Matrizes Vetores e GA.pdf
669
MATRIZES, VETORES E GEOMETRIA ANAL ´ ITICA Reginaldo J. Santos Departamento de Matem ´ atica-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi Marc ¸o 2012
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MATRIZES
,VET
ORES
EGEO
MET
RIA
ANALITIC
A
Reginaldo
J.Santos
Dep
artamen
tode
Matem
atica-ICEx
Universidad
eFede
rald
eMinas
Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
Marco
2012
-
Matrizes,Ve
toreseGeometriaAna
ltica
Cop
yright
c 2012
byReginaldo
deJesusSantos
(120228)
Eproibida
areprod
ucao
destapu
blicacao,oupa
rtede
la,p
orqu
alqu
ermeio,sem
apreviaau
torizacao,po
rescrito
,doau
tor.
Edito
r,Coo
rden
ador
deRevisao,Sup
ervisorde
Prod
ucao,C
apaeIlu
stracoes:
Reginaldo
J.Santos
ISBN
85-7470-014-2
FichaCatalog
rafica
Santos,R
eginaldo
J.S237m
Matrizes,Ve
toreseGeometriaAna
ltica/Reginaldo
J.Santos
-Belo
Horizon
te:Impren
saUniversita
riada
UFM
G,2012.
1.GeometriaAna
ltica
I.Ttulo
CDD:
516.3
-
Sumario
Prefacio
vii
1MatrizeseSistemas
Line
ares
11.1
Matriz
es......................................................
11.1.1
Operac
oesc
omMatriz
es.........................................
31.1.2
Prop
rieda
desd
aAlge
braMatric
ial.....................................
81.1.3
Aplicac
ao:C
adeia
sdeMarkov.......................................
13Ap
endic
eI:No
taca
ode
Somatorio
.........................................
271.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
..........................................
291.2.1
Metod
ode
Gaus
s-Jo
rdan
.........................................
331.2.2
Matriz
esEq
uivale
ntes
porL
inhas
.....................................
431.2.3
Siste
mas
Linea
resH
omog
eneo
s......................................
451.2.4
Matriz
esElem
entares(
opcio
nal)
......................................
49Ap
endic
eII:
Unicida
deda
Form
aEs
calon
adaRe
duzid
a...............................
64
iii
-
ivSu
mario
2Inve
rsao
deMatrizeseDeterminan
tes
682.1
Matriz
Inversa
...................................................
682.1.1
Prop
rieda
desd
aInversa..........................................
702.1.2
Matriz
esElem
entarese
Inversao
(opc
ional)
................................
732.1.3
Metod
opa
raInversao
deMatriz
es.....................................
772.1.4
Aplicac
ao:Interpo
lacao
Polinom
ial.....................................
862.1.5
Aplicac
ao:C
riptografi
a..........................................
882.2
Determ
inantes
...................................................
952.2.1
Prop
rieda
desd
oDe
term
inante
......................................100
2.2.2
Matriz
esElem
entarese
oDe
term
inante(opc
ional)
.............................112
2.2.3
Matriz
Adjun
taeInversao
(opc
ional)
....................................115
Apen
diceIII:D
emon
strac
aodo
Teorem
a2.11
....................................127
3Ve
toresno
Plano
eno
Esp
aco
132
3.1
Somade
Vetorese
Mult
iplica
caopo
rEscala
r....................................134
3.2
Prod
utos
deVe
tores
................................................161
3.2.1
Norm
aeProd
utoEs
calar
.........................................161
3.2.2
Proje
caoOr
togo
nal
............................................172
3.2.3
Prod
utoVe
toria
l..............................................175
3.2.4
Prod
utoMisto
...............................................186
Apen
diceIV:D
emon
strac
aodo
item
(e)d
oTe
orem
a3.5
..............................201
4Retas
ePlano
s20
44.1
Equa
coes
deRe
tase
Plan
os............................................204
4.1.1
Equa
coes
doPlan
o............................................204
4.1.2
Equa
coes
daRe
ta.............................................222
4.2
Angu
loseDista
ncias
................................................248
4.2.1
Angu
los..................................................248
4.2.2
Dista
ncias
.................................................255
4.3
Posic
oesR
elativas
deRe
tase
Plan
os.......................................275
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
Sumario
v
5Sec
oesCon
icas
286
5.1
Conic
asNa
oDe
gene
rada
s.............................................287
5.1.1
Elips
e...................................................287
5.1.2
Hipe
rbole
.................................................295
5.1.3
Parabo
la.................................................303
5.1.4
Caracte
rizac
aoda
sCon
icas
........................................310
5.2
Coorde
nada
sPola
rese
Equa
coes
Parametric
as..................................319
5.2.1
Conic
asem
Coorde
nada
sPola
res
.....................................325
5.2.2
Circun
ferenc
iaem
Coorde
nada
sPola
res..................................332
5.2.3
Equa
coes
Parametric
as..........................................337
6Sup
erfc
ieseCurva
sno
Esp
aco
359
6.1
Quad
ricas
.....................................................359
6.1.1
Elips
oide
.................................................362
6.1.2
Hipe
rbolo
ide................................................365
6.1.3
Parabo
loide
................................................376
6.1.4
Cone
Elptico
...............................................387
6.1.5
CilindroQu
adric
o.............................................390
6.2
Supe
rfcie
sCiln
drica
s,Co
nicas
ede
Revoluc
ao..................................400
6.2.1
Supe
rfcie
sCiln
drica
s...........................................400
6.2.2
Supe
rfcie
sCon
icas
............................................406
6.2.3
Supe
rfcie
sdeRe
voluc
ao.........................................412
6.3
Coorde
nada
sCiln
drica
s,Es
feric
aseEq
uaco
esPa
rametric
as...........................427
6.3.1
Coorde
nada
sCiln
drica
s..........................................427
6.3.2
Coorde
nada
sEsfe
ricas
..........................................434
6.3.3
Equa
coes
Parametric
asde
Supe
rfcie
s..................................439
6.3.4
Equa
coes
Parametric
asde
Curvas
noEs
paco
...............................446
7Mud
anca
deCoo
rden
adas
452
7.1
Rotaca
oeTran
slaca
o...............................................452
7.1.1
Rotaca
o..................................................458
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
viSu
mario
7.1.2
Tran
slaca
o................................................459
7.2
Iden
tifica
caode
Conic
as..............................................463
7.3
Iden
tifica
caode
Quad
ricas
.............................................482
Res
postas
dosExe
rccios
509
Biblio
grafi
a64
9
Indice
Alfa
betic
o65
2
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
Prefac
io
Esse
textocobreomaterialp
araum
cursode
GeometriaAna
lticausan
doMatrizeseVe
toresministrad
opa
raestuda
ntes
daarea
deCienciasEx
atas.O
textopo
de,m
asna
oene
cessario,ser
acom
panh
adoum
prog
rama
comooM
ATLABr ,SciLab
ouoMaxim
a.Oconteu
doedividido
emsetecaptulos.OCap
tulo
1tratada
smatrizesesistem
aslin
eares.Aqu
itod
asas
prop
ried
ades
daalgebramatricialsaode
mon
strada
s.Aresolucaode
sistem
aslin
earesefeita
usan
dosomen
teometod
ode
Gau
ss-Jorda
n(transform
ando
amatrizatequ
eelaesteja
naform
aescalona
daredu
zida
).Este
metod
orequ
ermaistrab
alho
doqu
eometod
ode
Gau
ss(transform
ando
amatriz,
apen
as,a
tequ
eelaesteja
naform
aescalona
da).
Elefoio
escolhido,
porqu
etambem
eusad
ono
estudo
dainversao
dematrizesno
Cap
tulo
2.NesteCap
tulo
etambem
estuda
doode
term
inan
te,que
ede
finidousan
docofatores.Assubsecoes
2.2.2e2.2.3saoinde
pend
entesen
tresi.A
sde
mon
stracoes
dosresulta
dosde
stecaptulo
pode
mser,acrite
rio
doleito
r,feita
ssomen
tepa
ramatrizes33.
OCap
tulo
3tratade
vetoresno
plan
oeno
espa
co.Osvetoressaode
finidos
deform
ageom
etrica,a
ssim
comoasomaeamultip
licacao
pore
scalar.S
aoprov
adas
algu
mas
prop
ried
ades
geom
etricamen
te.D
epoissao
introd
uzidos
sistem
asde
coorde
nada
sde
form
ana
turalsem
ane
cessidad
eda
defin
icao
deba
se.O
sprod
utos
escalare
vetorialsaode
finidos
geom
etricamen
te.O
Cap
tulo4tratade
retase
plan
osno
espa
co.S
aoestuda
dos
MATLABr
emarca
registrada
deTh
eMathw
orks,Inc.
vii
-
viii
Sumario
angu
los,distan
cias
epo
sicoes
relativ
asde
retaseplan
os.
OCap
tulo
5traz
umestudo
dassecoes
conicas.
Saotambem
estuda
dasas
coorde
nada
spo
larese
parametrizacoes
dasconicas.Assupe
rfciessaoestuda
dasno
Cap
tulo
6incluind
oaas
quad
ricas,supe
rfcies
ciln
dricas,con
icas
ede
revo
lucao.
NesteCap
tulo
saotambem
estuda
dasas
coorde
nada
sciln
dricas,esfericas
epa
rametrizacaode
supe
rfciesecurvas
noespa
co.O
Cap
tulo
7traz
mud
anca
decoorde
nada
s,rotacaoe
tran
slacao.D
adaum
aequa
caogerald
e2o
grau
emdu
asou
tres
variav
eis,ne
steCap
tulo,atrav
esde
mud
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decoorde
nada
sefeita
aiden
tificacaoda
conica
ouda
quad
rica
correspo
nden
teaequa
cao.
Osexerccios
estaoag
rupa
dosem
tres
classes.
OsE
xercciosNum
ericos,qu
econtem
exerccios
quesao
resolvidos
fazend
ocalculos,q
uepo
dem
serrealizad
ossem
aajud
ade
umcompu
tado
rou
deum
amaq
uina
decalcular.OsE
xercciosTeoricos,
quecontem
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querequ
erem
demon
stracoes.Algun
ssaosim-
ples,o
utrossaomaiscomplexos.Osmaisdifc
eiscomplem
entam
ateoria
egeralm
ente
saoacom
panh
ados
desugestoes.
OsE
xercciosusan
dooM
ATLABr
,qu
econtem
exerccios
para
serem
resolvidos
usan
doo
MATLABr
ouou
trosoftware.
Oscoman
dosne
cessariosaresolucaode
stes
exerccios
saotambem
forneci-
dosjuntam
ente
com
umaexplicacao
rapida
douso.
Osexerccios
numericos
saoim
prescind
veis,en
quan
toa
resolucaodo
sou
tros,d
epen
dedo
nvele
dosob
jetiv
ospreten
dido
spa
raocurso.
OM
ATLABr
eum
softwarede
stinad
oafazercalculos
com
matrizes(M
ATLABr
=MATrix
LABo
ratory).
Oscoman
dosdo
MATLABr
saomuito
prox
imos
daform
acomoescrevem
osexpressoes
algebricas,torna
ndo
maissimples
oseuuso.
Pode
mserincorporad
osa`s
rotin
aspre-de
finidas,p
acotes
para
calculos
espe
cfic
os.
Um
pacote
cham
adogaalcom
funcoesqu
esaodirecion
adas
para
oestudo
deGeometriaAna
lticaeAlgebra
Line
arpo
deserob
tidoatravesda
internet
noen
dereco
http://www.mat.ufmg.br/~regi,assim
comoum
textocom
umaintrod
ucao
aoM
ATLABr
einstrucoes
decomoinstalar
opa
cote
gaal.O
MATLABr
naoe
umsoftwaregratuito,e
mbo
raan
tesaversao
estuda
ntevinh
agratisao
secomprar
ogu
iado
usua
rio.
Atu-
almen
teoSciLab
eum
aalternativagratuita,m
asqu
ena
ofazcalculosimbo
lico.
OMaxim
aeum
prog
rama
decompu
tacaoalgebricagratuito.Ambo
spo
dem
serusad
oscomoferram
enta
auxilia
rna
aprend
izag
emde
GeometriaAna
lticaeAlgebra
Line
ar.N
apa
gina
doau
torna
web
pode
mseren
contrado
spa
cotesde
funcoes
para
estesprog
ramas
alem
delin
kspa
raas
pagina
sdo
SciLab
edo
Maxim
aeva
rias
pagina
sinterativ
asqu
epo
dem
auxilia
rna
aprend
izag
em.
Nofim
decada
captulo
temos
umTeste
doCap
tulo,on
deoalun
opo
deav
aliaros
seus
conh
ecim
entos.
OsEx
erccios
Num
ericos
eos
Exerccios
usan
dooM
ATLABr
estaoresolvidos
apos
oultim
ocaptulo
utili-
zand
ooM
ATLABr
.Desta
form
aoleito
rqu
ena
oestiv
erinteressad
oem
usar
osoftwarepo
deob
terap
enas
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
Prefac
ioix
asrespostasdo
sexerccios,enq
uantoaq
uelequ
etiv
eralgu
minteresse,po
defic
arsabend
ocomoos
exerccios
pode
riam
serresolvidos
fazend
ousodo
MATLABr
edo
pacote
gaal.
Gostariade
agrade
ceraosprofessoresqu
ecolabo
raram
apresentan
docorrecoes,crticasesugestoes,en
tre
eles
Joan
aDarcA.S.d
aCruz,Rinaldo
Vieirada
SilvaJunior
eSergio
Guilhermede
AssisVa
scon
celos.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
xPrefac
io
Histo
rico
Marco
2012
Mud
anca
naform
atacao
dotexto.
Algum
ascorrecoes.Variasfig
uras
foram
refeita
s.Fo
ram
acres-
centad
osoexerccio5.2.12
sobreaprop
ried
aderefle
tora
daelipse
eoexerccio5.2.13
sobreaprop
ried
ade
refle
tora
dahipe
rbole.
Marco
2010
Foram
acrescen
tado
sdo
isexerccios
edo
isite
nsem
umexercciona
Secao5.2edo
isite
nsem
umexercciona
Secao6.3.
Foram
escrita
sas
respostasdo
sexerccios
dasSecoes
5.2.
e6.3.
Julho2009
Algum
ascorrecoes.Variasfig
uras
foram
refeita
s.
Marco
2008
Algum
ascorrecoes.
Foram
acrescen
tado
sdo
isexerccios
a`Secao4.3.
Asrespostasde
algu
nsexerccios
foram
reescrita
s.
Marco
2007
Variasfig
uras
foram
refeita
seou
tras
acrescen
tada
s.Fo
iacrescentad
oum
item
aoTeorem
a2.13
napa
gina
104.
Foram
reescrito
soEx
emplo3.12
eoCorolario
3.10.
Marco
2006
OsC
aptu
los1
e2foram
reescrito
s.Fo
iacrescentad
aum
aap
licacao
a`sCad
eias
deMarko
v.Fo
ram
acrescen
tado
sva
rios
exerccios
aosCap
tulos3e4.
OCap
tulo
5foireescrito.F
oram
escrita
sas
respostas
dosexerccios
dasSecoes
4.3.
e6.1.
Foram
acrescen
tado
sexerccios
numericos
a`sSecoes
4.3e5.1e
exerccios
teoricos
a`sSecoes
3.1,4.2,5.1e7.3.
Julho2004
Foiacrescen
tada
umaap
licacao
a`criptografi
a(Exemplo
napa
gina
88).
Foiacrescen
tado
umexercciona
Secao1.1.
Foiincludaade
mon
stracaode
quetoda
matrizeequiva
lentepo
rlin
hasaum
aun
icamatrizescalona
daredu
zida
.Este
resulta
doeraoTeorem
a1.4na
pagina
26qu
epa
ssou
para
oApe
ndiceIIda
Secao1.2.
OTeorem
a1.4ag
oracontem
asprop
ried
ades
darelacaoser
equiva
lentepo
rlin
has
com
ade
mon
stracao.
NoCap
tulo
3foram
acrescen
tado
s2exerccios
nasecao3.1,1exercciona
Secao3.2.
NoCap
tulo
4aSecao4.1foireescrita
eforam
acrescen
tado
s2exerccios.
Marco
2002
Criad
oapa
rtirdo
textoGeometriaAna
lticaeAlgebra
Line
arp
araserusad
onu
madisciplin
ade
GeometriaAna
ltica.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
Prefac
ioxi
Suge
staode
Cron
ograma
Cap
tulo
1Secoes
1.1e1.2
8au
las
Cap
tulo
2Secoes
2.1e2.2
8au
las
Cap
tulo
3Secoes
3.1e3.2
8au
las
Cap
tulo
4Secoes
4.1e4.2
8au
las
Cap
tulo
5Secoes
5.1e5.2
8au
las
Cap
tulo
6Secoes
6.1a6.3
12au
las
Cap
tulo
7Secoes
7.1a7.3
12au
las
Total
64au
las
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
xiiPrefac
io
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1 Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
1.1
Matriz
es
UmamatrizA,m
n(m
porn),e
umatabelade
mnnu
meros
dispostosem
mlin
has
encoluna
s
A=
2 6 6 6 4a 11
a 12
...
a 1n
a 21
a 22
...
a 2n
. . ....
. . .a m
1a m
2...
a mn
3 7 7 7 5.A
i-esimalinh
ade
Ae
a i1a i2
...
a in ,
1
-
2Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
para
i=1,...,meaj-e
simacoluna
deAe
2 6 6 6 4a 1j
a 2j . . . a mj
3 7 7 7 5,pa
raj=
1,...,n.
Usamos
tambem
ano
tacaoA
=(a
ij) mn
.Dizem
osqu
ea ijou
[A] ij
eoelem
ento
ouaen
trad
ade
posicaoi,jd
amatrizA.
Sem
=n,
dizemos
queA
eum
amatrizqu
adrada
deorde
mneos
elem
entos
a 11,a 2
2,...,a n
nform
amadiagon
al(principal)d
eA.
Exem
plo1.1.
Con
side
reas
segu
intesmatrizes:
A=
12
34
,B=
21
03
,C=
13
02
42
,D
= 1
32
,E=
2 41 4 3
3 5 eF= 3
.AsmatrizesA
eBsao22.
AmatrizCe23,
De13,
Ee31eFe11.
Deacordo
com
ano
tacaoqu
eintrod
uzim
os,exemplos
deelem
entosde
algu
mas
das
matrizesda
dasacim
asaoa 1
2=
2,c 2
3=2
,e21
=4,
[A] 22=
4,[D
] 12=
3.
Umamatrizqu
eso
possui
umalin
haecham
adamatrizlinh
a,eum
amatrizqu
eso
possui
umacoluna
echam
adamatrizcoluna
,NoEx
emplo1.1amatrizD
eum
amatrizlin
haeamatrizEeum
amatrizcoluna
.Dizem
osqu
edu
asmatrizessaoigua
isse
elas
tem
omesmotaman
hoeos
elem
entos
correspo
nden
tess
aoigua
is,ouseja,A
=(a
ij) mn
eB=
(bij) pq
saoigua
isse
m=
p,n=
qea ij=
b ijpa
rai=
1,...,mej=
1,...,n.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es3
Vamos
defin
irop
eracoesmatriciaisan
alog
asa`s
operacoescom
numeros
eprov
arprop
ried
ades
quesaova
lidas
para
essasop
eracoes.
Veremos,m
aistarde,
queum
sistem
ade
equa
coes
linearespo
deserescrito
emterm
osde
umaun
icaequa
caoma-
tricial.
Vamos,ago
ra,introdu
ziras
operacoesmatriciais.
1.1.1
Operac
oesc
omMatriz
es
Defin
icao1.1.
Asomade
duas
matrizesde
mesmotaman
hoA
=(a
ij) mn
eB
=(b
ij) mn
ede
finidacomo
send
oamatrizm
nC=
A+
B
obtid
asoman
do-seos
elem
entoscorrespo
nden
tesde
AeB,
ouseja,
c ij=
a ij+
b ij,
para
i=1,...,mej=
1,...,n.
Escrevem
ostambem
[A+
B]ij=
a ij+
b ij.
Exem
plo1.2.
Con
side
reas
matrizes:
A=
123
34
0
,B=
21
50
34
Se
cham
amos
deCasomada
sdu
asmatrizesAeB,
entao
C=
A+
B=
1+(
2)2+13
+5
3+0
4+3
0+
(4)
= 1
32
374
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
4Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Defin
icao1.2.
Amultiplicacao
deum
amatrizA
=(a
ij) mn
poru
mescalar(nu
mero)
aede
finidape
lamatriz
m
nB=aA
obtid
amultip
lican
do-secada
elem
ento
damatrizApe
loescalara,ouseja,
b ij=aa ij,
para
i=
1,...,m
ej=
1,...,n.
Escrevem
ostambem
[aA] ij=
aa ij.Dizem
osqu
eamatrizBeum
multiplo
escalard
amatrizA.
Exem
plo1.3.
Oprod
utoda
matrizA
=
2 42
10
354
3 5 pelo
escalar3
eda
dopo
r
3A
=
2 4(3)(
2)(
3)1
(3)
0(
3)3
(3)
5(
3)(
4)
3 5 =2 4
63
09
15
12
3 5 .
Defin
icao1.3.
Oprod
utode
duas
matrizes,
tais
queonu
merode
coluna
sda
prim
eira
matrizeigua
lao
numerode
linh
asda
segu
nda,
A=
(aij) mp
eB=
(bij) pn
ede
finidope
lamatrizm
n
C=
AB
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es5
obtid
ada
segu
inte
form
a:
c ij
=a i1b
1j+
a i2b
2j+...+
a ipb
pj,
(1.1)
para
i=1,...,mej=
1,...,n.
Escrevem
ostambem
[AB]
ij=
a i1b
1j+
a i2b
2j+...+
a ipb
pj.
Aequa
cao(1.1)e
stadizend
oqu
eoelem
ento
i,jd
oprod
utoeigua
la`somado
spro-
dutosdo
selem
entosda
i-esimalin
hade
Ape
loselem
entoscorrespo
nden
tesda
j-esim
acoluna
deB.
2 6 6 4c 11
...
c 1n
. . .c ij
. . .c m
1...
c mn
3 7 7 5=2 6 6 6 6 6 6 6 4
a 11
a 12
...
a 1p
. . ....
. . .a i1
a i2
...
a ip
. . ....
. . .a m
1a m
2...
a mp
3 7 7 7 7 7 7 7 52 6 6 6 6 4b 1
1b 2
1 . . . b p1
...
...
...
...
b 1j
b 2j . . . b pj
...
...
...
...
b 1n
b 2n . . . b pn
3 7 7 7 7 5Aequa
cao(1.1)p
odesere
scrita
deform
acompa
ctausan
doano
tacaode
somatorio.
[AB]
ij=
a i1b
1j+
a i2b
2j+...+
a ipb
pj=
p k=1a ikb
kj
edizemos
som
atorio
dekva
rian
dode
1apde
a ikb
kj.
Osmbo
lop k=1sign
ifica
que
estamos
fazend
oum
asomaem
queondice
kesta
varian
dode
k=
1atek=
p.Algum
asprop
ried
ades
dano
tacaode
somatorio
estaoexplicad
asno
Ape
ndiceIn
apa
gina
27.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
6Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Exem
plo1.4.
Con
side
reas
matrizes:
A=
123
34
0
,B=
2 42
10
03
054
0
3 5 .Se
cham
amos
deCoprod
utoda
sdu
asmatrizesAeB,
entao
C=
AB=
1(2
)+20
+(
3)5
11
+23
+(
3)(
4)0
3(
2)+40
+05
31
+43
+0(
4)0
= 1
719
06
150
.
Observacao.
Noexem
ploan
terior
oprod
utoBAna
oesta
defin
ido(por
que?).En
tretan
to,m
esmoqu
ando
ele
esta
defin
ido,
BApo
dena
oserigua
la`AB,
ouseja,o
prod
utode
matrizesna
oecomutativo,
comomostrao
exem
plosegu
inte.
Exem
plo1.5.
Sejam
A=
12
34
eB=
21
03
.Entao,
AB=
27
615
eBA
=
10
912
.Va
mos
vern
oprox
imoexem
plocomoas
matrizespo
dem
serusad
aspa
rade
screver
quan
titativam
ente
umprocesso
deprod
ucao.
Exem
plo1.6.
Umaindu
striaprod
uztres
prod
utos,X
,YeZ,u
tilizan
dodo
istip
osde
insumo,
AeB.
Para
aman
ufaturade
cada
kgde
Xsaoutilizado
s1gram
ado
insumoA
e2gram
asdo
insumoB;
para
cada
kgde
Y,1gram
ade
insumoA
e1
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es7
gram
ade
insumoBe,
para
cada
kgde
Z,1
gram
ade
Ae4gram
asde
B.Usand
omatrizespo
demos
determ
inar
quan
tosgram
asdo
sinsumos
AeBsaone
cessarios
naprod
ucao
dexkg
doprod
utoX,y
kgdo
prod
utoYezkg
doprod
utoZ.
XY
Zgram
asde
A/k
ggram
asde
B/kg
11
12
14
=A
X=
2 4x y z3 5
kgde
Xprod
uzidos
kgde
Yprod
uzidos
kgde
Zprod
uzidos
AX
=
x+
y+
z2x
+y+4z
gram
asde
Ausad
osgram
asde
Busad
os
Defin
icao1.4.
Atran
sposta
deum
amatrizA
=(a
ij) mn
ede
finidape
lamatrizn
m
B=
At
obtid
atrocan
do-seas
linha
scom
ascoluna
s,ou
seja, b ij=
a ji,
para
i=1,...,nej=
1,...,m.E
screvemos
tambem
[At ]ij=
a ji.
Exem
plo1.7.
Astran
spostasda
smatrizes
A=
12
34
,B=
21
03
eC=
13
02
42
sao
At=
13
24
,Bt
=
20
13
eCt=
2 412
34
02
3 5 .Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
8Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Asegu
ir,mostrarem
osas
prop
ried
ades
quesaova
lidas
para
aalgebramatricial.
Variasprop
ried
ades
saosemelha
ntes
a`que
lasqu
esaova
lidas
para
osnu
meros
reais,
mas
deve-setomar
cuidad
ocom
asdiferencas.Umaprop
ried
adeim
portan
tequ
eeva
lidapa
raos
numeros
reais,mas
naoeva
lidapa
raas
matrizeseacomutativi-
dade
doprod
uto,
comofoim
ostrad
ono
Exem
plo1.5.
Porsercompa
cta,
usarem
osano
tacaode
somatorio
nade
mon
stracaode
varias
prop
ried
ades.A
lgum
asprop
rie-
dade
sde
stano
tacaoestaoexplicad
asno
Ape
ndiceIn
apa
gina
27.
1.1.2
Prop
rieda
desd
aAlge
braMatric
ial
Teorem
a1.1.
Sejam
A,B
eCmatrizescom
tamanhosa
propriados,a
ebescalares.Saovalid
asas
segu
intesp
ropriedades
para
asoperacoesm
atriciais:
(a)(com
utatividade)
A+
B=
B+
A;
(b)(associativ
idade)
A+
(B+
C)=
(A+
B)+
C;
(c)(elemento
neutro)A
matriz0,m
n,defin
idapor[0]
ij=
0,para
i=1,...,m,j
=1,...,netalque
A+0=
A,
para
toda
matrizA,m
n.Amatriz0ec
hamadamatriznu
lam
n.
(d)(elemento
simetrico)P
aracada
matrizA,existeu
maun
icamatrizA
,definida
por[A
] ij=a
ijtalque
A+
(A)=
0.
(e)(associativ
idade)a(b
A)=
(ab)A
;
(f)(distributividade)(a
+b)A
=aA+bA;
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es9
(g)(distributividade)a(A
+B)
=aA+aB;
(h)(associativ
idade)
A(B
C)=
(AB)
C;
(i)(elemento
neutro)P
aracada
inteiro
positiv
opamatriz,p
p,
I p=
2 6 6 6 410
...
00
1...
0. . .
. ..
. . .0
0...
1
3 7 7 7 5,cham
adamatriziden
tida
deetalque
AI n
=I m
A=
A,
para
toda
matrizA
=(a
ij) mn
.
(j)(distributividade)
A(B
+C)=
AB+
ACe(
B+
C)A
=BA+
CA;
(k)a(A
B)=
(aA)B
=A(aB)
;
(l)(A
t )t=
A;
(m)(A
+B)
t=
At+
Bt;
(n)(a
A)t
=aAt ;
(o)(A
B)t=
BtAt ;
Demon
strac
ao.P
araprov
aras
igua
ldad
esacim
a,de
vemos
mostrar
queos
elem
en-
tosda
matrizdo
lado
esqu
erdo
saoigua
isaoselem
entoscorrespo
nden
tesda
matriz
dolado
direito
.Serao
usad
asva
rias
prop
ried
ades
dosnu
meros
sem
cita-la
sexplici-
tamen
te.
(a)[A
+B]
ij=
a ij+
b ij=
b ij+
a ij=
[B+
A] ij;
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
10Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
(b)[A
+(B
+C)]ij=
a ij+
[B+
C] ij=
a ij+
(bij+
c ij)
=(a
ij+
b ij)+
c ij=
[A+
B]ij+
c ij=
[(A+
B)+
C] ij;
(c)SejaXum
amatrizm
ntalq
ue
A+
X=
A(1.2)
para
qualqu
ermatrizA,m
n.Com
parand
oos
elem
entoscorrespo
nden
tes,
temos
que
a ij+
x ij=
a ij,
ouseja,x
ij=
0,pa
rai=
1...,m
ej=
1...,n.
Portan
to,a
unicamatrizqu
esatisfaz(1.2)e
amatrizem
quetodo
sos
seus
elem
entossaoigua
isazero.De-
notamos
amatrizXpo
r0.
(d)Dad
aum
amatrizA,m
n,sejaXum
amatrizm
n,talq
ue
A+
X=
0.
(1.3)
Com
parand
oos
elem
entoscorrespo
nden
tes,temos
que
a ij+
x ij=
0,
ouseja,x
ij=a
ij,p
arai=
1...,m
ej=
1...,n.
Portan
to,a
unicamatrizqu
esatisfaz(1.3)e
amatrizem
quetodo
sosseu
selemen
tossao
igua
isaossim
etricos
doselem
entosde
A.D
enotam
osamatrizXpo
rA
.(e)[a(b
A)]ij=a[bA] ij=a(b
a ij)=
(ab)a
ij=
[(ab)A
] ij.
(f)[(a+b)A
] ij=
(a+b)a
ij=
(aa ij)+
(ba ij)=
[aA] ij+
[bA] ij=
[aA+bA] ij.
(g)
[a(A
+B)
] ij
=a[A
+B]
ij=a(a
ij+
b ij)=aa ij+
ab ij=
[aA] ij+
[aB]
ij
=[aA+aB]
ij.
(h)Ade
mon
stracaode
steite
meamaistrab
alho
sa.S
ejam
A,B
eCmatrizesm
p,pqeq
nrespectiv
amen
te.A
notacaode
somatorio
aqui
pode
serm
uito
util,
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es11
pelo
fato
desercompa
cta.
[A(B
C)]ij
=p k=1a ik[BC
] kj=
p k=1a ik(
q l=1b k
lclj)=
p k=1
q l=1a ik(b k
lclj)=
=p k=1
q l=1(a
ikb k
l)c lj=
q l=1
p k=1(a ikb
kl)c
lj=
q l=1(
p k=1a ikb
kl)c
lj=
=q l=1[A
B]ilc lj=
[(AB)
C] ij.
(i)Po
demos
escrever
amatriziden
tidad
eem
term
osdo
delta
deKrone
cker
quee
defin
idopo
r
d ij=
1,se
i=j
0,se
i6=j
como[In]
ij=d ij.Assim
,
[AI n] ij=
n k=1a ik[I n] kj=
n k=1a ikd
kj=
a ij.
Aou
traigua
ldad
eean
alog
a.(j)
[A(B
+C)]ij
=p k=1a ik[B+
C] kj=
p k=1a ik(b k
j+c k
j)=
p k=1(a ikb
kj+
a ikc
kj)=
=p k=1a ikb
kj+
p k=1a ikc
kj=
[AB]
ij+
[AC] ij=
[AB+
AC] ij.
Aou
traigua
ldad
eeinteiram
entean
alog
aaan
terior
ede
ixam
oscomoexerccio.
(k)[a(A
B)] ij=a
p k=1a ikb
kj=
p k=1(aa ik)b k
j=
[(aA)B
] ije
[a(A
B)] ij=a
p k=1a ikb
kj=
p k=1a ik(ab k
j)=
[A(aB)
] ij.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
12Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
(l)[(At )t ]ij=
[At ]ji=
a ij.
(m)[(A+
B)t ]ij=
[A+
B]ji=
a ji+
b ji=
[At ]ij+
[Bt ]ij.
(n)[(aA)t] ij=
[aA] ji=aa ji=a[A
t ]ij=
[aAt ]ij.
(o)[(AB)
t ]ij=
[AB]
ji=
p k=1a jkb
ki=
p k=1[At ]kj[B
t ]ik=
p k=1[Bt] ik[A
t ]kj=
[Bt A
t ]ij.
Adiferencaen
tredu
asmatrizesde
mesmotaman
hoAeBede
finidapo
r
A
B=
A+
(B)
,
ouseja,e
asomada
matrizAcom
asimetrica
damatrizB.
Sejam
Aum
amatriznnepum
inteiropo
sitiv
o.Defi
nimos
apo
tencia
pde
A,p
orA
p=
A...A |{z}
pvezes
.Epa
rap=
0,de
finim
osA0=
I n.
Exem
plo1.8.
Vamos
verific
arse
para
matrizesAeB,
quad
rada
s,va
leaigua
ldad
e
(A+
B)(A
B)=
A2
B2.
(1.4)
Usand
oaprop
ried
ade(i)
doteorem
aan
terior
obtemos
(A+
B)(A
B)=
(A+
B)A+
(A+
B)(
B)=
AA+
BA
AB
BB=
A2+
BA
AB
B2
Assim
,(A+
B)(A
B)=
A2
B2se,e
somen
tese,BA
AB
=0,
ouseja,se,
esomen
tese,A
B=
BA.C
omooprod
utode
matrizesna
oecomutativo,aconclusaoe
queaigua
ldad
e(1.4),na
ova
lepa
ramatrizesem
geral.Com
ocontra-exemploba
sta
tomarmos
duas
matrizesqu
ena
ocomutem
entresi.S
ejam
A=
00
11
eB=
10
10
.Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es13
Para
estasmatrizes
A+B=
10
21
,AB=
10
01
,A2=
A=
00
11
,B2
=B=
10
10
.Assim
,
(A+
B)(A
B)=
10
21
6= 1
00
1
=A2
B2.
1.1.3
Aplicac
ao:C
adeia
sdeMarkov
Vamos
supo
rqu
eum
apo
pulacaoedividida
emtres
estado
s(por
exem
plo:
ricos,
classe
med
iaepo
bres)e
queem
cada
unidad
ede
tempo
aprob
abilida
dede
mud
anca
deum
estado
para
outroseja
constanteno
tempo
,so
depe
ndado
sestado
s.Este
processo
echam
adocade
iade
Marko
v.Sejat ij
aprob
abilida
dede
mud
anca
doestado
jparaoestado
iem
umaun
idad
ede
tempo
(geracao).To
mecuidad
ocom
aorde
mdo
sndices.Amatriz
T=
1 2
3 2 4t 1
1t 12
t 13
t 21
t 22
t 23
t 31
t 32
t 33
3 51 2 3 echam
adamatrizde
tran
sicao.
Adistribu
icao
dapo
pulacaoinicialen
treos
tres
estado
spo
deserde
scrita
pelasegu
inte
matriz:
P 0=
2 4p 1 p 2 p 33 5
esta
noestado
1esta
noestado
2esta
noestado
3
AmatrizP 0
caracterizaadistribu
icao
iniciald
apo
pulacaoen
treos
tres
estado
see
cham
adavetord
eestado
.Apo
sum
aun
idad
ede
tempo
apo
pulacaoestara
dividida
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
14Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
entreos
tres
estado
sda
segu
inte
form
a
P 1=
2 4t 11p 1
+t 12p 2
+t 13p 3
t 21p 1
+t 22p 2
+t 23p 3
t 31p 1
+t 32p 2
+t 33p 3
3 5estara
noestado
1estara
noestado
2estara
noestado
3
Lembre-se
quet ij
eaprob
abilida
dede
mud
anca
doestado
jparaoestado
i.Assim
,ovetorde
estado
apos
umaun
idad
ede
tempo
eda
dape
loprod
utode
matrizes:
P 1=
TP 0.
Exem
plo1.9.
Vamos
considerar
amatrizde
tran
sicao
T=
1 2
3 2 6 41 2
1 40
1 21 2
1 2
01 4
1 2
3 7 51 2 3 (1.5)
eovetorde
estado
sinicial P 0=
2 41 3 1 3 1 33 5
esta
noestado
1esta
noestado
2esta
noestado
3(1.6)
querepresen
taum
apo
pulacaodividida
deform
aqu
e1/
3da
popu
lacaoesta
emcada
estado
.Apo
sum
aun
idad
ede
tempo
amatrizde
estado
sera
dada
por
P 1=
TP 0
=
2 6 41 21 4
01 2
1 21 2
01 4
1 2
3 7 52 6 41 3 1 3 1 3
3 7 5=2 6 41 4 1 2 1 4
3 7 5Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es15
Com
oestamos
assumindo
queem
cada
unidad
ede
tempo
amatrizde
tran
sicaoea
mesma,
entaoap
oskun
idad
esde
tempo
apo
pulacaoestara
dividida
entreos
tres
estado
ssegu
ndoamatrizde
estado
P k=
TP k1
=T2
P k2
==
Tk P
0
Assim
,amatrizTkda
atran
sicaoen
trekun
idad
esde
tempo
.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
16Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Exerccios
Num
ericos
(respo
stas
napa
gina
510)
1.1.1.
Con
side
reas
segu
intesmatrizes
A=
20
67
,B=
04
28
,C=
697
73
2
D=
2 46
40
11
46
06
3 5 ,E=
2 46
99
104
601
3 5Se
forpo
ssvelcalcule:
(a)AB
BA,
(b)2C
D,
(c)(2D
t3E
t )t ,
(d)D
2
DE.
1.1.2.
Con
hecend
o-se
somen
teos
prod
utos
ABeAC,com
opo
demos
calcular
A(B
+C),BtAt ,Ct A
te(A
BA)C
?
1.1.3.
Con
side
reas
segu
intesmatrizes A
=
32
11
21
,B=
2 421
20
03
3 5C=
2 42
11
01
11
01
3 5 ,D
=
2 4d 10
00
d 20
00
d 3
3 5E 1
=
2 41 0 03 5 ,
E 2=
2 40 1 03 5 ,
E 3=
2 40 0 13 5
Verifiq
uequ
e:
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es17
(a)ABediferentede
BA.
(b)AE j
eaj-e
simacoluna
deA,p
araj=
1,2,3eEt iBeai-e
simalin
hade
B,pa
rai=
1,2,3(o
caso
geral
esta
noEx
erccio1.1.15
napa
gina
21).
(c)CD
=[d 1C1d 2C2d 3C3],em
queC1=
2 42 0 1
3 5 ,C 2=
2 41 1 03 5 eC
3=
2 41 1 1
3 5 ,saoas
coluna
sde
C
(ocaso
geralestano
Exerccio1.1.16
(a)n
apa
gina
22).
(d)DC
=
2 4d 1C1
d 2C2
d 3C3
3 5 ,emqu
eC1= 2
11
,C 2= 0
11 eC
3=
10
1 sao
as
linha
sde
C(o
caso
geralestano
Exerccio1.1.16
(b)n
apa
gina
22).
(e)Escreven
doBem
term
osda
ssuas
coluna
s,B=
[B 1
B 2],em
queB 1
=
2 42 2 03 5 eB
2=
2 41 0 3
3 5 ,oprod
utoABpo
deserescrito
comoAB=
A[B 1
B 2]=
[AB 1
AB 2
](o
caso
gerale
stano
Exerccio
1.1.17
(a)n
apa
gina
23).
(f)escreven
doA
emterm
osda
ssuas
linha
s,A1= 3
21 eA
2= 1
21
,oprod
uto
ABpo
deserescrito
comoAB=
A 1 A 2 B=
A 1B
A2B
(ocaso
gerale
stano
Exerccio1.1.17
(b)n
a
pagina
23).
1.1.4.
Sejam
A=
13
00
42
eX
=
2 4x y z3 5 .
Verifiq
uequ
exA
1+
yA2+
zA3=
AX,em
queAjeaj-e
simacoluna
deA,p
araj=
1,2,3(o
caso
geral
esta
noEx
erccio1.1.18
napa
gina
24).
1.1.5.
Encontre
umva
lorde
xtalq
ueABt
=0,em
que
A= x
42
eB= 2
35 .
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
18Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
1.1.6.
Mostrequ
eas
matrizesA
=
" 11 y
y1
# ,emqu
eyeum
anu
meroreal
naonu
lo,v
erificam
aequa
cao
X2=
2X.
1.1.7.
Mostrequ
ese
AeBsaomatrizesqu
ecomutam
com
amatrizM
=
01
10
,entaoAB=
BA.
1.1.8.
(a)Determinetoda
sas
matrizesA,22,diagon
ais(oselem
entosqu
eestaofora
dadiag
onalsaoigua
isazero)q
uecomutam
com
toda
matrizB,
22,ou
seja,taisqu
eAB=
BA,p
aratoda
matrizB,
22.
(b)Determinetoda
sas
matrizesA,2
2,qu
ecomutam
com
toda
matrizB,
2
2,ou
seja,tais
que
AB=
BA,p
aratoda
matrizB,
22.
Exerccios
usan
dooM
ATLABr
Umavezinicializ
adooM
ATLABr
,apa
recera
najane
lade
coman
dosum
prom
pt>>ou
EDU>>.O
prom
ptsign
ifica
queoM
ATLABr
esta
espe
rand
oum
coman
do.To
docoman
dode
veserfin
alizad
oteclan
do-se
Enter.Com
ando
squ
eforam
dado
san
teriormen
tepo
dem
serob
tidos
nova
men
teusan
doas
teclas"e#.
Enqu
anto
seestiv
erescreven
doum
coman
do,estepo
desercorrigidousan
doas
teclas
,!,D
eletee
Backspa
ce.O
MATLABr
fazdiferencaen
treletras
maiusculaseminusculas.
NoM
ATLABr
,pod
e-se
obterajud
asobrequ
alqu
ercoman
doou
funcao.O
coman
do>>help
(sem
oprom
pt>>)mostraum
alistagem
detodo
sos
pacotesdispon
veis.
Ajuda
sobreum
pacote
es-
pecfic
oou
sobreum
coman
doou
funcao
espe
cfic
apo
deserob
tidacom
ocoman
do>>helpnome,
(sem
avrgulaesem
oprom
pt>>)em
quenomepo
desero
nomede
umpa
coteou
ono
mede
umcoman
doou
funcao.
Alem
doscoman
dosefuncoespre-de
finidas,escrevem
osum
pacote
cham
adogaalcom
funcoeses-
pecfic
aspa
raaap
rend
izag
emde
GeometriaAna
lticaeAlgebra
Line
ar.Este
pacote
pode
serob
tido
gratuitamen
teatravesda
internet
noen
dereco
http://www.mat.ufmg.br/~regi,a
ssim
comoum
texto
com
umaintrod
ucao
aoM
ATLABr
einstrucoes
decomoinstalar
opa
cote
gaal.Dep
oisde
stepa
cote
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es19
serde
vida
men
teinstalad
o,ocoman
dohelpgaalno
prom
ptdo
MATLABr
dainform
acoessobreeste
pacote.
Maisinform
acoessobreas
capa
cida
desdo
MATLABr
pode
mserob
tidas
em[4,17].
Vamos
descreveraq
uialgu
nscoman
dosqu
epo
dem
serusad
ospa
raaman
ipulacao
dematrizes.Outros
coman
dosseraointrod
uzidos
amed
idaqu
eforem
necessarios.
>>symsxyzdizao
MATLABr
queas
variav
eisxyezsaosimbo
licas.
>>A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...;...,amn]criaum
amatriz,mpo
rn,
usan
doos
elem
entosa11,
a12,...,amneaarmazen
anu
mava
riav
elde
nomeA.P
orexem
plo,>>A=[1,2,3;4,5,6]criaamatriz
A=
12
34
56
;>>I=eye(n)criaamatriziden
tidad
enpo
rneaarmazen
anu
mava
riav
elI;
>>O=zeros(n)ou
>>O=zeros(m,n)cria
amatriznu
lanpo
rnou
mpo
rn,
respectiv
amen
te,e
aarma-
zena
numava
riav
elO;
>>A+Beasomade
AeB,
>>A*Beoprod
utode
Apo
rB,
>>A.eatran
sposta
deA,
>>A-BeadiferencaAmen
osB,
>>num*Aeoprod
utodo
escalarnumpo
rA,
>>A^keapo
tenciaAelevad
oak.
>>A(:,j)eacoluna
jdamatrizA,>>A(i,:)ealin
haid
amatrizA.
>>diag([d1,...,dn])criaum
amatrizdiag
onal,cujos
elem
entosda
diag
onalsaoigua
isaoselem
entos
damatriz[d1,...,dn],ouseja,sao
d1,...,dn.
>>A=sym(A)conv
erte
amatrizAnu
mamatrizem
queos
elem
entossaoarmazen
ados
noform
ato
simbo
lico.
Afuncao
numericfazoprocesso
inverso.
>>solve(expr)
determ
ina
asolucao
daequa
cao
expr=0.
Por
exem
plo,
>>solve(x^2-4)de
term
inaas
solucoes
daequa
caox24=
0;
Com
ando
dopa
cote
GAAL:
>>A=randi(n)ou
>>A=randi(m,n)criaum
amatriznpo
rnou
mpo
rn,respe
ctivam
ente,com
elem
entos
inteiros
aleatorios
entre5
e5.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
20Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
1.1.9.
Use
oM
ATLABr
para
calcular
algu
nsmem
bros
dasequ
enciaA,A2 ,...,Ak ,...,pa
ra
(a)A
=
11 2
01 3
;(b)A
=
1 21 3
0
1 5
.Asequ
enciapa
rece
estarconv
ergind
opa
raalgu
mamatriz?
Seestiv
er,p
araqu
al?
1.1.10.Calculeas
potenciasda
smatrizesda
dasasegu
ireen
contre
expe
rimen
talm
ente
(por
tentativa!)o
men
orinteirok>
1talq
ue(use
ocoman
do>>A=sym(A)de
poisde
armazen
aramatrizna
variav
elA):
(a)Ak=
I 3,em
que
A=
2 400
11
00
01
0
3 5 ;(b)Ak=
I 4,em
que
A=
2 6 6 40
10
01
00
00
00
10
01
0
3 7 7 5;(c)Ak=
0,em
que
A=
2 6 6 401
00
00
10
00
01
00
00
3 7 7 5.1.1.11.Va
mos
fazerum
expe
rimen
tono
MATLABr
para
tentar
terum
aideiado
quao
comum
een
contrarma-
trizes
cujoprod
utocomuta.
Noprom
ptdo
MATLABr
digite
asegu
inte
linha
:
>>c=0;forn=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c
(nao
esqu
ecada
svrgulas
epo
ntos
evrgulas!).
Oqu
eesta
linha
esta
man
dand
ooM
ATLABr
fazereo
segu
inte:
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es21
Criar
umcontad
orceatribu
iraeleova
lorzero.
Atribuira`s
variav
eisAeB,1000matrizes33com
entrad
asinteiras
ealeatorias
entre5
e5.
Se
AB=BA,ouseja,A
eBcomutarem
,entao
ocontad
orceacrescidode
1.Nofin
alova
lorexistentena
variav
elceescrito
.
Qua
laconclusaoqu
evo
cetirado
valorob
tidona
variav
elc?
1.1.12.Fa
caum
expe
rimen
tosemelha
nteao
anterior,m
aspa
raocaso
emqu
ecada
umada
smatrizese
diagon
al,
isto
e,os
elem
entosqu
eestaofora
dadiag
onal
saoigua
isazero.Use
aseta
para
cima"p
araob
ter
nova
men
tealin
hadigitada
eed
itealin
hano
prom
ptdo
MATLABr
deform
aaob
teralgo
semelha
ntea`
linha
:>>c=0;forn=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if(....
Qua
laconclusaoqu
evo
cetirado
valorob
tidona
variav
elc?
1.1.13.Fa
caum
expe
rimen
tosemelha
nteao
anterior,m
aspa
raocaso
emqu
eum
ada
smatrizesediag
onal.U
seaseta
para
cima"p
araob
terno
vamen
tealin
hadigitada
eed
itealin
hano
prom
ptdo
MATLABr
deform
aaob
terasegu
inte
linha
:>>
c=0;
for
n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c
Aqu
isaoim
pressasas
matrizesAeBqu
ando
elas
comutarem
.Qua
laconclusaoqu
evo
cetirade
ste
expe
rimen
to?Qua
laprob
abilida
dede
umtalp
arde
matrizescomutarem
?
1.1.14.Use
oM
ATLABr
para
resolver
osEx
erccios
Num
ericos.
Exerccios
Teoricos
1.1.15.Sejam
E 1=
2 6 6 6 6 6 41 0 0 . . . 0
3 7 7 7 7 7 5,E 2=
2 6 6 6 6 6 40 1 0 . . . 0
3 7 7 7 7 7 5,...,E
n=
2 6 6 6 6 6 40 0 . . . 0 1
3 7 7 7 7 7 5matrizes
n1.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
22Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
(a)Mostrequ
ese
A=
2 6 6 6 4a 11
a 12
...
a 1n
a 21
a 22
...
a 2n
. . ....
. . .a m
1a m
2...
a mn
3 7 7 7 5eum
amatrizm
n,en
taoAE j
eigua
la`coluna
jdamatrizA.
(b)Mostrequ
ese
B=
2 6 6 6 4b 11
b 12
...
b 1m
b 21
b 22
...
b 2m
. . ....
. . .b n
1b n
2...
b nm
3 7 7 7 5,eum
amatrizn
men
taoEt iBeigua
la`lin
haid
amatrizB.
1.1.16.Seja
D=
2 6 6 6 4l 10
...
00
l2
...
0. . .
. ..
. . .0
...
0ln
3 7 7 7 5um
amatrizdiagon
aln
n,isto
e,os
elem
entosqu
eestaofora
dadiag
onalsaoigua
isazero.S
eja
A=
2 6 6 6 4a 11
a 12
...
a 1n
a 21
a 22
...
a 2n
. . ....
. . .a n
1a n
2...
a nn
3 7 7 7 5.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es23
(a)Mostrequ
eoprod
utoAD
eob
tidoda
matrizAmultip
lican
do-secada
coluna
jpor
lj,ou
seja,se
A=
[A1A2...An],em
queAj=
2 6 4a 1j . . . a nj
3 7 5eacoluna
jdeA,entao
AD
=[l1A1l2A2...lnAn].
(b)Mostrequ
eoprod
utoDA
eob
tidoda
matrizA
multip
lican
do-secada
linha
ipor
li,ou
seja,se
A=
2 6 6 6 4A1
A2 . . . An
3 7 7 7 5,emqu
eAi=
[a i1...a
in]e
alin
haid
eA,entao
DA
=
2 6 6 6 4l 1A1
l2A2
. . .lnAn
3 7 7 7 5.1.1.17.Sejam
AeBmatrizesm
pep
n,respectiv
amen
te.
(a)Mostrequ
eaj-e
simacoluna
doprod
utoABeigua
lao
prod
utoAB j,em
queB j
=
2 6 4b 1j . . . b pj
3 7 5eaj-e
simacoluna
deB,
ouseja,seB=
[B 1
...B n
],en
tao
AB=
A[B 1
...B n
]=
[AB 1
...AB n
];
(b)Mostrequ
eai-e
simalin
hado
prod
utoABeigua
laoprod
utoAiB,em
queAi=
[a i1...a
ip]ea
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
24Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
i-esimalin
hade
A,ouseja,seA
=
2 6 6 6 4A1
A2 . . . Am
3 7 7 7 5,entao
AB=
2 6 6 6 4A1
A2 . . . Am
3 7 7 7 5B=2 6 6 6 4A
1BA2B . . .
AmB
3 7 7 7 5.
1.1.18.Seja
Aum
amatriz
m
ne
X=
2 6 4x 1 . . . x n3 7 5u
ma
matriz
n
1.Prov
equ
e
AX
=n j=1
x jAj,em
queAjeaj-e
simacoluna
deA.
(Sug
estao:
Desen
volvaolado
direito
eche-
gueao
lado
esqu
erdo
.)
1.1.19.
(a)Mostrequ
ese
Aeum
amatrizm
ntalq
ueAX
=0,
para
toda
matrizX,n
1,en
taoA
=0.
(Sug
estao:
useoEx
erccio15
napa
gina
21.)
(b)Sejam
BeCmatrizesm
n,taisBX
=CX,p
aratodo
X,n1.
Mostrequ
eB=
C.(Su
gestao:u
seo
item
anterior.)
1.1.20.Mostrequ
eamatriziden
tidad
eI n
eaun
icamatriztalq
ueAI n
=I nA
=A
para
qualqu
ermatrizA,
n
n.(Sug
estao:
Seja
J num
amatriztalq
ueAJ n
=J n
A=
A.M
ostrequ
eJ n
=I n.)
1.1.21.Se
AB=
BAepeum
inteiropo
sitiv
o,mostrequ
e(A
B)p=
Ap B
p .
1.1.22.Sejam
A,B
eCmatrizesn
n.
(a)(A
+B)
2=
A2+2A
B+
B2?Ese
AB=
BA?Justifiqu
e.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es25
(b)(A
B)C=
C(A
B)?Ese
AC=
CAeBC
=CB?
Justifiqu
e.
(Sug
estao:
VejaoEx
emplo1.8na
pagina
12.)
1.1.23.
(a)Se
AeBsaodu
asmatrizestaisqu
eAB=
0,en
taoA
=0ou
B=
0?Justifiqu
e.
(b)Se
AB=
0,en
taoBA
=0?
Justifiqu
e.
(c)Se
Aeum
amatriztalq
ueA2=
0,en
taoA
=0?
Justifiqu
e.
1.1.24.Dizem
osqu
eum
amatrizA,n
n,esimetrica
seAt=
Aeean
ti-sim
etrica
seAt=A
.
(a)Mostrequ
ese
Aesimetrica,e
ntao
a ij=
a ji,pa
rai,j=
1,...n
equ
ese
Aean
ti-simetrica,e
ntao
a ij=a
ji,p
arai,j=
1,...n.Po
rtan
to,o
selem
entosda
diag
onal
principa
ldeum
amatrizan
ti-simetrica
saoigua
isazero.
(b)Mostrequ
ese
AeBsaosimetricas,en
taoA+
BeaAsaosimetricas,pa
ratodo
escalara.
(c)Mostrequ
ese
AeBsaosimetricas,en
taoABesimetrica
se,e
somen
tese,A
B=
BA.
(d)Mostrequ
ese
AeBsaoan
ti-simetricas,en
taoA+
BeaAsaoan
ti-simetricas,pa
ratodo
escalara.
(e)Mostrequ
epa
ratoda
matrizA,n
n,A+
Atesimetrica
eA
Atean
ti-simetrica.
(f)Mostrequ
etoda
matrizqu
adrada
Apo
deserescrita
comoasomade
umamatrizsimetrica
eum
aan
ti-simetrica.(Su
gestao:O
bserve
oresulta
doda
somade
A+
Atcom
A
At .)
1.1.25.Pa
ramatrizesqu
adrada
sA
=(a
ij) nn
defin
imos
otracode
Acomosend
oasomado
selem
entosda
diag
onal(principal)d
eA,ouseja,tr(A)=
n i=1a ii.
(a)Mostrequ
etr(A
+B)
=tr(A
)+tr(B
).
(b)Mostrequ
etr(a
A)=atr(A
).
(c)Mostrequ
etr(A
t )=
tr(A
).
(d)Mostrequ
etr(A
B)=
tr(B
A).(Sug
estao:
Prov
einicialm
ente
para
matrizes22.)
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
26Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
1.1.26.Seja
Aum
amatrizn
n.Mostrequ
ese
AAt=
0,en
taoA
=0.
(Sug
estao:
useotraco.)Ese
amatrizA
form
n,com
m6=
n?
1.1.27.Ja
vimos
queoprod
utode
matrizesna
oecomutativo.
Entretan
to,certos
conjun
tosde
matrizessao
comutativos.M
ostrequ
e:
(a)Se
D1eD2saomatrizesdiag
onaisn
n,en
taoD1D
2=
D2D
1.(b)Se
Aeum
amatrizn
ne
B=
a 0I n
+a 1A+
a 2A2+...+
a kAk ,
emqu
ea 0,...,a
ksaoescalares,en
taoAB=
BA.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.1
Matriz
es27
Apen
diceI:No
taca
ode
Somatorio
Saova
lidas
algu
mas
prop
ried
ades
para
ano
tacaode
somatorio:
(a)Ondice
dosomatorio
eum
ava
riav
elmud
aqu
epo
desers
ubstitu
dapo
rqua
l-qu
erletra:
n i=1f i=
n j=1f j.
(b)Osomatorio
deum
asomapo
desere
scrito
comoum
asomade
doissomatorios:
n i=1(f i+
g i)=
n i=1f i+
n i=1g i.
Pois,
n i=1(f i+
g i)=
(f 1+
g 1)+...+
(f n
+g n
)=
(f 1+...+
f n)+
(g1+...+
g n)=
n i=1f i+
n i=1g i.Aqu
iforam
aplicad
asas
prop
ried
ades
associativaecomutativa
dasomade
numeros.
(c)Se
noterm
ogerald
osomatorio
apareceum
prod
uto,
emqu
eum
fatorna
ode
-pe
ndedo
ndice
dosomatorio,entao
este
fatorpo
desair
dosomatorio:
n i=1f ig k
=g k
n i=1f i.
Pois,
n i=1f ig k
=f 1g k
+...+
f ng k
=g k(f 1+
...+
f n)=
g kn i=1
f i.Aqu
iforam
apli-
cada
sas
prop
ried
ades
distribu
tivaecomutativado
prod
utoem
relacaoasoma
denu
meros.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
28Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
(d)Num
somatorio
duplo,aorde
mdo
ssomatoriospo
desertrocad
a:
n i=1m j=1
f ij=
m j=1n i=1
f ij.
Pois,
n i=1m j=1
f ij=
n i=1(f i1
+...+
f im)=
(f 11+...+
f 1m)+...+
(f n1+...+
f nm)=
(f 11+...+
f n1)
+...+
(f 1m+...+
f nm)=
m j=1(f 1j+
...+
f nj)=
m j=1n i=1
f ij.A
qui
foram
aplicad
asas
prop
ried
ades
comutativaeassociativada
somade
numeros.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
29
1.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
Muitosp
roblem
asem
varias
areasd
aCienciarecaem
nasolucaode
sistem
aslin
eares.
Vamos
verc
omoaalgebramatricialpo
desimplificaro
estudo
dossistem
aslin
eares.
Umaeq
uacaoline
arem
nva
riav
eisx 1,x
2,...,x n
eum
aequa
caoda
form
a
a 1x 1
+a 2x 2
+...+
a nx n
=b,
emqu
ea 1,a
2,...,a n
ebsaoconstantes
reais;
Um
sistem
ade
equa
coes
line
ares
ousimplesmen
tesistem
aline
areum
conjun
tode
equa
coes
lineares,ou
seja,e
umconjun
tode
equa
coes
daform
a8 > > > < > > > :a
11x 1
+a 1
2x2
+...
+a 1
nx n
=b 1
a 21x
1+
a 22x
2+
...
+a 2
nx n
=b 2
. . .. . .
=. . .
a m1x
1+
a m2x
2+
...
+a m
nx n
=b m
emqu
ea ijeb k
saoconstantes
reais,pa
rai,k=
1,...,mej=
1,...,n.
Usand
ooprod
utode
matrizesqu
ede
finim
osna
secaoan
terior,osistem
alin
ear
acim
apo
deserescrito
comoum
aequa
caomatricial
AX
=B,
emqu
e A=
2 6 6 6 4a 11
a 12
...
a 1n
a 21
a 22
...
a 2n
. . ....
. . .a m
1a m
2...
a mn
3 7 7 7 5,X
=
2 6 6 6 4x 1 x 2 . . . x n
3 7 7 7 5eB=
2 6 6 6 4b 1 b 2 . . . b m
3 7 7 7 5.Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
30Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Umasolucaode
umsistem
alin
eareum
amatrizS
=
2 6 6 6 4s 1 s 2 . . . s n
3 7 7 7 5talqu
eas
equa
coes
dosistem
asaosatisfeita
squ
ando
substitumos
x 1=
s 1,x
2=
s 2,...,x
n=
s n.O
conjun
tode
toda
sas
solucoes
dosistem
aecham
adoconjun
tosolucaoou
solucao
gerald
osistem
a.AmatrizAecham
adamatrizdo
sistem
aline
ar.
Exem
plo1.10
.Osistem
alin
earde
duas
equa
coes
edu
asincogn
itas
x+
2y=
12x
+y
=0
pode
serescrito
como
12
21
x y =
1 0 .
Asolucao(geral)d
osistem
aacim
aex=1
/3ey=
2/3(verifiqu
e!)o
u
X=
1 3 2 3
.Umaform
ade
resolver
umsistem
alin
eare
substituiro
sistem
ainicialp
orou
troqu
etenh
aomesmoconjun
tosolucaodo
prim
eiro,m
asqu
esejamaisfacild
eresolver.O
outrosistem
aeob
tidode
poisde
aplicar
sucessivam
enteum
aseriede
operacoes,qu
ena
oalteram
asolucaodo
sistem
a,sobreas
equa
coes.Asop
eracoesqu
esaousad
assao:
Trocar
apo
sicaode
duas
equa
coes
dosistem
a;Multip
licar
umaequa
caopo
rum
escalardiferentede
zero;
So
mar
aum
aequa
caoou
traequa
caomultip
licad
apo
rum
escalar.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
31
Estasop
eracoessao
cham
adas
deop
eracoeselem
entares.
Qua
ndo
aplicam
osop
eracoeselem
entaressobreas
equa
coes
deum
sistem
alin
earsomen
teos
coefi
ci-
entesdo
sistem
asaoalterado
s,assim
pode
mos
aplicar
asop
eracoessobreamatriz
decoefi
cien
tesdo
sistem
a,qu
echam
amos
dematrizau
men
tada
,ouseja,a
matriz
[A|B
]=
2 6 6 6 4a 11
a 12
...
a 1n
b 1a 2
1a 2
2...
a 2n
b 2. . .
...
. . .. . .
a m1
a m2
...
a mn
b m
3 7 7 7 5.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
32Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Defin
icao1.5.
Umaop
eracao
elem
entars
obre
aslinh
asde
umamatrizeum
ada
ssegu
intesop
eracoes:
(a)Trocar
apo
sicaode
duas
linha
sda
matriz;
(b)Multip
licar
umalin
hada
matrizpo
rum
escalardiferentede
zero;
(c)So
mar
aum
alin
hada
matrizum
multip
loescalarde
outralin
ha.
Oprox
imoteorem
aga
rantequ
eao
aplicarmos
operacoeselem
entaresa`s
equa
coes
deum
sistem
aoconjun
tosolucaona
oealterado
.
Teorem
a1.2.
Sedoissistem
aslin
earesAX
=BeC
X=
D,sao
taisquea
matrizaumentada
[C|D
]eobtid
ade
[A|B
]aplicando-seu
maoperacao
elem
entar,entaoos
doissistem
aspossuem
asmesmas
solucoes.
Demon
strac
ao.A
demon
stracaode
steteorem
asegu
e-se
dedu
asob
servacoes:
(a)Se
Xesolucaode
umsistem
a,en
taoX
tambem
esolucaodo
sistem
aob
tido
aplican
do-seum
aop
eracao
elem
entarsobresuas
equa
coes
(verifiqu
e!).
(b)Se
osistem
aCX
=D,e
obtid
ode
AX
=Bap
lican
do-seum
aop
eracao
elem
en-
tara`
ssuas
equa
coes
(ouequiva
lentem
entea`s
linha
sda
suamatrizau
men
tada
),en
taoosistem
aAX
=Btambem
pode
serob
tidode
CX
=D
aplican
do-se
umaop
eracao
elem
entara`s
suas
equa
coes,p
oiscada
operacao
elem
entarpo
s-suiu
maop
eracao
elem
entarinv
ersa
domesmotip
o,qu
ede
sfaz
oqu
eaan
terior
fez(verifiqu
e!).
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
33
Pela
observacao
(b),AX
=BeCX
=D
pode
mserob
tidos
umdo
outroap
lican
do-
seum
aop
eracao
elem
entarsobreas
suas
equa
coes.Epe
laob
servacao
(a),os
dois
possue
mas
mesmas
solucoes.
Doiss
istemas
quepo
ssue
momesmoconjun
tosolucaosaocham
ados
sistem
aseq
ui-
valentes.P
ortanto,segu
e-se
doTeorem
a1.2qu
eap
lican
do-seop
eracoese
lemen
tares
a`sequa
coes
deum
sistem
alin
earob
temos
sistem
asequiva
lentes.
1.2.1
Metod
ode
Gaus
s-Jo
rdan
Ometod
oqu
eva
mos
usar
para
resolver
sistem
aslin
earesconsiste
naap
licacao
deop
eracoeselem
entaresa`s
linha
sda
matrizau
men
tada
dosistem
aatequ
eob
tenh
a-mos
umamatriznu
maform
aem
queosistem
aassociad
oaesta
matrizsejade
facil
resolucao.
Vamos
procurar
obterum
amatriznu
maform
aem
quetoda
sas
linha
sna
onu
las
possua
mcomoprim
eiro
elem
ento
naonu
lo(cha
mad
opivo
)onu
mero1.Alem
disso,
seum
acoluna
contem
umpivo
,entao
todo
sos
seus
outros
elem
entosterao
queserigu
aisa
zero.V
amos
vern
oexem
plosegu
intecomoconseguimos
isso.N
este
exem
ploveremos
comoapa
rtirdo
faturamen
toedo
gastocom
insumos
pode
mos
determ
inar
quan
tofoip
rodu
zido
decada
prod
utoman
ufaturad
oem
umaindu
stria.
Exem
plo1.11
.Umaindu
striaprod
uztres
prod
utos,X
,YeZ,u
tilizan
dodo
istip
osde
insumo,
AeB.
Para
aman
ufaturade
cada
kgde
Xsaoutilizado
s1gram
ado
insumoA
e2gram
asdo
insumoB;
para
cada
kgde
Y,1gram
ade
insumoA
e1
gram
ade
insumoBe,
para
cada
kgde
Z,1
gram
ade
Ae4gram
asde
B.O
preco
devend
ado
kgde
cada
umdo
sprod
utos
X,Y
eZ
eR$2,00,R$3,00
eR$5,00,
respectiv
amen
te.C
omavend
ade
toda
aprod
ucao
deX,Y
eZman
ufaturad
acom
1kg
deAe2kg
deB,
essa
indu
striaarrecado
uR$2500,00.
Vamos
determ
inar
quan
tos
kgde
cada
umdo
sprod
utos
X,Y
eZforam
vend
idos.
Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
34Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Com
ovimos
noEx
emplo1.6na
pagina
6,usan
domatrizesoesqu
emade
prod
ucao
pode
serde
scrito
dasegu
inte
form
a:
XY
Zgram
asde
A/k
ggram
asde
B/kg
preco/
kg
2 411
12
14
23
5
3 5 =A
X=
2 4x y z3 5
kgde
Xprod
uzidos
kgde
Yprod
uzidos
kgde
Zprod
uzidos
AX
=
2 4x+
y+
z2x
+y+4z
2x+3y
+5z
3 5 =2 410
002000
2500
3 5gram
asde
Ausad
osgram
asde
Busad
osarrecada
cao
Assim
,precisamos
resolver
osistem
alin
ear
8 < :x
+y
+z
=1000
2x+
y+
4z=
2000
2x+
3y+
5z=
2500
cujamatrizau
men
tada
e2 41
11
1000
21
42000
23
52500
3 51a .
elim
inacao:
Vamos
procurar
para
pivo
da1a .
linha
umelem
ento
naonu
loda
prim
eira
coluna
nao
nula
(seforocaso,p
odem
osusar
atrocade
linha
spa
ratraze-lo
pa
raaprim
eira
linha
).Com
ooprim
eiro
elem
ento
daprim
eira
coluna
eigua
la`1elesera
oprim
eiro
pivo
.Ago
ra,p
recisamos
zeraros
outros
elem
entosda
1a .coluna
,que
eacoluna
dopivo
,paraisto,a
dicion
amos
a`2a .
linha
,2vezesa1a .
linha
ead
iciona
mos
a`3a .
linha
,tam
bem,
2vezesa1a .
linha
.
21
a .lin
ha+
2a .lin
ha!
2a .lin
ha21
a .lin
ha+
3a .lin
ha!
3a .lin
ha
2 6 41
11
1000
01
20
01
3500
3 7 5Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
35
2a .elim
inacao:
Olham
ospa
raasub-matrizob
tidaelim
inan
do-sea1a .
linha
.Escolhem
ospa
rapivo
umelem
ento
diferentede
zero
na1a .
coluna
naonu
lade
stasub-matriz.
Vamos
esco-
lher
oelem
ento
depo
sicao2,2.
Com
otemos
quefazeropivo
igua
la`um
,vam
osmultip
licar
a2a .
linha
por1
.
12
a .lin
ha!
2a .lin
ha
2 411
11000
012
00
13
500
3 5Ago
ra,p
recisamos
zeraros
outros
elem
entosda
2a .coluna
,que
eacoluna
dopivo
,pa
raisto,som
amos
a`1a .
linha
,1vezesa
2a .esomam
osa`3a .
linha
,tam
bem,
1vezes
a2a ..
12
a .lin
ha+
1a .lin
ha!
1a .lin
ha12
a .lin
ha+
3a .lin
ha!
3a .lin
ha
2 410
31000
012
00
05
500
3 53a .
elim
inacao:
Olham
ospa
raasub-matrizob
tidaelim
inan
do-sea1a .
ea2a .
linha
.Escolhe
mos
para
pivo
umelem
ento
diferentede
zero
na1a .
coluna
naonu
lade
stasub-matriz.
Temos
deescolher
oelem
ento
depo
sicao3,3ecomotemos
defazeropivo
igua
la`1,
vamos
multip
licar
a3a .
linha
por1/
5.
1 53
a .lin
ha!
3a .lin
ha
2 410
31000
012
00
01
100
3 5Ago
ra,p
recisamos
zeraros
outros
elem
entosda
3a .coluna
,que
eacoluna
dopivo
,pa
raisto,som
amos
a`1a .
linha
,3vezesa3a .
esomam
osa`2a .
linha
,2vezesa2a ..
33
a .lin
ha+
1a .lin
ha!
1a .lin
ha2
3a .lin
ha+
2a .lin
ha!
2a .lin
ha
2 410
0700
01
0200
00
1100
3 5Marco
2012
Regin
aldoJ.Sa
ntos
-
36Matriz
eseSiste
mas
Linea
res
Portan
to,o
sistem
ada
doeequiva
lenteao
sistem
a8 < :x
=700
y=
200
z=
100
quepo
ssui
solucaogerald
adapo
r
X=
2 4x y z3 5 =
2 4700
200
100
3 5 .Po
rtan
to,foram
vend
idos
700kg
doprod
utoX,2
00kg
doprod
utoYe100kg
doprod
utoZ.
Aultim
amatrizqu
eob
tivem
osno
exem
ploan
terior
esta
naform
aqu
echam
amos
deescalona
daredu
zida
.
Matriz
esVe
torese
Geom
etria
Anal
tica
Marco
2012
-
1.2
Siste
mas
deEq
uaco
esLin
eares
37
Defin
icao1.6.
UmamatrizA
=(a
ij) mn
esta
naform
aescalona
daredu
zida
quan
dosatisfazas
segu
intes
cond
icoes:
(a)To
dasas
linha
snu
las(formad
asinteiram
ente
porzeros)ocorrem
abaixo
daslin
hasna
onu
las;
(b)Opivo
(1o .elem
ento
naonu
lode
umalin
ha)d
ecada
linha
naonu
laeigua
la`1;
(c)Opivo
decada
linha
naonu
laocorre
a`direita
dopivo
dalin
haan
terior.
(d)Se
umacoluna
contem
umpivo
,entao
todo
sos
seus
outros
elem
entossaoigua
isazero.
Seum
amatrizsatisfazas
prop
ried
ades
(a)e
(c),mas
naone
cessariamen
te(b)e
(d),
dizemos
queelaesta
naform
aescalona
da.
Exem
plo1.12
.Asmatrizes 2 410
00
10
00
1
3 5 e2 41
30
20
013
00
00
3 5saoescalona
dasredu
zida
s,en
quan
to2 41
11
01
20
05
3 5 e2 41
31
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00
0
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Marco
2012
Regin
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-
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Este
metod
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taresa`s
linha
sda
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men
tada
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eamatrizdo
sistem
