MATRIZES QUALQUER TABELA DE NÚMEROS

DISPOSTOS RETANGULARMENTE EM LINHA E COLUNAS

Professora Rosânia

• A ideia de matriz se associa com a de uma tabela de números

• O uso das matrizes no dia a dia é relativamente frequente em: imagens da internet (gif, jpeg), planilhas eletrônicas, tabelas de dados.

• As matrizes terão importância essencial no desenvolvimento de sistemas lineares.

REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES

1 23 4

𝑜𝑢 1 23 4

𝑜𝑢 1 23 4

PARTES DE UMA MATRIZ

𝐴 =1 2 34 5 67 8 9

LINHAS

COLUNAS

ELEMENTO

OBS: FILEIRA: pode ser tanto uma linha ou uma coluna

• Amxn – matriz A (m linhas e n colunas)

• 𝑎𝑖𝑗 – Elemento qualquer que está na

linha i e na coluna j.

NOMENCLATURA

A = 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

Elemento da 3ª linha e 2ª coluna

• Exemplo:

• Escrever a matriz A = 𝑎𝑖𝑗 2x3, onde 𝑎𝑖𝑗 =

𝑖 + 𝑗

LEI DE FORMAÇÃO

A = 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23

= 2 3 43 4 5

𝑖 + 𝑗

• QUANTO ÀS FILEIRAS TEMOS:

TIPOS DE MATRIZ

𝐴 = (1 2 3) MATRIZ LINHA

𝐴 =123

MATRIZ COLUNA

A =1 23 4

MATRIZ QUADRADA

Ainda na matriz quadrada temos:

A = 1 2 32 1 23 1 4

DIAGONAL SECUNDÁRIA

DIAGONAL PRINCIPAL

A = 1 2 30 1 20 0 4

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

A = 1 0 02 1 03 1 4

MATRIZ TRIANGULAR

SUPERIOR

A = 1 0 00 1 00 0 1

MATRIZ IDENTIDADE

Todos os elementos da diagonal principal valerem 1 e os demais zero.

A = 0 0 00 0 00 0 0

MATRIZ NULA

• Duas matrizes são iguais se (e somente se) são de mesma ordem. Ou seja, igual o número de linhas e colunas e seus elementos correspondentes são iguais

IGUALDADE DE MATRIZES

𝐴 =1 23 4

𝐵 =𝑎 𝑏𝑐 𝑑

Se A = B, então: a = 1 b = 2 c = 3 d = 4

• Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes.

ADIÇÃO DE MATRIZES

𝐴 =1 2 34 5 6

+ B=2 5 41 2 9

=

C =3 7 75 7 15

• A + B = B + A comutativa

• A + (B + C) = (A + B) + C associativa

• A + O = A elemento neutro

• A + (-A) = O elemento oposto ou simétrico

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

matriz oposta

• Se A e B são matrizes de mesma ordem. Para se fazer A – B basta subtrair os elementos correspondentes de A e B, mantendo-se os seus índices.

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

A=5 67 8

- B 1 23 −4

=

4 44 12

• Basta multiplicar o nº por todos os elementos da matriz.

PRODUTO DE UM Nº REAL POR UMA MATRIZ

2 .1 23 4

= 2 46 8

• Ao multiplicarmos ( - 1) por A vamos obter o oposto de A.

OPOSTO DE UMA MATRIZ

Se A = 1 23 4

, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴

- A = (-1). 1 23 4

=−1 −2−3 −4

• Dada uma matriz A de tipo mxn, chama-se transposta de A e indica-se 𝐴𝑡. Basta trocar ordenadamente as linhas pelas colunas de A.

MATRIZ TRANSPOSTA

𝐴 = 2 1

−3 54 3

𝐴𝑡 = 2 −3 41 5 3

• DETALHES:

- O produto AB é diferente de BA.(a ordem importa).

- O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

- O resultado terá o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda.

PRODUTO DE MATRIZES

𝑆𝑒 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 m x n e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛 𝑥 𝑞

Então: A . B = (𝐶𝑖𝑗 )𝑚 𝑥 𝑞

LINHAS COLUNAS =

PARA QUE HAJA O PRODUTO DAS MATRIZES É NECESSÁRIO QUE: número de colunas da

primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

RESULTADO NESSA ORDEM

Seja: 𝐴 =1 2 33 1 2

𝑒 𝐵 = 2 13 24 5

Exemplo:

1. Existe produto de AB? Justifique. 2. Calcule o produto se existir.

1. Existe produto de AB? Justifique

1. Sim. A ordem de A é (2 x 3) e a ordem de B é (3 x 2). Como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto existe e terá ordem 2 x 2.

𝐴 =1 2 33 1 2

𝐵 = 2 13 24 5

2 x 3 3 x 2

2. Calcule o produto se existir.

𝐴 =1 2 33 1 2

𝐵 = 2 13 24 5

𝐴 = 1.2 + 2.3 + 3.4 1.1 + 2.2 + 3.53.2 + 1.3 + 2.4 3.1 + 1.2 + 2.5

=

𝐴 =20 2017 15