1

ESCOLA SECUNDÁRIA JAIME MONIZ ENSINO SECUNDÁRIO RECORRENTE

POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS PROVA DE MATEMÁTICA A – MÓDULOS 7, 8 e 9

EM REGIME NÃO PRESENCIAL DATA: 6 JULHO 2009 DURAÇÃO: 2 horas Estrutura: A prova será composta por duas partes: Primeira e Segunda

Na Primeira Parte serão apresentadas 7 questões de escolha múltipla (seleccionar a resposta correcta sem apresentar justificações).

A Segunda Parte será composta por cinco grupos de desenvolvimento, referentes aos módulos 7, 8 e 9. A resolução deve ser feita de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que achar necessárias, a menos que seja pedido apenas para indicar. Material a utilizar:

O examinando apenas pode usar na prova, como material de escrita, caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. O examinando

deve ainda ser portador de uma calculadora gráfica. A lista das calculadoras admissíveis é fornecida pela Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular. Não é permitido o uso de «esferográfica-lápis», nem de corrector. Indicações específicas:

A prova tem um formulário em anexo. A quantidade de fórmulas incluídas pode ultrapassar o número das que podem eventualmente ser necessárias à realização da prova.

2

Cotação da Prova:

Primeira Parte ----------------------------- 63 pontos (cada resposta certa, 9 pontos)

Segunda Parte ---------------------------- 137 pontos

Total ----------------------------- 200 pontos (20 valores) Probabilidades e Combinatória ................. 41 pontos

Funções ...................................................... 130 pontos

Números Complexos .................................. 29 pontos

Critérios de Classificação:

A cotação de cada alínea será sempre um número inteiro. O professor corrector deverá valorizar o raciocínio do examinando em todas as questões. A classificação de uma questão não será prejudicada pela utilização de dados incorrectos obtidos em cálculos anteriores, desde que o

grau de dificuldade não diminua. Erros ocasionais de contas, que não alterem significativamente a estrutura ou grau de dificuldade da questão, não poderão

corresponder a penalizações superiores a 10% da cotação máxima atribuída a essa questão. Algumas questões da prova poderão ser correctamente resolvidas por mais do que um processo. Sempre que um examinando utilizar

um processo de resolução não contemplado nestes critérios, caberá ao professor corrector adoptar um critério de distribuição da cotação que julgue adequado e utilizá-lo em situações idênticas.

Nas questões que obriguem à utilização da capacidade gráfica da calculadora, o aluno deverá transcrever para a sua folha de prova os gráficos e/ou tabelas em que se baseou para dar a sua resposta, no sentido de clarificar o raciocínio efectuado.

3

Unidades Temáticas Conteúdos Objectivos

Probabilidades e Combinatória

(Módulo 7)

Probabilidades • Experiência aleatória: conjunto de resultados; acontecimentos; • Operações com acontecimentos; • Aproximações conceptuais para a probabilidade - Aproximação frequencista de probabilidade; - Lei de Laplace; - Definição Axiomática de probabilidade; - Propriedades da probabilidade; • Probabilidade condicionada; • Acontecimentos independentes. Análise Combinatória • Permutações. • Arranjos completos, arranjos simples. • Combinações. • Triângulo de Pascal. • Binómio de Newton. • Aplicação ao cálculo de probabilidades. Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades • Variável aleatória; função massa de probabilidade: - Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta: distribuição de frequências versus distribuição de probabilidades; - Média versus valor médio; - Desvio padrão amostral versus desvio padrão populacional; • Modelo Binomial; • Modelo Normal.

• Realizar experiências aleatórias. • Identificar e relacionar acontecimentos aleatórios bem como suas propriedades. • Operar com acontecimentos. • Calcular probabilidades. • Desenvolver raciocínios demonstrativos a partir da Axiomática de Probabilidades. • Recorrer a esquemas que facilitem o cálculo de probabilidades (tabelas, diagramas, entre outros). • Identificar e calcular probabilidades condicionadas. • Distinguir acontecimentos dependentes de acontecimentos independentes. • Explicar raciocínios, usando correctamente a linguagem específica das probabilidades • Aplicar técnicas de contagem, em particular: permutações, arranjos simples e completos, combinações. • Aplicar conhecimentos de análise combinatória no cálculo de probabilidades. • Reconhecer e aplicar propriedades das combinações na resolução de problemas, na compreensão do triângulo de Pascal e na fórmula do Binómio de Newton. • Definir a distribuição de probabilidades associada a uma certa variável aleatória discreta ou contínua. • Calcular o valor médio e o desvio padrão de uma certa distribuição de probabilidades; • Aplicar propriedades das variáveis com distribuição binomial e normal na resolução de problemas.

Funções

Exponenciais e

Funções Exponenciais e Logarítmicas ● Função exponencial de base superior a 1;

• Aplicar o estudo das funções exponenciais e logarítmicas em situações da vida real usando

4

Logarítmicas (Módulo 8)

- Crescimento exponencial; - Estudo das propriedades analíticas e gráficas da

família das funções definida por ( ) , 1xf x a a= > .

• Função logarítmica de base superior a 1; - Estudo das propriedades analíticas e

gráficas da família de funções definida por

( ) log , 1af x x a= > .

• Regras operatórias de exponenciais e logarítmos. • Utilização de funções exponenciais e logarítmicas na modelação de situações reais. Teoria de Limites • Limite de função segundo Heine. Propriedades operatórias sobre limites. Limites notáveis. Indeterminações. Assímptotas. Continuidade. • Teorema de Bolzano-Cauchy e aplicações numéricas. Cálculo Diferencial • Funções derivadas. Regras de derivação. Derivadas de funções elementares (informação baseada em intuição numérica e gráfica). Segunda definição do número e. • Segundas derivadas e concavidade. • Estudo de funções em casos simples.

processos analíticos e a calculadora gráfica. • Resolver equações e inequações usando exponenciais e logaritmos. • Relacionar analiticamente e graficamente o sinal e os zeros da 1ª derivada com a monotonia e extremos de uma função. • Relacionar analiticamente e graficamente o sinal e os zeros da 2ª derivada com a concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de uma função. • Determinar as assímptotas do gráfico de uma função. • Estudar a continuidade de uma função em pontos do seu domínio. • Aplicar a teoria de limites no cálculo de limites envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.

Funções

Trigonométricas

Funções trigonométricas • Estudo intuitivo das funções seno, co-seno e

• Aplicar as razões trigonométricas e as fórmulas trigonométricas na resolução de problemas envolvendo

5

e Complexos (Módulo 9)

tangente com base no círculo trigonométrico, tanto a partir de um gráfico particular, como usando a calculadora gráfica. • Fórmula da diferença e da soma. • Fórmulas da duplicação. • Resolução de equações.

• Estudo intuitivo de 0

limx

senx

x→

.

• Cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. • Derivada das funções seno, coseno e tangente. Complexos • Números complexos. O número i. O conjunto dos números complexos. • A forma algébrica dos complexos. Operações com complexos na forma algébrica. • Representação de complexos da forma trigonométrica. • Escrita de complexos nas duas formas, passando de uma para a outra. • Operações com números complexos na forma trigonométrica. • Domínios planos e condições em variável complexa.

triângulos. • Resolução de equações trigonométricas. • Aplicar a teoria de limites no cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. • Relacionar analítica e graficamente o sinal e os zeros da 1ª derivada com a monotonia e extremos de uma função. • Relacionar analítica e graficamente o sinal e os zeros da 2ª derivada com a concavidade e os pontos de inflexão de uma função. • Escrever e representar o mesmo número complexo na forma algébrica e trigonométrica. •Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. • Determinar e representar graficamente as raízes índice n de um número complexo. • Representar no plano complexo condições envolvendo complexos relacionadas com circunferências, círculos, rectas e semi-rectas.