LógicaLógica

Módulo A

Introdução à Lógica

A Lógica é uma área de estudo compreendida na filosofia.

“Lógica é a ciência que estuda as leis gerais do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.”Introdução à lógica de Nerci, Inmideo Giusepe, Editora Nobel, 9ª Edição.

“Lógica é a arte que dirige o próprio ato da razão, isto é, que nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão.”Jacques Maritain.

“O estudo da lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do

incorreto.” Introdução à Lógica de Irving M. Copi, 2ª edição.

Resumindo...A lógica é a disciplina que trata das formas de pensamento, da linguagem descritiva do pensamento, das leis de argumentação e raciocínio corretos, dos métodos e dos princípios que regem o pensamento humano.

É ciência pois tem objeto definido

Ciência objeto definido As formas de pensamento

A LógicaA palavra “lógica” e “lógico” é usada

frequentemente com o mesmo significado de “razoável”.

Exemplos:É lógico que sim.Vou te dar um explicação lógica.Este é um procedimento lógico.

A Lógica• Assim, a lógica é caracterizada pelo

uso de argumentos racionais.

• O lógico está interessado em saber: a conclusão a que se chegou deriva das premissas usadas ou pressupostas?

A lógica dividida em períodos- Forma clássica antiga ou lógica

grega antiga- Entre os séculos IV a.C. até o século I

d.C.- Principais nomes desta época:Platão,

Aristóteles, Sócrates.

A lógica dividida em períodos- Forma escolástica ou medieval

- Entre os séculos XI e XV D.C.- Principais nomes desta época: Alberto

Magno e Tomás de Aquino, Guilherme de Ockham

A lógica dividida em períodos- Forma matemática

- Início no século XVIII- Principais nomes desta época: Leibniz,

Boole, Frege.

Módulo B

Meios de convencimento

Meios de Convencimento• Os argumentos: existem diversas maneiras de

se convencer alguém. Tais modos de convencimento são chamados de argumentos, que podem ser corretos ou legítimos e outros podem ser incorretos ou ilegítimos.

• Quando os meios de convencimento são incorretos ou ilegítimos, fazendo a inteligência titubear, chamamos de falácias.

Meios de Convencimento• As Falácias ou sofismas: são raciocínios que

pretendem demonstrar como verdadeiros os argumentos que logicamente são falsos. Sua eficiência consiste em transferir a argumentação do plano lógico para o psicológico ou lingüístico, servindo-se da linguagem, visando despertar emoções e sentimentos que dão anuência a uma conclusão, mas não convencem logicamente.

Falácias ou SofismasGrupo psicológico

1. Conclusão irrelevante2. Petição de princípio3. Círculo vicioso4. Falsa causa5. Causa comum6. Generalização apressada7. Acidente

8. Contra o homem9. Recurso à força10. Apelo à ignorância11. Apelo à piedade12. Populismo13. Apelo à autoridade14. Pergunta complexa

Falácias ou SofismasGrupo linguístico

1. Equívoco2. Anfibologia3. Ênfase4. Composição5. Divisão

Falácias – Grupo psicológico• Conclusão irrelevante:

quando se conduz a argumentação para uma conclusão, intencionalmente ou não, que não é garantida pelas considerações em questão. Conclui-se algo que não tem nada a ver com o contexto em questão.

Falácias – Grupo psicológico• Conclusão irrelevante – exemplo:

discurso utilizado para incriminar alguém, tratando-se demoradamente do horror do delito sem considerar os atenuantes e as exceções que possa haver em determinados casos.

Falácias – Grupo psicológico• Petição de princípio:

quando se pressupõe como certo o que se deveria ter demonstrado, ou seja, a conclusão a que leva um raciocínio é extraída de um ponto de partida, sendo que o que se quer provar é exatamente a veracidade deste ponto de partida.

Falácias – Grupo psicológico• Petição de princípio - exemplo:

A criança pergunta: a cegonha existe?O pai responde: Ora, se não existisse você não estaria aqui!

Falácias – Grupo psicológico• Círculo vicioso:

o ponto de partida e a conclusão carecem de demonstração. Um é demonstrado pelo outro formando um círculo.

Falácias – Grupo psicológico• Círculo vicioso - exemplo:

a inflação, aumento generalizado de preços, corrói o poder aquisitivo dos salários, que precisam ser aumentados. Este aumento de salários, por sua vez, gera a necessidade de se elevar os preços dos produtos (característica da inflação) para o pagamento dos mesmos salários.

Falácias – Grupo psicológico• Falsa causa:

consiste no sofisma de atribuir a um fenômeno uma falsa causa ou concluir como sendo causa dele aquilo que somente o antecedeu.também é comum atribuir causalidade à aquilo que é mera sucessão.

Falácias – Grupo psicológico• Falsa causa - exemplo:

Muitos dos pensamentos supersticiosos: Espelho quebrado causa sete anos de azar; cruzar com um gato preto ou passar por debaixo de escadas dá azar.

Tomar um chá durante tantos dias curou o resfriado

Falácias – Grupo psicológico• Causa comum:

quando dois acontecimentos relacionados entre si são tomados um como causa do outro, sem considerar que ambos são causados por um terceiro.

Falácias – Grupo psicológico• Causa comum - exemplo:

Os programas de televisão causam a decadência moral da sociedade.Não levando em conta que tanto a programação como os próprios valores morais são frutos de outros fatores como ideias filosóficas, disputa de poder, interesses econômicos-políticos.

Falácias – Grupo psicológico• Generalização apressada:

acontece quando se atribui ao todo o que é próprio de uma parte. A exceção é considerada como regra.Exemplos: piadas de sogras, portugueses, mulheres loiras.

Falácias – Grupo psicológico• Acidente:

acontece quando se recorre a regras gerais, não levando em consideração as possíveis exceções às quais a regra não se aplicaria.

Falácias – Grupo psicológico• Acidente - exemplo:

Exemplo: a regra “não matar”. Há casos, em circunstâncias especiais, em que tais regras não se aplicam ou até mesmo exigem uma regra contrária.

Falácias – Grupo psicológico• Contra o homem:

utilizado para refutar uma posição ou afirmação de alguém. A estratégia consiste em atacar diretamente a pessoa em questão ou atacá-la pela circunstância especial em que ela se encontra.

Falácias – Grupo psicológico• Contra o homem - exemplo:

inviabilizar a candidatura de alguém apoiando-se no fato de estar com idade avançada ou ter saúde precária.

Falácias – Grupo psicológico• Recurso à força:

recorre à ameaça do uso da força na tentativa de convencer alguém.

Falácias – Grupo psicológico• Recurso à força - exemplo:

numa negociação salarial, o patrão pode lembrar sutilmente que existem muitas pessoas desempregadas, que trabalhariam de bom grado por tal salário.

Falácias – Grupo psicológico• Apelo à ignorância:

baseia-se na suposição de que uma tese é verdadeira ou falsa, porque ainda não se demonstrou claramente a sua contrária.

Falácias – Grupo psicológico• Apelo à ignorância - exemplo:

“Como não há conhecimento e registro de transmissão de AIDS em consultório dentário, se conclui que não há perigo de contaminação.”

Falácias – Grupo psicológico• Apelo à piedade:

é a utilização de chantagem emocional para forçar a adesão de alguém a certo ponto.

Falácias – Grupo psicológico• Apelo à piedade - exemplo:

um pai diz ao filho: “pode viajar, não tem problema, talvez você não me encontre vivo quando voltar”.

Falácias – Grupo psicológico• Populismo:

a falácia do populismo tenta atingir a massa. Busca conseguir a concordância da multidão para o que intenta, normalmente valendo-se de outras falácias.

Falácias – Grupo psicológico• Populismo - exemplo:

campanhas publicitárias que tentam convencer o consumidor sobre as qualidades deste ou daquele produto através de associação psicológica com as cores nacionais, liberdade, status, esnobismo, etc.

Falácias – Grupo psicológico• Apelo à autoridade:

é critério válido para sustentar uma posição apelar para o testemunho de alguém, que se constitui como autoridade reconhecida no específico campo do conhecimento a que tal posição se refere.

Entretanto, valer-se do testemunho de outrem, reconhecida autoridade em um determinado campo do saber, pelo simples fato de ser uma autoridade, para apoiar posições que estão fora de sua especialização, é cometer a falácia do recurso à autoridade.

Falácias – Grupo psicológico• Apelo à autoridade – exemplo:

comerciais com artistas que garantem as propriedades fabulosas do produto em questão, valendo-se da sua imagem.

Falácias – Grupo psicológico• Pergunta complexa:

pela combinação de duas ou mais perguntas em uma só, procura-se confundir o interlocutor.

Falácias – Grupo psicológico• Pergunta complexa - exemplo:

um repórter pergunta a um acusado: está arrependido do que fez?Se o acusado responde sim, conclui-se que o acusado cometeu o roubo. Se o acusado responde não, conclui-se que além de não admitir o delito, o acusado nem ao menos se arrepende.

Falácias ou SofismasGrupo linguístico

1. Equívoco2. Anfibologia3. Ênfase4. Composição5. Divisão

Falácias – Grupo linguístico• Equívoco:

trata-se da utilização de uma mesma palavra, que tem sentidos totalmente diferentes para coisas diferentes. Consiste em utilizar-se de um termo que, por ser polivalente, pode provocar no ouvinte, intencionalmente, uma representação mental diversa, levando-o a concluir falsamente.

Falácias – Grupo linguístico• Equívoco - exemplo:

“um prisioneiro não pode agir contra a lei, porque, pelo fato de já ser prisioneiro, ele não tem liberdade; e quem é privado de liberdade é justamente aquele que não pode agir”.

Falácias – Grupo linguístico• Anfibologia:

trata-se de um jogo de palavras que dá a falsa impressão de estar no contexto correto.

Falácias – Grupo linguístico• Anfibologia - exemplo:

O Rei Creso, antes de atacar Ciro (rei da Pérsia), consultou um oráculo e obteve a seguinte resposta: “Se Creso declarar guerra à Pérsia, verá a destruição de um grande exército”. Creso declara a guerra e é vencido. Ao queixar-se ao oráculo, Creso obtém a seguinte explicação: o grande exército que seria destruído era o seu.

Falácias – Grupo linguístico• Ênfase:

uma mensagem pode ser acentuada em alguma(s) de sua(s) palavra(s) para produzir no receptor uma compreensão sobre o estado psicológico de quem fala (emissor) que deste modo tenta angariar a anuência dos outros para o seu objetivo.

Falácias – Grupo linguístico• Ênfase - exemplo:

um anúncio publicitário que informa em letras garrafais apenas o preço da prestação de um bem e o valor total em letras menores ou até através de um minúsculo e quase imperceptível asterisco.

Falácias – Grupo linguístico• Composição:

a falácia é cometida quando se atribui ao todo as mesmas propriedades das partes, ou seja, quando se “compõe”, a partir da propriedade da parte, a conclusão com as mesmas propriedades.

Falácias – Grupo linguístico• Composição - exemplo:

exemplo1. o fato de a fotografia das cenas de um filme ser perfeita não autoriza classificar todo o filme como perfeito.Exemplo 2. o político X é bom. Portanto, o partido ao qual ele pertence é um bom partido.

Falácias – Grupo linguísticoCuidado: composição x generalização

apressadaAlguém poderia pensar que, através da exceção que

seria o político X, estar-se-ia generalizando apressadamente no sentido de que todo o partido deveria ser bom. Mas a analogia não estaria correta, uma vez que, mesmo que todos os membros do partido fossem bons políticos, mesmo assim o partido poderia não ser bom. As propriedades das partes são de ordem ou classe diferente das propriedades do todo.

Falácias – Grupo linguístico• Divisão:

é o processo inverso da composição. Ocorre quando se atribui às partes as mesmas propriedades do todo, quando se “divide” o todo, atribuindo à parte a mesma propriedade.

Falácias – Grupo linguístico• Divisão - exemplo:

O partido político ao qual pertence X é um bom partido. Logo, X é um bom político.

O partido de X poderia ser um bom partido devido à sua organização, programa e, mesmo assim, ter, individualmente, maus políticos em seu quadro. As propriedades do todo não são, necessariamente, as mesmas que as propriedades das partes.

Módulo C

Argumentação

Argumentação

O argumento logicamente válido pretende fundar-se em dados

racionais.

Argumentação- Raciocinar é inferir, ou seja, passar do que já se conhece de algum modo ao que ainda não se conhece completamente ou parcialmente. - Este processo mental é usado não só para atingir coisas novas, mas também para sustentar posições anteriormente conquistadas, ou ainda aprofundá-las. - Assim como uma construção requer uma sequência de passos a serem dados desde o projeto até a sua consecução, também o raciocínio exige, a seu modo, uma série ordenada de passos que norteiam seu desenvolvimento.

OBJETIVO

O principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

Os argumentos estão divididos em dois tipos:

Dedutivos e Indutivos.

Todo argumento implica a pretensão de que suas premissas forneçam a prova da verdade de sua conclusão, porém somente um argumento dedutivo envolve a pretensão de que suas premissas fornecem uma prova conclusiva.

Para os argumentos dedutivos, os termos técnicos “válido” e “inválido” são usados no lugar de “correto” e “incorreto”.

Um raciocínio dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, ou seja, as premissas e conclusão estão de tal forma relacionadas que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa.

Todo raciocínio (argumento) dedutivo é válido ou inválido.

A tarefa da lógica dedutiva é esclarecer a natureza da relação entre as premissas e conclusão em argumentos válidos, e assim permitir a possibilidade de discriminar os argumentos válidos dos inválidos.

Premissa : "Todo homem é mortal."Premissa : "João é homem."Conclusão : "João é mortal."

Argumento dedutivo: a conclusão deduz-se “obviamente” das premissas.

Um raciocínio indutivo, por outro lado, envolve a “pretensão”, não de que suas premissas proporcionem provas convincentes da verdade de sua conclusão, mas de que somente forneçam algumas provas disso.

Os argumentos indutivos não são “válidos” nem “inválidos” no sentido em que esses termos se aplicam aos argumentos dedutivos.

Os raciocínios indutivos podem, é claro, ser avaliados como “melhores” ou “piores”, segundo o grau de verossimilhança ou probabilidade que as premissas confiram às respectivas conclusões.

Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado."Premissa : "Está chovendo."Conclusão: "Ficará nublado."

Argumento Indutivo: A conclusão de que ficará nublado não se sustenta a partir das premissas, porque não necessariamente fica nublado após a chuva.

Exemplo:

Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald, é óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez – em 5,6 segundos ou menos.

Exemplo:

Premissa: os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald.

Conclusão: é óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez – em 5,6 segundos ou menos.

Argumento dedutivo: a conclusão deduz-se “obviamente” da premissa de que Oswald não poderia ter disparado três vezes.

Exemplo:

Nota-se, pela situação do país, pelos hábitos do povo, pela experiência que temos tido sobre esse ponto, que é impraticável levantar qualquer soma muito considerável para a tributação direta. As leis fiscais têm-se multiplicado em vão; novos métodos para aplicar a arrecadação foram tentados inutilmente; a expectativa pública tem sido uniformemente desapontada e as tesourarias estaduais continuam vazias.

Nota-se, pela situação do país, pelos hábitos do povo, pela experiência que temos tido sobre esse ponto, que é impraticável levantar qualquer soma muito considerável para a tributação direta. As leis fiscais têm-se multiplicado em vão; novos métodos para aplicar a arrecadação foram tentados inutilmente; a expectativa pública tem sido uniformemente desapontada e as tesourarias estaduais continuam vazias.

Argumento Indutivo: A conclusão de que é impraticável levantar qualquer soma muito considerável por tributação direta é inferida à base de que longas experiências com leis fiscais, diferentes métodos de arrecadação e os hábitos de sonegação de impostos do povo, desapontaram a expectativa pública e esvaziaram as tesourarias estaduais. Contudo, não parece haver a pretensão de mostrar que a conclusão decorre, demonstrativamente, das premissas oferecidas em seu apoio.

Concluindo sobre a Dedução e Indução

A grande parte de lógica formal é essencialmente DEDUTIVA, enquanto que a INDUÇÃO tem menor abrangência por não gerar um raciocínio completamente sistematizado.

RESUMODedução

- Do geral ao particular- A conclusão já está

presente nas premissas

- Não apresentam conhecimento novo. A conclusão por já estar nas premissas, nunca vai além delas.

Indução- Do particular ao geral- A indução vai além

das premissas- É probabilística, ou

seja, a conclusão da indução tem apenas a probabilidade de ser verdadeira.

Módulo C – Parte B

Espécies de argumentação dedutiva

"Todo homem é mortal." Premissa maior "João é homem." Premissa menor"João é mortal." Conclusão

Antecedente

Consequente

Silogismo:é a argumentação em que, de um antecedente que une dois termos a um terceiro, infere-se um consequente que une estes dois termos entre si.

Análise dos termos: mortal, homem e João

O termo mortal é um termo que é atribuído a um número maior de indivíduos que homem e João, porque mortal é atribuível a muitas e diversas outras coisas.

MH

Análise dos termos: mortal, homem e João

Do mesmo modo, o termo homem atribui-se a João e a todos os outros indivíduos humanos, tendo assim uma extensão maior.

H J

Análise dos termos: mortal, homem e João

Assim, a premissa que contém o termo de maior expressão chama-se premissa maior, a premissa que contém o termo de menor extensão chama-se premissa menor e a proposição que deriva dos dois termos chama-se conclusão.

MH J

"Todo homem é mortal.“ "João é homem." "João é mortal."

T (t maiúsculo) para o termo maiort (t minúsculo) para o termo menorM (m maiúsculo para o termo médio

t

t

T

T

M

M

Princípios da tríplice identidadePrincípio da afirmação universal: tudo o que é afirmado universalmente de um sujeito é afirmado de todos os indivíduos que estão contidos neste sujeito.Princípio da negação universal: tudo o que é negado universalmente de um sujeito é negado de todos os indivíduos contidos neste sujeito.

Oito regras básicas da estrutura formal – argumentação silogística

Relação entre os termos1) Todo silogismo contém somente três

termos: maior, médio e menor.2) Nunca, na conclusão, os termos podem ter

extensão maior do que nas premissas.3) O termo médio não pode entrar na

conclusão.4) O termo médio deve ser universal ao

menos uma vez

Oito regras básicas da estrutura formal – argumentação silogística

Relação entre as premissas5) De duas premissas negativas, nada se

conclui.6) De duas premissas afirmativas não pode

haver conclusão negativa.7) A conclusão segue sempre a premissa

mais fraca.8) De duas premissas particulares, nada

se conclui.

Módulo D

Regras relativas às premissas

Regras relativas às premissas• Oitava regra: de duas premissas

particulares nada se concluia partícula quantificadora Todo é usada para determinar uma extensão universal: Todo homem é mortal.a partícula quantificadora Algum é usada para determinar uma extensão particular: Algum homem é músico. (o predicado músico não é necessário para a constituição do sujeito homem).

Regras relativas às premissas• Compare esses dois exemplos1) Tudo o que é veneno é nocivo ao homem.Alguns frutos são venenosos.Alguns frutos são nocivos ao homem.

2) Algum soldado é corajoso(Algum) O covarde é soldado.Algum covarde é corajoso.

ok

não

Regras relativas às premissas• A conclusão segue sempre a

premissa mais fraca

Regras relativas às premissas• A conclusão segue sempre a

premissa mais fraca– A qualidade afirmativa é mais forte que

a qualidade negativa.– A quantidade universal é mais forte que

a quantidade particular.

Regras relativas às premissas• A conclusão segue sempre a

premissa mais fraca• Analise:

1) Todos os lógicos são matemáticos (A)Alguns filósofos não são lógicos (O)Alguns filósofos não são matemáticos (O)

Correto!

Regras relativas às premissas• A conclusão segue sempre a premissa

mais fraca• Analise:

1) Alguma planta é nociva. (I)Tudo o que é nocivo não faz bem (E)Toda planta faz bem (A).Incorreto!A conclusão deveria ser negativa e particular,

portanto, O.

Regras relativas às premissas• De duas premissas afirmativas não

pode haver conclusão negativa• Analise:

1) Alguma planta é nociva. (I)Tudo o que é nocivo deve ser evitado. (A)Alguma planta deve ser evitada. (I)

Correto!

Regras relativas às premissas• De duas premissas afirmativas não

pode haver conclusão negativa• Analise:

2) Tudo o que é nocivo deve ser evitado. (A)Alguma planta é nociva (I).Alguma planta não deve ser evitada. (O)Incorreto!

Regras relativas às premissas• De duas premissas negativas nada se

conclui• Analise:

1) Todo animal é vivente (A)Algum vivente é planta (I)Alguma planta é animal (I)correto!o termo vivente é o termo que une as premissas.

Regras relativas às premissas• De duas premissas negativas nada

se conclui• Analise:

2) Nenhum silogismo válido tem duas premissas negativas (E)Nenhum silogismo neste livro é válido (E)incorreto pois não há o que unir!

Módulo E

Regras relativas aos termos

Regras relativas aos termos• Primeira regra:

– Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio, menor

• Nunca, na conclusão, os termos podem ter extensão maior que as premissas

Regras relativas aos termos• O termo médio não pode entrar na

conclusão

• O termo médio deve ser universal ao menos uma vez

Módulo F

Silogismo

Figuras e modos do silogismo• Primeira figura• Segunda figura• Terceira figura• Quarta figura ou primeira

indireta• Redução dos modos

Formas derivadas de silogismo• Silogismo expositório• Silogismo informe• Entimema ou silogismo truncado• Epiquerema• Polissilogismo• Sorites• Silogismo Hipotético• Dilema

Módulo G

Lógica matemática e tabelas-verdade

Lógica Matemática• PROPOSIÇÃO: sentenças

declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

A lua é quadrada. A neve é branca. Matemática é uma ciência.

ExemplosSão Proposições: Não são proposições:1) 3 + 4 = 7 1) 3 + 42) O Japão fica na África

2) Onde você vai?

3) O Brasil é banhado pelo Oceano Atlântico.

3) Os estudantes jogam vôlei. (o sujeito nao está claramente especificado e não pode ser classificada em V ou F)

OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM

VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .Exemplos:    A lua é quadrada : p                     A neve é branca : q

Conectivos Lógicos CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas

atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :

: e , : ou , : se...então , : se e somente se , : não

Exemplos A lua é quadrada e a neve é branca. : p q (p e

q são chamados conjuntos) A lua é quadrada ou a neve é branca. : p q (

p e q são chamados disjuntos) Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p

q ( p é o antecedente e q o conseqüente) A lua é quadrada se e somente se a neve é

branca. : p q A lua não é quadrada. : p

 

Valor lógico• O valor lógico de uma proposição é a verdade (V)

se a proposição for verdadeira e é a falsidade se a proposição for falsa.

• V(p) indica o valor lógico da proposição p.• Exemplo:

– p: O Sol é verde V(p) = F– q: Um hexágono tem seis lados V(q) = V– r: 2 é raíz da equação x2 + 3x – 4 =0 V(r) = F

Princípios Fundamentais da Lógica

• A lógica clássica é governada por dois princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:

• Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.

• Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.

• Logo, toda proposição admite um e um só dos valores V ou F.

Exercícios1) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das

seguintes proposiçõesa) o numero 11 é primo.b) -2 < 0c) (a,b) = {a,b}d){x} = xe) Porto Alegre é a capital do Paraná.f) O macaco é um mamífero.g) A Terra é um planeta.

2) Escrever cinco proposições de valor lógico igual a V.3) Escrever cinco proposições de valor lógico igual a F.

Tabela-verdade- Tabela-verdade é uma maneira pratica de dispor organizadamente os valores lógicos

envolvidos em uma proposição composta.

- Diagrama da árvore

pVF

Tabela-verdadeTabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira se e somente se p é falsa ~p é falsa se e somente se p é verdadeira

p ~p

V F

F V

Exemplo

p: O sol é um planeta.~p: O sol não é um planeta.

q: 2 + 3 = 5~q: 2 + 3 ≠ 5

Exemplor: Rio de Janeiro é um país.~r: Rio de Janeiro não é um país. Ou~r: Não é verdade que Rio de Janeiro é um país. ou~r: É falso que Rio de Janeiro é um país.

Nota: Negar uma proposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma, ou algo com valor lógico diferente. Ex: A proposição “O Sol é uma estrela”, que é verdadeira, não é negaçãoda proposição “O Sol é um planeta”, que é falsa.

Tabela verdade da "conjunção“ (e) : a conjunção é verdadeira se e somente os

conjuntos são verdadeiros.

p q p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Exemplo

p: Carlos estuda matemática.q: Carlos joga xadrez.p ^ q: Carlos estuda matemática e joga

xadrez.

p: 2 > 0q: 2 ≠ 1p ^ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1

Tabela verdade da "disjunção" (ou): a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntos

são falsos.

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplo

p: João é estudante.q: João é mecânico.p v q: João é estudante ou mecânico.

p: 10 é número primo.q: 10 é número composto.p v q: 10 é número primo ou número

composto.

Outros exemplos1) Determinar o valor lógico da proposição

composta P dada a seguir:P: 3 < π ou 2 não é primo.

Resposta:A primeira proposição é verdadeira. A segunda proposição é falsa. Como as proposições estão ligadas pelo conectivo ou, entao V (P) = V.

Outros exemplos2) Sejam as proposições:p: Maurício é jogador de vôlei.q: Maurício é bonito.Escrever em linguagem natural as seguintes proposições.a) p ^ qb) p v ~qResposta:a) Maurício é jogador de vôlei e Maurício é bonito.b) Maurício é jogador de vôlei ou Maurício não é bonito.

Outros exemplos

3) Construir a tabela-verdade para a proposiçãop v ~q

p q ~ q p v ~qV V F VV F V VF V F FF F V V

Tabela verdade da "implicação“ (ou condicional): a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente

é verdadeiro e o conseqüente é falso.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p q

V V V

F V V

V F F

F F V

Tabela Verdade:

Operadores Lógicos – Implicação (Se..Então)

antecedente

implicação

conseqüente

Se p então qp q

Exemplop: Choveq: Faz frio.p q: Se chove, então faz frio.

p: 5 > 2.q: 2 (Z é o conjunto dos números

inteiros)p q: Se 5 > 2, então 2 .

Tabela verdade da "bi-implicação“ (ou bi-condicional): a bi-implicação é verdadeira se, e somente se, seus componentes são ou ambos

verdadeiros ou ambos falsos.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo

p: Perereca se transforma em sapo.q: Sapo se transforma em príncipe.p q: Perereca se transforma em sapo se,

e somente se, sapo se transforma em príncipe.

Recapitulando e Resumindo

Valor da VerdadePara uma proposição composta por duas proposições simples, p e q teremos a seguinte tabela verdade:

Tabela Verdade:

4 linhas

p q

V V

F V

V F

F F

Note que o número de linhas mantém relação com a quantidade de proposições simples, ou seja: 2n , onde n é a quantidade das proposições simples e 2 a quantidade de valores lógicos possíveis, ou seja V ou F.

Portanto, para uma proposição composta por três proposições simples teremos:

23 = 8 linhas.

Tabela Verdade:

8 linhas

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Valor da Verdade

Operadores Lógicos - ConjunçãoExemplos:

p O sangue é vermelho Vq 3 < 8 V

P(p^q) O sangue é vermelho “E” 3 < 8 V

p O oxigênio é sólido Fq 5 é um número ímpar V

P(p^q) O oxigênio é sólido “E” 5 é um número ímpar

F

p O Brasil fica na Argentina Fq Brasília é a Capital do Brasil V

P(p^q) O Brasil fica na Argentina “E” Brasília é a Capital do Brasil

F

Operadores Lógicos - DisjunçãoExemplos:

p O sangue é vermelho V

q 3 < 8 VP(p q) O sangue é vermelho “OU” 3 < 8 V

p O oxigênio é sólido Fq 5 é um número ímpar V

P(p q) O oxigênio é sólido “OU” 5 é um número ímpar

V

p O Brasil fica na Argentina Fq Cinco é um número par F

P(p q) O Brasil fica na Argentina “OU” Cinco é um número par

F

Operadores Lógicos - Implicação

Exemplos: “Se chover então a calçada fica molhada”p: Choverq: a calçada fica molhada

p é condição suficiente para “q: chover é condição suficiente para a calçada ficar molhada”.

q é condição necessária para “p: a calçada ficar molhada é uma condição necessária quando chove”.

p chover V

q A calçada fica molhada V

P(p q) Se chover então a calçada fica molhada V

Se chover, vai cair água do céu e a calçada ficará molhada e chover é condição suficiente para a calçada ficar molhada.

Operadores Lógicos – Bi-implicaçãoExemplos: “O paciente terá alta se e somente se a taxa de glóbulos brancos foi maior ou igual a 1000”p : o paciente terá alta.q : a taxa de glóbulos brancos foi maior ou igual a 1000.p é condição necessária e suficiente para “q: a taxa de glóbulos brancos foi maior ou igual a 1000”.q é condição necessária e suficiente para “p: o paciente terá alta”.ANALISANDO:p q : SE o paciente terá alta ENTÃO a taxa de glóbulos brancos foi maior ou igual a 1000.q p : SE a taxa de glóbulos brancos foi maior ou igual a 1000 ENTÃO o paciente terá alta.PORTANTO p q representa p q e q p.

Operadores Lógicos - Bicondicional

p O paciente terá alta Vq a taxa de glóbulos brancos foi maior ou

igual a 1000V

P(p q) O paciente terá alta se e somente se a taxa de glóbulos brancos foi maior ou igual a 1000

V

Resumo dos conectivos lógicos

Negação Conjunção Disjunção Implicação Bi-Implicação

NÃO E OU Se...então Se e somente se

p q ~p p q p q p q p q

V V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V

TautologiaUma proposição composta é uma tautologia quando seu valor lógico é sempre a verdade (V), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes.

Exemplo: Chove ou não chove.

p: Chove~p: não chove

p ~p p ~pV F VF V V

ContradiçãoUma proposição composta é uma contradição quando o seu valor lógico é sempre a falsidade (F), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes.

Exemplo: Chove e não chove.

p: Chove~p: não chove

p ~p p ~pV F FF V F

Equivalência LógicaDadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre P e Q quando suas tabelas-verdade forem idênticas.

P ≡ Q

Negação da NegaçãoA negação de uma negação (dupla negação) de uma proposição é logicamente equivalente à própria proposição.

Exemplo: Não é verdade que “Mário não é estudioso” é logicamente equivalente à “Mário é estudioso”.

Na língua portuguesa, a dupla negação é usada como recurso para reforço de uma negação. Do ponto de vista puramente lógico equivale a uma afirmação.

p ~p ~( ~p)V F VF V F

Tabelas-verdade idênticas

Negação da ConjunçãoA negação de uma conjunção é logicamente equivalente a uma disjunção.

Exemplo: Não é verdade que a comida é farta e saborosa.É logicamente equivalente a A comida não é farta ou não é saborosa.

p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

Tabelas-verdade idênticas

Negação da DisjunçãoA negação de uma disjunção é logicamente equivalente a uma conjunção.

Exemplo: Não é verdade que a comida é farta OU saborosa.É logicamente equivalente a A comida não é farta E não é saborosa.

P q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~qV V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

Tabelas-verdade idênticas

Portanto

Negação da disjunção (ou):

~(p q) ≡ ~p ~q

Negação da conjunção (e):

~(p q) ≡ ~p ~q

Essas equivalências são conhecidas como leis de Morgan.

OBSERVAÇÕESEm lógica: mas = e nem = e (também não)

O CÁLCULO PROPOSICIONAL E A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

• O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes.Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos :

• a negação ( ) corresponde à complementação ( ’ ), • a conjunção ( ) corresponde à intersecção ( ) , • a disjunção ( ) corresponde à união ( ). • As variáveis proposicionais podem servir como

variáveis simbolizando conjuntos na nova expressão.

CONJUNTOS• Exemplo: • (( p q) p)corresponde a (( p q )

p’)

DIAGRAMAS DE VENN• Podemos expressar, as operações entre

conjuntos através dos DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que são úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser considerados instrumentos de prova matemática rigorosa. Verifique seu conhecimento com estas operações considerando 2 conjuntos e, em seguida, com 3 conjuntos.

Módulo H

Dialética

Dialética“Partindo do pressuposto de que nenhuma afirmação é indiscutível, a dialética se apresenta como uma alternativa ao método de raciocinar proposto pela lógica formal.” (KELLER e BASTOS, 2008, p. 165)

DialéticaAssim, entende-se dialética como um conjunto de regras que norteiam uma ação real ou mental, o que a constitui em um método de análise eficiente. Ao passo que a lógica é o que se baseia em um conjunto de leis, que pressupõem na sua constituição a regularidade, a constância, a universalidade, a ordem.” (KELLER e BASTOS, 2008, p. 165)

O esquema dialético• Lei da interação universal• Lei do movimento universal• Lei dos contrários• Lei dos saltos• Lei da superação• Regras práticas

EXERCÍCIOS

Exercício 1Um homem estava olhando uma foto, e alguém lhe perguntou:

“De quem é esta foto?” Ao que ele respondeu:

“Não tenho irmãs nem irmãos, mas o pai deste homem é filho de meu pai.”

De quem era a foto que o homem estava olhando?

Devemos compreender inicialmente, claramente, o que está em questão: neste exercício, queremos saber de quem é a foto que o homem olhava.

Exercício 1

Envolvidos na questão:

Primeiro envolvido: A pessoa que pergunta “De quem é a foto?”, que chamaremos de “A”;

Segundo envolvido: O homem que estava olhando a foto e que formula o enigma, que chamaremos de “B”;

Terceiro envolvido: O homem fotografado, o homem da foto, que chamaremos de “X”, porque é a incógnita de nosso problema ou a pessoa que queremos saber quem é.

Exercício 1

Para a resolução do problema, o sujeito “A” tem alguma importância? Não. Então vamos eliminá-lo.

Exercício 1

Analisemos o segundo envolvido, ou seja, o sujeito “B”. Que informações temos sobre “B”?

Informação 1: B não tem irmãs nem irmãos.

Informação 2: O pai do homem da foto é filho do pai do homem que olhava a foto.

Substituindo os termos da informação 2 por símbolos, temos:

O pai de X é filho do pai de B.

Exercício 1

Mas quem é filho do pai de B? Filho do pai de alguém será sempre este alguém e seus irmãos. Filho do pai de B é B e seus irmãos.

Sabendo, entretanto, pela informação 1, que B não tem irmãos nem irmãs, então o filho do pai de B é o próprio B.

Exercício 1

O pai de X é filho do pai de B.

Substituindo:

O pai de X é B.

B é pai de X.

Se B é pai de X, então X é filho de B. O problema está resolvido.

A nossa incógnita, o X, é filho de B.

Deste modo: O homem da foto (X) é filho do homem que olhava a foto (B).

Portanto, o homem olhava a foto de seu filho.

Exercício 1

Um homem olhava uma foto, e alguém lhe perguntou:

“De quem é esta foto?” Ao que ele respondeu:

“Não tenho irmãs nem irmãos, mas o filho deste homem é filho de meu pai.”

De quem era a foto que o homem estava olhando?

Exercício 2

Envolvidos na questão:

O homem que estava olhando a foto e que formula o enigma, que chamaremos de “B”;

O homem fotografado, o homem da foto, que chamaremos de “X”;

Exercício 2

Que informações temos sobre “B”?

Informação 1: B não tem irmãs nem irmãos.

Informação 2: O filho do homem da foto é filho do pai do homem que olhava a foto.

Substituindo os termos da informação 2 por símbolos, temos:

O filho de X é filho do pai de B.

Exercício 2

Mas quem é filho do pai de B? Filho do pai de alguém será sempre este alguém e seus irmãos. Filho do pai de B é B e seus irmãos.

Sabendo, entretanto, pela informação 1, que B não tem irmãos nem irmãs, então o filho do pai de B é o próprio B.

Exercício 2

Substituindo:

O filho de X é B.

B é o filho de X.

Se B é filho de X, então X é o pai de B. O problema está resolvido.

A nossa incógnita, o X, é pai de B.

Deste modo: O homem da foto (X) é o pai do homem que olhava a foto (B).

Portanto, o homem olhava a foto de seu pai.

Exercício 2

Três casais vivem em uma cidade litorânea da costa brasileira. Cada marido têm uma profissão diferente e esposa com nome diferente, conforme abaixo:

Exercício 3

MARIDOS

CarlosLuizPaulo

PROFISSÕES

MédicoEngenheiroAdvogado

ESPOSAS

LúciaPatríciaMaria

Dadas as informações abaixo, descubra a profissão de cada marido e o nome de suas respectivas esposas.

1. O Médico é casado com Maria;

2. Paulo é Advogado;

3. Patrícia não é casada com Paulo;

4. Carlos não é Médico.

Exercício 3

Dadas as informações abaixo, descubra a profissão de cada marido e o nome de suas respectivas esposas.

MARIDOS

CarlosLuizPaulo

PROFISSÕES

MédicoEngenheiroAdvogado

ESPOSAS

LúciaPatríciaMaria

1. O Médico é casado com Maria;

2. Paulo é Advogado;

3. Patrícia não é casada com Paulo;

4. Carlos não é Médico.

Exercício 3

?

Exercício 3

CarlosLuizPauloMédicoEngenh.Advogado

Lúcia Patri-cia

Maria Médi-co

Enge-nheiro

Advo-gado

SN NNN

SNNNNSNN

SN

NS

NS N N

NSS

SN

N

1.O Médico é casado com Maria;

2.Paulo é Advogado;

3.Patrícia não é casada com Paulo;

4.Carlos não é Médico.

RESPOSTA

Carlos é Engenheiro e casado com Patrícia.

Luiz é Médico e casado com Maria.

Paulo é Advogado e casado com Lúcia.

Exercício 3

Exercício 4

CRIANÇAS

CésarJúliaKátiaVando LANCHONETE

Ligeirinho & Cia.Sanduiches & TalMania’s LanchesCasa da Pizza

LANCHE

Lanche Tri-legalLanche FelizLanche SurpresaSuper Lanche

BRINDE

Estojo escolarCarro de corridaCofrinhoUrso de pelúcia

Exercício 4Durante o mês passado, Carolina trabalhou como babá e tomou conta de 4 crianças. Com a aprovação dos pais, Carolina resolveu recompensá-las pelo bom comportamento, deixando que cada uma delas escolhesse uma lanchonete para fazer um lanche. Cada uma das crianças escolheu uma lanchonete, um lanche e recebeu um brinde diferente ao final da refeição. Usando as dicas a seguir, determine qual lanchonete casa criança escolheu, o lanche e o brinde recebido.1.A criança que foi à casa da pizza e recebeu o cofrinho como brinde não pediu o lanche tri-legal.2.Nem a criança que recebeu o estojo escolar nem a Júlia pediram o lanche tri-legal.3.A criança que recebeu o estojo escolar como brinde não foi ao Ligeirinho & Cia.4.A criança que pediu o Super lanche recebeu o carro de corridas como brinde.5.O lanche surpresa pode ter sido pedido no Ligeirinho & Cia. Ou ter sido acompanhado por um cofrinho.6.Kátia não escolheu comer no Mania’s Lanches.7.Vando escolheu comer no Sanduíches & Tal e não recebeu o urso de pelúcia como brinde.8.Sanduíches e Tal não tem o lanche feliz em seu menu.

Enigmas

Enigma 1Três prisioneiros estão num cárcere. Um deles tem visão normal, o outro tem somente um olho e o terceiro é cego. O carcereiro falou aos prisioneiros que de um conjunto de três chapéus pretos e dois vermelhos, pegaria três e colocaria sobre suas cabeças, mas não é permitido ver a cor do chapéu sobre a própria cabeça. O carcereiro reuniu os três prisioneiros com os chapéus na cabeça e ofereceu a liberdade ao prisioneiro com visão normal, desde que ele soubesse a cor do chapéu na sua cabeça. O prisioneiro confessou que não podia saber. O processo foi repetido com o prisioneiro que tem somente um olho e este deu a mesma resposta. O carcereiro nem se preocupou em fazer a pergunta ao prisioneiro cego, mas este afirmou que sabia a cor do chapéu na sua cabeça e disse “Após o que meus colegas viram com seus olhos, eu vejo claramente a cor do meu chapéu”.

CÁLCULO DE PREDICADOS

Cálculo de Predicados• Podemos observar que existem vários

tipos de argumentos os quais, apesar de válidos, não é possível justificá-los com os recursos do Cálculo Proposicional:

1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas.    Pedro não é amigo de Jonas.    Logo, Pedro não é amigo de Carlos.

2. Todos os humanos são racionais.    Alguns animais são humanos.    Portanto, alguns animais são racionais.

Cálculo de Predicados• A verificação da validade desses

argumentos nos leva não só ao significado dos conectivos mas também ao significado de expressões como "todo", "algum", "qualquer", etc.

Símbolos da Linguagem• Para que possamos tornar a estrutura de

sentenças complexas mais transparente é necessário a introdução de novos símbolos na linguagem do Cálculo Proposicional, obtendo-se a linguagem do Cálculo de Predicados de 1a Ordem.

• Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e os parênteses, os seguintes novos símbolos:

Símbolos da Linguagem• variáveis: x,y,z,.....,x ,y ,z ,......

constantes : a,b,c,....,a ,b ,c ,......símbolos de predicados: P , Q , R , S ,....quantificadores : (universal) , (existencial)termos: as variáveis e as constantes são designadas pelo nome genérico de termos os quais serão designados por      t1 , t2 , ...,tn ...

Símbolos da Linguagem• as variáveis representam objetos que não

estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.);as constantes representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. );os símbolos de predicados representam propriedades ou relações entre os objetos do Universo.

Exemplo:• "Maria é inteligente" : I(m) ; onde

"m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente"."Alguém gosta de Maria" : G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".

Cálculo de Predicados• P(x) : significa que x tem a propriedade P .

(x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os objetos do Universo considerado tem a propriedade P.(x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no mínimo um objeto do Universo considerado que tem a propriedade P.

Cálculo de Predicados• Notamos que os símbolos de predicados

serão unários, binários ou n-ários conforme a propriedade que representam envolver, respectivamente um, dois ou mais objetos do universo e dizemos também que o símbolo de predicado tem peso 1, peso 2 ... ou peso n.

• OBS.: Um símbolo de predicados 0-ário (peso zero) identifica-se com um dos símbolos de predicado; por exemplo: "chove" podemos simbolizar "C".

Cálculo de Predicados• As fórmulas mais simples do Cálculo de

Predicados de 1a Ordem são chamadas de fórmulas atômicas e podem ser definidas como:"Se P for um símbolo de predicado de peso n e se t1 , t2 , ...,tn forem termos então       P(t1 , t2 , ...,tn ) é uma fórmula atômica."

Exemplos:• 1. Todo amigo de Carlos é amigo de

Jonas.    Pedro não é amigo de Jonas.    Logo, Pedro não é amigo de Carlos.

• 2. Todos os humanos são racionais.    Alguns animais são humanos.    Portanto, alguns animais são racionais.

Enunciados Categóricos A: "Todo P é Q" afirma que todos os elementos de

P são elementos de Q, ou seja,       que P é um subconjunto de Q, isto é, P Q .E: "Nenhum P é Q" afirma que os conjuntos P e Q não têm elementos em comum, isto é,      que P Q = ou ainda que P Q’.I : "Algum P é Q" afirma que os conjuntos P e Q têm pelo menos um elemento em comum, isto é,     P Q O: "Algum P não é Q" afirma que P tem pelo menos um elemento que não está em Q, ou ainda,      que P Q’ .

Exemplos:• Todos os cientistas são estudiosos.

Alguns cientistas são inventores. Alguns estudiosos são inventores.

• Todos os brasileiros são felizes. Todos os paulistas são brasileiros. Todos os paulistas são felizes.

Exemplos:• Nenhum estudante é velho .

Alguns jovens não são estudantes.Alguns velhos não são jovens.