ), ( ), ( )=r t x t y t z t , i 1,...,k= ,

σηµαίνει ότι οι τρεις συνιστώσες της στροφορµής διατηρούνται σταθερές, γεγονός που εκφράζεται στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς µε τις εξισώσεις:

( )i i i i i 1i 1

( ) ( ) ( ) ( ) ck

m y t z t y t z t=

− =∑

( )i i i i i 2i 1

( ) ( ) ( ) ( ) ck

m z t x t z t x t=

− =∑

( )i i i i i 3i 1

( ) ( ) ( ) ( ) ck

m x t y t x t y t=

− =∑ .

Στροφορµή υλικού σηµείου ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 .

* Πράγµατι,

( ) ( ) ( )( ) ( )i i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

( ) ( ) r( ) F r ( ) F r( ) F r ( ) r( ) F r ( ) F ( )k k k kd t d t t t t t t t t

dt dt = = = =

′Ω Ω ′ ′= − × = × − × = − × = × = Λ∑ ∑ ∑ ∑ .


44

• Η κινητική ενέργεια ενός συστήµατος k υλικών σηµείων µε αντίστοιχες µάζες im ορίζεται στο χώρο των ταχυτήτων ως εξής:

3: +→kK

21 i i i i i

1 i 1

1 1(r ,..., r ) r ( ), r ( ) || r ( ) ||2 2= =

= < > =∑ ∑k k

ki

m t t m tK

και εκφράζεται στο χώρο των ορµών ως: 2

i1

i 1 i

|| p ( ) ||(p ,...,p )2=

=∑k

ktm

K .

Η κινητική ενέργεια του συστήµατος των υλικών σηµείων δεν ταυτίζεται µε την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου:

3o : +→K ,

22i

oi 1

|| p ( ) |||| p( ) ||(p)2m 2m=

= =∑k tt

K .

Συγκεκριµένα, εισάγοντας τις ορµές των υλικών σηµείων ως προς το αδρα-νειακό κέντρο, προκύπτει ότι:*:

1 o 1(p ,...,p ) (p) (p ,...,p )′ ′ ′= +k kK K K όπου

2i

1i 1 i

|| p ( ) ||(p ,...,p )2=

′′ ′ ′ =∑

k

ktm

K

εκφράζει, από φυσική άποψη, συνδυασµό της στροφικής κινητικής ενέργει-ας και της εσωτερικής κινητικής ενέργειας του συστήµατος.

* Πράγµατι, θεωρώντας τα διανύσµατα θέσης ως προς το αδρανειακό κέντρο:

i ir ( ) r ( ) r( )′ = −t t t , i 1,...,= k , και λαµβάνοντας υπόψη ότι

i ii=1

r ( ) 0′ =∑k

m t και i ii=1

r ( ) 0′ =∑k

m t

προκύπτει:

1 i i i i i i1 i 1

1 1(r ,..., r ) r ( ), r ( ) r( ) r ( ), r( ) r ( )2 2= =

′ ′= < > = < + + > =∑ ∑k k

ki

m t t m t t t tK

i i i i i ii 1 i 1 i 1

1 1r( ), r( ) r( ), r ( ) r ( ), r ( )2 2= = =

′ ′ ′= < > + < > + < > =∑ ∑ ∑k k k

m t t m t t m t t

2 2i i o 1

i 1

1 1m || ( ) || || r ( ) || (r) (r ,..., r )2 2 =

′ ′ ′ ′= + = +∑k

kr t m t K K .


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. Κίνηση του αδρανειακού κέντρου δυο υλικών σηµείων.

Θεωρούµε ένα σύστηµα δυο υλικών σηµείων µε αντίστοιχες µάζες 1m , 2m και, σε κάθε χρονική στιγµή, εντοπίζουµε τη θέση τους στον ευκλείδειο χώρο µε τα αντί-στοιχα διανύσµατα:

11r ( ) = OM ( )t t και 22r ( ) = OM ( )t t ,

οπότε προκύπτει η θέση του αδρανειακού κέντρου:

1 1 2 2

1 2

r ( ) r ( )r( )

+=

+m t m t

tm m

.

Αν στα υλικά σηµεία ασκούνται αντίστοιχα εξωτερικές δυνάµεις 1F και 2F , συµβο-λίζοντας ijf τη δύναµη αλληλεπίδρασης που ασκεί το υλικό σηµείο µάζας im στο υλικό σηµείο µάζας jm , 1,2i = , οι εξισώσεις κίνησης διατυπώνονται ως εξής:

1 1 12 1r ( ) f F= +m t και 2 2 21 2r ( ) f F= +m t .

Η αρχή δράσης-αντίδρασης δηλώνει ότι 12 21f f 0+ = , άρα η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση:

1 2 1 2( ) r( ) F F+ = +m m t .

Η ορµή του συστήµατος ταυτίζεται µε την ορµή του αδρανειακού κέντρου:

1 2 1 1 2 2 1 2p( ) p ( ) p ( ) r ( ) r ( ) ( ) r( )= + = + = +t t t m t m t m m t

και αν η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδέν τότε το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση:

1 2F F 0 p( )+ = ⇒ t σταθερά.


46

Η κινητική ενέργεια του συστήµατος: 2 2

1 21 2

1 2

|| p ( ) || || p ( ) ||(p , p )

2 2= +

t tm m

K

αποσυντίθεται σε µεταφορική και στροφική κινητική ενέργεια:

21 2

1 2

|| p ( ) p ( ) ||(p)

2( )+

=+o

t tm m

K και 2 2

1 21 2

1 2

|| p ( ) || || p ( ) ||(p , p )

2 2′ ′

′ ′ = +t t

m mK .

Η στροφορµή του συστήµατος εκφράζεται ως εξής:

1 1 2 2( ) r ( ) p ( ) r ( ) p ( )t t t t tΩ = × + × .

Θεωρώντας το διάνυσµα ( )ρ t αρχής 1M ( )t και πέρατος 2M ( )t και σηµειώνοντας ότι

21 1

1 2

r ( ) = r ( ) r( ) ( )′ − = − ρ+m

t t t tm m

, 12 2

1 2

r ( ) = r ( ) r( ) ( )′ − = ρ+m

t t t tm m

και 2

1 11 2

r ( ) = r ( ) r( ) ( )′ − = − ρ+m

t t t tm m

, 12 2

1 2

r ( ) = r ( ) r( ) ( )′ − = ρ+m

t t t tm m

,

προσδιορίζεται η ιδιοστροφορµή:

1 21 1 2 2

1 2

( ) r ( ) p ( ) r ( ) p ( ) ( ) ( )m m

t t t t t t tm m

′ ′ ′ ′ ′Ω = × + × = ρ ×ρ+

.

Ας εφαρµόσουµε τα προηγούµενα συµπεράσµατα σε ένα σύστηµα δυο υλικών ση-µείων ίδιας µάζας m που κινούνται αντίστοιχα στον ισηµερινό και το µεσηµβρινό µιας σφαίρας µοναδιαίας ακτίνας επικεντρωµένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και η θέσης τους, σε κάθε χρονική στιγµή, εντοπίζεται από τα διανύσµατα:

( )1r ( ) = cos ,sin ,0t t t και ( )2r ( ) = sin ,0,cost t t .

Κίνηση των δυο υλικών σηµείων στην επιφάνεια της σφαίρας.


Το αδρανειακό κέντρο του συστήµατος προφανώς διαγράφει ελλειπτική τροχιά που ορίζεται από την τοµή ενός επιπέδου µε ένα κύλινδρο:

( )1

2r( ) = cos + sin , sin , cost t t t t

και η στροφορµή του προσδιορίζεται ως εξής:

r( ) p( ) ( 1, 1, 1)2mt t× = − .

Η στροφορµή του συστήµατος προσδιορίζεται ως εξής:

1 1 2 2( ) r ( ) p ( ) r ( ) p ( ) (0,1,1)t t t t t mΩ = × + × =

και η ιδιοστροφορµή του:

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) (1 , 1 , 1)2

m m mt t tm m

′Ω = ρ ×ρ =+

.

Προφανώς πληρούται η σχέση:

( ) ( ) r( ) p( )t t t t′Ω −Ω = × .

Η σταθερότητα της στροφορµής σηµαίνει µηδενισµό της ολικής ροπής των εξωτερι-κών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα:

1 1 2 2( ) ( ) r ( ) F ( ) r ( ) F ( ) 0d t t t t t t

dtΩ

= Λ = × + × =

γεγονός που άλλωστε προκύπτει απευθείας και από την έκφραση των δυνάµεων που ασκούνται στα υλικά σηµεία:

( )1F ( ) = cos ,sin ,0t m t t− και ( )2F ( ) = sin ,0,cost m t t− .

Στροφορµή ζεύγους υλικών σηµείων.


48

Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση δυο υλικών σηµείων ίδιας µάζας που η θέση τους στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς καθορίζεται αντίστοιχα, κάθε χρονική στιγ-µή, ως εξής:

( )1r ( ) = cos , sin , 1t t t και ( )2r ( ) = cos( ), sin ( ), 1π + π+ −t t t .

Τα υλικά αυτά σηµεία προφανώς περιφέρονται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα διαγράφοντας παράλληλες κυκλικές τροχιές µε ίδια γωνιακή ταχύτητα (0,0,1)ω = . Το αδρανειακό κέντρο του συστήµατός τους είναι αµετακίνητο, άρα η ιδιοστροφορ-µή ταυτίζεται µε τη στροφορµή ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 :

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( cos , sin , 2)m m

t t t t m t tm m

′Ω = Ω = ρ ×ρ = − −+

.

Η στροφορµή δεν διατηρείται σταθερή και η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα είναι:

( )( ) (cos , sin , 0)d tt m t tdtΩ

Λ = = − .

Ο προσδιορισµός της ολικής ροπής:

1 1 2 2( ) r ( ) F ( ) r ( ) F ( )t t t t tΛ = × + ×

προκύπτει επίσης από τη γνώση αυτών των δυνάµεων:

( )1F ( ) = cos , sin , 0t m t t− και ( )2F ( ) = cos , sin , 0t m t t .

Αν τα υλικά σηµεία εκτελούσαν την κίνηση:

( )1r ( ) = cos , sin , 1t t t και ( )2r ( ) = cos( + ), sin( + ), 1t t tπ π ,

η στροφορµή θα ήταν σταθερή και συγγραµµική προς τη γωνιακή ταχύτητα.

Στροφορµή ζεύγους υλικών σηµείων.

1.7. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 49

1.7. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

1. Στην κλασική Μηχανική, η δοµή του χωρο-χρόνου χαρακτηρίζεται από την αφι-νικότητά του, τη γραµµικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δοµή του χώρου. ∆ιευκρινίστε τι σηµαίνουν από µαθηµατική άποψη αυτά τα χαρακτηριστικά. 2. Στην κλασική Μηχανική, σε αντίθεση µε τη θεωρία Σχετικότητας, δεν υφίσταται φυσική µετρική στο χωρο-χρόνο που να προσµετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις και χρονικά διαστήµατα. ∆ιευκρινίστε αυτή την παρατήρηση. 3. ∆ιευκρινίστε την αλγεβρική δοµή του συνόλου των µεταφορών στο χωρο-χρόνο διαµέσου των οποίων πραγµατοποιείται η µετάβαση από ένα γεγονός σε κάποιο άλλο και την ισοµορφική ταύτισή του µε τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο 4 . 4. ∆ιευκρινίστε τις 10 παραµέτρους που υπεισέρχονται στην οµάδα του Γαλιλαίου. Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο αυτής της οµάδας και πως διατυπώνεται το αντί-στροφο στοιχείο ενός οποιουδήποτε στοιχείου της; ∆ιαπιστώστε την µη αντιµετα-θετικότητά της και εξετάστε αν διαθέτει αντιµεταθετικές υποοµάδες. 5. Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα και τον προσανατολισµό των βάσεων του ευκλείδειου χώρου 3 ; Γιατί στην οµάδα του Γαλιλαίου δεν υπεισέρχονται όλοι οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί του ευκλεί-δειου χώρου 3 ; 6. Εντοπίστε µεταξύ των ακόλουθων µετασχηµατισµών του χωρο-χρόνου 3 × εκείνους που ανήκουν στην οµάδα του Γαλιλαίου:

11 1 1

22 2 2

33 3 3

0 0 10 1 01 0 00 0 0 1

′ ′ + = ′ ′

oo

oo

oo

o


11 1 1

22 2 2

33 3 3

1/ 3 2 /3 2 /32 /3 1/3 2 /32 /3 2 /3 1/30 0 0 1

′− − ′− − + = ′− − ′

oo

oo

oo

o


11 1 1

22 2 2

33 3 3

0 1 00 0 11 0 00 0 0 1

′ ′− + = ′− ′

oo

oo

oo

o


11 1 1

22 2 2

33 3 3

2 / 3 2 / 3 1/ 31/ 3 2/ 3 2/ 32/ 3 1/ 3 2/ 30 0 0 1

′− ′− + = ′− ′

oo

oo

oo

o


11 1 1

22 2 2

33 33

2 / 2 0 2 / 20 1 0

2 / 2 0 2 / 20 0 0 1

oo

oo

oo

o

xv x xxv x xxx xvtt t

′− ′ + = ′ ′

11 1 1

22 2 2

33 3 3

2 /3 2 /3 1/ 32 / 3 1/3 2 /31/ 3 2 /3 2 /30 0 0 1

′− − ′− + = ′ ′

oo

oo

oo

o



50

7. Εξετάστε αν υπάρχει στοιχείο της οµάδας του Γαλιλαίου του οποίου η χωρική δράση στον ευκλείδειο χώρο 3 µετασχηµατίζει το ευκλείδειο σύστηµα αξόνων στο σύστηµα αξόνων που είναι επικεντρωµένο στο σηµείο (1,1,1) και ορίζεται από τα διανύσµατα 1 (2,2,1)′ =e , 2 ( 2,1,2)′ = −e , 3 (1, 2,2)′ = −e . 8. Προσδιορίστε τη χωρική απόσταση των ταυτόχρονων γεγονότων (1,1,1,0)a και

(1,0,0,0)b του χωρο-χρόνου 3 × και τη γωνία που ορίζουν στον ευκλείδειο χώρο 3 . Επίσης, προσδιορίστε τη χωρική απόσταση και τη γωνία των αντίστοιχων γε-

γονότων που προκύπτουν από το χωρο-χρονικό µετασχηµατισµό:

1 1

2 2

3 3

.

0 1 0 0 11 0 0 0 10 0 1 1 10 0 0 1 0

′− ′ + = ′ ′

x xx xx xt t

9. ∆είξτε ότι σε κατάλληλη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου 3 κάθε γαλιλαϊκός µετασχηµατισµός µηδενικής χρονικής παραµέτρου εκφράζεται ως εξής:

1 1 01 01

2 2 02 02

3 3 03 03 .

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

′ θ − θ + ′ = θ θ + + ′ +


10. Προσδιορίστε την ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου 3 που ανα-φέρεται στην προηγούµενη άσκηση στην περίπτωση του γαλιλαϊκού µετασχηµατι-σµού του οποίου τα αριθµητικά στοιχεία είναι εκφρασµένα στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου 3 :

1 1

2 2

3 3

.

1 0 1 0 012 0 2 0 202 1 0 1 000 0 0 1

−′ ′ = + ′ ′

x xx xx xt t

11. Ένα στοιχείο της οµάδας Γαλιλαίου ορίζει µηδενική χωρο-χρονική µεταφορά, αδρανειακή κίνηση στον άξονα του διανύσµατος (1,1,1)ξ = µε ταχύτητα µοναδιαίου µέτρου και στροφή γωνίας π/2 γύρω από αυτόν τον άξονα στον ευκλείδειο χώρο

3 . Τα αριθµητικά δεδοµένα είναι εκφρασµένα στην κανονική βάση του ευκλείδει-ου χώρου 3 και ζητάµε να προσδιορίσετε στη βάση αυτή τα αριθµητικά στοιχεία που υπεισέρχονται στον οριζόµενο χωρο-χρονικό µετασχηµατισµό:

1 1

2 2

3 3

.

.. . . .

.. . . .

.. . . .

.0 0 0 1

′ ′ + = ′ ′

x xx xx xt t


12. ∆είξτε ότι, στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου 3 , ο µετασχηµατισµός στροφής γωνίας θ γύρω από τον άξονα µοναδιαίου διανύσµατος 1 2 3= ( , , )ξ ξ ξ ξ εκφράζεται ως εξής:

1 2 3

21 1 2 3 1 3 2

2(e ,e ,e ) 1 2 3 2 2 3 1

21 3 2 2 3 1 3 .

(1 cos ) cos (1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin )(1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos (1 cos ) (sin )(1 cos ) (sin ) (1 cos ) (sin ) (1 cos ) cos

S =

− θ ξ + θ − θ ξ ξ − θ ξ − θ ξ ξ + θ ξ

− θ ξ ξ + θ ξ − θ ξ + θ − θ ξ ξ − θ ξ − θ ξ ξ − θ ξ − θ ξ ξ + θ ξ − θ ξ + θ

13. Εξετάστε αν η χωρική δράση των στοιχείων της οµάδας του Γαλιλαίου επηρε-άζει την καµπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 3 . 14. Εξετάστε αν ο επαναχρονισµός του χρονικού άξονα επηρεάζει την καµπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 3 . 15. Αποδείξτε ότι κάθε κίνηση µη µηδενιζόµενης ταχύτητας µε κατάλληλο επανα-χρονισµό ανάγεται σε κίνηση ταχύτητας µοναδιαίου µέτρου. 16. Αποδείξτε ότι οι τροχιές µηδενικής στρέψης είναι επίπεδες και οι τροχιές µηδε-νικής καµπυλότητας είναι ευθύγραµµες. 17. Προσδιορίστε την έκφραση της συνάρτηση ( )φ t κατά τρόπο ώστε η τροχιά της ακόλουθης κίνησης να είναι επίπεδη:

( )( ) cos , sin , ( )= φx t t t t .

18. Προσδιορίστε τον επαναχρονισµό που καθιστά µοναδιαία την ταχύτητα της ακόλουθης κίνησης και δείξτε ότι η τροχιά της είναι επίπεδη κυκλική:

3: →x , .

4 3( ) cos , 1 sin , cos5 5

= − −

x t t t t

19. ∆ιαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης: 3: [-2 ,2 ]π π →x , ( )( ) 1 cos , sin , 2sin / 2= +x t t t t ,

εξελίσσεται στην τοµή της επιφάνειας ενός κυλίνδρου και µιας σφαίρας και προσδι-ορίστε την καµπυλότητα και τη στρέψη της. 20. ∆ιαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης:

3: + →x , ( )( ) e cos , e sin , e− − −= t t tx t t t ,

εξελίσσεται στην επιφάνεια ενός κώνου και προσδιορίστε την τροχιά της προβολής της στο οριζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου χώρου 3 . Ποια είναι η σχέση της κα-µπυλότητας της τροχιάς µε την καµπυλότητα της προβολής της;


52

21. Αποδείξτε ότι η καµπυλότητα της τροχιάς της ακόλουθης κίνησης µηδενίζεται µόνο τη χρονική στιγµή 0t = :

3: →x , ( )( ) , ( ), ( )= −x t t h t h t όπου

( ) 0=h t όταν 0≤t και 21/( ) −= th t e όταν 0>t .

22. Αποδείξτε ότι οι τροχιές µη µηδενικής σταθερής καµπυλότητας και στρέψης είναι κυκλικές ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο 3 . Επίσης, ότι οι τροχιές των οποίων η καµπυλότητα και στρέψη είναι µη µηδενικές µε σταθερό λόγο είναι ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο 3 . Εξετάστε σε ποιες από τις ακόλουθες κινή-σεις ισχύει το προηγούµενο κριτήριο και προσδιορίστε τη µορφή των τροχιών τους:

3: →x , ( )( ) ch , sh ,=x t t t t ,

3: →x , ( )2 3( ) 2 , , / 3=x t t t t ,

3: →x , ( )3 2 3( ) 3 3 3= − +x t t t , t , t t ,

3: →x , ( )2 2 3( ) , , 1 2= + − +x t t t t t t . 23. Η κλάση των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς που εισάγεται από την αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου είναι µοναδική; Τι επίπτωση έχει σε αυτή την κλάση µια χρονική ή χωρική µεταφορά ή χωρική στροφή προερχόµενη από την οµάδα του Γαλιλαίου;

24. Τι επίπτωση έχουν οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί στη θεµελιώδη εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα; Ποια θα ήταν η επίπτωση των ορθογώνιων µετασχηµατισµών; 25. Αν ίσχυε η αντίληψη του Αριστοτέλη σύµφωνα µε την οποία η ταχύτητα είναι ανάλογη της δύναµης, θα µπορούσε τότε να ισχύει η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου; 26. Ποιες από τις θεµελιώδεις αρχές της Κλασικής Μηχανικής δεν θα ίσχυαν σε ένα κόσµο διαφορετικό από τον δικό µας όπου θα ίσχυε ο νόµος:

k

kF( ) m=d xxdt

, k 1= ή k 3= ;

27. Από τη θεµελιώδη εξίσωση του Νεύτωνα προκύπτει ότι αν σε ένα υλικό σηµείο δεν ασκείται δύναµη τότε η επιτάχυνσή του είναι µηδενική, άρα η ταχύτητά του δια-τηρείται σταθερή. Αυτό σηµαίνει ότι ο 1ος νόµος του Νεύτωνα αποτελεί πόρισµα του 2ου νόµου;


28. Σχολιάστε τον ισχυρισµό ότι στη χωρική οµογένεια αντικατοπτρίζεται η αρχή διατήρησης της ορµής. Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της ορµής θα µπορούσε να ισχύει ο 1ος νόµος του Νεύτωνα; 29. Η αρχή διατήρησης της ορµής µπορεί να υποκαταστήσει τον 3ο νόµο του Νεύ-τωνα; Πώς τεκµηριώνεται η απάντησή σας; 30. Σχολιάστε τον ισχυρισµό ότι στη χωρική ισοτροπία αντικατοπτρίζεται η αρχή διατήρησης της στροφορµής. Είναι αλήθεια ότι από τη χωρική ισοτροπία προκύπτει ο µηδενισµός της συνισταµένης των εσωτερικών ροπών ενός συστήµατος υλικών σηµείων; Ένα υλικό σηµείο µπορεί να αποκτήσει γωνιακή επιτάχυνση χωρίς την επίδραση εξωτερικής δύναµης; 31. Ένα υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση καταγεγραµµένη σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ℜ του ευκλείδειου χώρου 3 . Πώς καταγράφεται η κίνηση, η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του σε ένα σύστηµα αναφοράς ′ℜ το οποίο εκτελεί ευθύγραµµη σταθερά επιταχυνόµενη κίνηση ως προς το αδρανειακό σύστη-µα αναφοράς ℜ ; 32. Ένα υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση καταγεγραµµένη σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ℜ . Ένα σύστηµα αναφοράς ′ℜ , την αρχική στιγµή της παρατήρησης, ταυτίζεται µε το ℜ και µε την πάροδο του χρόνου εκτελεί περι-στροφική κίνηση γωνιακής ταχύτητας ( ) (0,0,1)ω =t διατηρώντας την αρχή του ταυ-τισµένη µε εκείνη του ℜ . Πώς καταγράφεται η κίνηση του υλικού σηµείου στο σύ-στηµα αναφοράς ′ℜ ; Ποια διαφορά θα διαπιστωθεί αν ( ) (0,0, )ω =t t ; 33. Η τροχιά ενός υλικού σηµείου καταγράφεται στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς ℜ : 1 2 3O x x x ως εξής:

(t) (cos , sin , )x t t t= , 0t ≥ .

Ένας παρατηρητής είναι τοποθετηµένος σε ένα σύστηµα αναφοράς ′ℜ : 1 2 3O x x x′ ′ ′ ′ του οποίου η αρχή, σε κάθε χρονική στιγµή, ταυτίζεται µε την προβολή του υλικού σηµείου στο επίπεδο 3 0x = του ευκλείδειου χώρου 3 και οι άξονές του διατηρού-νται παράλληλοι µε τους αντίστοιχους άξονες του αδρανειακού συστήµατος ℜ . Πώς αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής αυτός την κίνηση του σωµατιδίου στο δικό του σύστηµα αναφοράς και πώς καταγράφεται στο σύστηµα αυτό η δύναµη που προ-καλεί την κίνηση σε σχέση µε την καταγραφή της στο αδρανειακό σύστηµα ℜ ; 34. Εξετάστε τα ερωτήµατα της προηγούµενης άσκησης θεωρώντας τώρα ότι η τροχιά του υλικού σηµείου εξελίσσεται σε µια κωνική επιφάνεια και καταγράφεται στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς ℜ ως εξής:

( )( ) e cos , e sin , e− − −= t t tx t t t , 0t ≥ .


54

35. Προσδιορίστε τη φυγόκεντρο δύναµη που ασκείται σε µάζα 1.000kg τοποθετη-µένη σε γεωγραφικό πλάτος 60ο στην επιφάνεια της γης. Η φυγόκεντρος δύναµη είναι εντονότερη στον ισηµερινό ή σε κάποιον από τους πόλους της γης; 36. Λαµβάνοντας υπόψη την επίδραση της δύναµης Coriolis προσδιορίστε την τελι-κή απόκλιση στην πτώση µιας πέτρας η οποία αφέθηκε να πέσει σε ένα πηγάδι βάθους 500 µέτρων σε ένα τόπο που βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 60ο . Ποια θα είναι η απόκλιση αν το πηγάδι βρίσκεται σε έναν από τους πόλους της γης ή στον ισηµερινό; 37. Ένα υλικό σηµείο που κινείται σε τροχιά µη µηδενικής καµπυλότητας θα µπο-ρούσε σε δεδοµένη χρονική στιγµή ή σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα να έχει µηδε-νική στροφορµή ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 ; 38. Πότε η στροφορµή ενός συστήµατος υλικών σηµείων ταυτίζεται µε την ιδιο-στροφορµή του; Θα µπορούσε η στροφορµή του συστήµατος να είναι µεταβαλλό-µενη και η ιδιοστροφορµή του σταθερή; 39. Θα µπορούσε η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στα υλικά σηµεία ενός συστήµατος να είναι µηδενική ως προς το αδρανειακό κέντρο και µη µηδενική ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου 3 ; 40. Προσδιορίστε την έκφραση της ιδιοστροφορµής δυο υλικών σηµείων που κι-νούνται οµαλά σε µια περιφέρεια γνωρίζοντας ότι το αδρανειακό τους κέντρο µένει αµετακίνητο στο κέντρο της. 41. Προσδιορίστε την ιδιοστροφορµή συστήµατος δυο υλικών σηµείων µοναδιαίας µάζας των οποίων η κίνηση καταγράφεται στον ευκλείδειο χώρο 3 ως εξής:

( )1r ( ) cos ,sin ,=t t t t και ( )2r ( ) cos( ),sin( ),= π + π+ π+t t t t , 0≥t .

42. Προσδιορίστε την ιδιοστροφορµή συστήµατος τριών υλικών σηµείων µοναδι-αίας µάζας των οποίων η κίνηση καταγράφεται στον ευκλείδειο χώρο 3 ως εξής:

( )1r ( ) cos ,sin ,0t t t= , ( )2r ( ) cos( ),sin( ),0t t t= π + π + ,

( )3r ( ) e cos ,e sin ,et t tt t t− − −= , 0≥t .


43. ∆υο υλικά σηµεία µοναδιαίας µάζας εκτελούν οµόρροπη, οµαλή κυκλική κίνη-ση στις περιφέρειες συνεπίπεδων οµόκεντρων κύκλων. Προσδιορίστε τη σχέση που πρέπει να ικανοποιούν τα µέτρα των ταχυτήτων τους ώστε το αδρανειακό κέντρο να διαγράφει οµόκεντρο κύκλο. Προσδιορίστε την ιδιοστροφορµή του συστήµατός τους και τη συνολική ροπή των δυνάµεων που προκαλούν την κίνηση. Εξετάστε την περίπτωση όπου η µάζα του ενός υλικού σηµείου είναι διπλάσια της µάζας του άλλου. ∆ιερευνήστε την περίπτωση αντίρροπης κίνησης των υλικών σηµείων.

44. Τρία υλικά σηµεία ίδιας µάζας είναι τοποθετηµένα στον ευκλείδειο χώρο 3 και επιδρά επάνω τους η δύναµη

1 2 3 1 2F( , , ) ( , ,0)= − −x x x x x .

Αν την αρχική στιγµή τα υλικά σηµεία ήταν τοποθετηµένα µε µηδενική ταχύτητα στις αντίστοιχες θέσεις A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(0,1,0) , προσδιορίστε τις θέσεις στις οποίες θα βρίσκονται σε µια οποιαδήποτε χρονική στιγµή και την ταχύτητά τους. Ποια τροχιά θα διαγράψει το αδρανειακό τους κέντρο; Ποια είναι η ιδιοστροφορµή του συστήµατός τους; Αν η µάζα του ενός από τα τρία υλικά σηµεία διπλασιαστεί τι µεταβολές θα επέλθουν στα συµπεράσµατά σας; 45. Εξετάστε το προηγούµενο πρόβληµα στις περιπτώσεις όπου:

1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)= − −x x x x x ή 1 2 3 2 1F( , , ) ( , ,0)= −x x x x x .

MECA 1 2006 finalspn/pdf/MECA 1 2006 final... · 2009. 10. 8. · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:...

Documents

Transcript of MECA 1 2006 finalspn/pdf/MECA 1 2006 final... · 2009. 10. 8. · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:...