Vetores e matrizes - Uma introdução à Álgebra Linear

Vetores e MatrizesUma Introdução à Álgebra Linear

Nathan Moreira dos Santos

Os modelos lineares são fundamentais tanto para as ciências exatas, como para as ciências físicas e sociais, com grande impor-tância na economia e aplicações crescentes na tecnologia. Esta obra apresenta uma introdução à álgebra linear por meio do estudo de álgebra vetorial, geometria analítica, matrizes, sistemas de equações lineares e funções lineares.

Obra já reconhecida e de grande aceitação na área, a quarta edição de Vetores e Matrizes foi revista e ampliada, incluindo agora um capítulo de álgebra linear computacional. Traz ainda muitos exer-cícios que complementam o texto. Estes variam da simples verifi-cação da aprendizagem até alguns mais complexos, cujo objetivo é desenvolver a iniciativa dos estudantes.

Livro-texto indicado para as disciplinas vetores e matrizes, geome-tria analítica e introdução à álgebra linear nos cursos de graduação em Física, Matemática e Engenharias, entre outros.

Aplicações

Sobre o Autor

Colaboradores

Nathan Moreira dos Santos bacharelou- se em 1958 na Universidade Católica do

Paraná. Foi bolsista da Capes de 1959 a agosto de 1962, estagiando no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa) do CNPq. Foi bolsista da Capes e da OEA no Massachusetts Institute of Technology, onde obteve o grau de Ph.D., em 1966, sob a orientação do eminente matemático Isadore M. Singer (prêmio Abel em 2004). Foi professor visitante na Queen's University no Canadá, durante o ano letivo 1966-1967, e na Universidad Mayor de San Marcos, no Peru, sob o patrocínio da Ford Foundation, em 1969. Foi professor associado na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC/Rio) de 1967 a 1994. Atualmente, é professor titular aposentado da Universidade Federal Fluminense (UFF). Suas áreas de pesquisa envolvem a teoria das folheações, classes características e teoria da rigidez de ações de grupos de Lie, em variedades diferenciáveis. Continua ativamente publicando artigos em revistas internacionais de alto nível e proferindo palestras e conferências em universidades e congressos especializados.

Doherty Andrade é professor associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e doutor em Matemática pela USP.

Nelson Martins Garcia é professor associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e doutor em Matemática pela PUC/Rio.

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Outras Obras

Álgebra Linear David Poole

aCálculo – Volumes I e II – 5 EdiçãoJames Stewart

Matemática Aplicada à Administração e EconomiaS. T. Tan

Matemática Aplicada à Administração, Economia e ContabilidadeAfrânio Murolo e Giácomo Bonetto

Matemática Financeira e Engenharia EconômicaNivaldo Elias Pilão e Paulo R. V. Hummel

Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)


Vetores e :

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Edição Revista e Ampliada


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ISBN 13 978-85-221-0873-2ISBN 10 85-221-0873-0

9 7 8 8 5 2 2 1 0 8 7 3 2

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Uma Introdução à Álgebra Linear

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Santos, Nathan Moreira dos

Vetores e matrizes : uma introdução à álgebra linear /

Nathan Moreira dos Santos ; [colaboradores] Doherty

Andrade, Nelson Martins Garcia. -- 4. ed. rev. e ampl. --

São Paulo : Thomson Learning, 2007. -- (Vetores e matrizes)

Bibliografia.

ISBN 978-85-221-0873-2

1. Álgebra linear 2. Cálculo vetorial 3. Matrizes

(Matemática) I. Andrade, Doherty. II. Garcia, Nelson

Martins. III. Título. IV. Série.

07-1581 CDD-512.5

Índices para catálogo sistemático:

1. Matrizes : Matemática 512.5

2. Vetores : Matemática 512.5

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Nathan Moreira dos SantosProfessor Titular do Instituto de Matemática

da Universidade Federal Fluminense ePh.D. pelo Massachusetts Institute of Technology

4a EdiçãoTexto revisto e ampliado com a inclusão de um capítulo

sobre álgebra linear computacional, elaborado por:

Nelson Martins GarciaProfessor Associado do

Departamento de Matemática daUniversidade Estadual de Maringá,

Doutor em Matemática pela PUC/RIO

Doherty AndradeProfessor Associado do

Departamento de Matemática daUniversidade Estadual de Maringá,Doutor em Matemática pela USP

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Uma Introdução à Álgebra Linear

e

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Austrália • Brasil • Japão • Coréia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear


Gerente Editorial: Patricia La Rosa

Editora de Desenvolvimento: Ligia Cosmo Cantarelli

Supervisor de Produção Edi-torial: Fábio Gonçalves

Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar Albuquerque

Copidesque: Maria Alice da Costa

Revisão: Mônica Di Giacomo, Silvana Gouveia

Composição: Segmento & Co. Produções Gráficas Ltda.

Capa: FZ. Dáblio Design Studio

©2007 Cengage Learning Edições Ltda.

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empre-gados, sem a permissão, por escrito, da Editora.Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos arti-gos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

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ISBN 10: 85-221-0873-0ISBN 13: 978-85-221-0873-2

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v

Para

meus filhosAlexandre e André

e

meus netosLucas e Bernardo


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vii

Prefácio à quarta edição, ix

CAPÍTULO 1 – Vetores, 11.1 Preliminares, 11.2 Vetores, 21.3 Adição de Vetores, 31.4 Produto por Escalares, 61.5 Dependência e Independência Lineares, 91.6 O Produto Interno, 131.7 Bases Ortonormais, 171.8 O Produto Vetorial, 231.9 O Produto Misto, 24

CAPÍTULO 2 – Retas e Planos, 312.1 Coordenadas Cartesianas, 312.2 Equações do Plano, 332.3 Ângulo entre dois Planos, 402.4 Equações de uma Reta, 422.5 Ângulo entre duas Retas, 472.6 Distância de um Ponto a um Plano, 492.7 Distância de um Ponto a uma Reta, 512.8 Distância entre duas Retas, 532.9 Interseção de Planos – Regra de Cramer, 57

CAPÍTULO 3 – Cônicas e Quádricas, 633.1 Cônicas, 633.2 Superfícies Quádricas, 693.3 Mudanças de Coordenadas, 783.4 A Equação Geral do Segundo Grau, 80

CAPÍTULO 4 – Espaços Euclidianos, 874.1 Os Espaços Euclidianos �n, 874.2 Produto Interno, 914.3 A Norma de um Vetor, 93

Sumário

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| VETORES E MATRIZESviii

4.4 Retas e Hiperplanos, 984.5 Subespaços, 1004.6 Dependência e Independência Lineares, 1024.7 Bases Ortonormais, 103

CAPÍTULO 5 – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares, 1095.1 Corpos, 1095.2 Os Espaços �n, 1105.3 Matrizes, 1125.4 Produto de Matrizes, 1165.5 Sistemas de Equações Lineares, 1225.6 Operações Elementares, 1265.7 Matrizes Escalonadas, 1345.8 Sistemas Não-Homogêneos, 1365.9 Matrizes Elementares, 1405.10 Matrizes Invertíveis, 142

CAPÍTULO 6 – Funções Lineares, 1496.1 Funções, 1496.2 Funções Lineares, 1516.3 Matriz de uma Função Linear, 1566.4 Mudança de Base, 1606.5 O Teorema do Posto e da Nulidade, 1616.6 Autovalores e Autovetores, 1636.7 O Teorema Espectral, 1676.8 Diagonalização de Formas Quadráticas, 1726.9 Uma Introdução à Álgebra Linear, 175

CAPÍTULO 7 – Noções de Álgebra Linear Computacional, 1797.1 Introdução ao Maple, 1807.2 Vetores e Operações, 1877.3 Retas e Planos, 1937.4 Cônicas e Quádricas, 2127.5 Espaços Euclidianos, 2237.6 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares, 2347.7 Funções Lineares, 248

CAPÍTULO 8 – Exercícios Suplementares, 265

Sugestões, Respostas e Soluções de Exercícios, 273

Bibliografia, 287

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ix

A primeira versão deste livro foi publicada como monografia pelo Instituto deMatemática Pura e Aplicada do CNPq (IMPA) em 1970. A primeira ediçãofoi publicada pela editora Ao Livro Técnico S.A. em 1972, com duas reim-pressões em 1973. A segunda edição apareceu em 1975 por Livros Técnicose Científicos Editora S.A., com reimpressões em 1976 e 1977, seguindo-se daterceira edição em 1988. Um total de mais de 50 mil exemplares foi impresso,atestando a boa aceitação que o livro teve. À medida que meu envolvimento empesquisa em matemática crescia, descuidei-me em preparar uma quarta ediçãode Vetores e Matrizes. Isso esclarece o lapso de anos ocorrido entre a terceiraedição e esta quarta edição que tenho o prazer de lançar.

A idéia de publicar esta edição é resultado dos muitos pedidos rece-bidos de colegas e do encorajamento e “convocação” que recebi do professorNelson Martins Garcia que em colaboração com o professor Doherty Andradecontribuíram também com um capítulo sobre álgebra linear computacional.Ambos são professores associados no Departamento de Matemática da Univer-sidade Estadual de Maringá (UEM), no Paraná. Como professor do Departa-mento de Matemática da PUC-RIO, coordenei no período de 1973 a 1978 umconvênio entre a PUC-RIO e a UEM, objetivando capacitar o corpo docentedesta instituição para o ensino e a pesquisa em matemática. Hoje vejo queesse convênio foi um sucesso: além de ter propiciado a formação de váriosmestres e doutores, tem contribuído para o ensino da matemática no Brasil.

Vetores e Matrizes é uma introdução à álgebra linear. Isso é alcançadopor meio do estudo da álgebra vetorial, da geometria analítica, das matri-zes, dos sistemas de equações lineares e das funções lineares. Em verdade,este livro é fruto da experiência obtida ministrando cursos de introdução àálgebra linear na PUC-RIO. O Capítulo 1 introduz os vetores como classes deequivalência de segmentos orientados do espaço e estuda as operações sobre osvetores; algumas propriedades das figuras planas são demonstradas por meio docálculo vetorial. O Capítulo 2 utiliza os vetores no estudo das retas e planosdo espaço. As cônicas e quádricas são estudadas no Capítulo 3. No Capítulo 4introduzimos os espaços euclidianos, os quais são utilizados no Capítulo 5, nosestudos das matrizes e sistemas de equações lineares, e no Capítulo 6, no estudodas funções lineares.

Prefácio à Quarta Edição

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| VETORES E MATRIZESx

Os exercícios complementam uma parte essencial ao texto. Eles variamdesde simples verificação de aprendizagem, até alguns mais difíceis, cujoobjetivo é desenvolver a iniciativa dos estudantes. Alguns exercícios esten-dem o texto, apresentando resultados importantes cujo conhecimento é, àsvezes, exigido nas seções seguintes. Durante as várias edições incorporei,após análise detalhada, muitas sugestões que recebi de colegas e estudantesque utilizaram o livro em cursos de geometria analítica e introdução àálgebra linear. A eles minha gratidão por terem contribuído para o aper-feiçoamento do texto.

Rio de Janeiro


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1

Vetores

1

1.1 Preliminares

Vamos começar recordando as noções da geometria do espaço que serão uti-lizadas para definir vetor. Outros fatos geométricos serão mencionadosquando houver necessidade. Esperamos que o leitor esteja razoavelmentefamiliarizado com os conceitos básicos da geometria elementar.

Ponto, reta e plano são conceitos primitivos. As relações entre esses con-ceitos são estabelecidas pelos axiomas da geometria elementar. Recordemosalguns axiomas que nos interessam de perto:

1. Três pontos quaisquer, não situados em uma mesma reta, determi-nam um plano.

2. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, essa reta estácontida no plano.

3. Se dois planos têm um ponto em comum, eles possuem pelo menosuma reta em comum passando por esse ponto.

4. Existem pelo menos quatro pontos que não pertencem a um mesmoplano.

Duas retas são paralelas quando estão situadas em um mesmo plano enão se interceptam. A relação de paralelismo é transitiva, isto é, se as retas r1

e r2, bem como as retas r2 e r3, são paralelas, então r1 e r3 também são.Se uma reta r não tem ponto em comum com um plano π, diremos que

r é paralela ao plano π. Caso contrário, ou a reta r está contida em π ou rintercepta π exatamente em um ponto.

Se r intercepta π em um ponto p e, além disso, qualquer reta do planoπ que passe por p é perpendicular à reta r, diremos que a reta r é perpendicu-lar ao plano π. Demonstra-se que se p é um ponto de um plano π, então existeuma única reta perpendicular a π passando por p.

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| VETORES E MATRIZES2

1.2 Vetores

Dois pontos distintos A e B do espaço determinam uma reta r. O segmento dereta r entre A e B é a parte da reta compreendida entre esses dois pontos.Podemos orientar esse segmento considerando um dos pontos como origem eo outro como extremidade.

O segmento orientado com origem A e extremidade B será indicadopor AB. Os pontos serão, também, considerados como segmentos orientados(nulos). Assim, o ponto A pode ser identificado com o segmento orientado AA(origem A e extremidade A).

Sejam AB e A’B’ segmentos orientados.

Definição 1.1 Diremos que o segmento orientado AB é eqüipolente ao segmentoorientado A’B’ se uma das três afirmações a seguir for verificada:

1. A = B e A’ = B’.2. AB e A’B’ estão situados sobre uma mesma reta e é possível deslizar

A’B’ sobre essa reta de maneira que A’ coincida com A e B’ coincidacom B.

3. A figura obtida ligando-se os pontos A a B, B a B’, B’ a A’ e A’ a A éum paralelogramo (veja a Figura 1.1).

Observe que dois pontos (quando considerados como segmentos orien-tados) são sempre eqüipolentes. O leitor pode mostrar facilmente que a relaçãode eqüipolência satisfaz às seguintes propriedades:

e1 Reflexividade: Todo segmento orientado do espaço é eqüipolente asi mesmo.

e2 Simetria: Se o segmento orientado AB é eqüipolente ao segmentoorientado A’B’, então A’B’ é eqüipolente a AB.

e3 Transitividade: Se o segmento orientado AB é eqüipolente ao seg-mento orientado A’B’ e se A’B’ é eqüipolente ao segmento orien-tado A”B”, então AB é eqüipolente a A”B”.

Figura 1.1

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Em virtude das três propriedades mencionadas, é usual dizer-se que aeqüipolência é uma relação de equivalência.

Definição 1.2 O vetor determinado por um segmento orientado AB é o con-junto de todos os segmentos orientados do espaço que são eqüipolentes aosegmento orientado AB.

O vetor determinado por AB será indicado por ; o segmento orien-tado AB é um representante do vetor . É conveniente representar tanto o seg-mento orientado AB como o vetor por uma seta com origem em A eextremidade em B. O leitor deve, entretanto, não se esquecer de que isso éum abuso de notação: o segmento orientado AB e o vetor são objetosmatemáticos distintos, pois AB é um segmento orientado (isto é, um conjuntode pontos), enquanto é um conjunto de segmentos orientados.

Observe que os segmentos orientados AB e CD representam o mesmovetor se, e somente se, esses segmentos são eqüipolentes. Portanto, ummesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orien-tados distintos. Na verdade, se AB é um segmento orientado e P, um pontoqualquer do espaço, o leitor pode ver facilmente que existe um, e somente um,segmento orientado PQ, com origem em P, tal que PQ é eqüipolente a AB.Segue-se, assim, que o vetor tem exatamente um representante em cadaponto do espaço.

Os vetores serão geralmente indicados por letras minúsculas com setasem cima. Por exemplo, o vetor pode ser indicado por . Os números reaisserão indicados por letras minúsculas (sem setas em cima).

1.3 Adição de Vetores

Sejam e dois vetores. Vamos definir o vetor soma desses vetores, que indi-caremos por . A definição é motivada pela composição de forças emmecânica. Escolhamos um representante qualquer AB, para o vetor .a

�

a b� �

+b�

a�

a�

AB� ��

AB� ��

AB� ��

AB� ��

AB� ��

AB� ��

AB� ��

Capítulo 1 VETORES | 3

Figura 1.2

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Já sabemos que existe um único segmento orientado com origem em Brepresentando o vetor . Seja BC esse segmento. Definimos o vetor como o vetor representado pelo segmento orientado AC (veja a Figura 1.2).

É necessário verificar que a adição anterior está bem-definida, mostrandoque o vetor é único, qualquer que seja a escolha dos representantes dosvetores e . Para mostrar isso, escolhamos novos representantes A’B’ eB’C’ para os vetores e , respectivamente.b

�

a�

b�

a�

a b� �

+

a b� �

+b�

Figura 1.3

Figura 1.4

Como os segmentos orientados AC e A’C’ são eqüipolentes (veja aFigura 1.3), resulta .AC A C

� ��

= ’ ’

A adição de vetores é comutativa, isto é, se e são vetores quaisquer,então . De fato, observando a Figura 1.4 vemos que e ; além disso, e , onde .a b b a

� � � �

+ = +AD DC AC� ��

+ =AB DC AC� ��

+ =b BC AD� � ��

= =a AB DC� � ��

= =a b b a� � � �

+ = +b�

a�

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A adição de vetores é associativa, isto é, se , e são vetores quais-quer, então

A demonstração dessa propriedade pode ser feita facilmente, obser-vado-se a Figura 1.5.

a b c a b c� � � � � �

+ +( ) = +( ) + .

c�

b�

a�


Figura 1.5

Concordamos em considerar um ponto A qualquer do espaço comoum segmento orientado AA, com origem A e extremidade A (segmento nulo).Assim, por definição, todos os segmentos nulos do espaço são eqüipolentesentre si, portanto o conjunto de todos os segmentos nulos do espaço é umvetor, que será chamado vetor nulo e indicaremos por . Se é um vetorqualquer, então

A cada vetor associaremos da seguinte forma um vetor , denomi-nado simétrico de : se , então, . Como , temosque ; analogamente, . O vetor , definido anterior-mente, é o único vetor que satisfaz à igualdade . Com efeito,suponha que seja um vetor tal que ; então somando a ambosos membros da igualdade dada, obtemos

.− + + = − +a a b a� � � � �

( ) 0

−a�

a b� � �

+ = 0b�

a a� � �

+ − =( ) 0−a�

− + =a a� � �

0a a� � �

+ − =( ) 0AB BA AA� ��

+ =− =a BA� � ��

a AB� � ��

=a�

−a�

a�

0� � �

+ =a a.

a�

0�

a b c a b c� � � � � �

+ +( ) = +( ) + .

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E, pela associatividade da adição de vetores, temos

,

ou seja,

,

onde

.

Exemplo 1.1 Qual é a condição necessária e suficiente para que os vetorespossam ser representados pelos lados de um

polígono de n lados?Pondo para , procuramos a condição necessária e sufi-

ciente para que . Se , então ,ou seja, . Reciprocamente, se , então

e, portanto, . Logo, ,podem ser representados pelos lados de um polígono de n lados se, esomente se, .a a an1 2 0

��

+ + + =...

a a an1 2

��

, , ...,A An1 1= +A A A A A A A An n n1 2 2 3 1 1 1

� ��

+ + + = =+ +... 00�

a a an1 2 0��

+ + + =...a a an1 2 0��

+ + + =...A A A A A A A An n1 2 2 3 1 1 1

� ��

+ + + =+...A An+ =1 1A An+ =1 1

i n= 1 2, ,...,a A Ai i i

��

= +1

A A A A A An1 2 2 3 1, ,...,a a an1 2

��

, , ...,

b a� �

= −

0 0� � � �

+ = − +b a

( )− + + = − +a a b a� � � � �

0

1.4 Produto por Escalares

O termo escalar é tradicionalmente usado com o significado de número real.Sejam x um número real e um vetor. Utilizaremos nossos conheci-

mentos de geometria para definir o vetor , produto do vetor pelo escalar x.a�

xa�

a1

��

Figura 1.6

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Tomemos um representante AB do vetor . Se ou , fazemos, pordefinição, . Se e , o vetor é definido como o vetor quetem como representante o segmento AC cujo comprimento é vezes ocomprimento de AB; situa-se sobre a reta que contém AB, e é tal que, se ,então C e B estão de um mesmo lado de A e, se , então A está entre C e B(veja a Figura 1.7).

O leitor pode verificar facilmente as seguintes propriedades:

x y a xa ya

x a b xa xb

x ya xy a

+( ) = +

+ = +

=

� � �

� � � �

� �

( )

( ) ( ) .

x < 0x > 0

xxa�

a� �

≠ 0x ≠ 0xa� �

= 0a� �

= 0x = 0a�


As igualdades anteriores são válidas quaisquer que sejam os escalares x, y e osvetores , . É claro, também, que e .

Observe que e são, na verdade, conseqüências das pro-priedades da adição de vetores e da multiplicação de vetores por escalares.Realmente:

e

A seguir, daremos um resumo das propriedades da adição de vetores e damultiplicação de vetores por escalares.

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8. 1a a� �

=a b b a� � � �

+ = +( ) ( )xy a x ya

� �

=a a� � �

+ − =( )1 0

( )x y a xa ya+ = +� � �

0 0� � � � �

+ = + =a a a

x a b xa xb( )� � � �

+ = +( ) ( )a b c a b c� � � � � �

+ + = + +

x x a a xa x a xa xa0 1 0� � � � � � � �

= + −⎡⎣ ⎤⎦ = + − = + − =( ) ( ) ( ) .

0 1 1 1 1 0a a a a a a� � � � � � �

= + −[ ] = + − = + − =( ) ( ) ( )

x0 0� �

=0 0a� �

=( )− = −1 a a

� �

1a a� �

=b�

a�

Figura 1.7

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Exemplo 1.2 Em um quadrilátero qualquer (não necessariamente convexo),ABCD, os pontos médios E, F, G e H dos lados são os vértices de um para-lelogramo.

De fato, observando a figura, vemos que

pelo Exemplo 1.1,

,

portanto

HG AC

AB BC

EB BF

EF

� ��

� ��

� ��

� ��

=

= +

= +

=

1212

12

.

DA AC CD� ��

+ + = 0

HG DA AC CD

DA AC CD

� ��

� ��

= + +

= + + +

12

12

12

1( )

22AC� ��

Figura 1.8

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Além disso,

Assim, o quadrilátero EFGH é um paralelogramo.

1.5 Dependência e Independência Lineares

Sejam e vetores dados. Fixe um ponto qualquer, P, do espaço. Sejam PAe PB representantes de e , respectivamente.b

�

a�

b�

a�

HE HG GF FE

HG EF GF

GF

� ��

� ��

� ��

= + +

= − +

=

( )

.


Figura 1.9

Podemos, então, encontrar uma das seguintes situações:

Caso 1

PA e PB situados sobre uma mesma reta r; isso acontece se, e somente se,existe um número real x tal que ou . Diremos, então, que osvetores e são linearmente dependentes ou colineares (veja a Figura 1.9).

Caso 2

PA e PB não situados sobre uma mesma reta. Desse modo, PA e PB determi-nam um plano π. Diremos, então, que os vetores e são linearmente inde-pendentes.

b�

a�

b�

a�

b xa� �

=a xb� �

=

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Sejam x e y escalares quaisquer. Uma expressão da forma cha-ma-se uma combinação linear dos vetores e . Se e são linearmentedependentes e não simultaneamente nulos, então eles geram uma reta, isto é,todos os vetores da forma podem ser representados sobre umamesma reta r. Reciprocamente, se C é um ponto qualquer de r, então exis-tem escalares x e y tais que ; por exemplo, se , então existe umescalar x tal que (a rigor, existe uma infinidade de escalares x e ytais que ).

Se e são linearmente independentes, então, todos os vetores daforma podem ser representados sobre um mesmo plano π.xa yb

� �

+b�

a�

xa yb PC� � � ��

+ =xa PC� � ��

=a�

≠ 0xa yb PC� � � ��

+ =

xa yb� �

+

b�

a�

b�

a�

xa yb� �

+

De modo recíproco, se C é um ponto qualquer do plano π, então a Fi-gura 1.10 nos mostra que , onde e . Vemos,assim, que todo vetor que possua representante no plano π pode serescrito como uma combinação linear dos vetores e ; e que toda com-binação linear dos vetores e pode ser representada sobre o plano π.Por essa razão, se os vetores e são linearmente independentes, diremosque eles geram um plano.

Se um vetor se escreve como uma combinação linear , dire-mos que os vetores e são componentes do vetor na direção dos vetores

e , respectivamente. Os escalares x e y são as coordenadas de em ter-mos dos vetores e . Observe que, se e são linearmente indepen-dentes, cada vetor que possua representante em π se escreve de maneiraúnica como uma combinação linear dos vetores e .

Sejam , e vetores não simultaneamente nulos. Então, pode ocor-rer um dos dois casos a seguir:

Caso 1

Os vetores , e são linearmente dependentes, isto é,

i) ou , , possuem representantes em uma mesma reta (nesse caso,diremos que esses vetores são colineares);

c�

b�

a�

c�

b�

a�

c�

b�

a�

b�

a�

v�

b�

a�

b�

a�

v�

b�

a�

v�

yb�

xa�

xa yb� �

+v�

b�

a�

b�

a�

b�

a�

v�

PB yb’� ��

=PA xa’� ��

=PC PA PB� ��

= +’ ’

Figura 1.10

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ii) ou , , possuem representantes em um mesmo plano; nesse caso,diremos que eles são coplanares (observe que a colinearidade de trêsvetores é um caso particular da coplanaridade, isto é, o item (i) éum caso particular do item (ii)).

Caso 2

Os vetores , e são linearmente independentes ou não-coplanares, isto é, nãopossuem representantes em um mesmo plano.

Sejam x, y e z escalares quaisquer. Uma expressão da formachama-se uma combinação linear dos vetores , e .

É fácil ver que, se , e são vetores colineares, não todos nulos, entãoeles geram uma reta, isto é, todos os vetores da forma possuemrepresentantes em uma mesma reta; reciprocamente, se r é uma reta sobre aqual existem representantes PA, PB e PC para os vetores , e , respecti-vamente, e D é um ponto qualquer de r, então existe uma infinidade de escala-res x, y e z, tais que . É igualmente fácil ver que, se , e são vetores coplanares, mas não-colineares, todos os vetores da forma

possuem representantes sobre um mesmo plano. Recíproca, se πé um plano que contém os representantes PA, PB e PC de , e , respecti-vamente, e D é um ponto qualquer de π, então existe uma infinidade deescalares x, y e z, tais que . Por essa razão, diremos que trêsvetores coplanares, mas não-colineares, geram um plano. Do exposto ante-riormente, concluímos que três vetores linearmente dependentes, não simulta-neamente nulos, ou geram uma reta ou um plano.

Mostraremos agora que, se , e são linearmente independentes,eles geram o espaço, isto é, se é um vetor qualquer, então existe um (único)terno ordenado de escalares, tais que . Para isso, es-colhamos os representantes PA, PB, PC e PM para os vetores , , e ,respectivamente, com origem no ponto P (veja a Figura 1.11).

v�

c�

b�

a�

v xa yb zc� � � �

= + +x y z, ,( )v�

c�

b�

a�

PD xa yb zc� ��

= + +

c�

b�

a�

xa yb zc� � �

+ +

c�

b�

a�

PD xa yb zc� ��

= + +

c�

b�

a�

xa yb zc� � �

+ +c�

b�

a�

c�

b�

a�

xa yb zc� � �

+ +

c�

b�

a�

c�

b�

a�


Figura 1.11

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Por M, tracemos a paralela a PC. Seja M´ o ponto de encontro dessaparalela com o plano determinado pelos segmentos PA e PB. O ponto M´existe, pois, caso contrário, PC estaria no plano determinado por PA e PB, oque contraria a hipótese de que , e são não-coplanares. Vemos, assim, que

, onde , para algum escalar z. Alémdisso, está no plano determinado por PA e PB e, portanto, existem escalaresx e y, tais que . Logo, .

Chamaremos os vetores , e componentes do vetor na dire-ção dos vetores , e ; os números x, y e z são as coordenadas de emtermos dos vetores , e . Um conjunto de três vetores linearmente inde-pendentes denomina-se uma base para o espaço dos vetores. A base queconsiste nos vetores , e , nessa ordem, será indicada por . Se esco-lhermos uma base , a cada vetor corresponde um único terno orde-nado de escalares, a saber, as coordenadas de em termos dessabase. De forma recíproca, a cada terno ordenado de números reaiscorresponde o vetor

.

Exercícios

1. Sejam P, A e B pontos do espaço. Seja C o ponto no segmento AB

tal que . Escreva o vetor como combinação linear dos

vetores e .2. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam no meio.3. Demonstre que a relação de eqüipolência é reflexiva, simétrica e

transitiva.4. Sejam AB e CD segmentos orientados. Demonstre que se,

e somente se, AB e CD são eqüipolentes.5. a) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas AD, BE e CF.

Demonstre que

.

b) Seja ABC um triângulo qualquer. Mostre que existe um triângulocom lados paralelos às medianas de ABC e com os compri-mentos destas.

6. Demonstre que os vetores , e são linearmente independentesse, e somente se, a equação só possui a solução nula

.7. Considere a equação

x a y b z c x a y b z c1 1 1 2 2 2

� � � � � �

+ + = + + .

x y z= = = 0xa yb zc� � � �

+ + = 0c�

b�

a�

AD BE CF� ��

+ + = 0

AB CD� ��

=

PB� ��

PA� ��

PC� ��AC

CBmn

=


= + +

x y z, ,( )v�

x y z, ,( )v�

a b c� � �

, ,{ }a b c� � �

, ,{ }c�

b�

a�

c�

b�

a�

v�

c�

b�

a�

v�

zc�

yb�

xa�


= + +PM xPA yPB’� ��

= +PM’� ��

PC zPC’� ��

=PM PM M M PM PC� ��

= + = +’ ’ ’ ’c�

b�

a�

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a) Mostre que se , e são linearmente independentes, então

, e

b) Mostre que se , e são linearmente dependentes, não po-demos concluir que , e .

1.6 O Produto Interno

Motivados na expressão do trabalho em mecânica, vamos definir o produtointerno de dois vetores. Essa operação associa a cada par , de vetores umnúmero real que será indicado por .a b

� �

⋅b�

a�

z z1 2=y y1 2=x x1 2=c�

b�

a�

z z1 2=y y1 2=x x1 2=

c�

b�

a�


Figura 1.12

A fim de definirmos o produto interno, necessitamos do conceito deângulo entre dois vetores. O ângulo entre os vetores não-nulos e , indi-cado por ( , ), é definido como o ângulo entre seus representantes. Maisprecisamente, se e , então o ângulo entre e é, por defi-nição, o ângulo entre os segmentos AB e AC. Para que essa definição façasentido, devemos mostrar que ( , ) não depende da escolha dos represen-tantes AB e AC. Especificamente, o leitor deverá mostrar que se A’B’ e A’C’são também representantes dos vetores e , respectivamente (veja aFigura 1.12), o ângulo entre os segmentos orientados AB e AC é igual aoângulo entre os segmentos orientados A’B’ e A’C’.

Observe que o ângulo (AB, AC) é o menor segundo o qual AB devegirar para se tornar colinear com AC. Esse ângulo é positivo se a rotação es-tiver no sentido anti-horário e negativo, caso contrário. Rigorosamente, essaescolha da orientação deveria ser como na definição de triedro positivo dopróximo parágrafo. Isso nos permite associar a cada ângulo ( , ) seu ângulonegativo ou oposto ( , ).

Outro conceito que será também necessário é o de comprimento ounorma de um vetor. Escolhamos um segmento orientado não-nulo qualquerAB e vamos chamá-lo segmento orientado unitário. Todo segmento orientado

a�

b�

b�

a�

b�

a�

b�

a�

b�

a�

b AC� � ��

=a AB� � ��

=b�

a�

b�

a�

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congruente a AB será também chamado segmento orientado unitário. Umvetor é unitário se um de seus representantes (e então todos) for um segmen-to orientado unitário.

Dado o vetor , seja um unitário colinear com . Pela colinearidade,existe um número t, conforme a Seção 1.5, positivo, nulo ou negativo, tal que

.

Chama-se norma ou comprimento de , e se indica por , o módulo dessenúmero t. Então,

.

Dessa definição fica claro que um vetor é unitário se, e somente se, suanorma for igual a um. O leitor poderá facilmente demonstrar as seguintespropriedades da norma:

1. se, e somente se, .

2. .

As propriedades dadas se verificam quaisquer que sejam o vetor e o es-calar x.

Passemos agora à definição do produto interno.Sejam e vetores não-nulos. O produto interno do vetor pelo vetor

, indicado por , é definido por

.

Se um dos vetores ou for o vetor nulo, definimos:

.

O produto interno satisfaz às seguintes propriedades:

1. (simetria)

2. (homogeneidade)

3. (distributividade)

(quaisquer que sejam os vetores , , e qualquer que seja o escalar x).Observe que essas propriedades são verificadas trivialmente se um dosvetores for o vetor nulo. Na verdade, é a única definição com-patível com elas, pois, pela segunda propriedade descrita, temos

,0 0 0 0= ⋅ = ⋅ = ⋅( ) ( ) ( )a b a b a b� � � � � �

a b� � � � �

⋅ = ⋅ =0 0 0

c�

b�

a�

c a b c a c b� � � � � � �

⋅ + = ⋅ + ⋅( )

x a b xa b a xb( ) ( ) ( )� � � � � �

⋅ = ⋅ = ⋅a b b a� � � �

⋅ = ⋅

a b� �

⋅ = 0

b�

a�

a b a b a b� � � � � �

⋅ = ( )cos ,

a b� �

⋅b�

a�

b�

a�

a�

xa x a� �

=

a� �

= 0a a� � �

≥ =0 0;

�

a t=

�

aa�

a tv� �

=

a�

v�

a�

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Os modelos lineares são fundamentais tanto para as ciências exatas, como para as ciências físicas e sociais, com grande impor-tância na economia e aplicações crescentes na tecnologia. Esta obra apresenta uma introdução à álgebra linear por meio do estudo de álgebra vetorial, geometria analítica, matrizes, sistemas de equações lineares e funções lineares.

Obra já reconhecida e de grande aceitação na área, a quarta edição de Vetores e Matrizes foi revista e ampliada, incluindo agora um capítulo de álgebra linear computacional. Traz ainda muitos exer-cícios que complementam o texto. Estes variam da simples verifi-cação da aprendizagem até alguns mais complexos, cujo objetivo é desenvolver a iniciativa dos estudantes.

Livro-texto indicado para as disciplinas vetores e matrizes, geome-tria analítica e introdução à álgebra linear nos cursos de graduação em Física, Matemática e Engenharias, entre outros.

Aplicações

Sobre o Autor

Colaboradores

Nathan Moreira dos Santos bacharelou- se em 1958 na Universidade Católica do

Paraná. Foi bolsista da Capes de 1959 a agosto de 1962, estagiando no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa) do CNPq. Foi bolsista da Capes e da OEA no Massachusetts Institute of Technology, onde obteve o grau de Ph.D., em 1966, sob a orientação do eminente matemático Isadore M. Singer (prêmio Abel em 2004). Foi professor visitante na Queen's University no Canadá, durante o ano letivo 1966-1967, e na Universidad Mayor de San Marcos, no Peru, sob o patrocínio da Ford Foundation, em 1969. Foi professor associado na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC/Rio) de 1967 a 1994. Atualmente, é professor titular aposentado da Universidade Federal Fluminense (UFF). Suas áreas de pesquisa envolvem a teoria das folheações, classes características e teoria da rigidez de ações de grupos de Lie, em variedades diferenciáveis. Continua ativamente publicando artigos em revistas internacionais de alto nível e proferindo palestras e conferências em universidades e congressos especializados.

Doherty Andrade é professor associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e doutor em Matemática pela USP.

Nelson Martins Garcia é professor associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e doutor em Matemática pela PUC/Rio.

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Outras Obras

Álgebra Linear David Poole

aCálculo – Volumes I e II – 5 EdiçãoJames Stewart

Matemática Aplicada à Administração e EconomiaS. T. Tan

Matemática Aplicada à Administração, Economia e ContabilidadeAfrânio Murolo e Giácomo Bonetto

Matemática Financeira e Engenharia EconômicaNivaldo Elias Pilão e Paulo R. V. Hummel

Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)


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