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Matemática
Financeira e
Comercial
Carlos Eduardo Epprecht; Roberto
Minello
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Título: Matemática Financeira e Comercial
Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Editora: CopyMarket.com, 2000
Matemática Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
Conteúdo Programático
Capítulo 1 - Razão 1 - Introdução 2 - Razão
2.1 - Razões inversas.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 2 - Proporção 1 - Introdução 2 - Proporção
2.1 - Definição 2.2 - Propriedade fundamental das proporções 2.3 - Outras propriedades das proporções 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporção contínua 2.6 - Terceira Proporcional.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional. 1 - Introdução2 - Grandezas diretamente proporcionais.3 - Grandezas inversamente proporcionais.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introdução 2 - Casos de Regra de Sociedade.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
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Capítulo 5 - Regra de três simples 1 - Introdução 2 - Tipos de grandezas
2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 6 - Regra de três composta 1 - Introdução
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 7 - Médias 1 - Introdução 2 - Tipos de Médias.
2.1 - Média Aritmética 2.2 - Média Geométrica 2.3 - Média ponderada 2.4 - Média harmônica
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 8 - Porcentagem. 1 - Introdução 2 - Elementos de cálculo percentual.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias 1 - Introdução 2 - Vendas com lucro
2.1 - Sobre o preço de custo 2.2 - Sobre o preço de venda
3 - Vendas com prejuízo3.1 - Sobre o preço de custo 3.2 - Sobre o preço de venda.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 10 - Juros Simples. 1 - Introdução 2 - Regime de capitalização
2.1 - Regime de capitalização simples. 3 - Cálculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais
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5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo médio. 7 -Taxa Média
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 11 - Descontos Simples 1 - Introdução 2 - Tipos de descontos
2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional.
3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples
4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalência de capitais.
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 12 - Logaritmos. 1 - Introdução 2 - Definição 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudança de base 5 - Função logarítmica 6 - Logaritmos decimais
6.1 - Característica 6.2 - Mantissa
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 13 - Juros compostos. 1 - Introdução2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal
3.1 - Taxa nominal 3.2 - Cálculo de taxa efetiva
Exercício de fixação
Exercício propostos.
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Capítulo 14 - Desconto Composto 1 - Introdução 2 - Desconto racional composto
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 15 - Capitalização e Amortização 1 - Introdução 2 - Capitalização Composta
2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata
2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada.
3 - Amortização Composta 3.1 - Renda imediata
3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada
3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
Capítulo 16 - Empréstimos. 1 - Introdução 2 - Sistema Francês
2.1 - Montagem de uma planilha de amortização 2.1.1 - Tabela Price
2.2 - Sistema de amortização constante 2.2.1- Cálculo do saldo devedor
2.3 - Sistema de amortização misto
Exercícios de fixação
Exercícios propostos.
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
1. Razão Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos.
Esporte No de alunos Judô 50 Futebol 150 Natação 200 Handebol 50 Basquete 60 Nenhum esporte 90
Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:
a) número de alunos que praticam natação número de alunos da escolaSignificado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.
b) número de alunos que praticam judônúmero de alunos que jogam futebol Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô.
c) número de alunos que praticam esporte número de alunos da escolaSignificado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.
2. Razão
Dados dois números racionais a e b, com b 0, chamamos de razão ao quociente de a para b.
Indicamos razão por b
a ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente.
2.1. Razões inversas
Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.
3
1
600
200
3
1
150
50
20
17
600
510
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Exemplo: 12
1
1
2
2
1e
1
2
Exercícios resolvidos
1) Estabeleça as razões entre os números abaixo:
2 e 10; 0,1 e 0,01; 4
3e
2
1
Solução:
A razão entre 2 e 10 é 5
1
10
2
A razão entre 0,1 e 0,01 é 1001,0
1,0
A razão entre3
2
6
4
3
4
2
1
4
32
1
é4
3e
2
1
2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h.
Solução:
Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo.
hKmVmt
Sm /40
3
120V
Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.
4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.
Escala Medida do desenho Medida real 1:250 10cm 25m 1:400 25cm x 1:600 y 75m
As medidas x e y são respectivamente:
Solução:
Escala = comprimento no desenho
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comprimento real
x
25
400
1
x = 25 400 x = 10.000cm ou x = 100m
75600
1 y
600y = 75
ou125,0600
75myy
cmy 5,12
5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica desse estado?
Solução:
densidade demográfica = número de habitantes área
densidade demográfica 2
76,11289.341
562.012.4
km
hab
Exercícios de fixação
1) Calcule a razão entre os números:
a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c) 3
1e
2
1
2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1.
3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2.
4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 5
3 , a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça
parte do segundo é igual a:
a)9
1 b)
3
1 c) 1 d) 9 e) n.r.a.
5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.
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6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 hab/km2. Qual é a sua superfície? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a.
7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala 000.20
1 . O comprimento real
dessa estrada é: a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam
8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância?
9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a:
10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000
O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar é igual a:
a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m
Exercícios propostos
1) Determine a razão entre os números.
a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d) 3
5e
3
1
2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a.
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3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número de reprovados e o número de candidatos é de:
4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou:
a) dividida por 2 d) multiplicada por 10 b) multiplicada por 5 e) n.r.a. c) dividida por 10
5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203 hab/km2, então o número de habitantes deverá ser:
a) superior a 1,5 106 d) exatamente a 1,3 106
b) inferior a 1,1 106 e) aproximadamente 1,2 106
c) superior a 1,3 106
6) (TTN) Num mapa, cuja escala é 000.000.3
1 , a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a
distância real.
7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade média?
8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado:
a)25
1 b)
24
1 c)
16
1 d)
12
1 e) n.r.a.
9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta?
a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a.
400 500 50 40
10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração:
a)5
1 b)
3
1 c)
4
3 d)
3
2 e) n.r.a.
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a) 3
1
6
2
b) 602
10100
.10
612
100
210
12
0,02
1,2
c)2
1
2
3
3
1
3
23
1
9
69
3
0,666...
0,333...
d)5
1
5
3
3
1
3
53
1
2) b
3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será:
6000 – 1200 = 4800, logo a razão será:
5
4k
6000
4800k
4) 1025
2
5.
b
ak
b
ak
b
ak
b
ak a alternativa correta é a d
5)
eaécorretaaalternativa
1.177.400habitantesde2035800habitantesde
5800
habitantesdenúmero203
área
habitantesdenúmeroademográficdensidade
oo nn
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6)
km010.2xou
cm000.000.201x
000.000.367xx
67
000.000.3
1
realocompriment
desenhonoocomprimentescala
7)h
km20,97mV
15
2729mV
2
15
729mV
t
smV
8) caminhão A: 3% de álcool e 97% de gasolina
caminhão B: 5% de álcool e 95% de gasolina
8% de álcool e 192% de gasolina
24
1k
%192
%8k
b
ak
a alternativa correta é a b
9) 1000 m2 = 100.000 dm2
500
1k
000.100
200k
000.100
504k
a alternativa correta é a b
10)
aaécorretaaalternativ
5
1
5
1
4
44
1
a
ka
ak
aa
ak
ba
ak
abba
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
2. Proporção Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida.
Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao aluno suas aplicações práticas.
2. Proporção
2.1. Definição
Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões.
Podemos representar as proporções das seguintes maneiras:
com (a, b, c, d racionais, não nulos).
Lê-se: “a está para b assim como c está para d ”
2.2. Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa.
d
c
b
a)0;;;( dcbadacb
Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e dsão os extremos.
Exemplo:6
4
3
2 3 4 = 2 6
produto produto dos meios dos extremos
ou a : b = c : d ou a : b :: c : dd
c
b
a
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Exercícios resolvidos
1) Calcular o valor de x na proporção:10
12
5
x
Solução: 610
6012510 xxx
Resposta: 6x
2) Determinar o valor de y na igualdade: 6
5
2
3 y
Solução 142
28y822y10182y1810-2y635)-2(y: y
Resposta: 14y
3) Obter o valor de x na proporção:x
2
3
1
2
1
3
Solução:
9
5
18
10
3
1
6
10
1
36
10
6
103
6
523
2
6
5
32
6
23
3xxxxxx
xx
Exercícios de fixação
1) (ETAM-81) A proporção d
c
b
a pode também ser escrita:
a)d
b
c
a b)
c
d
b
a c)
d
c
a
b d)
b
a
c
d e) n.r.a.
2) Calcule o valor de x na proporção:
a)3
1
2
x b)
x
1
2
5,0 c)
x
4
3
12
1
d)
4
12
3
1
2
1
x
3) O valor de x na proporção
2
54
13
3
12
x é ?
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Exercícios propostos
1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira:
a)c
dc
a
ba
d
c
b
a
b) bdacd
c
b
a
c) dbcad
c
b
a
d)cd
dc
db
ca
d
c
b
a
2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo:
a)25,25
1 x
b)x
4
2
1
2
11
c)
3
12
3
2
12
x
3) Determinar valor de M na proporção:
12 (0,25)1/2
M 0,666...
=
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2.3. Outras propriedades das proporções:
P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente.
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
aou 0;;; dcba
d
c
db
ca
b
a
db
ca
d
c
b
aou 0;;; dcba
P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo.
0;;;ou dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
0;;;ou dcba
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a
P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente.
0;;;ou
2
2
2
2
dcba
d
c
bd
ac
b
a
bd
ac
d
c
b
a
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Proporções múltiplas:
Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla. Consideremos a série de razões iguais:
,h
g
f
e
d
c
b
aentão temos que:
hfdb
geca
h
g
f
e
d
c
b
a
Exemplo:
9
6
6
4
3
2 é uma proporção múltipla pois:
9
6
6
4
3
2
963
642
ou
ou
De fato
9
6
18
12
6
4
18
12
3
2
18
12
e18
12
963
642
ou
ou
Generalizando, dada a série de razões iguais:
f
e
d
c
b
a e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:
1)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
2)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
3)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
4)f
e
d
c
b
a
fdb
eca
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Exercícios resolvidos
1) Calcule x e y na proporção 32
yx , sabendo que x + y = 15.
Solução:
Aplicando a propriedade P1, temos:
945535
15
332
630525
15
232
32yy
yyyx
xxxxyx
yx
Resposta: x = 6 e y = 9
2) Calcule o valor de x e de y na proporção 27
yx , onde x - y = 40.
Solução:Pela propriedade P1, temos que:
1680525
40
227
56280575
40
727
27yy
yyyx
xxxxyx
yx
Resposta: x = 56 e y = 16.
3) Determine os valores de p e q na proporção 3
8
q
p , onde p + q = 132.
Solução:Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.
36396113
11132
3
38
961056118
11132
8
38
3
8
qqqq
qp
pppp
qp
q
p
Resposta: p = 96 e q = 36.
4) Obter os valores de a e b na proporção 4
5
b
a , sabendo que a - b = 12.
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Solução:
Aplicando a propriedade P2, temos:
484
112
4
45
605
112
5
45
4
5
bbb
ba
aaa
ba
b
a
Resposta: a = 60 e b = 48.
5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de ferro.Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários?
Solução:Aplicando a propriedade P1, temos:
30
32
yx
e
yx
1890535
30
332
1260525
30
232
yyyyyx
xxxxyx
Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro.
6) Calcule os valores desconhecidos.
8
125
cba
cba
Solução:Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos:
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8
125
cba
e
cba
28414
8
1125
416424
8
2125
1040454
8
5125
cccccba
bbbbcba
aaaacba
Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2.
7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo:
42
yx e xy = 96
Solução:Aplicando a propriedade P3, teremos:
96
42
xy
e
yx
381612
16128
169616968
168
96
442
34
48488
9649648
48
96
242
2222
2
2
2222
2
2
yy
yyyyyyx
x
xxxxxxyx
Resposta: 3834 yx e
Exercícios de fixação
4) Encontre o valor de a e b, onde 2e26
baba
5) Calcular x e y na proporção 23
yx , sabendo-se que x + y = 30.
6) Calcule o valor de x e y na proporção 3
2
y
x, sabendo-se que x + y = 15.
7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3.
8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos, calcule a idade do filho.
9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
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10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 432
zyx , o valor de x é:
11) Calcule o valor de x, y e z onde: 125
zyx e x - y - z = 6.
12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os
termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a 3
2 . Calcule o numerador da fração.
13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão 8
5. Se a área do terreno é de 1000m2, então
sua maior dimensão, em metros, mede:
14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos conseguido?
Exercícios propostos
4) (TCF) Sendo 52
ba , então :
a)72
baa b)
25
bab c)
52
baa d)
105
bab e)
n.r.a
5) Calcular x e y na proporção 23
yx , sabendo que x - y = 5.
6) Calcular x e y na proporção 3
2
y
x , sabendo que x + y = 10.
7) Se 189e37
xyyx
, então x - y vale:
8) Qual a fração equivalente a 2
3 cuja diferença entre seus termos é 10?
9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de litros de álcool na mistura é:
10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é:
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11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ângulo.
12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:
13) Determinar os valores de a, b e c, onde 257
cbae a + b - c = 60.
14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que
a parte da primeira corresponda aos 5
2 da parte da segunda e aos
4
3 da parte da terceira. Quanto
tocará a cada uma das três pessoas?
2.4. Quarta proporcional
Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses
números um número x, tal que: x
c
b
a
Exemplo:Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8.
Solução:
Temos: 204028
5
2xx
x
2.5. Proporção contínua
É toda proporção cujos meios são iguais.
Exemplo:9
3
3
1
2.6. Terceira proporcional
É uma proporção contínua.
Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números um número x tal que:
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Exemplo:x
b
b
a
Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4.
Solução:
82
16162
4
4
2xxx
x
Exercícios resolvidos
1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9.
Resolução:
x
9
5
6 6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5
2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12:
Solução:
x
12
12
2 2x = 12 12 2x = 144 x = 72
Exercícios de fixação
15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75e8;12
a) 20 b)2
5 c)
2
35 d) 320 e) 340
16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é:
a)3
49 b)
2
49 c) 25,5 d) 26 e) n.r.a.
17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é:
a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a.
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Exercícios propostos
15) Calcule a quarta proporcional entre os números:
a) 1; 2 e 5 b) 4
1e
3
1;
2
1 c)
2
1e2;1,0
16) Calcule a terceira proporcional entre os números:
a) 2 e 3 b) 2
1e2 c)
5
1e
2
1
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
CAPÍTULO 2 – Proporções
1) a
2) a) 45,0x5
25,2x25,2x5
25,2
x
5
1
b)3
4x
3
22x
2
3
2x2x
2
3
2
14x
2
3
x
4
2
12
3
x
4
2
1:
2
11
c)
7,2x10
27x
5
3
2
9x
3
52
9
x2
9x
3
5
2
33x
3
5
3
5
3
2
3
x
3
12
3
2
12
x
3)
16M28M
2
1
8M8M
2
1
9
7225,0M
9
61225,0M
9
6
25,0
M
12
666,0
2/125,0
M
12
4) a
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5)
10y2
y
1
5
2
y
23
yx
15x3
x
1
5
3
x
23
yx
6)
6y5
30y30y5310y5
3
5
y
10
3
32
y
yx
4x5
20x20x5210x5
2
5
x
10
2
32
x
yx
7)
129-21y- xde valor O
9y812y812y
21
18992y18992y219
2y
21
189
23
2y
37
yx
21x4412x4412x
21
189492x189492x2149
2x
21
189
27
2x
37
yx
189y xe3
y
7
x
8)
20
30éeequivalentfraçãoA:R
02b2
1
b
10
2
23
b
ba
30a3
1
a
10
3
23
a
ba
10b-ae2
3
b
a
9)
litros.560deéálcooldelitrosdenúmeroO:R
20019
800.3800.319576019
5
19
y
760
5
514
y
yx
56019
640.10640.10191476019
14
19
x
760
14
514
x
yx
5
14
y
x760y xyáguaxálcool
yyyy
xxxx
10) 23x185x5x65x518x61x53x66
5
1x
3x
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11)
452
909021802703
327018090318013
1
180
90
180lementosup
90ocomplement
ânguloum
12)
24énúmeromaiorO:R
98
7224
8
3
8
3
247
1681687
4
168
4
34
1
42
4
3
1
428
64242
8
32422
8
3
8
3
aaaba
bbbbb
bb
bbbbbab
bab
a
13)
1210
1201201026010
210
60
2257
3010
3003001056010
510
60
5257
4210
4204201076010
710
60
7257
cccccccba
bbbbbbcba
aaaaaacba
14)
000.28000.213
4
3
4
500.52000.212
5
2
5
000.2129
000.609000.60929
6
500.1016
6
8156500.101
3
4
2
5
3
4
4
3
2
5
5
2
500.101
zzxz
yyxy
xxx
xxxxxx
xzzx
xyyx
zyx
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15) a) 10xx
5
2
1
b)6
1x
1
2
12
1x
2
112
1
x12
1x
2
1
4
1
3
1x
2
1
x
4
1
3
12
1
c) 10
10
1
11
10
1
2
12102
1
2
10xxxx,
x
,
16) a) 2
9x9x2
x
3
3
2
b)8
1x
2
1
4
1x
2
4
1
x4
1x2
2
1
2
1x2
x
2
1
2
1
2
c)25
2x
1
2
25
1x
2
125
1
x25
1x
2
1
5
1
5
1x
2
1
x
5
1
5
12
1
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser
reproduzida sem a autorização da Editora.
Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade; pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas situações mencionadas acima chamamos de grandeza.
Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do espaço a ser percorrido.
As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
2. Grandezas diretamente proporcionais
2.1. Definição
Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2;b3;...; bn), então:
n
n
3
3
2
2
1
1
b
a....
b
a
b
a
b
aK
K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade;
Exemplo:
Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)
2
1
6
3K
2
1
8
4K
2
1
10
5K
2
1
12
6K
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 2
1.
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3. Grandezas inversamente proporcionais
3.1. Definição
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:
K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn
Exemplo:
1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):
K = 1 20 = 20
K = 2 10 = 20
K = 4 5 = 20
K = 5 4 = 20
Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.
Exercícios resolvidos
1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais.
a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)
Solução:Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante.
3
1
15
5
12
4
6
2K
Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 3
1.
b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2)
Solução:
K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20
Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20.
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2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
32
60
yx
yx
36180535
60
332
24120525
60
232
yyyyyx
xxxxyx
3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
Solução:
3
1
2
1
20
yx
yx
83
243243
5
620
3
1
6
23
20
3
1
3
1
2
1
1222425
620
2
1
6
5
20
2
1
6
23
20
2
1
3
1
2
1
yyyyyyyx
xxxxxxyx
4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4.
Solução:
4814
1256125614
1214
56
12122
814
11225614
214
56
2122
56
122
1243
212
yyyy
yyx
xxxx
xyx
yx
yx
x
x
5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4.
Solução :
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2
1
4
12
3
1
3
11
y
x
2
1
3
1
60
yx
yx
Exercícios de fixação
1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após sua fabricação:
Tempo após a fabricação (anos)
0 1 2 3 4
Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500
De acordo com a tabela, é verdade que: a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor; b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a
sua fabricação. e) n.r.a.;
2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2
3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela:
Vm (m/s) 10 20 25 40
t (s) 20 10 8 5
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual é a constante de proporcionalidade? c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.
362
722722
5
3602
5
660
2
1
6
32
60
2
1
2
1
3
1
243
723723
5
660
3
1
6
5
60
3
1
2
1
3
1
yyyyyyyyx
xxxxxxyx
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4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m
5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126
6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números 4
5 e 4
3 .
8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta-se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios.
9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa?
10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.
11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo
tempo diretamente proporcionais a 3
2e7
4 e inversamente a
9
4 e 21
2. Quantas balinhas cada
criança receberá?
12) Dados os gráficos cartesianos:
I) II) III)
Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são:
a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a. b) II; III; I d) III; II; I
y
x x
y
x
y
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Exercícios propostos
1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se
verifiquem a igualdade 20
5
8
9 x
y, os valores de x e y devem ser respectivamente:
a) 2 e 36 b) 5
1
4
1e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a.
2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e
a + m b = 10, então m é igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0
3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo:
s (m) 40 60 80 100
t (s) 2 3 4 5
Responda as perguntas abaixo:
a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.
4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 6
1
3
1,2
1e , obtém-se
respectivamente:a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a. b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110
5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um.
6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.
7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.
8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira.
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9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5?
10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
aécorretaaalternativA
2X20
40x40x2058x20
20
5
8
x
36y49y4
1
y
9
20
5
y
9
20
5
8
x
y
9
2)
daécorretaaalternativA
2
5
12
30301250122010
5
12410
5
12512
43
12123
5623
mmmmmmba
bb
aaa
ba
3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais
b)h
km
t
smvk 20
5
100
4
80
3
60
2
40
c)
60
40
2 3
s(m)
t(s)
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4)
daécorretaaalternativA
zzzzzzyx
yyyyzyx
xxxxxzyx
zyx
zyx
1106
6606
6
6660
6
1
6
123
660
6
1
6
1
3
1
2
1
2203
6603
6
6
660
3
1
6
1
3
1
2
1
3302
6602
6
66602
6
123
660
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
1
660
5)
000.222z
130
000.78037z000.78037z13037
130
000.780
37
z
374350
zyx
000.258x
130
000.78043y000.78043y130
43
y
130
000.780
43
y
374350
zyx
000.300x
130
000.78050x000.78050x130
50
x
130
000.780
50
x
374350
zyx
37
z
43
y
50
x
000.780zyx
6)
163
484833683
5
6403
6
23
40
3
1
3
1
2
1
242
484822682
5
6402
6
23
40
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
40
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yx
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7)
2013
102626
10
13
10
13
23
1346
10
13
13
1013
46
13
10
13
10
1
1
2623
1346
1
13
1013
46
1
13
10
1
1
13
10
1
1
31
1
1
1
46
bbbbbbba
aaaaba
ba
,
ba
ba
8)
bolas63bolas;52bolas;46bolas;31:menterespectivarecebervemcrianças As:R
ddcd
ccbc
bbab
aaa
aaaaa
adadcd
acacbc
ab
dcba
63115211
526466
46153115
314
1241244681924
192684192322115
32112111
216156
15
192
00012000605
5
1
00020000603
3
1
00030000602
2
1
00030000602
2
1
0006076
30000152
30
610151530
000152
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
5
1
3
1
2
1
2
1
1
1
000152
.e.eae
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a.aedcba
edcba
.edcba
9)
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10)
245
260
2
560
2
5
11
1544
2
5
15
65
44
5
2
5
2
3
1
203
603603
11
15443
15
65
44
3
1
5
2
3
1
5
2
3
1
5
2
5
12
3
1
3
11
44
bbbbbbba
aaaaaaba
ba
b
a
ba
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuízos.
Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em partes diretamente proporcionais.
2. Casos de Regra de Sociedade
1o ) Capitais iguais e tempos diferentes
Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanência dos sócios.
Exemplo:
1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00?
Solução:
a + b + c = 260.000
6
c
8
b
12
a
Aplicando a propriedade das proporções teremos:
6
c
8
b
12
a
6812
cba
6
c
8
b
12
a
26
000.260
120.000a26
260.00012a260.0001226a
12
a
26
260.000
80.000b26
260.0008b260.0001226b
8
b
26
260.000
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.0006c26
260.0006c260.000626c
6
c
26
260.0000
R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.
2o) Tempos iguais e capitais diferentes
O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios:
Exemplo:
1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio?
Solução:
a + b + c + d = 840
25
d
75
c
60
b
50
a
Aplicando a propriedade das proporções teremos:
100d210
21.000d21.000210d84025210d
25
d
210
840
300c210
63.000c84075210c
75
c
210
840
240b210
50.400b50.400210b84060210b
60
b
210
840
200a210
42.000a42.000210a84050210a
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
210
840
25
d
75
c
60
b
50
a
25756050
dcba
3o) Tempos diferentes e capitais diferentes
Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio.
Exemplo:
1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada sócio?
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Solução:
a + b + c = 22.200
121.000
c
18800
b
151.200
a
Aplicando a propriedade das proporções teremos:
6.000c2
12.000c12.0002c
12.000
c
2
1
12.000
c
44.400
22.200
7.200b2
14.400b14.4002b
14.400
b
2
1
14.400
b
44.400
22.200
9.000a2
18.000a18.0002a
18.000
a
2
1
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
44.400
22.200
12.000
c
14.400
b
18.000
a
12.00014.40018.000
cba
Exercícios de fixação
1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00.
2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada sócio?
3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio.
4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio “B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um?
5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.
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6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A
entrou2
1 do capital, B entrou com
3
1 do capital e C com o restante.
Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B.
Exercícios propostos
1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada sócio?
2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio.
3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses.
4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do sócio A.
5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu?
6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio.
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
200.1b
900
000.080.1b000.080.1b900800.1600b900
600
b
900
800.1
600a900
000.540a000.540a900800.1300a900
300
a
900
800.1
600
b
300
a
600300
ba
600
b
300
a
800.1ba
2)
1955324700
60002000600020004700
20004700
6000
8991414700
60001500600015004700
12004700
6000
9153114700
60001200600012004700
12004700
6000
000250012001200015001200
000250012001
0006
,.accc
,.abbb
,.aaaa
.
c
.
b
.
acba
.
c
.
b
.
a
.cba
3)
50048
36000600068
60008000
6000
50018
12000200068
20008000
6000
200060002000
600020004150021000
6000
.aabb
.aaaaaba
baba
ba
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4)
00016315
0001802800018028315
000180315
28
000180000315
00028
00012315
0001352800013528315
000135315
28
000135000315
00028
000135000180000135
0001800001351200015150009
00028
.a.
a.b
.
b
.
b
.
.
.a.
a.a
.
a
.
a
.
.
.
a
..
ba
.
b
.
a
.
b
.
a
.ba
5)
200,00R$recebeupessoasegunda A :R
bbab
aaaaaa
ac
ab
cba
20010022
1009
900900990062
6
2
900
6)
506621161504371941003111
10031150437194110031121
5043719428
5100311
2
2
2
25
8
100311
2
2
225
3
100311
2
2
21
21
2
2
1
1
10031121
25
3
15
2
3
1
5
3
2
1
,.p,..p
.,.p.pp
,.p.
p
c
p
c
.
c
p
cc
.
c
p
cc
pp
c
p
c
p
.pp
cccc
c
c
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
5. Regra de Três Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado.
2. Tipos de grandezas.
2.1. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão.
Exemplo:
1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel gastaria para percorrer 200Km?
Distância litros de gasolina 120 10 200 x
gasolinadelitros66,16x120
2000x2000x12010200x120
x
10
200
120
2.2. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa.
Exemplo:
1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h?
velocidade média tempo velocidade média tempo 60 3 60 x 90 X 90 3
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h2x90
180x180x90360x90
3
x
90
60
Exercícios resolvidos
1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários?
Solução:Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática:
no de operários metros de tecido 4 200 6 x
Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros.
Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será:
m300x4
1200x1200x46200x4
x
200
6
4
Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido.
2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo trabalho?
no de operários dias 6 12 4 x
É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra. Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão
6
4 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção:
no de operários dias 4 12 6 x
dias18x4
72x72x4612x4
x
12
6
4
Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias
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Exercícios de fixação
1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.
2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?
3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 10?
4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura é? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460
5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página, o número de páginas do livro seria:a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128
6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levará em média: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min.
7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustível será de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400
8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório.
9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias?
10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais rhomens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado?
a)y
rd dias b)
ry
rd dias c)
ry
dy dias d)
yr
d dias e)
yd
dy dias.
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Exercícios propostos
1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h?
2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições, executam em 10 dias?
3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?
4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor?
5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2?
a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a
6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?
7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de “hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350
8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados 3
2 de uma determinada estrada . Para se
asfaltarem5
3 dessa mesma estrada, são necessários:
a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias
9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua
velocidade fosse igual a 5
2 da anterior, faria o mesmo percurso em?
10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento?
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) n º de toques h
42 2
x 6
1262
25225226422
6
242xxxx
x
2) horas dias
4 10
2 x
4 x
2 10
202
40402
102
4xxx
x
3) Vm h
80 2
100 x
80 x
100 2
36minhxh,xxx
16116102100
80
4) Raio voltas
75 900
x 1500
x 900
75 1500
45xxxx
15
75975915
1500
900
75
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5) área hora
5100 3
11900 x
hxxxxx.
.7
51
35735751119351
3
90011
1005
6) coeficiente dias
de dificuldade
0,1 10
0,15 x
diasx,
,x,x,
x,
,15
10
150101501010
10
150
10
7) alunos dias
1800 15
x 20
x 15
1800 20
d4501350-1800
50xxxx
1320
18001518001520
20
15
1800
8) dias asfalto
25 3
2
x 5
3
d12he22dias xoudias5,22x45x215x3
2
5
325x
3
2
5
33
2
x
25
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9) h/km,VmVmVmt
sVm 5768
35
2400
60
35
40
Vm tempo
68,5712
7
27,42 x
68,57 x
27,42 12
7
36seg27minhxh,x.
.x
.x.xxx
,
,
146190432
77747
99947904327685727421212
768572742
12
74227
5768
10) n º de soldados tempo
10 3
30 x
10 x
30 3
mêsxxx
13030330
10
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
6. Regra de Três Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Consideremos o problema abaixo
1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias?
Solução: Temos a seguinte disposição prática
(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 3 dias x 100 objetos 4 dias
Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.
a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo
Se 2h um operário faz 50 objetos x 100 objetos
Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários mais horas. Regra de três direta flechas com o mesmo sentido
b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo
Se 2h um operário faz em 3 dias x 4 dias
Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar. Regra de três inversa flechas com sentido contrários.
Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção:
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(1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 4 dias x 100 objetos 3 dias
3x2
6x6x2
32
x
2
3
24
2
1
x
2
34
100
50
x
2
2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30 operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ?
metros de profundidade no de operários dias 160 40 21 200 30 x
Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrários.
Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.
160 30 21
200 40 x
dias35x3
105x105x3215x3
x21
5
3
x
21
4
3
5
4
x
21
40
30
200
160
Exercícios de fixação
1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias?
2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m?
3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?
4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em?
5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?
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6) Os 5
2 de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em
quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os restantes trabalham 6h por dia?
7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?
8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?
9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias?
10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. Quantos metros 20 operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?
Exercícios propostos
1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão?
2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe?
3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia?
4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo?
5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia?
6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo correspondente a:
a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min.
7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em?
a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias
8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia?
a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias
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9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m?
10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) homens dias toneladas
15 30 3,6
20 x 5,6
10 x 3,6
30 3 5,6
diasxxxx,
,
x35
72
8430843072
84
7230
65
63
15
2030
2) operários m3 hora
20 640 8
x 500 5
20 640 5
x 500 8
252003
000800008032004000203200
4000
320020
8
5
500
64020x
.
.x.xx
xx
R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários.
3) máquinas horas parafusos
3 8 4800
7 11 x
4001524
48007748007724
4800
77
244800
11
8
7
3.xxx
xx
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4) litros de óleo rpm horas
20 1500 5
x 1800 3
litros,x.
.x.xx
xx414
5007
00010800010875005400207500
5400
750020
3
5
1800
150020
5) n º de dias hora
operários
20 45 6
x 15 8
x 45 6
20 15 8
45120
5400540012027020120
120
270
208
6
15
45
20xxxx
xx
R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários.
6) hora relatório dias
8 75 9
x 65 6
8 75 6
x 65 9
24min10h xou
h,xx.xxxx
410450
468068044505858450
585
4508
9
6
65
758
O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia.
A alternativa correta é a e
7) máquina dias hora
8 5 5
5 x 8
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8 x 5
5 5 8
caécorretaaalternativa5x8
5
5
8
5
x
8) distância dias horas
4320 5 8
2916 x 9
4320 5 9
2916 x 8
baécorretaaalternativa
diasx.
.x.x..x.
.
.
xx3
88038
6401166401168803832823588038
32823
880385
8
9
2916
43205
9) operários horas dias metros
20 8 18 300
16 9 x 225
16 9 18 300
20 8 x 225
diasx.
.xx.
.
.
xx15
00036
0003618360001820043
00036
2004318
225
300
8
9
20
1618
10) pedreiros m2 dias hora
12 27 30 8
16 36 24 x
16 27 24 8
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12 36 30 x
hx.
.x.x.
.
.
xx10
36810
96012896012836810
96012
368108
30
24
36
27
12
168
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
7. Médias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como uma das medidas de tendência central.
2. Tipos de Médias
2.1. Média Aritmética
A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número de parcelas.
Exemplo:
Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é:
43
642am
2.1. Média Geométrica
A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto desses números.
Exemplo:
Calcular a média geométrica dos números 4 e 25.
10100254gm
2.3. Média Ponderada
A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.
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Exemplo:
Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2.
2,45
21
5
1083
221
x252 x 41 x 3pm
2.4. Média Harmônica
A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses números.
Exemplo:
Calcular a média harmônica dos números 2 e 4.
38
8
3
1
2
1
4
3
1
1
24
3
1
1
24
12
1
2
4
1
2
1
1hm
Exercícios resolvidos
1) Calcular a média aritmética dos números abaixo:
a) 1; 2 e 3 b) 3
1;2
1 c) 0,1 e 2
Solução:
23
6
3
321) ama
12
5
2
1
65
1
26
5
1
26
23
2
3
1
2
1
) amb
20
21
2
1
10
21
1
210
21
1
210
21
2
1
2
10
1
2
21,0) amc
2) Calcular a média ponderada dos números abaixo:
2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2
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Solução:
a)3
8
3
62
21
2312pm
b)4
13
4
832
211
241312pm
3) Calculando a média geométrica dos números abaixo:
a) 0,01 e 4
b) 254
1e
c) 1; 2 e 4
Solução:
2,010
2
100
404,0401,0) gma
5,22
5
4
2525
4
1) gmb
228421) 3 333gmc
4) Calcular a média harmônica dos números:
a) 2 e 3
b) 4; 5 e 6
Solução:
4,25
12
12
5
1
2
1
6
5
1
1
26
5
1
1
26
23
1
2
3
1
2
1
1) hma
4,8637
180
180
37
1
3
1
60
37
1
1
360
37
1
1
360
101215
1
3
6
1
5
1
4
1
1) hmb
5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto, qual será a nova média aritmética?
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Solução
Exercícios de fixação
1) Calcular a média aritmética dos números:
a) 4; 6 e 8
b)
c)
2) Calcule a média ponderada dos seguintes números:
a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2.
b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4.
c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3
3) Calcule a média geométrica dos números:
a) 4 e 100
b) 0,45 e 0,05
c)
4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6.
5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é:
103,4 121,63 41,2 8,75 9,285
a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853
6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos são 1; 2 e 7.
8
208
...21
aaa
160... 821 aaa
28,227
156
7
4160
2;1,0;2
1
9
4;5
2;8
3
28
9
7
4e
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ab
b
a
2
ba
ba
ab2
7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é?
a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra.
8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos afirmar que:
a) a e b são primos entre si.
b) os dois números a e b são iguais.
c) a e b são números compostos.
d) a e b são números diferentes.
e) n.r.a..
9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte:
número de empregados salário
12 R$ 600,00
5 R$ 700,00
3 R$ 1.000,00
Qual o salário médio dos empregados dessa empresa?
Exercícios propostos
1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se:
I - média harmônica dos números a e b; a)
II - Média ponderada dos números a e b; b)
III - Média geométrica entre os números a e b; c)
lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d)
V - Média aritmética simples entre a e b; e) ba.
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a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) e) n.r.a.
2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem, respectivamente 10 e pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a:
a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a.
3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12.
4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova média?
5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual é a média desse candidato?
6) A média harmônica entre os números a; b e c;
7) Calcule a média aritmética;
a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12
c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90
8) Calcule a média geométrica.
a) 8; 15; 10; 12
b) 3; 4; 5; 6; 7; 8
9) Encontre a média harmônica.
a) 5; 7; 12; 15
10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a:
ba
abca2)
ba
abcb)
c
bac2
)
abacbc
abcd
3)
arne ..)
5
32
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a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) c
2)
864
645
32
10
5
32
20
22
20102
gm
abab
ab
ba
abhm
baba
3)
amgmhm
ba
abhm
,gm
am
818
144
18
12622
4682672126
92
126
4)
9
43010440
4401121
4011
1121
aaa
aaa
5) 0710
70
10
401812
523
582934,pm
6)
daécorretaaalternativa
abacbc
abc3
abc3
abacbc
1
1
3abc
abacbc
1
3
c
1
b
1
a
1
1hm
7) a) 1646
656143,am
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b) 95
1210887am
c) 9625
754132750423,
,,,,am
d) 42797
90838280767570,am
8) a) 95,104 400.144 1210158gm
b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm
9) 118207
6801
6801
207
1
4
1
420
207
1
1
4
420
207
1
4
420
28356084
1
4
15
1
12
1
7
1
5
1
1,
.
.
hm
10) a alternativa correta é a e
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:
a cesta básica teve um reajuste de 2,1%; os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%. 10% da população brasileira são fumantes.
Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de porcentagem.
2. Elementos do cálculo percentual
Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas.
Exemplo:
1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala?
Principal (c) = 35
taxa (i) = 20%
porcentagem (P)
Exercícios resolvidos:
1) Calcular
a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c)3
1% de 30
7100
700
100
2035
100
P
P
icP
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Solução:
a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 4,2100
240120
100
2x
Resposta: 2% de 120 é 2,4.
b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 25,2150100
5,1x
Resposta: 1,5% de 150 é 2,25.
c) 30%3
1de
Principal = 30
taxa3
1%
Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 1,0100
1030
100
31
x
Resposta:3
1 % de 30 é 0,1.
2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o número total de candidatos inscritos?
Solução:
Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de comparecimento.
X 100 1.500 80
875.180
00.15000.15080
80
100
500.1xx
x
Resposta: O número de candidatos é 1.875.
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3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?
Solução:
taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal
Porcentagem = 138000,500.1100
92x
Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00.
4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido?
Solução:
No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:
i = 1 - (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) ... (1 - in
)
i = 1 - (1 - 0,02) (1 - 0,03) i = 1 - (0,98) (0,97) i = 1 - 0,9506 i = 0,0494 i = 4,94%
5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois acréscimos?
Solução:
No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:
i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ..., (1 + in
) - 1
i = (1 + 0,1) (1 + 0,1) - 1 i = (1,1) (1,1) - 1 i = 1,21 - 1 i = 0,21 i = 21%
6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos habitantes terá no final de dois anos?
Solução:
1º. ano: 60.000 . .600.60600000.60600100
1hab
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2º. ano: hab206.61606600.60606100
1600.60
Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab.
Exercícios de fixação
1) Quanto vale
a) 1% de 200 ? b) 2,3% de 25? c) 0,1% de 1,04? d) 2% de 400?
2) O número 1,35 corresponde a 15% de:
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
2%)10()3
a)100% b) 20% c) 5% d) 1% e) n.r.a
4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento mensal no seu salário de:
a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00 b) R$ 200,00 d) R$ 150,00
5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de 5% é:
a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00 b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00
6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, aproximadamente,
a) 15,7% c) 47% e) 54,6% b) 45,2% d) 47,8%
7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d., o valor do imposto foi de:
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8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será de:
9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?
10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de:
a) 45% c) 96% e) n.r.a. b) 20% d) 82%
11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:
a) 1,04 A c) 1,02 A e) A b) 0,98 A d) 0,96 A
12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores era:
a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105
13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o número de alunos aprovados sem recuperação.
Exercícios propostos
1) O número 5,94 representa 18% de:
a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32
2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 =
a) 25% b) 4
1% c) 10% d) 0,1% e) 0,001%
3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo é de:
a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a.
4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é de:
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a) 46% b) 54% c) 30% d) 40% e) 60%
5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a:
a)7,5% c) 0,75% e) nra b)15% d) 25%
6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente, determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:
7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de:
a) R$ 26,00 c) R$ 31,00 e) n.r.a. b) R$ 28,00 d) R$ 34,00
8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro.
9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era:
a) R$ 170,00 c) R$ 160,00 e) n.r.a. b) R$ 144,00 d) R$ 150,00
10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa. Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram não. Diante disso, conclui-se que votaram sim:
a) 11.250 eleitores b) 45% dos eleitores c) 51% dos eleitores d) 55% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores
11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale:
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) x 100
5,94 18
18
5945941894,5.10018
18
100
94,5xxx
x
33x
a alternativa correta é a d
2) 0025,0400
12
20
12
100
52%5
a alternativa correta é a b
3) 12,50 100
1,00 x
%850,12
10050,12
100
00,1
50,12xxx
x
a alternativa correta é a d
4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A B)
n (AUB) = 22 + 30 - 12
n (AUB) = 40%
R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%.
a alternativa correta é a e
5)
a alternativa correta é a c
6) i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) - 1
i = (1 + 0,05) (1 + 0,04) (1 + 0,1) - 1
i = (1,05) (1,04) (1,1) - 1
%75,0%4
3
400
14
400
1
100
1
20
1
10
1
100
5
100
10%5%10
2222
22
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i = 0,2012
i = 20,12%
7) 1,5 x 140 = 210
210 x 0,8 = 168
R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial.
a alternativa correta é a b
8) V = C + L
21.516,30 = C + 3.126,30
C = 21.516,30 - 3.126,30
C = 18.390,00
%1717,0390.18
30,124.3ou
C
L
9) x 100
180 1,2
1502,1
1801802,1
2,1
1
180xx
x
a alternativa correta é a d
10) eleitores faltosos 22.500 x 0,1 = 2.250
votos brancos ou nulos 22.500 x 0,15 = 3.375
votaram não 125.10
500.4
22.500 - 10.125 = 12.375
500.22
375.12 0,55 ou 55%
a alternativa correta é a d
11) K (1,1) (1,1) = 363
30021,1
36336321,1 KKK
M = 300 (1 - 0,1) (1 - 0,1) M = 300 0,9 0,9 M = 243
K + M = 300 + 243 = 543
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
9. Operações sobre MercadoriasRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
2. Vendas com lucro
2.1. Sobre o preço de custo 2.2. Sobre o preço de venda
Exemplos:
1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra?
Solução:V = C+L V: preço de venda V = 1200+1200 0,3 C: preço de custo V = 1200+360 L: lucro V = 1.560
R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00
2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro?
Solução:
C= R$ 4.500,00 V = C+L L= 0,1 V V = 4500+0,1V V ? 1V-0,1V= 4500 0,9V=4500
9,0
4500V
V = 5000
R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00
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3. Vendas com prejuízo
3.1. Sobre o preço de custo 3.2. Sobre o preço de venda
Exemplo:
1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda?
Solução:V: preço de venda V=C-P C: preço de custo V= 200-0,15 200 P: prejuízo V= 200-30 V= 170
R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.
2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.
000.5
1,1
500.5
500.51,1
500.51,01
1,0500.5
V
V
V
VV
VV
PCV
R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00
Exercícios de fixação
1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro equivalente a 2,5% do custo.
2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra . Qual foi o preço de compra?
3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale aumentar o preço original em:
4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo?
5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo.
6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo?
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7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. O preço de venda é: a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00 b) R$ 320,00 d) R$ 350,00
8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do preço de custo. Qual o preço de custo do objeto?
9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10% do preço de compra. Qual foi o preço de compra? a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00
10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do seu prejuízo.
Exercícios propostos
1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria é de :
2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura.
3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:
4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de:
5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:
6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$ 35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quanto?
7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00, que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o líquido da primeira redução.
8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo.
9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o prejuízo?
10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
?
12,0
1560
C
CP
V
72,177288,0
1560
88,01560
12,01560
CC
C
CC
PCV
96,642
9,094,095,0800
)1,01()06,01()05,01(800
)1()1()1( 321
L
L
L
iiiPL
CP
V
%5,3
00,650
57,673965,0
00,650
965,000,650
035,000,650
CC
C
CC
PCV
98,713
41,4057,673
57,67306,057,673
V
V
V
LCV
?
00,650
06,0
V
C
VP
20,61306,1
00,650
00,65006,1
06,000,650
C
V
VV
PCV
00,500.700,850.500,650.1
00,850.500,850.1400,700.20
850.1400,650.100,500.16
00,500.161,000,500.16%50,505050,0
00,850.14
00,500.7
C
L
50,759.4$:
50,136.39115,100,100.35
00,896.4393,000,200.47
RGanhouR
Arroz
Tecido
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7)
8)
9)
10)
40,654.1$94,088,000,2000
06,0112,0100,2000
RL
L
00,500.1
00,65000,150.2
00,65000,150.2
C
C
C
LCV
%3,43ou433,000,500.1
00,650
C
L
%15,46650
000.30000.30650
100
00,300
00,650
00,300
10000,650
XXX
X
X
CL
C
CP
RV
1,0
?
12,0
00,650$
50,812
64,7381,064,738
64,73888,0
00,65088,000,650
12,000,650
V
V
LCV
CCC
CC
PCV
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reproduzida sem a autorização da Editora.
Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
10. Juros Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n).
A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital.
Exemplos: a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia. b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.
Capital (principal ou valor presente) É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.
Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital.
2. Regime de capitalização
O regime de capitalização pode ser simples ou composto.
2.1. Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.
3. Cálculo do juros simples e montante.
Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.
Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos:
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0 1 2 3 n-1 n
in CJJJJ ===== ....321
O juro total dos n períodos será:
in
iiii
n
CJ
CCCCJ
JJJJJ
=+=++=++++=
...
...3
21
Para o caso do Montante teremos:
)1( inCM
CinCM
JCM
+=+=+=
Exercícios Resolvidos
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses.
Dados: J=? J=C. i. n C=R$ 2.000,00 J=2000⋅ 0,01 ⋅ 14 i=1% a.m. J=280 n=1 ano 2 meses = 14 meses R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.
2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa.
Dados: C=R$ 4.000,00 n= 1 mês i=? J=R$1.000,00
..%2525,0000.4
000.1
4000000.1
1..4000000.1
..
maiouii
i
i
niCJ
===
==
=
3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.?
Solução: C= R$ 200,00 J= R$ 80,00 i= 1% a.m. n=?
meseseanosoumesesnn
n
n
niCJ
43402
80
280
.01,0.20080
..
==
==
=
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4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00.
Solução: i=1% a.m. n=13 meses J= R$ 650,00
000.513,0
650
13,0.650
13.01,0.650
..
==
==
=
CC
C
C
niCJ
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% a.m..
Solução: M=? C=R$ 1.200,00 n= 2 anos e 6 meses = 30 meses i= 0,5% a.m.
M=C(1+in) M=1200(1+0,005 ⋅ 30) M=1200(1+0,15) M=1200 ⋅ 1,15 M= 1.380
4. Taxas proporcionais
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade.
Assim, sendo teremos:
2
2
1
1
n
i
n
i=
Exemplos:
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.
Solução:
..%2241212
24
111
1
2
2
1
1
maiii
n
i
n
i
===
=
2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.
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..%181
5,1
121
2
2
2
1
1
aaii
n
i
n
i
==
=
5. Taxas equivalentes
Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo período de tempo, produzem juros iguais.
Exemplo:
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00: a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses. b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.
Solução: a) J=? C= R$ 1.000,00 i= 2% a.m n= 3 meses
J= C. i. n J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 J= 60,00
b) J=? C=R$ 1.000,00 i=1,5% a.a. n=4 anos
J=C. i. n J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4 J=60,00
Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a.
6. Prazo médio
Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber:
a) Capitais e taxas iguais.
Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados.
Exemplo: 1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa,
durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?
Solução:
)(32
6
2
42médioprazomeses==
+
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b) Capitais diferentes e taxas iguais
Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.
Exemplo: Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais?
Solução: Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais.
600.6
400.5
000.3
800.1.3
200.1200.1.1
=
=
Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos:
ano2,2000.3
600.6=
R: O prazo médio é de 2,2 anos.
c) Capitais iguais e taxas diferentes.
Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior.
d) Capitais e taxas diferentes.
Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação.
Exemplo: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias?
Tempo Capital Taxas = Valor ponderado 20 800 0,015 240 30 1.000 0,02 600 = 840
Prazo médio =taxapelacapitaisdosprodutosdosSoma
ponderadosvaloresdosSoma
Prazo Médio = dias25,2632
840
2012
840
)02,0.1000()015,0.800(
840==
+=
+
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7. Taxa média
Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn, aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo.
A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais.
n
nn
mCCC
iCiCiCi
+++•+•+•
=ΛΛ
ΛΛ
21
2211
Exemplo: 1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:
R$ 1.500,00 a 2% a.m. R$ 2.000,00 a 1,5% a.m. R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento?
Solução:
%1,2
0210,07000
5,87330
350020001500
025,0.3500015,0.200002,0.1500
=
=+−+
=
++++
=
i
i
i
Exercício de fixação
1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 anos.
2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.
3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?
4) Se uma pessoa aplica somente 5
2 de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros
simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa.
5) Carlos aplicou 4
1de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o
restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:
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6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de 1% a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5% a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor.
7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias.
8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é: a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a. b) 15 meses d) 25 meses
9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses é:
10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?
11) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m. b) 3% a.t. d) 3% a.s.
12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a.
13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.?
14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$ 2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento?
15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40 dias.
Exercícios propostos
1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.
2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m.
3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 5
2do seu valor?
4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?
5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de: a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses b) 24 meses d) 48 meses
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6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial?
7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital?
8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6%
9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de:
10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa?
11) Ache a taxa mensal proporcional a: a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c ) 2,4% a.d. d) 12% a.a.
12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de: a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a.
13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar: a) Sempre se refere a juros exatos. b) Normalmente refere-se a juros compostos. c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos. d) Dá nome aos contratos. e) Refere-se a juros simples.
14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo. Calcule a taxa média mensal destas operações:
Principal(R$) Taxa mensal Prazo (meses) 10.000,00 20% 2 20.000,00 10% 4
a) 10% a.m. b) 11% a.m. c) 12% a.m. d) 13,33% a.m. e) 15% a.m.
15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses respectivamente. Qual o prazo médio?
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
2)
3)
4)
5)
?i
R$2.000,00J
me2
00,000.6$
====
n
RC
a.m.%6,16
166,06
1
000.12
000.2
000.12000.2
2000.6000.2
=
===
=••=
••=
i
iii
i
i
niCJ
..%5,0
121
00,000.10$
mai
mesesanon
RC
===
=
00,600.10
000.10600
600
005,012000.10
=+=
+==
••=••=
M
M
CJM
J
J
niCJ
CJ
mai
C
4,0
.%4,0
?
===
mesesnn
nCC
niCJ
100004,0
4,0
004,04,0
==
••=••=
( )
( )
000.4000.20000.24
000.24
000.20012,0
240
240012,0
1240012,0
72048003,0018,0
48003,0720018,0
480103,0000.241018,0
480
480
000.24000.24
22
12
11
1
1
11
11
11
2211
21
1221
=−=−=
==
=−−=−
−=−=−+
=••−+••=••+••
=+−==+
CC
CC
CC
C
C
CC
CC
CC
niCniC
JJ
CCCC
?
200
400
..%4
===
=
n
C
J
mai
mesesnn
n
niCJ
508
400
04,0200400
==
••=••=
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6)
7)
3
03,0103,0
3
1
3
08,0104,0
3
2
1
..%4
3
2
2
1
1
1
CCJ
CCJ
anon
mai
CC
=••=
=••=
==
=
500
1
..%3
3
1
21
2
2
=−
==
=
JJ
anon
aai
CC
000.3005,0
1500
150005,0150003,008,05003
03,0
3
08,0
==
==−=−
CC
CCCCC
512.16
18
==M
mesesn( )
iC
iC
niCM
181
512.16
)181(512.16
1
+=
+=•+=
..%4
04,07,5
23,0
23,07,5
123,13,1218
3,1223,1181
)101(23,1)181(1
1
23,1
101
181
440.13
512.16
101
181
181
512.16
101
440.13
mai
i
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
ii
=
==
=−=−
+=++=+
=++
=++
+=
+
00,600.94,1
440.13
4,01
440.13
04,0101
440.13
101
440.13==
+=
•+=
+= CCC
iC
440.13
10
==M
mesesn ( )
iC
iC
niCM
101
440.13
)101(440.13
1
+=
+=•+=
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8)
R: A alternativa correta é a
9)
10)
11)
a)
b)
a
?
00,320.16
4
00,000.15
==
==
i
M
mesesn
C ( )( )
..%2,2022,04
088,0
41088,1
4100,000.15
00,320.16
41100,000.1500,320.16
1
maiii
i
i
niCM
===
=−
+=
•+=•+=
diasn
i
M
C
200
360
01,0
?
00,000.3
=
=
==
66,016.3
180
181000.3
180
11000.3
360
213000
200360
01,01000.3
)1(
=
=
+=
+=
•+=
•+=
M
M
M
M
M
niCM
..%505,02
1
400.1
700
700400.1
7001000-400.2
700
10005200
400.23800
21
2
1
maiiii
i
ii
JJ
iiJ
iiJ
====
==
=−=••==••=
..%2,13
6,36,33
3
6,3
1111
1
2
2
1
1
maiiii
n
i
n
i
====
=
..%26
12126
6
12
1111
1
2
2
1
1
maiiii
n
i
n
i
====
=
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c)
d)
12)
a alternativa correta é a
13) a alternativa correta é a e
14)
a alternativa correta é a d
15) Prazo médio 33
432=
++= meses.
b
..%7272,030024,01
024,0
30111
1
2
2
1
1
maiiii
n
i
n
i
==•==
=
..%101,012
12,012,012
12
12,0
11111
1
2
2
1
1
maiiiii
n
i
n
i
=====
=
...%3,3ou033,015
5,0
155,0
15
5,01005,0
2
2
1
maiii
iCC
JJ
iCJ
CCJ
===
••=
=••=
=••=
...%3,13ou133,0
15
2
30
4
000.30
000.4
000.30
1,0000.202,0000.10
21
2211
maii
iiii
CC
ICiCi
mm
mmmm
m
==
===•+•
=
+•+•
=
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
11. Desconto Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo.
Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma.
No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura.
É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de desconto.
Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória.
Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado antes do seu vencimento;
Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento;
Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.
Valor nominal (N): R$ 10.000,00
Valor atual (A): R$ 8.000,00
Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 d = R$ 2.000,00
O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:
d = N – A ou A = N - d ou N = A + d
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2. Tipos de desconto
2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora
O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e eqüivale ao juros simples onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito.
dc = N i n
dc: Valor do desconto comercial; N: Valor nominal do título; i: taxa de desconto; n: tempo.
2.2. Valor Atual Comercial
A = N - d A = N - N in
A = N (1- in)
Exercícios resolvidos
1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento.
Solução:
dc = ? N = R$ 2.000,00
damai .002,030
06,0.06,0
n = 2 meses e 10 dias = 70 dias
dc = N in dc = 2.000 . 0,002 70 dc = 280
2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?
N = R$ 6.000,00
n= 120 dias = 3
1ano.
dc = R$ 300,00 i = ?
dc = N i n
300 = 6000 i 3
1
300 = 2.000 i i =2000
300
i = 20
3 i = 0,15 ou i = 15% a.a.
3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento.
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A = N (1 - in)
A = 1.000 (1 - 30
03,0 108)
A = 1.000 (1 - 0,108) A = 1.000 (0,892) A = 892
4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores nominais desses títulos.
dc1 = N1 i n
dc1 = N1 0,03 dc1 = N1
dc2 = N2 i n
dc2 = N2 0,03 4
1 dc2 = N2
4
03,0
dc1 + dc2 = 200 dc1 = 200 - dc2
dc1 = dc2 + 50
200 - dc2 = dc2 + 50
200 - 50 = 2 dc2
150 = 2 dc2 dc2 = 2
150dc2 = 75
dc1 = 200 - dc2
dc1 = 200 - 75 dc1 = 125
dc1 = N14
03,0
125 = N14
03,0 4 125 = 0,03 N1 N1 =
03,0
125.4
N1 = 16.666,67
dc2 = N24
03,0
75 = N24
03,0 75 4 = N2 0,03 300 = N2 0,03 N2 =
03,0
300
N2 = 10.000,00
Exercícios de fixação
1) Calcule o valor nominal de certa nota promissória que, descontada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00.
2) Uma nota promissória, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial?
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3) (CEF) Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial simples, a taxa de 48% a.a., o valor pago foi: a)R$ 180.000,00 d) R$ 135.000,00 b)R$ 175.000,00 e) R$ 120.000,00 c)R$ 150.000,00
4) Um título de crédito de R$ 1.200,00 tem valor líquido de R$ 1.000,00 quando descontada por fora 2 meses antes de seu vencimento. Qual é a taxa de vencimento?
5) (Banco do Brasil) Uma pessoa deseja obter um empréstimo de R$ 30.000,00 no prazo de 120 dias, a 6% a.m., de desconto comercial simples. Qual o valor do título para produzir aquela importância líquida?a)R$ 39.473,68 c) R$ 35.432,20 b)R$ 38.528,12 d) R$ 34.318,20
6) (Receita Federal) O valor atual de uma duplicata é 5 vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo que a taxa de desconto adotada é de 60% a.a., o vencimento do título, expresso em dias, é: a)120 c) 130 e) 140 c)100 d) 150
2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro
É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto racional por dr.
niAd rr 1
Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal
Ar = N - dr 2
Substituindo 2 em 1, teremos:
dr = (N - dr) i n dr = N i n - dr i n dr + dr i n = N i n dr (1 + in) = N i n
dr = ni
niN
.1
..
2.4. Valor Atual Racional
Ar = N - dr
Ar = N ni
niN
.1
..
Ar = ni
NAr
ni
niNniN
.1.1
..).1(
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2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional
dc = N i n dr =ni
niN
.1
..
dr = i.n)(1ddi.n1
drc
c
Exercícios resolvidos
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.
Solução:N = R$ 1.600,00 i = 1,5% a.m. n = 75 dias = 2,5 meses
dr=ni
niN
.1
..
83,570375,1
60
0375,01
60
5,2.015,01
5,2.015,0.600.1
rr
r
dd
d
17,542.1rA0375,1
1600rA
5,2015,01
1600rA
5,2015,01
1600rA
ni1
NrA
2) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito, é de R$ 60,00. O prazo é de 20 dias e a taxa de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título.
Solução:
603
0,02N
600,01.1
N.0,01.
3
2N.0,01.
60i.n1
N.i.nN.i.n
60dd
a.m.0,01a.m.1%i
mês3
2dias20n
?N
30,0213
0,02N
32
32
rc
02,3.3
02,3.3.60
02,3.3
3.02,002,3.02,0
6002,3
02,0
3
02,0
6002,3
3.
3
02,0
3
02,0
603
02,0
603
02,0
3
02,0
3
02,0
3
02,01
3
02,0
NN
NN
NN
N
N
N
N
0,0604 N - 0,06 N = 543,60 0,0004 N = 543,60 N = N = 1.359.000,00 543,60
0,0004
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3) quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,2. Qual será a taxa de juros se o prazo de antecipação é de 4 meses.
..%55,04
2,042,0
412,1
412,1
.1
..
1..
.1
maiouiii
i
i
nid
d
niN
inniN
nid
d
r
c
NinNin
r
c
3. Taxa de juros simples e taxa de desconto simples
3.1. Taxa de juro simples (ij)
É a taxa que incide sobre o capital inicial.
3.2. Taxa de desconto simples (id)
É a taxa que incide sobre o valor nominal de um título de crédito.
A taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial são equivalentes, quando o valor atual for igual ao capital e o montante como valor nominal.
Ou seja M = N e A = C
A = N (1 - i n) C = N (1 - id n) =N
C = 1 - 1d n 1
M = C (1 + i n) N = C (1 + ij n) C
N= 1 + ij n
niN
C
j .1
1 2
Comparando 1 e 2 teremos:
juro)de(taxandi1
diji
nji1
1ndi1
desconto)de(taxanji1
jidi
nji1
1ndi1
Exercícios resolvidos
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1) Calcule a taxa de juro simples (mensal) equivalente a uma taxa de desconto comercial simples de 1% a.d., num prazo de 2 meses?
Solução:
ij = ? id = 1% = 0,01 a.d. n = 2 meses = 60 dias
4,0
01,0
6,01
01,0
60.01,01
01,0
.1
jjj
d
dj
iii
ni
ii
ij = 0,025 ou ij = 2,5% a.d.
2) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros simples de 6% a.m. para empréstimo de 30 dias. Calcule a taxa de desconto comercial simples equivalente?
ij = 6% = 0,06 a.m.
n = 30 dias = 1 mês id = ?
ij = ni
i
j
j
.1
maiii ddd .%66,50566,01.06,01
06,0
Exercícios de fixação
7) Determine o valor atual racional e comercial de um título de R$ 6.500,00 resgatado 2 meses antes do vencimento a taxa de 2% a.m.
8) O desconto comercial aplicado a uma letra de câmbio resgatada 5 meses antes do vencimento à taxa de 1% a.m. foi de R$ 10,00. Qual será o valor do desconto se fosse racional?
9) O valor atual racional simples de um título é igual a metade do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 2 meses.
10) Uma duplicata foi submetida a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 1% a.m., vencível em 90 dias com desconto comercial. No segundo caso, com desconto racional, mantendo as demais condições. Sabe-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 450,00. O valor nominal do título era de:
11) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial de uma dívida é de R$ 120,00. O valor nominal desse título, a 1% a.m., com antecipação de 1 mês é:
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12) Um título de crédito foi resgatado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o valor nominal de R$ 1.800,00. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 200,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetivo.
13) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes do seu vencimento, a taxa de desconto comercial de 6% a.a. Qual a taxa de juro efetiva anual dessa operação?
14) Complete o quadro abaixo:
Taxa de desc. Com.
Taxa de juro efetiva
Prazo
a) 3% a.m. 10 dias b) 10% a.m. 5 dias c) 2% a.d. 10% a.d.
4. Fluxo de caixa e Equivalência de capitais
4.1. Fluxo de caixa
Chamamos de fluxo de caixa a sucessão de pagamentos ou recebimentos ao longo do tempo.
Para uma melhor compreensão representaremos um diagrama de fluxo de caixa.
0 1 2 3 4 5 períodos
Por Convenção:
o eixo horizontal, orientado para a direita indica o período de tempo; as setas orientadas para cima indicam as saídas de caixa; as setas orientadas para baixo indicam as entradas de caixa;
Veja o exemplo de um diagrama de fluxo de caixa:
1) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 5.000,00 e recebeu R$ 6.000,00 após 5 meses.
5.000
1 2 3 4 5 meses
6.000
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4.2. Equivalência de Capitais
Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas, são chamados de equivalentes quando “transportados” para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzem valores iguais. Exemplo
1) Verificar se os capitais R$ 384,00, com vencimento para 1 mês e R$ 600,00 com vencimento para 5 meses, são ou não equivalentes pelo critério do desconto comercial simples a 10% a.m., na data focal 3.
600
meses
0 1 2 3 4 5
data focal 384 A= N(1-in) A = 600(1-0,1.2) =480
N= 4808,0
384
2.1,01
384
1 in
A
Exercícios Resolvidos
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 45 dias é substituído por outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 3% a.m.
Solução:
N1 = R$ 800,00 n = 45 dias = 1,5 mês N = ? n = 60 dias = 2 meses i = 3% a.m.
A1 = A N1 (1 - i n) = N (1 - i n) 800 (1 - 0,03 1,5) = N (1 - 0,03 2) 800 (1 - 0,045) = N (1 - 0,06) 800 0,955 = N 0,94 764 = N 0,94
N=94,0
764 N = 812,77
2) Uma pessoa deve dois títulos de créditos: um no valor de R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mês e outro de R$1.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um título único para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 6% a.m., calcule o valor nominal do título único.
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N1 = R$ 1.000,00 n = 1 mês N2 = R$ 1.200,00 n = 3 meses N = ? n = 5 meses i = 6% a.m.
A1 + A2 = A N1 (1 - in) + N2 (1 - in) = N (1 - in) 1.000 (1 - 0,06 1) + 1.200 (1 - 0,06 3) = N (1 - 0,06 5) 1.000 0,94 + 1.200 0,82 = N (1 - 0,30) 940 + 984 = 0,7 N 1.924 = 0,7 N
N=7,0
924.1N = 2.748,57
3) Um comerciante possui dois títulos de créditos, sendo um no valor R$ 1.000,00 com vencimento para 40 dias e o outro no valor de R$ 1.500,00 com vencimento para 60 dias. Necessitando de dinheiro, decide descontá-las hoje, em um banco que efetua a operação a taxa de desconto comercial de 6% a.m. Qual o valor recebido pelo comerciante pelos dois títulos?
V = A1 + A2
V = 1.000 (1 - 0,06 30
40 )+ 1.500 (1 - 0,06 2)
V = 1.000 (1 - 0,08) + 1.500 (1 - 0,12)
V = 1.000 0,92 + 1.500 0,88
V = 920 + 1.320
V = 2.240
4) Uma loja vende um eletrodoméstico por R$ 800,00. A prazo, pode-se pagar a mercadoria em 2 pagamentos mensais iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses pagamentos, se foram adotados, na operação o desconto racional a taxa de 6% a.m. e a data focal a do ato da compra?
A=A1+a2
800=12,0106,01
xx
800 = 12,106,1
xx
800.1,06.1,12 = 1,12x + 1,06x 949,76 = 2,18x
x = 18,2
76,949
x = 435,67
Exercícios de fixação
15) Um título de crédito no valor de R$ 800,00, com vencimento para 60 dias é substituído por outro com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 1% a.m.
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16) Uma empresa vende mercadorias por R$ 5.730,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro para 30 dias e o segundo para 60 dias. Qual o valor das parcelas que a empresa aplica, sendo a taxa de desconto comercial de 3% a.m.
17) Um lojista possui 2 duplicatas: uma de R$ 1.200,00 para 30 dias e a outra de R$ 600,00 para 60 dias. Não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título único.
18) Uma loja vende uma bicicleta por R$ 800,00 à vista ou 10% de entrada e o restante para 30 dias. Qual será o valor desse pagamento, se a loja opera, nas vendas à prazo, com taxa racional de 0,5% a.m.
19) Uma papelaria vende R$ 350,00 em mercadorias. O pagamento pode ser a prazo em dois pagamentos mensais e iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses pagamentos, se forem adotados, na operação, o critério de desconto racional de 0,5% a.m. e a data focal do ato da compra?
Exercícios propostos
1) Uma empresa descontou três duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30; 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 4% a.m., o valor total do desconto, pelo regime de juros simples, em reais, foi de:
2) Um título de crédito no valor nominal de R$ 1.500,00, em 3 meses, tem como desconto comercial R$ 300,00. Determine a sua taxa anual.
3) Uma nota promissória foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo à taxa de 6% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?
4) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e desejo ganhar 36% a.a., é de: a)R$ 24.000,00 d) R$ 18.800,00 b)R$ 25.000,00 e) R$ 24.190,00 c)R$ 27.500,00
5) quociente entre o desconto comercial e o desconto racional é de 1,2. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros for de 5% a.a.?
6) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título pagável em 120 dias, a 1% a.m. é igual à R$ 120,00. Determine o valor nominal, desconto comercial e o desconto racional.
7) Complete o quadro abaixo:
Taxa de desc. com. Taxa de juros Prazo
6% a.m. 10 dias 60% a.m. 30 dias
4% a.m. 20% a.m.
8) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo e outra de R$ 8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a., o valor nominal dessa dívida será de:
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9) Resgatei um título em um banco que me pagou líquido de R$ 6.200,00. O resgate deu-se a 20 dias antes do vencimento, a taxa de 3% a.m. pelo desconto racional. Qual é o valor nominal desse título?
10) Uma loja vende um guarda roupa à vista por R$ 3.000,00. A prazo, pode-se pagar em três pagamentos mensais e iguais, o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um dos pagamentos, se forem adotados, na operação, o desconto racional de 8% a.m. e como data focal a do ato da compra?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
R.: O valor total do desconto foi de R$ 960,00
2.
3.
4.
A alternativa correta é a b
..%80
8,0375
300
375300
25,0500.1300
aai
ii
i
i
niNdc
08,80899,0
800
99,0800
01,01800
6
106,01800
1
NN
N
N
N
niNAc
000.25$500.4500.29
500.418,1
310.5
603,01
603,0500.29
1
R
ddd
ni
niNd
rrr
r
960
480304,0000.4
320204,0000.4
160104,0000.4
soma
dd
dd
dd
niNd
cc
cc
cc
c
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5.
6.
7. a)
b)
anosnn
n
n
n
ni
ni
ni
niN
niN
d
d
r
c
405,0
2,0
05,02,0
05,012,1
05,012,1
12,1
1
1
00,000.780016,0
80,124
80,1240016,0
80,12404,00416,0
04,112004,004,004,1
12004,1
04,004,0
120401,01
401,0401,0
1201
120
NN
N
NN
NN
NN
NN
ni
niNniN
dd rc
..%12,6ou0612,0
98,0
06,0
02,01
06,0
3
106,01
06,0
1
maii
iii
ni
ii
jj
jjj
d
dj
..%5,37375,06,1
6,0
16,01
6,0
1
maiiii
ni
ii
dddd
j
j
d
000.304,1
120.3
401,01
401,0000.78
1
120.3401,0000.78
rrr
c
c
ddni
niNd
d
niNd
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c)
8.
9.
10.
.
20008,0
16,0
16,0008,0
04,02,0008,0
2,0008,004,0
2,02,0104,0
2,01
2,004,0
1
mesesnn
n
n
n
n
n
ni
ii
j
j
d
300.11
99,0
187.11
99,0232.8955.2
99,098,0400.8985,0000.3
)01,01()02,01(400.8015,01000.3
101,01201,01400.85,101,01000.3
111 21
21
N
N
N
N
N
N
niNiNniN
AAA
n
324.6
200.602,1
02,01200.6
3
203,01
200.6
1
N
N
N
N
ni
NAr
32,156.10304,4
42,660.4
42,660.40304,4
42,660.42528,13392,14384,1
24,1)16,1(08,1
24,116,108,1000.3
24,116,108,1
16,108,124,108,124,116,1
000.324,116,108,1
000.3308,01208,01108,01
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
12. LogaritmosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Os povos antigos indicavam quantidade através de pedrinhas ou faziam marcas em madeira ou osso.
Os cálculos aritméticos nessa época eram complicados de se efetuar.
Com o desenvolvimento do comércio, das navegações e da astronomia, no fim do século XVI, foi necessário criar novos métodos que tornassem os cálculos mais simples.
Os logaritmos surgiram para facilitar os cálculos e graças aos matemáticos Henry Briggs e John Napier que elaboraram as primeiras tábuas de logaritmos.
O logaritmo é utilizado em química para verificar se uma solução é ácida, básica ou neutra e em matemática financeira para estudar juros compostos.
2. Definição
Sendo a e b números reais e positivos, com a 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar a base a de modo que a potência obtida seja igual a b.
Log ab = x ax = b
(a; b R, b > 0; 0 < a 1)b - logaritmando a - base do logaritmo x - logaritmo
Exercícios resolvidos
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo:
a) log 42 = b) log0,1 = c) log 5
5/1 =
Solução:a) log 42 = x 2x = 4
2x = 22
x = 2
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b) log 1,0
10 = x 10x= 0,1
10x =10
1
10x = 10-1
x = -1
c) log 5
51 = x ( )
5
1 x = 5
(5-1)x = 51/2
5-x = 51/2
-x=2
1
x = - 2
1
Exercícios de fixação
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo:
a)log 12 = b) log 21
4 = c) log 55
=
d) log 2,0
5 = e) log 2
16/1 f) log 100/1
10 =
3. Propriedades
a) Logaritmo do produto
Sendo (a; b; c R; 0 < a 1; b > 0 e c > 0)
Log a)( ca = log ba + log ca
b) Logaritmo do quociente
Sendo (a; b; c R; 0 < a 1; b > 0 e c > 0)
logc
ba = log ba - log ca
c) Logaritmo da potência
Sendo (0 < a 1; b > 0 e R)
log = b
a = .log ba
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d) Logaritmo da raiz n - ésima
Sendo (0 < a 1; b > 0 e n N*)
logn b
a = lognb
a
/1
= .1
nlog ba
Exercícios resolvidos
1) Dados log2 0,3010 e log3 0,4771. Calcule:
a) log6 = b) log )2
3( c) log4 = d) log 2 =
Solução:
a) log6 = log (2 3) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
b) log )2
3( = log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761
c) log4 = log22 = 2 log2 = 2 0,3010 = 0,6020
d)log 2 = log 2 2/1 =2
1 log2 = 0,5 0,3010 = 0,1505
Exercícios de fixação
2) Dados log2 0,3010; log3 0,4771 e log7 0,8451
Calcule:
a) log9 = b) log5 = c) log6 = d) log12 =
e) log 6 = f) log22 g) log21 =
4. Mudança de base
As propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente para logaritmos que estão na mesma base.
No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma base.
log ba = a
c
a
c
log
log onde: b > 0 ; 0< a 1 ; 0 < c 1
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Exercícios resolvidos
1) Sendo log2 0,3010 e log3 0,4771. Calcule o valor de log 62
Solução:
59,23010,0
4771,03010,0
2log
3log2log
2log
)3.2log(log62
2) Dados log 3 = y . Calcular log 303Solução:
y
y 1
3log
10log3log
3log
)10.3log(
3log
30loglog303
3) Simplificar:
)).(log(log 2
3
3
2
Solução:
13log
2log.2log
3log
b) )).(log(log 51
2
4
5
22log
5log1.
5log
2log2
2log
5log.1.
5log
2log
2log
5log.5log
4log
2
1
Exercícios de fixação
3) Sendo log2 = m e log3 = n, calcule:
a) log 122 = b) log 205 = c) log 43 =
d) log 184 = e) log 6
3 = f) log 2712 =
4) Simplifique as expressões:
a) (log 23 ) (log 3
2 ) = b) (log 53 ) (log 425 ) (log 92 ) =
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5. Função logarítmica
Denominamos de função logarítmica a toda função do tipo: f(x) = log xa ou y = log x
a (0 < a 1 e x > 0)
A função logarítmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a 1).
Gráficos
y = log x
2
x log x
2y
4
1 log 41
2-2
2
1 log 21
2-1
1 log 12 0
2 log 22 1
4 log 42 2
y = log x 21
x log x
2y
4
1 log 41
2-2
2
1 log 21
2-1
1 log 12 0
2 log 22 1
4 log 42 2
6. Logaritmos decimais
Os sistemas de logaritmos são:
a) sistema decimal
É aquele cuja base vale 10.
Por volta de 1614, o matemático Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10.
2
1
-1
-2
2 4
¼ ½
1
2
1
-1
-2
¼ ½
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b) sistema neperiano É o sistema cuja base vale e. O número e é irracional e vale 2,71828... Os logaritmos na base e são denominados de neperianos ou naturais.
Exemplo:log 7e = ln7
6.1. Característica e Mantissa
Característica de log y
1º. Caso: y 1
Quando o y for um número maior ou igual a 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade.
Exercícios resolvidos
1) Determine a característica de:
a) log 300 b) log12,85
Solução:
a) log 300 c = 3 - 1 = 2
log12,85 c = 2 - 1 = 1
2º. Caso: 0 < y < 1
Quando y é um número compreendido entre 0 e 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo.
Exercícios resolvidos
1) Determine a característica de:
a)log 0,001 b) log 0,12
Solução:
a) 0,001 têm três zeros antes do primeiro algarismo significativo; então a característica é -3;
b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, então a característica é -1.
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6.2. Mantissa
A mantissa é encontrada nas tábuas de logaritmos decimais.
Encontramos mantissas dos logaritmos decimais dos números inteiros compreendidos entre 1 e 1.000.
Exercícios resolvidos
1) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo:
a) log 500 b) log 930
Solução:
a) log500 mantissa: 0,698970
b) log930 mantissa: 0,968483
Exercícios de fixação
5) Determine a característica de cada logaritmo a seguir:
a) log 100 c) log 231,6 e) log 10
1
b) log 0,001 d) log 5 f) log 32
Exercícios propostos
1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo:
a) log 1,
10
o = b) log 3
3 c) log 2511
2,0 = d)log 82 = e) log 2
81 =
2) (Fuvest) O valor da expressão:
:log)53(
27)2(4
2
0
32
é a) –7 b) –1 c) 1 d)2 e) 7
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3) Assinale a alternativa falsa:
a) log1 = 0 b) log (y
x)= logx – logy c) log a
b
a
blog.
d) log (x y) = log x + log y e) n.r.a.
4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, então log375 é:
a) y + 3x c) y - x + 3 e) 3 (x + y)
b) y + 5x d) y - 3x + 3
5) O produto: (log 29 ) (log 52 ) (log 35 ) é igual a:
a)0 b) 1 c) 10 d) 30 e) 2
1
6) São dados: log = a e log = b. O valor de log é:
a)ba
a
1 b)
ba
b
1 c)
ba
b
1 d)
ba
a
1 e)
a
b
2
7) Determine a característica de:
a) log 2,61 c) log 2
1 e) log
5
12
b) log 0,012 d) log 20 f) log 2,168
8) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tábua de logaritmos:
a) log13 c) log 0,2 e) log25
b) log201 d) log 2,16
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
a) log = x 10x = 0,1
10x 1
10
10x = 10-1
x = -1
b) log = x 3x = 3
3x = 31/2
1
2
c) log = log = log
log x 1 x 1
5 25
1 x 1 2
5 5
x = 2
d) log = x ( 2 )x = 8
(21/2)x = 23
1 x = 3
2
x = 6
e) log = x 1 x 2
8
1 x 21/2
2 3
2-3x = 21/2
(
=
)
)
(
(
=
x =
( () )=
0,1
10
3
3
1/25
0,2 1/25
2/10
1/25
1/5
1/25
1/5
8
2
2
1/8 ) =
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-3x 2
1
6
1
2) -4 + 3 -1
1 -2 -1
a alternativa é a C
3) C
4) log2 = x; log3 = y
log375 = log (3 53) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 =
10
2
log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3
a alternativa correta é a d
5) (log ) (log ) (log ) =
log2 log5 log3
log9 log2 log5
log2 log5 log3 log2 log5 log3 1
log32 log2 log5 2.log3 log2 log5 2
a alternativa correta é a e
6) log = a e log = b
log log log
loglog log
2 log
a alternativa correta é a e
x =
= ==
( )][
= = = =
=
=
2
9
5
2
3
5
1
log3 + 3 = log3 + 3 (log10 - log2) =
3
15
2
15
2
9
2
15
2
15
3
15
2
15
9
15
32
15
b
2a
=
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7)
a) log2,61 c = 0
b) log0,012 c = -2
c) log0,5 c = -1
d) log20 c = 1
e) log 12 log2,4 c = 0
5
f) log2,168 c = 0
8)
a) log13
mantissa: 0,1139
b) log201
mantissa: 0,3032
c) log 0,2
mantissa: 0,30103
d) log 2,16
mantissa: 0,33445
e) log25
mantissa: 0,3979
=
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
13. Juros CompostosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte maneira:
C = M0 M1 = M0 + J1 M2 = M1 + J2 M3 = M2 + J3 ...
1 2 3 J1 = M0.i J2 = M1.i J3 = M2.i...
Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa época, tem-se no montante seguinte:
M0 = C M1 = M0 + M0 i = M0 (1 + i) = C (1 + i) M2 = M1 + M1 i = M1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2
M3 = M2 + M2 i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i)3
Podemos escrever para a época n:
Montante no final de n períodos:M = C (1 + i)n
Os juros obtidos no final de n períodos serão dados por:
J = M - C J = C (1 + i)n - C J = C [(1 + i)n - 1]
Exercícios resolvidos
1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante.
1º. Processo (com o uso da tabela) C = R$ 2.000,00 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. n = 8 meses
M = C (1 + i)n
M = 2.000 (1 + 0,02)8
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M = ? M = 2.000 (1,02)8
M = 2.000 1,17 M = 2.343,32
2º. Processo: com uso de logaritmos.
M = C (1 + i)n
M = 2.000 (1 + 0,02)8
M = 2.000 (1,02)8
log M = log [2.000 (1,02)8]log M = log 2.000 + log (1,02)8
log M = log 2.000 + 8 log 1,02 log M = 3,3010 + 8 0,0086 log M = 3,3010 + 0,0688log M = 3,3698 M = 10 3,3698= 2.343,15
2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00.
Solução: com uso de logaritmos: n = ? C = R$ 3.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. M = R$ 6.000,00
M = C (1 + i)n
6.000 = 3.000 (1 + 0,03)n
log6= log [3 (1,03)n]log6 = log3 + log (1,03)n
log6 - log3 = n log (1,03)
mesesn
n
5,230128,0
47712,077815,0
03,1log
3log6log
3) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação.
Solução:C = R$ 2.000,00 n = 3 meses M = R$ 4.500,00 i = ?
M = C (1+ i)n
4.500 = 2.000 (1 + i)3
= (1 + i)3
2,25 = (1 + i)3
3 2,25 = 3 (1+i)3
2,25 3
1
= 1 + i
1,31 = 1+i i = 1,31-1 i = 0,31 a. m. i = 31% a. m.
45002000
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2º processo : ( com o uso de logarítimos)
M= C.(1+i)n
4500 = 2000 (1+i)3
log 4500 = log [ 2000. (1+i)3]
log 4500 = log 2000 + log (1+i)3
log 4500 – log 2000 = log (1+i)3
2000
4500
log 2,25 = log (1 + i)3
2,25 = (1 + i)3
3 2,25 = 3 (1 + i)3
1 + i = 2,25 0,333...
1 + i = 1,31
i = 1,31 - 1
i = 0,31 a.m. ou
i = 31% a.m.
4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.
Solução:J = ? C = R$ 6.000,00 n = 5 meses
i = 6%a.a.= ..005,012
06,0ma
J = C [(1 + i)n - 1] J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1] J = 6.000 [(1,005)5 - 1] J = 6.000 [1,025 - 1] J = 6.000 0,025 J = 151,50
Exercícios de fixação
1) João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de:
2) Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso: a) n = 15 meses e i = 24% a.a. b) n = 18 meses e i = 72% a.a.
3) Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso: a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos. b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses.
log = log (1+i)3
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4) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria recebido R$ 2.633,36 a mais. Quanto recebeu de juros?
5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalização anual, a taxa de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00?
6) Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso: a) J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m. b) J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m.
7) Uma geladeira custa R$ 720,00 à vista e pode ser paga em duas prestações mensais iguais, sendo paga a primeira prestação no ato da compra. Se os juros (compostos) são de 25% a.m., o valor de cada prestação é de:
8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de capitalização composta. Após um período de 5 meses, os juros dessa aplicação serão de:
9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu montante final é: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial.
10) Uma televisão foi adquirida através de um plano sem entrada em três prestações mensais e iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalização composta, o valor desse bem na data do contrato é:
2. Taxas equivalentes
Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo período de tempo, produzem montantes iguais.
Exemplo Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes
condições:
a) 1% a.m. b) 13% a.a.
a) M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130 b) M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130
As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação.
(1 + id)360 = (1 + is)
2 = (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1
id: taxa diária de juros compostos;
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iM: taxa mensal de juros compostos; it: taxa trimestral de juros compostos; is: taxa semestral de juros compostos; iA: taxa anual de juros compostos.
Exercícios resolvidos
1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?
(1 + iA) = (1 + is)2
1 + 0,06 = (1 + is)2
2)1(06,1si
1 + is = 1,0295
is = 1,0295 - 1
is = 0,0295 ou
is = 2,95% a.s.
2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?
(1 + iA) = (1 + iM)12
1 + iA = (1 + 0,04)12
iA = (1,04)12 - 1
iA = 1,60103-1
iA = 0,60103 ou
iA = 60,10% a.a.
3. Taxa Nominal e Efetiva
3.1. Taxa Nominal
É a taxa em que o período de capitalização é diferente do período a que se refere a taxa.
Exemplos 10% a.a. capitalizados trimestralmente;15% a.a. capitalizados mensalmente;
3.2. Cálculo da taxa efetiva
i: taxa efetiva no período inteiro; sendo iK: taxa nominal correspondente a i; K: número de capitalizações no período;
k
iik
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Exercícios resolvidos
1) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?
005,012
06,0
k
ii
k
i = 0,5% a.m.
2) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal?
01,012
12,0
k
ii
k
i = 1% a.m.
(1 + iM)12 = (1 + iA)
(1 + 0,01)12 = 1 + iA
iA = (1,01)12 - 1
iA = 1,13 - 1
iA = 0,13 ou
iA = 13% a.a.
Exercícios de fixação
11) Se uma caderneta de poupança, em regime de capitalização composta, apresentou um rendimento de 12% num mês e 15% no mês seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de:
12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas:a) 2% a.s. b) 3% a.m.
13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?
14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.? 15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a.
Qual aplicação renderá mais?
16) Uma instituição financeira realiza um empréstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?
Exercícios propostos
1) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00 e) n.r.a. b) R$ 10.368,00 d) R$ 10.388,00
2) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano.
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3) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.
4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?
5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.
6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo período. O montante no fim de n períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expressão:
a) M (1 - i)n b) M (1 + i)n c)ni
M
)1( d)
ni
M
)1 e) n.r.a.
7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros:
2% compostos trimestralmente; 2% compostos bimestralmente; 2% ao mês a juros simples.
Qual é a melhor opção?
8) Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a:
a)10% a.s. b) 5% a.t.
9) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)n
M = ? M = 5000 (1 + 0,2)4
i = 20% a.m. = 0,2 a.m. M = 5000 (1,2)4
n = 4 meses M = 5000 2,07
M = 10.368,00
a alternativa correta é a b
2) C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)n
i = 6% a.a. M = 5000 (1 + 0,06)1
J = ? M = 5000 1,06
M = ? M = 5300
n = 1 ano J = C [(1 + i)n - 1]
J = 5000 [(1 + 0,06)1 - 1]
J = 5000 [1,06 - 1]
J = 5000 0,06
J = 300,00
3) C = R$ 10.000,00 M = C (1 + i)n
n = 3 meses 15000 = 10.000 (1 + i)3
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333 15,1 i
M = R$ 15.000,00 log15 = log [10 (1 + i)3]
i = ? log15 = log10 + log (1 + i)3
log15 - log10 = log (1 + i)3
log15 log (1 + i)3
10
log1,5 = log (1 + i)3
1,5 = (1 + i)3
1 + i = (1,5)0,333...
1 + i = 1,14
i = 1,14 - 1
i = 0,14
i = 14% a.m.
4)2
12i = C [(1 + i)n - 1]
26,0
2600C
n = 4 sem. 2600 = C [(1 + 0,06)4 - 1] M = J + C
J = R$ 2.600,00 2600 = C [(1,06)4 - 1] M = 2.600 + 10.000
C = ? 2600 = C [1,26 - 1] M = 12.600
2600 = C 0,26
5) C = R$ 1.000, 00 J = C [(1 + i)n - 1]
J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1]
J = 1000 [(1,02)6 - 1]
J = 1000 [1,13 - 1]
J = 1000 0,13
J = 130
6) d
7) a) i = 2% a.t. J = C [(1 + i)n - 1]
n = 8 trimestres J = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1]
C = R$ 6.000,00 J = 6000 [(1,02)8 - 1]
J = ? J = 6000 [1,17 - 1]
J = 6000 0,17
J = 1.020
b) i = 2% a.b. J = C [(1 + i)n - 1]
n = 12 bim J = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1]
C = R$ 6.000,00 J = 6000 [1,27 - 1]
J = ? J = 6000 0,27
J = 1.620
c) J = C i n
J = 6000 0,02 24
J = 2.880,00
=
= 2% a.t.
= 6% a.s.
C = 10.000
4
8i
trimestren 63
18
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R.: A melhor opção é 2% ao mês a juros simples.
8) a) (1 + is)2 = 1 + iA b) (1 + it)
4 = 1 + iA (1 + 0,1)2 = 1 + iA (1 + 0,05)4 = 1 + iA (1,1)2 = 1 + iA (1,05)4 = 1 + iA 1,21 = 1 + iA 1,22 = 1 + iA 1,21 - 1 = iA 1,22 -1 = iA i = 0,21 iA = 0,22
i = 21% a.a. iA = 22% a.a.
9) taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a.
(1 + iA) = (1 + im)12
(1 + iA) = (1 + 0,015)12
(1 + iA) = (1,015)12
1 + iA = 1,20
iA = 1,20 - 1
iA = 0,20 iA = 20% a.a.
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
14. Desconto CompostoRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
A idéia de desconto em juros compostos é igual ao regime de juros simples: corresponde ao abatimento que uma pessoa física ou jurídica ganha ao quitar um título de crédito antes de seu vencimento.
Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial.
Como o desconto comercial composto é pouco utilizado no sistema Financeiro Brasileiro, ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto.
2. Desconto Racional Composto
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dívida é quitada antes de seu vencimento.
dr = N - A
Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.
M = C (1 + i)n
fazendo M = N e C = A, teremos:
nr
n
i
NAouiAN
)1()1(
n
nr
r
iNi
NNd
ANd
)1(1)1(
Simbologia utilizada em desconto composto: N: Valor nominal; Ar: Valor atual racional; i; Taxa de desconto composto.
Exercícios resolvidos
1) Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m.
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Solução:
mai
mesesn
RN
A
.%5,1
2
00,200,1$
?
05,165.103,1
200.1
)015,1(
200.1
)015,01(
200.1
)1(
2
2
AA
A
i
NA
n
2) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 2% a.a.
Solução:
..%2
2
00,000.6$
aai
anosn
RN
99,232
01,767.5000.6
0404,1
000.6000.6
)02,01(
000.6000.6
)1(
2
r
r
r
r
nr
d
d
d
d
i
NNd
3) desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do pagamento?
Solução:
?
.%5,1
00,200$
00,200.1$
n
mai
Rd
RN
r
mesesn
n
i
Nnd
n
n
n
n
n
n
n
nr
18,120065,0
0792,0
015,1log
2,1log
2,1log)015,1log(
2,1log)015,1log(
2,1)015,1(
10
12)015,1(
12)015,1.(10
)015,1(
12001000
)015,1(
12001200200
)015,01(
12001200200
)1(
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4) Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, é substituído por outro com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., qual é o valor nominal do novo título?
Solução:
..%2
4
00,800$
mai
mesesn
RN
..%2
2
?'
mai
mesesn
N
'AA
96,768'0824,1
32,832'
8000404,1'0824,1
0404,1
'
0824,1
800
)02,1(
'
)02,1(
800
)02,01(
'
)02,1(
800
)02,01(
'
)02,01(
800
24
24
24
NN
N
N
N
N
N
Exercícios de fixação
1) Um título de crédito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 é quitado 2 meses antes do vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do título.
2) Calcule o desconto composto de um título de crédito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.?
3) Complete o quadro abaixo.
Valor nominal(R$)
Taxa(% a.m.)
Período(meses)
desconto composto (R$)
500,00 1 2 10 1 600,00
400,00 3 40,00 800,00 0,5 200,00
4) Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma credora do título propõe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto composto?
5) Recebi R$ 300,00 de desconto composto pela antecipação de 1 ano, de um título de crédito no valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto?
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6) Um título de crédito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% a.a., capitalizados anualmente.
7) Uma pessoa, jurídica que deve um título de crédito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 4 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo título.
8) Uma loja tem 2 títulos de crédito de valores nominais iguais a um de R$ 1.000,00 e R$ 1.200,00 com vencimentos para 1 mês e 2 meses respectivamente. Sabendo que o dono da loja não possui dinheiro, propõe a substituição desses dois títulos por um só, dentro de 3 meses, e a taxa de desconto composto de 2% a.m.. Qual é o valor nominal desse novo título?
Exercícios propostos
1) Desejo descontar um título de crédito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.?
2) Qual será o desconto composto que um credor dá pelo débito de R$ 1.600,00 com a antecipação de 1 ano, a taxa de 1,5% a.m.?
3) valor atual de um título é de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto composto é de 2,5% a.a., com a antecipação de 6 meses. Qual é o valor nominal do mesmo?
4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto?
5) Um título de crédito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano será substituído por outro para 2 anos. Calcular o valor nominal do novo título, empregando a taxa de 2% a.a. com capitalizações semestrais.
6) Uma moto está sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestação de R$ 250,00 para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias. Encontre o valor da moto, considerando a taxa de juros de 2,5% a.m.
6) (Receita Federal) Um equipamento que custa, a vista R$ 1.400.000,00 está sendo vendido com financiamento, nas seguintes condições: entrada igual a 30% do preço a vista e o saldo em duas parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela deverá ser de:
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) N = R$ 2.000,00
n = 2 meses = ano
A = ?
i = 10% a.a.
2) dr = ?
N = R$ 1.600,00
n = 1 ano = 12 meses
i = 1,5% a.m.
3) A = R$ 1.300,00
i = 2,5% a.a.
n = 6 meses = 0,5 ano
N = ?
4) N = R$ 3.000,00
A = R$ 2.400,00
n = 7 meses
i = ?
A =ni
N
)1(
6
1
61
)1,01(
2000A
17,.1,1
2000
78,196902,1
2000AA
67,266
33,1331600
20,1
600.11600
)015,01(
600.1600.1
)1(
12
r
r
r
r
nr
d
d
d
d
i
NNd
15,1316
1300.01.11300
01,11300
)025,1(1300
)11300
)1(
5,0
N
N
N
i
N
i
NA
n
n
..%3
03,0
103,1
03,11
25,11
25,11
25,1)1(
2400
3000)1(
3000)1(240
)1(
3000240
)1(
14,0
77 7
7
7
7
71
mai
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
NA
n
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5) N = R$ 1.800,00 N’ =
n = 2 sem. n = 4 sem.
i = 1% a.s.
A = A’
6)
7)
..%12
2sai
29,835.102,1
1800.04,1'
04,1
'
02,1
1800
)01,1(
'
)1,01(
1800
)01,01()01,01(
1800
)1(
'
)1(
42
42
'
NN
N
N
i
N
i
N
nn
61,129.271,28590,2431600
05,1
30090,2431600
)025,1(
300
025,1
2501600
)025,01(
300
)025,01(
2501600
2
21
xx
x
x
x
07.2
000.200.117.1
07,2000.200.117.1
07,2000.980.14,1
07,2)07,1(.000.980
)07,1(
107,1000.980
)07,1(07,1000.420000.400.1
)07,01()07,01(000.420000.400.1
2
2
2
21
x
x
x
x
xx
xx
xx
x = 539.710,14
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15. Capitalização e AmortizaçãoRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução
Quando queremos constituir um capital, para aquisição de um bem qualquer, devemos depositar periodicamente uma quantia fixa, em uma instituição financeira. Este exemplo é de capitalização.
Por amortização entendemos a ação de pagar uma dívida, em épocas distintas.
A sucessão de pagamentos para constituir um capital ou para amortizar uma divida é denominada de renda.
As rendas podem ser classificadas da seguinte forma:
a) quanto ao prazo:
As rendas são denominadas temporárias quando o número de termos ou parcelas é finito e perpétuas quando o número de termos é infinito.
b) quanto a periodicidade:
As rendas são denominadas periódicas quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos são iguais e não periódicas quando esses intervalos são diferentes.
c) quanto ao valor dos termos:
As rendas são consideradas constantes quando todos os pagamentos são iguais. Em caso contrário, ou seja, quando os pagamentos são diferentes entre si, são chamadas de rendas variáveis.
2. Capitalização composta
2.1. Rendas imediatas
As rendas imediatas estão classificadas em antecipadas e postecipadas. Uma renda é imediata postecipada quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada período.
Um fluxo de caixa seria:
T1 T2 T3 Tn-1 Tn
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0 1 2 3.........n-1 n
Considere o problema abaixo:
Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00. Determine o montante da renda, sabendo que essa instituição financeira paga juros compostos de 1% a.m. capitalizados mensalmente.
Calculando o montante teremos:
M = 200 + 200 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01)3 + 200 (1 + 0,01)4
M = 200 + [1 + (1 + 0,01) + (1 + 0,01)2 + (1 + 0,01)3 + (1 + 0,01)4]
A soma dos termos entre colchetes é uma PG onde: a1 = 1 q = (1 + 0,01) e an = (1 +0,01)4
Calculando a soma teremos:
501,0
05,0
01,0
105,1
01,1
1)01,1(
1)01,01(
1)01,01(.1
1
)1.(
55
1
nnnnn
n
n
SSSSS
q
qaS
Calculando o montante:
M = C Sn M = 200 5 M = 1.000
2.1.1. Fórmula do montante de uma renda imediata
O montante M de uma renda certa é a soma dos montantes compostos de diversos pagamentos.
Mn = C + C (1 + i)1 + C (1 + i)2 + ............+ C (1+ i)n
Mn = C [1 + (1+ i) 2 + (1+ i)3 + ...............+ (1 + i)n]
A soma dos termos acima formam uma PG, onde:
a1 = 1 e q = 1 + i e an = (1 + i)n
i
iS
i
iS
q
qaS
n
n
n
n
n
n
1)1(
11
1)1(.1
1
)1(1
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O montante será calculado pela fórmula:
i
iCM
n 1)1(.
1
1)1( nifator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Indicamos i
por S n i
Portanto a fórmula do montante vai ficar:
M = C S n i
Exercícios resolvidos
1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de 1% a.m., quanto possuirá no final de um ano e meio?
Solução:C = R$ 600,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 18 meses
Mn = C S n i
Mn = 600 S 18 0,01
Mn = 600 19,6147
Mn = 11.768,82
2) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito forme o capital de R$ 2.000,00?
Solução:C = ? i = 5% a.s. = 0,05 a.s. Mn = R$ 2.000,00
Mn = C S n i
2000 = C S6 0,05
2.000 = C 6,80191
04,29480191,6
000.2CC
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3) Calcule a taxa em que uma pessoa efetuando depósitos mensais no valor de R$ 100,00 forma o montante de R$ 530,91, ao fazer o quinto depósito.
Solução:C = R$ 100,00 Mn = R$ 530,91 n = 5 meses i = ?
Mn = C.S n i 530,91 = 100 S
5 i
S = 100
91,530
5 i
S =5,3091 5 i
Consultando a tabela financeira, para n = 5, S = 5,3091, teremos i = 3% a.m. 5 i
4) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 150,00 devem ser colocadas a taxa de 1% a.m., a fim de se formar um montante de R$ 922,80?
Solução:C = R$ 150,00 n = ? i = 1% a.m. Mn = R$ 922,80
Mn = C S n i
922,80 = 150 S n i
S = 150
80,922
n 0,01
S = 6,1520 n 0,01
Consultando a tabela financeira para S = 6,1520 e i = 1% a.m. teremos: n i
6,1520 n = 6
Logo serão necessárias 6 prestações mensais.
Exercícios de fixação
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1) Determinar o valor da prestação que deverá ser capitalizada mensalmente, a 3% a.m. para que se tenha, no final de 12 meses, um montante de R$ 4.000,00.
2) Qual o montante de 5 aplicações mensais de R$ 800,00 cada uma, a taxa mensal de 1,5%?
3) Quantos pagamentos de R$ 1.224,31 serão necessários, considerando uma taxa de 3% a.m. para constituir um capital de R$ 6.500,00?
4) Uma pessoa que faz uma aplicação de R$ 1.000,00 em 10 meses, gera um montante de R$ 12.578,00. Calcular a respectiva taxa mensal.
2.2. Rendas antecipadas
Denominamos de rendas antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos dos termos ocorrem no início de cada mês respectivo.
No caso de capitalização antecipada começa a ocorrer, a partir do contrato, como mostra o fluxo de caixa abaixo;
T1 T2 T3 T4 ................ Tn
0 1 2 3 .................. n-1 n
Considere o problema abaixo:
Uma pessoa deposita em uma caderneta de poupança R$ 200,00, no início de cada mês, durante 5 meses. Calcule o montante da renda, sabendo que essa instituição paga juros compostos de 1% a.m., capitalizados mensalmente.
Solução:
C = R$ 200,00
n = 5 meses
i = 1% a.m. = 0,01 a.m. __Mn = ? __Mn é o montante de uma renda antecipada. __Mn = 200 (1+ 0,01)+ 200 (1+ 0,01)2 +200(1+ 0,01)3+200(1+ 0,01)4+200(1+ 0,01)5
Somando 200 a ambos os membros: __Mn+200=200+200(1+0,01)+200(1+0,01)2+200(1+0,01)3+200(1+0,01)4+200(1+0,01)5
Observando o segundo membro da igualdade, teremos o montante de uma renda imediata de n + 1 termos:__
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Mn + 200 = 200 S n+1 i
__Mn = 200 S - 200 5+1 i
__Mn = 200 (S - 1) 5+1 i __Mn = 200 (S - 1) 5+1 0,01 __Mn = 200 (S - 1) 6 0,01 __Mn = 200 (6,15202 - 1) __Mn = 200 5,15202 __Mn = 1.030,40
2.2.1. Fórmula de um montante de uma renda antecipada.__Mn = C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... + C (1 + i)n
Somando C a ambos os membros: __Mn + C = C + C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... C (1 + i) n
__Mn + C = C [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ........... + (1 + i)n]
Observando o segundo membro da igualdade temos o montante de uma renda imediata de n+1 termos.__Mn + C = C S n+1 i
Mn = C S - C n+1 i __Mn = C (S - 1) n+1 i
Exercícios resolvidos
1) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de 1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada.
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Solução:C = R$ 500,00 n = 8 i = 1,5% a.m.
__Mn = C (S - 1) __ n+1 i Mn = 500 (S - 1) 8+1 0,015
__Mn = 500 (S - 1) 9 0,015__Mn = 500 (9,5593 -1) __Mn = 500 8,5593 __ Mn = 4.279,65
2) Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 12% a.a. para constituir o montante de R$ 1.500,00 no fim de 1 ano sendo os juros capitalizados bimestralmente.
Solução:C = ?
500.1$RM n
n = 1 ano = 12 meses = 6 bim. i = 2% ao bimestre
nM = C.(S -1)
n+1 i
1.500= C.(S -1) 6+1 0,02
1.500 = C.(S -1) 7 0,02 1.500 = C.(7,43428 – 1) 1.500 = C. 6,43428
C= 13,23343428,6
500.1C
3) Uma empresa realizou 6 depósitos trimestrais antecipados de R$ 405,74 e obteve o montante de R$ 3.000,00. Qual foi a taxa de juro?
Solução:n = 6 trimestres C = R$ 405,74 Mn = R$ 3.000,00 i = ?
Mn = C (S -1) n+1 i
3.000 = 405,74 . (S - 1) 6+1 i
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3.000 = 405,74 (S - 1) 7 i
74,405
3000S -1
7 i
7,39 = S - 1 7 i
7,39 + 1 = S 7 i 8,39 = S 7 i
Consultando a tabela financeira para S = 8,39 e n = 7, teremos i = 6% a.t. 7 i
4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um montante de R$ 3.802,13 a taxa de 1,5% a.m. capitalizados mensalmente?
Solução:n = ? C = R$ 350,00 Mn = R$ 3.802,13 i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
__Mn = C (S - 1) n+1 i
3.802,13 = 350 (S - 1) n+1 0,015
350
13,802.3 S
n+1 0,015 -1
10,86 = S n+1 0,015
10,86 + 1 = S n+1 0,015
11,86 = S n+1 0,015
Consultando a tabela financeira para S = 11,86 e i = 1,5% a.m., teremos n = 10.
n + 1 = 11 n = 11 - 1 n = 10
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Exercícios de fixação
5) Uma pessoa deseja capitalizar de uma forma antecipada 5 prestações mensais de R$ 250,00 a 2% a.m. Qual o montante ao final da aplicação?
6) Um montante de R$ 3.200,00 foi capitalizado em 6 parcelas mensais, a taxa de 2%a.m., sendo a primeira capitalizada antecipadamente. Calcule o valor da prestação.
7) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de termo R$ 250,00, cujo montante, a taxa de 1% a.a. é de R$ 1.288,00.
3. Amortização composta
3.1. Renda imediata
Considere o problema:
Uma pessoa tem uma dívida e deseja amortizar em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo 1% a.m. a taxa de juros. Qual é o valor da dívida amortizada?
Solução:
N = R$ 200,00
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
O problema pede para calcular o valor atual das prestações na época zero. (no ato da compra e assinatura de contrato).
ni
NA
)1(
O valor atual da primeira prestação é de:
A1= 02,19801,1
200
)01,01(
200
)1(11111AAA
I
N
A2= 08,19602,1
200
)01,1(
200
)01,01(
200
)1(2222222AAAA
I
N
A3= 17,19403.1
200
)01,1(
200
)01,01(
200
)1(3333333AAAA
I
N
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A4= 31,19204,1
200
)01,1(
200
)01,01(
200
)1(4444444AAAA
I
N
O valor atual de uma renda é calculado pela soma dos valores atuais dos seus termos, assim sendo teremos;
An = A1 + A2 + A3 + A4
An = 198,02 + 196,08 + 194,17 + 192,31 An = 780,58
3.1.1. Fórmula do valor atual de uma renda imediata
Seja An o valor atual de uma renda e A1; A2 ...... An valores atuais dos seus termos. Calculando a soma teremos:
An = A1 + A2 + ........... + An
nN
nn
iiiNA
i
N
i
N
i
NA
)1(
1.....
)1(
1
)1(
1
)1(.....
)1()1(
21
21
Os termos entre os colchetes formam uma PG onde: a1 =i1
1; q =
i1
1 e an =
ni)1(
1
Calculando a soma dos termos teremos:
ni1i
1ni1nS
i
i1
ni1
ni11
i1
1nS
i1
i
ni1
ni11
i1
1
nS
i1
i11
ni1
ni11
i1
1
nS
1i1
1
1
1
ni1
1
i1
1
nS
1q
1nq1a
nS
ii
in
n
.)1(
1)1(é denominado de fator de amortização e indicamos por a
An = N a
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Exercícios resolvidos
1) Calcule o valor de uma dívida que pode ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 cada uma, sendo 1% a.m. a taxa de juros?
Solução:N = R$ 120,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 6 meses
An = N . a n i An = 120 . a 6 0,01 An = 120 5,79548
An = 695,46
2) Qual o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações, um empréstimo de R$ 3.000,00 a juros de 2% a.m.?
Solução:
An = R$ 3.000,00 N = ? i = 2% a.m. n = 6 meses a = 5,60143
An = N a n i
3.000 = N a 6 0,02
3.000 = N 5,60143
N = 58,53560143,5
000.3N
3) Uma moto custa a vista, R$ 12.000,00. Para compra a prazo, é dado o seguinte plano de pagamento: 10% de entrada e o restante em 5 prestações mensais de R$ 2.494,53. Calcule a taxa de financiamento.
Solução:An = 12.000 0,9 = 10.800 N = 2.494,53 n = 5 meses i = ?
An = N a n i10.800 = 2.494,53 a 5 i
a = 53,494.2
800.10
5 i a = 4,33 5 i
Consultando a tabela financeira para a = 4,33 e n = 5, teremos i = 5% a.m. 5 i
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Exercícios de fixação
8) Calcule o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.200,00, nos seguintes casos:
taxa de juros prazo a)2% a.m. 18 meses b) 5% a.t. 6 trimestres
9) Paguei 10 prestações de R$ 150,00 num financiamento feito a base de 1% a.m. Qual o valor da dívida amortizada?
10) Comprei uma geladeira que à vista sairia por R$ 1.200,00, pagando em 6 prestações mensais de R$ 221,52. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?
11) Calcule o número de prestações mensais de R$ 245,32 pagarei uma dívida de R$ 1.500,00, se o financiamento foi feito a base de 3,5% a.m.?
12) Uma chácara é colocada a venda por R$ 80.000,00 a vista ou a prazo nas seguintes condições: 20% de entrada e o restante em 15 meses com juros de 2% a.m. Qual é o valor da prestação?
3.2. Renda Antecipada
Considere o seguinte problema:
Uma pessoa deseja amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00, sendo 1% ao mês a taxa de juros?
Solução:
N = R$ 150,00
i = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
A primeira prestação vai ser paga no ato da compra, portanto seu valor é igual a 150.
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63,14503,1
150
)01,1(
150
)01,01(
150
)1(
06,14702,1
150
)01,1(
150
)01,01(
150
)1(
51,14801,1
150
)01,01(
150
)1(
51,15001,1
150
)01,01(
150
)1(
)1(
3334
2223
112
01
1
i
NA
i
NA
i
NA
i
NA
i
NA
n
n
nA é o valor atual de uma renda antecipada assim sendo:
20,591
63,14506,14751,148150
4321
n
n
n
A
A
AAAAA
3.2.1. Fórmula do valor atual de uma renda antecipada
nni
N
i
N
i
NNA
)1(...
)1()1( 21
Subtraindo (N) a ambos os membros:
nn
nn
nn
iiiNNA
i
N
i
N
i
NNA
ii
N
i
NNNNA
)1(
1...
)1(
1
)1(
1
)1(...
)1()1(
)1(
1...
)1()1(
21
21
21
Os termos entre colchetes formam uma PG onde:
iqe
ia
ia
nn1
1
)1(
1;
)1(
111
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ni1i
1ni1nS
i
i1
ni1
ni11
i1
1nS
i1
i
ni1
ni11
i1
1
nS
i1
i11
ni1
ni11
i1
1
nS
1i1
1
1
1
ni1
1
i1
1
nS
1q
1nq1a
nS
aii
in
n
.)1(
1)1(
n i
Em renda antecipada ocorre um pagamento no ato da compra e teremos n-1 prestações, a pagar: __An - N = N a n-1 i __an = N + N a n-i i
__An = N (a + 1) n-1 i
Exercícios resolvidos
1) Determine o valor atual de uma anuidade antecipada de 8 termos mensais de R$ 150,00, sendo a taxa de 2% ao mês.
Solução:
..%2
8
00,150$
?
mai
mesesn
RN
An nA = N . (a + 1 )
n-1 i
nA = 150.(a +1)
8-1 0,02
nA = 150.(a +1)
7 0,02
nA = 150.(6,47199+1)
nA = 150.7,47199
nA = 1.120,80
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2) Calcule o valor da prestação mensal antecipada para amortizar, com 5 pagamentos, realizado numa compra de R$ 600,00 sendo a taxa de juros de 1,5% a.m.
Solução
?
..%5,1
5
00,600$
N
mai
mesesn
RAn nA = N .(a +1)
n-1 i 600= N.(a +1)
5-1 0,015 600 = N. (a +1)
4 0,015 600 = N . (3,85438+1)
N = 60,123854338,4
600N
3) Quantas prestações semestrais antecipadas de R$ 120,00 serão necessárias para amortizar uma dívida no valor de R$ 857,35 com taxa de 10% ao semestre?
Solução:n = ? i = 10% ao semestreN = R$ 120,00
35,857$RAn
nA = N(a +1) n-1 i 857,35=120.(a +1) n-1 0,1
120
35,857a +1
n-1 0,1 7,14 = a +1 n-1 0,1 a = 7,14 - 1 n-1 0,1 a = 6,14n-1 0,1
Consultando a tabela financeira a = 6,14 e i = 10% teremos n-1 = 10 n-1 0,1
Exercícios de fixação
13) Calcule o valor atual de uma renda antecipada de 6 parcelas iguais de R$ 200,00 sendo a taxa de juro de 1% a.m.
14) Uma pessoa realizou um financiamento de R$ 6.000,00 feito em 8 parcelas mensais iguais com taxa de 2% ao mês. Calcular a parcela antecipada do financiamento.
N=11
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15) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 1.000,00 são necessários para se amortizar uma dívida de R$ 6.795,50 sendo a taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?
16) Uma televisão é vendida em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00, sendo a primeira paga como entrada. Se a taxa de juros do financiamento é de 8% ao mês, calcule o preço a vista?
3.3. Rendas diferidas
Em rendas diferidas o primeiro pagamento ocorre após um período de carência. O número de períodos que antecede o primeiro vencimento é denominado de diferimento de renda.
Consideremos uma renda imediata de n termos e que apresenta um período de carência m, como mostra o esquema abaixo:
T1 T2 T3...............Tn
0 1 2 .............m m +1 m+2.......m+n-1 m+n
O valor atual de uma renda diferida de n termos com m períodos de carência é igual ao valor atual de uma renda de m+n termos menos o valor atual da renda de m termos.
m/An = N (a - a ) m+n i m i
Considere o problema abaixo:
1) Qual o valor de uma dívida amortizada em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo a taxa de juros de 1% a.m., com uma carência de 2 meses?
Solução:
Indicamos renda diferida por m/An
Solução:N = R$ 200,00 n = 4 meses m = 2 meses i = 1% a.m. = 0,01 a.m. m/An = ?
m/An = N (a - a ) m+n i m i
m/An = 200 (a - a ) 4+2 0,01 2 0,01
m/An = 200 (a - a ) 4+2 0,01 2 0,01 m/An = 200 (5,79548 - 1,97040)
m/An = 200 3,82508 m/An = 765,02
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Exercícios resolvidos
1) Calcule o valor atual de uma renda de 6 termos mensais de R$ 180,00 com 2 meses de carência, sendo a taxa de juro de 2% a.m.
Solução:m/An = ? N = R$ 180,00 n = 6 meses m = 2 meses i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
m/An = N (a - a ) m+n i m i
m/An = 180 (a - a ) 6+2 0,02 2 0,02
m/An = 180 (a - a ) 6+2 0,02 2 0,02
m/An = 180 (7,32548 - 1,94156)
m/An = 180 5,38 m/An = 969,10
2) Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 com 5 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a carência de 2 meses?
Solução:m/An = R$ 3.000,00 N = ? i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 5 meses m = 2 meses
m/An = N (a - a ) m+n i m i 3.000 = N . (a - a ) 5+2 0,01 2 0,01 3.000 = N (a - a ) 6+2 0,02 2 0,02
3.000 = N (6,72819 - 1,97040)
3.000 = N . 4,75779
75779.4
000.3N N = 630,54
Exercícios de fixação
17) Qual o valor de uma dívida assumida por uma empresa que pagou 8 prestações mensais de R$ 850,00, a taxa de juros de 2% ao mês, com um período de carência de 3 meses?
18) Qual o valor atual de uma dívida que deve ser amortizada em 5 prestações mensais de R$ 300,00, sendo de 3% ao mês a taxa de juros e pagando a primeira prestação 3 meses depois de realizado o empréstimo?
19) Uma loja em promoção anuncia: “compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 2 meses”. Se a taxa de financiamento é de 1,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma secadora de roupa cujo preço a vista é de R$ 1.200,00?
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Exercícios propostos
1) Uma empresa deposita em uma caderneta de poupança R$ 50.000,00, no início de cada bimestre. Sendo a taxa de 18% a.a., capitalizada bimestralmente, calcular o montante no fim de 1 ano.
2) Uma pessoa deseja formar um fundo de provisões de forma que, depois do 8o depósito, possua o montante de R$ 1.500.000,00. Quanto deve depositar no fim de cada ano, em um banco que paga juros compostos de 9% a.a.?
3) Determine o montante de uma renda trimestral, antecipada, de R$ 120,00 a taxa de 12% ao ano, durante 2 anos?
4) Uma aplicação mensal de R$ 100,00 em 8 meses, gera um montante de R$ 958,00. Calcular a taxa mensal.
5) preço de uma moto à vista é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 20% de entrada e o restante é financiado a uma taxa de juros de 2% ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mensal.
6) Um terreno é vendido com R$ 3.500,00 de entrada e o restante em 14 prestações mensais de R$ 300,00 cada. Calcular o valor à vista desse terreno, sendo usado a taxa de 24% ao ano, capitalizada mensalmente.
7) Calcule o valor de 6 prestações mensais na compra de um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 900,00, sabendo-se que o juro cobrado é de 1% ao mês e as prestações são antecipadas?
8) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 150,00 são necessários para uma dívida de R$ 1.159,23, com taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?
9) Uma televisão foi comprada com R$ 600,00 de entrada e 6 prestações mensais de R$ 100,00, diferidas de 3 meses. Sendo os juros de 2% a.m., qual o preço a vista da televisão?
10) Determinar o valor atual de uma renda mensal de 7 termos iguais a R$ 200,00 com carência de 3 meses, sendo de 3% a.m. a taxa de juros.
11) Uma agência vende um automóvel por R$ 12.000,00 e oferece dois planos de pagamentos:
Plano A: 10% de entrada e 10 prestações mensais iguais a R$ 1.140,29.
Plano B: 20% de entrada e 8 prestações mensais iguais de R$ 1.310,49.
Qual dos dois planos tem a menor taxa de juros mensais?
12) Dois automóveis iguais são vendidos por agências diferentes, de acordo com os planos abaixo:
Agência 1: R$ 5.000,00 de entrada e 20 prestações mensais de R$ 400,00;
Agência 2: R$ 3.000,00 de entrada e 30 prestações mensais de R$ 500,00;
Se a taxa de juros mensais de mercado for de 2%, qual das agências terá o menor preço à vista?
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Mn = ? Mn = C S
C = R$ 50.000,00 Mn = 50.000 S
..%36
18bai Mn = 50.000 6,46841
n = 6 bim. Mn = 323.420,50
2) C = ? Mn = C S
M = R$ 1.500.000,00 1.500.000 = C S
n = 8 meses 1.500.000 = C 11,02847
i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 61,011,136
02847,11
000.500.1CN
__ __
3) Mn = ? Mn = C (S - 1)
__
C = R$ 120,00 Mn = 120 (S - 1)
__
i = 4
12 = 3% a.a. Mn = 120 (10,15911 -1)
__
n = 8 trimestres Mn = 120 9,15911
__
Mn = 1.099,09
n i
6 0,03
n i
8 0,09
n+1 i
9 0,03
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__
4) C = R$ 100,00 Mn = C (S - 1)
__
Mn = R$ 958,00 958 = 100 (S - 1 )
i = ? 958 = S -1
100
n = 8 meses 9,58 + 1 = S
S = 10,58
Consultando a tabela financeira p/ n = 9 e S = 10,58, teremos i = 4%.
5) Solução:
An = 8.000 0,8 = 6.400 An = N a
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 6.400 = N a
n = 6 meses 6.400 = N 5,60143
N = ? 60143,5
400.6
6) Solução:
entrada: R$ 3.500,00 An = N a
n = 14 An = 3.500 + 300 a
N = R$ 300,00 An = 3.500 + 300 12,10625
i = 12
24 = 2% a.m. An = 7.131,87
n i
6 0,02
n i
14 0,02
n+1 i
9 i
9 i
9 i
9 i
9 i
N = N = 1.142,56
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7) Solução:
__ __
An = R$ 900,00 An = N (a +1)
N = ? 900 = N (a +1)
i = 1% a.m. 900 = N (4,85343 +1)
n = 6 85343,5
900
8) n = ?
__ __
An = R$ 1.159,23 An = N (a + 1)
N = R$ 150,00 1.159,23 = 150 (a +1)
i = 12
12 = 1% a.m.
150
23,159.1= a + 1
150
7,73 = a + 1
a = 7,73 - 1
a = 6,73
Consultando a tabela financeira a = 6,73 e i = 1%.
n - 1 = 7
n = 8
9) 600 + 100 (a - a ) =
600 + 100 (a - a ) =
600 + 100 (8,16224 - 2,8839) =
600 + 100 5,2783 =
600 + 527,83 = 1.127,83
n-1 0,01
6+3 0,02 3 0,02
9 0,02 3 0,02
n-1 i
5 0,01
n-1 i
n-1 0,01
n-1 0,01
n-1 0,01
n-1 0,01
n-1 0,01
N = N = 153,76
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10) m/An = N (a - a ) =
m/An = 200 (a - a ) =
m/An = 200 (a - a ) =
m/An = 200 (8,53020 - 2,82861) =
m/An = 200 5,70159 =
m/An = 1.140,32
11) Plano A:
12.000 0,9 = 10.800
An = N a
10.800 = 1.140,29 a
a =29,140.1
800.10
a = 9,47
i = 1%
Plano B:
12.000 0,8 = 9,600
An = N a
9.600 = 1.310,49 a
a =49,310.1
600.9
a = 7,325
i = 2%
R.: O plano A tem a menor taxa.
12)
Agência 1
5.000 + 400 a =
5.000 + 400 16,351433 =
5.000 + 6.540,57 = 11.540,57
Agência 2
3.000 + 500 a =
3.000 + 500 22,396456 =
3.000 + 11.198,23 = 14.198,23
R.: Comprar o carro na agência 1 é a melhor opção.
20 0,02 30 0,02
m+n i m i
7+3 0,03 3 0,03
10 0,03 3 0,03
n i
10 i
10 i
10 i
n i
8 i
8 i
8 i
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
16. EmpréstimosRoberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
1. Introdução:
Quando uma pessoa física ou jurídica realiza um empréstimo para aquisição de um bem qualquer é esperada a devolução do capital acrescido de juros.
Neste capítulo estudaremos as maneiras mais comuns de pagamento de uma dívida. São os sistemas de amortização.
A distinção de um sistema de amortização do outro é a maneira de pagamento das prestações podendo ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo composta de duas partes: juros e amortização.
2. Planos de amortização de empréstimos.
Quando quitamos um empréstimo, podemos abater no imposto de renda, os juros cobrados.
Denominaremos a amortização (A) e o juro (J) que estão compondo a prestação (R).
Antes de estudarmos os principais sistemas de amortização, vamos definir alguns termos importantes:
a) credor é o indivíduo que concede o empréstimo; b) devedor ou mutuário é a pessoa que recebe o empréstimo; c) IOF é o imposto sobre operações financeiras; d) Amortização (A) é o pagamento em prestações de um capital emprestado; e) Juros é a remuneração do capital; f) Prestação (R) é a composição da amortização com juros.
Os principais sistemas de amortização são: sistema francês; sistema de amortização constante; sistema de amortização misto.
2.1. Sistema Francês
No sistema francês de amortização o devedor paga, periodicamente as prestações que compreendem os juros e a amortização da dívida, de modo que efetuado o último pagamento, a dívida está quitada.
R = A + J
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T T T ...... T T
0 1 2 3 ...... n-1 n
A dívida será dade pela seguinte relação;
D = R a n i onde:
D - dívida inicial
R - Prestação
a - fator de amortização n i Exemplo:
1) Uma pessoa adquire uma dívida no valor de R$ 4.000,00, que deverá ser amortizada, pelo método francês, com 5 prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação.
D = R$ 4.000,00 n = 5 i = 10% a.a.
D = R a n i
4.000 = R a 5 0,1
4.000 = R 3,79079
19,055.179079,3
000.4RR
2.1.1. Montagem de uma planilha de amortização
Período 1
O valor da primeira prestação é de R$ 1.055,19 com uma taxa de juro de 10% ao ano sobre o valor da dívida.
J1 = 10% de 4.000 J1 = 0,1 4.000 J1 = 400
A primeira amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros.
A1 = 1.055,19 - 400 A1 = 655,19
O saldo devedor do período 1 (D1)
D1 = 4.000 - 655,19 D1 = 3.344,81
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Período 2
Após o pagamento da 1a. prestação o saldo devedor é de R$ 3.344,81. Os juros serão de:
J2 = 10% de 3.344,81 J2 = 0,1 3.344,81 J2 334,48
A segunda cota de amortização será calculada pela diferença entre a prestação e os juros do período 2.
A2 = 1.055,19 - 334,48 A2 = 720,71 D2 = 3.344,81 - 720,71 D2 = 2.624,10
Período 3
J3 = 10% de 2.624,10 J3 = 0,1 2624,10 J3 = 262,41 A3 = 1.055,19 - 262,41 A3 = 792,78 D3 = 2.624,10 - 792,78 D3 = 1.831,32
Período 4
J4 = 10% de 1.831,32 J4 = 0,1 1.831,32 J4 = 183,13 A4 = 1,055,19 - 183,13 A4 = 872,06 D4 = 1.831,32 - 872,06 D4 = 959,26
Período 5
J5 = 10% de 959,26 J5 = 0,1 959,26 J5 = 95,93 A5 = 1.055,19 - 95,93 A5 = 956,26 D5 = 959,26 - 959,26 D5 = 0
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn)
0 4.000
1 1.055,19 400 655,19 3.344,81
2 1.055,19 334,48 720,71 2.624,10
3 1.055,19 262,41 792,78 1.831,32
4 1.055,19 183,13 872,06 959,26
5 1.055,19 95,93 959,26 __
2.1.2. Tabela Price
O sistema Price de amortização é um caso particular do sistema de amortização francês e apresenta as seguintes características:
a) os pagamentos das prestações são mensais; b) a taxa de juros compostos é anual; c) no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período considerado.
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Representação gráfica:
Prestação
Juros
1º 2º 3º 4º
Exercícios de fixação
1) Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga, pelo sistema francês, mediante 6 prestações, a taxa de juros de 3%. Calcular o valor da prestação.
2) Um financiamento de R$ 12.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (tabela Price) e a liquidação em 5 meses. Construa a planilha de amortização.
Exercícios propostos
1) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$ 4.000,00 sabendo que a taxa de juros cobrada pela instituição é de 12% ao ano e que a dívida deve ser quitada em 5 meses. Calcule o valor das prestações pelo sistema Price.
2) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de 12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização.
2.2. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas, englobando juros e amortização.
A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos.
A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em que deve ser quitado o financiamento.
Exemplo:
1) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a taxa de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização.
Amortização
Período
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Solução:D = R$ 6.000,00 n = 4 i = 3% ao ano
Calculando o valor da amortização.
4
000.6A
n
DA
Período 1
J1 = D i J1 = 6.000 0,03 J1 = 180 R1 = J1 + A R1 = 180 + 1.500 R1 = 1.680 D1 = D - A D1 = 6.000 - 1.500 D1 = 4.500
Período 2
J2 = D1 i J2 = 4.500 0,03 J2 = 135 R2 = J2 + A R2 = 135 + 1.500 R2 = 1.635 D2 = D1 - A D2 = 4.500 - 1.500 D2 = 3.000
Período 3
J3 = D2 i J3 = 3.000 0,03 J3 = 90 R3 = J3 + A R3 = 90 + 1.500 R3 = 1.590 D3 = D2 - A D3 = 3.000 - 1.500 D3 = 1.500
Período 4
J4 = D3 i J4 = 1.500 0,03 J4 = 45 R4 = J4 + A R4 = 45 + 1.500 R4 = 1.545 D4 = D3 - A D4 = 1.500 - 1.500 D4 = 0
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn)
0 6.000
1 1.680 180 1.500 4.500
2 1.635 135 1.500 3.000
3 1.590 90 1.500 1.500
4 1.545 45 1.500 ---
Baseado no exemplo acima podemos fazer a representação gráfica.
Prestação
Juro
Amortização
1º 2º 3º 4º nº
A= 1.500
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Pelo gráfico observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são decrescente, e os juros decrescem em função do saldo devedor.
2.2.1. Cálculo do saldo devedor
O saldo devedor do período será calculado pelo saldo devedor do período anterior menos a amortização.
Dn = Dn-1 - A
Logo para: n = 1 D1 = D - A n = 2 D2 = D1 - A D2 = D - A - A D2 = D - 2An = 3 D3 = D2 - A D3 = D - 2A - A D3 = D - 2A - A D3 = D - 3A
Exemplo:
1) Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 6.000,00 em um banco através do SAC em 10 prestações anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a sexta prestação.
Solução:
D = R$ 6.000,00 n = 10 i = 15% ao ano i = 0,15 a.a.
60010
000.6AA
N
DA
SDk = D - K A SD6 = 6.000 - 6.600 SD6 = 6.000 - 3.600 SD6 = 2.400
Exercícios de fixação
3) Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de R$ 10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais.
4) Um financiamento de R$ 5.000,00 é amortizado pelo sistema de amortização constante em 8 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Calcule: a) a cota de amortização; b) a primeira parcela de juros; c) a primeira prestação; d) saldo devedor após o pagamento da 4a prestação.
SDK = D - K A
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Exercícios propostos
3) Na compra de uma casa, uma pessoa faz um empréstimo de R$ 60.000,00, a financeira utiliza a taxa de juros compostos de 3% a.m. Essa importância será amortizada através do sistema de amortização constante (SAC), em 6 prestações mensais. Construa a planilha de amortização.
4) Um financiamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 8 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo SAC a uma taxa mensal de 2% a.m. Pede-se: a) a cota de amortização; b) juro pago na primeira prestação; c) valor da primeira prestação; d) o saldo devedor após o pagamento da 6a prestação.
2.3. Sistema de Amortização Misto (SAM)
O sistema de amortização misto é um sistema moderno, pois seus cálculos são feitos pela média aritmética do sistema francês e do sistema de amortização constante.
Exemplo:
1) João fez um empréstimo de R$ 5.000,00, em um banco pelo SAM em 4 prestações anuais, a taxa de 10% ao ano. Construa a planilha para as seguintes situações: a) sistema francês; b) sistema de amortização constante; c) sistema de amortização misto.
Solução:
a) Sistema francês
as prestações são iguais e calculadas pela seguinte relação: R = a
D
n i
o juro é calculado sobre o saldo devedor anterior;
a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período correspondente.
o saldo devedor do período é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior e a amortização do período.
Dados:D = R$ 5.000,00 n = 4 i = 10% ao ano = 0,1 ao ano
aR
a
DR
000.5
n i 4 0,01
35,577.116987,3
000.5RR
A = R - J
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Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 5.000
1 1.577,35 500 1.077,35 3.922,65
2 1.577,35 392,27 1.185,08 2.737,57
3 1.577,35 273,76 1.303,98 1.433,98
4 1.577,38 143,40 1.433,98 ---
b) Sistema de amortização constante
neste sistema as amortizações serão calculadas pelo quociente da dívida inicial pelo número de períodos.
n
DA
os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior.
a prestação (R) será dada pela expressão:
o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização do período (A).
SDn = SDn-1 – A
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 5.000
1 1.750 500 1.250 3.750
2 1.650 375 1.250 2.500
3 1.500 250 1.250 1.250
4 1.350 125 1.250 ---
c) Sistema de amortização mista
as amortizações serão obtidas pela média aritmética entre as amortizações do sistema francês e as do sistema de amortização constante;
os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior.
a prestação (R) será dada pela expressão: R = A + J
o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização (A).
SDn = SDn-1 – A
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn)
0 5.000
1 1.663,68 500 1.163,68 3.836,32
2 1.601,17 383,63 1.217,54 2.618,78
3 1.538,68 261,87 1.276,79 1.341,99
4 1.476,19 134,20 1.341,99 ---
R = A + J
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Exercícios de fixação
5) Um financiamento de R$ 15.000,000 deve ser pago em 4 amortizações constantes mensais sem carência. A taxa de juros é de 2% a.m. Construa a planilha de financiamento.
Exercício proposto
5) Um equipamento foi adquirido por R$ 12.000,00 e será pago em 6 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Construa a planilha do SAM.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
D = R a
4.000 = R 4,85343
85343,4
000.4
2)
D = R$ 6.000,00 D = R a
12
12 6.000 = R a
n = 6
6.000 = R 5,79548
79548.5
000.6
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn)
0 6.000
1 1.035,29 60 975,29 5.024,71
2 1.035,29 50,25 985,04 4.039,67
3 1.035,29 40,40 994,89 3.044,78
4 1.035,29 30,45 1.004,84 2.039,94
5 1.035,29 20,40 1.014,89 1.025,05
6 1.035,30 10,25 1.025,05 –
5 0,01
R = 824,16R =
n i
6 0,01= 1% a.m. i =
R = 1.035,29 R =
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3) Solução
D = R$ 60.000,00
i = 3% a.m. i = 0,03 a.m. 6
000.60
n
D
n = 6
Período (n) Prestação (R) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (Dn)
0 60.000
1 11.800 1.800 10.000 50.000
2 11.500 1.500 10.000 40.000
3 11.200 1.200 10.000 30.000
4 10.900 900 10.000 20.000
5 10.600 600 10.000 10.000
6 10.300 300 10.000 __
4) D = R$ 4.000,00
n = 8
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
K = 6
A = ?
a) 5008
000.4
n
DA
b) J1 = i D J1 = 0,02 4.000 J1 = 80
c) R1 = J1 + A R1 = 80 + 500 R1 = 580
d) SDK = D - K A
SD6 = 4.000 - 6. 500
SD6 = 4.000 - 3.000
SD6 = 1.000
5)
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 12.000
1 2.191,16 240 1.951,16 10.048,84
2 2.171,16 200,98 1.970,18 8.078,66
3 2.151,15 161,57 1.989,58 6.089,08
4 2.131,16 121,78 2.009,38 4.079,70
5 2.111,16 81,59 2.029,57 2.050,13
6 2.091,13 41 2.050,13 -
= 10.000 A =
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS
MesesDias Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
01 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
02 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
03 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
04 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
05 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
06 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
07 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
08 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
09 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 90 151 212 243 304 365
NOTA:
Se o ano for bissexto aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de fevereiro esteja incluído na contagem.
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TÁBUA DE LOGARITMOS
n log n Log n log n log n log
0 50 698970 100 000000 150 176091 200 301030
1 000000 51 707570 101 004321 151 178977 201 303196
2 301030 52 716003 102 008600 152 181844 202 305351
3 477121 53 724276 103 012837 153 184691 203 307496
4 602060 54 732394 104 017033 154 187521 204 309630
5 698970 55 740363 105 021189 155 190332 205 311754
6 778151 56 748188 106 025306 156 193125 206 313867
7 845098 57 755875 107 029384 157 195900 207 315970
8 903090 58 763428 108 033424 158 198657 208 318063 9 954243 59 770852 109 037426 159 202397 209 320146
10 000000 60 778151 110 041393 160 204120 210 322219
11 041393 61 785330 111 044323 161 206826 211 324282
12 079181 62 792392 112 049218 162 209515 212 326336
13 113943 63 799341 113 053078 163 212188 213 328380
14 146128 64 806180 114 056905 164 214844 214 330414
15 176091 65 812913 115 060698 165 217474 215 332438
16 204120 66 819544 116 064458 166 220108 216 334454
17 230449 67 826075 117 068186 167 222716 217 336460
18 255273 68 822509 118 071882 168 225309 218 338456 19 278754 69 838849 119 075547 169 227887 219 340444
20 301030 70 845098 120 079181 170 230449 220 342423
21 322219 71 851258 121 082785 171 232996 221 344392
22 342423 72 857332 122 086360 172 235528 222 346353
23 361728 73 863323 123 089905 173 238046 223 348305
24 380211 74 869232 124 093422 174 240549 224 350248
25 397940 75 875061 125 096910 175 243038 225 352183
26 414973 76 880814 126 100371 176 245513 226 354108
27 431364 77 886491 127 103804 177 247973 227 356026
28 447158 78 892095 128 107210 178 250420 228 357935 29 462398 79 897627 129 110590 179 252853 229 359835
30 477121 80 903090 130 113943 180 255273 230 361728
31 491362 81 908485 131 117271 181 257579 231 363612
32 505150 82 913814 132 120574 182 260071 232 365488
33 518514 83 919078 133 123852 183 262451 233 367356
34 531479 84 924279 134 127105 184 254818 234 369216
35 544068 85 929419 135 130334 185 267172 235 371068
36 556303 86 934498 136 133539 186 269513 236 372912
37 568202 87 939519 137 135721 187 271842 237 374748
38 579784 88 944483 138 139879 188 274158 238 376577 39 591065 89 949390 139 143015 189 276462 239 378398
40 602060 90 954243 140 146128 190 278754 240 380211
41 612784 91 959041 141 149219 191 281033 241 382017
42 623249 92 963788 142 152288 192 283301 242 383815
43 633468 93 968483 143 155336 193 285557 243 385606
44 643453 94 973128 144 158362 194 287802 244 387390
45 653213 95 977724 145 161368 195 290035 245 389166
46 662758 96 982271 146 164353 196 292256 246 390935
47 672098 97 986772 147 167317 197 294466 247 392697
48 681241 98 991226 148 170262 198 296665 248 394452 49 690196 99 995635 149 173186 199 298853 249 396199
50 698970 100 000000 150 176091 200 301030 250 397940
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n log n Log n log n log n log
250 397940 300 477121 350 544068 400 602060 450 653213
251 399674 301 478566 351 545307 401 603144 451 645177
252 401401 302 480007 352 546543 402 604226 452 655138
253 403121 303 381443 353 547775 403 605305 453 656098
254 404834 304 482874 354 549003 404 606381 454 657056
255 406540 305 484300 355 550228 405 607455 455 658011
256 408240 306 485721 356 551450 406 608526 456 658965
257 409933 307 487138 357 552668 407 609594 457 659916
258 411620 308 488551 358 553883 408 610660 458 660865 259 413300 309 489958 359 555094 409 611723 459 661813
260 414973 310 491362 360 556303 410 612784 460 662758
261 416641 311 492760 361 557507 411 613842 461 663701
262 418301 312 494155 362 558709 412 614897 462 664642
263 419956 313 495544 363 559907 413 615950 463 665581
264 421604 314 496930 364 551101 414 617000 464 666518
265 423246 315 498311 365 562293 415 618048 465 667453
266 424882 316 499687 366 563481 416 619093 466 668386
267 426511 317 501059 367 564666 417 620136 467 669317
268 428135 318 502427 368 565848 418 621176 468 670246 269 429752 319 503791 369 567026 419 622214 469 671173
270 431364 320 505150 370 568202 420 623249 470 672098
271 432969 321 506505 371 569374 421 624282 471 673021
272 434569 322 507856 372 570543 422 625312 472 673942
273 436163 323 509203 373 571709 423 626340 473 674861
274 437751 324 510545 374 572872 424 627366 474 675778
275 439333 325 511883 375 574031 425 628389 475 676694
276 440909 326 513218 376 575188 426 629410 476 677607
277 442480 327 514548 377 576341 427 630428 477 678518
278 444045 328 515874 378 577492 428 631444 478 679428 279 445604 329 517196 379 578639 429 632457 479 680336
280 447158 330 518514 380 579784 430 633468 480 681241
281 448706 331 519828 381 580925 431 634477 481 682145
282 450249 332 521138 382 582063 432 635484 482 683047
283 421786 333 522444 383 583199 433 636488 483 683947
284 453318 334 523746 384 584331 434 637490 484 684845
285 454845 335 525045 385 585461 435 638489 485 685742
286 456366 336 526339 386 586587 436 639486 486 686636
287 457882 337 527630 387 587711 437 640481 487 687529
288 459392 338 528917 388 588832 438 641474 488 688420 289 460898 339 530200 389 589950 439 642465 489 689309
290 462398 340 531479 390 591065 440 643453 490 690196
291 463893 341 532754 391 592177 441 644439 491 691081
292 465383 342 534026 392 593286 442 645422 492 691965
293 466868 343 535294 393 594393 443 646404 493 692847
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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000
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n (1 + i)n (1 + i)
-n a S n (1 + i)
n (1 + i)
-n a S
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n (1 + i)
-n a S
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n i n i n in i
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n (1 + i)n (1 + i)
-n a S n (1 + i)
n (1 + i)
-n a S
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n (1 + i)
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n i n in in i
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n (1 + i)
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-n a S n (1 + i)
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-n a S
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CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 172
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