IGUALDADEDuas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]pxq são iguais

se e somente se

m = p e n = q (mesma ordem) e aij = bij, i, j.

APLICAÇÃO

Se A = B e A = 3 x + 4

8 5

e B = 3 12

8 3y - 1então

X + 4 = 12 x = 8 e 3y – 1 = 5 y = 2.

ADIÇÃO

Duas matrizes são conformes para a adição se e somente se apresentarem a mesma ordem.

Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]mxn duas matrizes.

Se C = [cij]mxn e C = A + B, então cij = aij + bij.

Exemplo:

=4 6 3 9

9 56 7

+ =4 + 9 6 + 53 + 6 9 + 7

13 11 9 16

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR (Nº REAL)

Seja a matriz A = [aij]mxn e o escalar “r”.

O produto rA é definido como sendo a matriz de ordem mxn e elementos bij, tais que bij = raij.

Exemplo:

= =3 x 5 2

8 4

3.5 3.2

3.8 3.4

15 6 24 12

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

jan fev mar abr mai

A 300 100 200 100 150

B 400 500 800 600 400

C 200 300 350 200 250

Artigos/Despesa A B C

Mão de obra 2 1,5 3

Manutenção 1,5 2 1,5

Impostos 4 1,2 2,4

Custo de produção

Quantidade produzida

Qual foi a despesa com “mão de obra” para produzir os artigos A, B e C no mês de janeiro?

2X300 + 1,5x400 + 3x200 = 1.800,00

(Despesa X produto)

(Produto X mês)

(Despesa X mês)

Formalizando:

Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes, tais que n = p. Define-se o produto A x B como sendo uma matriz C = [cij]mxq (nº de linhas da 1ª e nº de colunas da 2ª) onde cada cij é formado pela soma dos elementos da linha i da matriz A multiplicados pelos elementos da coluna j da matriz B, isto é: 

cij = aik . bkj

k = 1

n

EXEMPLO:

A tem ordem 2 X 3 e B tem ordem 3 X 4. O resultado será uma matriz 2 x 4.

2 x 3 3 x 4

Têm que ser iguaisResultado 2 X 4

c11 = linha 1 da primeira X coluna 1 da segunda = 2.6 + 3.5 + 4.1 = 31.

c12 = 2.7 + 3.0 + 4.9 = 50 c13 = 2.2 + 3.1 + 4.8 = 19 c14 = 2.1+3.4+4.3 = 26

c21 = 1.6 + 7.5 + 0.1 = 41

c22 = 1.7 + 7.0 + 0.9 = 7

c23 = 1.2 + 7.1 + 0.8 = 9

c24 = 1.1+ 7.4 + 0.3 = 29

A = 2 3 4

1 7 0

B =

6 7 2 1

5 0 1 4

1 9 8 3

31 50 19 26

41 7 9 29

A X B =

02 -Considere as matrizes

Determine: a) A + BT           b)  3A         c) (AT)T           d) A x B         b) e) (AxB)T       f) BTxAT.g) Por que razão não é possível efetuar A + B  e B x Ah) Que conclusão se pode tirar dos resultados obtidos nos itens e e f?

03 - Sabe-se que o produto Amxp . Bqxn é possível. Que relação existe em p e q? Qual será a ordem da matriz A. B?

04 - Existe ou não as operações A + B, A.B, B.A , B.AT e A.BT, onde A e B são as matrizes do item 2? Justifique suas respostas.

05 - Uma matriz A2x3 foi multiplicada por outra matriz Bmxn, resultando numa matriz Cpx5. Qual é a ordem da matriz B? Qual é o valor de p?

06 - Considere as matrizes

a) Determine os valores de x, y, w e t se 2A + 3B = Cb) Determine a matriz D tal que 2.(3A + D) = 3.(2B - A).c) Calcule 5.A.B.I onde I é a matriz identidade de ordem 2.d) Calcule a matriz M tal que M.A = I onde I é a matriz identidade de

ordem 2.

07 – Seja A = [aij]5x7 tal que aij = 5 + 2i – 3j se i = j e aij = 2 – 3i + 4j se i j B = [bij]7x6 tal que aij = 3i – 2j se i > j e aij = 2i – 3j se i < j.a) Determine o elemento c42 da matriz C tal que C = A x B.b) Determine a soma dos elementos da terceira coluna da matriz C se

C = A + B.c) Qual é a ordem da matriz C se C = A x B?d) É possível o produto B x A? Justifique.

Calcule: a) A2 b) A3 c) A4 d) B2 e) AB f) BA g) 2AB h) 2BA i) (A + B)2 j) A2 + 2AB + B2 k) A2 + AB + BA + B2 Observando os itens i, j e k, que conclusões você pode tirar?

10 – Usando as mesmas matrizes do exercício anterior verifique a validade ou não das igualdades a) (AB)T = AT.BT       b) (AB)T = BT.AT      c) 2.(AB) = A.(2B)

11 – Usando as matrizes

Verifique as propriedades:a) (A + B) + C = A + (B + C) b) A + B = B + Ac) A . (B + C) = A . B + A . C d) 2.(A + B) = 2.A + 2.Be) A . B B . A f) A . B = BT . AT