MATEMÁTICA FINANCEIRA 1

MATEMÁTICA FINANCEIRA 1

INTRODUÇÃO

A matemática é considerada uma das ciências mais importantes e uma das mais antigas de que temos registros. Através dela é possível a compreensão e nossa adaptação ao mundo. Compreender etimologicamente o significado da palavra matemática nos auxilia a entender o processo que tal ciência requer de nossa atividade de estudos. Vamos desmembrar a palavra matemática. “Matema” significa explicar, entender. Já “tica” é oriundo de techne, que compreende a arte ou técnica. Portanto, a matemática tem como essência a técnica ou arte de entender e explicar os fenômenos existentes; porém, para compreendê-la e entendê-la é necessário desenvolver ou criar esquemas que venham possibilitar ao indivíduo realizar análises, comparações, classificações, entre outros, para possível tomada de decisões ou compreender o fenômeno observado.

Para dar início à nossa disciplina, vamos realizar uma revisão de alguns conceitos matemáticos vistos durante sua vida acadêmica, alguns relembrando seu Ensino Fundamental, outros o Ensino Médio, e até mesmo novos conhecimentos que você vem adquirindo durante sua jornada no Ensino Superior. O primeiro conteúdo abordado serão as grandezas direta e inversamente proporcionais. Portanto, para que você venha adquirir uma boa compreensão desses conceitos é imprescindível que conheça os conceitos relativos a razão e proporção.

APRESENTAÇÃO

Organização

Rodrigo Borsatto Sommer da Silva

Reitor da UNIASSELVI

Prof. Hermínio Kloch

Pró-Reitora do EAD

Prof.ª Francieli Stano Torres

Edição Gráfica e Revisão

UNIASSELVI

Autor

Emerson Strutz

CURSO LIVRE - MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 - INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO.01

1 INTRODUÇÃO

A matemática é considerada uma das ciências mais importantes e uma das mais antigas de que temos registros. Através dela é possível a compreensão e nossa adaptação ao mundo. Compreender etimologicamente o significado da palavra matemática nos auxilia a entender o processo que tal ciência requer de nossa atividade de estudos. Vamos desmembrar a palavra matemática. “Matema” significa explicar, entender. Já “tica” é oriundo de techne, que compreende a arte ou técnica. Portanto, a matemática tem como essência a técnica ou arte de entender e explicar os fenômenos existentes; porém, para compreendê-la e entendê-la é necessário desenvolver ou criar esquemas que venham possibilitar ao indivíduo realizar análises, comparações, classificações, entre outros, para possível tomada de decisões ou compreender o fenômeno observado.

Para dar início à nossa disciplina, vamos realizar uma revisão de alguns conceitos matemáticos vistos durante sua vida acadêmica, alguns relembrando seu Ensino Fundamental, outros o Ensino Médio, e até mesmo novos conhecimentos que você vem adquirindo durante sua jornada no Ensino Superior. O primeiro conteúdo abordado serão as grandezas direta e inversamente proporcionais. Portanto, para que você venha adquirir uma boa compreensão desses conceitos é imprescindível que conheça os conceitos relativos a razão e proporção.

Não se esqueça de que finanças são regidas pela matemática, portanto, entender e praticar é essencial para que você adquira os conhecimentos necessários para um bom aproveitamento desta disciplina.


2 RAZÃO E PROPORÇÃO

É comum, ao observarmos uma construção, imagem ou quaisquer outros fatos possíveis de comparação, nos indagarmos que uma parte é muito pequena comparada com as outras. Ao chegar a esta afirmação estamos concluindo que suas medidas não são proporcionais.

Podemos visualizar tal conclusão em um dos quadros, pintado por Tarsila do Amaral, em 1928, para presentear seu marido, o escritor Oswald de Andrade, intitulado Abaporu (em tupi-guarani, "homem que come gente"). É a tela brasileira mais valorizada em todo o mundo.

FIGURA 1 – ABAPORU, DE TARSILA DO AMARAL

Fonte: Disponível em: <https://gartic.com.br/morcegaa/desenho-livre/abaporu-tarsila-do-amaral-2>. Acesso em: 28 jan. 2016.

Ao observar a obra acima é possível verificar a desproporcionalidade que a artista (intencionalmente ou não) reproduziu. Ao realizar a comparação das medidas, instintivamente identificamos a desproporção, pois tomamos como base outro padrão, ou ainda, quando realizamos a comparação de uma das partes com as demais partes da imagem.

Em geral, ao representar a figura do corpo humano, a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça, portanto a altura da cabeça está para a altura do restante do corpo. Assim como 1 está para 7, podemos representar numericamente:


ou 1:7

Logo, a razão pode ser definida como uma técnica matemática utilizada para realizar comparações entre duas medidas, entre duas grandezas diversas, ou entre duas quantidades. Esta comparação é realizada através do quociente entre duas medidas ou duas grandezas.

1

7

Quociente é o resultado de uma divisão.

Exemplo:Uma universidade quer analisar a concentração de acadêmicos na

área educacional, desta forma, calculamos o quociente entre o número de acadêmicos e a área da universidade, portanto, a razão é o resultado desta divisão.

De maneira geral, podemos afirmar que:

A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b.

É possível encontrar a razão entre a e b, escrita na forma de notação matemática conforme segue:

ou a:b, onde b ≠ 0a

b

Podemos verificar a razão conforme abaixo:

a) Em uma receita de bolo, a cada ovo correspondem quatro colheres de trigo, portanto, a razão é 1 para 4.

É possível representar 1

4 ou 1 : 4

Vamos supor que, para outra receita, a cada dois ovos são necessárias 5 colheres de trigo, a razão é 2 para 5.

É possível representar 2

5 ou 2 : 5


Chegamos em dividindo o numerador e o denominador da fração por

2, ou seja, simplificamos a fração.

3

7

É possível concluir que em cada sete arremessos ele acerta três, desta forma há a comparação entre o número de arremessos e o número de acertos. Lendo este (resultado) quociente como uma fração, conclui-se que de todos os arremessos ele acertou três sétimos (3/7).

a) A razão entre 20 minutos e 1 hora é:

= = = = = =20 20 20 20: 10 2 2: 2 1

1 60 60 60: 10 6 6: 2 3

min min

hora min

b) Dos alunos de uma faculdade, os solteiros são 2 para 3.

Logo, a razão será 2

3 ou 2 : 3

c) A razão entre os números 40 e 4 é 10, ou seja, o resultado da divisão de 40 por 4 é 10.

d) Numa partida de basquete, um jogador faz 14 arremessos e acerta 6, a razão entre o número de acertos e de arremessos é:

6

14 ou ainda 3

7

É importante lembrar que o denominador (segundo número) deve ser sempre diferente de zero.

Grandeza é tudo o que pode ser comparado, contado, medido ou pesado. A quantidade indica a avaliação de uma grandeza. A Razão é usada em Matemática para comparar quantidades da mesma grandeza ou de grandezas diferentes.Razão entre duas grandezas expressas de mesma espécie, na mesma unidade, é o resultado da divisão de uma pela outra.


Agora, vamos entender a proporção, que nada mais é que a igualdade entre duas razões.

O gestor de recursos humanos de uma empresa de tecnologia da informação quer saber se os setores de suporte e o de implantação estão proporcionalmente no quesito referente à certificação PMI.

Setor Possui certificação PMI Total de colaboradores

Suporte 2 6

Implantação 3 9

PMI = Project Management Institute é uma instituição internacional sem fins lucrativos que associa profissionais de gestão de projetos.

A razão entre os colaboradores que apresentam a certificação PMI e o número total de colaboradores desta empresa de cada setor é:

Suporte: = =2 2 : 2 1

6 6:2 3

Implantação: = =3 3 :3 1

9 9 :3 3

Ao simplificar cada uma das razões, obtemos o mesmo número, sendo

assim, é possível afirmar que: =2 3

6 9. Já ao realizar a leitura de tais expressões

chegamos à mesma conclusão, ou seja, 2 está para 6 assim como 3 está para 9.

Logo, dados os números 2, 6, 3 e 9, nesta sequência, é correto afirmar que a razão entre os números 2 e 6 é igual à razão entre os números 3 e 9.

Quando há a igualdade entre duas razões podemos dizer, nessa mesma ordem, que os números 2, 6, 3 e 9 formam uma proporção, ou seja, quando temos quatro números reais a, b, c e d, em uma determinada ordem, e se a razão entre os dois primeiros números for igual à razão entre os dois últimos números, podemos afirmar que tais números nesta sequência formam uma proporção.


2.1 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Para identificarmos se há proporcionalidade entre as grandezas é necessário analisar se a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos então que essas grandezas se relacionam. As grandezas podem ser classificadas em diretamente proporcional e inversamente proporcional.

Podemos analisar a distância que um automóvel percorre e a quantidade de combustível que ele consumiu ou ainda qual a velocidade média e o tempo que ele gastou para realizar um determinado percurso. Ao variar uma grandeza, consequentemente causa variação em outra.

Grandeza diretamente proporcional

Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando o aumento de uma grandeza implica o aumento da outra grandeza. Por exemplo, se 3 pessoas consomem 6 litros de água por dia, 5 pessoas consumirão 10 litros de água no mesmo período. Portanto, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão.

Conforme a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego (MTE), que regula as condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por colaborador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias.

Para obedecer a essa norma, uma empresa elaborou uma tabela para identificar a quantidade de água necessária de acordo com os números de colaboradores.

Cenário Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4Número de colaboradores

10 15 20 40

Quantidade mínima necessária de água (em litros)

600 900 1200 2400

QUADRO 2 - REPRESENTAÇÃO DA NR 24, SEGUNDO O MTE NA EMPRESA XYZ

FONTE: O autor


= = = =600 900 1200 2400

6010 15 20 40

Ao analisar a tabela você pode perceber que o número de colaboradores aumentou, logo a quantidade mínima necessária de água também aumenta. Outro ponto que pode ser observado é que a razão entre a quantidade mínima de água e o número de colaboradores de todos os cenários é sempre o mesmo, ou seja, 60.

Podemos afirmar que as sequências de números (600, 900, 1200, 2400) e (10, 15, 20, 40) são diretamente proporcionais e a razão ou coeficiente de proporcionalidade é 60.

Vamos verificar a sequência (2, 8, 10) e (14, 56, 70): são diretamente proporcionais.

Para realizar essa verificação é necessário obter as razões entre os números correspondentes e em seguida analisá-las.

Logo, as razões são:

2 8 10 1e e é igual a

14 56 70 7

É possível verificar que todas as razões possuem o mesmo valor, ou

seja 1

7 , então podemos afirmar que ambas as sequências são diretamente

proporcionais.

Para chegarmos ao valor de realizamos a simplificação, ou seja, dividimos

o numerador e o denominador pelo mesmo número.

1

7

Agora, vejamos outro exemplo onde queremos saber qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as sequências (3, 5, 7) e (18, 30, 42), sabendo que ambas são diretamente proporcionais.

Para isso, montamos os pares formados pelos elementos das sequências:

3 5 7e e

18 30 42


Ao realizar a simplificação de todas as frações obtemos a razão. Sendo

elas todas iguais a 1

6, esse número é chamado de coeficiente de variação.

Grandeza inversamente proporcional

As grandezas inversamente proporcionais são aquelas onde ocorrem operações inversas, isto é, se dobrarmos uma grandeza, a outra é reduzida pela metade. Vamos supor que em um Help Desk (suporte a sistemas), 12 analistas de suporte trabalham 8 horas diárias para solucionar um determinado volume de chamados, porém a empresa aumentou seu quadro de colaboradores nesse setor para 24 analistas de suporte. Quantas horas serão necessárias para solucionar o mesmo volume de chamados?

Muitas vezes, nosso raciocínio lógico já nos leva ao resultado, porém, caso você não tenha compreendido como poderemos chegar a ele, vamos ilustrá-lo através de um quadro:

Número de colaboradores

12 24

Horas trabalhadas 8 4

Aumento

Diminui

QUADRO 3 - EVOLUÇÃO DO NÚMERO DE COLABORADORES X HORAS NECESSÁRIAS

Fonte: O autor

Podemos perceber que, ao dobrar o número de colaboradores, a quantidade de horas trabalhadas caiu pela metade para a execução do mesmo serviço. Enquanto uma grandeza aumenta, a outra grandeza diminui, ou seja, estão variando em sentidos contrários. Assim, as grandezas número de colaboradores e horas trabalhadas são inversamente proporcionais.

As sequências (12, 24) e (8, 4) são inversamente proporcionais. Nesta situação, a primeira sequência de números é diretamente proporcional aos inversos dos elementos da segunda sequência. Portanto, uma das formas de

escrever matematicamente esta situação é: (12, 24) e ( 1

8

1e

4), logo, essa nova

sequência será diretamente proporcional.

Assim:

=12 241 18 4


Realizando a multiplicação cruzada vamos obter:

=

=

=

1 112 * 24 *

4 8

12 24

4 8

3 3

Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 3

3 REGRA DE TRÊS

A regra de três é um processo que pode ser utilizado para resolver situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Geralmente, é utilizada quando temos três valores conhecidos e queremos encontrar uma incógnita. A regra de três ainda se subdivide em regra de três simples (direta ou inversa) e ainda regra de três composta (podendo também ser direta ou inversa). A regra de três composta é utilizada quando temos mais de três valores, buscando assim encontrar o valor desconhecido.

3.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES

A regra de três simples possibilita encontrar um valor desconhecido em um problema, sendo necessário conhecer apenas três deles. A regra de três simples pode se subdividir em direta e inversa.

Regra de três simples direta:

Quando nos deparamos com duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas é proporcional, a outra pode aumentar ou diminuir.

Podemos exemplificar essa situação da seguinte forma:

Para realizar a implantação de um determinado sistema em 3 empresas são necessárias 45 horas. Caso esse sistema seja implantado em 8 empresas, qual será a quantidade de horas necessárias?

Há duas grandezas envolvidas (número de empresas e quantidade de horas) e no problema há três valores conhecidos, logo, refere-se a um problema em que para se obter a solução pode ser utilizada a regra de três simples.


Precisamos encontrar a quantidade de horas necessárias para implantar tal sistema. Então vamos retirar os dados do problema para descobrir se será necessário utilizar a regra de três simples direta ou inversa:

Para isso vamos montar uma tabela e agrupar as grandezas de mesma espécie na mesma coluna, conforme segue:

Quantidade de Empresas Horas Necessárias 3 45 8 X

Agora faça uma análise dos dois valores: perceba que se para 3 empresas são necessárias 45 horas, aumentando o número de empresas (utilizando somente essas duas grandezas envolvidas) o número de horas também aumentará, logo, encontramos uma regra de três direta.

Realizado a análise, basta multiplicar os valores na forma de cruz:

3 45 8 X

Montando a equação:

3*X = 8*45

3x = 360

X = 360

3

X = 120 horas

Portanto, serão necessárias 120 horas para a instalação deste sistema em 8 empresas.

Regra de três simples inversa

Quando nos deparamos com duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta e a outra diminui proporcionalmente.

Vamos exemplificar essa situação da seguinte forma:

Imagine que um veículo realiza um determinado percurso a 60 km/h em 15 minutos. Caso a velocidade aumente para 80 km/h, qual será o tempo gasto para percorrer o mesmo percurso?


Para isso vamos montar uma tabela e agrupar as grandezas de mesma espécie na mesma coluna, conforme segue:

Velocidade Tempo 60 km/h 15 min 80 km/h x min

Realizando uma análise, se o percurso é o mesmo, e com o veículo a 60 km/h, ele leva 15 minutos, ao aumentar a velocidade para 90 km/h (o carro vai mais rápido), logo o tempo gasto será menor. Sendo assim, uma grandeza aumentou e a outra diminuiu.

Portanto, por se tratar de uma regra de três simples inversa, precisamos inverter uma das grandezas:

60 15 60 x90 x 90 15

Após inverter uma das grandezas, realizamos a multiplicação em cruz:

60 x90 15

90*x = 60 * 1590x = 900

x = 900

90

x = 10 minutos

Portanto, serão necessários 10 minutos para que o veículo realize o percurso a 90 km/h.

3.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada quando conhecemos três ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais na busca de um valor desconhecido.

Vamos acompanhar um exemplo onde consta em um processo seletivo da Associação Arco Íris de Assistência Social de Flórida Paulista-SP. Disponível em: <http://docplayer.com.br/5461947-Processo-seletivo-associacao-arco-iris-de-assistencia-social-de-florida-paulista-sp.html>. Acesso em: 11 fev. 2016.


Numa grá f i ca ex i s tem 3 impressoras of f se t , que func ionam ininterruptamente, 10 horas por dia, durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-se quebrado uma das impressoras e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000 folhas, quantas horas por dia deverão funcionar ininterruptamente as duas máquinas restantes?

No primeiro passo é necessário montarmos uma tabela com os dados do problema, agrupando cada dado com sua respectiva grandeza:

Impressora Horas por diaNúmero de dias

Quantidade de folhas

3 10 4 2400002 x 6 480000

Ao analisar a tabela é possível notar que se trata de uma regra de três composta, pois há mais de três grandezas conhecidas. Assim, vamos comparar cada grandeza com a coluna onde encontramos o termo “x”, que nesse exemplo se refere ao número de horas por dia. Desta forma, para resolver uma regra de três composta, você deve reduzir em várias regras de três simples, ou seja, reduzir ao número de regras de três simples necessárias.

Neste caso, vamos utilizar flechas para facilitar nossa comparação.

Vamos comparar então a coluna da Impressora com as Horas por dia. Ao realizar essa comparação, se eu diminuir o número de impressora esta empresa precisará de mais horas por dia de trabalho, logo:

Impressora Horas por dia

3 102 x

Realizada esta primeira análise, vamos verificar a coluna Dias com a Horas por dia. Se trabalhar 4 dias para completar um determinado serviço é necessário trabalhar 10 horas por dia, caso trabalhe 6 dias para completar o mesmo serviço será necessário trabalhar mais horas ou menos horas por dia? Logicamente, será necessário trabalhar menos horas, portanto, colocamos uma flecha inversa na coluna Dias e mantemos a mesma na coluna Horas por dia.


Impressora Horas por dia

4 106 x

Finalmente, vamos realizar a comparação entre a Quantidade de folhas e as Horas por dia. Logo, comparando isoladamente essas duas variáveis, se aumentar a quantidade de folhas serão necessárias mais horas por dia, logo, ambos são diretamente proporcionais.


Horas por dia

240000 10480000 x

Realizando a junção das análises vamos obter:

Impressora Horas por dia Número de dias


3 10 4 2400002 x 6 480000

Ao analisar o sentido das setas, quando a seta estiver para baixo, indica que ela é inversamente proporcional, sendo necessário inverter os valores, e quando a seta estiver para cima, permanece da maneira em que se encontra. Portanto, realizando esse

procedimento vamos obter:

Impressora Horas por dia Número de dias


3 10 6 2400002 x 4 480000

Após realizar as comparações, isolamos a grandeza que possui o valor desconhecido (incógnita), em seguida igualamos com os demais e realizamos a multiplicação em cruz entre a primeira e a segunda coluna e multiplicamos com as demais, conforme esquema a seguir:


Horas por dia Impressora Número de dias


10 2 6 240000x 3 4 480000

Logo, nossa equação será:

=

=

=

=

=

10 2 6 240000* *

3 4 480000

10 2880000

5760000

2880000 57600000

57600000

2880000

20

x

x

x

x

x

Portanto, nessa situação as máquinas devem trabalhar 20 horas por dia para produzir 480.000 folhas no período de 6 dias.

4 PORCENTAGEM

A porcentagem é utilizada em diversas áreas do conhecimento e em diversos momentos do nosso cotidiano. É comum observar a porcentagem no mercado financeiro, quando obtemos um desconto, calculamos o lucro de uma empresa, ou até mesmo na venda de um produto. Ela também está presente nos empréstimos e aplicações, medindo a taxa de juros. Na engenharia, por sua vez, a porcentagem pode ser utilizada para verificar quanto foi construído de uma obra; na administração ou contabilidade, entre uma infinidade de situações, pode medir as quotas de participação dos sócios de uma empresa; em informática, por exemplo, o quanto de ocupação possui um HD, entre outras possibilidades.

Ao tratar de porcentagem estamos relacionando dados com referência a 100. Quando referimos cinco por cento (5%), significa que estamos relacionando a quantidade cinco com 100, ou seja, a cada 100 unidades estamos tratando de cinco, podendo variar para aumentar ou diminuir.


Quando falamos que o salário aumentará 7% (sete por cento), significa que a cada R$ 100,00 (cem reais) o salário irá aumentar R$ 7,00 (sete reais). Para descobrir a porcentagem, geralmente utilizamos a regra de três.

Exemplo 1:

O piso salarial dos analistas de sistema é de R$ 2.130,00 e em setembro de 2016 ganharão um aumento de 8,65%. Qual é o valor que a categoria ganhará de aumento?

Resposta:

Montamos então nossa regra de três, em que o piso salarial se refere ao nosso 100%.

Salário Porcentagem2.130,00 100%

x 8,65%

100 * x = 2.130,00 * 8,65100x = 18.424,50

x = 18.424,50

100

x = 184,24

Logo, o valor de aumento que essa categoria irá ganhar é de R$ 184,24.

Exemplo 2:

Um cliente, ao atrasar um determinado título no valor de R$ 2.500,00, pagou a quantia de R$ 2.550,00. Qual o percentual de juros cobrado por esse atraso?

Você pode perceber que temos apenas dois valores no exemplo 2, porém estamos tratando de porcentagem, então um dos valores será nosso 100%. O valor que será o 100% é o valor original do título, que nesse caso é R$ 2.500,00.

Título Porcentagem2.500,00 100%2.550,00 x


2.500,00 * x = 2.550,00 * 1002.500,00x = 255.000

x = 255.000

2500

x = 102%

Chegamos ao resultado de 102%, porém esse resultado não quer dizer que o título aumentou 102%, precisamos ainda retirar o valor original do título (nesse caso o 100%), então:

102% - 100% = 2%

Logo, o juro cobrado pelo atraso do título é de 2%.

Lembre-se, é apenas um caminho para resolver esse tipo de problema, você pode utilizar outros conceitos matemáticos para chegar ao mesmo resultado.

5 SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO

1 INTRODUÇÃO

Quando abordamos o assunto finanças, precisamos compreender alguns conceitos de matemática financeira, ela é responsável pela comparação de valores monetários (dinheiro) ao longo de um período (tempo). Através do estudo é possível analisar e comparar investimentos ou financiamentos, bem como a situação financeira da empresa.

O objetivo do estudo desse tópico é responder a perguntas como:

Ø Qual é o valor de um investimento de R$ 50.000,00 daqui a 2 anos?Ø Como comparar valores atuais com valores daqui a um período de tempo,

por exemplo, o salário que ganho no mês de fevereiro tem o mesmo poder de compra que esse mesmo salário terá no mês de novembro do mesmo ano?

Ø É vantagem eu utilizar uma linha de financiamento ou retirar um determinado valor de uma aplicação para suprir uma necessidade?

Estas e outras perguntas serão discutidas e analisadas a seguir.


5.1 CONCEITO E CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS

Quando pedimos emprestada uma certa quantia a uma pessoa, ou a uma instituição financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi emprestada, mais “outra quantia que representa o aluguel pelo empréstimo”.

Essa outra quantia, citada anteriormente, representa o juro; ou seja, representa o bônus que se paga por um capital emprestado.

O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo (ao ano, ao mês, ao dia) representa certa porcentagem do capital ou montante, cuja taxa se chama Taxa de Juros.

Homogeneidade entre taxa e tempo:Sempre o prazo de aplicação (representada pela letra n) deve estar na

mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i).

Considerações importantes:

1º O mês comercial possui 30 dias. O ano comercial possui 360 dias. O ano civil possui 365 dias.

2º Normalmente, a taxa de juros (i) está expressa na forma percentual; assim, para usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes transformar em forma unitária.

Veja abaixo no exemplo a diferença entre forma percentual e forma unitária:

Forma percentual Forma unitária i = 25,8% 25,8 : 100 = 0,258

Após entender a diferença de forma unitária e forma percentual, vamos verificar alguns exemplos de como transformar a homogeneidade entre tempo e taxa.

Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se o ano comercial, é equivalente a quantos % (por cento) ao dia?


Solução: Lembre-se:Antes de iniciar qualquer cálculo deve-se tirar os

dados do problema.

N = 360 dias (ano comercial)i = 18%

= =18

i 0,05360 % ao dia.

Resposta: 0,05% ao dia.

Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano é equivalente a quantos % (por cento) ao mês?

Solução:i =12% ao anon = 12 meses

= =12

i 112 % ao mês.

Resposta: 1% ao mês

Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se mês comercial, é equivalente a quantos % (por cento) ao dia?

Solução:n = 30 dias (mês comercial)i = 3 %

= =3

i 0,130 % ao dia.

Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês é equivalente a quantos % (por cento) ao ano?

Solução:i = 4,5 % ao mêsn = 1 ano (1 ano possui 12 meses)4,5 x 12 = 54% ao anoResposta: A taxa de juros será de 54% ao ano.

Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia é equivalente a quantos % (por cento) ao ano, levando-se em consideração o ano civil?

Solução: i = 0,03% ao dian = 365 dias (ano civil)i = 0,03 x 365 = 10,95% ao ano.Resposta: A taxa será de 10,95% ao ano.


AUTOATIVIDADE

1- Na gráfica XYZ, uma máquina realizou a impressão de 8.520 unidades de um determinado formulário em um certo tempo. Quantas unidades desse mesmo formulário seriam impressas neste mesmo tempo por outra máquina, sabendo que o rendimento da segunda corresponde a 3/4 da primeira?

A) 11.360. B) 8.250. C) 7.490.D) 6.390.E) 6.315.

2- No dia 7 de março, João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas. O relógio de Maria atrasa 16 s por dia e o relógio de João adianta 20 s por dia. Passados alguns dias, João e Maria se encontraram e perceberam uma diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Portanto, em que dia e hora eles se encontraram?

a) Em 12/03 à meia-noite. b) Em 13/03 ao meio-dia.c) Em 14/03 às 14 horas. d) Em 14/03 às 22 horas. e) Em 15/03 às 2 horas.

3- José limpa um determinado salão em 4 horas. Roberta faz o mesmo serviço em 3 horas. Se José e Roberta trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?

a) 2 horas e 14 minutos. b) 2 horas e 3 minutos. c) 2 horas e 57 minutos.d) 1 hora e 43 minutos. e) 1 hora e 36 minutos.

4- Uma empresa agrícola resolve catalogar os tipos de produtos que possui em estoque. Um estagiário verificou que gastava, em média, 25 minutos para catalogar 15 tipos. Nestas condições, se o trabalho for executado ininterruptamente por 1 hora e 20 minutos, a estimativa de produtos catalogados é de:

A) 36. B) 38.C) 42. D) 45. E) 48.


5- Rafaela realiza uma certa tarefa em 12 horas. Sabrina é 50% mais eficiente que Rafaela. Nessas condições, o número de horas necessárias para que Sabrina realize essa tarefa é:

a) 4. b) 6.c) 5. d) 7. e) 8.

6- A empresa UNI sabe que para realizar uma determinada atividade administrat iva leva 21 dias e necessita alocar para esse trabalho 3 funcionários. Se a empresa dispõe apenas de 2 funcionários, esta atividade será realizada em:

A) 7 dias.C) 18 dias e meio.B) 14 dias. D) 23 dias e meio. E) 31 dias e meio.

7- Uma loja lança uma promoção de 15% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$ 140,00, quanto a mercadoria passará a custar?

8- Qual valor de um produto que custou R$ 600,00 e que pretende ter com esta um lucro de 19%?

9- Em uma associação de moradores há 1000 presentes, 65% dos quais são do sexo masculino. Todos os presentes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os resultados, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano. Qual é o percentual de moradores que estão presentes favoráveis ao plano?

10- A taxa de juros de 9% ao ano, considerando-se o ano comercial, é equivalente a quantos % (por cento) ao dia?

11- A taxa de juros de 15,4% ao ano é equivalente a quantos % (por cento) ao mês?

12- A taxa de juros de 12% ao mês, considerando-se mês comercial, é equivalente a quantos % (por cento) ao dia?


13- A taxa de juros de 7% ao mês é equivalente a quantos % (por cento) ao ano?

14- A taxa de juros de 0,07% ao dia é equivalente a quantos % (por cento) ao ano, levando-se em consideração o ano civil?

15- A taxa de juros de 8% ao bimestre é equivalente a quantos % (por cento) durante dois anos?


GABARITO

1- Resposta: D

2- Resposta: E

3- Resposta: D

4- Resposta: E

5- Resposta: E

6- Resposta: E

7- Resposta: R$ 119,00

8- Resposta: R$ 714,00

9- Resposta: 43,5%

10- Solução: n = 360 dias (ano comercial)i = 9%

= =9

i 0,025360 % ao dia.

11- Solução:i =15,4% ao anon = 12 meses

= = …15,4

i 1,2833312

% ao mês.

12- Solução:n = 30 dias (mês comercial)i = 12 %

= =12

i 0,430 % ao dia.

13- Solução:i = 7 % ao mêsn = 1 ano (um ano possui 12 meses)7 x 12 = 84% ao ano.


14- Solução: i = 0,07% ao dian = 365 dias (ano civil)i = 0,07 x 365 = 25,55% ao ano.

15- Solução: i = 8% ao bimestren = em dois anos temos 12 bimestres (24 meses dividido por 2 bimestres)i = 8 x 12 = 96% durante os dois anos.

MATEMÁTICA FINANCEIRA 1

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