CoordenadoresAntonio Carlos Brolezzilvia Mureb SallumMartha Salerno Monteiro

Elaboradores

Antonio Carlos BrolezziMartha Salerno Monteiro

Nome do aluno

1mdulo

Nmeros para qu?

Matemtica

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

Governador: Geraldo Alckmin

Secretaria de Estado da Educao de So Paulo

Secretrio: Gabriel Benedito Issac Chalita

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP

Coordenadora: Sonia Maria Silva

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

Reitor: Adolpho Jos Melfi

Pr-Reitora de Graduao

Sonia Teresinha de Sousa Penin

Pr-Reitor de Cultura e Extenso Universitria

Adilson Avansi Abreu

FUNDAO DE APOIO FACULDADE DE EDUCAO FAFE

Presidente do Conselho Curador: Selma Garrido Pimenta

Diretoria Administrativa: Anna Maria Pessoa de Carvalho

Diretoria Financeira: Slvia Luzia Frateschi Trivelato

PROGRAMA PR-UNIVERSITRIO

Coordenadora Geral: Eleny Mitrulis

Vice-coordenadora Geral: Sonia Maria Vanzella Castellar

Coordenadora Pedaggica: Helena Coharik Chamlian

Coordenadores de rea

Biologia:

Paulo Takeo Sano Lyria Mori

Fsica:

Maurcio Pietrocola Nobuko Ueta

Geografia:

Sonia Maria Vanzella Castellar Elvio Rodrigues Martins

Histria:

Ktia Maria Abud Raquel Glezer

Lngua Inglesa:

Anna Maria Carmagnani Walkyria Monte Mr

Lngua Portuguesa:

Maria Lcia Victrio de Oliveira Andrade Neide Luzia de Rezende Valdir Heitor Barzotto

Matemtica:

Antnio Carlos Brolezzi Elvia Mureb Sallum Martha S. Monteiro

Qumica:

Maria Eunice Ribeiro Marcondes Marcelo Giordan

Produo Editorial

Dreampix Comunicao

Reviso, diagramao, capa e projeto grfico: Andr Jun Nishizawa, Eduardo Higa Sokei, Jos Muniz Jr.Mariana Pimenta Coan, Mario Guimares Mucida e Wagner Shimabukuro

Cartas aoAluno

Caro aluno,

Com muita alegria, a Universidade de So Paulo, por meio de seus estudantese de seus professores, participa dessa parceria com a Secretaria de Estado daEducao, oferecendo a voc o que temos de melhor: conhecimento.

Conhecimento a chave para o desenvolvimento das pessoas e das naese freqentar o ensino superior a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentosde forma sistemtica e de se preparar para uma profisso.

Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita o desejode tantos jovens como voc. Por isso, a USP, assim como outras universidadespblicas, possui um vestibular to concorrido. Para enfrentar tal concorrncia,muitos alunos do ensino mdio, inclusive os que estudam em escolas particularesde reconhecida qualidade, fazem cursinhos preparatrios, em geral de altocusto e inacessveis maioria dos alunos da escola pblica.

O presente programa oferece a voc a possibilidade de se preparar para enfrentarcom melhores condies um vestibular, retomando aspectos fundamentais daprogramao do ensino mdio. Espera-se, tambm, que essa reviso, orientadapor objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimentopessoal que adquiriu ao longo da educao bsica. Tomar posse da prpriaformao certamente lhe dar a segurana necessria para enfrentar qualquersituao de vida e de trabalho.

Enfrente com garra esse programa. Os prximos meses, at os exames emnovembro, exigiro de sua parte muita disciplina e estudo dirio. Os monitorese os professores da USP, em parceria com os professores de sua escola, estose dedicando muito para ajud-lo nessa travessia.

Em nome da comunidade USP, desejo-lhe, meu caro aluno, disposio e vigorpara o presente desafio.

Sonia Teresinha de Sousa Penin.

Pr-Reitora de Graduao.

Carta daPr-Reitoria de Graduao

Caro aluno,

Com a efetiva expanso e a crescente melhoria do ensino mdio estadual,os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da redeestadual de ensino, no momento de ingressar nas universidades pblicas, vm seinserindo, ao longo dos anos, num contexto aparentemente contraditrio.

Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovadosnos exames vestibulares da Fuvest o que, indubitavelmente, comprova aqualidade dos estudos pblicos oferecidos , de outro mostra quo desiguaistm sido as condies apresentadas pelos alunos ao conclurem a ltima etapada educao bsica.

Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamarde formao bsica necessrio ao restabelecimento da igualdade de direitosdemandados pela continuidade de estudos em nvel superior, a Secretaria deEstado da Educao assumiu, em 2004, o compromisso de abrir, no programadenominado Pr-Universitrio, 5.000 vagas para alunos matriculados na terceirasrie do curso regular do ensino mdio. uma proposta de trabalho que buscaampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentose contedos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva insero nomundo acadmico. Tal proposta pedaggica buscar contemplar as diferentesdisciplinas do currculo do ensino mdio mediante material didtico especialmenteconstrudo para esse fim.

O Programa no s quer encorajar voc, aluno da escola pblica, a participardo exame seletivo de ingresso no ensino pblico superior, como espera seconstituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino mdio ea universidade. Num processo de contribuies mtuas, rico e diversificadoem subsdios, essa parceria poder, no caso da estadual paulista, contribuirpara o aperfeioamento de seu currculo, organizao e formao de docentes.

Prof. Sonia Maria Silva

Coordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas

Carta daSecretaria de Estado da Educao

Apresentao

[...] a Matemtica procura compreender os modelos que permeiam o mundo quenos rodeia assim como a mente dentro de ns. [] Assim necessrio enfatizar:

a procurar de solues, e no apenas a memorizao de procedimentos; a explorao de modelos, e no apenas a memorizao de frmulas; a formulao de conjecturas, e no apenas a resoluo de exerccios.[...] com essas nfases, os estudantes tero a oportunidade de estudar a Mate-

mtica como uma disciplina exploradora, dinmica, que se desenvolve, em lugarde ser uma disciplina que tem um corpo rgido, absoluto, fechado, cheio de regrasque precisam ser memorizadas.

Shoenfeld (1992)1

Este curso de Matemtica com durao de 4 meses est sendo oferecidoaos alunos do ltimo ano do ensino mdio da rede pblica como um incentivopara que continuem seus estudos em direo ao ensino superior. Embora nocubra todo o programa do ensino mdio, pretende-se estimular o interesse dosalunos pelos diversos temas de Matemtica por meio de abordagens variadas.

Sero estudados tpicos sobre Nmeros, Estatstica, Probabilidade e An-lise Combinatria, Geometria Plana e Espacial, Geometria Analtica, SistemasLineares e Funes, privilegiando o entendimento das possveis facetas deum mesmo assunto, a anlise de resultados obtidos e a interligao entre osdiversos contedos.

Escolhas foram feitas de modo a priorizar sua formao, a discusso deidias e a percepo de que a Matemtica uma disciplina viva, que pode serconstruda, e no um amontoado de frmulas prontas para serem decoradas eusadas. Lembrando que realmente aprendemos quando trabalhamos o conhe-cimento, analisando-o de vrias maneiras e usando-o com critrio, considera-remos, sempre que possvel, aplicaes em problemas reais e interdisciplinares.

Acreditando que o intercmbio entre vocs, alunos do ensino mdio, e osalunos da USP, que sero os seus professores, venha a aumentar a sua predis-posio para o ensino superior, desejamos a todos bons estudos!

Coordenao da rea de Matemtica

da rea

1SCHOENFELD A. H. Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sensemaking in mathematics. In: D. A. Grouws (ed.). Handbook of research on mathematicas teaching andlearning. p. 334-370. Nova York: McMillan, 1992.

As necessidades da vida exigem que se faam contagens e medidas de vriostipos. Por exemplo, o empregado deve saber se o reajuste de seu salrio foi feitocorretamente; o esportista mede o tempo e a distncia percorrida naquele tempopara avaliar se houve progresso em seu desempenho. O desenvolvimento dosnmeros se deve necessidade de us-los em diferentes ocasies. Quanto maisatividades sociais e comerciais entre os homens e maior a interao entre os po-vos, maior a necessidade de contar, registrar e representar os nmeros.

Por que surgiram os nmeros? Muita gente diria: para contar. Mas, se fossemapenas para contar, bastariam os nmeros naturais. Os diversos tipos de nmerossurgiram de necessidades da matemtica e de suas aplicaes. As representaesdestas quantidades tambm se modificaram ao longo da histria.

Inicialmente, as quantidades eram representadas com os dedos da mo. Porisso, era comum que riscos verticais fossem usados para simbolizar quantidades(em algarismos romanos temos I, II, III). Por causa da relao com os dedos, osalgarismos 1, 2, ..., 9 so chamados de dgitos (e, por extenso, tambm o 0). Arepresentao por ns utilizada usa o sistema hindu-arbico de base 10, com seusalgarismos 0, 1, 2, ..., 9 e o valor posicional dos algarismos para representar osnmeros. Valor posicional o que distingue, por exemplo, o quanto valem osalgarismos 4 e 7 quando esto dispostos nos nmeros 47 e 74: embora os algaris-mos sejam os mesmos, os nmeros so diferentes, pois a posio dos algarismosfoi mudada.

Como as transaes comerciais exigiram operaes com os nmeros, o siste-ma hindu-arbico prevaleceu, j que sua escrita favoreceu a criao de regrasoperatrias relativamente simples para a operao dos nmeros. Da necessidadede representar grandezas, tais como comprimento, rea e tempo, surgiu a necessi-dade de subdividir a unidade em partes iguais. Os nmeros fracionrios ou racio-nais representam estas subdivises. A representao decimal dos nmeros racio-nais se apia nos mesmos princpios da representao dos nmeros naturais: abase 10 e o valor posicional. Assim, 0,1 e 1/10 so representaes do mesmonmero e significam a dcima parte da unidade. Analogamente, 0,01 e 1/100representam a centsima parte da unidade, e assim por diante.

Neste texto, abordaremos a Matemtica tendo em vista seu desenvolvimentoconceitual, para mostrar como o conhecimento surge a partir da resoluo deproblemas. Falaremos um pouco sobre matemtica financeira e progresses. De-pois, sobre nmeros racionais e irracionais, com especial cuidado para a compre-enso da representao decimal dos nmeros e sua utilizao.

Apresentaodo mdulo

UnidadeUnidadeUnidadeUnidadeUnidade 1

Um pouco deMatemtica Financeira

Por causa do desenvolvimento do comrcio e das relaes econmicas,muita Matemtica foi produzida. A Matemtica Comercial ou Financeira, queenvolve clculos aritmticos de transaes comerciais, ajudou a impulsionar aMatemtica como cincia.

A chamada Matemtica Financeira um ramo importante de aplicao daMatemtica. Esse assunto muito mais antigo que o prprio sistema decimal.H registros que mostram que os antigos sumrios efetuavam clculos finan-ceiros como juros simples e juros compostos. Acredita-se que na Mesopotmia,entre 3000 e 2000 a.C., tenham surgido os primeiros bancos, baseados emtemplos que guardavam gros e outros bens de valor. Na lngua sumria, apalavra para juro significava gado. Isso se deve ao seguinte fato: se um reba-nho de gado fosse emprestado a algum por um ano, o dono do gado espera-ria receber mais cabeas do que emprestou, porque o gado procria natural-mente. O excedente do gado era dividido entre as partes.

Essa idia foi, mais tarde, transposta para outros tipos de bens, mesmo osque no crescem por si prprios. Por volta de 1800 a.C., Hamurabi, criador doimprio babilnico, estabeleceu taxas mximas de juros que poderiam sercobrados sobre gros, prata e outros bens. Quem exigisse juros alm dos limi-tes estabelecidos, teria como punio no poder mais cobrar sua dvida.

Um tablete de argila datado de 1700 a.C. traz um problema interessante daMatemtica mesopotmia: quanto tempo levar para uma soma de dinheirodobrar se for investida a uma taxa de 20 por cento de juros compostos anual-mente? Mais adiante, voc ter como resolver este problema.

A prtica de considerar os juros foi utilizada durante a Antiguidade porvrios povos. Posteriormente, na Idade Mdia, estabeleceu-se a idia de quejuros seriam ilegais, e essa prtica foi proibida pela Igreja Catlica. No re-nascimento, as grandes navegaes e o restabelecimento das rotas comerciaiscom o Oriente fizeram com que fosse necessrio trabalhar com dinheiro demodo mais rigoroso. A cobrana de juros passou a ser parte do comrcio dascidades.

Mas o que so juros?

Juro a remunerao do capital empregado. Se aplicarmos um capitaldurante um determinado perodo de tempo, ao fim do prazo o capital ir au-mentar. Esse novo valor chamado montante e juro a diferena entre o

Organizadoreslvia M. Sallum

Antonio Brolezzi

Martha Monteiro

ElaboradoresAntonio Brolezzi

Martha Monteiro

OrganizadoresAntonio Brolezzi

lvia M. Sallum

Martha Monteiro

ElaboradoresAntonio Brolezzi

Martha Monteiro

montante e o capital inicial. Existem duas modalidades de ganhos de jurossobre um capital. So chamados juros simples os valores obtidos na situaoem que, ao longo do tempo, apenas o capital inicial rende ganho. Nos juroscompostos, aps cada perodo de tempo a que se refere a taxa contratada, osjuros ganhos so somados ao capital (dizemos que so capitalizados), e nonovo perodo os juros incidem sobre esse montante.

Exemplo 1.O contrato de aluguel do Sr. Fulano de 200 reais por ms. Se ele atrasar

o pagamento, pagar uma multa de 2% sobre o valor total, mais juros de 0,3%por dia de atraso, aplicados de forma simples. Calcule quanto o Sr. Fulano terde pagar se atrasar 10 dias o pagamento do seu aluguel.

Lembramos que a notao de porcentagem, como em 2%, utiliza um sm-bolo % que faz com que leiamos dois por cento. Isso significa 2 em 100,ou ainda 2/100. Essa frao pode ser escrita em forma decimal, como 0,02.Assim, ao fazer as contas com porcentagem, podemos utilizar tanto 2/100como 0,02. Analogamente, 0,3% pode ser escrito como ou ainda 0,003.

Voltando ao exemplo 1, temos:

Clculo da multa: R$ 200,00 0,02 = R$ 4,00

Clculo de juros por dia: R$ 200,00 0,003 = R$ 0,60Total de juros em 10 dias de atraso: R$ 0,60 10 = R$ 6,00

Total a pagar: R$ 200,00 + R$ 4,00 + R$ 6,00 = R$ 210,00

Exemplo 2.Uma certa taxa por atraso foi estabelecida como 1,6% ao dia sobre o valor

do capital, computado de forma simples. Vamos construir uma tabela que in-forme o valor do pagamento atrasado, nos primeiros 12 dias, de um capital deR$ 100,00. A tabela abaixo foi obtida da seguinte forma:

Capital: R$ 100,00

Pagamento com 1 dia de atraso: 100,00 + 1,60 = 101,60

Pagamento com 2 dias de atraso: 100,00 + 2 1,60 = 103,20

Pagamento com 3 dias de atraso: 100,00 + 3 1,60 = 104,80

E assim por diante. A tabela ento ficaria da seguinte forma:

Dias de atraso123456789

101112

Tabela 1

Valor dos juros1,601,601,601,601,601,601,601,601,601,601,601,60

Valor devido101,60103,20104,80106,40108,00109,60111,20112,80114,40116,00117,60119,20

Vamos explorar um pouco mais esse exemplo. Para calcular os juros pordia, fizemos a conta 100,00 0,016 = 1,60.

Observe que cada nmero na coluna da direita da Tabela 1 igual aoanterior acrescido de R$ 1,60. Nesse caso, o valor dos juros sempre o mes-mo em cada perodo (neste caso, em cada dia).

Geralmente, em transaes financeiras acertada uma taxa de juros quese refere a um perodo de tempo. Indicamos pela letra i a taxa de juros porperodo, representada na forma decimal. No exemplo 2, i = 0,016 correspon-dente a 1,6% a.d. (l-se ao dia). Ao fim de cada perodo, os juros simplesso calculados fazendo-se a conta: J = C i, em que C indica o capital e J osjuros calculados. Ao fim de n perodos, os juros sero C i n.

Assim, o montante aps n perodos aos quais se refere a taxa ser:

M = C + Cin = C(1 + in)

Por trs das contas envolvidas no clculo dos juros simples h uma idiamatemtica muito importante: a idia de progresso aritmtica.

Uma progresso aritmtica ou PA uma seqncia em que cada termo obtido a partir do anterior por meio de uma simples soma de uma razoconstante. Por exemplo, a seqncia de nmeros 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... umaprogresso aritmtica de razo 3. Em geral, se a PA inicia-se com um termo a

0

e tem razo r, o prximo termo, que indicaremos por a1, ser a

1 = a

0 + r. O

termo seguinte ser:

a2 = a

1 + r = (a

0 + r) + r = a

0 + 2r.

O n-simo termo ser dado por:

an = a

0 + nr.

Agora repare que a frmula do montante em um clculo de juros simples,como vimos acima, dado por M = C + Cin, pode ser vista como um exemplode PA em que o valor inicial C e a razo r = Ci. No caso dos juros simples,a razo o produto da taxa de juros (expressa em decimais) pelo capital inicial.No exemplo acima, r = 1,6, e temos, por exemplo:

a12

= 100 + 12 1,6 = 119,20

Esse tipo de progresso, como o caso dos juros simples, representa umfenmeno de crescimento chamado de linear. (Voc estudar mais sobre cres-cimento linear no Mdulo 4.) Se fizermos um grfico colocando o perodo detempo no eixo horizontal e os montantes correspondentes ao nmero de perodosno eixo vertical, os pontos encontrados estaro sobre uma reta. da que vemo nome linear, a partir de linha (reta).

Figura 1

Podemos ilustrar esse comportamento em um grfico no qual os pontosesto sobre a reta de equao y = 100 + 1,6x, em que x representa nmero dedias de atraso e y representa o montante devido.

Como mencionado anteriormente, no clculo de juros compostos, ao finalde cada perodo, o valor dos juros acrescentado ao capital, aumentando abase para o clculo dos juros nos perodos subseqentes. o que ocorre, porexemplo, em investimentos como a caderneta de poupana.

Exemplo 3.Uma pessoa deixou 100 reais em uma aplicao. Supondo que ao longo

de um ano os juros mensais foram sempre de 1,6% a.m. (l-se ao ms), qualo montante final da aplicao?

Nesse caso, ao final de cada ms, os juros devem ser calculados e acres-centados ao capital inicial, que passa a ser o novo capital. Podemos construira tabela abaixo, obtida da seguinte forma:

Capital: C = R$ 100,00

Juros aps o primeiro ms de aplicao: 100,00 0,016

Montante aps um ms:

M = 100,00 + 100,00 0,016 = 100,00 (1 + 0,016) = 100,00 1,016

Juros aps o segundo ms de aplicao: 101,60 0,016

Montante aps dois meses:

M = 101,60 + 101,60 0,016 = 101,60 (1 + 0,016) =

= 100,00 1,016 1,016 = 100,00 (1,016)2

Juros aps o terceiro ms de aplicao: 103,23 0,016

Montante aps trs meses: M = 103,23 + 103,23 0,016 =

= 100,00 (1,016)3

E assim por diante. A tabela ento ficaria da seguinte forma:

Colocando os dados da Tabela 2 em um grfico, primeira vista, ele noparece ser muito diferente do grfico da Tabela 1. Entretanto, os juros com-postos geram uma expresso do montante em funo do tempo n, que tem umcarter do tipo exponencial, que voc estudar mais adiante.

Montante101,60103,23104,88106,56108,26109,99111,75113,54115,36117,20119,08120,98

Ms123456789

101112

Tabela 2

Juros (1,6% a.m.)1,601,631,651,681,701,731,761,791,821,851,881,91

Como voc deve ter percebido por meio do Exemplo 3, o montante obtidoem uma aplicao na qual h juros compostos M = C(1 + i)n, onde C repre-senta o capital inicial, i a taxa de juros e n, o nmero de perodos de rendimen-to. A comparao agora com a progresso geomtrica.

Uma progresso geomtrica, denotada por PG, uma seqncia de nme-ros em que cada termo a

n o produto do termo anterior a

n-1 por uma razo

fixada, usualmente denotada por q:

a1 = a ; a

2 = a

q ;

a3 = a

2 q = (a q) q = a q2;

an = a qn-1 ; a

n+1 = a qn

Voltando expresso M = C(1 +i)n, notamos que o fator que se repete, ouseja, a razo, q = 1 + i.

Vamos comparar os dois casos juros simples e compostos utilizandoum capital de R$ 100,00 aplicado por 100 meses com juros de 1,6% a.m.Vemos a diferena crescente entre os montantes obtidos, respectivamente, nossistemas de capitalizao simples e composta. Olhando os grficos em umespao maior de tempo, percebemos melhor a diferena que se acentua com odecorrer do tempo.

Comparando os dois grficos, temos:

Pensando nesta diferena, vamos analisar agora um problema importantedo consumidor brasileiro, que so as compras a prazo. Nos financiamentos de casa prpria, de automveis, produtos eletrnicos, eletrodomsticos, m-veis, compras com carto de crdito os juros so compostos. O montante a

...

Figura 2

Figura 3

ser pago cresce muito rapidamente, e o consumidor pode acabar assumindouma dvida que muito maior do que o valor inicial da compra.

Em propagandas, o valor da prestao mensal aparece em caracteres gran-des. Anunciam-se taxas de juros mensais aparentemente baixas: Apenas 1%ao ms! Entretanto, se prestarmos ateno s letras midas, vemos uma dife-rena importante entre o preo vista e o preo a prazo. Outra questo intri-gante que o juro mensal, mas no entanto a prestao por ms fixa. Comocalcular essa prestao fixa?

Para entender o processo, temos que aprender como fazer a soma de umaPG.

Em geral, se uma PG tem como primeiro termo a e razo q, temos que o n-simotermo dado por a

n = aqn-1.

Como obter a soma Sn dos n primeiros termos de uma PG?

Sn = a + aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 (1)

Para obter uma expresso sinttica para Sn, multiplicamos ambos os lados

da igualdade por q, e teremos:

qSn = aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 + aqn (2)

Subtraindo (2) de (1), teremos:

Sn qS

n = a

aqn , ento: S

n (1 q) = a

(1 qn)

Ou ainda, para q 1,

ou

(O que aconteceria se q = 1?)

Exemplo 4.Um discman vendido por R$ 159,00 vista. O produto pode ser parce-

lado com juros de 1,35% a.m. Qual o valor das parcelas se o pagamento forparceldo em 3 vezes?

A prtica do comrcio fazer parcelas fixas, embutindo nelas os juros.Supondo que o parcelamento seja sem entrada, veremos que obtemos umaPG de razo 1,0135. Devemos decompor o preo vista em 3 partes (159 = P

1

+ P2 + P

3) de forma que, aplicando a taxa de juro combinada (i = 0,0135) no

momento do pagamento, cada uma delas tenha o mesmo valor P da parcelafixa. Assim teremos P = P

1 0,0135, P = P

2

(0,0135)2 e P = P

3

(0,0135)3

(Voc saberia dizer por qu?). O problema que se apresenta resolver a equa-o apresentada abaixo, na qual a incgnita a parcela fixa P:

Utilizando o resultado da soma da PG visto acima, temos:

Resposta: A parcela fixa ser de R$ 54,45.

Generalizando esse processo, podemos obter um procedimento que permi-te calcular o valor das parcelas.

Consideremos a seguinte expresso, em que V o valor do bem vista; P o valor da parcela fixa; i a taxa de juro expressa em decimais e n onmero de prestaes:

Note que a expresso entre parnteses uma PG em que o primeiro termo ; o nmero de termos n e a razo q = 1 + i. Obtemos:

Freqentemente as lojas tm os valores mais comuns para o fator acimadescrito em uma tabela, a qual pode ser consultada pelos vendedores na hora.Ou ento pode-se fazer o clculo utilizando uma calculadora que tenha pelomenos uma tecla xy.

Exemplo 5.Qual o valor da parcela fixa se o discman do Exemplo 4 fosse adquirido

em 12 vezes?

Utilizando a frmula:

temos:

O valor de cada parcela ser de R$ 14,44.

Note que o comprador pagar 12 prestaes de R$ 14,44, ou seja, R$ 173,28,que quase 9% maior que o preo vista. Ser que compensa?

Exemplo 6.Vamos calcular o valor da prestao de uma filmadora digital que custa,

vista, R$ 1.899,90, cujo anncio oferece um parcelamento em 12 vezes comjuros de 2,99% a.m.:

Utilizando a frmula:

temos:

ou

O valor de cada parcela ser de R$ 190,95.

Nesse caso, o valor a prazo de R$ 2.291,40, ou seja, cerca de 20%maior que o valor vista.

Outra considerao interessante a seguinte: se, ao invs de pagar presta-es todo ms colocssemos a mesma quantia em uma aplicao, quanto po-deramos obter ao trmino do perodo correspondente compra a prazo? Isto, qual seria o montante gerado M se o valor correspondente a cada parcela Pfosse depositado, por exemplo, numa caderneta de poupana que rendesseum juro i por n meses? Nesse caso, a PG gerada teria a seguinte forma:

M = P(1+i)n + P(1+i)n-1 + ... + P(1+i)3 + P(1+i)2 + P(1+i)

Ou ainda, colocando P em evidncia e ordenando os termos de formacrescente:

M = P[(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + ... + (1+i)n-1 + (1+i)n]

O primeiro termo (1 + i) e a razo da PG 1 + i. Teramos ento:

Vamos comparar este resultado pensando no Exemplo 6, em que tera-mos de pagar R$ 190,95 durante 12 meses. Se investssemos R$ 190,95 emuma aplicao que pagasse os mesmos 2,99% a.m. de juros que a loja co-brava no Exemplo 6, teramos ento um valor bem maior, de R$ 2.789,41.Com essa quantia, poderamos comprar a filmadora de R$ 1.899,90 vistae ainda sobrariam R$ 889,51. Outra considerao que a loja poderia apli-car cada uma das prestaes, obtendo assim bem mais que o preo pagopelo cliente.

A Matemtica tem ajudado a tomar decises importantes na vida prtica etem se desenvolvido impulsionada principalmente pelas necessidades prti-cas (motivao externa), mas tambm pela necessidade de resolver proble-mas gerados pela prpria construo da Matemtica (motivao interna).

Foi pensando em problemas originados pela economia que resultados im-portantes da Matemtica foram desenvolvidos. O nmero e, mais freqente-mente associado aos logaritmos, foi descoberto em um estudo de juros com-postos.

A idia a seguinte: se um capital fosse aplicado durante um certo pero-do, com taxa de juros de 100% ao perodo, o montante aps aquele perodoseria:

Qual seria o montante se os juros fossem capitalizados duas vezes nomesmo perodo e a taxa fosse dividida pela metade?

Teramos:

Se os juros fossem capitalizados 3 vezes no perodo, e a taxa dividida por3, teramos:

Seguindo o mesmo raciocnio, se a taxa fosse capitalizada n vezes noperodo, e a taxa dividida em n partes, teramos:

Complete a tabela abaixo com alguns resultados para a expresso :

medida que n cresce, o montante tambm cresce. Em 1683, JacobBernoulli trabalhava com este problema e ficou curioso para saber se essecrescimento seria ilimitado. A questo colocada foi: o que ocorre com a ex-

presso quando n muito grande?

Deixando o valor de C de lado, Bernoulli estudou o valor da expresso(1 + 1/n)n quando n cresce indefinidamente, e provou, usando a expanso dobinmio de Newton (que ser vista no Mdulo 2), que o resultado est entre2 e 3.

Jacob (Jacques) Bernoulli (1654-1705).Em: MacTutor .

n

124

101.000

1.000.000

2,000002,25000

Tabela 3

Dois sculos mais tarde, o matemtico Leonhard Euler (1707-1783) pro-vou que a expresso (1 + 1/n)n se aproxima, quando n cresce indefinidamen-te, de um nmero irracional que vale aproximadamente 2,718281828. Essenmero representado pela letra e.

Leonhard Euler (1707-1783).Em: MacTutor .

Unidade 2

RepresentaesDecimais

Utilizamos representaes decimais em muitos dos clculos que foramfeitos na unidade anterior. Vamos agora analisar com mais cuidado essasrepresentaes dos nmeros.

Observe que na Tabela 2, vista na Unidade anterior, os valores so ex-pressos apenas com duas casas decimais. Fazendo as contas, notamos queh muitas casas decimais sendo desprezadas. O juro ganho apenas no ltimoms de aplicao de R$ 1,91. Poderamos usar um valor mais preciso porexemplo 1,905245 que arredondamos para R$ 1,91. Supondo que o proble-ma fosse investir no 100 reais, mas um milho de reais, teramos um maiorsignificado para aquelas casas decimais, como vemos na Tabela 4 abaixo:

Neste caso, uma maior preciso implica em mudanas significativas nosresultados. Note que no ltimo ms o juro foi de R$ 19.052,45. As casasdecimais agora fazem muita diferena. A limitao da representao dosvalores monetrios a duas casas decimais, os centavos de real, no pratica-da em alguns casos, como, por exemplo, em postos de gasolina que anunciamo preo por litro, na forma R$ 2,199. Em outros contextos, como os ndicesde cotao de dlares na bolsa de valores ou em outros investimentos, apare-cem tambm casas decimais alm dos centavos. Por que se faz isso?

O desenvolvimento do comrcio gerou novas necessidades para a Mate-mtica. Por exemplo, Christoff Rudolff (1499-1545), um polons que estu-dou e trabalhou em Viena, na ustria, considerado o primeiro a propor o

OrganizadoresAntonio Brolezzi

lvia M. Sallum

Martha Monteiro

ElaboradoresAntonio Brolezzi

Martha Monteiro

Ms123456789

101112

Juros (1,6% a.m.)16.000,0016.256,0016.516,1016.780,3517.048,8417.321,6217.598,7717.880,3518.166,4318.457,1018.752,4119.052,45

Montante1.016.000,001.032.256,001.048.772,101.065.552,451.082.601,291.099.922,911.117.521,681.135.402,021.153.568,461.172.025,551.190.777,961.209.830,41

Tabela 4

uso sistemtico de representaes decimais na Europa, e o fez pelas necessi-dades de representao de juros compostos. Tambm atribuda a ele a cria-o do smbolo da raiz quadrada utilizado atualmente.

O belga Simon Stevin (1548-1620) foi o responsvel pelo tratamento dadoatualmente s fraes decimais.

Em 1585, publicou La theinde [A dzima], uma obra dedicada a diversosprofissionais do comrcio. Foi ele que chegou a sugerir que o sistema decimalfosse adotado pelo governo para pesos, medidas e dinheiro em sua obra tradu-zida para o ingls por Robert Norton em 1608, intitulada Disme: the arts oftenths or decimal arithmetike, que tambm foi a inspirao para ThomasJefferson propor a diviso decimal da moeda americana (hoje em dia, umdcimo de dlar ainda chamado de dime).

interessante observar essas opes que os povos fizeram de notaes erepresentaes numricas e de medidas. Por exemplo, at hoje so utilizadosdois sinais para separar as casas inteiras e decimais nas representaes deci-

Pgina da obra de Rudolff de 1530 mostrando ouso de fraes decimais em juros compostos (Smith,1925).

Simon Stevin (1548-1620)Em: MacTutor .

mais. Alguns pases, como o Brasil, utilizam vrgula, enquanto outros, comoos Estados Unidos, utilizam ponto. Igualmente, alguns pases seguiram a uni-ficao dos sistemas de medidas baseados na frao decimal, como o metro eo centmetro, enquanto outros permaneceram utilizando ps e polegadas.

Lembramos que, na representao decimal, cada nmero inteiro positivo escrito como uma sucesso de algarismos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e a posio que cada algarismo ocupa determina qualpotncia de 10 fator daquele algarismo. Por exemplo:

1375 = 1000 + 300 + 70 + 5 =

= 1 103 + 3 10 + 7 10 + 5 100

Um nmero um nmero racional se puder ser escrito na forma p/q,onde p e q so inteiros e q diferente de zero. Por exemplo, os nmeros 5 = ; e so nmeros racionais (positivos).

Chamamos de frao decimal a frao cujo denominador uma potnciade 10. Por exemplo,

so fraes decimais que correspondem, respectivamente, aos nmeros 0,2;0,13 e 0,0085.

Denotando 0,1 por (que tambm pode ser escrito como 10-1), 0,01 por

(que igual a 10-2) e assim por diante, podemos escrever as fraes deci-

mais como somas especiais, como a do exemplo a seguir.

Exemplo 7.A representao decimal de :

0,123 = 0,1 + 0,02 + 0,03 = 1 10-1 + 2 10- + 3 10-3

O que significa essa representao?

Como a base 10 foi adotada para a representao dos nmeros inteiros,nada melhor do que subdividir a unidade em 10 partes iguais, cada uma detamanho 1/10. Subdivide-se cada dcima parte em 10 partes iguais, de tama-nho 1/100, e assim sucessivamente. No exemplo acima, o nmero 0,123 re-presenta uma quantidade que a dcima parte somada a 2 centsimas partes esomada ainda a 3 milsimas partes de um inteiro.

Vejamos num exemplo o significado dessa representao.

Exemplo 8. preciso distribuir R$ 9,00 em partes iguais para 4 pessoas. Qual o valor

que cada pessoa receber?

muito fcil: basta dividir 9 por 4. Mas como isso feito na prtica?Primeiro reparamos que cada pessoa dever receber mais do que 2 reais, masmenos do que 3 (por qu?). Supondo que temos 9 notas de 1 real, repartindo2 reais para cada pessoa, um total de 8 reais j est dividido, restando dividirentre elas o que sobrou, que 1 real. Sabemos que cada moeda de 10 centa-vos de real corresponde a 1/10 de real. Trocando a nota de 1 real por 10moedas de 10 centavos, e repartindo entre as 4 pessoas, vemos que cada pes-soa receber 2 moedas de 10 centavos, mas sobraro 2 moedas. Novamente,cada moeda de 10 centavos pode ser trocada por 10 moedas de 1 centavo, querepresenta 1/100 de real. Sero 20 moedas de 1 centavo que devem ser dividi-das entre 4 pessoas. Cada pessoa ficar com 5 moedas de 1 centavo. Portantocada pessoa receber

2 + 2 + 5 reais.

Esse valor representado por R$ 2,25. Podemos escrever: 2,25 = 2 100

+ 2 10-1 + 5 10-2

Observe outros exemplos:

= 0,405 = 4 10-1 + 0 10-2 + 5 10-3;

= 64,39 = 6 101 + 4 100 + 3 10-1 + 9 10-2

Podemos generalizar afirmando que se b0, b

1, ... , b

k, a

1, a

2, ... , e a

n repre-

sentam algarismos, ento o nmero bk ... b

1 b

0, a

1 a

2 a

3...a

n igual a:

bk 10k +...+ b

1 101 + b

0 100 + a

1 10-1 + a

2 10-2 + ... + a

n 10-n

Como encontrar representaes decimais de nmeros racionais quais-quer?

Para representar um nmero racional p/q (q 0) na forma decimal vamosdividir o numerador p pelo denominador q. Ao fazermos isso, podemos en-contrar duas situaes:

1. Em algum ponto da diviso se chega ao resto zero. Neste caso o quociente um nmero formado por uma parte inteira (eventualmente nula) seguida deuma vrgula e de uma quantidade finita de casas decimais. Nesse caso, dize-mos que se trata de uma representao decimal finita.

2. Nunca se chega ao resto zero. Neste caso, a diviso prossegue indefini-damente e o quociente formado por uma parte inteira (que pode ser zero),seguida de uma vrgula e de uma sucesso de casas decimais que pode serprolongada o quanto se queira. Nesse caso, diremos que se trata de uma re-presentao decimal infinita.

Vejamos os seguintes exemplos:

= = 0,5

= = = 8,75

= = = 5,4

Note que no caso de cada frao multiplicamos o numerador e o denominadorpor alguma potncia de 5 ou de 2, de modo a conseguir que o denominador setransforme em uma potncia de 10.

Tome uma frao p/q, em sua forma irredutvel, isto , uma frao em que onumerador p e o denominador q so nmeros naturais primos entre si (q 0).Sempre que a decomposio do denominador q em fatores primos s tiverpotncias de 2 ou de 5, possvel usar o processo descrito acima para trans-formar a frao em outra equivalente, que seja da forma a/10n, para algum

nmero natural a. Vejamos mais um exemplo: o nmero no est na forma

irredutvel, mas a frao equivalente a e irredutvel.

Como o denominador 20 um divisor de 100 e 100 = 20 5, multiplica-mos numerador e denominador por 5, obtendo:

= = = = 0,15

Agora faa vocUsando o processo acima (sem usar a calculadora), encontre a representa-

o decimal dos seguintes nmeros:

Se a decomposio do denominador q tiver potncias de outros primosalm de 2 e de 5, o que acontece?

Para responder a essa pergunta precisamos entender um pouco melhor oalgoritmo da diviso (o processo utilizado para fazer a conta de dividir).

Na diviso de 9 por 4 fazemos automaticamente o seguinte procedimento:

9 4-8 2,25 10 - 8

20 - 20

0

O que significa o zero colocado direita do nmero 1, que era o restoda diviso de 9 por 4?

Significa que estamos trocando 1 inteiro (que no d para dividir por 4)por 10 dcimos. (Trata-se de representar o mesmo nmero de modo diferente,neste caso mais conveniente para nosso objetivo, que dividir 1 por 4.) Comono caso do Exemplo 8, em que trocamos 1 real por 10 moedas de 10 centavos,estamos trocando a maneira de representar o nmero 1.

Em seguida, efetuada a diviso de 10 dcimos por 4, de onde se obtm2 dcimos. Por isso, a resposta ser escrita com o algarismo 2 na primeira casaaps a vrgula que , por conveno, a posio dos dcimos. Analogamente, ozero colocado direita do resto 2 significa que para dividir 2 dcimos por 4,deve-se trocar 2 dcimos por 20 centsimos e efetuar a diviso por 4. O resul-tado, 5 centsimos, escrito colocando-se o algarismo 5 na segunda casadecimal.

Portanto:

= 2,25 = 2 + 2 + 5 = 2 + 2 10-1 + 5 10-2

(Na linha acima, escrevemos o mesmo nmero de vrias maneiras. Cadauma dessas maneiras tem sua utilidade. Por enquanto, vamos apenas conhec-las.)

Vamos usar esse mesmo processo para tentar obter a representao deci-mal de 10/3.

10 3- 9 3,33 10 - 9 10 -9

1

Note que este processo no tem como terminar. Ou seja, nunca teremosresto igual a zero. Este um exemplo de um nmero cuja representao deci-mal no finita. comum escrevermos esta representao na forma 3,333...As reticncias indicam que a representao infinita. Mas note que umanotao imprecisa, pois s com as reticncias no possvel saber como soas demais casas decimais que no esto escritas. Na representao decimal de10/3 notamos que o algarismo 3 se repetir em todas as casas decimais. Paraindicar isso, a conveno escrevemos 10/3 = 3,3.

Vejamos outro exemplo: a representao decimal de .

Usando o algoritmo da diviso, encontraremos 0,963636363... a contade dividir no acaba e os algarismos 6 e 3 iro se repetir nessa ordem semparar (confira, fazendo a conta!). A maneira precisa de se informar todo ocomentrio que est entre os hfens escrever:

53/55 = 0,963

A barra sobre o par de algarismos 63 indica que esse par se repete indefi-nidamente.

Vamos aproveitar para fazer algumas consideraes importantes: no casoacima, o nmero 0,9 uma aproximao de 53/55.

Como 53/55 0,9 = 0,063, o erro que se comete ao usar 0,9 em vez de 53/55 menor do que 0,1 (=10-1).

O nmero 0,96 tambm uma aproximao de 53/55, melhor do que aanterior, pois o erro cometido ao se escrever 0,96 em vez de 53/55 menor doque 10-2.

Quanto mais casas decimais escrevermos, maior ser a preciso da aproxi-mao. Mas note que errado escrever 53/55 = 0,96363, pois 0,96363 no igual, mas apenas uma aproximao de 53/55 (s vezes escrevemos 53/55 0,96363). Se essa aproximao boa ou no vai depender do problema que sequer resolver com esse nmero, como j foi visto anteriormente em problemasde Matemtica Financeira.

Agora faa voc(a) Ache a forma decimal de 16/90.

(b) D uma aproximao para 16/90, com erro menor do que 10-3.

Se a representao decimal de um nmero apresentar um grupo de alga-rismos que se repete na mesma ordem, como vimos nos exemplos anteriores,dizemos que essa representao uma dzima peridica. O grupo de algaris-mos que se repete no quociente chamado perodo. Assim, na frao 10/3, operodo 3; na frao 53/55, o perodo 63.

Agora faa vocVerifique que a representao decimal de cada nmero racional abaixo

uma dzima peridica: .

Como vimos acima, sempre que x for um nmero racional que, ao serescrito na forma irredutvel apresenta um denominador q que um nmerointeiro cuja decomposio em fatores primos s contm potncias de 2 ou de5, ento a representao decimal de x ser finita.

Vamos agora olhar o que acontece quando o denominador contm ou-tros fatores primos, comeando por compreender o que acontece no exem-plo x = . Efetuando a diviso, temos:

40 7 -35 0,571428...

50 -49 10 -7 30

-28 20 -14

60-56

4

Observe que, nesse caso, os restos da diviso so 5, 1, 3, 2, 6 e 4, nestaordem. Quando chegamos ao resto 4 o processo comear a repetir. Como em

qualquer diviso, o resto deve ser sempre menor do que o divisor. Assim nadiviso acima, s os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podem ser resto dessa diviso.Como 0 no aparece e s h 6 restos possveis, eles tm que repetir, formandoa dzima. Logo, 4/7 = 0,571428.

Em geral, se x = p/q for um nmero racional escrito em sua forma irredutvel,e se o denominador q tiver outros fatores primos alm de 2 e 5, sua represen-tao decimal ser uma dzima, pois na diviso de p por q, os nicos restospossveis sero 1, 2, ... , (q 1) uma quantidade finita de possibilidades.Com isso, teremos certeza de que, em algum momento, um determinado restoir se repetir e, a partir da, todo o algoritmo ir se repetir, resultando assimuma dzima peridica.

Com isso, conclumos que a representao decimal de qualquer nmeroracional ou finita, ou uma dzima peridica.

Sabemos transformar um nmero escrito na forma decimal finita em fra-o, como no exemplo:

Mas como podemos achar a frao correspondente a uma dzima?

Vejamos um exemplo. Considere o nmero

x = 1,245 = 1,2454545...

Note que os algarismos comeam a se repetir a partir da segunda casadecimal, com o algarismo 4. Vamos multiplicar o nmero por 10:

10 x = 12,45 = 12,454545...

Agora, vamos multiplicar o mesmo x por 103:

103 x = 1245,454545...

Voc reparou que a parte no inteira de cada um desses dois novos nme-ros igual? Se subtrairmos o maior do menor, ela ir cancelar:

103 x 10 x = 1245,45 - 12,45 = 1233

Logo, 10x (100 1) = 1233 e, portanto, x 990 = 1233. Logo, x = .

O que voc achou? Voc pode estar pensando que eu adivinhei magica-mente que as potncias 10 e 103 ajudariam a resolver meu problema. Na ver-dade, essas potncias foram criteriosamente escolhidas... Tente descobrir qualo segredo!

Agora faa vocEscreva os nmeros seguintes na forma de frao: 3,7; 0,5483; 0,001; 0,999...

No ltimo item do exerccio acima, voc deve ter concludo que 0,999 =1. Esse sinal de igual igual mesmo! No se trata de aproximao: 0,9 e 1 soduas formas diferentes de representar o mesmo nmero.

Note tambm que, dividindo-se por 10 os dois lados da igualdade 0,999...= 1 obtemos 0,0999... = 0,1. Dividindo novamente, obtemos 0,00999... = 0,01,e assim por diante. Com isso, conseguimos escrever qualquer representaodecimal finita na forma de dzima com infinitos noves. Veja:

2,5 = 2,4 + 0,1 = 2,4 + 0,0999... = 2,4999...

1,48 = 1,47 + 0,01 = 1,47 + 0,00999...

Reciprocamente, toda dzima que tem uma infinita sucesso de noves podeser escrita como uma frao decimal finita.

DZIMAS E PROGRESSES GEOMTRICAS

Vamos voltar a reparar com cuidado no nmero 3,333...; podemos tam-bm escrev-lo da seguinte forma:

3,333... = =

=

Repare que dentro dos parntesis h uma soma cujas parcelas formamuma progresso geomtrica de razo e termo inicial 1. Como a razo

menor do que 1, possvel calcular a soma de infinitos termos:

Portanto, 3,333...

Vejamos mais um exemplo:

Novamente, notamos que a expresso dentro dos parntesis uma somade termos consecutivos de uma progresso geomtrica de razo 10-3 e termoinicial igual a 1.

A soma dessa PG

Assim,

(Use uma calculadora para efetuar 1040244 99900 e confira o resul-tado.)

Nos dois exemplos acima encontramos uma soma de uma progresso geo-mtrica com infinitos termos como fator da frao que representa o primeiro

perodo da dzima. Esse fato no uma coincidncia. Toda dzima traz embu-tida uma soma de PG.

NMEROS REAIS

Lembremos que os nmeros surgiram da necessidade de contar e de me-dir. Os gregos, no sculo V a.C., perceberam que os nmeros racionais noeram suficientes para representar todo tipo de comprimento. Por isso, foi ne-cessrio ampliar o conjunto dos nmeros racionais. O conjunto de nmerosque contm todos os nmeros que representam os possveis comprimentos desegmentos, chamado de conjunto dos nmeros reais.

Primeiramente, vamos associar nmeros racionais positivos a pontos de umareta. Considere uma reta qualquer e fixe um ponto. A esse ponto damos o nomede origem (O) e associamos o nmero 0. Escolhemos tambm um segmento econvencionamos que seu comprimento ser a unidade de medida (u):

Em seguida, colocamos o segmento unitrio u sobre a reta, de modo quesua extremidade esquerda coincida com a origem. outra extremidade asso-ciamos o nmero 1. Fazemos o mesmo com todos os outros nmeros naturais,obtendo a associao mostrada na figura abaixo:

Para representarmos um nmero racional positivo r = p/q, dividimos osegmento unitrio em q partes iguais. Cada parte tem comprimento 1/q unida-des. Tomando-se p desses segmentos justapostos a partir da origem, encontra-remos o ponto correspondente ao nmero r. Na figura abaixo, representamosa frao 7/4:

Desta forma, conseguimos representar os nmeros positivos em ordemcrescente ao longo da reta. Por isso, coloca-se uma seta indicando o sentidode crescimento.

Os pontos esquerda da origem so associados aos nmeros negativos daseguinte maneira: Se P for um ponto da reta direita da origem, associado aonmero positivo x, consideramos o ponto Q na mesma reta, simtrico a P emrelao origem, isto , Q est esquerda de O de modo que a distncia de Qa O seja igual distncia de O a P. O ponto Q assim determinado representa onmero negativo x.

uO

0

O

0 1 2 3 4

O

0 1 7 4

O

x 0 x

O nmero x chamado oposto de x. (Observe que se a for um nmeronegativo, seu oposto a ser positivo.) Usamos o smbolo x > 0 para indicarque x um nmero positivo e a < 0 para indicar que a um nmero negativo.Os nmeros positivos esto representados direita da origem e os negativos, esquerda. Mas temos um problema: os pontos da reta que representam osnmeros racionais no preenchem a reta toda!

De fato, no sculo V a. C. os gregos descobriram que existem medidasde comprimento que no so nmeros racionais, isto , no podem ser colo-cados na forma p/q com p e q inteiros e q 0.

Considere o quadrado cujos lados medem 1 unidade de comprimento. Adiagonal desse quadrado um segmento de reta de comprimento d. O Teoremade Pitgoras, que veremos no fascculo 3, nos d a dica de como calcular ovalor de d: a diagonal do quadrado a hipotenusa de um tringulo retngulocujos catetos medem 1. Assim,

d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2

Logo, d = .

Com isso, vemos que o nmero um nmero que pode ser associado reta, j que ele representa o comprimento de um segmento.

Mas esse nmero no um nmero racional! Como sei disso? No servedizer que sei porque algum me contou, pois isso no saber. Saber saberpor qu. Vamos l:

Se fosse um nmero racional, ento ele poderia ser escrito na forma defrao irredutvel p/q, com p e q nmeros inteiros e q 0. Logo, elevando aoquadrado, teramos 2 = , que equivalente a p2 = 2q2.

Faamos uma pequena pausa para uma observaoimportante

Imagine um nmero inteiro positivo qualquer. Ele pode ser escrito comoproduto de fatores primos. Quando elevamos esse nmero ao quadrado, osfatores aparecem em dobro. Por exemplo, na fatorao do nmero 12 temos

Logo, na fatorao de 122 temos

Vejamos outro exemplo:

75 = 3 5 5 e 752 = (3 5 5)2 = 3 3 5 5 5 5.

112 = 2 2 3

2

122 = (2 2 3)2 = 2 2 2 2 3 3

4 2

1

10

d2 = 12 + 12 = 2

Voltemos ao nosso problema: estvamos procurando nmeros inteiros p eq que satisfaziam p2 = 2q2. Mas vejam s: na decomposio de p2 deve haveruma quantidade par de fatores iguais a 2, bem como na fatorao de q2. Masento, 2q2 ter uma quantidade mpar de fatores iguais a 2. Ento no pode serigual a p2!

Provamos, usando uma demonstrao por absurdo, que no existem n-meros inteiros p e q tais que

Logo, um nmero irracional.

Como poderamos achar uma representao decimal para tal nme-ro? De que forma ela deve ser?

Como no racional, sabemos que sua representao decimal nopode ser finita, nem pode ser uma dzima peridica. Logo, s pode ser umnmero com infinitas casas decimais, mas que no forma dzima. Vamosagora achar aproximaes para o nmero .

Sabemos que o nmero 2 est entre os quadrados perfeitos 1 e 4. (Es-crevemos 1

Para cada nmero natural n, sua raiz quadrada um nmero real, poisrepresenta a medida de algum segmento de reta (veja a figura).

Se n no for um quadrado perfeito ento um nmero irracional. (Oporqu desta ltima afirmao assunto para um curso superior, mas vocpode tentar generalizar o procedimento usado para provar que irracionalpara provar mais alguns exemplos.) Assim os nmeros etc. soirracionais.

Outro nmero irracional famoso e importante em Matemtica, principal-mente em geometria e em trigonometria (que voc estudar neste curso, embreve) o nmero . Uma aproximao para com erro menor do que 10-8 3,14159265. A aproximao 3,14 a mais usada em escolas, pois leva acontas razoavelmente curtas. S tome cuidado para no escrever = 3,14,pois isso falso.

importante notar como sabemos qual a ordem entre dois nmeros escri-tos em sua representao decimal: Comeamos por comparar a parte inteira.Se forem iguais, comparamos cada casa decimal dos nmeros at encontrar-mos uma casa decimal em que os algarismos sejam distintos: o maior nmero aquele que tem o maior algarismo nessa casa. Por exemplo, se x = 2,67424e y = 2,67426, ento x

5 Decida se a afirmao abaixo verdadeira ou falsa e justifique sua resposta:

(a) Se um nmero racional ento sua expanso decimal finita.

(b) Se um nmero tem expanso decimal finita ento esse nmero racional.

(c) Se um nmero tem expanso decimal infinita ento ele irracional.

(d) Entre dois nmeros racionais sempre possvel encontrar outro racional.

6- possvel dizer se o nmero 5,143... racional? Justifique sua resposta.

7- Ache uma aproximao para com erro menor do que 0,01.

8- O nmero 4,20220022200022220000..., que tem os algarismos 2 e 0 repe-tindo alternadamente conforme o padro apresentado, racional? Por qu?

BibliografiaMAOR, Eli. e: a histria de um nmero. Rio de Janeiro: Record, 2003.

MORGADO, Augusto Cesar et al. Progresses e matemtica financeira. Cole-o do Professor de Matemtica. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira deMatemtica, 2001.

NIVEN, Ivan. Nmeros: racionais e irracionais. Coleo do Professor de Ma-temtica. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 1984.

SMITH, David Eugene. History of Mathematics. vol. II. Ginn and Co.: Boston,1925.

The MacTutor History of Mathematics Archive .

Sobre os autores

Antonio Carlos Brolezzi

professor do Departamento de Matemtica do IME-USP. mestre e dou-tor em Educao pela Faculdade de Educao da USP. Com experincia noEnsino Fundamental e no Ensino Mdio, trabalhou por vrios anos com aformao de professores. Interessa-se pela pesquisa na rea de Histria daMatemtica e seu uso em sala de aula, bem como pelo uso da tecnologia naeducao matemtica.

Martha Salerno Monteiro

docente do Instituto de Matemtica e Estatstica da USP. Fez doutoradona rea de Anlise Funcional na University of New Mexico, nos EUA. Desde1998, membro da diretoria do Centro de Aperfeioamento do Ensino deMatemtica (CAEM) do IME-USP.

Anotaes

Anotaes

Anotaes

Anotaes