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MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTES

Uma matriz do tipo m x n , é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas . As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||

EXEMPLOS

−−

=

12

36

28

13

02

A

−−

=313

524B

5x22x3

A = (a ij) mxn

Notação Condensada• Construir a matriz A = (a ij)3x2, em que

aij = 3i – j.

a32a31

a22a21

a12a11

A =

� aij = 3i – j

a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1

a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4

a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7

78

45

12

A =

TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ QUADRADA (A n)

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DIAGONAL PRINCIPAL

i = j

DIAGONAL SECUNDÁRIA

i + j = n + 1

TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por A t

049

132A2x3 = A t

3x2 =

01

43

92

085

813

532A =

SIMÉTRICA

A = A t

08-5

803-

5-30A =

ANTI SIMÉTRICA

A = - A t

MATRIZ IDENTIDADE (I n)

100

010

001

DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM

DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO

I3 =

ASSINALE V OU F

O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.

UFSC - 2003 ( )F

UFSC - 2005 V( )

UFSC - 2009 ( )V

UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a

soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(L t).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO

DE MATRIZES

A.I = AB.I = BC.I = C

ASSINALE V OU F UFSC - 2005

( )F

OPERAOPERAÇÇÕESÕESADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRA ÇÇÃOÃO

nxmnxmnxmCBA =±

−+

124

016

842

123

=

926

139

� Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

� Comutativa: A + B = B + A

� (A + B)t = At + Bt

MULTIPLICAMULTIPLICA ÇÇÃO ÃO DE UM NDE UM NÚÚMERO MERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ

23

1–2M =

3.M =3.23.3

3.13.–2

=69

3–63.M

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MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTES

PRODUTO DE MATRIZES

pxmpxnnxm CB.A =

nn=

OPERAOPERAÇÇÕESÕES

4

1

–22

0–3

6–2

53

2–1

B =A =

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6

4

1

–22

0–3

6–2

53

2–1

B =A =

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6

2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6

−=

1214

16A.B

PRODUTO DE MATRIZES

pxmpxnnxm CB.A =nn=

Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.

.00

11

=

−10

10 0 0

0 0

Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A .

A.I = I.A = A

A2 = A.A

OPERAOPERAÇÇÕESÕES

( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é d o tipo 3 x 6, assinale o que for correto.

01. n.r = m.p02. m = r + 104. p = 2m08. n = r16. n + r = p + m

GABARITO: 18